CN104216284A - 机械臂伺服***的有限时间协同控制方法 - Google Patents

Abstract

机械臂伺服***的有限时间协同控制方法，包括：建立机械臂伺服***的动态模型，初始化***状态、采样时间以及相关控制参数；根据微分中值定理，将***中的非线性输入死区线性近似为一个简单的时变***，推导出带有未知死区的机械臂伺服***模型；计算控制***的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；基于带有未知死区的机械臂伺服***模型，选择神经网络逼近未知函数，并根据***跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间协同控制器，更新神经网络权值矩阵；该方法不仅能够避免非线性死区的附加逆补偿，减小滑模高频抖振问题，而且可以实现机械臂伺服***的有限时间快速跟踪。

Description

机械臂伺服***的有限时间协同控制方法

技术领域

本发明设计一种机械臂伺服***的有限时间协同控制方法，特别是带有***模型不确定和非线性死区输入的机械臂伺服***的有限时间协同控制方法。

背景技术

机械臂伺服***在机器人、航空飞行器等高性能***中得到了广泛的应用。如何实现机械臂伺服***的快速精确控制已经成为了一个热点问题。然而，死区非线性环节广泛存在于机械臂伺服***中，往往会导致控制***的效率降低甚至是失效。针对机械臂伺服***的控制问题，存在很多控制方法，例如PID控制，自适应控制，滑模控制，非奇异终端滑模控制等。

滑模控制方法具有算法简单、响应速度快、对外界噪声干扰和参数摄动鲁棒性强等优点，因此被广泛应用于机器人、电机、飞行器等领域。然而，滑模控制存在着不可避免的缺点，比如存在高频抖振。在滑模控制的基础上，协同控制方法被提出。该方法可以使***工作在恒定频率下，从而避免了高频抖振。另外，为了提高***跟踪误差的收敛速度，一般在线性滑模的基础上增加非线性项，通过设计动态非线性滑模面实现***的快速跟踪控制，称为非奇异终端滑模控制方法。

发明内容

本发明要克服现有技术的上述缺点，提供一种机械臂伺服***的有限时间协同控制方法,结合协同控制理论和非奇异终端滑模思想，设计有限时间控制器，保证***输出在有限时间内对期望轨迹的精确跟踪。

本发明所述的机械臂伺服***的有限时间协同控制方法，包含以下步骤:

步骤1，建立如式(1)所示机械臂伺服***的动态模型，初始化***状态、采样时间以及相关控制参数；

$M\left(x\right)\stackrel{..}{x}+V_m(x,\stackrel{.}{x})\stackrel{.}{x}+G\left(x\right)+F\left(\stackrel{.}{x}\right)=\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_d---\left(1\right)$

其中分别为位置，速度和加速度；M(x)∈R^n×n为对称正定矩阵；为科式力；G(x)∈Rⁿ为重力；表示摩擦力；τ_d∈R^n×1为外部扰动；τ∈R^n×1为死区输出值，表示为：

$\mathrm{\&tau;}=D\left(u\left(t\right)\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{g}_r\left(u\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&GreaterEqual;b_r\\ 0& \mathrm{if}& b_l<u\left(t\right)<b_r\\ g_l\left(u\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&le;b_l\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中u(t)∈R是实际控制信号；g_l(u)，g_r(u)为未知非线性函数；b_l和b_r为死区未知宽度参数，并且满足b_l<0，b_r>0。

步骤2，根据微分中值定理，将***中的非线性输入死区线性近似为一个简单的时变***，推导出带有未知死区的机械臂伺服***模型；

2.1根据微分中值定理，存在ξ_l∈(-∞,b_l)和ξ_r∈(b_r,+∞)使

g_l(u)＝g′_l(ξ′_l)(u-b_l)      (3)

其中ξ′_l∈(-∞,b_l]，g′_l(ξ_l)为函数g_l(u)在ξ′_l处的倒数；

g_r(u)＝g′_r(ξ′_r)(u-b_r)      (4)

其中ξ′_r∈[b_l,+∞)，g′_r(ξ_r)为函数g_r(u)在ξ′_r处的倒数；

根据式(3)和式(4)，可将式(2)改写为

其中

$\mathrm{\&rho;}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right)b_r& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&GreaterEqual;b_r\\ -[g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\right)+g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right)]u\left(t\right)& \mathrm{if}& b_l<u\left(t\right)<b_r\\ -g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&le;b_l\end{array}\right..---\left(6\right)$

其中ξ_l∈(-∞,b_l]，ξ_r∈[b_l,+∞)，

并且

2.2由式(1)和式(5)可得带有未知死区的机械臂伺服***模型为：

其中|ρ(u)|≤ρ_N，ρ_N是未知正常数，满足ρ_N＝(g_r1+g_l1)max{b_r,b_l}。

步骤3，计算控制***的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；

3.1定义控制***的跟踪误差为

e(t)＝x_d-x    (11)

其中x_d为二阶可导期望轨迹。

3.2在设计协同控制器的过程中，定义协同流型为：

$s=\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\mathrm{\&lambda;e}\left(t\right)---\left(12\right)$

其中λ为影响***收敛的正常数。

根据如式(13)所示的非奇异终端滑模面，设计有限时间协同控制器，使***误差快速趋向于式(12)所示的协同流型；

$q{\stackrel{.}{s}}^{p/r}+s=0---\left(13\right)$

其中q为正定常数，p>0,r>0，1<p/r<2。

3.3对式(12)求导，结合式(6)和式(11)可以推导出

其中非线性未知函数h为

$h=M({\stackrel{..}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;}\stackrel{.}{e})+V_m({\stackrel{.}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;e})+G+F-\mathrm{\&rho;}\left(u\right).---\left(15\right)$

步骤4，基于带有未知死区的机械臂伺服***模型，选择神经网络逼近未知函数，并根据***跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间协同控制器，更新神经网络权值矩阵；

4.1根据式(13)和式(14)，控制器的表达式为

$u={\hat{W}}_a^T\mathrm{\&phi;}\left(x\right)+k{s}^{r/p}+\mathrm{\&delta;sgn}\left(s\right)---\left(16\right)$

其中为理想权重的估计值，为神经网络基函数，x为神经网络输入向量，k＝q^-1是控制参数，δ是一个正的常数，满足ε_N为一个正常数，表示神经网络逼近误差的上限，τ_N为外部扰动的上限常数，为神经网络权值估计误差。

4.2设计神经网络的权值更新律为：

${\stackrel{\stackrel{.}{^}}{W}}_a=K_C\mathrm{\&phi;}\left(x\right)s^T---\left(17\right)$

其中K_C为正定对角矩阵，φ(x)通常取为以下高斯函数：

$\mathrm{\&phi;}\left(x\right)=\exp (-\frac{{|x-c|}^2}{2b^2})---\left(18\right)$

其中c＝[c₁,c₂,...,c_n]^T是高斯函数的中心；b是高斯函数的宽度；由式(18)可以推出0<φ(x)≤1。

步骤5，设计李雅普诺夫函数和则可以证明闭环控制***中的所有信号均是一致有界的。同时，***误差e可以在有限时间内收敛至平衡点e＝0。

本发明结合协同控制原理和非奇异终端滑模，设计有限时间协同控制方法，保证输出在有限时间内对期望轨迹的精确跟踪。

本发明的技术构思为：针对带有模型不确定和非线性死区输入的机械臂伺服***，利用微分中值定理优化死区结构，结合协同控制，非奇异终端滑模和神经网络，设计一种机械臂伺服***的有限时间协同控制方法。通过微分中值定理，使死区连续可微，再通过神经网络逼近包括死区在内的未知函数，取消了传统死区的附加逆补偿。同时，设计有限时间协同控制器保证***跟踪误差快速稳定收敛致零点。本发明提供一种能够改善滑模控制中的高频抖振问题，且有效避免死区输入对***影响的有限时间协同控制方法，可以实现机械臂伺服***的快速跟踪控制。

本发明的优点为：避免死区附加逆补偿，实现***有限时间收敛，避免高频抖振。

附图说明

图1为本发明的非线性死区模型

图2为本发明的机械臂伺服***关节1,2的跟踪效果

图3为本发明的***的跟踪误差

图4为本发明的控制器输入信号

图5为本发明的协同控制算法流程图

具体实施方式

参照附图，本发明所述的机械臂伺服***的有限时间协同控制方法,包括以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示机械臂伺服***的动态模型，初始化***状态、采样时间以及相关控制参数；

$M\left(x\right)\stackrel{..}{x}+V_m(x,\stackrel{.}{x})\stackrel{.}{x}+G\left(x\right)+F\left(\stackrel{.}{x}\right)=\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&tau;}}_d---\left(1\right)$

其中分别为位置，速度和加速度；M(x)∈R^n×n为对称正定矩阵；为科式力；G(x)∈Rⁿ为重力；表示摩擦力；τ_d∈R^n×1为外部扰动；τ∈R^n×1为死区输出值，表示为：

$\mathrm{\&tau;}=D\left(u\left(t\right)\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{g}_r\left(u\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&GreaterEqual;b_r\\ 0& \mathrm{if}& b_l<u\left(t\right)<b_r\\ g_l\left(u\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&le;b_l\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中u(t)∈R是实际控制信号；g_l(u),g_r(u)为未知非线性函数；b_l和b_r为死区未知宽度参数，并且满足b_l<0，b_r>0。

步骤2，根据微分中值定理，将***中的非线性输入死区线性近似为一个简单的时变***，推导出带有未知死区的机械臂伺服***模型；

2.1根据微分中值定理，存在ξ_l∈(-∞,b_l)和ξ_r∈(b_r,+∞)使

g_l(u)＝g′_l(ξ′_l)(u-b_l)      (3)

其中ξ′_l∈(-∞,b_l]，g′_l(ξ_l)为函数g_l(u)在ξ′_l处的倒数；

g_r(u)＝g′_r(ξ′_r)(u-b_r)      (4)

其中ξ′_r∈[b_l,+∞)，g′_r(ξ_r)为函数g_r(u)在ξ′_r处的倒数；

根据式(3)和式(4)，可将式(2)改写为

其中

$\mathrm{\&rho;}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right)b_r& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&GreaterEqual;b_r\\ -[g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\right)+g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right)]u\left(t\right)& \mathrm{if}& b_l<u\left(t\right)<b_r\\ -g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&le;b_l\end{array}\right..---\left(6\right)$

其中ξ_l∈(-∞,b_l]，ξ_r∈[b_l,+∞)，

并且

2.2由式(1)和式(5)可得带有未知死区的机械臂伺服***模型为：

其中|ρ(u)|≤ρ_N,ρ_N是未知正常数，满足ρ_N＝(g_r1+g_l1)max{b_r,b_l}。

步骤3，计算控制***的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；

3.1定义控制***的跟踪误差为

e(t)＝x_d-x    (11)

其中x_d为二阶可导期望轨迹。

3.2在设计协同控制器的过程中，定义协同流型为：

$s=\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\mathrm{\&lambda;e}\left(t\right)---\left(12\right)$

其中λ为影响***收敛的正常数。

根据如式(13)所示的非奇异终端滑模面，设计有限时间协同控制器，使***误差快速趋向于式(12)所示的协同流型；

$q{\stackrel{.}{s}}^{p/r}+s=0---\left(13\right)$

其中q为正定常数，p>0,r>0，1<p/r<2。

3.3对式(12)求导，结合式(6)和式(11)可以推导出

其中非线性未知函数h为

$h=M({\stackrel{..}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;}\stackrel{.}{e})+V_m({\stackrel{.}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;e})+G+F-\mathrm{\&rho;}\left(u\right).---\left(15\right)$

步骤4，基于带有未知死区的机械臂伺服***模型，选择神经网络逼近未知函数，并根据***跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间协同控制器，更新神经网络权值矩阵；

4.1根据式(13)和式(14)，控制器的表达式为

$u={\hat{W}}_a^T\mathrm{\&phi;}\left(x\right)+k{s}^{r/p}+\mathrm{\&delta;sgn}\left(s\right)---\left(16\right)$

其中为理想权重的估计值，为神经网络基函数，x为神经网络输入向量，k＝q^-1是控制参数，δ是一个正的常数，满足ε_N为一个正常数，表示神经网络逼近误差的上限，τ_N为外部扰动的上限常数，为神经网络权值估计误差。

4.2设计神经网络的权值更新律为：

${\stackrel{\stackrel{.}{^}}{W}}_a=K_C\mathrm{\&phi;}\left(x\right)s^T---\left(17\right)$

其中K_C为正定对角矩阵，φ(x)通常取为以下高斯函数：

$\mathrm{\&phi;}\left(x\right)=\exp (-\frac{{|x-c|}^2}{2b^2})---\left(18\right)$

其中c＝[c₁,c₂,...,c_n]^T是高斯函数的中心；b是高斯函数的宽度；由式(18)可以推出0<φ(x)≤1。

步骤5，设计李雅普诺夫函数和则可以证明闭环控制***中的所有信号均是一致有界的。同时，***误差e可以在有限时间内收敛至平衡点e＝0。

为验证所提方法的有效性，进行了如下实验：

令x＝[x₁,x₂]^T，则式(1)可以表示为带有两个关节的机械臂伺服***，具体表达式为：

$\left[\begin{array}{cc}{P}_{11}& P_{12}\\ P_{21}& P_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{..}{x}}_1\\ {\stackrel{..}{x}}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{E}_1\\ E_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}D\left(u_1\right)\\ D\left(u_2\right)\end{array}\right]---\left(19\right)$

其中P₁₁＝n₁+n₂+2γcosx₂，P₁₂＝n₂+γcosx₂，P₂₁＝n₂+2γcosx₂，P₂₂＝n₂， $E_1=-\mathrm{\&gamma;}(2{\stackrel{.}{x}}_1{\stackrel{.}{x}}_2+{\stackrel{.}{x}}_2^2)\sin x_2,E_2=\mathrm{\&gamma;}{\stackrel{.}{x}}_1^2\sin x_2,$ F₁＝n₁e₁cosx₁+γe₁cos(x₁+x₂)，F₂＝γe₁cos(x₁+x₂)，γ＝l₂m₁m₂，e₁＝g/m₁，g＝9.8m/s²是重力加速度；l₁,l₂为关节长度；m₁,m₂表示质量；x₁,x₂为角位移；d＝[d₁ d₂]^T为***外部扰动，满足d₁,d₂∈[-0.1,0.1]；如图1所示，D(u)为控制器u经过式(28)所示非线性死区后的输出值；

$D\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cc}(1-0.3\sin \left(u\right))(u-0.8),& u>0.8\\ 0,& -0.5<u<0.8\\ (0.8-0.2\cos \left(u\right))(u+0.5),& u\&le;-0.5\end{array}\right..---\left(20\right)$

控制器设计中的相关参数选择为：式(12)中 $\mathrm{\&lambda;}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 5\end{array}\right];$ 式(16)中k＝[1  1]，r＝[3  3]，p＝[5  5]，δ＝1.5；式(17)中，K_C是值为1的正定对角矩阵；高斯函数式(18)的中心c＝[c₁,c₂,...,c₂₅]，每一个元素值都是在[-2,2]中的随机数，b＝8。

图2为机械臂伺服***关节角位移x₁和x₂跟踪期望信号x_d1＝sin(0.02π)和x_d2＝cos(0.02π)的效果图，图3表示***的跟踪误差，图4表示控制器输入信号。从图2和图3可以看出，根据式(16)所设计的控制器能在有限时间内快速跟踪期望信号，并且跟踪误差可以在在3.5秒左右内趋于0。由图4可以看出，控制器信号在2s以后抖振变小。因此，本发明所提供的有限时间协同控制方法，不仅能够避免非线性死区的附加逆补偿，减小滑模高频抖振问题，而且可以实现机械臂伺服***的有限时间快速跟踪。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.机械臂伺服***的有限时间协同控制方法，包含以下步骤：

步骤1，建立如式(1)所示机械臂伺服***的动态模型，初始化***状态、采样时间以及相关控制参数；

$M\left(x\right)\stackrel{..}{x}+V_m(x,\stackrel{.}{x})\stackrel{.}{x}+G\left(x\right)+F\left(\stackrel{.}{x}\right)=\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&tau;}}_d---\left(1\right)$

其中分别为位置，速度和加速度；M(x)∈R^n×n为对称正定矩阵；为科式力；G(x)∈Rⁿ为重力；表示摩擦力；τ_d∈R^n×1为外部扰动；τ∈R^n×1为死区输出值，表示为：

$\mathrm{\&tau;}=D\left(u\left(t\right)\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{g}_r\left(u\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&GreaterEqual;b_r\\ 0& \mathrm{if}& b_l<u\left(t\right)<b_r\\ g_l\left(u\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&le;b_l\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中u(t)∈R是实际控制信号；g_l(u),g_r(u)为未知非线性函数；b_l和b_r为死区未知宽度参数，并且满足b_l<0，b_r>0；

步骤2，根据微分中值定理，将***中的非线性输入死区线性近似为一个简单的时变***，推导出带有未知死区的机械臂伺服***模型；

2.1根据微分中值定理，存在ξ_l∈(-∞,b_l)和ξ_r∈(b_r,+∞)使

g_l(u)＝g′_l(ξ′_l)(u-b_l)      (3)

其中ξ′_l∈(-∞,b_l]，g′_l(ξ_l)为函数g_l(u)在ξ′_l处的倒数；

g_r(u)＝g′_r(ξ′_r)(u-b_r)      (4)

其中ξ′_r∈[b_l,+∞)，g′_r(ξ_r)为函数g_r(u)在ξ′_r处的倒数；

根据式(3)和式(4)，可将式(2)改写为

其中

$\mathrm{\&rho;}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right)b_r& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&GreaterEqual;b_r\\ -[g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\right)+g_r^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_r\right)]u\left(t\right)& \mathrm{if}& b_l<u\left(t\right)<b_r\\ -g_l^{\&prime;}\left({\mathrm{\&xi;}}_l\right)& \mathrm{if}& u\left(t\right)\&le;b_l\end{array}\right..---\left(6\right)$

其中ξ_l∈(-∞,b_l]，ξ_r∈[b_l,+∞)，

并且

2.2由式(1)和式(5)可得带有未知死区的机械臂伺服***模型为：

其中|ρ(u)|≤ρ_N，ρ_N是未知正常数，满足ρ_N＝(g_r1+g_l1)max{b_r,b_l}；

步骤3，计算控制***的跟踪误差、非奇异终端滑模面及其一阶导数；

3.1定义控制***的跟踪误差为

e(t)＝x_d-x    (11)

其中x_d为二阶可导期望轨迹；

3.2在设计协同控制器的过程中，定义协同流型为：

$s=\stackrel{.}{e}\left(t\right)+\mathrm{\&lambda;e}\left(t\right)---\left(12\right)$

其中λ为影响***收敛的正常数；

根据如式(13)所示的非奇异终端滑模面，设计有限时间协同控制器，使***误差快速趋向于式(12)所示的协同流型；

$q{\stackrel{.}{s}}^{p/r}+s=0---\left(13\right)$

其中q为正定常数，p>0,r>0，1<p/r<2；

3.3对式(12)求导，结合式(6)和式(11)可以推导出

其中非线性未知函数h为

$h=M({\stackrel{..}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;}\stackrel{.}{e})+V_m({\stackrel{.}{x}}_d+\mathrm{\&lambda;e})+G+F-\mathrm{\&rho;}\left(u\right).---\left(15\right)$

步骤4，基于带有未知死区的机械臂伺服***模型，选择神经网络逼近未知函数，并根据***跟踪误差、非奇异终端滑模面，设计神经网络有限时间协同控制器，更新神经网络权值矩阵；

4.1根据式(13)和式(14)，控制器的表达式为

$u={\hat{W}}_a^T\mathrm{\&phi;}\left(x\right)+k{s}^{r/p}+\mathrm{\&delta;sgn}\left(s\right)---\left(16\right)$

其中为理想权重的估计值，为神经网络基函数，x为神经网络输入向量，k＝q^-1是控制参数，δ是一个正的常数，满足ε_N为一个正常数，表示神经网络逼近误差的上限，τ_N为外部扰动的上限常数，为神经网络权值估计误差；

4.2设计神经网络的权值更新律为：

${\stackrel{\stackrel{.}{^}}{W}}_a=K_C\mathrm{\&phi;}\left(x\right)s^T---\left(17\right)$

其中K_C为正定对角矩阵，φ(x)通常取为以下高斯函数：

$\mathrm{\&phi;}\left(x\right)=\exp (-\frac{{|x-c|}^2}{2b^2})---\left(18\right)$

其中c＝[c₁,c₂,...,c_n]^T是高斯函数的中心；b是高斯函数的宽度；由式(18)可以推出0<φ(x)≤1；

步骤5，设计李雅普诺夫函数和则可以证明闭环控制***中的所有信号均是一致有界的；同时，***误差e可以在有限时间内收敛至平衡点e＝0。