DE3805582A1

DE3805582A1 - Codier- und decodiereinrichtungen fuer kanaele mit partialcharakteristik

Info

Publication number: DE3805582A1
Application number: DE19883805582
Authority: DE
Inventors: Jun G David Forney; Vedat M Eyuboglu
Original assignee: Codex Corp
Current assignee: General Electric Co
Priority date: 1987-02-24
Filing date: 1988-02-23
Publication date: 1988-09-01
Anticipated expiration: 2008-02-24
Also published as: FR2611332A1; CA1306543C; NL8800474A; JPH06103895B2; GB8804283D0; AU621536B2; DE3805582C2; JPS63240154A; GB2201567B; SG37292G; GB2201567A; FR2611332B1; HK41592A; AU1204088A

Description

Die Erfindung bezieht sich auf Modulationscodierung und Systeme mit einem Übertragungs- oder Antwortverhalten, das von partieller Natur ist und im folgenden als "Partialcharakteristik" bezeichnet wird (in Anleihung an die englische Bezeichnung "partial response", abgekürzt PR). Codierungen mit Partialcharakteristik werden abgekürzt als PRC bezeichnet.

Bei der Modulationscodierung werden Symbole als Signale codiert, die in derartiger Weise aus einer Konstellation gezogen werden, daß nur bestimmte Folgen von Signalen möglich sind.

In den letzten Jahren hat man verschiedene Arten von Modulationscodes des sogenannten Trellis-Typs entwickelt und angewandt (z. B. in Modems), um Codierverstärkungen von 3 bis 6 dB über Kanäle mit hohem Rauschabstand und begrenzter Bandbreite wie z. B. Fernsprechkanäle zu er zielen.

Die ersten Trellis-Codes gehen auf Ungerboeck zurück (vgl. US-Patentschrift 38 77 768 von Cjsaka u. a. sowie die Arbeit von Ungerboeck "Channel Coding with Multilevel/Phase Signals", veröffentlicht in IEEE Transactions on Information Theory, Band IT-28, Seiten 55-67, Januar 1982).

Ungerboecksche Codes zum Senden von n Bits pro Symbol beruhen auf Abschnittsunterteilungen (sogenannte "Par titionen") eindimensionaler (PAM) oder zweidimensionaler (QAM) Signalkonstellationen der Punktezahl n ⁿ⁺¹ in vier oder acht Untermengen, kombiniert mit einem linearen binären "konvolutionellen" Code (auch als "Faltungscode" bezeichnet) mit der "Rate" 1/2 oder der Rate 2/3, der eine Folge von Untermengen bestimmt. Eine weitere Menge "uncodierter" Bits bestimmt dann, welche Signalpunkte innerhalb der angegebenen Untermengen tatsächlich gesendet werden. Die Abschnittsunterteilung (Partition) und der Code sind so konstruiert, daß ein bestimmter Wert für das Quadrat des kleinsten Abstandes d ² _min (Quadrat der Hamming distanz) zwischen zulässigen Folgen von Signalpunkten sichergestellt ist. Selbst wenn man die erhöhte Leistung einer erweiterten Signalkonstellation aufwendet (ein Faktor von vier bzw. 6 dB in einer Dimension oder ein Faktor von 2 bzw. 3 dB in zwei Dimensionen), führt der vergrößerte Wert des Quadrats der Hammingdistanz zu einer Codier verstärkung, die von etwa dem Faktor zwei (3 dB) für einfache Codes bis zum Faktor vier (6 dB) für die kompliziertesten Codes reicht, und zwar für beliebig große Werte von n.

Ein anderer, von Gallager entworfener mehrdimensionaler Trellis-Code beruht auf einer Partition einer vierdimensionalen Signalkonstellation in 16 Untermengen, kombiniert mit einem konvolutionellen Code der Rate 3/4 (vgl. US- Patentanmeldung Nr. 5 77 044 vom 6. Februar 1984 und die Arbeit von Forney u. a. "Efficient Modulation for Band-Limited Channels", veröffentlicht in IEEE J. Select. Areas Commun., Band SAC-2, 1984, Seiten 632-647). Die vierdimensionale Untermenge wird bestimmt durch Auswahl eines Paars zweidimensionaler Untermengen, und die Punkte der vierdimensionalen Signalkonstellation werden durch Paare von Punkten aus einer zweidimensionalen Signalkonstellation gebildet. Mit nur einem 8-Zustands-Code läßt sich ein d ² _min-Wert erreichen, der das Vierfache der Hammingdistanz der uncodierten Folge ist, während der durch die Erweiterung der Signalkonstellation bedingte Verluste auf etwa den Faktor 2^½ (also 1,5 dB) reduziert werden kann, was eine resultierende Codierverstärkung in der Größenordnung von 4,5 dB ergibt. Ein ähnlicher Code wurde von Calderbank und Sloane entworfen (vgl. "Four-dimensional Modulation With An Eight-State Trellis Code", AT & T Tech. J., Band 64, Seiten 1005-1018, 1985, sowie die US-Patentschrift 45 81 601).

Verschiedene andere mehrdimensionale Codes, die von Wei entworfen wurden, beruhen auf Partitionen von Konstellationen in vier, acht und sechzehn Dimensionen, kombiniert mit konvolutionellen Codes der Rate (n-1)/n (vgl. US-Patentanmeldung Nr. 7 27 398 vom 25. April 1985). Auch hier bestehen die mehrdimensionalen Konstellationen aus Folgen von Punkten, die aus zweidimensionalen Teil-Konstellationen gezogen sind. Die Codes sind konstruiert zur Minimierung der Erweiterung zweidimensionaler Konstellationen, um ein gutes Verhältnis von Qualität (Codierverstärkung) zur Kompliziertheit des Codes über einen weiten Bereich zu erhalten und weitere Vorteile zu erzielen wie etwa eine Transparenz gegenüber Phasendrehungen. Auch von Calderbank und Sloane wurden verschiedene mehrdimensionale Trellis-Codes entworfen, die im allgemeinen ein ähnlich gutes Verhältnis von Qualität zu Kompliziertheit, eine größere Konstellationserweiterung, aber in manchen Fällen weniger Zustände haben (vgl. "New Trellis Codes", IEEE Transactions on Information Theory, März 1987 und "An Eight-dimensional Trellis Code", Proc. IEEE, Band 74, 1986, Seiten 757-759).

Alle die vorstehend erwähnten Codes sind für Kanäle konstruiert, die hauptsächlich durch Rauschen beeinträchtigt sind (neben Phasendrehungen), insbesondere für Kanäle ohne Intersymbolstörungen. Dies setzt stillschweigend voraus, daß jede durch den tatsächlichen Kanal eingeführte Inter symbolstörung durch Sende- und Empfangsfilter oder speziell durch einen adaptiven linearen Entzerrer im Empfänger auf ein vernachlässigbares Maß vermindert wird. Ein solches System arbeitet bekanntlich gut, wenn der wirkliche Kanal keine ernsthafte Dämpfung innerhalb der Übertragungsbandbreite hat; im Falle starker Dämpfungen jedoch (Nullstellen oder annähernde Nullstellen in der Übertragungsfunktion) kann die Rauschleistung im Entzerrer stark verstärkt werden ("Rauschanreicherung").

Eine bekannte Technik zur Vermeidung einer solchen "Rausch anreicherung" besteht darin, das Signalübertragungssystem auf eine Kontrolle von Intersymbolstörungen anstatt auf den Wegfall von Intersymbolstörungen auszurichten. Die hierzu bekanntesten Schemen sind Signalübertragungen mit sogenannter "Partialcharakteristik" (partial response, s. Arbeit von Forney "Maximum Likelihood Sequence Estimation of Digital Sequence in the Presence of Intersymbol Interference", erschienen in IEEE Transactions on Information Theory, Band IT-18, 1972, Seiten 363-378). In einem typischen (eindimensionalen) System mit Partial charakteristik ist der gewünschte bestimmungsgemäße Ausgang y _k am Empfänger die Differenz zweier aufeinanderfolgender Eingänge x _k, es gilt also y _k=x _k-x _k-1 anstatt y _k=x _k. In der für Datenabtastwerte üblichen Schreibweise unter Verwendung des Verzögerungs- oder Laufzeitoperators D bedeutet dies, daß die gewünschte Ausgangsfolge y (D) gleich x (D) (1-D) ist, anstatt x(D); man spricht in diesem Fall von einem System mit ′′1-D′′-Partialcharakteristik. Da das Spektrum eines zeitdiskreten Kanals mit der Impulsantwort 1-D eine Nullstelle bei Nullfrequenz (Gleichstrom) hat, muß die Kombination der Sende- und Empfangsfilter mit dem wirklichen Kanal ebenfalls eine Nullstelle bei Gleich strom haben, um diese gewünschte Charakteristik zu bekommen. An einem Kanal, der bei Gleichstrom eine Nullstelle oder annähernde Nullstelle hat, bewirkt ein für gewünschte (1-D)-Charakteristik ausgelegter Empfangsentzerrer weniger Rauschanreicherung als ein Entzerrer, der für die Erzielung einer perfekten Antwort (keine Intersymbolstörung) ausgelegt ist.

Die Signalübertragung mit Partialcharakteristik wird auch zur Erreichung anderer Ziele angewandt: sie vermindert z. B. die Empfindlichkeit gegenüber Kanalstörungen nahe der Bandenkante, sie senkt die Anforderungen an die Filterung, sie erlaubt die Übertragung von Pilottönen an der Bandenkante, und sie vermindert Nachbarkanalstörungen in Frequenzmultiplex-Systemen.

Andere Typen von Systemen mit Partialcharakteristik sind z. B. das (1+D)-System, das eine Nullstelle an der Nyquist-Bandenkante hat, und das (1-D ²)-System, das Nullstellen sowohl bei Gleichstrom als auch an der Nyquist-Bandenkante hat. Ein in Quadratur arbeitendes (zweidimensionales) System mit Partialcharakteristik (QPR-System) kann als System mit einem zweidimensionalen komplexen Eingang gestaltet werden; die (komplexe) Antwort 1+D erhält man in einem QPR-System, das Nullstellen an der oberen und an der unteren Bandenkante in einem trägermodulierten (QAM) Bandpaßsystem hat. Alle diese Partialantwort-Systeme sind eng miteinander verwandt, und die Schemen für eines dieser Systeme lassen sich leicht an ein anderes anpassen; so kann man ein System z. B. für (1+D)-Charakteristik konstruieren und es leicht auf die anderen Charakteristiken erweitern.

Calderbank, Lee und Mazo haben ein Schema zur Konstruktion von Folgen in Trellis-Codierung vorgeschlagen, die Nullstellen im Spektrum haben, insbesondere bei Gleichstrom; ein Problem, das mit der Konstruktion von Partialantwort-Systemen verwandt ist, auch wenn die Ziele hier im allgemeinen etwas anders sind (vgl. die Arbeit "Baseband Trellis Codes with A Spectral Null at Zero", vorgelegt bei IEEE Transactions on Information Theory). Calderbank u. a. haben bekannte mehrdimensionale Trellis-Codes mit mehrdimensionalen Signalkonstellationen so ausgelegt, daß Signalfolgen mit spektralen Nullstellen erzeugt werden, und zwar nach der im folgenden beschriebenen Methode: die mehrdimensio nale Signalkonstellation hat zweimal so viele Signalpunkte, wie sie für den Fall der nicht partiellen Charakteristik notwendig sind, und wird in zwei gleich große disjunkte Untermengen aufgeteilt, von denen die eine mehrdimensionale Signalpunkte umfaßt, für welche die Summe der Koordinaten kleiner oder gleich Null ist, während die andere Untermenge solche Punkte umfaßt, bei denen die Summe größer oder gleich Null ist. Eine "laufende digitale Summe" (RDS) von Koordinaten, anfänglich auf Null eingestellt, wird für jeden gewählten mehrdimensionalen Signalpunkt um die Summe von dessen Koordinaten nachgestellt. Falls die augenblickliche RDS nicht-negativ ist, wird der augenblickliche Signalpunkt aus derjenigen Untermenge ausgewählt, welche die Signalpunkte mit den Koordinatensummen von kleiner oder gleich Null aufweist; ist die RDS negativ, dann wird der augenblickliche Signalpunkt aus der anderen Untermenge ausgewählt. Auf diese Weise wird die RDS innerhalb eines schmalen Bereichs nahe Null gehalten, was bekanntlich dazu zwingt, daß die Signalfolge eine spektrale Nullstelle bei Gleichstrom bekommt. Gleichzeitig werden jedoch die Signalpunkte ansonsten aus den Untermengen in derselben Weise ausgewählt, wie es in einem System mit nicht partieller Charakteristik geschähe: die erweiterte mehr dimensionale Konstellation wird in eine bestimmte Anzahl von Untermengen mit günstigen Eigenschaften hinsichtlich der Distanz aufgeteilt, und ein konvolutioneller Code der Rate (n-1)/n bestimmt eine Folge der Untermenge derart, daß das Quadrat der kleinsten Distanz zwischen den einzelnen Folgen mit Sicherheit mindestens gleich d ² _min ist. Die Codierverstärkung wird durch Konstellationsverdoppelung reduziert (um den Faktor 2^½ bzw. umd 1,5 dB in vier Dimensionen, oder um den Faktor 2^¼ bzw. um 0,75 dB in acht Dimensionen), ansonsten wird jedoch eine ähnliche Güte erreicht wie im Falle nicht partieller Charakteristik mit ähnlicher Kompliziertheit des Codes.

Ein allgemeines Merkmal der vorliegenden Erfindung besteht darin, daß eine Folge digitaler Signale x _k und/oder eine Folge digitaler Signale y _k (die in Übereinstimmung mit einem gegebenen Modulationscode ist) erzeugt wird, wobei k=1, 2, . . ., so daß zwischen den x _k-Signalen und den y _k-Signalen die Beziehung y _k=x _k±x _k-L besteht, wobei L eine ganze Zahl ist. Ein Codierer wählt J Signale y _k, wobei J1 ist, so daß (y _k, y _k+1, . . ., y _{k+J -1}) kongruent ist mit einer Folge von J Nebengruppen-Darstellern c _k (modulo M), mit M gleich einer ganzen Zahl, festgelegt in Übereinstimmung mit dem gegebenen Modulationscode. Die J Symbole werden aus einer von mehreren J-dimensionalen Konstellationen ausgewählt, wobei sich die Wahl auf ein vorhergehendes x _k′ stützt, mit k′<k. Mindestens eine der Konstellationen enthält sowohl einen Punkt mit positiver Koordinatensumme wie auch einen weiteren Punkt mit einer negativen Koordinatensumme. Der Codierer ist so ausgelegt, daß die Signale x _k endliche Varianz S _x haben.

Gemäß einem weiteren allgemeinen Merkmal der Erfindung wählt der Codierer die Signale x _k so, daß sie kongruent mit einer Folge alternativer Nebengruppen-Darsteller c _k (modulo M) sind, wobei folgendes gilt:

c′_k = c _k - c′_k-L (modulo M), im Falle daß
y _k = x _k + x _k-L;
c′_k = c _k + c′_k-L (modulo M), im Falle daß
y _k = x _k - x _k-L.

Ein anderes allgemeines Merkmal der Erfindung besteht darin, daß die y _k-Signale innerhalb eines Alphabets möglicher y _k-Signale liegen, die innerhalb des Alphabets einen gleichmäßigen gegenseitigen Abstand Δ voneinander haben. Der Codierer sorgt dafür, daß die Folge y _k eine Varianz S _y hat, die kleiner ist als 2S₀, und daß die Folge x _k eine Varianz S _x hat, die nicht viel größer ist als S ² _y/4(S _y-S₀), wobei S₀ annähernd die erforderliche Mindest-Signalleistung ist, um n Bits pro Signal mit einem Alphabet darzustellen, das den Abstand Δ hat.

Gemäß einem wiederum anderen Merkmal der Erfindung bewirkt der Codierer, daß die Signale x _k und y _k jede beliebige gewählte Varianz S _x bzw. S _y innerhalb vorbestimmter Bereiche haben.

In bevorzugten Ausführungsformen werden die Bereiche durch einen Parameter β gesteuert werden, wobei S _x ungefähr gleich S₀/(1-β ²) und S _y ungefähr gleich 2S₀/(1+β) ist.

Ein weiteres allgemeines Merkmal der Erfindung ist eine Anordnung zur Erzeugung einer Folge in einem gegebenen N-dimensionalen Modulationscode durch Erzeugung einer Folge eindimensionaler Signale, die sich auf codierte und uncodierte Bits gründen. Der Modulationscode gründet sich auf eine N-dimensionale Konstellation, die in Untermengen in Zuordnung zum Code aufgeteilt ist, wobei jede Untermenge eine Vielzahl N-dimensionaler Signale repräsentiert. Die Anordnung weist einen Codierer auf, der für jedes N-dimensionale Symbol eine Menge von N M-wertigen eindimensionalen Nebengruppen-Darstellern c _k auswählt, die Kongruenzklassen einer jeden der N Koordinaten (modulo M) des Symbols entsprechen, wobei jeder Nebengruppen-Darsteller eine Untermenge eindimensionaler Werte in einer eindimensionalen Konstellation möglicher Koordinatenwerte für jede der N Dimensionen bestimmt und wobei jedes eindimensionale Signal in der Folge aus den möglichen Koordinatenwerten auf der Grundlage uncodierter Bits ausgewählt wird.

In bevorzugten Ausführungsformen können folgende Merkmale realisiert werden: entweder die x _k-Folge oder die y _k-Folge kann als eine Ausgangsgröße geliefert werden; L=1; y _k=x _k-x _k-L; der Code kann ein Trellis-Code oder ein Lattice-Code sein; M kann gleich 2 oder gleich 4 sein oder ein Vielfaches von 4 oder 2+2i; J kann gleich 1 sein oder genau so groß wie die Anzahl von Dimensionen im Modulationscode; k′=k-1; J ist gleich 1 und jede Konstellation ist ein eindimensionaler Bereich von Werten, die sich um das Zentrum β x _k-1 gruppieren, wobei 0β<1 ist, vorzugsweise β<0; es gibt eine endliche Menge (z. B. zwei nicht-disjunkte) J-dimensionale Konstellationen; y _k und x _k können reelle Werte oder komplexe Werte sein.

Gegenstand der Erfindung ist ferner ein Decodierer zum Decodieren einer Folge z _k=y _k+n _k, mit k=1, 2, . . ., in eine decodierte Folge y _k, wobei für die Folge der Signale y _k folgendes gilt: erstens kommt die Folge von einem gegebenen Modulationscode, zweitens hat die laufende digitale Summe

x _k = y _k + y _k-1 + y _k-2 + . . .

endliche Varianz S _x, und drittens fallen die Signale y _k in einen vorbestimmten zulässigen Bereich, der von x _k′ abhängt, wobei k′<k ist. Die Sequenz n _k stellt Rauschen dar. Ein Bereichsüber tretungs-Monitor rekonstruiert die geschätzte laufende Digitalsumme _k= _k+ _k-1+. . ., vergleicht die decodierte Folge _k mit einem vorbestimmten zulässigen Bereich auf der Grundlage der geschätzten laufenden Digitalsumme _k′ mit k′<k, und liefert eine Anzeige immer dann, wenn _k außer halb des zulässigen Bereichs liegt.

Ein anderes allgemeines Merkmal der Erfindung ist ein Decodierer zum Decodieren einer Folge z _k=y _k+n _k mit k=1, 2, . . ., wobei für die Folge der Signale y _k folgendes gilt: erstens kommt die Folge von einem gegebenen Modulationscode, der sich mittels eines Codierers mit einer endlichen Anzahl Q von Zuständen erzeugen läßt, zweitens ist y _k=x _k±x _k-L, wobei L eine ganze Zahl ist und wobei die Folge x _k endliche Varianz S _x hat. Die Folge n _k stellt Rauschen dar. Der besagte Decodierer enthält eine Schätzeinrichtung für modifizierte Folgen maximaler Wahrscheinlichkeit, um in einem Intervall bis zu einer gewissen Zeit K eine Anzahl MQ decodierter Teilfolgen zu finden, jeweils eine für jede Kombination der endlichen Anzahl Q von Zu ständen und für jeden einer endlichen Anzahl M ganzzahlig beabstandeter Werte modulo M, so daß jede Folge erstens bis zum Zeitpunkt K im Code ist, zweitens der Situation entspricht, daß der Codierer zum Zeitpunkt K in einem gegebenen Zustand ist, und drittens der Situation entspricht, daß x _k zum Zeitpunkt K einen Wert hat, der kongruent mit einem gegebenen Exemplar der Werte modulo M ist.

Mit der vorliegenden Erfindung werden bekannte Modulationscodes, insbesondere Trellis-Codes, zur Verwendung in Systemen mit einer Partialcharakteristik hergerichtet, um die gleichen Arten von Vorteilen zu erzielen, die Trellis-Codes in Systemen mit nicht-partieller Charakteristik haben, nämlich beträchtliche Codierverstärkungen für beliebig große Anzahlen n von Bits pro Symbol mit einer in vernünftigen Grenzen bleibenden Kompliziertheit der Decodierung. Die Erfindung erlaubt außerdem die Konstruktion von Trellis-Codes für Systeme mit Partialcharakteristik in einer derartigen Weise, daß man sowohl mit relativ niedriger Eingangssignalleistung S _x als auch mit relativ niedriger Ausgangsleistung S _y auskommt, wobei ferner eine fließende Abwägung zwischen diesen beiden Größen möglich ist. Außerdem lassen sich höherdimensionale Trellis-Codes zur Verwendung in Systemen mit Partialcharakteristik herrichten, die naturgemäß weniger Dimensionen haben.

Weitere Vorteile und Merkmale der Erfindung gehen aus den Patentansprüchen hervor, sowie aus der nachstehenden Beschreibung, in der bevorzugte Ausführungsformen als Beispiele erläutert werden:

Fig. 1 ist ein Blockdiagramm eines Kanals mit (1-D)- Partialcharakteristik;

Fig. 2 ist ein Blockdiagramm eines Codierers für einen 8-Zustands-Code nach Ungerboeck;

Fig. 3 zeigt eine Signalkonstellation für den Unger boeck-Code, unterteilt in acht Untermengen;

Fig. 4 ist ein Blockdiagramm eines äquivalenten Codierers für den Ungerboeck-Code;

Fig. 5 ist ein Blockschaltbild eines verallgemeinerten N-dimensionalen Trellis-Codierers;

Fig. 6 ist ein Blockschaltbild eines modifizierten Codierers nach Fig. 5, der auf der Grundlage von Neben gruppen-Darstellern arbeitet;

Fig. 7 ist ein Blockschaltbild eines äquivalenten eindimensionalen Codierers;

Fig. 8 ist ein Blockschaltbild eines verallgemeinerten N-dimensionalen Trellis-Codierers;

Fig. 9 ist ein Blockschaltbild eines verallgemeinerten Codierers mit Nebengruppen-Vorcodierung;

Fig. 10 ist ein Blockschaltbild für die Kombination der Fig. 8 und 9;

Fig. 11 ist ein Blockschaltbild eines Codierers mit Rückkopplung der laufenden digitalen Summe (RDS-Rückkopplung) und Nebengruppen-Vorcodierung;

Fig. 12, 13 und 14 sind alternative Ausführungsformen des Codierers nach Fig. 11;

Fig. 15, 16 und 17 sind Blockschaltbilder dreier äquivalenter Filteranordnungen;

Fig. 18 ist ein Blockschaltbild eines verallgemeinerten Decodierers;

Fig. 19, 20 und 21 sind Blockschaltbilder alternativer Codierer;

Fig. 22 zeigt eine alternative Signalkonstellation;

Fig. 23 ist ein Blockschaltbild eines Codierers zur Verwendung mit der Konstellation nach Fig. 22;

Fig. 24, 25 und 26 sich Blockschaltbilder dreier äquivalenter Codierer;

Fig. 27 ist ein Blockschaltbild eines alternativen Decodierers;

Fig. 28 ist eine schematische Darstellung einer erweiterten Signalkonstellation;

Fig. 29 zeigt einen Rhombus zur Verwendung mit der Konstellation nach Fig. 28;

Fig. 30 ist ein Blockschaltbild eines zweidimensionalen Codierers mit RDS-Rückkopplung;

Fig. 31 zeigt die Dimensionen eines Rhombus zur Verwendung mit der Konstellation nach Fig. 28;

Fig. 32 zeigt ein Paar von Konstellationen;

Fig. 33 zeigt zwei disjunkte Konstellationen.

Gemäß der Fig. 1 benutzt die Erfindung eine Technik zur Erzeugung von Signalfolgen, die als Eingangssignale für einen Kanal 10 mit Partialcharakteristik dienen.

Als Beispiel wird zunächst ein Basisband-System mit eindimensionaler (reeller) "1-D"-Partialcharakteristik behandelt, die eine Nullstelle bei Gleichstrom hat. (An späterer Stelle wird kurz beschrieben werden, wie man eine solche Konstruktion für andere Typen von Systemen mit Partialcharakteristik modifizieren kann.) Jedes Ausgangssignal z _k eines solchen Systems ist gegeben durch die Gleichung

z _k = y _k + n _k,

wobei die n _k-Folge (n(D)) Rauschen darstellt und die y _k- Folge (y(D)) eine mit Partialcharakteristik codierte Folge (PRC-Folge) ist. Diese letztgenannte Folge ist ihrerseits definiert durch die Gleichung

y _k =x _k - x _k-1,

wobei die x _k-Folge (x(D)) die Folge der Eingangssignale des Kanals ist. Wegen

x _k = x _k-1 + y _k

läßt sich die x _k-Folge aus der PRC-Folge wiedergewinnen, indem man eine laufende digitale Summe (RDS) der y _k-Werte bildet (unter Vorgabe eines Anfangswertes für die x _k- Folge); daher wird die x _k-Folge nachstehend als die RDS-Folge bezeichnet. Die Varianzen der Proben der RDS-Folge x(D) und der PRC-Folge y(D) seien als S _x bzw. S _y bezeichnet.

Die zeitdiskrete Partialcharakteristik 1-D (dargestellt durch den Block 12) ist eine Kombination der Charakteristiken einer Kette von Sendefiltern, eines wirklichen Kanals, Empfangsfiltern, Entzerrern, Abtastern, usw., die in einer herkömmlichen Weise aufgebaut sind, um eine kombinierte Partialcharakteristik 1-D zu erhalten, in welcher die Rauschleistung P (der Rauschfolge n(D)) klein ist gegenüber der PRC-Leistung S _y (also der Leistung der mit Partialcharakteristik codierten Folge). Es ist also erwünscht, eine relativ große Anzahl n von Bits pro Kanaleingang zu senden. Ein Detektor (nicht gezeigt) verarbeitet die rauschbehaftete PRC-Folge z(D), um x(D) zu bestimmen (oder in äquivalenter Weise die Folge y(D), da eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den beiden Folgen besteht). Falls der Detektor eine Schätzeinrichtung für Folgen maximaler Wahrscheinlichkeit ist, besteht das erste Ziel darin, den quadrierten Mindestabstand (Quadrat der Hammingdistanz) d ² _min zwischen zulässigen PRC-Folgen y(D) maximal zu machen.

In manchen Anwendungsfällen kann die Zwangsforderung für die Konstruktion einfach darin bestehen, die Varianz S _x der Proben der RDS-Folge (Eingangsfolge) minimal zu machen. In anderen Fällen können sich die Forderungen auf die Größe S _y beziehen. In wiederum anderen Fällen kann sich die Kon struktionsanforderung auf die effektive Leistung irgendwo in der Mitte der kombinierten Filterkette beziehen, so daß es wünschenswert ist, sowohl S _x als auch S _y klein zu halten und für eine glatte Ausgewogenheit zwischen diesen Größen zu sorgen.

Ein verwandtes Problem ist der Aufbau von Folgen, deren Spektren Nullstellen haben, z. B. eine Nullstelle bei Nullfrequenz (Gleichstrom). Hier kann das Ziel sein, solche Folgen y(D) zu konstruieren, die n Bits je Probe darstellen können, die eine Nullstelle im Spektrum haben, die eine möglichst kleine Probenvarianz S _y haben, andererseits jedoch einen großen Wert des Quadrats der Hammingdistanz d ² _min zwischen möglichen y(D)-Folgen. Ein gemeinsames Nebenziel besteht darin, die Änderung der laufenden digitalen Summe (RDS) der y(D)-Folge ebenfalls begrenzt zu halten, und zwar aus Systemgründen. Da die RDS-Folge x(D) z. B. gleich x(D)/(1-D) ist und ihre Probenvarianz S _x ein Maß der RDS-Änderung ist, kann die vorliegende Erfindung auch auf die Konstruktion von Folgen mit spektralen Nullstellen angewandt werden.

Mehrere Prinzipien können angewandt werden, um die vorgenannten Ziele zu erreichen. Das erste Prinzip besteht darin, die Eingangs- oder RDS-Folge x(D) so aufzubauen, daß die Ausgangs- oder PRC-Folge x(D), wenn man N Werte auf einmal nimmt, eine Folge von Punkten in einem N-dimensionalen Signalraum (sogenannte "N-dimensionale Signalpunkte") ist, die zu Untermengen einer N-dimensionalen Konstellation gehören, welche durch einen bekannten N-dimensionalen Trellis-Code bestimmt ist. Dann wird das Quadrat der Hammingdistanz d ² _min zwischen PRC-Folgen mindestens gleich dem d ² _min-Wert sein, der durch den Trellis-Code garantiert ist. Außerdem kann eine Schätzeinrichtung für die Folge höchster Wahr scheinlichkeit im Trellis-Code leicht zur Verwendung im vorliegenden System angepaßt werden und wird, wenn vielleicht auch nicht optimal, denselben effektiven d ² _min-Wert für im wesentlichen dieselbe Kompliziertheit der Decodierung erzielen wie im Falle desselben Trellis-Codes in einem System ohne Partialcharakteristik.

Eine beispielgebende Ausführungsform der vorliegenden Erfindung stützt sich auf einen Trellis-Code mit acht Zuständen und zwei Dimensionen, ähnlich dem Ungerboeck-Code, wie er in der weiter oben zitierten Arbeit beschrieben wurde. Der hier behandelte Code benutzt eine zweidimensio nale Konstellation mit 128 Punkten, um 6 Bits pro (zwei dimensionales) Signal zu senden. (Dies ist auch ähnlich dem Code, der in der CCITT-Empfehlung V.33 für ein Daten-Modem mit 14,4 KBit/s zu benutzen ist.) Die Fig. 2 zeigt den Codierer 20 für diesen Code. Für jedes 6-Bit-Symbol 21, das aus einer Datenquelle 23 geliefert wird, gelangen zwei der sechs Eingangsbits des Codierers 20 in einen konvolutionellen Codierer 22, der mit der Rate 2/3 arbeitet und somit acht Zustände hat. Die drei Ausgangsbits dieses Codierers werden in einem Untermengen-Wähler 22 verwendet, um ein von acht Untermengen einer aus 128 Punkten bestehenden Signalkonstellation auszuwählen, die in Fig. 3 dargestellt ist; jede Untermenge hat also 16 Punkte (Punkte in den acht Untermengen sind mit jeweils einem der acht Buchstaben A bis H bezeichnet). Die übrigen vier "uncodierten Bits" 26 (Fig. 2) werden in einem Signalpunkt-Wähler 28 verwendet, um aus der gewählten Untermenge den (zweidimensionalen) Signalpunkt auszuwählen, der gesendet werden soll. Der Code liefert in d ² _min eine Verstärkung entsprechend dem Faktor 5 (also 7 dB) gegenüber einem uncodierten System, jedoch gehen etwa 3 dB dadurch verloren, daß eine Konstellation mit 128 Punkten anstatt mit 64 Punkten verwendet wird, so daß die re sultierende Codierverstärkung etwa gleich 4 dB ist.

Eindimensionale Form des zweidimensionalen Ungerboeck-Codes

Die Folge der über den Kanal gesendeten Symbole x _k ist ein dimensional in einem Basisbandsystem mit (1-D)-Partialcharakteristik. Es ist daher hilfreich (wenn auch nicht erforderlich), bekannte Trellis-Codes in eindimensionale Form zu transformieren. Diese Transformation hat zwei Aspekte: erstens Charakterisierung der zweidimensionalen Untermengen als Zusammensetzungen aus eindimensionalen Bestandteils- Untermengen und zweitens Charakterisierung der endlichen zweidimensionalen Konstellation als eine Zusammensetzung eindimensionaler Bestandteils-Konstellationen. Es soll nun gezeigt werden, wie diese Zerlegung für das Beispiel des zweidimensionalen Ungerboeck-Codes geschieht, und dann sei gezeigt, wie dies im allgemeinen Fall eines N-dimensionalen Trellis-Codes erfolgen kann.

Der erste Schritt ist die Feststellung, daß jede der acht zweidimensionalen Untermengen A, B, . . . als die Vereinigung zweier kleinerer zweidimensionaler Untermengen angesehen werden kann, nämlich A₀ und A₁, B₀ und B₁, usw., wobei jede der 16 kleineren Untermengen wie folgt charakterisiert werden kann: Die möglichen Werte einer jeden Koordinate eines Signalpunktes seien in vier Klassen a, b, c, d eingeteilt; jede der kleineren zweidimensionalen Untermengen besteht dann aus Punkten, deren beide Koordinaten in einem jeweils vorgeschriebenen Paar von Klassen sind. Einen bequemen mathematischen Ausdruck für diese Zerlegung erhält man, wenn man die Fig. 3 so einteilt, daß Signalpunkte um eine Einheit in jeder Dimension beabstandet sind (und die Koordinaten eines jeden Punktes halbe ganze Zahlen sind); dann sind die Klassen a, b, c, d Äquivalenzklassen (modulo 4), und jede der 16 Mengen A₀, A₁, B₀, . . . sind die Punkte, deren beide Koordinaten kongruent mit einem gegebenen Paar (x, y) modulo 4 sind, wobei x und y jeweils einen der vier Werte {a, b, c, d } annehmen können, z. B. {±1/2, ±3/2}. Diese vier Werte werden als (eindimensionale) "Nebengruppen-Darsteller" bezeichnet. Die Punkte der Konstellation nach Fig. 3 sind zusätzlich mit Indexziffern 0 und 1 bezeichnet, um eine mögliche Anordnung der 16 Untermengen zu zeigen. So hat z. B. der G₀-Punkt 29 Koordinaten x=5/2, y=9/2, und seine Nebengruppen-Darsteller sind (5/2, 9/2) modulo 4 oder (-3/2, 1/2).

Die Fig. 2 kann nun in folgender Weise modifiziert werden. Gemäß der Fig. 4 werden die drei Ausgangsbits des Codierers 22 plus eines der uncodierten Bits 30 als Eingangsgrößen für den Untermengen-Wähler 32 verwendet, der eine der 16 Untermengen aufgrund der vier Eingangsbits auswählt, wobei das uncodierte Bit 30 die Auswahl zwischen A₀ und A₁ oder B₀ und B₁, usw. trifft, je nachdem, welche der ursprünglichen acht Untermengen durch die drei konvolutionell codierten Ausgangsbits des Codierers 22 ausgewählt werden. Im Effekt stellen der Codierer 22 und das Bit 30 einen Acht- Zustands-Codierer mit der Rate 3/4 dar, wobei der Ausgang eine der 16 Untermengen auswählt, obwohl sich die Menge der möglichen Signalpunktfolgen nicht geändert hat. Als nächstes wird jede der 16 kleineren Untermengen durch ein Paar eindimensionaler Nebengruppen-Darsteller 34 bestimmt, einer für jede Koordinate, wobei jeder Neben gruppen-Darsteller c _k einen von vier Werten annehmen kann. Das Paar der Nebengruppen-Darsteller sei mit (c _1k, c _2k) bezeichnet.

Es ist ein Aspekt der vorliegenden Erfindung, daß alle die weiter oben genannten guten Codes, d. h. die Codes von Ungerboeck, Gallager, Wei und Calderbank und Sloane, in derselben Weise transformiert werden können. Das heißt, jeder dieser N-dimensionalen Trellis-Codes kann durch einen Codierer erzeugt werden, der eine von 4^N Untermengen auswählt, wobei die Untermengen durch N vierwertige eindimensionale Nebengruppen-Darsteller bestimmt werden, entsprechend Kongruenzklassen jeder Koordinate (modulo 4). In manchen Fällen ist es lediglich notwendig, 2^N Untermengen zu verwenden, die durch N zweiwertige eindimensionale Nebengruppen-Darsteller (z. B. {±1/2}) bestimmt werden, entsprechend Kongruenzklassen jeder Koordinate (modulo 2); dies gilt z. B. für den Vier-Zustands-2D-Code nach Ungerboeck, den 8-Zustands-4D-Code nach Gallager (und den ähnlichen Code nach Calderbank und Sloane), ferner den 16- Zustands-4D-Code und den 64-Zustands-8D-Code nach Wei usw. Außerdem wurde gefunden, daß auch viele gute Lattice-Codes in der beschriebenen Weise transformiert werden können; so lassen sich z. B. der Lattice-D 4-Code nach Schäfli und der Lattice-E₈-Code nach Gosset darstellen durch Folgen von vier oder acht zweiwertigen eindimensionalen Nebengruppen- Darstellern (modulo 2), und die Lattice-Codes Λ₁₆ und Λ₃₂ nach Barnes-Wall, sowie der Lattice-Code Λ₂₄ nach Leech können durch vierwertige eindimensionale Neben gruppen-Darsteller (modulo 4) dargestellt werden.

Eine allgemeine Form eines Codierers für alle diese Codes ist in Fig. 5 gezeigt. Der Codierer ist N-dimensional und bearbeitet jeweils N Signale, die über den Kanal zu senden sind, auf einmal. Bei jeder Operation gelangen p Bits in einen Binärcodierer C 33 und werden in p + r codierte Bits verschlüsselt. Diese codierten Bits wählen (im Wähler 35) eine von 2^p+r Untermengen einer N-dimensionalen Signal konstellation aus (die Untermengen entsprechen den 2^p+r Nebengruppen eines Untergitters Λ′ und eines N-dimensionalen Gitters Λ, wobei die Konstellation eine endliche Menge von 2^n+r Punkten einer Parallelverschiebung des Gitters Λ ist, so daß jede Untermenge 2^n-p Punkte enthält). Weitere n-p uncodierte Bits wählen (im Wähler 37) einen Signalpunkt aus der gewählten Untermenge. Somit sendet der Code n Bits für jedes N-dimensionale Symbol, unter Verwendung einer Konstellation von 2^n+r N-dimensionalen Signalpunkten. Der Codierer C und die Lattice-Unterteilung (Gitterunterteilung) Λ/Λ′ gewährleisten einen bestimmten Wert für das Quadrat der Mindestdistanz d ²_min zwischen zwei beliebigen Signalpunktfolgen, die zu einer Untermenge möglicher Folgen gehören.

Die oben erwähnte Erkenntnis (über die Transformierbarkeit aller guten Codes) ist das Resultat der mathematischen Erkenntnis, daß für alle genannten guten Trellis- und Lattice-Codes das Gitter (Lattice) 4Z ^N von N-tupeln ganzzahliger Vielfacher von 4 ein Untergitter des Gitters Λ′ ist (und in manchen Fällen ist es 2Z ^N). Dann ist für irgendeine ganze Zahl q das Gitter Λ′ die Vereinigung von 2^q Nebengruppen von 4Z ^N in Λ′. Der praktische Effekt dieser Erkenntnis besteht darin, daß man unter der Voraussetzung n q+p die p+r codierten Bits plus q uncodierte Bits in einen Untermengen-Wähler nehmen kann, der eine von 2^q+p+r Nebengruppen von 4Z ^N in Λ auswählt, und daß ferner diese Nebengruppen durch eine Folge von N vierwertigen eindimensionalen Nebengruppen-Darstellern (c _1k, c _2k, . . ., c _Nk) identifiziert werden können, wobei c _jk ganzzahlig beabstandete Äquivalenzklassen (modulo 4) repräsentieren. So kann bereits die Fig. 5 modifiziert werden, wie es die Fig. 6 zeigt. Bei dieser Modifikation sei angenommen, daß die aus 2^n+r Punkten bestehende Signalkonstellation gleichmäßig in 2^q+p+r Untermengen geteilt werden kann, deren jede die gleiche Anzahl von Signalpunkten enthält (2^n-q-p).

Die als Beispiel genommene Ausführungsform des Ungerboeck-Codes ist ein Code, bei welchem N=2, Λ=Z ², Λ′=2RZ ², p=2, p+r=3, q=1 und n=6 ist.

Der zweite Schritt besteht darin, die Konstellation in vier eindimensionale Bestandteils-Konstellationen aufzuspalten. Für die Konstellation nach Fig. 3 kann jede Koordinate einen von 12 Werten annehmen, die sich in acht "innere Punkte" (z. B. {±1/2, ±3/2, ±5/2, ±7/2}) und vier "äußere Punkte" (z. B. {±9/2, ±11/2}) gruppieren lassen, wie mit der Umgrenzungslinie 31 in Fig. 3 angedeutet. Es gibt jeweils zwei innere Punkte und einen äußeren Punkt in jeder der vier eindimensionalen Äquivalenzklassen (z. B. enthält die Klasse, deren Nebengruppen-Darsteller +1/2 ist, die beiden inneren Punkte +1/2 und -7/2 und den äußeren Punkt 9/2, weil diese drei Punkte kongruent mit +1/2 (modulo 4) sind). Bei gegebenem Nebengruppen-Darsteller ist es daher nur notwendig, anzugeben, ob ein Punkt ein innerer oder ein äußerer Punkt ist und, falls es ein innerer Punkt ist, um welchen der beiden inneren Punkte es sich handelt. Dies kann mit zwei Bits geschehen, nämlich einem Bit b _1k für die Angabe, ob innerer oder äußerer Punkt, und ein Bit b _2k für die Angabe, welcher innere Punkt (eine andere Möglichkeit ist die Verwendung eines dreiwertigen Parameters a _k).

Man kann sagen, daß das Paar (b _1k, b _2k) ein bereichsiden tifizierender Parameter a _k ist, der einen von drei Werten annehmen kann, um die folgenden drei Bereiche anzuzeigen:

a) von 0 bis 4 (innerer Punkt, positiv);
b) von -4 bis 0 (innerer Punkt, negativ);
c) von -6 bis -4 und von 4 bis 6 (äußerer Punkt).

Die Tatsache, daß jeder Bereich einen Teil der reellen Linie mit der Gesamtbreite 4 umfaßt, welcher exakt einen Punkt enthält, der mit irgendeiner reellen Zahl (modulo 4) kongruent ist, bedeutet, daß der bereichsidentifizierende Parameter a _k plus dem Nebengruppen-Darsteller c _k einen eindeutigen Signalpunkt für jeden beliebigen Wert von c _k eindeutig bestimmt.

Der Signalpunkt-Wähler 36 nach Fig. 4 kann dann auf folgende Weise zerlegt werden. Gemäß der Fig. 7 gelangen drei uncodierte Bits 40 in ein Element 42 zur Wahl des bereichs identifizierenden Parameters für jedes Paar von Koordinaten. Ein uncodiertes Bit bestimmt, ob irgendein äußerer Punkt gesendet wird. Falls ja, bestimmt ein zweites Bit, welche Koordinate den äußeren Punkt enthält, und das dritte Bit wählt aus, welcher innere Punkt die andere Koordinate hat. Falls kein äußerer Punkt gesendet wird, sind beide Koordinaten innere Punkte, und das zweite und das dritte Bit wählen aus, welcher innere Punkt in jeder Koordinate ist. Das Element 42 bildet also die drei uncodierten Eingangsbits 40 in zwei Paare von Ausgangsbits 44 ab, nämlich a₁= (b₁₁, b₁₂) und a₂=(b₂₁, b₂₂), wobei jedes Bitpaar dazu verwendet wird, eine Koordinate in Verbindung mit dem entsprechenden Nebengruppen-Darsteller c₁ oder c₂ zu bestimmen, wobei diese Darsteller vom Wähler 46 erzeugt werden. Somit ist der ganze Codierer auf eine Form reduziert, in welcher jede Koordinate x _k (48) durch 4 Bits ausgewählt wird (in einem Koordinatenwähler 50), wobei 2 Bits den Darsteller c _k und 2 Bits den Parameter a _k=(b _1k, b _2k) darstellen.

Alle Konstellationen, die üblicherweise mit den weiter oben genannten Codes verwendet werden, lassen sich auf diese Weise zerlegen. Die Prinzipien sind ähnlich, wie sie in der US-Patentschrift 45 97 090 und in der oben genannten Arbeit von Forney u. a. "Efficient Modulation . . ." beschrieben sind und gemäß denen N-dimensionale Konstellationen aus zweidimensionalen Bestandteils-Konstellationen aufgebaut werden. Ein ähnlicher Aufbau aus zweidimensionalen Bestandteils-Konstellationen wurde von Wei in Verbindung mit Trellis-Codes benutzt (vgl. die weiter oben genannte US-Patentanmeldung von Wei).

Die allgemeine Form eines Codierers für N-dimensionale Codes ist in der Fig. 8 gezeigt. Für jeweils alle N Koordinaten treten p Bits 51 in einen Codierer 52, und p+r codierte Bits 54 werden erzeugt; diese Bits plus q uncodierte Bits 56 gelangen zu einem Wähler 58, der eine Folge von N Nebengruppen-Darstellern c _k (60) auswählt; die übrigen n-p-q uncodierten Bits 62 werden (in einem Wähler 64) in eine Folge bereichsidentifizierender Parameter a _k (66) transformiert, die gemeinsam mit c _k (in einem Signalpunkt-Wähler 68) eine Folge von N Signalpunktwerten x _k (70) bestimmen, und zwar mit Hilfe einer Signalpunkt- Wählfunktion f (c _k, a _k), die auf einer eindimensionalen Basis arbeitet. Im allgemeinen bestimmt der bereichsiden tifizierende Parameter a _k eine Untermenge der reellen Linie (eindimensionale Konstellation) mit der Breite (Maß) 4, die exakt ein Element enthält, das kongruent mit irgendeinem möglichen c _k-Wert (modulo 4) ist, und die Funktion f (c _k, a _k) wählt dieses Element aus. Für alle genannten Codes kann das Alphabet der Nebengruppen-Darsteller als vier ganzzahlig beabstandete Werte (modulo 4) genommen werden; für manche Codes kann das Alphabet der Nebengruppen-Darsteller als zwei ganzzahlig beabstandete Werte (modulo 2) genommen werden (im letztgenannten Fall haben die Bereiche die Breite 2). Das a _k-Alphabet ist so groß wie notwendig, um n Bits für jeweils N Koordinaten zu senden. Die von dieser Art Codierer gesendeten Signalpunktfolgen sind im allgemeinen die gleichen wie die Folgen im ursprünglichen Code, insbesondere ist bei ihnen das Quadrat der Hammingdistanz d ² _min das gleiche wie beim ur sprünglichen Code.

Nebengruppen-Vorcodierung

Die von bekannten guten Trellis-Codes erzeugten Folgen N- dimensionaler Signalpunkte können, wenn sie in die Form einer Serie eindimensionaler Signalpunkte gebracht sind, im allgemeinen nicht als Eingänge für den eine Partial charakteristik aufweisenden Kanal nach Fig. 1 verwendet werden, ohne den d ² _min-Wert zu verschlechtern (wegen In tersymbolstörung). Jedoch erlaubt es eine Technik, die hier als "Nebengruppen-Vorcodierung" bezeichnet wird, diese bekannten Codes für Systeme mit Partialcharakteristik herzurichten, ohne daß S _x vergrößert oder d ² _min verschlechtert wird. Diese Technik ist allgemein in der Fig. 9 ver anschaulicht.

Es kann der gleiche konvolutionelle Codierer (Faltungscodierer) 52 benutzt werden, wie er beim bekannten Trellis-Code verwendet wird, vorzugsweise in der Form nach Fig. 8. Die p+r codierten Ausgangsbits 54 wählen jedoch eine Untermenge nicht direkt, sondern werden (wie im Falle der Fig. 8) in einem Untermengen-Wähler/Serienbildner 70 in eine Folge c _k aus N eindimensionalen Nebengruppen-Darstellern c₁, . . ., c _N umgewandelt, entsprechend der Unter menge, die in einem System ohne Partialcharakteristik gewählt würde. Diese Nebengruppen-Darsteller werden dann "vorcodiert" (in einem Vorcodierer 72), um eine alternative (oder "vorcodierte") Folge c _k′ von Nebengruppen-Darstellern (74) zu erhalten, wobei

c _k′ = c _k-1′ + c _k (modulo 4)

(in Fällen, wo es möglich ist, modulo-2-Nebengruppendarsteller zu verwenden, kann diese Vorcodierung mit modulo 2 geschehen). Somit ist die vorcodierte Folge 74 von Neben gruppen-Darstellern eine laufende digitale Summe modulo 4 (oder 2) der gewöhnlichen Folge von Nebengruppen-Darstellern. Die vorcodierten Nebengruppen-Darsteller c _k′ können dann in einem Gruppierer 75 zu Gruppen von jeweils N Exemplaren zusammengefaßt werden, um eine N-dimensionale Untermenge festzulegen (in einem Signalpunkt-Wähler/Serienbildner 76); dann kann ein Signalpunkt in der üblichen Weise ausgewählt werden (auf der Grundlage der uncodierten Bits 78), und der resultierende Signalpunkt kann als Folge x(D) von N eindimensionalen Signalen x _k über den die Partialcharakteristik aufweisenden Kanal gesendet werden (in der gleichen Reihenfolge, wie sie vorcodiert wurden).

Wenn die Darsteller c _k halbe ganze Zahlen sind, dann wechseln die Darsteller c _k′ zwischen zwei Mengen von vier Werten, wobei die eine Menge gegenüber der anderen Menge um 1/2 versetzt ist. Dies hat nur eine unbedeutende Wirkung; man kann z. B. abwechselnde Koordination x _k um die Weite +1/4 und -1/4 hin und her "zittern" lassen, um dieser Periodizität Rechnung zu tragen. Alternativ kann man auch das c _k-Alphabet bei ganzzahligen Werten lassen, z. B. {0, 1, 2, 3}, dann sind die Darsteller c _k′ immer aus demselben Alphabet, z. B. {±1/2, ±3/2}. Diese Versetzungen von c _k′ oder c _k beeinträchtigen den d ² _min-Wert des Codes nicht.

Falls der Codierer die Form nach Fig. 8 hat, kann die Fig. 9 in die Form der Fig. 10 gebracht werden, wo die gleichen Blöcke jeweils gleiche Dinge tun. Da f (c _k, a _k) als eine Funktion charakterisiert worden ist, die das einzige mit c _k kongruente Element in einem durch a _k identifizierten Bereich auswählt, macht es nichts, wenn die Vorcodierung das c _k′-Alphabet aus dem c _k-Alphabet ändert; im Prinzip ist die modulo-4-Operation im Vorcodierer eigentlich un nötig, wenn sie auch in der Praxis möglicherweise Nutzen bringt.

Anhand der Fig. 9 oder der Fig. 10 kann gezeigt werden, daß die PRC-Folge y _k=x _k-x _k-1 Elemente hat, die kon gruent mit c _k (modulo 4) sind, so daß sie in die Untermengen des ursprünglichen Trellis-Codes fallen und daher mindestens den gleichen d ² _min-Wert haben. Die RDS-Folge x _k hat die gleiche mittlere Energie S _x wie im ursprünglichen Trellis-Code, falls das c _k′-Alphabet das gleiche wie das c _k-Alphabet ist; selbst ohne diese Voraussetzung besteht immer noch annähernde Gleichheit. (Beim Ausführungs beispiel ist die mittlere Energie pro Koordinate gleich 10,25, bei ganzzahlig beabstandeten Signalen.) Wenn c _k ganze Zahlen sind, dann sind die Teile x _k unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariable, so daß

a) S _y=2S _x;
b) das Spektrum der RDS-Folge {x _k} innerhalb des Nyquist-Bandes eben oder flache ist ("weißes" Spektrum);
c) das Spektrum der PRC-Folge {y _k} dasselbe ist wie das Spektrum des Kanals mit Partialcharak teristik.

Selbst wenn c _k nicht ganze Zahlen sind, gelten die vorstehenden Feststellungen immer noch annähernd.

Die Nebengruppen-Vorcodierung kann für andere Arten von Systemen mit Partialcharakteristik in der folgenden Weise modifiziert werden. Für ein System mit einer (1+D)-Par tialcharakteristik (eindimensionale Partialcharakteristik) werde das gleiche System verwendet, nur daß c _k-1′ im Vor codierer 72 subtrahiert anstatt addiert wird, so daß c _k′=c _k-c _k-1′ (modulo 4) ist. Für ein (1-D ^L )-System werde das Verzögerungselement D durch ein Verzögerungselement D ^L ersetzt, so daß c _k′=c _k-L′+c _k. Für ein zweidimensionales (1+D)-System werden zwei (1+D)-Vorcodierer in Parallelschaltung verwendet, deren Eingänge von zwei Ausgängen des Untermengen-Wählers/Serienbildners beauf schlagt werden und deren zwei Ausgänge den Realteil und den Imaginärteil (In-Phase-Komponente und Quadraturkom ponente) des zu sendenden zweidimensionalen Signalpunktes bestimmen.

Rückkopplung der laufenden digitalen Summe (RDS-Rückkopplung)

Je nach Anwendung kann es zweckmäßig sein, die mittlere Energie S _y der PRC-Folge zu vermindern und dafür eine Erhöhung der mittleren Energie S _x der RDS-Folge in Kauf zu nehmen. Dies tendiert ebenfalls dahin, das PRC-Spektrum flacher zu machen, während im RDS-Spektrum der Gehalt niedriger Frequenzen angehoben wird. Justesen hat in seiner Arbeit "Information Rates and Power Spectra of Digital Codes" (IEEE Transactions on Information Theory, Band IT-28, 1982, Seiten 457-472) den Begriff einer "Grenzfrequenz" f₀ eingeführt, unterhalb welcher das PRC-Spektrum klein ist und oberhalb welcher es zu einem flachen Verlauf tendiert, und er hat nachgewiesen, daß f₀ angenähert werden kann durch f₀ ≃ (S _y/2S _x) f _N, wobei f _N die Frequenz der Nyquist-Bandenkante ist.

Eine allgemeine Methode zur Realisierung einer Kompromißlösung der vorstehenden Art unter Aufrechterhaltung des d ² _min-Wertes des Trellis-Codes in den PRC-Folgen besteht darin, den Codierer nach Fig. 9 oder Fig. 10 in nachstehender Weise zu erweitern.

Die PRC-Folge läßt sich aus der RDS-Folge errechnen; für den (1-D)-Kanal ist jedes PRC-Signal genau y _k=x _k-x _k-1. Gemäß der Fig. 11 kann man den Signalpunkt-Wähler 80 so arbeiten lassen, daß er jedes x _k auf x _k-1 gründet (durch Rückkopplung von x _k über ein Verzögerungselement 82), sowie auf den augenblicklichen vorcodierten Nebengruppen-Darsteller c _k′ und auf den bereichsidentifizierenden Parameter a _k, derart, daß große PRC-Werte y _k (errechnet in der Summierschaltung 84) vermieden werden. Solange die Signale x _k noch als kongruent mit c _k′ (modulo 4) gewählt werden, sind die Signale y _k kongruent mit c _k (modulo 4), und daher bleibt der d ² _min-Wert des Trellis-Codes gewahrt. (Obwohl der Gedanke darin besteht, den PRC-Wert y _k voraus zuberechnen, um ihn klein zu halten, ist es der vorherige RDS-Wert x _k-1, der in Wirklichkeit rückgekoppelt wird; daher wird dieser Vorgang hier als "RDS-Rückkopplung" be zeichnet.)

Für das Ausführungsbeispiel könnte dies in der nachfolgend beschriebenen Weise geschehen. Wie bereits erwähnt, kann die normale Wählfunktion f (c _k, a _k) des Wählers 80 charakterisiert werden durch die Aussage, daß die acht inneren Punkte die acht halben Werte ganzer Zahlen sind, die im Bereich von -4 bis +4 liegen, während die vier äußeren Punkte die vier halben Werte ganzer Zahlen sind, die im Bereich von -6 bis -4 und von +4 bis +6 liegen. Man kann nun den Bereich der inneren Punkte und den Bereich der äußeren Punkte als Funktion von x _k-1 ändern, solange der Bereich der inneren Punkte acht Signalpunkte umfaßt, und zwar zwei aus jeder Äquivalenzklasse, während der Bereich äußerer Punkte vier Signalpunkte umfaßt, jeweils einen aus jeder Äquivalenzklasse.

Ein allgemeiner Weg zur Realisierung dieses Gedankens besteht darin, alle Bereiche durch eine Verschiebungsvariable R (x _k-1), die eine Funktion von x _k-1 ist, zu verschieben. Das heißt, beim hier behandelten Ausführungsbeispiel wird der Bereich der inneren Punkte so modifiziert, daß er sich von -4+R (x _k-1) bis 4+R (x _k-1) erstreckt, und der Bereich äußerer Punkte wird so modifiziert, daß er sich von -6+R (x _k-1) bis -4+R (x _k-1) und von 4+R (x _k-1) bis 6+R (x _k-1) erstreckt.

Die Funktion R (x _k-1) sollte mit wachsendem x _k-1 allgemein ansteigen, um auf diese Weise das y _k zu vermindern. Es konnte nachgewiesen werden, daß die optimale Wahl für diese Funktion R (x _k-1) = β x _k-1 ist, wobei β ein Parameter im Bereich 0β<1 ist. Im Falle β=0 verschwindet die RDS-Rückkopplung über das Element 82, und die Codierung in Fig. 11 reduziert sich auf die Nebengruppen-Vorcodierung, wie sie gemäß Fig. 10 erfolgt. Bezeichnet man mit S₀ den Wert von S _x im gewöhnlichen Fall β=0, dann gilt mit der vorstehenden Wahl annähernd folgendes:

a) S _x = S₀/(1-β ²);
b) S _y = 2S₀/(1+β );
c) das Spektrum S _x (f) der RDS-Folge ist proportional zu 1/(1-2 β cos R + β ²), wobei R = π f/f _N;
d) das Spektrum S _y (f) der PRC-Folge ist proportional zu 2(1-cos R/1(1-2 β cos R + β ²); die "Grenz frequenz" f₀ ist (1-b)f _N;
e) die Signale x _k sind begrenzt auf den Bereich von -M/2(1+β) bis M/2(1-β), und die Signale y _k sind begrenzt auf den Bereich von -M bis M, falls sich der Bereich der Koordinaten im Originalcode von -M/2 bis M/2 erstreckt.

Wenn β auf 1 geht, geht S _y auf S₀, und S _y (f) nimmt die Gestalt eines flachen Spektrums mit einer scharfen Null stelle bei Gleichstrom an. Unterdessen wird S _x groß, und S _x (f) nähert sich einem 1/(1-D)-Spektrum an, nur daß es nahe Gleichstrom endlich bleibt. Es konnte auch nachgewiesen werden, daß dies der bestmögliche Kompromiß zwischen den Größen S _x, S _y und S₀ ist.

Die Fig. 12, 13 und 14 zeigen drei äquivalente Wege zur Erzeugung von x _k und/oder y _k auf der Grundlage von c _k, a _k und x _k-1. Die Fig. 12 entspricht noch am ehesten der Fig. 11.

In der Fig. 12 ist die Rückkopplungsvariable c′ _k-1 im Nebengruppen-Vorcodierer 72 durch x _k-1 ersetzt, weil c′ _k-1 ≡ x _k-1 (modulo 4), und nur der Wert von c′ _k (modulo 4) wird im Wähler 80 benutzt. R (a _k) bezeichnet den durch a _k identifizierten Bereich, und R (x _k-1) stellt die be reichsverschiebende Variable dar, welche durch die RDS- Rückkopplung eingeführt wird. Da y _k=x _k-x _k-1≡c′ _k -x _k-1 (modulo 4) und c′_k≡c _k+x _k-1 (modulo 4), gilt y _k≡c _k (modulo 4).

Die Codierer nach den Fig. 13 und 14 sind mathematisch äquivalent mit dem Codierer nach Fig. 12 in dem Sinne, daß sie die gleichen Mengen von Ausgangssignalen (x _k, y _k ) liefern, wenn sie mit dem gleichen Anfangswert x _k-1 beginnen und die gleiche Folge von Eingangssignalen (c _k, a _k ) empfangen. Im Falle der Fig. 13 wird für y _k das einzige Element gewählt, das kongruent mit c _k im Bereich R (a _k )+R (x _k-1 )-x _k-1 ist, und x _k wird bestimmt aus y _k gemäß der Beziehung x _k=y _k+x _k-1, so daß x _k≡c′_k≡c _k +x _k-1 (modulo 4); es ist das einzige Element im Bereich R (a _k )+R (x _k-1 ), das kongruent mit c′_k (modulo 4) ist. Im Falle der Fig. 14 wird als eine "Neuerungsvariable" i _k das einzige Element gewählt, welches kongruent mit c′′_k≡c _k+x _k-1≡-R (x _k-1) (modulo 4) im Bereich R (a _k ) ist, und x _k wird bestimmt aus i _k gemäß der Beziehung x _k=i _k+R (x _k-1), so daß x _k≡c′′_k+R (x _k-1)≡c _k′ (modulo 4), es ist das einzige Element im Bereich R (a _k ) + R (x _k-1), das kongruent mit c′_k (modulo 4) ist. Im Falle der Fig. 12 wird das Verzögerungselement im Vorcodierer mit dem für die RDS-Rückkopplung notwendigen Verzögerungselement kom biniert, und es ist sehr zweckmäßig, wenn x _k der gewünschte Ausgang ist und die Größen c′_k immer vom selben Alphabet sind, z. B. {±1/2, ±3/2}. Im Falle der Fig. 13 ist die Vorcodierung ganz weggelassen, und es ist sehr nützlich, wenn y _k der gewünschte Ausgang und die Werte c _k immer vom selben Alphabet kommen, z. B. {±1/2, ±3/2}. Im Falle der Fig. 14 wird die bereichsverschiebende Variable R (x _k-1) außerhalb des Wählers gewonnen, so daß die Werte für i _k immer aus demselben Bereich gewählt werden (die Vereinigung aller R (a _k )); die Neuerungsfolge i(D) ist angenähert eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen i _k (wobei die geringen Änderungen ignoriert seien, die durch den Zwang der Kongruenz bei c′_k eingeführt werden), und diese zusätzliche Hilfsfolge kann nützlich sein, wenn eine "weiße" (ein flaches Spektrum aufweisende) Folge gewünscht ist, die in deterministischer Beziehung zu x(D) oder y(D) steht.

Die Fig. 15, 16 und 17 zeigen drei äquivalente Filter anordnungen zur Verwendung mit den Folgen x(D), y(D) und i(D) nach den Fig. 12, 13 und 14. Im Falle der Fig. 15 wird die RDS-Folge x(D) in einem Sendefilter H _T (f) ge filtert, bevor sie (als Signal s(t)) über den tatsächlichen Kanal (nicht dargestellt) gesendet wird. Im Falle der Fig. 16 wird die PRC-Folge y(D) in einem Sendefilter H′_T (f) gefiltert, dessen Charakteristik äquivalent mit der Charakteristik einer Kaskade eines 1/(1-D)-Filters für abgetastete Daten und des Filters H _T (f) ist. Da y(D) bei Gleichstrom eine Nullstelle hat, spielt es keine Rolle, daß die Charakteristik des 1/(1-D)-Filters bei Gleichstrom unendlich ist (insbesondere wenn H _T (f) ebenfalls eine Nullstelle bei Gleichstrom hat). Im Falle der Fig. 17 wird die Neuerungssequenz i(D) in einem Sendefilter H′′_T (f) gefiltert, dessen Charakteristik äquivalent mit der Charakteristik einer Kaskade eines 1/(1-β D)-Filters für abgetastete Daten und des Filters H _T (f) ist. Dies ist äquivalent mit den Fig. 15 und 16, falls R (x _k-1)=β x _k-1; andernfalls ist das äquivalente Abtast wertfilter (Filter für abgetastete Daten) das Filter entsprechend der Funktion x _k=i _k+R(x _k-1), was im allgemeinen nicht-linear ist. Je nach H _T (f), R( x _k-1) und der zur Realisierung verwendeten Technologie kann die eine oder die andere dieser äquivalenten Formen vorzuziehen sein.

In der Praxis können gewisse Modifikationen der vorstehend beschriebenen, mit RDS-Rückkopplung arbeitenden Systeme wünschenswert sein. So kann es z. B. zweckmäßig sein, die Form der Bereiche R(a _k ) gegenüber denjenigen Formen zu ändern, die benutzt werden, wenn R( x _k-1)=0. Eine einfach zu realisierende Form der RDS-Rückkopplung ist z. B. folgende: wenn x _k-1 positiv ist, wird y _k wie üblich im Bereich von -4 bis +4 gewählt, falls a _k einen inneren Punkt anzeigt; zeigt a _k hingegen einen äußeren Punkt an, wird für y _k die Zahl genommen, die kongruent mit c _k im Bereich von -4 bis -8 ist. Wenn x _k-1 negativ ist, wird der Bereich von 4 bis 8 für äußere Punkte ver wendet. Es gilt dann folgendes:

a) der Bereich der PRC-Folge y _k ist begrenzt auf den Bereich von -7½ bis +7½, anstatt sich von -11 bis +11 zu erstrecken, wie im Falle fehlender RDS- Rückkopplung;
b) die Varianz S _y der PRC-Folge ist von 13,25 auf 20,5 reduziert, was einer Verminderung um 1,9 dB ent spricht und etwa 1,1 dB über S₀=10,25 liegt;
c) das Mittel von y _k ist gleich -3/2, falls x _k-1 positiv ist, und bei negativem x _k-1 ist es +3/2, so daß die RDS-Folge das Bestreben hat, in der Nach barschaft von Null zu bleiben. Während die genaue Berechnung von S _x schwierig ist, folgt aus E [y _k x _k-1]=S _y/2 und aus E [y _k x _k-1]=-(3/2) E [|x _k-1|], daß das Mittel des Absolutwertes von x _k gleich S _y/3=4,42 ist, so daß die RDS-Folge x _k ziemlich gut in Grenzen gehalten ist. (Ohne RDS-Rückkopplung ist das Mittel des Absolutwertes von x _k gleich 2,75.);
d) die Varianz von y _k bei gegebenem x _k-1 ist gleich S₀=11, also um etwa 0,3 dB höher als der ohne RDS- Rückkopplung mögliche Wert S₀=10,25. Der mindest mögliche Wert von S _x für den Fall S _y=13,25 und S₀=11 ist S _x≃19,5, was β ≃0,66 entspricht. Da S _x=S _{|x |} + E [|x |]² ist, muß S _x größer sein als (4,42)²≃19,5; so läßt sich mit dieser einfachen Methode weniger erreichen als der optimale Kompromiß der Spektren;
e) jedes mögliche y _k ist einem einzigen Paar (c _k, a _k ) zugeordnet. Wie weiter unten noch näher erläutert werden wird, heißt dies, daß ein Decodierer nicht einer geschätzten laufenden digitalen Summe der geschätzten PRC-Folge zu folgen braucht und daß es keine Fehlerfortpflanzung im Decodierer gibt.

Zusammenfassend gesagt liefert diese einfache Methode zwar nicht den besten Leistungs-Kompromiß zwischen S _x und S _y, sie begrenzt jedoch in wirksamer Weise nicht nur S _y, sondern auch die Spitzenwerte von y _k, hält die RDS-Folge x _k in recht guten Grenzen und vermeidet Fehlerfortpflanzung im Empfänger.

Die vorstehend beschriebenen Methoden erlauben also eine Kompromißbildung zwischen S _x und S _y über einen weiten Bereich. Die Kompromißmöglichkeit reicht vom uneingeschränkten Fall, daß die x _k-Folge unkorreliert ist, wobei S _x die gleiche Energie S₀ hat, wie sie notwendig ist, um n Bits pro Symbol in einem System ohne Partialcharakteristik zu senden, und wobei S _y=2S _x ist. Die Kompromiß möglichkeit reicht dann bis fast zu dem Fall, daß die y _k-Folge unkorreliert ist, wobei S _y=S₀ ist und S _x sehr groß wird. Diese Kompromisse sind möglich für alle oben angeführten Trellis- und Lattice-Codes.

Decodierung

Die vorstehend beschriebenen Methoden sind erfolgreich bei der Erzeugung von PRC-Folgen (Codefolgen mit Partial charakteristik), die zu einem bekannten guten Code gehören, und daher haben sie einen d ² _min-Wert, der mindestens so groß ist wie derjenige des Codes.

Gemäß der Fig. 18 ist daher ein geeigneter Detektor für die unter Rauschen empfangene PRC-Folge z(D) = y(D) + n(D) eine Einrichtung, welche die Folge maximaler Wahrscheinlichkeit für den bekannten guten Code schätzt (Viterbi-Algorithmus), und zwar in folgender Weise:

a) ein erster Schritt der Decodierung kann darin bestehen, für jeden rauschbehafteten empfangenen PRC-Wert z _k=y _k+n _k und dabei für jede der vier Klassen der reellen Zahlen, die kongruent mit den vier eindimensionalen Nebengruppen-Vertretern c _jk (modulo 4) sind, mit j=1, 2, 3, 4, das dem Wert z _k am nächsten kommende Element _jk zu finden, sowie dessen "Metrik" m _jk=( _jk-z _k ) ², also das Quadrat der Distanz von z _k (Block 92).
b) Bei einem Code, der sich auf eine N-dimensionale Lattice-Unterteilung Λ/Λ′ gründet, kann ein zweiter Schritt der Decodierung darin bestehen, für jede der 2^p+r Nebengruppen von Λ′ in Λ die besten (also die geringste Metrik aufweisenden) Exemplare derjenigen 2^q Nebengruppen von 4Z ^N zu finden, deren Vereinigung die betreffende Nebengruppe von Λ′ ist, indem die betreffenden Metriken der eindimensionalen Bestandteils-Metriken m _jk summiert werden und diese Summen verglichen werden (Block 94).
c) Die Decodierung kann dann in der üblichen Weise fortgeführt werden (Block 96), indem als Metrik für jede Nebengruppe von Λ′ die beste Metrik verwendet wird, wie sie beim Schritt b) bestimmt wurde. Der Decodierer erzeugt am Ende einen Schätzwert der Folge von Nebengruppen von Λ′, der in eine Folge geschätzter Nebengruppen-Darsteller _k abgebildet werden kann, die dann in die entsprechenden _k abgebildet werden, aus denen gewünschtenfalls die Originalwerte â _k und _k wiedergewonnen werden können (Block 98). Diese letzten Schritte erfordern es, daß der Decodierer Spur hält mit der laufenden digitalen Summe _k-1 der Schätzwerte _k.

Da die PRC-Folgen im bekannten Code verschlüsselt sind, ist die Fehlerwahrscheinlichkeit dieses Decodierers mindestens so "gut" wie diejenige des bekannten Codes, in dem Sinne, daß mindestens derselbe effektive d ² _min-Wert erreicht wird. Da die PRC-Folgen jedoch in Wirklichkeit nur eine Untermenge der Folgen des bekannten Codes sind, ist ein derartiger Codierer keine wirkliche Schätzeinrichtung zum Schätzen der Folge maximaler Wahrscheinlichkeit für die PRC-Folgen. Es kann daher gelegentlich vorkommen, daß eine Folge decodiert wird, die nicht eine legitime PRC-Folge ist. Legitime PRC-Folgen müssen den beiden nachstehenden zusätzlichen Bedingungen genügen:

a) eine legitime endliche PRC-Folge y(D) muß durch 1-D teilbar sein, d. h. die Summe ihrer Koordinaten muß gleich Null sein;
b) die Bereichsgrenzen, die durch den Signalpunkt-Wähler auferlegt werden, müssen für alle _k (oder äquivalent für alle _k oder _k ) genügen, basierend auf den rekonstruierten Werten der Elemente _k-1 der RDS-Folge.

Wenn der in Rede stehende Decodierer einen normalen De codierungsfehler macht, entsprechend einer kurzen Periode falscher Nebengruppen-Schätzwerte gefolgt von richtigen Nebengruppen-Schätzwerten, ist es möglich, daß die entsprechende endliche fehlerhafte PRC-Folge eine laufende Digitalsumme hat, die von Null verschieden ist. Dies wird einen anhaltenden Fehler in der geschätzten laufenden Digitalsumme _k-1 des Decodierers verursachen, was dazu führen kann, daß gelegentlich Fehler zurück in die Werte _k, â _k und _k abgebildet werden, selbst wenn die Nebengruppen _k korrekt sind. Diese Situation dauert so lange, wie der Fehler in der RDS-Schätzung anhält.

Der Decodierer muß daher ständig überwachen (Block 99), ob die Bereichsbedingungen in den rekonstruierten Werten _{< ;I 34210 00070 552 001000280000000200012000285913409900040 0002003805582 00004 34091TA<k} und _k eingehalten werden. Ist dies nicht der Fall, dann weiß der Decodierer, daß der von ihm geschätzte RDS- Wert _k-1 falsch ist und daß er diesen Wert um denjenigen Betrag nachstellen muß, der mindestens erforderlich ist, um die Bereichsbedingungen zu erfüllen, vorausgesetzt, daß die Nebengruppen-Folge _k korrekt ist. Mit der Wahr scheinlichkeit 1 wird dies letztendlich bei der Nachsyn chronisierung der geschätzten RDS auf den korrekten Wert erreicht, und die normale Decodierung kann wieder aufgenommen werden. Jedoch kann sich eine Fehlerfortpflanzung über eine beträchtliche Dauer ergeben.

Vermeidung von Fehlerfortpflanzung

Nachstehend sei eine allgemeine Methode angegeben, wie man Fehlerfortpflanzung im Empfänger vermeiden kann. Die Methode funktioniert am besten, wenn die Signalkonstellation aus allen Punkten im Λ innerhalb eines N-dimensionalen Kubus besteht, sie ist jedoch nicht auf diesen Fall beschränkt. Die Methode läßt sich ansehen als eine Ver allgemeinerung der Prinzipien früherer Formen von Vor codierung (modulo M) für die Verwendung mit codierten Folgen.

Die Grundidee besteht darin, daß jeder mögliche PRC-Wert y _k einem einzigen (c _k, a _k )-Wert entsprechen sollte, wenn der Code in eindimensionaler Form wie in Fig. 7 formuliert werden kann, oder, allgemeiner ausgedrückt, daß jede Gruppe von N y _k-Werten nicht nur einer einzigen Folge von N c _k-Werten entsprechen sollte, sondern außerdem einer einzigen Folge uncodierter Bits, falls ein allgemeiner N-dimensionaler Signalpunkt-Wähler wie in Fig. 6 verwendet wird. Dann ist die umgekehrte Abbildung von decodierten _k-Werten in codierte und uncodierte Bits unab hängig von der im Decodierer stattfindenden Schätzung der laufenden digitalen Summe, so daß

a) der Decodierer nicht der RDS zu folgen braucht (also keine notwendige Spurhaltung mit der RDS), und
b) keine Fehlerfortpflanzung stattfindet.

Somit kann in der Fig. 18 der Block 99 fortgelassen werden.

Die Fig. 19 veranschaulicht, wie dies geschehen kann, wenn sich der Code in eindimensionaler Form formulieren läßt, wie im Falle des vorliegenden Ausführungsbeispiels. Aus c _k und a _k wählt ein Signalpunkt-Wähler einen Wert s _k=f(c _k, a _k ), wie im Falle der Fig. 8. Beim Ausführungsbeispiel nimmt s _k einen von zwölf Werten an, welche die halben Werte der ganzen Zahlen im Bereich von -6 bis -6 sind. Allgemein gesagt wird s _k einen der Werte aus einem ganzzahlig beab standeten Alphabet innerhalb eines Bereichs der Breite M nehmen; dieser Bereich sei mit R₀ bezeichnet. Wie im Falle der Fig. 13 wird dann für y _k diejenige Zahl gewählt, die als einzige kongruent ist mit s _k (modulo M) im Bereich R₀+R(x _k-1)-x _k-1 der Breite M, wobei R(x _k-1) eine Ver schiebungsvariable bei der RDS-Rückkopplung ist und x _k-1 der vorhergehende RDS-Signalpunkt ist. Der augenblickliche RDS-Wert x _k wird berechnet als Größe y _k+x _k-1.

Die Fig. 20 und 21 veranschaulichen äquivalente Methoden der Erzeugung von x _k und/oder y _k aus der Folge s _k, so daß y _k≡s _k (modulo M) ist, analog zu den Fig. 12 und 14. Gemäß der Fig. 21 wird eine Neuerungsvariable i _k erzeugt, die mehr oder weniger "weiß" ist und gleichmäßig über den Bereich R₀ verteilt ist, so daß ihre Varianz S₀ annähernd M ²/12 ist. Somit gilt S₀≃12 für das Ausführungsbeispiel, also ein Nachteil von etwa 0,7 dB gegenüber dem Wert S₀ =10,25, der ohne RDS-Rückkopplung erreichbar ist. Wie im Falle der Fig. 12, 13 und 14 tragen alle drei Folgen x _k, y _k und i _k dieselbe Information, und wie im Falle der Fig. 15, 16 und 17 kann jede dieser Folgen als Eingangs signal für ein Filter verwendet werden, welches dem Spektrum die gewünschte Form für die Übertragung gibt.

Der Nachteil in der Neuerungsvarianz wird eliminiert, wenn die Original-Codekoordinaten gleichmäßig über einen Bereich R₀ verteilt sind, d. h. wenn die Original-Konstellation in den Grenzen eines N-dimensionalen Kubus mit der Seitenlänge R₀ liegt.

Als ein Ausführungsbeispiel mit einer quadratischen Konstellation sei derselbe zweidimensionale Ungerboeck- Codierer mit acht Zuständen wie im Falle der Fig. 2 verwendet, nur daß die aus 128 Punkten bestehende Konstellation nach Fig. 22 anstatt diejenigen nach Fig. 3 verwendet wird. Die Konstellation enthält jeden zweiten Punkt (also die "abwechselnden" Punkte) der herkömmlichen, 256 Punkte aufweisenden (16×16)-Konstellation, die Koordinaten haben also die 16 halben Ganzzahlwerte {±1/2, ±3/2, . . ., ±15/2}, jedoch mit der Einschränkung, daß die Summe der beiden Koordinaten eine gerade Zahl (0, modulo 2) sein muß. Das Quadrat der Mindestdistanz zwischen Signalpunkten ist somit gleich 2, anstatt gleich 1, und der d ² _min-Wert des Codes ist gleich 10, anstatt 5. Die Varianz jeder Koordinate ist nun 21,25, anstatt 10,25, was nach Berücksichtigung des Bemessungsfaktors 2 einen Verlust von 0,156 dB gegenüber der Konstellation nach Fig. 3 bedeutet, weil das Kreuz einem Kreis ähnlicher ist als das Quadrat. (In der Terminologie der Lattice-Codes gesprochen, wird nun die Achter-Gitterunterteilung [8-way Lattice partition] RZ ²/4Z ² verwendet, anstatt Z ²/2RZ ²).

Es sei angemerkt, daß nun jede der acht Untermengen einem einzigen Paar von Nebengruppen-Darstellern (c₁, c₂) modulo 4) entspricht, so daß c₁+c₂=0 (modulo 2). Daher bestimmen die drei codierten Bits nach Fig. 2 ein Paar von Nebengruppen-Darstellern direkt im Untermengen-Wähler 24, also nicht mit Hilfe eines uncodierten Bits, wie im Falle der Fig. 4. Die vier uncodierten Bits wählen dann einen der 16 Punkte in der gewählten Untermenge aus. In diesem Fall können von den uncodierten Bits einfach jeweils zwei auf einmal genommen werden, um einen der vier Bereiche -8 bis -4, -4 bis 0, 0 bis 4, oder 4 bis 8 zu bestimmen. Dies läßt sich einfach so ausdrücken, daß man jeden der bereichsidentifizierenden 2-Bit-Parameter (a₁, a₂) einen der vier Werte {±2, ±6} darstellen läßt; die Koordinaten Wählfunktion ist dann einfach s _k=f(c _k, a _k )=c _k+a _k. Es sei darauf hingewiesen, daß die möglichen Werte für s _k die 16 Halbwerte der ganzen Zahlen im Bereich R₀ von -8 bis 8 sind, der die Breite M=16 hat.

Es kann dann eine herkömmliche Vorcodierung modulo 16 erfolgen. Der gesamte Codierer ist in Fig. 23 dargestellt. Der RDS-Wert x _k ist die Summe s _k+x _k-1 (modulo 16). In diesem Fall sind die x _k-Werte im wesentlichen unabhängige, identisch verteilte (weiße) Zufallsvariable, und y _k=x _k-x _k-1≡s _k (modulo 16).

Um Kompromisse zwischen den Spektren mittels RDS-Rück kopplung wie im Falle der Fig. 12, 13 und 14 zu erzielen, soll s _k weiterhin die gewünschte Kongruenzklasse von y _k (modulo 16) darstellen, und R (x _k-1) soll eine RDS- Rückkopplungsvariable wie in den Fällen der Fig. 12, 13 und 14 sein, welche im Idealfall gleich β x _k-1 ist. Die Fig. 24, 25 und 26 zeigen dann drei äquivalente Methoden zur Erzeugung von Sequenzen x _k und/oder y _k=x _k-x _k-1 derart, daß y _k≡s _k (modulo 16) und daß S _x und S _y bei ge gebenem S₀=21,25 das gewünschte Kompromiß-Verhältnis zueinander haben. R₀ ist hier der Bereich von -8 bis 8.

In diesem Fall hat die Neuerungs-Variable i _k eine Varianz S₀≃16²/12=21,33, die im wesentlichen genauso groß wie die Varianz einer jeden Koordinate in Fig. 22 ist, so daß es keinen Nachteil von mehr als die 0,16-dB-Minderung gibt, die durch Verwendung der Fig. 22 anstelle der Fig. 3 entsteht.

Wie bereits erwähnt, muß der Decodierer nicht der RDS folgen, weil bei gegebener geschätzter PRC-Folge _k die Werte _k, â _k und schließlich die ursprüngliche Eingangs bitsequenz eindeutig bestimmt sind. Wenn der Decoder jedoch die Spur mit der geschätzten RDS und mit den entsprechenden Bereichen hält, in welche die _k-Werte fallen sollen, dann kann er das Auftreten eines Fehlers fühlen, im mer wenn das decodierte _k außerhalb des geschätzten Bereichs fällt. Selbst wenn sie nicht zur Fehlerkorrektur verwendet wird, kann eine solche Überwachung der Bereichs übertragung einen Schätzwert für die Fehlerrate des Decodierers liefern.

Erweiterte Decodierer

Eine echte Schätzeinrichtung für die Folge maximaler Wahr scheinlichkeit müßte den Gesamtzustand von Codierer und Kanal berücksichtigen, wozu im allgemeinen der Wert der RDS x _k-1 gehört (Kanalzustand), sowie der Zustand des Codierers C. Ein solcher Decodierer würde den wahren d ² _min-Wert der PRC-Folgen erzielen und wäre frei von Fehlerfortpflanzung. Da x _k-1 jedoch im allgemeinen eine große Anzahl von Werten annimmt, im Prinzip möglicherweise eine unendliche Anzahl bei RDS-Rückkopplung, wäre ein solcher Decoder kaum praktisch realisierbar. Außerdem wäre zur Erzielung des wahren d ² _min-Wertes eine im wesentlichen unendliche Decodierungsverzögerung notwendig, weil die Kombination von Code und Kanal quasi-katastrophal wird, wenn n groß ist, wie es ausführlicher weiter unten erläutert wird.

Es kann sich jedoch lohnen, den Codierer so zu erweitern daß zumindest der wahre d ² _min-Wert des Codes erzielt wird. Da alle endlichen PRC-Folgen durch 1-D teilbar sind, müssen alle Fehlerfolgen, die endliches Gewicht haben, ein gerades Gewicht aufweisen. Somit ist der wahre d ² _min-Wert stets gerade. Beim Ausführungsbeispiel ist der wahre d ² _min-Wert tatsächlich 6 und nicht 5.

Eine allgemeine Methode zur Erzielung des wahren d ² _min-Wertes in solchen Fällen, wobei die effektive Anzahl von Zuständen im Decoder lediglich verdoppelt wird, sieht so aus: der Decoder spaltet jeden Zustand des Codierers C in zwei auf, einen entsprechend einer geraden RDS und einen entsprechend einer ungeraden RDS. Während der Decodierung gehen dann zwei Folgen nur dann im selben Zustand auf, wenn ihre geschätzte RDS denselben Wert (modulo 2) hat. Somit wird es unmöglich, daß zwei Folgen aufgehen, die sich durch einen Fehler mit ungeradem Gewicht unter scheiden, so daß der effektiven d ² _min-Wert gleich dem Gewicht der Folge mit dem kleinsten gerade-gewichtigen Fehler im Originalcode ist. Ferner müßte ein Decodierungsfehler, der in der oben beschriebenen Weise zu einem anhaltenden Fehler in der geschätzten RDS führen sollte, mindestens das Gewicht 2 haben, so daß er früher gefühlt werden kann.

Es kann der Decoder nach Fig. 18 verwendet werden, nachdem man ihn lediglich so modifiziert hat, wie es in Fig. 27 gezeigt ist. Für die meisten Codes wird jede der Untermengen der Signalkonstellation (Nebengruppen von Λ′ in Λ) Punkte enthalten, bei denen allen die Summe ihrer Koordinaten geradzahlig oder ungeradzahlig ist. So enthalten z. B. in der Konstellation nach Fig. 3 vier der acht Untermengen Punkte, deren Koordinatensumme gleich 0 (modulo 2) ist, und vier Untermengen enthalten Punkte, deren Koordinatensumme gleich 1 (modulo 2) ist. Die Metrik jeder Untermenge (Nebengruppe von Λ′ ind Λ) läßt sich also in Blöcken 92 und 94 wie vorher bestimmen; die Schätzeinrichtung 196 für die Folge maximaler Wahrscheinlichkeit wird dann so modifiziert, daß sie die beste Folge von Nebengruppen findet, welche erstens im Code ist und zweitens eine laufende digitale Summe (RDS) kongruent mit 0 (modulo 2) hat. Die decodierte Nebengruppen-Folge wird im Block 98 wie vorher zurück in _k und _k abgebildet, nötigenfalls mit einer Justierung von _k-1 im Block 99 (die justierenden Änderungen erfolgen hier um Vielfache von 2).

Neben der Verdopplung des Raums der Decoderzustände hat diese Technik jedoch noch einen weiteren Nachteil. Es kann vorkommen, daß sich zwei Folgen um eine Fehlerfolge mit ungeradzahligem Gewicht unterscheiden, gefolgt von einer langen Kette von Nullen (keine Unterschiede). Der Decoder folgt dann über eine sehr lange Zeit parallelen Paaren von Zuständen im Trellis-Gitter des Decoders, ohne die Mehr deutigkeit aufzulösen. Dieses "quasi-katastrophale" Verhalten kann am Ende von der die Folge maximaler Wahrscheinlichkeit schätzenden Einrichtung nur unter einer Bereichs übertretung aufgelöst werden, wegen der unterschiedlichen RDS-Parität in den beiden Wegen. Somit kann die zur Erzielung des wahren d ² _min-Wertes erforderliche Decodierungs verzögerung sehr groß sein.

Aus diesem Grund wird es im allgemeinen vorzuziehen sein, einfach eine Codierer C mit der doppelten Anzahl von Zuständen zu nehmen und einen nicht-erweiterten Decodierer für C zu verwenden. Es gibt z. B. einen zweidimensionalen Ungerboeck-Code mit 16 Zuständen und d ² _min=6; obwohl dieser Code einen etwas größeren Fehlerkoeffizienten als der 8-Zustands-Code mit einem erweiterten 16-Zustands-Decodierer bringen kann, dürfte er in der Praxis vorteilhaft sein.

Es sei erwähnt, daß die aus dem zweidimensionalen 4-Zu stands-Code nach Ungerboeck gezogenen PRC-Folgen eben falls einen wahren d ² _min-Wert von 6 haben, da bei dem besagten Code d ² _min=4 ist, wobei die einzigen Fehlerfolgen des Gewichts 4 einzelne Koordinatenfehler der Größe 2 sind, die auch nicht durch 1-D teilbar sind. Ein 16-Zustands- Decodierer, der mit RDS modulo 4 Spur hält, kann diesen d ² _min-Wert erzielen. In diesem Fall ist jedoch nicht nur der Code quasi-katastrophal, sondern auch der Fehlerkoeffizient groß, so daß auch hier der gewöhnliche 16-Zustands- 2D-Code nach Ungerboeck vorzuziehen sein dürfte.

Quadratur-Systeme

Wie bereits oben angedeutet, kann ein System mit komplexer (oder Quadratur-) Partialcharakteristik (QPR-System) als (1+D)-Abtastwertfilter nachgebildet werden, das eine komplexe RDS-Folge x(D) verarbeitet, um eine komplexe PRC-Folge y(D) =(1+D) x(D) zu erzeugen; das heißt y _k= x _k+ x _k-1. Ein solches System führt, wenn es in Ver bindung mit einer Zweiseitenband-Quadraturamplitudenmodulation über einen Bandpaß-Kanal verwendet wird, zu Nullstellen an beiden Bandenkanten f _c±f _N, wobei f _c die Trä gerfrequenz und f _N =1/2T die Breite eines einzelnen Ny quistbandes ist.

Wenn N geradzahlig ist und 4Z ^N ein Untergitter von Λ′ ist, wie im Falle aller oben erwähnten guten Codes, dann kann man einen bekannten guten Code zur Verwendung in einem QPR-System herrichten, indem man im wesentlichen die gleichen Prinzipien wie oben anwendet. Eine Nebengruppe von 4Z ^N kann durch N/2 komplexe Nebengruppen-Darsteller c _k be stimmt werden, wobei die Nebengruppen-Darsteller jeweils einen von 16 möglichen Werten annehmen, entsprechend jeweils vier ganzzahlig-beabstandeten Werten (modulo 4) für den Realteil und für den Imaginärteil von c _k. Es gilt dann das allgemeine Bild der Fig. 8, nur daß der Nebengruppen- Wähler 58 und der den bereichsidentifizierenden Parameter auswählende Wähler 64 dann N/2 komplexe Nebengruppen-Darsteller c _k und bereichsidentifizierende Parameter a _k aus wählen und der Signalpunkt-Wähler einmal pro Quadratursignal wirkt und komplexe Signale x _k ausgibt. Die Neben gruppen-Vorcodierung erfolgt wie im Falle der Fig. 9 durch Bildung der komplexen vorcodierten Nebengruppe c ′_k≡ c _k - c ′_k-1 (modulo 4) einmal pro Quadratursymbol. Eine RDS- Rückkopplung geschieht wie im Falle der Fig. 11, 12 und 13 durch Verwendung einer Funktion R (a _k ), die einen Bereich des komplexen Raums der Fläche 16 identifiziert, welcher exakt ein Element aus jeder beliebigen Nebengruppe von 4Z ² enthält, und unter Verwendung einer kom plexen Verschiebungsvariablen R (x _k-1), die im Idealfall gleich β x _k-1 ist. In den Fällen, wo 2Z ² oder 2RZ ² ein Untergitter von Λ′ ist, läßt sich die Vorcodierung mit modulo 2 bzw. mit modulo 2+2i durchführen, und R (a _k ) kann einen Bereich der Fläche 4 oder 8 identifizieren, welcher exakt ein Element von jeder beliebigen Nebengruppe von 2Z ² bzw. 2RZ ² enthält.

Höherdimensionale Systeme

Bisher wurden Ausführungsformen behandelt, in denen die Koordinaten N-dimensionaler Symbole Signal für Signal (ein- oder zweidimensional) gebildet werden und wobei die Rückkopplung des jeweils vorhergehenden RDS-Wertes (laufende digitale Summe) x _k-1 Signal für Signal erfolgt. Vergleichbare Leistungsfähigkeit läßt sich mit Systemen erzielen, die Signale auf höherdimensionaler Basis auswählen. In solchen Systemen müssen die vorcodierten Neben gruppen-Darsteller wie in Fig. 9 gruppiert werden, und zwar so, daß sie Untermengen in der passenden Dimension auswählen, dann müssen Signalpunkte in dieser Dimension ausgewählt werden, und anschließend müssen die Koordinaten wieder in Serienform gebracht werden, um sie über den Kanal zu übertragen. Wenn die Reihenfolge der Nebengruppen aufrechterhalten wird, dann behält ein solches System die Eigenschaft, daß die PRC-Folgen aus dem gegebenen Code kommen und den spezifizierten d ² _min-Wert haben. In einem solchen System kann es natürlicher sein, die (RDS-)Rückkopplung auf einer höherdimensionalen Basis vorzunehmen, anstatt einzeln Signal für Signal.

N-dimensionale Codes

Obwohl die Darstellung von Codes in eindimensionaler Form zweckmäßig ist, muß eine solche Darstellung nicht sein.

Im nun folgenden Abschnitt soll gezeigt werden, wie Codes direkt in N-Dimensionen erzeugt werden können. In bestimmten Formen ist der N-dimensionale Code völlig äquivalent seinem eindimensionalen Gegenstück. In anderen Formen lassen sich vereinfachte Ausführungen erzielen.

Auch hier sei zur Veranschaulichung der zweidimensionale 8-Zustands-Code nach Ungerboeck wie im Falle der Fig. 2 verwendet, und zwar mit der zweidimensionalen 128-Punkte- Konstellation gemäß der Fig. 3. Es sei daran erinnert, daß in dieser Konstellation jede Koordinate Werte aus dem Alphabet der zwölf Halbwerte ganzer Zahlen im Bereich von -6 bis 6 annimmt; die zweidimensionale Konstellation benutzt 128 der 144 möglichen Paar-Kombinationen von Elementen dieses Alphabets.

Als erster Schritt sei die Signalkonstellation auf eine unendliche Anzahl von Werten erweitert, und zwar wie folgt. Die erweiterte Konstellation soll alle Paare von Zahlen enthalten, die kongruent mit irgendeinem Punkt in der ursprünglichen (Fig. 3) Konstellation modulo 12 sind. Somit bestehen die Punkte in der erweiterten Konstellation aus Paaren von Halbwerten ganzer Zahlen. Betrachtet man die ursprüngliche Konstellation als eine Zelle, die durch ein 12-mal-12-Quadrat 98 umgrenzt ist, dann besteht die erweiterte Konstellation aus der unendlichen Wiederholung dieser Zelle durch den gesamten zweidimensionalen Raum, wie es schematisch in Fig. 28 angedeutet ist. Es sei angemerkt, daß jede Zelle nur 128 der 144 möglichen Punkte enthält, es gibt 4-mal-4-"Löcher" 99 in der erweiterten Konstellation.

Die Schlüsseleigenschaft dieser erweiterten Konstellation 101 ist folgende: wenn man ein 12-mal-12-Quadrat irgendwo in der Ebene aufbringt (wobei die Seiten des Quadrats horizontal und vertikal orientiert seien), dann umschließt dieses Quadrat exakt 128 Punkte, wobei jeder der Punkte der ursprünglichen Konstellation kongruent mit einem der Punkte im Quadrat ist. Es gilt eine noch allgemeinere Feststellung: wenn man einen Rhombus 102 mit der horizontalen Breite 12 und der vertikalen Höhe 12 (vgl. Fig. 29) irgendwo in der Ebene aufbringt, umschließt auch er 128 Punkte, wobei jeder Punkt der ursprünglichen Konstellation kongruent mit einem dieser Punkte ist.

Gemäß der Fig. 30 erfolgt nun eine RDS-Rückkopplung auf zweidimensionaler Basis, wie folgt. Die Größe x _k-1 soll die laufende digitale Summe (RDS) aller derjenigen y _k darstellen, die vor dem augenblicklichen (zweidimensionalen) Symbol erschienen sind. Die Größe R (x _k-1) soll nun einen Bereich der Ebene bezeichnen, der einem 12-mal-12-Rhombus wie in Fig. 29 entspricht, wobei sowohl die Form als auch der Ort des Rhombus irgendmöglich von x _k-1 abhängt. (y _0,k, y _0,k+1) sollen denjenigen Punkt in der ur sprünglichen Konstellation bezeichnen, der durch die drei codierten Bits und die vier uncodierten Bits gemäß dem uneingeschränkten Code (Fig. 2) gewählt würde (in den Wählern 104, 105). Dann wird (im Wähler 106) mit (y _k, y _k+1) der einzige Punkt in der zweidimensionalen erweiterten Konstellation gewählt, der innerhalb des Bereichs R (x _k-1) liegt und kongruent mit (y _0,k, y _0,k+1) (modulo 12) ist; dies sind die beiden Koordinaten (y _k ). Man kann (x _k, x _k+1) aus x _k=y _k+x _k-1, x _k+1=y _k+1+x _k erhalten, wie ge zeigt.

Es läßt sich nun zeigen, daß das zweidimensionale System die gleichen Ausgangsgrößen erzeugen kann wie das weiter oben beschriebene eindimensionale System mit RDS-Rück kopplung (modulo 12), und zwar mit der optimalen eindimensionalen RDS-Rückkopplungsvariablen R (x _k-1)=b x _k-1. Gemäß der Fig. 31 wird in einer Dimension, bei gegebenem x _k-1 für y _k der einzige Wert im Bereich R₀+β x _k-1-x _k-1 gewählt, der kongruent ist mit s _k (modulo 2), wobei nun zu erkennen sei, daß s _k kongruent mit y _0,k. Somit kann an genommen werden, daß eine Koordinate des im zweidimensionalen System verwendeten Rhombus im selben Bereich der Breite 12 liegt. Bei gegebenem x _k-1 und y _k und daher auch mit x _k=y _k+x _k-1 wird für y _k+1 der einzige Wert im Be reich
R₀ - (1-β ) x _k = R₀ - (1-β ) y _k - (1-β ) x _k-1
gewählt, der kongruent ist mit s _k+1=y _0,k+1 (modulo 12). Somit liegt y _k+1 im Bereich R₀-(1-β ) x _k-1 (genauso wie y _k ), verschoben um -(1-β ) y _k.

Somit kann man durch passende Wahl des Rhombus mit einem zweidimensionalen System das gleiche Leistungsvermögen erzielen wie mit einem eindimensionalen (modulo 2) RDS- rückgekoppelten System. Man hat somit dieselben Vorteile, nämlich die Vermeidung von Fehlerfortpflanzung und die nahezu optimale Kompromißmöglichkeit zwischen S _x, S _y und S₀; man hat auch die gleichen Nachteile, nämlich die Erhöhung von S₀ auf 12 gegenüber dem ansonsten möglichen Wert von 10,25.

Man kann andere zweidimensionale RDS-Rückkopplungsvariable (Bereiche) wählen, um die Realisierung weiter zu vereinfachen und andere Vorteile zu erzielen, allerdings auf Kosten nicht-optimaler Leistungskompromisse. So erhält man z. B. ein System, das nahezu identisch mit dem weiter oben beschriebenen vereinfachten eindimensionalen System ist, wenn man für R (x _k-1) im Falle positiven Wertes von x _k-1 das Quadrat 120 mit der Seitenlänge 12 und seinem Zentrum bei (-2, -2) nimmt, und im Falle negativen Wertes von x _k-1 das Quadrat 122 mit seinem Zentrum bei (+2, +2). Wie schematisch in Fig. 32 veranschaulicht, wird also jeweils eine der beiden Konstellationen 124 und 126 be nutzt.

Wie beim zuvor beschriebenen eindimensionalen System werden innere Punkte immer aus derselben Menge gewählt, ohne Rücksicht auf x _k-1, jedoch werden äußere Punkte variierend gewählt, so daß y _k in einer positiven oder einer negativen Richtung "ausgelenkt" wird. Die Bereiche von y _k sind streng begrenzt von -7½ bis 7½. Faktisch ist dieses System identisch mit dem weiter oben beschriebenen vereinfachten System, nur daß y _k+1 auf der Basis von x _k-1 gewählt wird, anstatt auf der Basis x _k. In der Praxis sind alle Maße hinsichtlich des Leistungsvermögens und des Spektrums sehr ähnlich.

Eine andere Variante führt zu einem System, das verwandt mit Systemen des CLM-Typs ist (Systemtyp nach Calderbank, Lee und Mazo). Ein CLM-System verwendet eine erweiterte Signalkonstellation mit einer doppelt so hohen Anzahl von Signalpunkten wie gewöhnlich und einer Unterteilung in zwei disjunkte Konstellationen, von denen die eine benutzt wird, wenn x _k-1 positiv ist, und die andere, wenn x _k-1 negativ ist. Die Fig. 33 zeigt als Beispiel eine Konstellation in einem 16-mal-16-Quadrat, die in zwei disjunkte Konstellationen 110 und 112 mit jeweils 128 Punkten unterteilt ist, derart, daß sich jede dieser Konstellationen gleichmäßig in acht Untermengen zu jeweils 16 Punkten aufteilt. Eine Konstellation besteht aus Punkten, für welche die Summe ihrer Koordinaten positiv oder gleich Null ist, und wird verwendet, wenn x _k-1 negativ ist; die andere besteht aus Punkten, für welche die Koordinatensummen negativ oder gleich Null sind, und wird verwendet, wenn x _k-1 positiv ist. In zwei Dimensionen führt die Verdopplung der Konstellationsgröße zur Verdopplung von S _y, so daß nicht ein günstiger Leistungskompromiß erzielt wird; bei höheren Dimensionen jedoch ist der Nachteil, der sich durch Verwendung der beiden disjunkten Konstellationen ergibt, weniger groß.

Die vorstehenden Überlegungen lassen sich wie folgt auf N Dimensionen verallgemeinern. Wenn der Code wie im Falle der Fig. 8 eindimensional formuliert ist, unter Verwendung des modulos M, dann umgibt ein N-dimensionaler Kubus der Seitenlänge M die N-dimensionale Konstellation vollständig, und die resultierende Zelle kann vervielfältigt werden, um den N-dimensionalen Raum auszufüllen, ohne das Quadrat der Mindestdistanz zwischen Codefolgen, die kongruent mit den ursprünglichen Codefolgen modulo M sind, aufs Spiel zu setzen. Man kann dann eine N-dimensionale RDS-Rückkopplungsfunktion R (x _k-1) verwenden, wo für alle x _k-1 der Bereich R (x _k-1) ein Bereich des N-dimensionalen Raums mit dem Volumen M ^N ist, der exakt einen Punkt in jeder Äquivalenzklasse N-dimensionaler Vektoren modulo M enthält, in einem N-dimensionalen Analogen der Fig. 30.

Weitere Ausführungsformen liegen ebenfalls im Bereich der Patentansprüche.

Claims

1. Anordnung zur Erzeugung einer Folge digitaler Signale x _k und/oder einer Folge digitaler Signale y _k, mit k = 1, 2, . . ., so daß zwischen den x _k-Signalen und den y _k-Signalen die Beziehung y _k=x _k±x _k-L gilt, mit L einer ganzen Zahl, wobei die Signale y _k eine Folge in einem gegebenen Modulationscode ist, gekennzeichnet durch einen Codierer zum Auswählen von J Signalen aus den Signalen y _k, wobei J 1 ist und (y _k, y _k-1, . . . y _k+J-1) kongruent mit einer Folge von J Nebengruppen-Darstellern c _k (modulo M) ist und M eine ganze Zahl ist und die besagten Nebengruppen-Darsteller entsprechend dem gegebenen Modulationscode spezifiziert sind und wobei die J Symbole aus einer Konstellation einer Vielzahl von J-dimensionalen Konstellationen ausgewählt werden und wobei diese Wahl auf der Basis eines vorhergehenden x _k′ erfolgt, mit k′ < k, und wobei mindestens eine der besagten Konstellationen einen Punkt mit einer positiven Summe seiner Koordinaten und einen weiteren Punkt mit einer negativen Summe seiner Koordinaten enthält und wobei der Codierer so angeordnet ist, daß die Signale x _k endliche Varianz S _x haben.

2. Anordnung zur Erzeugung einer Folge digitaler Signale x _k und/oder einer Folge digitaler Signale y _k, mit k=1, 2, . . ., so daß zwischen den x _k-Signalen und den y _k-Signalen die Beziehung y _k=x _k±x _k-L besteht, wobei L eine ganze Zahl ist und die Signale y _k eine Folge in einem gegebenen Modulationscode ist, gekennzeichnet durch einen Codierer zum Auswählen der Signale x _k derart, daß sie kongruent mit einer Folge alternativer Nebengruppen-Darsteller c′_k (modulo M) sind, wobei: c′_k = c _k - c′_k-L
(modulo M), im Falle daß y _k = x _k + x _k-L′
c′_k = c _k + c′_k-L
(modulo M), im Falle daß y _k = x _k - x _k-L′c _k ein Nebengruppen-Darsteller ist, der entsprechend dem Modulationscode spezifiziert ist.

3. Anordnung zur Erzeugung einer Folge digitaler Signale x _k und/oder einer Folge digitaler Signale y _k, wobei k=1, 2, . . . ist und wobei n Bits pro Signal darstellbar sind, derart, daß zwischen x _k und y _k die Beziehung y _k=x _k±x _k-L besteht, wobei L eine ganze Zahl ist und die Signale x _k und y _k eine Varianz S _x bzw. S _y haben und wobei die Signale y _k in ein Alphabet möglicher y _k-Signale fallen, die innerhalb des Alphabets gleichmäßig um einen Abstand Δ beanstandet sind, gekennzeichnet durch einen Codierer, der bewirkt, daß die Folge y _k eine Varianz S _y von weniger als 2S _O hat und die Folge x _k eine Varianz S _x hat, die nicht viel größer als S ²_y/4 (S _y-S₀), wobei S₀ ungefähr die Sig nalleistung ist, die mindestens benötigt wird, um n Bits pro Signal mit einem Alphabet darzustellen, das die Abstände Δ hat.

4. Anordnung nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Folge y _k eine Folge in einem gegebenen Modulationscode ist.

5. Anordnung zur Erzeugung einer Folge digitaler Signale x _k und/oder einer Folge digitaler Signale y _k, wobei k=1, 2, . . . ist, so daß zwischen den Signalen x _k und den Signalen y _k die Beziehung y _k=x _k±x _k-L besteht, wobei L eine ganze Zahl ist und die Folgen der Signale x _k und y _k Varianzen von S _x und S _y haben, und wobei Symbole y _k eine Folge in einem gegebenen Modulationscode sind, gekennzeichnet durch einen Codierer, der bewirkt, daß die Signale x _k und y _k beliebig wählbare Varianzen S _x und S _y innerhalb vorbestimmter Bereiche haben.

6. Anordnung nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß die Signalfolgen n Bits pro Signal darstellen können und daß die Signale y _k in ein Alphabet möglicher y _k-Signale fallen, die gleichmäßig um ein Maß Δ beabstandet sind und daß Bereiche durch einen Parameter β gesteuert werden und daß S _x ungefähr gleich S₀/(1-β ²) ist und S _y ungefähr gleich 2S₀/(1+b ) ist, wobei S₀ ungefähr die Signalleistung ist, die mindestens benötigt wird, um n Bits pro Symbol in einem Alphabet, das die Abstände Δ hat, gemäß dem besagten Code darzustellen.

7. Anordnung zur Erzeugung einer Folge von Signalen in einem gegebenen N-dimensionalen Modulationscode durch Erzeugung einer Folge eindimensionaler Signale, wobei der Modulationscode auf einer N-dimensionalen Konstellation beruht, die in Untermengen aufgeteilt ist, welche dem Code zugeordnet sind und deren jede N-dimensionale Signalpunkte enthält, wobei die Wahl der Untermenge auf der Basis codierter Bits und uncodierter Bits der Signalpunkte erfolgt, gekennzeichnet durch einen Codierer, der für jedes N-dimensionale Symbol aus den codierten und uncodierten Bits eine Menge von N M-wertigen eindimensionalen Nebengruppen-Darstellern c _k entsprechend Kongruenzklassen einer jeden der N Koordinaten (modulo M) ableitet, wobei jeder Nebengruppen-Darsteller eine Untermenge eindimensionaler Werte in einer eindimensionalen Konstellation möglicher Koordinatenwerte für jede der N Dimensionen bezeichnet, wobei jedes der besagten eindimensionalen Signale in der Folge aus den möglichen Koordinationswerten auf der Basis uncodierter Bits ausgewählt wird.

8. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3 oder 5, gekennzeichnet durch einen Ausgang, wo die Folge y _k ausgegeben wird.

9. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3 oder 5, gekennzeichnet durch einen Ausgang, wo die Folge x _k ausgegeben wird.

10. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3 oder 5, dadurch gekennzeichnet daß L=1 ist.

11. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3 oder 5, dadurch gekennzeichnet daß die Beziehung zwischen den Signalen x _k und den Signalen y _k beschrieben ist durch y _k=x _k-x _k-L′ wobei L eine ganze Zahl ist.

12. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3, 5 oder 7, dadurch gekennzeichnet, daß der Modulationscode ein Trellis-Code ist.

13. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3, 5 oder 7, dadurch gekennzeichnet, daß der Modulationscode ein Lattice-Code ist.

14. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3, 5 oder 7, dadurch gekennzeichnet, daß M gleich 2 ist.

15. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3, 5 oder 7, dadurch gekennzeichnet, daß M gleich 4 ist.

16. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3, 5 oder 7, dadurch gekennzeichnet, daß M ein Vielfaches von 4 ist.

17. Anordnung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß J gleich 1 ist.

18. Anordnung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß J eine Zahl ist, die gleich der Anzahl N von Dimensionen im Modulationscode ist.

19. Anordnung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß k′ gleich k-1 ist.

20. Anordnung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß J gleich 1 ist und daß jede Konstellationen ein eindimensionaler Bereich von Werten mit dem zentalen Wert β x _k-1 ist, mit 0β<1.

21. Anordnung nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß β <0.

22. Anordnung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß eine endliche Menge der J-dimensionalen Konstellationen vorgesehen ist.

23. Anordnung nach Anspruch 22, dadurch gekennzeichnet, daß zwei J-dimensionale Konstellationen vorgesehen sind.

24. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3 oder 5, dadurch gekennzeichnet, daß y _k und x _k reelle Werte haben.

25. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3 oder 5, dadurch gekennzeichnet, daß y _k und x _k komplexe Werte haben.

26. Anordnung nach Anspruch 25, dadurch gekennzeichnet, daß M gleich 2+2i ist.

27. Anordnung nach Anspruch 1, 2, 3 oder 5, dadurch gekennzeichnet, daß mindestens zwei der J-dimensionalen Konstellationen nicht-disjunkt sind.

28. Anordnung zur Decodierung einer Folge z _k=y _k+n _k, mit k=1, 2, . . ., in eine decodierte Folge von Signalen y _k, die derart beschaffen ist, daß

a) die Folge aus einem gegebenen Modulationscode ist;
b) die laufende digitale Summe x _k=y _k-1+y _k-2+ . . . eine endliche Varianz S _x hat;
c) die Signale y _k in einen vorbestimmten zulässigen Bereich fallen, der von x _k, abhängt, mit k′<k,

und wobei die Folge n _k Rauschen darstellt, gekennzeichnet durch eine Bereichsübertretungs-Kontrolleinrichtung, welche die geschätzte laufende digitale Summe _k= _k+ _k-1+ . . . rekonstruiert und welche die decodierte Folge _k mit dem vorbestimmten zulässigen Bereich auf der Basis der geschätzten laufenden digitalen Summe _k′ vergleicht, wobei k′<k ist, und welche eine Anzeige liefert, wenn _k außerhalb des zulässigen Bereichs liegt.

29. Decodierer nach Anspruch 28, dadurch gekennzeichnet, daß die geschätzte laufende digitale Summe _k auf der Grundlage der Anzeige so justiert wird, daß _k in den zulässigen Bereich fällt.

30. Decodierer nach Anspruch 29, dadurch gekennzeichnet, daß die Justierung um das Mindestmaß erfolgt, das erforderlich ist, um _k in den zulässigen Bereich zu bringen.

31. Decodierer zur Decodierung einer Folge x _k=y _k+n _k, mit k=1, 2, . . ., wobei die Folge der Signale y _k derart beschaffen ist,

a) daß die Folge aus einem gegebenen Modulationscode ist, der sich durch einen Codierer mit einer endlichen Anzahl Q von Zuständen erzeugen läßt;
b) daß y _k=x _k±x _k-L, wobei L eine ganze Zahl ist und wobei die Folge x _k eine endliche Varianz S _x hat,

und wobei die Folge n _k Rauschen darstellt, gekennzeichnet durch eine Einrichtung zum Schätzen der Folge maximaler Wahrscheinlichkeit in modifizierter Form um bis zu einer bestimmten Zeit K eine Anzahl MQ teilcodierter Folgen zu finden, und zwar jeweils einer für jede Kombination einer endlichen Anzahl Q von Zuständen und für jeden einer endlichen Anzahl M ganzzahlig beabstandeter Werte modulo M, so daß jede der besagten Folgen

a) bis zur besagten Zeit K im Code ist,
b) dem Fall entspricht, daß der Codierer zur Zeit K in einem gegebenen Zustand ist,
c) dem Fall entspricht, daß x _k zur Zeit K einen Wert hat, der kongruent mit einem gegebenen Exemplar der besagten Werte modulo M ist.

32. Decodierer nach Anspruch 31, dadurch gekennzeichnet, daß M gleich 2 ist.

33. Decodierer nach Anspruch 31, dadurch gekennzeichnet, daß M gleich 4 ist.