CN104950678B - 一种柔性机械臂***的神经网络反演控制方法 - Google Patents

一种柔性机械臂***的神经网络反演控制方法 Download PDF

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Abstract

一种柔性机械臂***的神经网络反演控制方法，包括：建立机柔性械臂伺服***的动态模型并将其进行等效变换，初始化***状态、采样时间以及控制参数；结合滑模控制及反演法，在每一步设计中引入虚拟控制变量，最后推导出自适应控制器输入；同时，利用神经网络的逼近特性，避免了反演法所带来的复杂度***问题以及模型参数不确定性的逼近；计算控制***跟踪误差，积分滑模面，误差变量及微分。本发明提供一种能够有效改善柔性机械臂伺服***位置跟踪控制性能的神经网络反演滑模控制方法，实现***的稳定快速跟踪。

Description

一种柔性机械臂***的神经网络反演控制方法
技术领域
本发明涉及一种柔性机械臂***的神经网络控制方法，特别是针对模型不确定的柔性机械臂***的神经网络反演控制方法。
背景技术
机械臂伺服***在机器人、航空飞行器等高性能***中得到了广泛的应用，如何实现机械臂伺服***的快速精确控制已经成为了一个热点问题。然而，刚性机械臂***往往不考虑关节的灵动性，这往往会导致控制***的效率降低甚至是失效。为了提高跟踪控制性能，考虑柔性机械臂模型是非常有必要的。柔性机械臂就是将关节与关节之间加入弹簧劲度系数，因此，该***模型中引入了一个更复杂的结构运动方程,这使控制更加具有困难和挑战。针对柔性机械臂伺服***的控制问题，存在很多控制方法，例如PID控制，自适应控制，滑模控制等。
滑模控制在解决***不确定性和外部扰动方面被认为是一个有效的鲁棒控制方法。滑模控制方法具有算法简单、响应速度快、对外界噪声干扰和参数摄动鲁棒性强等优点。因此，滑模控制方法被广泛应用于机器人、电机、飞行器等领域。然而，滑模控制在设计过程中需要满足匹配条件，实际***匹配条件的不确定性成为了滑模控制设计的障碍。反演法具有改善滑模控制器性能，放松匹配条件的优点。将滑模控制与反演法相结合，在控制器的每一步设计中引入虚拟控制变量。因此，采用反演滑模控制，结合两者的优点，成为了一个重要的研究方向。
针对柔性机械臂伺服***模型，其特点是参数往往是未知的，或者参数测量存在较大误差等。因为这些参数的不确定因素使得在设计相应控制器过程中具有较大的挑战性。因此，为了提高跟踪控制性能，针对不确定模型的控制方法必不可少。其中，神经网络广泛应用于处理***的非线性和不确定性，并取得了良好的控制效果。神经网络具有较精确地逼近任何光滑函数的能力。因此，许多自适应神经网络控制方法被用来克服的非线性跟踪控制的机械臂伺服***。
发明内容
为了克服现有的机械臂伺服***中未考虑柔性关节和模型的不确定性，以及存在滑模控制抖振问题等不足，本发明提供一种柔性机械臂***的神经网络反演控制方法，实现了柔性机械臂***的位置跟踪控制，保证***稳定快速跟踪参考轨迹。
为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：
一种柔性机械臂***的神经网络反演控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立机械臂伺服***的动态模型，过程如下：
1.1机械臂伺服***的动态模型表达形式为
其中，q和θ分别为机械臂连杆和电机的角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J是电机的惯量；K为弹簧刚度系数；M和L分别是连杆的质量和长度；u是控制信号；
定义x1＝q，x3＝θ，式(1)改写为
其中，y为***输出轨迹；
1.2定义变量z1＝x1，z2＝x2， 则式(2)改写成
其中，
步骤2，计算控制***跟踪误差和滑模面，过程如下：
2.1定义控制***的跟踪误差和滑模面为
其中，yd为二阶可导期望轨迹，λ为常数，且λ＞0；
2.2对式(4)求导得：
步骤3，针对式(1)，选择神经网络逼近未知动态，并根据李雅普诺夫函数和反演滑模理论，设计虚拟控制量，更新神经网络权值矩阵，过程如下：
3.1计算李雅普诺夫函数的微分为
其中，s2＝z2-β1，β1为虚拟控制量，表达式为：
其中，k1为常数，且k1＞0；
于是，式(6)改写为
3.2定义误差变量
si＝zi-βi-1,i＝2,3 (9)
式(9)的一阶微分为
3.3为了逼近不能直接得到的非线性不确定项定义以下神经网络
其中，为理想权重，εj为神经网络误差值，的表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数，j＝1,2；
3.4设计李雅普诺夫函数Vi,i＝2,3
其中，Γi-1＝Γi-1 T＞0， 为理想权重Wi-1的估计值，Γi-1是自适应增益矩阵，εN(i-1)满足|εi-1|≤εN(i-1)，为理想误差上界的估计值；
3.5计算李雅普诺夫函数Vi的微分
将式(10)和式(11)代入式(14)得
3.6设计虚拟控制量为
其中ki,i＝2,3，δ为正常数；
3.7设计神经网络权重和自适应参数的调节规律为
其中，j＝1,2，3，σj，都是正常数；
步骤4，设计控制器输入，过程如下：
4.1定义误差变量
s4＝z4-β3 (18)
计算式(18)的一阶微分为
4.2为了逼近不能直接得到的非线性不确定项定义以下神经网络
其中，W3为理想权重，ε3为神经网络误差值，的表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数；
4.3设计李雅普诺夫函数V4
其中，Γ3＝Γ3 T＞0， 为理想权重W3的估计值，Γ3是自适应增益矩阵，εN3满足|ε3|≤εN3，为理想误差上界ε3的估计值；
4.4计算李雅普诺夫函数V4的微分
将式(19)和式(20)代入式(23)得
4.5设计控制器输入为
其中，k4，δ为正常数，的调节规律满足式(17)；
步骤5，设计李雅普诺夫函数
V＝V1+V2+V3+V4 (26)
对式(26)进行求导得：
将式(8)，(15)，(24)代入式(27)，如果则判定***是稳定的。
本发明针对柔性机械臂***，基于神经网络和反演滑模控制理论，设计机械臂伺服***的神经网络反演滑模控制方法，实现***的位置跟踪控制，保证跟踪误差的快速稳定收敛。
本发明的技术构思为：针对机械臂伺服***，考虑柔性关节的复杂动态方程，利用神经网络性能逼近***所存在的未知参数。结合滑模控制和反演法，在每一步设计过程中加入虚拟控制量。同时，利用神经网络特点避免了反演法复杂度***问题，使控制器的设计变得简洁明了。本发明提供一种能够有效改善柔性机械臂伺服***位置跟踪控制性能的神经网络反演滑模控制方法，实现***的稳定快速跟踪。
本发明的优点为：避免滑模控制抖振问题，补偿***未知模型不确定项，实现***的位置跟踪控制。
附图说明
图1为本发明的谐波信号跟踪效果的示意图；
图2为本发明的谐波信号跟踪误差的示意图；
图3为本发明的梯形波信号跟踪效果的示意图；
图4为本发明的梯形波信号跟踪误差的示意图；
图5为本发明的控制流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步说明。
参照图1-图5，一种柔性机械臂***的神经网络反演控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立机械臂伺服***的动态模型，过程如下：
1.1机械臂伺服***的动态模型表达形式为
其中，q和θ分别为机械臂连杆和电机的角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J为电机的惯量；K为弹簧刚度系数；M和L分别是连杆的质量和长度；u是控制信号；
定义x1＝q，x3＝θ，式(1)改写为
其中，y为***输出轨迹；
1.2定义变量z1＝x1，z2＝x2， 则式(2)改写成
其中，
步骤2，计算控制***跟踪误差和滑模面，过程如下：
2.1定义控制***的跟踪误差和滑模面为
其中，yd为二阶可导期望轨迹，λ为常数，且λ＞0；
2.2对式(4)求导得：
步骤3，针对式(1)，选择神经网络逼近未知动态，并根据李雅普诺夫函数和反演滑模理论，设计虚拟控制量，更新神经网络权值矩阵，过程如下：
3.1计算李雅普诺夫函数的微分为
其中，s2＝z2-β1，β1为虚拟控制量，表达式为：
其中，k1为常数，且k1＞0；
于是，式(6)改写为
3.2定义误差变量
si＝zi-βi-1,i＝2,3 (9)
式(9)的一阶微分为
3.3为了逼近不能直接得到的非线性不确定项i＝2,3，定义以下神经网络
其中，为理想权重，εj为神经网络误差值，的表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数，j＝1,2；
3.4设计李雅普诺夫函数Vi,i＝2,3
其中，Γi-1＝Γi-1 T＞0， 为理想权重Wi-1的估计值，Γi-1是自适应增益矩阵，εN(i-1)满足|εi-1|≤εN(i-1)，为理想误差上界的估计值；
3.5计算李雅普诺夫函数Vi的微分
将式(10)和式(11)代入式(14)得
3.6设计虚拟控制量为
其中ki,i＝2,3，δ为正常数；
3.7设计神经网络权重和自适应参数的调节规律为
其中，j＝1,2，3，σj，都是正常数；
步骤4，设计控制器输入，过程如下：
4.1定义误差变量
s4＝z4-β3 (18)
计算式(18)的一阶微分为
4.2为了逼近不能直接得到的非线性不确定项定义以下神经网络
其中，W3为理想权重，ε3为神经网络误差值，的表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数；
4.3设计李雅普诺夫函数V4
其中， 为理想权重W3的估计值，Γ3是自适应增益矩阵，εN3满足|ε3|≤εN3，为理想误差上界ε3的估计值；
4.4计算李雅普诺夫函数V4的微分
将式(19)和式(20)代入式(23)得
4.5设计控制器输入为
其中，k4，δ为正常数，的调节规律满足式(17)；
步骤5，设计李雅普诺夫函数
V＝V1+V2+V3+V4 (26)
对式(26)进行求导得：
将式(8)，(15)，(24)代入式(27)，如果则判定***是稳定的。
为验证所提方法的有效性，本发明给出了两种信号下的神经网络反演控制(neural backstepping control，NBC)方法和神经网络反演滑模控制(neuralbackstepping sliding mode contrl，NBSMC)方法的对比：
为了更有效的进行对比，以下参数设置为一致。***初始化参数为[x1,x2,x3,x4]T＝[0,0,0,0]T；神经网络参数为Γ1＝Γ2＝Γ3＝diag{0.1}，a＝2，b＝10，c＝1，d＝-1；自适应控制率参数为σ＝0.01,δ＝0.1；***模型参数为Mgl＝5，I＝1，J＝1，K＝40，I＝1。
情况1：跟踪yd＝0.5(sin(t)+sin(0.5t))的信号，控制器参数设置为k1＝1，k2＝10，k3＝40，k4＝4，λ＝5。由图1可以看出，NBSMC方法跟踪效果比NBC方法更好；从图2可以看出，NBSMC方法的跟踪稳态误差超调都比NBC小。
情况2：跟踪梯形波输入，其表达式如式(28)。控制器参数设置为k1＝3，k2＝18，k3＝50，k4＝5，λ＝10。由图3可以看出，NBSMC方法跟踪效果比NBC方法更好，跟踪速度更快；从图4可以看出，NBSMC方法的跟踪稳态误差比NBC小，且超调也减小。
综合情况1和情况2，本发明提供一种能够有效改善柔性机械臂伺服***跟踪控制性能，减小稳态误差超调的神经网络反演滑模控制方法，实现***的稳定快速跟踪。
以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (1)

1.一种柔性机械臂***的神经网络反演控制方法，其特征在于：所述控制方法包括以下步骤：
步骤1，建立机械臂伺服***的动态模型，过程如下：
1.1机械臂伺服***的动态模型表达形式为
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其中，q和θ分别为机械臂连杆和电机的角度；g为重力加速度；I为连杆的惯量；J为电机的惯量；K为弹簧刚度系数；M和L分别是连杆的质量和长度；u是控制信号；
定义x1＝q，x3＝θ，式(1)改写为
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其中，y为***输出轨迹；
1.2定义变量z1＝x1，z2＝x2， 则式(2)改写成
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其中，yd为二阶可导期望轨迹，λ为常数，且λ＞0；
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步骤3，针对式(1)，选择神经网络逼近未知动态，并根据李雅普诺夫函数和反演滑模理论，设计虚拟控制量，更新神经网络权值矩阵，过程如下：
3.1计算李雅普诺夫函数的微分为
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3.3为了逼近不能直接得到的非线性不确定项定义以下神经网络
其中，为理想权重，j＝1,2，εj为神经网络误差值，的表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数，j＝1,2；
3.4设计李雅普诺夫函数Vi,i＝2,3
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Γi-1＝Γi-1 T＞0， 为理想权重的估计值，i＝2,3，Γi-1是自适应增益矩阵，εN(i-1)满足|εi-1|≤εN(i-1)，为神经网络估计误差上界εN(i-1)的估计值；
3.5计算李雅普诺夫函数Vi的微分
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </msup> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mover> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(10)和式(11)代入式(14)得
3.6设计虚拟控制量为
其中ki,i＝2,3，δ为正常数；
3.7设计神经网络权重和自适应参数的调节规律为
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>tanh</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>/</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，j＝1,2，3，σj，都是正常数；
步骤4，设计控制器输入，过程如下：
4.1定义误差变量
s4＝z4-β3 (18)
计算式(18)的一阶微分为
<mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
4.2为了逼近不能直接得到的非线性不确定项定义以下神经网络
<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>W</mi> <mn>3</mn> <mrow> <mo>*</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为理想权重，ε3为神经网络误差值，的表达式为：
其中，a,b,c,d为合适的常数；
4.3设计李雅普诺夫函数V4
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mi>s</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mn>3</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mn>3</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Γ3＝Γ3 T＞0， 为理想权重的估计值，Γ3是自适应增益矩阵，εN3满足|ε3|≤εN3，为神经网络估计误差上界的估计值；；
4.4计算李雅普诺夫函数V4的微分
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>W</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>3</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mn>3</mn> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mover> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>N</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(19)和式(20)代入式(23)得
4.5设计控制器输入为
其中，k4，δ为正常数，的调节规律满足式(17)；
步骤5，设计李雅普诺夫函数
V＝V1+V2+V3+V4 (26)
对式(26)进行求导得：
<mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(8)，(15)，(24)代入式(27)，如果则判定***是稳定的。
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