CN105223808A - 基于神经网络动态面滑模控制的机械臂***饱和补偿控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于神经网络动态面滑模控制的机械臂***饱和补偿控制方法，包括：建立机械臂伺服***的动态模型，初始化***状态、采样时间以及控制参数；根据微分中值定理，将***中的非线性输入饱和线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服***模型；基于动态面滑模控制方法，计算控制***跟踪误差，滑模面及微分。本发明提供一种能够有效补偿未知饱和，避免反演法带来的复杂度***问题的神经网络动态面滑模控制方法，实现***的稳定快速跟踪。

Description

基于神经网络动态面滑模控制的机械臂***饱和补偿控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于神经网络动态面滑模控制的机械臂***饱和补偿控制方法，特别是带有输入饱和约束的机械臂伺服***的控制方法。

背景技术

机械臂伺服***在机器人、航空飞行器等高性能***中得到了广泛的应用，如何实现机械臂伺服***的快速精确控制已经成为了一个热点问题。机器臂的轨迹跟踪控制***与柔性机械臂问题受到越来越多的重视。然而，未知饱和非线性环节广泛存在于机械臂伺服***中，往往会导致控制***的效率降低甚至是失效。因此,输入饱和的约束必须考虑在控制器设计过程中。针对机械臂伺服***的控制问题，存在很多控制方法，例如PID控制，自适应控制，滑模控制等。

滑模控制在解决***不确定性和外部扰动方面被认为是一个有效的鲁棒控制方法。滑模控制方法具有算法简单、响应速度快、对外界噪声干扰和参数摄动鲁棒性强等优点。然而，滑模控制在设计过程中需要满足匹配条件，实际***匹配条件的不确定性成为了滑模控制设计的障碍。反演法具有改善滑模控制器性能，放松匹配条件的优点。将滑模控制与反演法相结合，在控制器的每一步设计中引入虚拟控制变量。然而，反演法将引入复杂度***的问题。因此，采用动态面滑模控制，使***的控制器输入变得简单，成为了一个重要的研究方向。

饱和非线性环节广泛存在于机械臂伺服***、液压伺服***以及其他工业工程领域。饱和的存在往往会导致控制***的效率降低甚至是失效。因此，为提高控制性能，针对饱和的补偿和控制方法必不可少。传统的饱和补偿方法一般是建立饱和的逆模型或近似逆模型，并通过估计饱和的上下界参数设计自适应控制器，以补偿饱和的影响。然而，在机械臂伺服***等非线性***中，饱和的逆模型往往不易精确获得。对于***中存在的未知饱和输入，基于微分中值定理经行线性化，使其成为一个简单的时变***，避免了附加补偿。神经网络广泛应用于处理***的非线性和不确定性，并取得了良好的控制效果。从而可以利用神经网络逼近未知函数和***模型的未知参数，同时避免反演法带来的复杂度***问题提高***的跟踪控制性能。

发明内容

为了克服现有的机械臂伺服***的无法有效地饱和补偿，模型参数不确定性，以及反演法带来的复杂度***等的不足，本发明提供一种基于神经网络动态面滑模控制的机械臂***饱和补偿控制方法，简化了控制器的设计结构，实现了带饱和输入的机械臂***位置跟踪控制，保证***稳定快速跟踪。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于动态面滑模控制的机械臂***饱和补偿控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立机械臂伺服***的动态模型，初始化***状态、采样时间以及控制参数，过程如下：

1.1机械臂伺服***的动态模型表达形式为

$\left\{\begin{array}{c}I\stackrel{\·\·}{q}+K(q-\mathrm{\θ})+MgLsin\left(q\right)=0\\ J\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-K(q-\mathrm{\θ})=v\left(u\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，q和θ分别为机械臂连杆和电机的角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J是电机的惯量；K为弹簧刚度系数；M和L分别是连杆的质量和长度；u是控制信号；v(u)为饱和，表示为：

$v\left(u\right)=sat\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}{v}_{max}\mathrm{sgn}\left(u\right),& \left|u\right|\≥v_{max}\\ u,& \left|u\right|\≤v_{max}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中sgn(u)，为未知非线性函数；v_max为未知饱和参数，满足v_max＞0；

定义x₁＝q，x₃＝θ，式(1)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=-\frac{MgL}{I}sin\left(x_1\right)-\frac{K}{I}(x_1-x_3)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=\frac{1}{J}v\left(u\right)+\frac{K}{J}(x_1-x_3)\\ y=x_1.\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，y为***输出轨迹；

1.2定义变量z₁＝x₁，z₂＝x₂， $z_4=-x_2\frac{MgL}{I}cos\left(x_1\right)-\frac{K}{I}(x_2-x_4),$ 则式(3)改写成

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{\·}{z}}_4=f_1\left(\stackrel{\‾}{z}\right)+b_{1}v\left(u\right)\\ y=z_1\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中， $\stackrel{\‾}{z}={\[z_1,z_2,z_3\]}^T,f_1\left(\stackrel{\‾}{z}\right)=\frac{MgL}{I}sin\left(z_1\right)(z_2^2-\frac{K}{J})-\left(\frac{MgL}{I}cos\right(z_1)+\frac{K}{J}+\frac{K}{I})z_3,b_1=\frac{K}{IJ};$

步骤2，根据微分中值定理，将***中的非线性输入饱和进行线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服***模型，过程如下：

2.1对饱和模型进行光滑处理

$\begin{array}{c}g\left(u\right)=v_{max}\×\tanh \left(\frac{u}{v_{\max }}\right)\\ =v_{\max }\×\frac{e^{u/v_{\max }}-e^{-u/v_{\max }}}{e^{u/v_{ma\×}}+e^{-u/v_{max}}}\end{array}---\left(5\right)$

则

v(u)＝sat(u)＝g(u)+d(u)(6)

其中，d(u)表示光滑函数与饱和模型之间存在的误差；

2.2根据微分中值定理，存在δ∈(0,1)使

$g\left(u\right)=g\left(u_0\right)+g_{u_{\mathrm{\ξ}}}(u-u_0)---\left(7\right)$

其中 $g_{u_{\mathrm{\ξ}}}=\frac{\∂g\left(u\right)}{\∂u}{|}_{u=u_{\mathrm{\ξ}}}>0,u_{\mathrm{\ξ}}=\mathrm{\ξ}u+(1-\mathrm{\ξ})u_0,$ u₀∈(0,u)；

选择u₀＝0，将式(7)改写为

$g\left(u\right)=g_{u_{\mathrm{\ξ}}}u---\left(8\right)$

2.2由式(6)和式(8)，将式(4)改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{\·}{z}}_4=f_2\left(\stackrel{\‾}{z}\right)+b_{2}u\\ y=z_1\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中， $f_2\left(\stackrel{\‾}{z}\right)=f_1\left(\stackrel{\‾}{z}\right)+d\left(u\right),b_2=b_1\×g_{u_{\mathrm{\ξ}}};$

步骤3，计算控制***跟踪误差，滑模面及微分，过程如下：

3.1定义控制***的跟踪误差，滑模面为

$\left\{\begin{array}{c}e=y-y_d\\ s_1=e+\mathrm{\λ}\∫edt\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，y_d为二阶可导期望轨迹，λ为常数，且λ＞0；

3.2对式(10)求导得：

$\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{e}=\stackrel{\·}{y}-{\stackrel{\·}{y}}_d=z_2-{\stackrel{\·}{y}}_d\\ {\stackrel{\·}{s}}_1=\stackrel{\·}{e}+\mathrm{\λ}e=z_2-{\stackrel{\·}{y}}_d+\mathrm{\λ}e\end{array}---\left(11\right)$

3.3设计虚拟控制量

${\stackrel{\‾}{z}}_2=-k_1{s}_1+{\stackrel{\·}{y}}_d-\mathrm{\λ}e---\left(12\right)$

其中，k₁为常数，且k₁＞0；

3.4定义一个新的变量β₂，让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶滤波器：

${\mathrm{\τ}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2+{\mathrm{\β}}_2={\stackrel{\‾}{z}}_2,{\mathrm{\β}}_2\left(0\right)={\stackrel{\‾}{z}}_2\left(0\right)---\left(13\right)$

3.5定义则

$\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}2=\frac{{\stackrel{\‾}{z}}_2-{\mathrm{\β}}_2}{{\mathrm{\τ}}_2}=-\frac{y_2}{{\mathrm{\τ}}_2}---\left(14\right)$

步骤4，针对式(4)，设计虚拟控制量，过程如下：

4.1定义误差变量

s_i＝z_i-β_i,i＝2,3(15)

式(15)的一阶微分为

${\stackrel{\·}{s}}_i=z_{i+1}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_i,i=2,3---\left(16\right)$

4.2设计虚拟控制量

${\stackrel{\‾}{z}}_{i+1}=-k_i{s}_i-s_{i-1}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_i---\left(17\right)$

其中，k_i为常数，且k_i＞0；

4.3定义一个新的变量β_i+1，让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶滤波器：

${\mathrm{\τ}}_{i+1}{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{i+1}+{\mathrm{\β}}_{i+1}={\stackrel{\‾}{z}}_{i+1},{\mathrm{\β}}_{i+1}\left(0\right)={\stackrel{\‾}{z}}_{i+1}\left(0\right)---\left(18\right)$

4.4定义 $y_{i+1}={\mathrm{\β}}_{i+1}-{\stackrel{\‾}{z}}_{i+1},$ 则

${\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{i+1}=\frac{{\stackrel{\‾}{z}}_{i+1}-{\mathrm{\β}}_{i+1}}{{\mathrm{\τ}}_{i+1}}=-\frac{y_{i+1}}{{\mathrm{\τ}}_{i+1}}---\left(19\right)$

步骤5，设计控制器输入，过程如下：

5.1定义误差变量

s₄＝z₄-β₄(20)

计算式(20)的一阶微分为

${\stackrel{\·}{s}}_4=f_2\left(\stackrel{\‾}{z}\right)+b_{2}u-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_4---\left(21\right)$

5.2为了逼近不能直接得到的非线性不确定项以及b₂，定义以下神经网络

其中，W^*为理想权重，ε^*为神经网络理想误差值，满足|ε^*|≤ε_N，表达式为：

其中，a,b,c,d为常数；

5.3设计控制器输入u：

其中，为理想权重W的估计值，为理想误差上界ε^*的估计值；

5.4设计自适应率：

其中，Γ＝Γ^T＞0，Γ₃是自适应增益矩阵，σ，v_εN都是常数，且σ＞0，v_εN＞0；

步骤6，设计李雅普诺夫函数

$V=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}(s_i^2+y_{i+1}^2)+\frac{1}{2b_2}{s}_4^2+\frac{1}{2}{\tilde{W}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\tilde{W}+\frac{1}{2v_{\mathrm{\ϵ}N}}{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}_N^2---\left(26\right)$

对式(26)进行求导得：

$\stackrel{\·}{V}=\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}(s_i{\stackrel{\·}{s}}_i+y_{i+1}{\stackrel{\·}{y}}_{i+1})+\frac{1}{b_2}{s}_4{\stackrel{\·}{s}}_4+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\stackrel{\·}{\hat{W}}+\frac{1}{v_{\mathrm{\ϵ}N}}{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}_N{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}}_N---\left(27\right)$

如果则判定***是稳定的。

本发明基于神经网络，动态面滑模控制方法，考虑输入未知饱和情况下，设计机械臂伺服***的饱和补偿的控制方法，实现***的稳定跟踪，保证跟踪误差在有限时间收敛。

本发明的技术构思为：针对状态不可测，并且带有未知饱和输入的机械臂伺服***，利用微分中值定理优化饱和结构，提出基于饱和模型的机械臂伺服***。再结合神经网络、自适应控制以及动态面滑模控制，设计一种机械臂伺服***的饱和补偿控制方法。通过微分中值定理，使饱和连续可微，再通过神经网络逼近未知函数，取消了传统饱和的附加补偿。并且利用动态面滑模设计虚拟误差变量，避免了反演法所带来的复杂度***问题，实现***的位置跟踪控制。本发明提供一种能够有效补偿未知饱和，避免反演法带来的复杂度***问题的神经网络动态面滑模控制方法，实现***的稳定快速跟踪。

本发明的优点为：避免未知饱和输入对***位置跟踪控制性能的影响，以及反演法带来的复杂度***问题，补偿***未知模型不确定项，实现***的位置跟踪。

附图说明

图1为本发明的非线性饱和的示意图；

图2为本发明的跟踪效果的示意图；

图3为本发明的跟踪误差的示意图；

图4为本发明的控制器输入的示意图；

图5为本发明的控制流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1-图5，一种基于神经网络动态面滑模控制的机械臂***饱和补偿控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立机械臂伺服***的动态模型，初始化***状态、采样时间以及控制参数，过程如下：

1.1机械臂伺服***的动态模型表达形式为

$\left\{\begin{array}{c}I\stackrel{\·\·}{q}+K(q-\mathrm{\θ})+MgLsin\left(q\right)=0\\ J\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-K(q-\mathrm{\θ})=v\left(u\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，q和θ分别为机械臂连杆和电机的角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J是电机的惯量；K为弹簧刚度系数；M和L分别是连杆的质量和长度；u是控制信号；v(u)为饱和，表示为：

$v\left(u\right)=sat\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}{v}_{max}\mathrm{sgn}\left(u\right),& \left|u\right|\≥v_{max}\\ u,& \left|u\right|\≤v_{max}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中sgn(u)，为未知非线性函数；v_max为未知饱和参数，满足v_max＞0；

定义x₁＝q，x₃＝θ，式(1)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=-\frac{MgL}{I}sin\left(x_1\right)-\frac{K}{I}(x_1-x_3)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=\frac{1}{J}v\left(u\right)+\frac{K}{J}(x_1-x_3)\\ y=x_1.\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，y为***输出轨迹；

1.2定义变量z₁＝x₁，z₂＝x₂， $z_4=-x_2\frac{MgL}{I}cos\left(x_1\right)-\frac{K}{I}(x_2-x_4),$ 则式(3)改写成

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{\·}{z}}_4=f_1\left(\stackrel{\‾}{z}\right)+b_{1}v\left(u\right)\\ y=z_1\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中， $\stackrel{\‾}{z}={\[z_1,z_2,z_3\]}^T,f_1\left(\stackrel{\‾}{z}\right)=\frac{MgL}{I}sin\left(z_1\right)(z_2^2-\frac{K}{J})-\left(\frac{MgL}{I}cos\right(z_1)+\frac{K}{J}+\frac{K}{I})z_3,b_1=\frac{K}{IJ};$

步骤2，根据微分中值定理，将***中的非线性输入饱和进行线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服***模型，过程如下：

2.1对饱和模型进行光滑处理

$\begin{array}{c}g\left(u\right)=v_{max}\×\tanh \left(\frac{u}{v_{\max }}\right)\\ =v_{\max }\×\frac{e^{u/v_{\max }}-e^{-u/v_{\max }}}{e^{u/v_{ma\×}}+e^{-u/v_{max}}}\end{array}---\left(5\right)$

则

v(u)＝sat(u)＝g(u)+d(u)(6)

其中，d(u)表示光滑函数与饱和模型之间存在的误差；

2.2根据微分中值定理，存在δ∈(0,1)使

$g\left(u\right)=g\left(u_0\right)+g_{u_{\mathrm{\ξ}}}(u-u_0)---\left(7\right)$

其中 $g_{u_{\mathrm{\ξ}}}=\frac{\∂g\left(u\right)}{\∂u}{|}_{u=u_{\mathrm{\ξ}}}>0,u_{\mathrm{\ξ}}=\mathrm{\ξ}u+(1-\mathrm{\ξ})u_0,$ u₀∈(0,u)；

选择u₀＝0，将式(7)改写为

$g\left(u\right)=g_{u_{\mathrm{\ξ}}}u---\left(8\right)$

2.2由式(6)和式(8)，将式(4)改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{\·}{z}}_4=f_2\left(\stackrel{\‾}{z}\right)+b_{2}u\\ y=z_1\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中， $f_2\left(\stackrel{\‾}{z}\right)=f_1\left(\stackrel{\‾}{z}\right)+d\left(u\right),b_2=b_1\×g_{u_{\mathrm{\ξ}}};$

步骤3，计算控制***跟踪误差，滑模面及微分，过程如下：

3.1定义控制***的跟踪误差，滑模面为

$\left\{\begin{array}{c}e=y-y_d\\ s_1=e+\mathrm{\λ}\∫edt\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，y_d为二阶可导期望轨迹，λ为常数，且λ＞0；

3.2对式(10)求导得：

$\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{e}=\stackrel{\·}{y}-{\stackrel{\·}{y}}_d=z_2-{\stackrel{\·}{y}}_d\\ {\stackrel{\·}{s}}_1=\stackrel{\·}{e}+\mathrm{\λ}e=z_2-{\stackrel{\·}{y}}_d+\mathrm{\λ}e\end{array}---\left(11\right)$

3.3设计虚拟控制量

${\stackrel{\‾}{z}}_2=-k_1{s}_1+{\stackrel{\·}{y}}_d-\mathrm{\λ}e---\left(12\right)$

其中，k₁为常数，且k₁＞0；

3.4定义一个新的变量β₂，让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶滤波器：

${\mathrm{\τ}}_2{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2+{\mathrm{\β}}_2={\stackrel{\‾}{z}}_2,{\mathrm{\β}}_2\left(0\right)={\stackrel{\‾}{z}}_2\left(0\right)---\left(13\right)$

3.5定义 $y_2={\mathrm{\β}}_2-{\stackrel{\‾}{z}}_2,$ 则

$\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}2=\frac{{\stackrel{\‾}{z}}_2-{\mathrm{\β}}_2}{{\mathrm{\τ}}_2}=-\frac{y_2}{{\mathrm{\τ}}_2}---\left(14\right)$

步骤4，针对式(4)，设计虚拟控制量，过程如下：

4.1定义误差变量

s_i＝z_i-β_i,i＝2,3(15)

式(15)的一阶微分为

${\stackrel{\·}{s}}_i=z_{i+1}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_i,i=2,3---\left(16\right)$

4.2设计虚拟控制量

${\stackrel{\‾}{z}}_{i+1}=-k_i{s}_i-s_{i-1}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_i---\left(17\right)$

其中，k_i为常数，且k_i＞0；

4.3定义一个新的变量β_i+1，让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶滤波器：

${\mathrm{\τ}}_{i+1}{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{i+1}+{\mathrm{\β}}_{i+1}={\stackrel{\‾}{z}}_{i+1},{\mathrm{\β}}_{i+1}\left(0\right)={\stackrel{\‾}{z}}_{i+1}\left(0\right)---\left(18\right)$

4.4定义 $y_{i+1}={\mathrm{\β}}_{i+1}-{\stackrel{\‾}{z}}_{i+1},$ 则

${\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{i+1}=\frac{{\stackrel{\‾}{z}}_{i+1}-{\mathrm{\β}}_{i+1}}{{\mathrm{\τ}}_{i+1}}=-\frac{y_{i+1}}{{\mathrm{\τ}}_{i+1}}---\left(19\right)$

步骤5，设计控制器输入，过程如下：

5.1定义误差变量

s₄＝z₄-β₄(20)

计算式(20)的一阶微分为

${\stackrel{\·}{s}}_4=f_2\left(\stackrel{\‾}{z}\right)+b_{2}u-{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_4---\left(21\right)$

5.2为了逼近不能直接得到的非线性不确定项以及b₂，定义以下神经网络

其中，W^*为理想权重，ε^*为神经网络理想误差值，满足|ε^*|≤ε_N，表达式为：

其中，a,b,c,d为常数；

5.3设计控制器输入u：

其中，为理想权重W的估计值，为理想误差上界ε^*的估计值；

5.4设计自适应率：

其中，Γ＝Γ^T＞0，Γ₃是自适应增益矩阵，σ，v_εN都是常数，且σ＞0，v_εN＞0；

步骤6，设计李雅普诺夫函数

$V=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}(s_i^2+y_{i+1}^2)+\frac{1}{2b_2}{s}_4^2+\frac{1}{2}{\tilde{W}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\tilde{W}+\frac{1}{2v_{\mathrm{\ϵ}N}}{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}_N^2---\left(26\right)$

对式(26)进行求导得：

$\stackrel{\·}{V}=\underset{i=1}{\overset{3}{\Σ}}(s_i{\stackrel{\·}{s}}_i+y_{i+1}{\stackrel{\·}{y}}_{i+1})+\frac{1}{b_2}{s}_4{\stackrel{\·}{s}}_4+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\Γ}}^{-1}\stackrel{\·}{\hat{W}}+\frac{1}{v_{\mathrm{\ϵ}N}}{\widetilde{\mathrm{\ϵ}}}_N{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ϵ}}}}_N---\left(27\right)$

如果则判定***是稳定的。

为验证所提方法的有效性，本发明给出了三种控制方法的对比：带饱和补偿的动态面滑模控制方法(S1)、不带饱和补偿的动态面滑模控制方法(S2)以及不带饱和补偿的动态面控制方法(S3)。

为了更有效的进行对比，所有参数设置都是一致的***初始化参数为[x₁,x₂,x₃,x₄]^T＝[0,0,0,0]^T，[β₂,β₃,β₄]^T＝[0,0,0]^T；神经网络参数为Γ＝diag{5}，a＝10，b＝10，c＝1，d＝-1；自适应控制率参数为v_εN＝0.1，σ＝0.01,δ＝0.1；一阶滤波器的时间常数参数为t₂＝t₃＝t₄＝0.02；***模型参数为Mgl＝5，I＝1，J＝1，K＝40，I＝1；控制器参数为k₁＝0.5，k₂＝8，k₃＝8，k₄＝2，λ＝7。

跟踪梯形波输入，其表达式如式(28)。S1的控制器饱和输入v_max＝75，S2、S3控制器输入为v_max＝295。由图2可以看出，S1的跟踪效果比S2、S3更好，S2最后不能实现***的稳定收敛；从图3可以看出，S1方法的跟踪稳态误差最小。从图4可以看出，在带有饱和输入控制器情况下，即使饱和限制较大，仍能实现***的稳定跟踪。因此，本发明提供一种能够有效补偿未知饱和，避免反演法带来的复杂度***问题的神经网络动态面滑模控制方法，实现***的稳定快速跟踪。

$y_d=\{\begin{array}{cc}0,& 0\&le;t<2\\ 5(t-2),& 2\&le;t<4\\ 10,& 4\&le;t<6\\ -5(t-8),& 6\&le;t<10\\ -10,& 10\&le;t<12\\ -5(t-14),& 12\&le;t<16\\ 10,& 16\&le;t<18\\ -5(t-20),& 18\&le;t\&le;20\end{array}---\left(28\right)$

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.一种基于神经网络动态面滑模控制的机械臂***饱和补偿控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：

步骤1，建立机械臂伺服***的动态模型，初始化***状态、采样时间以及控制参数，过程如下：

1.1机械臂伺服***的动态模型表达形式为

$\{\begin{array}{c}I\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}+K\left(q-\mathrm{\&theta;}\right)+MgLsin\left(q\right)=0\\ J\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}-K\left(q-\mathrm{\&theta;}\right)=v\left(u\right)\end{array}---\left(1\right)$

其中，q和θ分别为机械臂连杆和电机的角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J是电机的惯量；K为弹簧刚度系数；M和L分别是连杆的质量和长度；u是控制信号；v(u)为饱和，表示为：

$v\left(u\right)=sat\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}{v}_{max}\mathrm{sgn}\left(u\right),& \left|u\right|\&GreaterEqual;v_{max}\\ u,& \left|u\right|\&le;v_{max}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中sgn(u)，为未知非线性函数；v_max为未知饱和参数，满足v_max＞0；

定义x₁＝q，x₃＝θ，式(1)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-\frac{MgL}{I}sin\left(x_1\right)-\frac{K}{I}\left(x_1-x_3\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=\frac{1}{J}v\left(u\right)+\frac{K}{J}\left(x_1-x_3\right)\\ y=x_1.\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，y为***输出轨迹；

1.2定义变量z₁＝x₁，z₂＝x₂， $z_4=-x_2\frac{MgL}{I}cos\left(x_1\right)-\frac{K}{I}\left(x_2-x_4\right),$ 则式(3)改写成

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_4=f_1\left(\stackrel{-}{z}\right)+b_{1}v\left(u\right)\\ y=z_1\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中， $\stackrel{-}{z}={\&lsqb;z_1,z_2,z_3\&rsqb;}^T,f_1\left(\stackrel{-}{z}\right)=\frac{MgL}{I}sin\left(z_1\right)\left(z_2^2-\frac{K}{J}\right)-\left(\frac{MgL}{I}cos\left(z_1\right)+\frac{K}{J}+\frac{K}{I}\right)z_3,b_1=\frac{K}{IJ};$

步骤2，根据微分中值定理，将***中的非线性输入饱和进行线性化处理，推导出带有未知饱和的机械臂伺服***模型，过程如下：

2.1对饱和模型进行光滑处理

$\begin{array}{c}g\left(u\right)=v_{\max }\&times;tan\left(\frac{u}{v_{\max }}\right)\\ =v_{\max }\&times;\left(\frac{e^{u/v_{\max }}-e^{-u/v_{\max }}}{e^{u/v_{\max }}+e^{-u/v_{\max }}}\right)\end{array}---\left(5\right)$

则

v(u)＝sat(u)＝g(u)+d(u)(6)

其中，d(u)表示光滑函数与饱和模型之间存在的误差；

2.2根据微分中值定理，存在δ∈(0,1)使

$g\left(u\right)=g\left(u_0\right)+g_{u\mathrm{\&xi;}}\left(u-u_0\right)---\left(7\right)$

其中 $g_{u_{\mathrm{\&xi;}}}=\frac{\&part;g\left(u\right)}{\&part;u}{|}_{u=u_{\mathrm{\&xi;}}}>0,u_{\mathrm{\&xi;}}=\mathrm{\&xi;}u+(1-\mathrm{\&xi;})u_0,$ u₀∈(0,u)；

选择u₀＝0，将式(7)改写为

$g\left(\text{u}\right)=g_{u\mathrm{\&xi;}}u\text{---}\left(8\right)$

2.2由式(6)和式(8)，将式(4)改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=z_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_3=z_4\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_4=f_2\left(\stackrel{-}{z}\right)+b_{2}u\\ y=z_1\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中， $f_2\left(\stackrel{-}{z}\right)=f_1\left(\stackrel{-}{z}\right)+d\left(u\right),b_2=b_1\&times;g_{u\mathrm{\&xi;}};$

步骤3，计算控制***跟踪误差，滑模面及微分，过程如下：

3.1定义控制***的跟踪误差，滑模面为

$\left\{\begin{array}{c}e=y-y_d\\ s_1=e+\mathrm{\&lambda;}\&Integral;edt\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，y_d为二阶可导期望轨迹，λ为常数，且λ＞0；

3.2对式(10)求导得：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{e}=\stackrel{\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d=z_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{s}}_1=\stackrel{\&CenterDot;}{e}+\mathrm{\&lambda;}e=z_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d+\mathrm{\&lambda;}e\end{array}\right.---\left(11\right)$

3.3设计虚拟控制量

${\stackrel{-}{z}}_2=-k_1{s}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d-\mathrm{\&lambda;}e---\left(12\right)$

其中，k₁为常数，且k₁＞0；

3.4定义一个新的变量β₂，让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶滤波器： ${\mathrm{\&tau;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_2+{\mathrm{\&beta;}}_2={\stackrel{-}{z}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_2\left(0\right)={\stackrel{-}{z}}_2\left(0\right)---\left(13\right)$

3.5定义 $y_2={\mathrm{\&beta;}}_2-{\stackrel{-}{z}}_2,$ 则

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_2=\frac{{\stackrel{-}{z}}_2-{\mathrm{\&beta;}}_2}{{\mathrm{\&tau;}}_2}=-\frac{y_2}{{\mathrm{\&tau;}}_2}---\left(14\right)$

步骤4，针对式(4)，设计虚拟控制量，过程如下：

4.1定义误差变量

s_i＝z_i-β_i,i＝2,3(15)

式(15)的一阶微分为

${\stackrel{\&CenterDot;}{s}}_i=z_{i+1}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_{i,j}=2,3---\left(16\right)$

4.2设计虚拟控制量

${\stackrel{\&OverBar;}{z}}_{i+1}=-k_i{s}_i-s_{i-1}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_i---\left(17\right)$

其中，k_i为常数，且k_i＞0；

4.3定义一个新的变量β_i+1，让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶滤波器：

${\mathrm{\&tau;}}_{i+1}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_{i+1}+{{\mathrm{\&beta;}}_i}_{+1}={\stackrel{-}{z}}_{i+1},{{\mathrm{\&beta;}}_i}_{+1}\left(0\right)={\stackrel{-}{z}}_{i+1}\left(0\right)---\left(\text{18}\right)$

4.4定义 $y_{i+1}={{\mathrm{\&beta;}}_i}_{+1}\text{-}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{i+1},$ 则

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_{i+1}=\frac{{\stackrel{-}{z}}_{i+1}-{{\mathrm{\&beta;}}_i}_{+1}}{{\mathrm{\&tau;}}_{i+1}}=-\frac{y_{i+1}}{{\mathrm{\&tau;}}_{i+1}}---\left(19\right)$

步骤5，设计控制器输入，过程如下：

5.1定义误差变量

s₄＝z₄-β₄(20)

计算式(20)的一阶微分为

${\stackrel{\&CenterDot;}{s}}_4=f_2\left(\stackrel{-}{z}\right)+b_{2}u-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_4\text{---}\left(21\right)$

5.2为了逼近不能直接得到的非线性不确定项以及b₂，定义以下神经网络

其中，W^*为理想权重，ε^*为神经网络理想误差值，满足|ε^*|≤ε_N，表达式为：

其中，a,b,c,d为常数；

5.3设计控制器输入u：

其中，为理想权重W的估计值，为理想误差上界ε^*的估计值；

5.4设计自适应率：

其中，Γ＝Γ^T＞0，Γ₃是自适应增益矩阵，σ，v_εN都是常数，且σ＞0，v_εN＞0；

步骤6，设计李雅普诺夫函数

$V=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{3}{\&Sigma;}}\left(s_i^2+y_{i+1}^2\right)+\frac{1}{2b_2}{s}_4^2+\frac{1}{2}{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\tilde{W}+\frac{1}{2v_{\mathrm{\&epsiv;}N}}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}_N^2---\left(26\right)$

对式(26)进行求导得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}=\underset{i=1}{\overset{3}{\&Sigma;}}\left(s_i{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}_i+y_{i+1}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{i+1}\right)+\frac{1}{b_2}{s}_4{\stackrel{\&CenterDot;}{s}}_4+{\tilde{W}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{W}}+\frac{1}{v_{\mathrm{\&epsiv;}N}}{\widetilde{\mathrm{\&epsiv;}}}_N{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&epsiv;}}}}_N---\left(27\right)$

如果则判定***是稳定的。