CN110095989B - 一种基于反步法的分布式多拉格朗日***跟踪控制策略 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于反步法的分布式多拉格朗日***跟踪控制策略，包括以下步骤：首先，基于拉格朗日***模型定义***误差，并将其作为新的***变量设计一个新的模型。其次，证明在***误差达到零点时，***能实现一致性跟踪控制。再次采用反步法设计控制律，使得***误差能够满足上述条件。最后通过仿真，验证了文中理论方法的有效性。通过本发明，根据本发明的思路，传统的研究会用到相邻跟随者的输入，容易出现死锁，而且一般采用滑模控制方法，会产生奇异性以及难以消除的抖振现象。而本发明领导者与部分跟随者进行信息交流，并且设计控制律所采用的反步法更加简洁，其主要优点有通过反向设计使Lyapunov函数和控制器的设计过程***化、结构化。

Description

一种基于反步法的分布式多拉格朗日***跟踪控制策略

技术领域

本发明涉及一种基于反步法的分布式多拉格朗日***跟踪控制策略，属于多智能体协调跟踪控制领域。

背景技术

多智能体网络跟踪控制的特性是多智能体通过互相之间的信息传递交流进而产生相互影响的作用，最终使得整个***网络达到一致性要求。这其中，整个网络没有任何的参考信息和领导者。因为领导者可以给整个网络提供全局信息，给跟随者提供目标，所以，将领导者引入多智能体网络可以使得***设计更加便利，这就是多智能体的协调跟踪控制问题。在多智能体网络的协调跟踪控制研究上，已经有了很大进展，所涉及的包括一阶***和二阶***的协调跟踪问题，还有学者考虑了时滞对整个***的影响。然而上述研究中都要求每个跟随者都能获取领导者的加速度信息。曹勇灿在研究***的协调跟踪问题的基础上又考虑了***的蜂拥控制问题，利用符号函数的特点补偿了领导者的状态向量，实现了在仅有部分跟随者能获取领导者信息的情况下对领导者的跟踪。任伟研究了多小车***的一致性问题，其中每辆车的信息状态接近领导者的时变参考状态，提出了具有时变参考状态的一致性算法。但是对于这种情况，控制律的设计用到了邻居节点的信息。程龙指出该种算法仅对于网络中包含有向生成树且不含环的情况下适用，否则会出现死锁，并因此导致该算法不能实现。在现实生活中，拉格朗日***大量存在，如机械臂质量，杆长，连接点到质心的距离以及转动惯量都为未知常量的多连杆机械臂；转动惯量为未知常数矩阵的刚体姿态动力学模型；质量和阻尼常数未知的车辆机器人等。由于拉格朗日***的适用性，引发了多智能体领域的广泛关注。近年来，越来越多的学者开始研究多拉格朗日***的跟踪控制问题。但是大部分研究会具有以下不足：(1)要求每个跟随者都能获取领导者的状态信息。(2)需要每个跟随者均能获取领导者的速度和加速度信息。(3)领导者的角色相当于某个受到外部干扰的跟随者，并不是真正意义上的领导者。(4)设计控制算法时都用到了相邻智能体的信息，容易出现死锁，导致算法不能实现。

基于上述研究存在的问题和不足，文中考虑在跟随者能获取领导者信息的情形下，研究多拉格朗日***跟踪控制问题，提出将误差作为***变量，然后采用反步法设计控制律，最后通过仿真验证所提算法的有效性。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于反步法的分布式多拉格朗日***跟踪控制策略，该方法能够克服现有技术的缺点与不足，可以更为方便地设计***控制率，计算简单、高效。

本发明的技术方案：一种基于反步法的分布式多拉格朗日***跟踪控制策略，包括以下步骤：

步骤1：构造多拉格朗日***并进行编号。

考虑一个含有n个拉格朗日***的网络，其中领导者用0标记，跟随者用1,2,...,n进行标记。用G表示n个跟随者之间的通讯拓扑结构，n个跟随者和领导者之间用

表示。令A＝[a_ij]表示跟随者之间的图G的邻接矩阵，B＝diag{b₁,b₂,...,b_n}表示

的邻接矩阵。如果第i个跟随者能得到领导者的信息则b_i＝1(i＝1,2,...,n)，反之为0。

在现实生活中，我们考虑到存在输入扰动，该情况下，式(1)中的拉格朗日***的数学模型就变为

其中ρ_i∈R^m，表示输入扰动，且有界，即扰动ρ_i满足||ρ_i||<ζ<∞。领导者的轨迹即***期望轨迹为

定义

将式(2)改写成矩阵形式为：

步骤2：定义多拉格朗日***的***误差函数并以此作为***变量设计新的***模型。

为实现多拉格朗日***的跟踪控制，本文将引入两个误差变量，绝对误差和相对误差。第i个拉格朗日***的绝对误差定义为

e_i0＝q_i-q₀ (3)

绝对误差表示第i个拉格朗日***的状态与领导者状态之间的差值。e_i0是第i个拉格朗日***与领导者的位置误差。

是第i个拉格朗日***与领导者的速度误差。

相对误差指的是第i个拉格朗日***与其他跟随者之间的状态误差，第i个与第j个拉格朗日***之间的相对误差定义为

e_ij＝q_i-q_j (5)

其中e_ij是表示第i个跟随者与第j个跟随者之间的位置误差，

表示第i个跟随者与第j个跟随者之间的速度误差。

将上述两者结合，定义新的***误差变量：

用向量表示误差变量：ε₁＝[e₁,e₂,...,e_n]^T，

将ε₁，ε₂作为***变量，设计新的***，则式(2)形式变为

其中符号定义为：

步骤3：验证新***中当***误差函数到达零点时的***状态。

这里引入一个后文用到的引理，如下：

引理1：假设对于矩阵

a_i＝R^m。L_A∈R^mn×mn满足对Laplacian矩阵的定义，则下面的结论是等价的：

(1)L_A的单特征根为0，与之对应的特征向量为1_n，其他特征向量都有正实部；

(2)

意味着a₁＝...＝a_n；

(3)给定***

***以指数方式达到一致性。特别指出，对所有i＝1,2，...,n，当t→∞时，所有的

其中p＝[p₁,...,p_n]^T是L_A的特征值相关的非负的左特征向量满足

(4)矩阵L_A的秩为n-1。

考虑一个具有一个领导者的多拉格朗日***，如式(2)所示，若满足ε₁＝0，ε₂＝0，则有

Q_i＝[q₁,q₂,...,q_n]^T＝1_nq₀ (10)

证明：因为

将其写成向量的形式可以看出，当ε₁＝0时，可以得到

因为图的拉普拉斯矩阵满足L1_n＝0,则在等式(13)右边加入L1_n得到

取

则有：

则由引理1可知

因为

第一行元素都为0，则可知Rank(K_n×(n+1))＝n，K_n×(n+1)有n+1列，且行和为0，则

可以得出Rank(L+B)＝Rank(K_n×(n+1))＝n,则矩阵(L+B)是可逆的。因此，由式(13)可以得到[q₁,...,q_n]^T＝1_nq₀，同理等式(11)成立。

证明了当定义的***误差ε₁＝0，ε₂＝0时，跟随者的位置和速度可以跟踪领导者的位置和速度信息，也就是实现***的跟踪控制。

步骤4：采用反步法设计控制律使多拉格朗日***实现网络同步跟踪并验证。

针对***(10)，采用控制律为

写成矩阵形式为：

其中k₁，k₂>0，***可以实现跟踪控制。

证明：第一步，对于子***

把ε₂看作虚拟输入，设计控制律。

第一个Lyapunov函数被设为

它的导数为

若要ε₁收敛到0，则要求V₁的导数小于零。设

其中k₁为正数，则ε₂的期望值ε_2d＝-k₁ε₁。

第二步，设第二个Lyapunov函数为

对其求导

将式(9)及控制律(17)带入上式可以得到：

其中k₁，k₂>0，因此满足李雅普诺夫稳定的条件，能实现***的跟踪控制。

步骤5：用matlab对所设计的控制律进行仿真验证。

考虑包含5个拉格朗日***的网络。用0表示领导者，2-4表示跟随者。针对自由度为2的机械臂***，对机械臂的位置和速度信息进行验证。

通过本发明，本发明公开了一种基于反步法的分布式多拉格朗日***跟踪控制策略。包括以下步骤：(1)首先，基于拉格朗日***模型定义***误差，并将其作为新的***变量设计一个新的模型。(2)其次，证明在***误差达到零点时，***能实现一致性跟踪控制。(3)再次采用反步法设计控制律，使得***误差能够满足上述条件。(4)最后通过仿真，验证了文中理论方法的有效性。本发明研究了多拉格朗日***的跟踪控制问题，根据本发明的思路，传统的研究会用到相邻跟随者的输入，容易出现死锁，而且一般采用滑模控制方法，会产生奇异性以及难以消除的抖振现象。而本发明领导者与部分跟随者进行信息交流，并且设计控制律所采用的反步法更加简洁，其主要优点有通过反向设计使Lyapunov函数和控制器的设计过程***化，结构化。

附图说明

图1表示的是具有领导者的多拉格朗日***网络拓扑。

图2表示的是***角位置两个分量的曲线。

图3表示的是***角速度两个分量的曲线。

图4是本发明实施方法的总体流程图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，对本发明作进一步详细说明。

一种基于反步法的分布式多拉格朗日***跟踪控制策略，包括以下步骤：

1)构造多拉格朗日***并进行编号，以机械臂为例，其网络拓扑图如图1所示，用0表示领导者，2-4表示跟随者；

2)按照跟随者和领导者之间的关系计算出它们之间的绝对误差和相对误差，并结合起来形成作为***误差。

3)当***误差为0的时候，跟随者成功跟踪领导者的信息。

4)采用反步法设计控制律(16)，使得***误差达到0点，

5)对如图1的网络拓扑进行验证，领导者为0，其余为跟随者。选取给定的领导者坐标向量及其微分为q₀＝[cos t,-0.5 sin 2t]^T,

控制律中k₁＝k₂＝1，为方便起见，输入扰动选择相同参数，ρ_i＝[0.01 sin t,0.02 cos t]^T，其中i＝1，2，3，4。每个跟随者的初始位置任意选择为q₁(0)＝[0.1,1]^T，q₂(0)＝[0.5,1]^T，q₃(0)＝[-1,0.5]^T，q₄(0)＝[-0.5,-0.8]^T，每个跟随者的初始速度设为

各拉格朗日***的动力学项分别为：

其中，g＝9.8m/s²为重力加速度，未知参数

其中m₁＝1kg，m₂＝0.8kg为二连杆机械臂的质量，l₁＝0.8m，l₂＝0.6m为机械臂连杆的长度，l_c1＝0.4m，l_c2＝0.3m为各杆连接点到质心的距离，J₁＝0.0533kg·m²，J₂＝0.024kg·m²为连杆的转动惯量。

图2-3是对用反步法所设计出的控制律下的仿真结果图，虚线是表示对领导者信息的仿真，四条实线是代表四个跟随者的信息曲线。图2表示的是对***角位置两个分量的仿真，图3表示的是***角速度两个分量的曲线，可以看出在t达到5s时，四个跟随者实现可以对领导者的跟踪。因此，在本发明中提出的控制律下可以实现多拉格朗日***的跟踪控制。

Claims (1)

1.一种基于反步法的分布式多拉格朗日***跟踪控制策略，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：构造多拉格朗日***并进行编号；

步骤2：定义多拉格朗日***的***误差函数并以此作为***变量设计新的***模型；

步骤3：验证新***中当***误差函数到达零点时的***状态；

步骤4：采用反步法设计控制律使多拉格朗日***实现网络同步跟踪并验证；

步骤5：用matlab对所设计的控制律进行仿真验证；

所述步骤1网络中的拉格朗日***按任意次序编号；并给出其拓扑结构，包含领导者与跟随者之间的信息交流；

具体过程如下：

考虑一个含有n个拉格朗日***的网络，其中领导者用0标记，跟随者用1,2,...,n进行标记；用G表示n个跟随者之间的通讯拓扑结构，n个跟随者和领导者之间用

表示；令A＝[a_ij]表示跟随者之间的图G的邻接矩阵，B＝diag{b₁,b₂,...,b_n}表示

的邻接矩阵；如果第i个跟随者能得到领导者的信息则b_i＝1，i＝1,2,...,n，反之为0；

在现实生活中，考虑到存在输入扰动，该情况下，式(1)中的拉格朗日***的数学模型就变为

其中ρ_i∈R^m，表示输入扰动，且有界，即扰动ρ_i满足||ρ_i||＜ζ＜∞；领导者的轨迹即***期望轨迹为

定义

将式(2)改写成矩阵形式为：

所述步骤2中，定义两个误差，相对误差和绝对误差；第i个拉格朗体***的绝对误差定义为e_i0＝q_i-q₀，

绝对误差是第i个拉格朗日***的状态与领导者状态之间的差值；e_i0是第i个拉格朗日***与领导者的广义坐标向量之差，即位置误差；

是第i个拉格朗日***与领导者的广义坐标向量微分之差，即速度误差；相对误差指的是第i个拉格朗日***与其他跟随者之间的状态误差，第i个与第j个拉格朗日***之间的相对误差定义为e_ij＝q_i-q_j，

其中e_ij是第i个跟随者与第j个跟随者之间的广义坐标向量差值，

第i个跟随者与第j个跟随者之间的广义坐标向量微分的差值，并以此为基础设计新的***模型；将上述两者结合，定义新的***误差变量：

用向量表示误差变量：ε₁＝[e₁,e₂,...,e_n]^T，

将ε₁，ε₂作为***变量，设计新的***，则式(2)形式变为

其中符号定义为：

M_N＝diag{M₁,M₂,...,M_n}∈R^mn×mn，

C_N＝diag{C₁,C₂,...,C_n}∈R^mn×mn,

所述步骤3中，当上述定义的***相对误差和绝对误差达到0点的时候，整个***是否能实现跟踪控制是我们所需要验证的；

这里引入一个后文用到的引理，如下：

引理1：假设对于矩阵

a_i＝R^m；L_A∈R^mn×mn满足对Laplacian矩阵的定义，则下面的结论是等价的：

(1)L_A的单特征根为0，与之对应的特征向量为1_n，其他特征向量都有正实部；

(2)

意味着a₁＝...＝a_n；

(3)给定***

***以指数方式达到一致性；特别指出，对所有i＝1,2，...,n，当t→∞时，所有的

其中p＝[p₁,...,p_n]^T是L_A的特征值相关的非负的左特征向量满足

(4)矩阵L_A的秩为n-1；

考虑一个具有一个领导者的多拉格朗日***，如式(2)所示，若满足ε₁＝0，ε₂＝0，则有

Q_i＝[q₁,q₂,...,q_n]^T＝1_nq₀ (10)

证明：因为

将其写成向量的形式可以看出，当ε₁＝0时，可以得到

因为图的拉普拉斯矩阵满足L1_n＝0,则在等式(13)右边加入L1_n得到

取

则有：

则由引理1可知

因为

第一行元素都为0，则可知Rank(K_n×(n+1))＝n，K_n×(n+1)有n+1列，且行和为0，则

可以得出Rank(L+B)＝Rank(K_n×(n+1))＝n,则矩阵(L+B)是可逆的；因此，由式(13)可以得到[q₁,...,q_n]^T＝1_nq₀，同理等式(11)成立；

证明了当定义的***误差ε₁＝0，ε₂＝0时，跟随者的位置和速度可以跟踪领导者的位置和速度信息，也就是实现***的跟踪控制；

所述步骤4中，采用反步法设计***控制率，使得***误差能够满足上述条件，其主要优点是能够通过反向设计使Lyapunov函数和控制律的设计过程***化、结构化，避免了滑模控制中产生的抖振现象；

针对***(10)，采用控制律为

写成矩阵形式为：

其中k₁，k₂＞0，***可以实现跟踪控制；

证明：第一步，对于子***

把ε₂看作虚拟输入，设计控制律；

第一个Lyapunov函数被设为

它的导数为

若要ε₁收敛到0，则要求V₁的导数小于零；设

其中k₁为正数，则ε₂的期望值ε_2d＝-k₁ε₁；

第二步，设第二个Lyapunov函数为

对其求导

将式(9)及控制律(17)带入上式可以得到：

其中k₁，k₂＞0，因此满足李雅普诺夫稳定的条件，能实现***的跟踪控制；

所述步骤5中，对动力学模型为拉格朗日***的二连杆机械臂***进行仿真，验证所涉及的控制律在多拉格朗日系跟踪控制过程中的有效性和准确性；

考虑包含5个拉格朗日***的网络；用0表示领导者，2-4表示跟随者；针对自由度为2的机械臂***，对机械臂的位置和速度信息进行验证。

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