CN115202216A - 考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法 - Google Patents

考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法 Download PDF

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CN115202216A
CN115202216A CN202211112517.0A CN202211112517A CN115202216A CN 115202216 A CN115202216 A CN 115202216A CN 202211112517 A CN202211112517 A CN 202211112517A CN 115202216 A CN115202216 A CN 115202216A
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杨迪
袁泉
刘伟军
王世杰
赵海超
张恒
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    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
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Abstract

本发明涉及考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法，步骤为：建立带有干扰项的单关节机械臂数学模型，并转换为单关节机械臂状态方程；针对单关节机械臂状态方程中的干扰项，设计有限时间扰动观测器并输出干扰作用的估计
Figure 100004_DEST_PATH_IMAGE001
；根据有限时间扰动观测器的估计
Figure 898174DEST_PATH_IMAGE002
，构造带有误差补偿***的指令滤波器；根据指令滤波器的输出，结合双曲正切函数和有限时间控制理论设计轨迹跟踪抗干扰控制律。本发明实现机械臂轨迹跟踪误差在有限时间内收敛，提高控制***的动态性能和稳态精度，具有较强的鲁棒性，解决了传统逆推方法中的复杂性***问题和奇异问题。

Description

考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法
技术领域
本发明涉及机械臂控制领域，尤其涉及一种考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法。
背景技术
工业机器人技术的出现与应用极大促进了现代工业的发展，机械臂作为工业机器人的一个分支已大规模应用于对轨迹跟踪精度有较高要求的焊接、装配及机械加工等行业。但是，由于机械臂由关节和一系列连杆组成，其动态模型具有较强的非线性特性，且在机械臂控制过程中会面对控制输入约束问题，以及机械臂未建模动态和外界环境等造成的干扰问题，这增加了机械臂轨迹跟踪控制的难度。因此，在考虑控制输入约束的情况下，如何设计具有抗干扰能力的高速高精度轨迹跟踪控制律是机械臂控制领域的研究难点。
滑模控制技术具有响应速度快和鲁棒性强等优点，被广泛应用于机械臂控制***的设计。然而，传统的滑模技术利用较大的增益来抑制***中不确定的干扰项，这会导致高频抖振问题，抖振会加剧机械元件磨损并激发高频未建模动态，进而造成控制***性能下降，甚至不稳定。为解决高频抖振问题，设计扰动观测器估计干扰作用是一个有效的方法。但是传统的扰动观测器对未知干扰估计速度慢、精度不高，具有一定的局限性。
与传统的渐近稳定控制方法相比，有限时间控制可以保证机械臂轨迹跟踪误差在有限时间内收敛，并且具有较高的控制精度。由于较快的轨迹跟踪可能需要较大的控制能量，故实现机械臂有限时间控制的同时，考虑控制输入约束是十分有必要的。现有的基于辅助***的控制方法可以处理输入约束问题，但是基于辅助***的方法在控制初期会产生阶跃控制信号（当控制***启动时，控制器的输出信号不是从零开始），这不利于控制器的实际应用。此外，利用逆推方法设计有限时间控制律时需要对虚拟控制函数取时间导数，随着***阶数的增加，会导致复杂性***问题和奇异问题，具有一定的保守性。
发明内容
本发明提供一种考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法。其目的在于解决现有的控制方法在考虑输入约束的情况下，机械臂轨迹跟踪误差未在有限时间内收敛；面对干扰作用产生的影响，所构造的扰动观测器不能对其有效估计，机械臂控制方法鲁棒性较弱等问题。
为实现上述目的，本发明采用如下技术方案，包括：
考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法，步骤为：
步骤1. 建立带有干扰项的单关节机械臂数学模型，并转换为单关节机械臂状态方程；
步骤2. 针对单关节机械臂状态方程中的干扰项，设计有限时间扰动观测器并输出干扰作用的估计
Figure DEST_PATH_IMAGE001
；
步骤3.根据有限时间扰动观测器的估计
Figure 345045DEST_PATH_IMAGE001
，构造带有误差补偿***的指令滤波器；
步骤4. 根据指令滤波器的输出，结合双曲正切函数和有限时间控制理论设计轨迹跟踪抗干扰控制律，使得实际轨迹在有限时间内跟踪期望轨迹。
进一步的，步骤1中所述单关节机械臂数学模型为：
Figure 509310DEST_PATH_IMAGE002
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE003
表示关节角加速度，
Figure 813253DEST_PATH_IMAGE004
表示关节角速度，
Figure DEST_PATH_IMAGE005
表示关节角位置，
Figure 885114DEST_PATH_IMAGE006
为关节的质量，
Figure DEST_PATH_IMAGE007
为粘性摩擦系数，
Figure 59743DEST_PATH_IMAGE008
为电机的转动惯量，
Figure DEST_PATH_IMAGE009
表示从关节轴到质心的距离，
Figure 926068DEST_PATH_IMAGE010
为重力加速度，
Figure DEST_PATH_IMAGE011
为干扰项，即由未建模动态和外部干扰引起的复合扰动，
Figure 186148DEST_PATH_IMAGE012
为电机提供的控制力矩。
进一步的，步骤1中所述单关节机械臂状态方程为：
Figure DEST_PATH_IMAGE013
其中，定义
Figure 551049DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure DEST_PATH_IMAGE015
，
Figure 580185DEST_PATH_IMAGE016
，
Figure DEST_PATH_IMAGE017
表示状态方程中的干扰项；
控制力矩
Figure 617411DEST_PATH_IMAGE012
的约束特性由下式表示
Figure 630367DEST_PATH_IMAGE018
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE019
为不受约束的控制力矩，
Figure 44031DEST_PATH_IMAGE020
表示饱和函数，
Figure DEST_PATH_IMAGE021
表示符号函数，
Figure 927673DEST_PATH_IMAGE022
表示电机提供力矩的最大值。
进一步的，步骤2中所述有限时间扰动观测器为：
Figure DEST_PATH_IMAGE023
其中，
Figure 401380DEST_PATH_IMAGE024
，
Figure DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 104894DEST_PATH_IMAGE026
和
Figure DEST_PATH_IMAGE027
表示设计参数，
Figure 56669DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure DEST_PATH_IMAGE029
为中间变量，
Figure 60397DEST_PATH_IMAGE030
表示干扰项
Figure DEST_PATH_IMAGE031
的估计，
Figure 439426DEST_PATH_IMAGE032
表示状态变量
Figure DEST_PATH_IMAGE033
的估计，
Figure 895815DEST_PATH_IMAGE034
表示辅助变量。
进一步的，步骤3中指令滤波器为：
Figure DEST_PATH_IMAGE035
其中，
Figure 448019DEST_PATH_IMAGE036
，
Figure DEST_PATH_IMAGE037
表示设计参数，
Figure 306254DEST_PATH_IMAGE038
为指令滤波器的输出，
Figure DEST_PATH_IMAGE039
和
Figure 121763DEST_PATH_IMAGE040
为虚拟控制函数，其表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE041
其中，
Figure 68378DEST_PATH_IMAGE042
，
Figure DEST_PATH_IMAGE043
，
Figure 361956DEST_PATH_IMAGE044
，
Figure DEST_PATH_IMAGE045
和
Figure 74697DEST_PATH_IMAGE046
表示设计参数，
Figure DEST_PATH_IMAGE047
为期望的轨迹信号，中间误差变量
Figure 61108DEST_PATH_IMAGE048
，
Figure 695351DEST_PATH_IMAGE049
，
Figure 58199DEST_PATH_IMAGE050
，
Figure DEST_PATH_IMAGE051
的表达式为
Figure 625447DEST_PATH_IMAGE052
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE053
为误差补偿信号。
进一步的，步骤3中误差补偿***为：
Figure 517180DEST_PATH_IMAGE054
其中，
Figure 701036DEST_PATH_IMAGE055
，
Figure DEST_PATH_IMAGE056
，
Figure 336417DEST_PATH_IMAGE057
和
Figure 227013DEST_PATH_IMAGE058
表示设计参数。
进一步的，步骤4中轨迹跟踪抗干扰控制律为：
Figure DEST_PATH_IMAGE059
其中，
Figure 555226DEST_PATH_IMAGE060
表示设计参数，
Figure DEST_PATH_IMAGE061
为估计控制输入约束特性所采用的双曲正切函数，其表达式为
Figure 695220DEST_PATH_IMAGE062
中间误差变量
Figure DEST_PATH_IMAGE063
和
Figure 399871DEST_PATH_IMAGE064
的表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE065
。
进一步的，所述控制方法的稳定性证明方法为：
定义变量
Figure 941711DEST_PATH_IMAGE066
，
Figure DEST_PATH_IMAGE067
和
Figure 440825DEST_PATH_IMAGE068
，对
Figure DEST_PATH_IMAGE069
，
Figure 68116DEST_PATH_IMAGE070
和
Figure DEST_PATH_IMAGE071
分别取时间导数得
Figure 45299DEST_PATH_IMAGE072
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE073
为
Figure 501032DEST_PATH_IMAGE074
二阶导数的上界，
Figure DEST_PATH_IMAGE075
；根据有限时间控制理论，
Figure 171048DEST_PATH_IMAGE076
，
Figure 488897DEST_PATH_IMAGE070
和
Figure 535350DEST_PATH_IMAGE071
是有限时间稳定的，存在正常数
Figure DEST_PATH_IMAGE077
，使得
Figure 51782DEST_PATH_IMAGE078
，并且对于
Figure DEST_PATH_IMAGE079
，有
Figure 892699DEST_PATH_IMAGE080
；此外，对于
Figure 494582DEST_PATH_IMAGE081
，存在正常数
Figure 282409DEST_PATH_IMAGE082
，使得
Figure 918927DEST_PATH_IMAGE083
成立；
构造第一个李雅普诺夫函数
Figure 134008DEST_PATH_IMAGE084
，对其取时间导数得
Figure DEST_PATH_IMAGE085
将虚拟控制函数
Figure 957607DEST_PATH_IMAGE086
代入上式得
Figure DEST_PATH_IMAGE087
构造第二个李雅普诺夫函数
Figure 345863DEST_PATH_IMAGE088
，对其取时间导数得
Figure 836888DEST_PATH_IMAGE089
其中，
Figure 222870DEST_PATH_IMAGE090
为双曲正切函数估计控制输入约束所产生的误差，并且估计误差
Figure 64924DEST_PATH_IMAGE091
是有界的，即存在正常数
Figure DEST_PATH_IMAGE092
，使得
Figure 991291DEST_PATH_IMAGE093
成立；
将虚拟控制函数
Figure DEST_PATH_IMAGE094
代入上式得
Figure 71243DEST_PATH_IMAGE095
构造第三个李雅普诺夫函数
Figure DEST_PATH_IMAGE096
，对其取时间导数得
Figure 690443DEST_PATH_IMAGE097
将轨迹跟踪抗干扰控制律代入上式得
Figure DEST_PATH_IMAGE098
根据杨氏不等式，如下不等式成立
Figure 488635DEST_PATH_IMAGE099
从而得
Figure 956044DEST_PATH_IMAGE100
其中，
Figure 359343DEST_PATH_IMAGE101
，
Figure 415024DEST_PATH_IMAGE102
Figure DEST_PATH_IMAGE103
，
Figure 434933DEST_PATH_IMAGE104
；可得
Figure DEST_PATH_IMAGE105
在有限时间内收敛到零附近，并且该有限时间
Figure 968682DEST_PATH_IMAGE106
的表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE107
其中，
Figure 23226DEST_PATH_IMAGE108
，
Figure DEST_PATH_IMAGE109
为变量
Figure 718649DEST_PATH_IMAGE110
初始值；
接下来证明变量
Figure DEST_PATH_IMAGE111
，
Figure 491433DEST_PATH_IMAGE112
是有限时间稳定的：
构造李雅普诺夫函数为
Figure 766557DEST_PATH_IMAGE113
，对其取时间导数得
Figure DEST_PATH_IMAGE114
根据指令滤波原理以及电机的转动惯量
Figure 675607DEST_PATH_IMAGE115
是有界的，可知存在正常数
Figure DEST_PATH_IMAGE116
和
Figure 807511DEST_PATH_IMAGE117
使得下式成立
Figure 67591DEST_PATH_IMAGE118
进一步得
Figure 146405DEST_PATH_IMAGE119
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE120
，
Figure 972279DEST_PATH_IMAGE121
，可得
Figure 212767DEST_PATH_IMAGE122
在有限时间内收敛到零；根据
Figure 225723DEST_PATH_IMAGE123
，
Figure DEST_PATH_IMAGE124
，可得
Figure 639387DEST_PATH_IMAGE125
在有限时间内收敛到零附近；由此可得闭环控制***是稳定的，轨迹跟踪误差
Figure DEST_PATH_IMAGE126
在有限时间内收敛到零附近。
本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：
1、本发明实现机械臂轨迹跟踪误差在有限时间内收敛，提高控制***的动态性能和稳态精度；
2、本发明通过构造有限时间扰动观测器，实现干扰项的有效估计，使得机械臂轨迹跟踪控制律具有较强的鲁棒性；
3、本发明设计双曲正切函数估计控制输入的约束特性，采用积分器避免控制初期的阶跃控制信号，使得控制信号从零开始，便于控制律的实际应用；
4、本发明构造指令滤波器提供虚拟控制函数的时间导数，解决了传统逆推方法中的复杂性***问题和奇异问题。另外，为了处理滤波误差所引起的影响，本发明构造有限时间稳定的误差补偿***提高控制***的稳定性。
基于上述理由本发明可在机械臂控制领域广泛推广。
附图说明
图1为本发明的技术路线图；
图2为本发明的控制***原理图；
图3为本发明实施例中单关节机械臂的模型示意图；
图4为本发明实施例中单关节机械臂轨迹跟踪效果图；
图5为本发明实施例中关节角速度曲线图；
图6为本发明实施例中控制力矩曲线图；
图7为不同控制方法轨迹跟踪误差曲线图；
图8为不同的扰动观测器对干扰项估计图；
图9为不同的扰动观测器对干扰项估计误差图；
附图标记：1、电机，2、传动装置，3、刚性连杆。
具体实施方式
以下结合说明书附图更详细的说明本发明。
本发明针对考虑输入约束的受扰动机械臂轨迹跟踪问题，设计有限时间扰动观测器提供干扰作用的估计值，构造指令滤波器估计虚拟控制函数的时间导数，设计有限时间稳定的误差补偿***处理滤波误差所引起的影响，提高控制***的稳定性。根据指令滤波器的估计，结合双曲正切函数和有限时间控制理论设计机械臂轨迹跟踪抗干扰控制方法，使得实际轨迹在有限时间内跟踪期望轨迹。
如图1所示，本发明提供了一种考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法，包括如下步骤：
步骤1. 建立带有干扰项的单关节机械臂数学模型，并转换为状态方程的形式；
所建立带有干扰项的单关节机械臂数学模型为：
Figure 523029DEST_PATH_IMAGE127
(1)
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE128
表示关节角加速度，
Figure 731156DEST_PATH_IMAGE129
表示关节角速度，
Figure DEST_PATH_IMAGE130
表示关节角位置，
Figure 697320DEST_PATH_IMAGE131
为关节的质量，
Figure 117937DEST_PATH_IMAGE132
为粘性摩擦系数，
Figure 121665DEST_PATH_IMAGE008
为电机的转动惯量，
Figure DEST_PATH_IMAGE133
表示从关节轴到质心的距离，
Figure 766273DEST_PATH_IMAGE010
为重力加速度，
Figure 425924DEST_PATH_IMAGE134
为干扰项，即由未建模动态和外部干扰等引起的复合扰动，
Figure 446970DEST_PATH_IMAGE012
为电机提供的控制力矩，即将要设计的轨迹跟踪抗干扰控制律。定义
Figure DEST_PATH_IMAGE135
和
Figure 305205DEST_PATH_IMAGE136
，则可得单关节机械臂的状态方程表达式
Figure DEST_PATH_IMAGE137
(2)
其中，
Figure 120714DEST_PATH_IMAGE138
表示状态方程中的干扰项，电机提供的控制力矩是有限的，即
Figure DEST_PATH_IMAGE139
，
Figure 798820DEST_PATH_IMAGE140
表示电机提供力矩的最大值，此控制输入的约束特性可由下式表示
Figure DEST_PATH_IMAGE141
(3)
其中，
Figure 357977DEST_PATH_IMAGE142
为电机提供的控制力矩，
Figure 70718DEST_PATH_IMAGE019
为不受约束的控制力矩，
Figure 260391DEST_PATH_IMAGE020
表示饱和函数，
Figure DEST_PATH_IMAGE143
表示符号函数。
步骤2. 针对单关节机械臂状态方程中的干扰项，设计有限时间扰动观测器并输出干扰作用的估计
Figure 691372DEST_PATH_IMAGE144
。
设计有限时间扰动观测器为：
Figure DEST_PATH_IMAGE145
(4)
其中，
Figure 788641DEST_PATH_IMAGE024
，
Figure 621468DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 982042DEST_PATH_IMAGE026
和
Figure 900320DEST_PATH_IMAGE027
表示设计参数，
Figure 4542DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 957455DEST_PATH_IMAGE029
为中间变量，
Figure 488930DEST_PATH_IMAGE030
表示干扰项
Figure 894504DEST_PATH_IMAGE031
的估计，
Figure 536838DEST_PATH_IMAGE032
表示状态变量
Figure 344257DEST_PATH_IMAGE033
的估计，
Figure 46633DEST_PATH_IMAGE034
表示辅助变量。
步骤3. 根据有限时间扰动观测器的输出
Figure 676853DEST_PATH_IMAGE144
，构造带有误差补偿***的指令滤波器。利用指令滤波器避免求取虚拟控制函数
Figure 185195DEST_PATH_IMAGE039
和
Figure 50383DEST_PATH_IMAGE040
的时间导数，解决了传统逆推方法中的复杂性***问题和奇异问题。
构造带有误差补偿***的指令滤波器为：
Figure 985978DEST_PATH_IMAGE146
(5)
其中，
Figure 38248DEST_PATH_IMAGE036
，
Figure 350280DEST_PATH_IMAGE037
表示设计参数，
Figure DEST_PATH_IMAGE147
和
Figure 866712DEST_PATH_IMAGE148
为指令滤波器的输出，分别为
Figure 910892DEST_PATH_IMAGE039
和
Figure 512774DEST_PATH_IMAGE040
的滤波信号，
Figure 300602DEST_PATH_IMAGE039
和
Figure 671540DEST_PATH_IMAGE040
为虚拟控制函数，其表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE149
(6)
其中，
Figure 948938DEST_PATH_IMAGE042
，
Figure 38117DEST_PATH_IMAGE043
，
Figure 364056DEST_PATH_IMAGE044
，
Figure 120659DEST_PATH_IMAGE045
和
Figure 506641DEST_PATH_IMAGE046
表示设计参数，
Figure 83116DEST_PATH_IMAGE047
为期望的轨迹信号，中间误差变量
Figure 212746DEST_PATH_IMAGE150
，
Figure DEST_PATH_IMAGE151
，
Figure 558277DEST_PATH_IMAGE152
，
Figure DEST_PATH_IMAGE153
的表达式为
Figure 911898DEST_PATH_IMAGE154
(7)
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE155
为误差补偿信号，由误差补偿***产生。构造有限时间稳定的误差补偿***为：
Figure 710089DEST_PATH_IMAGE156
(8)
其中，
Figure 705727DEST_PATH_IMAGE055
，
Figure DEST_PATH_IMAGE157
，
Figure 905764DEST_PATH_IMAGE158
和
Figure DEST_PATH_IMAGE159
表示设计参数。
本发明通过设计虚拟控制函数
Figure 427357DEST_PATH_IMAGE039
和
Figure 916107DEST_PATH_IMAGE040
实现机械臂轨迹跟踪误差在有限时间内收敛。若采用传统的逆推法设计控制律（无指令滤波器），则需要对虚拟控制函数
Figure 715436DEST_PATH_IMAGE039
和
Figure 973242DEST_PATH_IMAGE040
取时间导数，这会导致复杂性***问题。另外，由于
Figure 934245DEST_PATH_IMAGE160
的时间导数为
Figure DEST_PATH_IMAGE161
，且
Figure 707028DEST_PATH_IMAGE162
，故当
Figure DEST_PATH_IMAGE163
接近零的时候，会导致奇异问题。为了避免复杂性***问题和奇异问题，本发明构造指令滤波器提供虚拟控制函数
Figure 778890DEST_PATH_IMAGE039
和
Figure 891202DEST_PATH_IMAGE040
的时间导数。进一步，为了处理滤波误差所引起的影响，本发明构造有限时间稳定的误差补偿***提高控制***的稳定性。
步骤4. 根据指令滤波器的输出，结合双曲正切函数和有限时间控制理论设计轨迹跟踪抗干扰控制律，使得实际轨迹在有限时间内跟踪期望轨迹。
设计双曲正切函数估计控制输入约束特性，其表达式为
Figure 288685DEST_PATH_IMAGE164
(9)
根据指令滤波器的估计，结合双曲正切函数和有限时间控制理论设计轨迹跟踪抗干扰控制律
Figure DEST_PATH_IMAGE165
为：
Figure 17607DEST_PATH_IMAGE166
(10)
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE167
表示设计参数。中间误差变量
Figure 893159DEST_PATH_IMAGE168
和
Figure DEST_PATH_IMAGE169
的表达式为
Figure 656716DEST_PATH_IMAGE170
(11)
传统的控制方法一般在控制初期会产生阶跃控制信号，即当
Figure DEST_PATH_IMAGE171
时，
Figure 959521DEST_PATH_IMAGE172
，这不利于控制律的实际应用。本发明的控制方法采用积分器避免控制初期的阶跃控制信号，使得控制信号从零开始。
考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法的稳定性证明方法为：
定义变量
Figure DEST_PATH_IMAGE173
，
Figure 441318DEST_PATH_IMAGE067
和
Figure 120561DEST_PATH_IMAGE068
，对
Figure 4203DEST_PATH_IMAGE076
，
Figure 681172DEST_PATH_IMAGE070
和
Figure 915845DEST_PATH_IMAGE071
分别取时间导数得
Figure 336462DEST_PATH_IMAGE072
(12)
其中，
Figure 340190DEST_PATH_IMAGE174
为
Figure 188060DEST_PATH_IMAGE074
二阶导数的上界，即
Figure DEST_PATH_IMAGE175
。根据有限时间控制理论，
Figure 644449DEST_PATH_IMAGE076
，
Figure 668425DEST_PATH_IMAGE070
和
Figure 729922DEST_PATH_IMAGE071
是有限时间稳定的，即存在正常数
Figure 545431DEST_PATH_IMAGE176
，使得
Figure DEST_PATH_IMAGE177
，并且对于
Figure 489116DEST_PATH_IMAGE178
，有
Figure DEST_PATH_IMAGE179
。此外，对于
Figure 48273DEST_PATH_IMAGE081
，存在正常数
Figure 964277DEST_PATH_IMAGE180
，使得
Figure DEST_PATH_IMAGE181
成立。
构造第一个李雅普诺夫函数
Figure 950687DEST_PATH_IMAGE084
，对其取时间导数得
Figure 381669DEST_PATH_IMAGE182
(13)
将虚拟控制函数
Figure 682200DEST_PATH_IMAGE086
代入上式得
Figure DEST_PATH_IMAGE183
(14)
构造第二个李雅普诺夫函数
Figure 515027DEST_PATH_IMAGE088
，对其取时间导数得
Figure 937918DEST_PATH_IMAGE089
(15)
其中，
Figure 793878DEST_PATH_IMAGE184
为双曲正切函数估计控制输入约束所产生的误差，并且估计误差
Figure 960418DEST_PATH_IMAGE091
是有界的，即存在正常数
Figure 851013DEST_PATH_IMAGE092
，使得
Figure DEST_PATH_IMAGE185
成立。
将虚拟控制函数
Figure 179226DEST_PATH_IMAGE094
代入上式得
Figure 584800DEST_PATH_IMAGE186
(16)
构造第三个李雅普诺夫函数
Figure 23871DEST_PATH_IMAGE187
，对其取时间导数得
Figure DEST_PATH_IMAGE188
(17)
将控制律（10）代入上式得
Figure 565711DEST_PATH_IMAGE189
(18)
根据杨氏不等式，如下不等式成立
Figure DEST_PATH_IMAGE190
(19)
将式子(19)代入(18)得
Figure 64826DEST_PATH_IMAGE100
(20)
其中，
Figure 895378DEST_PATH_IMAGE101
，
Figure 403720DEST_PATH_IMAGE102
Figure 3329DEST_PATH_IMAGE103
，
Figure 938924DEST_PATH_IMAGE104
。根据式子(20)，可得
Figure 256773DEST_PATH_IMAGE191
在有限时间内收敛到零附近，并且该有限时间
Figure 589313DEST_PATH_IMAGE106
的表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE192
(21)
其中，
Figure 840166DEST_PATH_IMAGE108
，
Figure 884345DEST_PATH_IMAGE109
为变量
Figure 751807DEST_PATH_IMAGE110
初始值。
接下来证明变量
Figure 539634DEST_PATH_IMAGE193
,
Figure 176152DEST_PATH_IMAGE112
是有限时间稳定的。构造李雅普诺夫函数为
Figure DEST_PATH_IMAGE194
，对其取时间导数得
Figure 187971DEST_PATH_IMAGE195
(22)
根据指令滤波原理以及电机的转动惯量
Figure 480412DEST_PATH_IMAGE115
是有界的，可知存在正常数
Figure 868668DEST_PATH_IMAGE116
和
Figure DEST_PATH_IMAGE196
使得下式成立
Figure 828533DEST_PATH_IMAGE118
(23)
将式子 (23)代入(22)得
Figure 542411DEST_PATH_IMAGE197
(24)
其中，
Figure 56569DEST_PATH_IMAGE120
，
Figure 248516DEST_PATH_IMAGE121
，
根据式子(24)，可得
Figure DEST_PATH_IMAGE198
在有限时间内收敛到零。根据
Figure 594047DEST_PATH_IMAGE199
，
Figure 150930DEST_PATH_IMAGE124
，
可得
Figure 214701DEST_PATH_IMAGE200
在有限时间内收敛到零附近。由此可得闭环控制***是稳定的，轨迹跟踪误差
Figure DEST_PATH_IMAGE201
在有限时间内收敛到零附近。
在虚拟环境下对所设计的考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法进行仿真实验，以验证所提方法的可行性，本发明的控制***原理如图2所示。
单关节机械臂模型如图3所示，电机1通过传动装置2连接刚性连杆3，在仿真实验中，机械臂的模型参数为：
Figure 679181DEST_PATH_IMAGE202
，
Figure DEST_PATH_IMAGE203
，
Figure 879218DEST_PATH_IMAGE204
Figure DEST_PATH_IMAGE205
，
Figure 403740DEST_PATH_IMAGE206
，时间设定为20秒。
机械臂初始状态为
Figure DEST_PATH_IMAGE207
，
Figure 689228DEST_PATH_IMAGE208
，期望的轨迹设定为
Figure DEST_PATH_IMAGE209
。
控制律相关参数设定为
Figure 957398DEST_PATH_IMAGE210
，
Figure DEST_PATH_IMAGE211
，
Figure 14872DEST_PATH_IMAGE212
，
Figure DEST_PATH_IMAGE213
，
Figure 975874DEST_PATH_IMAGE214
，
Figure DEST_PATH_IMAGE215
，
Figure 748658DEST_PATH_IMAGE216
，
Figure DEST_PATH_IMAGE217
，
Figure 554940DEST_PATH_IMAGE218
，
Figure 995149DEST_PATH_IMAGE219
，
Figure DEST_PATH_IMAGE220
，
Figure 861474DEST_PATH_IMAGE221
，
Figure DEST_PATH_IMAGE222
，
Figure 121554DEST_PATH_IMAGE223
，
Figure 934789DEST_PATH_IMAGE224
。
为进一步说明本发明所设计控制方法的有效性，与传统的控制方法（基于指令滤波器的机械臂轨迹跟踪控制方法）进行对比实验。将控制参数
Figure DEST_PATH_IMAGE225
设定为1时（其他控制参数不变），本发明所设计的有限时间控制方法退化成传统的控制方法。
为进一步说明本发明中有限时间扰动观测器的有效性，与传统的扰动观测器进行对比实验。传统的扰动观测器表达式为
Figure 963925DEST_PATH_IMAGE226
(25)
其中，观测器参数设定为
Figure DEST_PATH_IMAGE227
。
图4为单关节机械臂轨迹跟踪图，从该图可知所设计的有限时间控制方法可以保证机械臂在5秒左右跟踪期望的轨迹。
图5为关节角速度曲线图，从该图可知，设计的有限时间控制方法所产生的关节角速度变化范围是合理的。
图6为采用本发明控制方法产生的控制力矩曲线图，从该图可知，控制力矩信号从零开始变化，避免了阶跃控制输入，并且控制力矩曲线在约束的范围内变化。
图7为不同控制方法所产生的轨迹跟踪误差曲线图，从该图可知，与传统的控制方法相比，本发明所设计的有限时间控制方法可以保证轨迹跟踪误差较快的收敛，并且稳态性能更好。
图8和图9分别为不同的扰动观测器对干扰项估计和估计误差图，从图可知，传统的扰动观测器和本发明的扰动观测器都可以实现干扰项的估计，但是与传统的扰动观测器相比，本发明的扰动观测器对干扰项的估计精度较高。
为定量比较不同方法的控制性能，以及不同扰动观测器的估计性能，本发明采用积分时间绝对误差和积分绝对误差分别来评价误差信号的动态性能和稳态精度，其中，积分时间绝对误差的表达式为
Figure 266730DEST_PATH_IMAGE228
，积分绝对误差的表达式为
Figure 14106DEST_PATH_IMAGE229
，式中
Figure 631032DEST_PATH_IMAGE230
为时间，
Figure 780254DEST_PATH_IMAGE231
为相应的误差信号。表一列出不同方法对应的性能指标，从表一可以发现，本发明的控制方法和有限时间扰动观测器具有较小的积分时间绝对误差和积分绝对误差，故可说明本发明的方法所对应的误差信号具有较好的动态性能和稳态精度。
表一 不同方法的性能对比
Figure 457223DEST_PATH_IMAGE232
上述仿真实验结果表明，本发明可以避免在控制初期产生阶跃控制信号，在考虑输入约束的情况下，迫使机械臂轨迹跟踪误差在有限时间内收敛，且具有较高的控制精度。此外，面对干扰作用产生的影响，所构造的有限时间扰动观测器可以对其有效估计，使得机械臂控制方法具有较强的鲁棒性。
可以理解的是，以上关于本发明的具体描述，仅用于说明本发明而并非受限于本发明实施例所描述的技术方案，本领域的普通技术人员应当理解，仍然可以对本发明进行修改或等同替换，以达到相同的技术效果；只要满足使用需要，都在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法，其特征在于：步骤为：
步骤1. 建立带有干扰项的单关节机械臂数学模型，并转换为单关节机械臂状态方程；
步骤2. 针对单关节机械臂状态方程中的干扰项，设计有限时间扰动观测器并输出干扰作用的估计
Figure 191871DEST_PATH_IMAGE001
；
步骤3.根据有限时间扰动观测器的估计
Figure 971608DEST_PATH_IMAGE001
，构造带有误差补偿***的指令滤波器；
步骤4. 根据指令滤波器的输出，结合双曲正切函数和有限时间控制理论设计轨迹跟踪抗干扰控制律，使得实际轨迹在有限时间内跟踪期望轨迹。
2.根据权利要求1所述的考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法，其特征在于：步骤1中所述单关节机械臂数学模型为：
Figure DEST_PATH_IMAGE002
其中，
Figure 179867DEST_PATH_IMAGE003
表示关节角加速度，
Figure DEST_PATH_IMAGE004
表示关节角速度，
Figure 56556DEST_PATH_IMAGE005
表示关节角位置，
Figure DEST_PATH_IMAGE006
为关节的质量，
Figure 879019DEST_PATH_IMAGE007
为粘性摩擦系数，
Figure DEST_PATH_IMAGE008
为电机的转动惯量，
Figure 959101DEST_PATH_IMAGE009
表示从关节轴到质心的距离，
Figure DEST_PATH_IMAGE010
为重力加速度，
Figure 220318DEST_PATH_IMAGE011
为干扰项，即由未建模动态和外部干扰引起的复合扰动，
Figure DEST_PATH_IMAGE012
为电机提供的控制力矩。
3.根据权利要求1所述的考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法，其特征在于：步骤1中所述单关节机械臂状态方程为：
Figure 889197DEST_PATH_IMAGE013
其中，定义
Figure DEST_PATH_IMAGE014
，
Figure 695610DEST_PATH_IMAGE015
，
Figure DEST_PATH_IMAGE016
，
Figure 512256DEST_PATH_IMAGE017
表示状态方程中的干扰项；
控制力矩
Figure 249268DEST_PATH_IMAGE012
的约束特性由下式表示
Figure DEST_PATH_IMAGE018
其中，
Figure 585703DEST_PATH_IMAGE019
为不受约束的控制力矩，
Figure DEST_PATH_IMAGE020
表示饱和函数，
Figure 15547DEST_PATH_IMAGE021
表示符号函数，
Figure DEST_PATH_IMAGE022
表示电机提供力矩的最大值。
4.根据权利要求1所述的考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法，其特征在于：步骤2中所述有限时间扰动观测器为：
Figure 319490DEST_PATH_IMAGE023
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE024
，
Figure 594613DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure DEST_PATH_IMAGE026
和
Figure 51133DEST_PATH_IMAGE027
表示设计参数，
Figure DEST_PATH_IMAGE028
，
Figure 386300DEST_PATH_IMAGE029
为中间变量，
Figure DEST_PATH_IMAGE030
表示干扰项
Figure 177538DEST_PATH_IMAGE031
的估计，
Figure DEST_PATH_IMAGE032
表示状态变量
Figure 63543DEST_PATH_IMAGE033
的估计，
Figure DEST_PATH_IMAGE034
表示辅助变量。
5.根据权利要求1所述的考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法，其特征在于：步骤3中指令滤波器为：
Figure 561520DEST_PATH_IMAGE035
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE036
，
Figure 395484DEST_PATH_IMAGE037
表示设计参数，
Figure DEST_PATH_IMAGE038
为指令滤波器的输出，
Figure 346122DEST_PATH_IMAGE039
和
Figure DEST_PATH_IMAGE040
为虚拟控制函数，其表达式为
Figure 41677DEST_PATH_IMAGE041
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE042
，
Figure 394161DEST_PATH_IMAGE043
，
Figure DEST_PATH_IMAGE044
，
Figure 399026DEST_PATH_IMAGE045
和
Figure DEST_PATH_IMAGE046
表示设计参数，
Figure 650010DEST_PATH_IMAGE047
为期望的轨迹信号，中间误差变量
Figure DEST_PATH_IMAGE048
，
Figure DEST_PATH_IMAGE049
，
Figure DEST_PATH_IMAGE050
，
Figure 132944DEST_PATH_IMAGE051
的表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE052
其中，
Figure 605514DEST_PATH_IMAGE053
为误差补偿信号。
6.根据权利要求1所述的考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法，其特征在于：步骤3中误差补偿***为：
Figure DEST_PATH_IMAGE054
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE055
，
Figure 532012DEST_PATH_IMAGE056
，
Figure DEST_PATH_IMAGE057
和
Figure DEST_PATH_IMAGE058
表示设计参数。
7.根据权利要求1所述的考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法，其特征在于：步骤4中轨迹跟踪抗干扰控制律为：
Figure 519560DEST_PATH_IMAGE059
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE060
表示设计参数，
Figure 556917DEST_PATH_IMAGE061
为估计控制输入约束特性所采用的双曲正切函数，其表达式为
Figure DEST_PATH_IMAGE062
中间误差变量
Figure 618414DEST_PATH_IMAGE063
和
Figure DEST_PATH_IMAGE064
的表达式为
Figure 965082DEST_PATH_IMAGE065
。
8.根据权利要求1所述的考虑输入约束的机械臂抗干扰有限时间控制方法，其特征在于：所述控制方法的稳定性证明方法为：
定义变量
Figure DEST_PATH_IMAGE066
，
Figure 377609DEST_PATH_IMAGE067
和
Figure DEST_PATH_IMAGE068
，对
Figure 218657DEST_PATH_IMAGE069
，
Figure DEST_PATH_IMAGE070
和
Figure 462556DEST_PATH_IMAGE071
分别取时间导数得
Figure DEST_PATH_IMAGE072
其中，
Figure 652229DEST_PATH_IMAGE073
为
Figure DEST_PATH_IMAGE074
二阶导数的上界，
Figure 365101DEST_PATH_IMAGE075
；根据有限时间控制理论，
Figure DEST_PATH_IMAGE076
，
Figure 931212DEST_PATH_IMAGE070
和
Figure 295197DEST_PATH_IMAGE071
是有限时间稳定的，存在正常数
Figure 655771DEST_PATH_IMAGE077
，使得
Figure DEST_PATH_IMAGE078
，并且对于
Figure 855940DEST_PATH_IMAGE079
，有
Figure DEST_PATH_IMAGE080
；此外，对于
Figure DEST_PATH_IMAGE081
，存在正常数
Figure DEST_PATH_IMAGE082
，使得
Figure DEST_PATH_IMAGE083
成立；
构造第一个李雅普诺夫函数
Figure DEST_PATH_IMAGE084
，对其取时间导数得
Figure 288058DEST_PATH_IMAGE085
将虚拟控制函数
Figure DEST_PATH_IMAGE086
代入上式得
Figure 985844DEST_PATH_IMAGE087
构造第二个李雅普诺夫函数
Figure DEST_PATH_IMAGE088
，对其取时间导数得
Figure DEST_PATH_IMAGE089
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE090
为双曲正切函数估计控制输入约束所产生的误差，并且估计误差
Figure DEST_PATH_IMAGE091
是有界的，即存在正常数
Figure 845215DEST_PATH_IMAGE092
，使得
Figure DEST_PATH_IMAGE093
成立；
将虚拟控制函数
Figure 267100DEST_PATH_IMAGE094
代入上式得
Figure DEST_PATH_IMAGE095
构造第三个李雅普诺夫函数
Figure 502910DEST_PATH_IMAGE096
，对其取时间导数得
Figure DEST_PATH_IMAGE097
将轨迹跟踪抗干扰控制律代入上式得
Figure 513591DEST_PATH_IMAGE098
根据杨氏不等式，如下不等式成立
Figure DEST_PATH_IMAGE099
从而得
Figure DEST_PATH_IMAGE100
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE101
，
Figure DEST_PATH_IMAGE102
Figure 356913DEST_PATH_IMAGE103
，
Figure DEST_PATH_IMAGE104
；可得
Figure 453045DEST_PATH_IMAGE105
在有限时间内收敛到零附近，并且该有限时间
Figure DEST_PATH_IMAGE106
的表达式为
Figure 977699DEST_PATH_IMAGE107
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE108
，
Figure 905203DEST_PATH_IMAGE109
为变量
Figure DEST_PATH_IMAGE110
初始值；
接下来证明变量
Figure 44061DEST_PATH_IMAGE111
，
Figure DEST_PATH_IMAGE112
是有限时间稳定的：
构造李雅普诺夫函数为
Figure DEST_PATH_IMAGE113
，对其取时间导数得
Figure 440538DEST_PATH_IMAGE114
根据指令滤波原理以及电机的转动惯量
Figure DEST_PATH_IMAGE115
是有界的，可知存在正常数
Figure 752571DEST_PATH_IMAGE116
和
Figure DEST_PATH_IMAGE117
使得下式成立
Figure DEST_PATH_IMAGE118
进一步得
Figure DEST_PATH_IMAGE119
其中，
Figure 550893DEST_PATH_IMAGE120
，
Figure DEST_PATH_IMAGE121
，可得
Figure DEST_PATH_IMAGE122
在有限时间内收敛到零；根据
Figure DEST_PATH_IMAGE123
，
Figure 922969DEST_PATH_IMAGE124
，可得
Figure DEST_PATH_IMAGE125
在有限时间内收敛到零附近；由此可得闭环控制***是稳定的，轨迹跟踪误差
Figure 806742DEST_PATH_IMAGE126
在有限时间内收敛到零附近。
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