CN106113040A - 基于串并联估计模型的柔性机械臂***模糊控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于串并联估计模型的柔性机械臂***模糊控制方法，包括：建立柔性机械臂伺服***的动态模型，初始化***状态、采样时间以及控制参数；采用模糊神经网络控制的自学习与自适应能力，补偿机械臂***中的未知非线性不确定项；进行通过动态面技术，在每一步设计中引入虚拟控制量，并依次通过一阶低通滤波器，避免传统反演控制法所带来的复杂度***问题；同时，基于串并联估计模型，定义变量预测值并设计相关变化律，提高控制***的鲁棒性。本发明提供一种能够有效改善柔性机械臂伺服***控制性能的基于串并联估计模型的模糊自适应控制方法，实现***的精确快速跟踪。

Description

基于串并联估计模型的柔性机械臂***模糊控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于串并联估计模型的柔性机械臂***模糊控制方法，特别是存在未知非线性不确定项的机械臂伺服***的控制方法。

背景技术

随着工业自动化水平的不断提高，机械臂作为主要的自动化机械装置，凭借其可减省人工、操作方便、安全性好等优点，在数控机床、电子加工与检测设备、生产自动化等工业控制领域得到了广泛的应用。如何实现机械臂伺服***的快速精确控制已经成为了一个热点问题，机器臂的轨迹跟踪控制***与柔性机械臂问题也受到越来越多的重视。然而，大量的耦合项以及非线性不确定项存在于机械臂伺服***中，导致难以设计控制算法以实现对伺服***的有效动态补偿。针对机械臂伺服***的控制问题，目前已有很多成熟的控制方法，例如PID控制、自适应控制。

模糊自适应控制在控制领域里已经成为一个研究热点，已成为一种处理不确定性、非线性和其他不确定问题的有力工具。其中，模糊***能有效地对知识抽取与表达，并具有较强的自学习与自适应能力，能有效地补偿非线性不确定项并实现自适应控制。动态面控制技术作为非线性自适应控制的重要手段，能放松***匹配条件并避免反演法对虚拟控制反复求导带来的“复杂性***”问题。

串并联估计模型是基于自适应控制基础上提出来的一种控制方法，通过定义预测误差、状态变量预测值以及其变化律，结合李雅普诺夫理论设计方法，能有效地减小神经网络或模糊***的逼近误差，从而提高控制***的鲁棒性。

发明内容

为了克服现有机械臂伺服***存在未知非线性不确定项，反演法带来的复杂度***以及***鲁棒性差等问题，本发明提出一种基于串并联估计模型的柔性机械臂***模糊控制方法，并结合动态面控制技术，避免传统反演控制方法所带来的“复杂度***”问题，利用模糊自适应控制技术与串并联估计模型，在此基础上设计参数自适应律与控制律，实现了***快速稳定跟踪。

为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：

一种基于串并联估计模型的柔性机械臂***模糊控制方法，包括以下步骤：

步骤1：建立柔性机械臂伺服***动态模型，初始化***状态、采样时间以及控制参数，过程如下：

1.1柔性机械臂伺服***动态模型的运动方程表达式为

$\left\{\begin{array}{c}I\stackrel{\·\·}{q}+K(q-\mathrm{\θ})+MgLsin\left(q\right)=0\\ J\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-K(q-\mathrm{\θ})=u\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，q与θ分别为机械臂连杆和电机的转动角度；与分别为机械臂连杆和电机的转动角加速度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J为电机的惯量；K为弹簧的刚度系数；M与L分别为连杆的质量与长度；u为控制信号；

1.2定义：x₁＝q，x₃＝θ，式(1)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3+f_2\left(X\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=\frac{1}{J}u+f_4\left(X\right)\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，y为***位置输出轨迹；与分别为机械臂连杆和电机的转动角速度；

$f_2\left(X\right)=-\frac{MgL}{I}\sin x_1-\frac{K}{I}(x_1-x_3+\frac{I}{K}{x}_3),f_4\left(X\right)=\frac{K}{J}(x_1-x_3);$

步骤2：针对式(1)，计算控制***位置跟踪误差，利用模糊***逼近复杂非线性项，设计***状态预测误差以及预测变量的变化律，设计虚拟控制量，并通过一阶低通滤波器输出，最后更新模糊***权值，过程如下：

2.1定义***的位置跟踪误差

s₁＝x₁-y_r (3)

其中，y_r为二阶可导期望位置轨迹；

2.2设计虚拟控制量

$x_2^d=-k_1{s}_1+{\stackrel{\·}{y}}_r---\left(4\right)$

其中,k₁为常数且满足k₁＞0，为期望速度轨迹；

2.3定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶低通滤波器，得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_2{\stackrel{\·}{x}}_2^c+x_2^c=x_2^d\\ x_2^c\left(0\right)=x_2^d\left(0\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

2.4定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响，定义第一补偿信号z₁，其变化律表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=-k_1{z}_1+z_2+{\mathrm{\χ}}_2\\ z_1\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，z₂为第二补偿信号；

2.5定义跟踪误差补偿信号

v₁＝s₁-z₁ (7)

2.6定义误差变量

$s_2=x_2-x_2^c---\left(8\right)$

2.7为了逼近复杂的非线性不确定项f₂(X)，定义以下模糊***

其中，为理想权重；ε₂为模糊逼近误差，ε_N2为逼近误差上界，满足|ε₂|≤ε_N2；的表达式为

其中，μ_l(x_j)为隶属度函数，其表达式为 为常数，exp(·)为指数函数；

2.8设计虚拟控制量

其中,k₂为常数且满足k₂＞0，为的估计值；

2.9定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ₃的一阶低通滤波器，得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_3{\stackrel{\·}{x}}_3^c+x_3^c=x_3^d\\ x_3^c\left(0\right)=x_3^d\left(0\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

2.10定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响，定义第二补偿信号z₂，设计其变化律表达式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_2=-k_2{z}_2+z_3-z_1+{\mathrm{\χ}}_3\\ z_2\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，z₃为第三补偿信号；

2.11定义预测误差

$z_{2NN}=x_2-{\hat{x}}_2---\left(14\right)$

其中，为***状态x₂的预测值；

2.12设计串并联估计模型

其中，β₂为常数且满足β₂＞0；

2.13定义跟踪误差补偿信号

v₂＝s₂-z₂ (16)

2.14设计模糊***权重估计值的调节规律为

其中，δ₂与r_z2为常数，且δ₂＞0，r_z2＞0，γ₂为对称正定矩阵；

2.15定义误差变量

$s_3=x_3-x_3^c---\left(18\right)$

2.16设计虚拟控制量

$x_4^d={\stackrel{\·}{x}}_3^c-k_3{s}_3-s_2---\left(19\right)$

其中,k₃为常数，且k₃＞0；

2.17定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ₄的一阶低通滤波器，可得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_4{\stackrel{\·}{x}}_4^c+x_4^c=x_4^d\\ x_4^c\left(0\right)=x_4^d\left(0\right)\end{array}\right.---\left(20\right)$

2.18定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响，定义第三补偿信号z₃，设计其变化律表达式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_3=-k_3{z}_3+z_4-z_2+{\mathrm{\χ}}_4\\ z_3\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(21\right)$

2.19定义跟踪误差补偿信号

v₃＝s₃-z₃ (22)

步骤3:设计控制器输入，过程如下：

3.1定义误差变量

$s_4=x_4-x_4^c---\left(23\right)$

3.2为了逼近复杂的非线性不确定项f₄(X)，定义以下模糊***

$f_4\left(X\right)={\mathrm{\θ}}_4^{*}\left(X\right)+{\mathrm{\ϵ}}_4---\left(24\right)$

其中，为理想权重；ε₄为模糊逼近误差，ε_N4为逼近误差上界，满足|ε₄|≤ε_N4；

3.3设计控制器输入为u

其中，k₄为常数且满足k₄＞0，为的估计值；

3.4定义补偿信号z₄，设计其变化律表达式

$\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_4=-k_4{z}_4-z_3\\ z_4\left(0\right)=0\end{array}---\left(26\right)$

3.5定义预测误差

$z_{4NN}=x_4-{\hat{x}}_4---\left(27\right)$

其中，为***状态x₄的预测值；

3.6设计串并联估计模型

其中，β₄为常数且满足β₄＞0；

3.7定义跟踪误差补偿信号

v₄＝s₄-z₄ (29)

3.8设计模糊***权重估计值的调节规律为

其中，δ₄，r_z4为常数，且δ₄＞0，r_z4＞0，γ₄为对称正定矩阵；

步骤4：设计李雅普诺夫函数

$V=\frac{1}{2}{\Σ}_{i=1}^4{v}_i^2+\frac{1}{2}({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\mathrm{\γ}}_2^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_4^T{\mathrm{\γ}}_4^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_4+r_{z2}{z}_{2NN}^2+r_{z4}{z}_{4NN}^2)---\left(31\right)$

对式(31)进行求导得：

$\stackrel{\·}{V}={\Σ}_{i=1}^4{v}_i{\stackrel{\·}{v}}_i+(-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\mathrm{\γ}}_2^{-1}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_2-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_4^T{\mathrm{\γ}}_4^{-1}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_4+r_{z2}{\stackrel{\·}{z}}_{2NN}{z}_{2NN}+r_{z4}{\stackrel{\·}{z}}_{4NN}{z}_{4NN})---\left(32\right)$

如果则判定***是稳定的。

本发明的技术构思为：针对柔性机械臂伺服***，考虑柔性关节的复杂动态方程，利用模糊模型较强的自学习能力与自适应能力逼近***中复杂的非线性不确定项。采用动态面技术，在每一步设计过程中加入虚拟控制量，并通过依次通过一阶低通滤波器，其低通性能有效避免传统反演控制方法所带来的“复杂度***”问题。设计低通滤波器滤波误差相应补偿信号，进一步提高控制精度。最后，基于串并联估计模型，定义***状态预测量并设计相应控制律，以此提高***的鲁棒性。本发明提供中能有效克服非线性不确定项，提高***鲁棒性并实现动态补偿的模糊自适应控制方法，实现***位置信号的稳定快速跟踪。

本发明的优点为：避免传统反演控制方法所带来的“复杂度***”问题，补偿***未知模型复杂非线性项问题，减小模糊自适应控制误差，能提高***的鲁棒性，实现对伺服***位置轨迹的稳定快速跟踪。

附图说明

图1为本发明期望信号1的跟踪效果图；

图2为本发明期望信号1的跟踪误差图；

图3为本发明期望信号1的控制输入示意图；

图4为本发明期望信号2的跟踪效果图；

图5为本发明期望信号2的跟踪误差图；

图6为本发明期望信号2的控制输入示意图；

图7为本发明的控制流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1–图7，一种基于串并联估计模型的柔性机械臂***模糊控制方法，所述控制方法包括如下步骤：

步骤1：建立柔性机械臂伺服***动态模型，初始化***状态、采样时间以及控制参数，过程如下：

1.1柔性机械臂伺服***动态模型的运动方程表达式为

$\left\{\begin{array}{c}I\stackrel{\·\·}{q}+K(q-\mathrm{\θ})+MgLsin\left(q\right)=0\\ J\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-K(q-\mathrm{\θ})=u\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，q与θ分别为机械臂连杆和电机的转动角度；与分别为机械臂连杆和电机的转动角加速度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J为电机的惯量；K为弹簧的刚度系数；M与L分别为连杆的质量与长度；u为控制信号；

1.2定义：x₁＝q，x₃＝θ，式(1)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3+f_2\left(X\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=\frac{1}{J}u+f_4\left(X\right)\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，y为***位置输出轨迹；与分别为机械臂连杆和电机的转动角速度；

$f_2\left(X\right)=-\frac{MgL}{I}\sin x_1-\frac{K}{I}(x_1-x_3+\frac{I}{K}{x}_3),f_4\left(X\right)=\frac{K}{J}(x_1-x_3);$

步骤2：针对式(1)，计算控制***位置跟踪误差，利用模糊***逼近复杂非线性项，设计***状态预测误差以及预测变量的变化律，设计虚拟控制量，并通过一阶低通滤波器输出，最后更新模糊***权值，过程如下：

2.1定义***的位置跟踪误差

s₁＝x₁-y_r (3)

其中，y_r为二阶可导期望位置轨迹；

2.2设计虚拟控制量

$x_2^d=-k_1{s}_1+{\stackrel{\·}{y}}_r---\left(4\right)$

其中,k₁为常数且满足k₁＞0，为期望速度轨迹；

2.3定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶低通滤波器，得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_2{\stackrel{\·}{x}}_2^c+x_2^c=x_2^d\\ x_2^c\left(0\right)=x_2^d\left(0\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

2.4定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响，定义第一补偿信号z₁，其变化律表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=-k_1{z}_1+z_2+{\mathrm{\χ}}_2\\ z_1\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，z₂为第二补偿信号，在步骤2.10中定义；

2.5定义跟踪误差补偿信号

v₁＝s₁-z₁ (7)

2.6定义误差变量

$s_2=x_2-x_2^c---\left(8\right)$

2.7为了逼近复杂的非线性不确定项f₂(X)，定义以下模糊***

其中，为理想权重；ε₂为模糊逼近误差，ε_N2为逼近误差上界，满足|ε₂|≤ε_N2；的表达式为

其中，μ_l(x_j)为隶属度函数，其表达式为 为常数，exp(·)为指数函数；

2.8设计虚拟控制量

其中,k₂为常数且满足k₂＞0，为的估计值；

2.9定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ₃的一阶低通滤波器，得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_3{\stackrel{\·}{x}}_3^c+x_3^c=x_3^d\\ x_3^c\left(0\right)=x_3^d\left(0\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

2.10定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响，定义第二补偿信号z₂，设计其变化律表达式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_2=-k_2{z}_2+z_3-z_1+{\mathrm{\χ}}_3\\ z_2\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，z₃第三补偿信号，在步骤2.18中定义；

2.11定义预测误差

$z_{2NN}=x_2-{\hat{x}}_2---\left(14\right)$

其中，为***状态x₂的预测值；

2.12设计串并联估计模型

其中，β₂为常数且满足β₂＞0；

2.13定义跟踪误差补偿信号

v₂＝s₂-z₂ (16)

2.14设计模糊***权重估计值的调节规律为

其中，δ₂与r_z2为常数，且δ₂＞0，r_z2＞0，γ₂为对称正定矩阵；

2.15定义误差变量

$s_3=x_3-x_3^c---\left(18\right)$

2.16设计虚拟控制量

$x_4^d={\stackrel{\·}{x}}_3^c-k_3{s}_3-s_2---\left(19\right)$

其中,k₃为常数，且k₃＞0；

2.17定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ₄的一阶低通滤波器，可得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_4{\stackrel{\·}{x}}_4^c+x_4^c=x_4^d\\ x_4^c\left(0\right)=x_4^d\left(0\right)\end{array}\right.---\left(20\right)$

2.18定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响，定义补偿信号z₃，设计其变化律表达式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_3=-k_3{z}_3+z_4-z_2+{\mathrm{\χ}}_4\\ z_3\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(21\right)$

2.19定义跟踪误差补偿信号

v₃＝s₃-z₃ (22)

步骤3:设计控制器输入，过程如下：

3.1定义误差变量

$s_4=x_4-x_4^c---\left(23\right)$

3.2为了逼近复杂的非线性不确定项f₄(X)，定义以下模糊***

$f_4\left(X\right)={\mathrm{\θ}}_4^{*}\left(X\right)+{\mathrm{\ϵ}}_4---\left(24\right)$

其中，为理想权重；ε₄为模糊逼近误差，ε_N4为逼近误差上界，满足|ε₄|≤ε_N4；

3.3设计控制器输入为u

其中，k₄为常数且满足k₄＞0，为的估计值；

3.4定义补偿信号z₄，设计其变化律表达式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_4=-k_4{z}_4-z_3\\ z_4\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(26\right)$

3.5定义预测误差

$z_{4NN}=x_4-{\hat{x}}_4---\left(27\right)$

其中，，为***状态x₄的预测值；

3.6设计串并联估计模型

其中，β₄为常数且满足β₄＞0；

3.7定义跟踪误差补偿信号

v₄＝s₄-z₄ (29)

3.8设计模糊***权重估计值的调节规律为

其中，δ₄，r_z4为常数，且δ₄＞0，r_z4＞0，γ₄为对称正定矩阵；

步骤4：设计李雅普诺夫函数

$V=\frac{1}{2}{\Σ}_{i=1}^4{v}_i^2+\frac{1}{2}({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\mathrm{\γ}}_2^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_4^T{\mathrm{\γ}}_4^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_4+r_{z2}{z}_{2NN}^2+r_{z4}{z}_{4NN}^2)---\left(31\right)$

对式(31)进行求导得：

$\stackrel{\·}{V}={\Σ}_{i=1}^4{v}_i{\stackrel{\·}{v}}_i+(-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\mathrm{\γ}}_2^{-1}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_2-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_4^T{\mathrm{\γ}}_4^{-1}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_4+r_{z2}{\stackrel{\·}{z}}_{2NN}{z}_{2NN}+r_{z4}{\stackrel{\·}{z}}_{4NN}{z}_{4NN})---\left(32\right)$

如果则判定***是稳定的。

本发明针对柔性机械臂***，基于模糊自适应控制技术和串并联估计模型，结合动态面技术，设计一种基于串并联估计模型的柔性机械臂***模糊控制方法，克服非线性不确定项对控制效果的影响，实现对***的位置轨迹的跟踪控制，并提高了***的鲁棒性，为验证所提方法的有效性，本发明给出了所提控制方法对两种不同信号的控制效果图。

为了体现控制***的鲁棒性，所有参数设置都是一致的***初始化参数为[x₁,x₂,x₃,x₄]^T＝[0,0,0,0]^T，[z₁,z₂,z₃,z₄]^T＝[0,0,0,0]^T， [z_1NN,z_2NN,z_3NN,z_4NN]^T＝[0,0,0,0]^T；串并联估计模型参数：[β₁，β₂，β₃，β₄]＝[0.01,0.01,0.01,0.01]；模糊***参数为：自适应控制律参数为γ₂＝0.1I₁₁，I₁₁为11阶单位方阵，γ₄＝0.1I₁₁，δ₂＝0.01，δ₄＝0.01；一阶低通滤波器的时间常数为τ₂＝0.8，τ₃＝8，τ₄＝0.006；***模型参数为Mgl＝5,I＝1,J＝1,K＝40；控制器参数为k₁＝18，k₂＝15，k₃＝8，k₄＝8。

期望信号1为单位正弦波输入，其表达式为y＝sinx；期望信号2为非单位正弦波输入，其表达式为y＝0.5[sint+sin(0.5t)]。从图1-2可以看出，本发明控制方法跟踪单位正弦波输入，相应输出在0.6秒内都能准确跟踪上给定输入信号并且误差保持在10％的误差带内；从图3可以看出，控制器输出前4秒内控制输出在-3到+7范围内有小波动，4秒后控制输出呈稳定输出；从图4-5可以看出，本发明控制方法跟踪非单位正弦波输入，相应输出在0.6秒内都能准确跟踪上给定输入信号并且误差保持在10％的误差带内；从图6可以看出，控制器输出前4秒内控制输出在-5到+10范围内有小波动，5秒后控制输出呈稳定输出；从图1-6可以看出，同组控制参数对不同的期望信号都能有效精确地实现跟踪，具有较好的鲁棒性。因此，本发明提供一种能够有效补偿未知非线性不确定项，有效提高***鲁棒性以及避免反演方法带来的“复杂度***”问题的基于串并联估计模型的柔性机械臂模糊控制方法，实现***的稳定快速跟踪。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.一种基于串并联估计模型的柔性机械臂***模糊控制方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：建立柔性机械臂伺服***动态模型，初始化***状态、采样时间以及控制参数，过程如下：

1.1柔性机械臂伺服***动态模型的运动方程表达式为

$\left\{\begin{array}{c}I\stackrel{\·\·}{q}+K(q-\mathrm{\θ})+MgLsin\left(q\right)=0\\ J\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}-K(q-\mathrm{\θ})=u\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，q与θ分别为机械臂连杆和电机的转动角度；与分别为机械臂连杆和电机的转动角加速度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J为电机的惯量；K为弹簧的刚度系数；M与L分别为连杆的质量与长度；u为控制信号；

1.2定义：x₁＝q，x₃＝θ，式(1)改写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3+f_2\left(X\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=x_4\\ {\stackrel{\·}{x}}_4=\frac{1}{J}u+f_4\left(X\right)\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，y为***位置输出轨迹；与分别为机械臂连杆和电机的转动角速度；

$f_2\left(X\right)=-\frac{MgL}{I}\sin x_1-\frac{K}{I}(x_1-x_3+\frac{I}{K}{x}_3),f_4\left(X\right)=\frac{K}{J}(x_1-x_3);$

步骤2：针对式(1)，计算控制***位置跟踪误差，利用模糊***逼近复杂非线性项，设计***状态预测误差以及预测变量的变化律，设计虚拟控制量，并通过一阶低通滤波器输出，最后更新模糊***权值，过程如下：

2.1定义***的位置跟踪误差

s₁＝x₁-y_r (3)

其中，y_r为二阶可导期望位置轨迹；

2.2设计虚拟控制量

$x_2^d=-k_1{s}_1+{\stackrel{\·}{y}}_r---\left(4\right)$

其中,k₁为常数且满足k₁＞0，为期望速度轨迹；

2.3定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ₂的一阶低通滤波器，得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_2{\stackrel{\·}{x}}_2^c+x_2^c=x_2^d\\ x_2^c\left(0\right)=x_2^d\left(0\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

2.4定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响，定义第一补偿信号z₁，其变化律表达式为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_1=-k_1{z}_1+z_2+{\mathrm{\χ}}_2\\ z_1\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，z₂为第二补偿信号；

2.5定义跟踪误差补偿信号

v₁＝s₁-z₁ (7)

2.6定义误差变量

$s_2=x_2-x_2^c---\left(8\right)$

2.7为了逼近复杂的非线性不确定项f₂(X)，定义以下模糊***

其中，为理想权重；ε₂为模糊逼近误差，ε_N2为逼近误差上界，满足|ε₂|≤ε_N2；的表达式为

其中，μ_l(x_j)为隶属度函数，其表达式为 为常数，exp(·)为指数函数；

2.8设计虚拟控制量

其中,k₂为常数且满足k₂＞0，为的估计值；

2.9定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ₃的一阶低通滤波器，可得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_3{\stackrel{\·}{x}}_3^c+x_3^c=x_3^d\\ x_3^c\left(0\right)=x_3^d\left(0\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

2.10定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响，定义第二补偿信号z₂，设计其变化律表达式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_2=-k_2{z}_2+z_3-z_1+{\mathrm{\χ}}_3\\ z_2\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，z₃为第三补偿信号；

2.11定义预测误差

$z_{2NN}=x_2-{\hat{x}}_2---\left(14\right)$

其中，为***状态x₂的预测值；

2.12设计串并联估计模型

其中，β₂为常数且满足β₂＞0；

2.13定义跟踪误差补偿信号

v₂＝s₂-z₂ (16)

2.14设计模糊***权重估计值的调节规律为

其中，δ₂与r_z2为常数，且δ₂＞0，r_z2＞0，γ₂为对称正定矩阵；

2.15定义误差变量

$s_3=x_3-x_3^c---\left(18\right)$

2.16设计虚拟控制量

$x_4^d={\stackrel{\·}{x}}_3^c-k_3{s}_3-s_2---\left(19\right)$

其中,k₃为常数，且k₃＞0；

2.17定义一个新的变量让虚拟控制量通过时间常数为τ₄的一阶低通滤波器，可得

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_4{\stackrel{\·}{x}}_4^c+x_4^c=x_4^d\\ x_4^c\left(0\right)=x_4^d\left(0\right)\end{array}\right.---\left(20\right)$

2.18定义滤波误差为消除滤波误差对控制效果的影响，定义第三补偿信号z₃，设计其变化律表达式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_3=-k_3{z}_3+z_4-z_2+{\mathrm{\χ}}_4\\ z_3\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(21\right)$

2.19定义跟踪误差补偿信号

v₃＝s₃-z₃ (22)

步骤3:设计控制器输入，过程如下：

3.1定义误差变量

$s_4=x_4-x_4^c---\left(23\right)$

3.2为了逼近复杂的非线性不确定项f₄(X)，定义以下模糊***

$f_4\left(X\right)={\mathrm{\θ}}_4^{*}\left(X\right)+{\mathrm{\ϵ}}_4---\left(24\right)$

其中，为理想权重；ε₄为模糊逼近误差，ε_N4为逼近误差上界，满足|ε₄|≤ε_N4；

3.3设计控制器输入为u

其中，k₄为常数且满足k₄＞0，为的估计值；

3.4定义补偿信号z₄，设计其变化律表达式

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_4=-k_4{z}_4-z_3\\ z_4\left(0\right)=0\end{array}\right.---\left(26\right)$

3.5定义预测误差

$z_{4NN}=x_4-{\hat{x}}_4---\left(27\right)$

其中，，为***状态x₄的预测值；

3.6设计串并联估计模型

其中，β₄为常数且满足β₄＞0；

3.7定义跟踪误差补偿信号

v₄＝s₄-z₄ (29)

3.8设计模糊***权重估计值的调节规律为

其中，δ₄，r_z4为常数，且δ₄＞0，r_z4＞0，γ₄为对称正定矩阵；

步骤4：设计李雅普诺夫函数

$V=\frac{1}{2}{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^4{v}_i^2+\frac{1}{2}({\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\mathrm{\γ}}_2^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2+{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_4^T{\mathrm{\γ}}_4^{-1}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_4+r_{z2}{z}_{2NN}^2+r_{z4}{z}_{4NN}^2)---\left(31\right)$

对式(31)进行求导得：

$\stackrel{\·}{V}={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^4{v}_i{\stackrel{\·}{v}}_i+(-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_2^T{\mathrm{\γ}}_2^{-1}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_2-{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_4^T{\mathrm{\γ}}_4^{-1}{\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_4+r_{z2}{\stackrel{\·}{z}}_{2NN}{z}_{2NN}+r_{z4}{\stackrel{\·}{z}}_{4NN}{z}_{4NN})---\left(32\right)$

如果则判定***是稳定的。