CN106547207A - 一种非线性多输入多输出***混合式观测器构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明介绍了一种非线性多输入多输出***混合式观测器构建方法。本发明采用高反馈增益和高阶滑模算法建立该类***的观测器。高阶滑模反馈量能够使估测值跟踪未知的***输入并保证其能够在有限的时间内到达滑模面，而高增益的反馈值保证观测器误差能够收敛到设定的常量。在滑模面上，未知的输入量可以由一些已知动态项替代，从而使***的状态量的能够渐进稳定收敛而得以辨别和估算。本方法适用于多自由度机械臂、复杂机电***等多输入多输出非线性***的状态量和外部扰动量对状态量影响的观测，具有收敛速度快，观测精度高和鲁棒性强的特点。

Description

一种非线性多输入多输出***混合式观测器构建方法

技术领域：本发明是非线性***扰动与状态观测器构建与设计方法，适用于多自由度机械臂、复杂机电***等多输入多输出非线性***的状态量的观测，属于现代控制理论研究领域。

技术背景：

能够实时获得精确的状态信息是对***进行有效控制和监测的必要条件。当***中存在未知参数、不确定干扰、控制参数不满足匹配条件和模型误差时，控制器只能获得部分准确的***信息和参数，从而使***对状态量的观测产生误差。对于实际的复杂耦合非线性***如移动机器人控制***、机械臂控制***、电机控制***等而言，误差的存在会使***的运行和控制性能受到很大的限制。针对非线性***，最早的尝试是采用渐进式观测器，该观测器通过坐标变换将非线性***转换为线性可观***，然后采用线性观测器方法实现对非线性***状态的观测，但方法都有严格的外在条件限制，适用范围有限。采用Lyapunov函数构建非线性***观测器是对非线性***进行观测的有效方法，但其反馈增益仅能在满足收敛的充要条件下才能获得，且不能直接通过计算得到，且单纯的Lyapunov观测器不能有效估计由于***参数变化和外部干扰所带来动态性能的变化。

滑模观测器是理想的非线性***的状态观测器，对于***的不确定性和外部干扰具有较强的鲁棒性和抗扰性。目前的滑模观测器算法仅仅在满足扰动输入的通道与控制信号输入通道相同这一条件时才对干扰和***参数变化具有良好的鲁棒性。对于类似机器人、复杂机电***等多输入多输出***而言，在实际的***中，***的输入通道的选择一般比较随意，不同的输入量与输入通道、***状态量、输出都存在关联性，如此则观测器的观测值将不能实时对应***状态值的变化。

发明内容：

本发明采用基于滑模运动的已知的动态特性来替代未知扰动的办法这一原则来构建多输入多输出***状态观测器。该类观测器将采用高反馈增益和高阶滑模项。高增益的反馈保证观测器误差能够收敛到设定的常量，而高阶滑模反馈量能够使估计值跟踪未知的***输入并保证其能够在有限的时间内到达滑模面，以便最终能够在输入和扰动不满足匹配条件下实现对非线性***状态量和外部扰动值对***状态影响的有效而又准确的观测，从而提高控制***的稳定性、鲁棒性和动态特性。

多输入多输出非线性***A：

式中是***A的状态变量,是***A的状态变量微分信号； f(x)、G(x)均为不确定的光滑向量函数； 为输入向量，t为时间；是可测的输出向量，h(x)＝[h₁(x),h₂(x),…h_m+1(x)]^T，h(x)为不确定的光滑向量函数。

用高反馈增益和高阶滑模项的非线性多输入多输出***混合式观测器构建步骤如下：

第一步多输入多输出非线性***坐标变换与***分解

在新的坐标系下进行坐标变换，可得***A在新坐标系下的多输入多输出***标准形式：

其中

(2)式由2个子***ξ和η组成且子***都有输入/输出结构。通过对ξ和η的观测可实现对原***A状态量x的观测。

第二步.鲁棒混合式观测器的设计

对于(4)式所示***.ξ子***可以看成M个ξⁱ,且每一阶都有微分结构.未知输入量仅会作用于的ξ子***的最高阶方程.此时连续且包含高阶滑模微分算法的滑模观测器可以有效地对该类子***进行观测.一旦滑模面能够达到，则η子***的未知输入量可以用标称动态***替代，从而确保η的子***有一致的可观性。基于可测输出量的高增益线性反馈项的设计将确保观测误差渐进收敛于滑模面。

2.1滑模反馈项的设计

定义滑模变量σ_i的导数可以下面的高阶滑模微分估算得到：

选择合理的正常数经过有限时间的暂态过程后，可得下面的等式

式中是σ_i的k阶导数.可得高阶滑模项：

其中k＝0,1,…,r_i-1，由下面公式计算得到

式中，优先选定可调正参数的值.滑模增益ρ_i必须大于未知输入量的上限值.结合公式(2)所示ξⁱ的M阶动态***，可得如下所示的高阶滑模观测器

其中

在滑模面由(10)式可得下面所示的方程组

其中

矩阵是非奇异的，可得未知输入向量

由(9)式可知，当所有的状态量收敛于某个值即时，输入向量能够由滑模函数u重构得到，即动态***η的估计值的收敛性将由下节所设计的高增益观测器来保证；

2.2滑模面上的高增益反馈的设计

一旦滑模发生，滑模变量将到达并保持在滑模面。根据公式(4)和(9)，动态***η可以由下式表示

根据式(10)构建高增益线性观测器如下：

式中用于跟随未知输入量，而是线性反馈校正项.L是线性高增益反馈，其值可有下式计算

S_θ是是观测器参数θ的正函数矩阵，可表示为

θ为足够大的正常数，能够保证动态误差向量为收敛。

本发明的有益效果:

1.该类观测器将采用高反馈增益和高阶滑模项。高增益的反馈保证观测器误差能够收敛到设定的常量，而高阶滑模反馈量能够使估计值跟踪的***输入并保证其能够在有限的时间内到达滑模面，从而提高控制***的稳定性、鲁棒性和动态特性。

2.适用于多自由度机械臂、复杂机电***等多输入多输出非线性***状态量的观测，具有收敛速度快，观测精度高和鲁棒性强的特点。

附图说明：

附图1观测器设计流程图。

附图2实例中状态变量x₁及其估计值。

附图3实例中状态变量x₂及其估计值。

附图4实例中状态变量x₃及其估计值。

附图5实例中状态变量x₄及其估计值。

附图6实例中状态变量x₅及其估计值。

附图7实例中状态变量x₆及其估计值。

具体实施方式：

下面结合实例和附图对本发明实现方法和原理进一步说明。

一、多输入多输出非线性***坐标变换与***分解

多输入多输出非线性***A：

式中是***A的状态变量,是***A的状态变量微分信号；

f(x)、G(x)均为不确定的光滑向量场； 需要观测的未知输入向量，t为时间；是可测的输出向量，h(x)＝[h₁(x),h₂(x),…h_m+1(x)]^T，h(x)为不确定的光滑向量函数。

***A的前m个输出量与G(x)的向量相对阶{r₁,r₂,…,r_m}，则

对所有：

且有m×m非奇异矩阵如下：

根据Lie导数定义：

坐标变换与***分解

向量相对阶{r₁,...,r_m}，称为总相对阶，且有r_sm≤n则对于某一指定的i(1≤i≤m)，有：

对于存在x＝Φ^-1(ξ,η)，

映射函数

存在定义则

利用上式进行坐标变换，可得***A在新坐标系下多输入多输出***标准形式：

其中

(2)式由2个子***ξ和η组成且子***都有输入/输出结构。通过对ξ和η的观测可实现对原***(1)状态量x的观测。

二.鲁棒混合式观测器的设计

对于(4)式所示***.ξ子***可以看成M个ξⁱ,且每一阶都有微分结构.未知输入量仅会作用于的ξ子***的最高阶方程.此时连续且包含高阶滑模微分算法的滑模观测器可以有效地对该类子***进行观测.一旦滑模面能够达到，则η子***的未知输入量可以用标称动态***替代，从而确保η的子***有一致的可观性。基于可测输出量的高增益线性反馈项的设计将确保观测误差渐进收敛于滑模面。

2.1.滑模反馈项的设计

定义滑模变量σ_i的导数可以下面的高阶滑模微分估算得到：

选择合理的正常数经过有限时间的暂态过程后，可得下面的等式

式中是σ_i的k阶导数.可得高阶滑模项：

其中k＝0,1,…,r_i-1，由下面公式计算得到

式中，优先选定可调正参数的值.滑模增益ρ_i必须大于未知输入量的上限值.结合公式(2)所示ξⁱ的M阶动态***，可得如下所示的高阶滑模观测器

其中

在滑模面由(7)式可得下面所示的方程组

其中

矩阵是非奇异的，可得未知输入向量

由(10)式可知，当所有的状态量收敛于某个值即时，输入向量能够由滑模函数u重构得到，即动态***η的估计值的收敛性将由下节所设计的高增益观测器来保证；

2.2滑模面上的高增益反馈的设计

一旦滑模发生，滑模变量将到达并保持在滑模面。根据公式(2)和(10)，动态***η可以由下式表示

根据式(11)构建高增益线性观测器如下：

式中用于跟随未知输入量，而是线性反馈校正项.L是线性高增益反馈，其值可有下式计算

S_θ是是观测器参数θ的正函数矩阵，可表示为

θ为足够大的正常数，能够保证动态误差向量为收敛。

实施实例

设计如下的多输入多输出非线性***C：

y＝[h₁(x),h₂(x),h₃(x)]^T＝[x₁,x₂,x₃]^T (13)

式中x＝[x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆]^T是***状态量，y是***输出量.是输入量，G(x)＝[g₁(x),g₂(x)]是分布矩阵向量.通过计算可得：

上式隐含***(12-13)的前两个输出量的相关度为{1,2}，附加输出量h₃(x)与输入的相关度为2.矩阵E(x)为

E(x)是非奇异矩阵.坐标变换矩阵(ξ,η)：

映射函数***C在新的坐标系中可以表示为

变形后的***动态参数估计值为于是可得下面观测器：

上式中θ是高反馈增益参数，u₁和u₂是一阶和二阶滑模项

u₂＝-ρ₂(z₁+|z₀|^1/2sign(z₀)/(|z₁|+|z₀|^1/2)

式中M是滑模校正参数.

在数值***C仿真过程中，取观测器(21-22)的参数取值为：ρ₁＝3,ρ₂＝5,θ＝2,M＝20.

仿真的初始条件为：x₀＝[6,6,6,6,6,6]^T,z₀＝z₁＝v₀＝1.

由映射函数Φ(x)通过逆映射可得数值***C的状态估计值：

仿真结果如附图2-附图7所示，从中可以看出观测器输出状态量估计值与***状态量之间的差，在有限的时间内收敛到零，从而验证了本方法的正确性和有效性。

Claims (1)

1.一种非线性多输入多输出***混合式观测器构建方法，其特征在于，多输入多输出非线性***A：

式中是***A的状态变量,是***A的状态变量微分信号； f(x)、G(x)均为不确定的光滑向量函数； 为输入向量，t为时间；是可测的输出向量，h(x)＝[h₁(x),h₂(x),…h_m+1(x)]^T，h(x)为不确定的光滑向量函数；

用高反馈增益和高阶滑模项的非线性多输入多输出***混合式观测器构建步骤如下：

第一步多输入多输出非线性***坐标变换与***分解

在新的坐标系下进行坐标变换，可得***A在新坐标系下的多输入多输出***标准形式：

其中

(2)式由2个子***ξ和η组成且子***都有输入/输出结构；通过对ξ和η的观测可实现对原***A状态量x的观测；

第二步.鲁棒混合式观测器的设计

对于(4)式所示***.ξ子***可以看成M个ξⁱ,且每一阶都有微分结构.未知输入量仅会作用于的ξ子***的最高阶方程，此时连续且包含高阶滑模微分算法的滑模观测器可以有效地对该类子***进行观测.一旦滑模面能够达到，则η子***的未知输入量可以用标称动态***替代，从而确保η的子***有一致的可观性；基于可测输出量的高增益线性反馈项的设计将确保观测误差渐进收敛于滑模面；

2.1滑模反馈项的设计

定义滑模变量σ_i的导数可以下面的高阶滑模微分估算得到：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{z}}_0^i=v_0^i\\ v_0^i=-{\mathrm{\λ}}_0^i|z_0^i-{\mathrm{\σ}}_i{|}^{(r_i-1)/r_i}sign(z_0^i-{\mathrm{\σ}}_i)+z_1^i\\ {\stackrel{\·}{z}}_0^i=v_1^i\\ v_1^i=-{\mathrm{\λ}}_1^i|z_1^i-v_0^i{|}^{(r_i-2)/(r_i-1)}sign(z_0^i-v_0^i)+z_2^i\\ .\\ .\\ .\\ {\stackrel{\·}{z}}_{r_i-2}^i=v_{r_i-2}^i\\ v_{r_i-2}^i=-{\mathrm{\λ}}_{r_i-2}^i|z_{r_i-2}^i-v_{r_i-3}^i{|}^{1/2}sign(z_{r_i-2}^i-v_{r_i-3}^i)+z_{r_i-2}^i\\ {\stackrel{\·}{z}}_{r_i-1}^i=-{\mathrm{\λ}}_{r_i-1}^i|z_{r_r-1}^i-v_{r_i-2}^i|\end{array}---\left(3\right)$

选择合理的正常数经过有限时间的暂态过程后，可得下面的等式

$z_k^i-{\mathrm{\σ}}_i^{\left(k\right)}=0,\∀k=1,...,r_i-1,\∀i=1,...,m---\left(4\right)$

式中是σ_i的k阶导数.可得高阶滑模项：

$u_{r_i}=-{\mathrm{\ρ}}_i{\mathrm{\Γ}}_{k,r_i}(z_0^i,z_1^i,...,z_{r_i-1}^i),\∀i=1,...,m---\left(5\right)$

其中k＝0,1,…,r_i-1，由下面公式计算得到

$\begin{array}{c}{\mathrm{\γ}}_{0,r^i}=z_0^i,N_{0,r_i}=\left|z_0^i\right|,{\mathrm{\Γ}}_{0,r^i}={\mathrm{\γ}}_{0,r^i}/N_{0,r_i}=sign\left(z_0^i\right)\\ {\mathrm{\γ}}_{k,r^i}=z_k^i+{\mathrm{\β}}_k^i{N}_{k-1,r_i}^{(r_i-k)/(r_i-k+1)}{\mathrm{\Γ}}_{k-1,r^i}\\ N_{k,r^i}=\left|z_k^i\right|+{\mathrm{\β}}_{k,r_i}^{(r_i-k)/(r_i-k+1)},{\mathrm{\Γ}}_{k-1,r^i}={\mathrm{\γ}}_{k,r_i}/N_{k,r_i}\end{array}---\left(6\right)$

式中，优先选定可调正参数的值.滑模增益ρ_i必须大于未知输入量的上限值.结合公式(2)所示ξⁱ的M阶动态***，可得如下所示的高阶滑模观测器

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ξ}}}}^i={\mathrm{\Λ}}_i{\widehat{\mathrm{\ξ}}}^i+{\widehat{\mathrm{\Ψ}}}^i(\widehat{\mathrm{\ξ}},\widehat{\mathrm{\η}})+{\widehat{\mathrm{\λ}}}^i\left(u_{r_i}\right),\∀i=1,...,m---\left(7\right)$

其中

${\widehat{\mathrm{\ξ}}}^i=\left(\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\ξ}}}_1^i\\ {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_2^i\\ .\\ .\\ .\\ {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_{r_i}^i\end{array}\right),{\widehat{\mathrm{\Ψ}}}^i=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ .\\ .\\ .\\ {\widehat{\mathrm{\ψ}}}_i(\widehat{\mathrm{\ξ}},\widehat{\mathrm{\η}})\end{array}\right),{\widehat{\mathrm{\λ}}}^i\left(u_{r_i}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ .\\ .\\ .\\ u_{r_i}\end{array}\right)$

在滑模面由(10)式可得下面所示的方程组

其中

$u=\left(\begin{array}{c}{u}_{r_1}\\ u_{r_2}\\ .\\ .\\ .\\ u_{r_m}\end{array}\right)\∈R^m,\mathrm{\Δ}(\widehat{\mathrm{\η}},\mathrm{\η})=\left(\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_1\left(\widehat{\mathrm{\η}}\right)-{\mathrm{\ψ}}_1\left(\mathrm{\η}\right)\\ {\widehat{\mathrm{\ψ}}}_2\left(\widehat{\mathrm{\η}}\right)-{\mathrm{\ψ}}_2\left(\mathrm{\η}\right)\\ .\\ .\\ .\\ {\widehat{\mathrm{\ψ}}}_m\left(\widehat{\mathrm{\η}}\right)-{\mathrm{\ψ}}_m\left(\mathrm{\η}\right)\end{array}\right)\∈R^m$

矩阵是非奇异的，可得未知输入向量

由(9)式可知，当所有的状态量收敛于某个值即时，输入向量能够由滑模函数u重构得到，即动态***η的估计值的收敛性将由下节所设计的高增益观测器来保证；

2.2滑模面上的高增益反馈的设计

一旦滑模发生，滑模变量将到达并保持在滑模面；根据公式(4)和(9)，动态***η可以由下式表示

$\stackrel{\·}{\mathrm{\η}}=A\mathrm{\η}+\mathrm{\α}\left(\mathrm{\η}\right)+P\left(\mathrm{\η}\right)E^{-1}\left(\mathrm{\η}\right)\[u+\mathrm{\Δ}(\widehat{\mathrm{\η}},\mathrm{\η})\]---\left(10\right)$

根据式(10)构建高增益线性观测器如下：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\η}}}=A\widehat{\mathrm{\η}}+\mathrm{\α}\left(\widehat{\mathrm{\η}}\right)+P\left(\widehat{\mathrm{\η}}\right)E^{-1}\left(\widehat{\mathrm{\η}}\right)u+L(h_{m+1}-C\widehat{\mathrm{\η}})---\left(11\right)$

式中用于跟随未知输入量，而是线性反馈校正项.L是线性高增益反馈，其值可有下式计算

$L=S_{\mathrm{\θ}}^{-1}{C}^T={\[{\mathrm{\θC}}_{n-r_{sm}}^1,{\mathrm{\θ}}^2{C}_{n-r_{sm}}^2,...,{\mathrm{\θ}}^{nn-r_{sm}}{C}_{n-r_{sm}}^{nn-r_{sm}}\]}^T;$

S_θ是是观测器参数θ的正函数矩阵，可表示为

$S_{\mathrm{\θ}}=\frac{{(-1)}^{i+j}{C}_{i+j-2}^{j-1}}{{\mathrm{\θ}}^{i+j-1}},1\≤i,j\≤n,C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

θ为足够大的正常数，能够保证动态误差向量为收敛。