CN104199295A - 基于神经网络的机电伺服***摩擦补偿和变结构控制方法 - Google Patents

Abstract

基于神经网络的机电伺服***摩擦补偿和变结构控制方法，包括：建立机电伺服***模型和LuGre摩擦模型，初始化***状态以及相关控制参数；通过神经网络估计摩擦力，并补偿到***中。设计线性扩张状态观测器，用于估计不可测***状态以及包括参数扰动和神经网络估计误差的不确定项；根据线性扩张状态观测器估计的***状态和参数扰动，设计滑模变结构控制器，保证***跟踪误差快速稳定地收敛至零点，实现机电伺服***的快速稳定控制。

Description

基于神经网络的机电伺服***摩擦补偿和变结构控制方法

技术领域

本发明设计一种基于神经网络的机电伺服***摩擦补偿和变结构控制方法。特别是带有***部分状态不可测、参数不确定以及外部扰动的机电伺服***变结构控制方法。

背景技术

机电伺服***(electromechanical servos)是以电动机作为动力驱动元件的伺服***，广泛应用于飞行控制、火力控制等各种领域。但是，***中的摩擦会影响伺服***的控制精度，甚至严重降低机电伺服***的性能，并且摩擦力的表现形式较为复杂，不易建模。因此，如何有效地控制和消除摩擦的不利影响，已成为机电控制中亟待解决的关键问题之一。

滑模变结构控制方法(sliding model control,SMC)能够克服***的不确定性，对参数变换和外界扰动不敏感，具有良好的鲁棒性，且物理实现简单，因此广泛应用于机电伺服***的控制中。但是，普通的滑模控制方法中由于符号函数以及控制增益过高导致其存在一定的抖振现象，影响实际应用。目前为止，很多改进的滑模控制方法被提出，比如：终端滑模控制、模糊滑模控制、高阶滑模控制等。以上方法虽然能够不同程度的降低抖振，提高***性能，但是均要求***的所有状态可测。所以，当***状态不可测时，这些方法将会失效。

发明内容

本发明要克服现有技术的***部分状态不可测、参数不确定的缺点，并消除摩擦对机电伺服***性能的影响。提出一种基于神经网络的机电伺服***摩擦补偿和变结构控制方法，解决状态不可测、参数不确定的问题。采用LuGre摩擦模型对摩擦力建模，用神经网络估计摩擦力并补偿到***中。采用扩张状态观测器(Extended State Observer,ESO)估计***不可测状态以及包括参数扰动和神经网络估计误差的不确定项，同时设计滑模控制器。由于***中的摩擦已得到补偿，滑模控制信号的增益下降，从而改善了抖振问题，并实现***跟踪误差快速稳定地收敛至零点。

本发明的具体实现步骤如下：

步骤1，建立如式(1)所示的机电伺服***模型，初始化***状态以及相关控制参数；

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\mathrm{\θ}}_m}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ω}}_m\\ J\frac{d{\mathrm{\ω}}_m}{\mathrm{dt}}=K_{t}u-D{\mathrm{\ω}}_m-F-T_l\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，θ_m，ω_m为状态变量，分别表示电机输出轴位置和转速；J和D是折算到电机轴上的等效转动惯量和等效阻尼系数；K_t是电机扭矩常数；u是控制量；T_l是折算到电机轴上的负载扭矩；F是折算到电机轴上的摩擦力。

步骤2，建立非线性摩擦力的LuGre模型，并将摩擦进行连续化近似处理；

2.1，对于摩擦力，采用LuGre模型，如下：

$F={\mathrm{\σ}}_{o}z+{\mathrm{\σ}}_1\stackrel{\·}{z}+{\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{x}---\left(2\right)$

其中，σ_o为鬃毛刚度系数，σ₁为鬃毛阻尼系数，σ₂为粘滞摩擦系数，z为接触表面鬃毛的平均变形量。

2.2，将式(2)做如下分析：

$\stackrel{\·}{z}=\stackrel{\·}{x}-\frac{\left|\stackrel{\·}{x}\right|}{h\left(\stackrel{\·}{x}\right)}z---\left(3\right)$

其中，F_s表示最大静摩擦力矩，F_c表示Coulomb摩擦力矩，当时，z趋向于某个值z_s：

$z_s=h\left(\stackrel{\·}{x}\right)\mathrm{sign}\left(x\right)---\left(4\right)$

令ε＝z-z_s，并将式(3)、式(4)带入到式(2)中得：

$F={\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{x}+[F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}]\mathrm{sign}\left(\stackrel{\·}{x}\right)+{\mathrm{\σ}}_o\mathrm{\ϵ}[1-\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}}|\stackrel{\·}{x}\left|\right]---\left(5\right)$

2.3，由于式(5)中存在符号函数，不可以直接用神经网络估计。因此，将式(5)进行连续化近似处理，即：用双曲正切函数近似符号函数得：

$F={\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{x}+[F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}]\tanh \left(\stackrel{\·}{x}\right)+{\mathrm{\σ}}_o\mathrm{\ϵ}[1-\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}}|\stackrel{\·}{x}\left|\right]---\left(6\right)$

步骤3，应用BP(Back Propagation)神经网络估计摩擦力；

3.1，网络初始化；

给各连接权值分别赋一个在(-1,1)内的随机数，给定精度值ε和最大学习次数M，选取Sigmoid函数作为转移函数。

3.2，计算隐含层、输出层各单元输出；

隐含层：

U_j＝W_ij·X_k                    (7)

$V_j=\frac{1}{1+e^{-a{U}_j}}---\left(8\right)$

输出层：

U_p＝W_jp·V_j                    (9)

$V_p=\frac{1}{1+e^{-a{U}_p}}---\left(10\right)$

其中，U_j，U_p分别是隐含层的输入和输出，V_j，V_p分别是输出层的输入和输出，W_ij，W_jp为连接权值，X_k为神经网络的输入，a为调节系数。

3.3，计算输出层和隐含层的偏导数δ_p，δ_j；

δ_p＝V_p(1-V_p)(F_d-V_p)                    (11)

δ_j＝V_j(1-V_j)∑δ_pW_jp                   (12)

3.4，设计权值更新律；

W_jp(n+1)＝W_jp(n)+ηδ_p(n)V_j             (13)

W_ij(n+1)＝W_ij(n)+ηδ_j(n)V_i             (14)

其中，η为学习速率，F_d为摩擦力的期望值。

3.5，计算误差是否满足精度要求，若误差达到要求，则结束算法；否则，返回3.2步，进入下一轮学习；

结束算法后，输出值V_p即经神经网络估计得到的摩擦力

步骤4，用摩擦力的估计值补偿***中的摩擦力；

4.1，令x₁＝θ_m，x₂＝ω_m，并在式(1)中加入摩擦力的补偿，则式(1)可以改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ x_2=\frac{K_t}{J}u-\frac{D}{J}{x}_2-\frac{F}{J}-\frac{T_l}{J}+\frac{\hat{F}}{J}\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中，x₁，x₂为***状态，u为控制信号，为摩擦力F的估计值，则式(15)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=a\left(x\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中， $a\left(x\right)=-\frac{D}{J}{x}_2-\frac{F}{J}-\frac{T_l}{J}+\frac{\hat{F}}{J},b=\frac{K_t}{J};$

4.2，令d＝a(x)+Δbu，Δb＝b-b_o，其中b_o为b的估计值，可根据经验给定。基于扩张状态观测器的设计思想，定义扩展状态y₃＝d，则式(16)可以改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3+b_{o}u\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=h\end{array}\right.---\left(17\right)$

其中， $h=\stackrel{\·}{d};$

步骤5，设计线性扩张状态观测器，用于估计不可测***状态以及包括参数扰动和神经网络估计误差的不确定项；

令z_i，i＝1,2,3，分别为式(17)中状态变量y_i的观测值，定义观测误差为e_oi＝z_i-y_i，则设计线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\β}}_1{e}_{o1}\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\β}}_2{e}_{o1}+b_{o}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-{\mathrm{\β}}_3{e}_{o1}\end{array}\right.---\left(18\right)$

其中，β₁，β₂，β₃>0为观测器增益；

通过选择合适的参数β_i，可以保证z_i→x_i，i＝1,2,3.即：观测误差可以收敛到|x_i-z_i|≤d_i，其中d_i>0为很小的数。

步骤6，根据线性扩张状态观测器估计的***状态和参数扰动，设计滑模变结构控制器；

6.1，为将***误差e₁和e₂稳定到原点，设计基于滑模变结构方法的控制器u，其中滑模面设计如式(19)所示：

s＝e₂+λ₁e₁                               (19)

其中 $e_1=x_1^{*}-x_1,e_2=x_2^{*}-x_2,$ λ₁>0为控制参数；

s的一阶导数为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}={\stackrel{\·}{e}}_2+{\mathrm{\λ}}_1{\stackrel{\·}{e}}_1\\ ={\stackrel{\·\·}{x}}_1^{*}-x_3-b_{o}u+{\mathrm{\λ}}_1({\stackrel{\·}{x}}_1^{*}-x_2)\end{array}---\left(20\right)$

6.2，由式(18)和式(20)，基于扩张状态观测器的滑模控制器设计为：

$u=\frac{1}{b_o}({\stackrel{\·\·}{x}}_1^{*}-z_3+{\mathrm{\λ}}_1({\stackrel{\·}{x}}_1^{*}-z_2)+k\·\mathrm{sign}\left(s\right))---\left(21\right)$

其中，k>0满足k≥d₃+λ₁d₂；

本发明结合扩张状态观测器、神经网络和滑模控制技术，设计神经网络滑模控制器，实现机电伺服***的摩擦补偿和精确跟踪控制。

本发明的技术构思为：机电伺服***中由于存在摩擦力而导致控制精度不高。针对部分状态不可测、参数不确定以及存在外部扰动的机电伺服***，运用神经网络，结合扩张状态观测器和滑模控制理论，设计一种基于神经网络的机电伺服***变结构控制方法，尽可能地消除了摩擦力对***控制的影响。通过神经网络估计摩擦力，并补偿到***中。基于扩张状态观测器估计***未知状态以及包括参数扰动和神经网络估计带来的不确定项，并设计滑模控制器保证***跟踪误差快速稳定地收敛至零点，实现机电伺服***的快速稳定控制。

本发明的优点为：能有效地减小抖振现象，提高***的跟踪精度和鲁棒性，改善***的跟踪性能。

附图说明

图1为本发明的摩擦非线性模型输出曲线；

图2为本发明的算法的基本流程；

图3为本发明的控制***响应曲线；

图4为本发明的控制***跟踪误差；

图5为本发明的控制信号输出；

图6为本发明的摩擦力的估计情况。

具体实施方式

参照附图1-6，基于神经网络的机电伺服***摩擦补偿和变结构控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示的机电伺服***模型，初始化***状态以及相关控制参数；

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\mathrm{\θ}}_m}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ω}}_m\\ J\frac{d{\mathrm{\ω}}_m}{\mathrm{dt}}=K_{t}u-D{\mathrm{\ω}}_m-F-T_l\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，θ_m，ω_m为状态变量，分别表示电机输出轴位置和转速；J和D是折算到电机轴上的等效转动惯量和等效阻尼系数；K_t是电机扭矩常数；u是控制量；T_l是折算到电机轴上的负载扭矩；F是折算到电机轴上的摩擦力。

步骤2，建立非线性摩擦力的LuGre模型，并将摩擦进行连续化近似处理；

2.1，对于摩擦力，采用LuGre模型，如下：

$F={\mathrm{\σ}}_{o}z+{\mathrm{\σ}}_1\stackrel{\·}{z}+{\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{x}---\left(2\right)$

其中，σ_o为鬃毛刚度系数，σ₁为鬃毛阻尼系数，σ₂为粘滞摩擦系数，z为接触表面鬃毛的平均变形量。

2.2，将式(2)做如下分析：

$\stackrel{\·}{z}=\stackrel{\·}{x}-\frac{\left|\stackrel{\·}{x}\right|}{h\left(\stackrel{\·}{x}\right)}z---\left(3\right)$

其中，F_s表示最大静摩擦力矩，F_c表示Coulomb摩擦力矩，当时，z趋向于某个值z_s：

$z_s=h\left(\stackrel{\·}{x}\right)\mathrm{sign}\left(x\right)---\left(4\right)$

令ε＝z-z_s，并将式(3)、式(4)带入到式(2)中得：

$F={\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{x}+[F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}]\mathrm{sign}\left(\stackrel{\·}{x}\right)+{\mathrm{\σ}}_o\mathrm{\ϵ}[1-\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}}|\stackrel{\·}{x}\left|\right]---\left(5\right)$

2.3，由于式(5)中存在符号函数，不可以直接用神经网络估计。因此，将式(5)进行连续化近似处理，即：用双曲正切函数近似符号函数得：

$F={\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{x}+[F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}]\tanh \left(\stackrel{\·}{x}\right)+{\mathrm{\σ}}_o\mathrm{\ϵ}[1-\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}}|\stackrel{\·}{x}\left|\right]---\left(6\right)$

步骤3，应用BP(Back Propagation)神经网络估计摩擦力；

3.1，网络初始化；

给各连接权值分别赋一个在(-1,1)内的随机数，给定精度值ε和最大学习次数M，选取Sigmoid函数作为转移函数。

3.2，计算隐含层、输出层各单元输出；

隐含层：

U_j＝W_ij·X_k                      (7)

$V_j=\frac{1}{1+e^{-a{U}_j}}---\left(8\right)$

输出层：

U_p＝W_jp·V_j                      (9)

$V_p=\frac{1}{1+e^{-a{U}_p}}---\left(10\right)$

其中，U_j，U_p分别是隐含层的输入和输出，V_j，V_p分别是输出层的输入和输出，W_ij，W_jp为连接权值，X_k为神经网络的输入，a为调节系数。

3.3，计算输出层和隐含层的偏导数δ_p，δ_j；

δ_p＝V_p(1-V_p)(F_d-V_p)                    (11)

δ_j＝V_j(1-V_j)∑δ_pW_jp                   (12)

3.4，设计权值更新律；

W_jp(n+1)＝W_jp(n)+ηδ_p(n)V_j             (13)

W_ij(n+1)＝W_ij(n)+ηδ_j(n)V_i             (14)

其中，η为学习速率，F_d为摩擦力的期望值。

3.5，计算误差是否满足精度要求，若误差达到要求，则结束算法；否则，返回3.2步，进入下一轮学习；

结束算法后，输出值V_p即经神经网络估计得到的摩擦力

步骤4，用摩擦力的估计值补偿***中的摩擦力；

4.1，令x₁＝θ_m，x₂＝ω_m，并在式(1)中加入摩擦力的补偿，则式(1)可以改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ x_2=\frac{K_t}{J}u-\frac{D}{J}{x}_2-\frac{F}{J}-\frac{T_l}{J}+\frac{\hat{F}}{J}\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中，x₁，x₂为***状态，u为控制信号，为摩擦力F的估计值，则式(15)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=a\left(x\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中， $a\left(x\right)=-\frac{D}{J}{x}_2-\frac{F}{J}-\frac{T_l}{J}+\frac{\hat{F}}{J},b=\frac{K_t}{J};$

4.2，令d＝a(x)+Δbu，Δb＝b-b_o，其中b_o为b的估计值，可根据经验给定。基于扩张状态观测器的设计思想，定义扩展状态y₃＝d，则式(16)可以改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3+b_{o}u\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=h\end{array}\right.---\left(17\right)$

其中， $h=\stackrel{\·}{d};$

步骤5，设计线性扩张状态观测器，用于估计不可测***状态以及包括参数扰动和神经网络估计误差的不确定项；

令z_i，i＝1,2,3，分别为式(17)中状态变量y_i的观测值，定义观测误差为e_oi＝z_i-y_i，则设计线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\β}}_1{e}_{o1}\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\β}}_2{e}_{o1}+b_{o}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-{\mathrm{\β}}_3{e}_{o1}\end{array}\right.---\left(18\right)$

其中，β₁，β₂，β₃>0为观测器增益；

通过选择合适的参数β_i，可以保证z_i→x_i，i＝1,2,3.即：观测误差可以收敛到|x_i-z_i|≤d_i，其中d_i>0为很小的数。

步骤6，根据线性扩张状态观测器估计的***状态和参数扰动，设计滑模变结构控制器；

6.1，为将***误差e₁和e₂稳定到原点，设计基于滑模变结构方法的控制器u，其中滑模面设计如式(19)所示：

s＝e₂+λ₁e₁                              (19)

其中 $e_1=x_1^{*}-x_1,e_2=x_2^{*}-x_2,$ λ₁>0为控制参数；

s的一阶导数为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}={\stackrel{\·}{e}}_2+{\mathrm{\λ}}_1{\stackrel{\·}{e}}_1\\ ={\stackrel{\·\·}{x}}_1^{*}-x_3-b_{o}u+{\mathrm{\λ}}_1({\stackrel{\·}{x}}_1^{*}-x_2)\end{array}---\left(20\right)$

6.2，由式(18)和式(20)，基于扩张状态观测器的滑模控制器设计为：

$u=\frac{1}{b_o}({\stackrel{\·\·}{x}}_1^{*}-z_3+{\mathrm{\λ}}_1({\stackrel{\·}{x}}_1^{*}-z_2)+k\·\mathrm{sign}\left(s\right))---\left(21\right)$

其中，k>0满足k≥d₃+λ₁d₂；

为验证所提方法的有效性，本发明对由式(21)表示的滑模控制器的控制效果进行仿真实验，设置仿真实验中的初始条件与部分参数，即：***方程中J＝0.5，K_t＝1，D＝0.3，T_l＝0.5。LuGre摩擦模型参数取为σ_o＝0.5，σ₁＝0.3，σ₂＝0.1，F_s＝0.335，F_c＝0.285，V_s＝1。滑模控制器式(21)中的参数为λ₁＝5，k＝0.9。此外，扩张状态观测器中的各增益分别取为β₁＝10，β₂＝30，β₃＝55。神经网络权重W_ij(0)和W_jp(0)的初值选为0，权重更新律式(13)–(14)中的参数为η＝1。

从图3和图4可以看出，本发明设计的基于神经网络的机电伺服***摩擦补偿和变结构控制方法可以实现实际***输出对期望轨迹x_d＝sin t+0.5cos(0.5t)的快速有效跟踪。从图4可以看出，跟踪误差在10s后便趋于稳定范围[-0.1,0.1]，说明该方法能有效提高跟踪精度，降低跟踪误差。从图5可以看出，控制信号幅值较小，收敛于-1和2之间，抖振轻微，易于控制。由图6可以看出，除期望值出现跳变时刻以外，神经网络估计值比较精确，这是由于本发明把期望值中的符号函数改成了平滑过渡的双曲正切函数，有效防止了跳变现象的发生。整体来看，基于神经网络的机电伺服***摩擦补偿和变结构控制方法可以保证***的跟踪误差稳定收敛至平衡点。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。所提出的控制方案对存在非线性动态摩擦的机电伺服***是有效的，在所提出的控制器的作用下，实际输出能很快跟踪上期望轨迹。

Claims (1)

1.基于神经网络的机电伺服***摩擦补偿和变结构控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示的机电伺服***模型，初始化***状态以及相关控制参数；

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\mathrm{\θ}}_m}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ω}}_m\\ J\frac{d{\mathrm{\ω}}_m}{\mathrm{dt}}=K_{t}u-D{\mathrm{\ω}}_m-F-T_l\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，θ_m，ω_m为状态变量，分别表示电机输出轴位置和转速；J和D是折算到电机轴上的等效转动惯量和等效阻尼系数；K_t是电机扭矩常数；u是控制量；T_l是折算到电机轴上的负载扭矩；F是折算到电机轴上的摩擦力；

步骤2，建立非线性摩擦力的LuGre模型，并将摩擦进行连续化近似处理；

2.1，对于摩擦力，采用LuGre模型，如下：

$F={\mathrm{\σ}}_{o}z+{\mathrm{\σ}}_1\stackrel{\·}{z}+{\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{x}---\left(2\right)$

其中，σ_o为鬃毛刚度系数，σ₁为鬃毛阻尼系数，σ₂为粘滞摩擦系数，z为接触表面鬃毛的平均变形量；

2.2，将式(2)做如下分析：

$\stackrel{\·}{z}=\stackrel{\·}{x}-\frac{\left|\stackrel{\·}{x}\right|}{h\left(\stackrel{\·}{x}\right)}z---\left(3\right)$

其中，F_s表示最大静摩擦力矩，F_c表示Coulomb摩擦力矩，当时，z趋向于某个值z_s：

$z_s=h\left(\stackrel{\·}{x}\right)\mathrm{sign}\left(x\right)---\left(4\right)$

令ε＝z-z_s，并将式(3)、式(4)带入到式(2)中得：

$F={\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{x}+[F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}]\mathrm{sign}\left(\stackrel{\·}{x}\right)+{\mathrm{\σ}}_o\mathrm{\ϵ}[1-\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}}|\stackrel{\·}{x}\left|\right]---\left(5\right)$

2.3，由于式(5)中存在符号函数，不可以直接用神经网络估计；因此，将式(5)进行连续化近似处理，即：用双曲正切函数近似符号函数得：

$F={\mathrm{\σ}}_2\stackrel{\·}{x}+[F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}]\tanh \left(\stackrel{\·}{x}\right)+{\mathrm{\σ}}_o\mathrm{\ϵ}[1-\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{F_c+(F_s-F_c)e^{-{(\stackrel{\·}{x}/{\stackrel{\·}{x}}_s)}^2}}|\stackrel{\·}{x}\left|\right]---\left(6\right)$

步骤3，应用BP(Back Propagation)神经网络估计摩擦力；

3.1，网络初始化；

给各连接权值分别赋一个在(-1,1)内的随机数，给定精度值ε和最大学习次数M，选取Sigmoid函数作为转移函数；

3.2，计算隐含层、输出层各单元输出；

隐含层：

U_j＝W_ij·X_k               (7)

$V_j=\frac{1}{1+e^{-a{U}_j}}---\left(8\right)$

输出层：

U_p＝W_jp·V_j               (9)

$V_p=\frac{1}{1+e^{-a{U}_p}}---\left(10\right)$

其中，U_j，U_p分别是隐含层的输入和输出，V_j，V_p分别是输出层的输入和输出，W_ij，W_jp为连接权值，X_k为神经网络的输入，a为调节系数；

3.3，计算输出层和隐含层的偏导数δ_p，δ_j；

δ_p＝V_p(1-V_p)(F_d-V_p)                 (11)

δ_j＝V_j(1-V_j)∑δ_pW_jp                (12)

3.4，设计权值更新律；

W_jp(n+1)＝W_jp(n)+ηδ_p(n)V_j          (13)

W_ij(n+1)＝W_ij(n)+ηδ_j(n)V_i          (14)

其中，η为学习速率，F_d为摩擦力的期望值；

3.5，计算误差是否满足精度要求，若误差达到要求，则结束算法；否则，返回3.2步，进入下一轮学习；

结束算法后，输出值V_p即经神经网络估计得到的摩擦力

步骤4，用摩擦力的估计值补偿***中的摩擦力；

4.1，令x₁＝θ_m，x₂＝ω_m，并在式(1)中加入摩擦力的补偿，则式(1)可以改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ x_2=\frac{K_t}{J}u-\frac{D}{J}{x}_2-\frac{F}{J}-\frac{T_l}{J}+\frac{\hat{F}}{J}\end{array}\right.---\left(15\right)$

其中，x₁，x₂为***状态，u为控制信号，为摩擦力F的估计值，则式(15)改写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=a\left(x\right)+\mathrm{bu}\end{array}\right.---\left(16\right)$

其中， $a\left(x\right)=-\frac{D}{J}{x}_2-\frac{F}{J}-\frac{T_l}{J}+\frac{\hat{F}}{J},b=\frac{K_t}{J};$

4.2，令d＝a(x)+Δbu，Δb＝b-b_o，其中b_o为b的估计值，可根据经验给定；基于扩张状态观测器的设计思想，定义扩展状态y₃＝d，则式(16)可以改写为以下等效形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3+b_{o}u\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=h\end{array}\right.---\left(17\right)$

其中， $h=\stackrel{\·}{d};$

步骤5，设计线性扩张状态观测器，用于估计不可测***状态以及包括参数扰动和神经网络估计误差的不确定项；

令z_i，i＝1,2,3，分别为式(17)中状态变量y_i的观测值，定义观测误差为e_oi＝z_i-y_i，则设计线性扩张状态观测器表达式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-{\mathrm{\β}}_1{e}_{o1}\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-{\mathrm{\β}}_2{e}_{o1}+b_{o}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-{\mathrm{\β}}_3{e}_{o1}\end{array}\right.---\left(18\right)$

其中，β₁，β₂，β₃>0为观测器增益；

通过选择合适的参数β_i，可以保证z_i→x_i，i＝1,2,3.即：观测误差可以收敛到|x_i-z_i|≤d_i，其中d_i>0为很小的数；

步骤6，根据线性扩张状态观测器估计的***状态和参数扰动，设计滑模变结构控制器；

6.1，为将***误差e₁和e₂稳定到原点，设计基于滑模变结构方法的控制器u，其中滑模面设计如式(19)所示：

s＝e₂+λ₁e₁                           (19)

其中 $e_1=x_1^{*}-x_1,e_2=x_2^{*}-x_2,$ λ₁>0为控制参数；

s的一阶导数为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{s}={\stackrel{\·}{e}}_2+{\mathrm{\λ}}_1{\stackrel{\·}{e}}_1\\ ={\stackrel{\·\·}{x}}_1^{*}-x_3-b_{o}u+{\mathrm{\λ}}_1({\stackrel{\·}{x}}_1^{*}-x_2)\end{array}---\left(20\right)$

6.2，由式(18)和式(20)，基于扩张状态观测器的滑模控制器设计为：

$u=\frac{1}{b_o}({\stackrel{\·\·}{x}}_1^{*}-z_3+{\mathrm{\λ}}_1({\stackrel{\·}{x}}_1^{*}-z_2)+k\·\mathrm{sign}\left(s\right))---\left(21\right)$

其中，k>0满足k≥d₃+λ₁d₂。