CN113824361A - 分数阶永磁同步发电机的模糊有限时间最优同步控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种分数阶永磁同步发电机的模糊有限时间最优同步控制方法，属于发电机技术领域。建立了具有电容电阻耦合的分数阶主动、从动永磁同步发电机之间的同步模型。通过动力学分析充分揭示了***存在包括混沌振荡在内的丰富动力学行为，并通过设计数值方法给出了稳定性和非稳定性边界。然后，在分数阶反步控制理论框架下，提出了一种融合分层二型模糊神经网络、有限时间命令滤波器、有限时间预设性能函数的模糊有限时间最优同步控制方案。稳定性分析证明了闭环***的所有信号在成本函数最小的情况下是有界的。最后，数值模拟结果验证了本发明的可行性和优越性。

Description

分数阶永磁同步发电机的模糊有限时间最优同步控制方法

技术领域

本发明属于发电机技术领域，涉及分数阶永磁同步发电机的模糊有限时间最优同步控制方法。

背景技术

永磁同步发电机是最重要的电力设备之一，它能将风能转换为机械功，通过机械做功驱动磁转子旋转来输出交流电。目前，它被广泛应用于高速发电、可再生能源发电和风力发电等。风力发电站的永磁同步发电机一般工作在恶劣的环境中，来自当地风速、发电机温度、磁场、摩擦和工作负荷所引起的波动是不可避免的。这些波动可能会引发永磁同步发电机的混沌振荡、多稳定性、分岔等众多非线性动力学现象。这些波动会导致永磁同步发电机性能下降，在没有采取有效措施的情况下甚至会导致发电机损坏。此外，随着生活水平的提高，人们对永磁同步发电机***的可靠性和安全性的要求也越来越高。因此，如何准确建模，揭示***运动的稳定和不稳定边界，并在预设性能范围内提出分数阶主动、从动永磁同步发电机之间的模糊有限时间最优同步控制方案，具有重要的意义和挑战性。

与整数阶微积分相比，分数阶微积分可以建立更精确的模型，更真实地描述实际工程***的动态特性，同时通过对***进行调分数阶值可以获得最优的动态响应。Westerlundand Ekstam通过实验证明了各种电容器介质的分数阶值，发现了电流与电压之间有紧密的分数阶联系。Luo等用分数阶电容膜模型对分数阶***的控制性能进行了实验验证。对于分数阶发电机的建模和动态分析，在过去的几十年里有零散的文献报道。Xu等建立了水轮发电机组***的分数阶模型，并利用六个典型的分数阶值对其进行了非线性动力学分析。Borah和Roy对分数阶永磁同步发电机进行了动力学分析，提出了一种单状态预测控制方法。Ardjal等建立了风能转换***的分数阶模型，并设计了发电机和电网转换器的非线性协同控制器。这些重要的研究结果对当前的研究具有一定的启发作用。然而，这些模型仅限于分析了单个发电机，没有考虑发电机之间的耦合强度，相应的动力学分析没有给出稳定和不稳定边界和区域，同时也没有考虑有限时间、不确定性、性能约束和优化等一***控制问题。

相互耦合***的同步问题在非线性科学中备受关注，例如在发电领域中，同步控制可以使多台发电机以平行模式实现其精确的频率重合。为了更好地解决这种问题，鲁棒同步、自适应同步和优化同步控制等大量有价值的工作不断出现。然而，这些工作仅限于不考虑双向和单向耦合强度的整数阶***，并且这些***在条件波动时不会产生复杂的非线性动力学，偏离所讨论的同步控制主题。Sadeghi等利用机器模型解决了无刷双馈感应发电机的平滑同步问题。Zhu等利用自适应脉冲控制方法解决了混沌振荡永磁同步发电机网络的同步问题。上述文献没有揭示整数阶发电机中的混沌和周期区间。同时，由于***建模参数的摄动和不确定性，这些方案在没有预先配置性能的情况下的失效是不可避免的。

反步控制作为一种有效的控制方法，通过融合模糊逻辑***或神经网络，广泛应用于整数阶不确定非线性***。一些研究人员将其扩展到分数阶领域。针对反步控制固有的“复杂性***”问题，无论反步控制属于整数阶还是分数阶，人们通常采用一阶低通滤波器、跟踪微分器和观测器来解决这个问题。然而，耦合永磁同步发电机完全不同于一类非线性数学模型，这些数学模型不会产生混沌振荡和多稳定性等不期望的动力学行为，同时以上工作中未提及模糊有限时间最优同步控制问题。最优控制由于消耗较少的资源而成为一个重要的研究课题。一些学者将其引入到非线性***的反步控制中，充分发挥了各自的优点。非线性***的有限时间控制具有响应速度快、收敛精度高等优点，是一个值得关注的研究课题。在风电场中，单向耦合分数阶永磁同步发电机***是一个具有周遭发电机耦合的高度复杂***。如何融合最优控制、反步控制和有限时间控制等有效方法，提出一种单向耦合永磁同步发电机***的模糊有限时间最优同步控制方案，以达到规定的性能，仍然是分数阶控制领域的一个突出问题。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种分数阶永磁同步发电机的模糊有限时间最优同步控制方法。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

分数阶永磁同步发电机的模糊有限时间最优同步控制方法，该方法包括以下步骤：

S1：***建模；

S2：设计数值方法并应用于求解非线性分数阶***；

S3：建立分层二型模糊神经网络，设计控制器。

可选的，所述S1具体为：风能转换***由风力涡轮机、永磁同步发电机和三台转换器构成；依次是二极管桥式整流器、dc/dc升压变换器和逆变器；永磁同步发电机产生的电能通过转换器输送到电网；

结合当地空气动力特性，风力涡轮机产生的功率表示为：

式中ρ，R，ω_r，β，ω_r和v_w分别表示为空气密度，涡轮半径、转速、桨叶角、转速、风速，C_p(ω_rR/v_w,β)表示为涡轮功率系数；

根据转动定律，给出了永磁同步发电机的机械分数阶模型：

式中α，J，T_t，T_g，

和b分别表示分数阶系数、***惯性、涡轮转矩、发电机转矩、时间和粘滞摩擦系数；

定义电磁发电机的转矩：

式中L_d和L_q表示d轴和q轴电感，i_d和i_q表示d轴和q轴定子电流，p和φ表示三相永磁同步发电机中永磁体的极对个数和磁通量；

永磁同步发电机在同步旋转d-q参照系中的分数阶模型表示为：

式中R_s，V_d与V_q表示定子电阻，d轴和q轴定子电压；

在拉普拉斯域，利用波德图中斜率为-20m dB/decade的传递函数来表示具有零极点对的线性近似形式下的分数阶积分器：

式中

P_f，ω_max与d_f分别表示角频率、频宽和实际线与近似线的差值，Q_i与P_i表示奇异函数的零点与极点；

由于定子绕组对称，得到L＝L_d＝L_q；由式(2)和式(4)定义永磁同步发电机分数阶模型为：

式中

表示当α＞0且起点在原点的Caputo分数阶导数；

通过引入新变量x₁＝Lω_r/R_s，x₂＝pLφi_q/bR_s，x₃＝pLφi_d/bR_s，永磁同步主电机的归一化分数阶模型写为：

式中

μ＝-pφ²/bR_s，σ＝3Lb/2JR_s，ρ＝bL/JR_s，x₁，x₂，x₃，t，u_q，u_d和T_L分别表示归一化角速度，q轴电流、d轴电流、时间、q轴电压、d轴电压和负载转矩，σ，ρ和μ表示***参数；

利用Heaviside函数H(t-T_g)，建立从动永磁同步发电机的分数阶模型：

式中t_g，κ₁与κ₂分别表示初始同步时间、电容耦合和电阻耦合，u₂与u₃表示控制输入；

定义同步误差为e₁＝y₁-x₁，e₂＝y₂-x₂与e₃＝y₃-x₃；用(8)式减去(7)式得：

定义1：对于一个充分可微的函数F(t)，Caputo分数阶导数写成：

式中

表示欧拉伽马函数，n-1＜α＜n，

对(10)做拉普拉斯变换得到：

对于任意的连续函数，当0＜α＜1且F₁(t)与F₂(t)在区间[0,t_V]内时，存在

当F₁(t)＝F₂(t)时，推导出以下不等式：

引理1：对于任何x_s，

如果常数c_s＞0，d_s＞0，

是任意正实函数，则不列等式成立

定义2：最小化性能成本函数如下：

式中

U，

分别表示惩罚函数、最优控制输入与N阶矩阵，

可选的，所述S2具体为：

对于具有给定函数g(·,·)的分数阶微分方程

y_f(t)的分数阶导数商定义写成无穷级数，即：

式中h＞0和

表示步长和系数，满足基于Euler-Gamma函数的条件为

在区间[0T]中定义等距网格t_n＝nh,n＝0,1,…,N，其中N＝T/h；然后得到在t＝t_n时的积分表达式：

让常数

在每个子区间[t_j,t_j+1]上逼近的向量场g(τ,y_f(τ))；(18)式的数值改写为：

主/从永磁同步发电机分数阶模型的***参数设置为三种工况：

工况1：α＝0.99，σ＝3，ρ＝4，μ＝25，T_L＝0，初始条件x₁(0)＝0.1，x₂(0)＝0.9，x₃(0)＝20；

工况2：α＝0.99，σ＝17，ρ＝16，μ＝25，T_L＝0，初始条件x₁(0)＝1.5，x₂(0)＝0.5，x₃(0)＝20；

工况3：α＝0.99，σ＝5.5，ρ＝5.5，μ＝20，T_L＝0，初始条件x₁(0)＝0.1，x₂(0)＝0.1，x₃(0)＝3；

通过引入(5)式，给出不同分数阶的近似传递函数

式中的误差值分别是≤0.1dB，≤0.2dB与≤0.4dB。

可选的，所述S3具体为：

分层二型模糊神经网络由输入层、隶属度层、规则层、降阶层和输出层五层组成；

在第二层，上下隶属度等级写为：

式中

分别表示第i个输入的第j个隶属度等级的中心、上部宽度和下部宽度；

在规则层中，上/下触发规则计算为：

在第四层中，Y_R和Y_L以集降阶中心的形式表示为：

式中

与

被称为权重，T^j 与

表示第j条规则的上、下触发度，M表示模糊规则的个数，

在输出层中，推导了矢量形式的模糊输出：

其中w≡[w_R w_L]，

ξ≡[x_R x_L].

通过调用(26)，分层二型模糊神经网络在紧集上实现对任意未知但有界函数的高精度逼近，则

式中

N表示输入数，e(X)＞0表示近似误差，Ω_w和D_X分别是w和X的适当界的紧集；引入一个最优参数w^*，该参数满足条件：

表示h的近似值；定义

其中w^*表示用于分析的人工量；

为避免规则数的指数增长，采用跟踪误差降低率和模糊规则e完备性两个准则来执行分层二型模糊神经网络的结构调整。跟踪误差降低率相当于驱动***输出与响应***之间跟踪误差平方的导数。模糊规则的完备性定义为“至少有一个模糊规则保证在操作范围内的触发强度不小于e”。如果隶属度等级在分层结构中等于或大于0.5，则保存它们。否则，删除这些在自结构算法中的不重要规则。

为提高求解速度和简化结构，对分层二型模糊神经网络进行如下变换：

w^Tξ(X)≤ζξ^T(X)ξ(X)/2b²+b²/2 (28)

式中ζ＝||w||²，b＞0；存在

其中

表示ζ的估计值，

为避免***性能降低，抑制误差变量的收敛特性，正的且严格单调递减的有限时间预设性能函数：

式中a_i,i＝0,…,3表示设计参数，T₀与

表示收敛时间与收敛边界；该性能函数满足以下约束条件：

式中β₀表示有限时间预设性能函数的初始值；

当约束信号与预设性能函数的收敛率相匹配时，在初始阶段，限制条件抑制控制输出的较大的超调量；对于预先给定的参数，β₀，T₀和

通过适当选择四个设计参数，很容易得到一个满意的有限时间预设性能函数；

为了实现更快的响应，给出了基于一阶Levant微分器的分数阶限时命令滤波器：

式中

与

表示命令滤波器状态，

表示命令滤波器的输入信号，c_i,1与c_i,2表示正设计常数，正常数Γ_i,1与Γ_i,2满足|Z_i,1-α_r|≤Γ_i,1和

条件；

显然，通过合适的选取c_i,1，c_i,2，当输入噪声在有限时间的瞬态过程中被完全抑制时，有Z_i,1＝α_r和

引入误差变量

式中

i＝2,3与Z_i,1,i＝2,3相同，表示分数阶命令滤波器的输出；

补偿跟踪误差表示为：

v_i＝z_i-θ_i,i＝1,2,3 (33)

式中θ_i表示虚拟控制和滤波信号之间的补偿信号；

误差变量有如下不等式：

式中

定义一个光滑且可导的函数S₁(z₁)，以上的不等式可改写为不受约束的形式：

e₁＝β(t)S₁(z₁) (35)

值得注意的是，

属于上述的光滑且可导的函数之一；

于是(35)的逆变换写成：

式中φ₁(t)＝e₁(t)/β(t)；

(36)式的分数阶导数推导为：

式中

利用(9)式与(37)式，有：

由于受到来自风速、发电机温度、定子电阻、摩擦系数和工作负载等的扰动，式中f₁＝-ρe₁，f₂＝-e₂-y₁y₃+x₁x₃-(κ₁e₁+κ₂e₂)H(t-t_g)+μe₁，f₃＝-e₃+y₁y₂-x₁x₂都被视为未知非线性函数；

基于分数阶反步控制原理，该控制器的设计由三个步组成；

第一步：考虑到f₁的不确定性，为了便于控制器设计，采用上述分层2型模糊神经网络在一个紧集上估计，即

式中(·)表示(x₁,x₂,x₃)的缩写；

第一个李雅普诺夫候选函数选取为：

取V₁的分数阶导数，得到：

式中

和

表示虚拟控制与σ上界，ζ₁＝||w₁||²和b₁＞0；

通过定义2，对以下成本函数进行了设计，以实现其最小值；

式中u_oi，

与κ_i分别表示最优控制输入，正常数和设计参数；为了补偿分层二型模糊神经网络的估计误差，使用如下不等式

第二步：为了解决前面提到的未知非线性函数f₂，使用一个分层二型模糊神经网络以如下形式高精度逼近它：

式中

和

第三步：为了处理未知非线性函数f₃，利用一个具有很高精度和重复性的分层二型模糊神经网络来估计：

得：

式中

和

本发明的有益效果在于：

首先，不同于单个孤立的永磁同步发电机整数阶模型，本发明建立了能实现运动有序和协调的单向耦合分数阶永磁同步发电机同步模型。它能准确地描述***的动态特性，增加了设计的自由度。同时，在所设计的数值方法下，动力学分析揭示了***随时间变化的稳定和不稳定边界，说明了***随参数变化的混沌和规则运动趋势。

其次，本发明解决了非线性***(甚至在高阶***中)传统反步控制的“复杂性***”问题，处理了指数形式的无限时间收敛问题和在初始阶段与稳态阶段之间不可调节的收敛速度问题，同时与普通的模糊逻辑***和神经网络进行了比较，提供了更大的灵活性和更好的功能特性。

第三，在分数阶反步框架下，实现了单向耦合分数阶永磁同步发电机***的模糊有限时间最优同步控制，解决了有限时间收敛，未知***非线性函数，预设约束条件和最小成本函数等问题。

第四，本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作优选的详细描述，其中：

图1为风能转换***示意图；

图2为工况1下，李雅普诺夫指数与***参数(σ，ρ)、分数阶和时间的关系；

图3为工况2下李雅普诺夫指数与***参数(σ，ρ)、分数阶和时间的关系；

图4为工况1下α-ρ，α-σ和σ-ρ参数平面上与混沌振荡最大李雅普诺夫指数等值线图；

图5为工况2下α-ρ，α-σ和σ-ρ参数平面上与混沌振荡最大李雅普诺夫指数等值线图；

图6为在相同条件下，有/无有限时间预设性能函数时的同步误差；

图7为不同分数阶下的同步误差；

图8为不同耦合参数下的补偿跟踪误差；

图9为不同***参数下的转换权重；

图10为不同分数阶下的转换权重；

图11为分数阶有限时间指令滤波器在不同工况下的性能；

图12为在开始时有无发电机负载的q与d轴控制输入以及最优控制输入；

图13为混沌抑制能力。

具体实施方式

以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。

其中，附图仅用于示例性说明，表示的仅是示意图，而非实物图，不能理解为对本发明的限制；为了更好地说明本发明的实施例，附图某些部件会有省略、放大或缩小，并不代表实际产品的尺寸；对本领域技术人员来说，附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。

1、***建模

如图1所示，风能转换***通常由风力涡轮机、永磁同步发电机和三台转换器(依次是二极管桥式整流器、dc/dc升压变换器和逆变器)构成。永磁同步发电机产生的电能通过上述转换器输送到电网。

结合当地空气动力特性，风力涡轮机产生的功率表示为：

式中ρ，R，ω_r，β，ω_r和v_w分别表示为空气密度，涡轮半径、转速、桨叶角、转速、风速，C_p(ω_rR/v_w,β)表示为涡轮功率系数。

根据转动定律，给出了永磁同步发电机的机械分数阶模型：

式中α，J，T_t，T_g，

和b分别表示分数阶系数、***惯性、涡轮转矩、发电机转矩、时间和粘滞摩擦系数。

定义电磁发电机的转矩：

式中L_d和L_q表示d轴和q轴电感，i_d和i_q表示d轴和q轴定子电流，p和φ表示三相永磁同步发电机中永磁体的极对个数和磁通量。

永磁同步发电机在同步旋转d-q参照系中的分数阶模型表示为：

式中R_s，V_d与V_q表示定子电阻，d轴和q轴定子电压。

在拉普拉斯域，利用波德图中斜率为-20m dB/decade的传递函数来表示具有零极点对的线性近似形式下的分数阶积分器：

式中

P_f，ω_max与d_f分别表示角频率、频宽和实际线与近似线的差值，Q_i与P_i表示奇异函数的零点与极点。

由于定子绕组对称，得到L＝L_d＝L_q。由式(2)和式(4)定义永磁同步发电机分数阶模型为：

式中

表示当α＞0且起点在原点的Caputo分数阶导数。

通过引入新变量x₁＝Lω_r/R_s，x₂＝pLφi_q/bR_s，x₃＝pLφi_d/bR_s，永磁同步主电机的归一化分数阶模型可写为：

式中

μ＝-pφ²/bR_s，σ＝3Lb/2JR_s，ρ＝bL/JR_s，x₁，x₂，x₃，t，u_q，u_d和T_L分别表示归一化角速度，q轴电流、d轴电流、时间、q轴电压、d轴电压和负载转矩，σ，ρ和μ表示***参数。

利用Heaviside函数H(t-T_g)，建立了从动永磁同步发电机的分数阶模型：

式中t_g，κ₁与κ₂分别表示初始同步时间、电容耦合和电阻耦合，u₂与u₃表示控制输入。

定义同步误差为e₁＝y₁-x₁，e₂＝y₂-x₂与e₃＝y₃-x₃。用(8)式减去(7)式得：

定义1：对于一个充分可微的函数F(t)，Caputo分数阶导数写成：

式中

表示欧拉伽马函数，n-1＜α＜n，

对(10)做拉普拉斯变换得到：

对于任意的连续函数，当0＜α＜1且F₁(t)与F₂(t)在区间[0,t_V]内时，存在

当F₁(t)＝F₂(t)时，推导出以下不等式：

引理1：对于任何x_s,

如果常数c_s＞0，d_s＞0，θ(x_s,y_s)是任意正实函数，则不列等式成立

定义2：最小化性能成本函数如下：

式中

U，

分别表示惩罚函数、最优控制输入与N阶矩阵，

2、动力学分析与问题提出

为了揭示分数阶主/从永磁同步发电机的动态特性，本节对其进行了动力学分析。目前，很难得到非线性分数阶微分方程的显式解。利用积分规则，本发明将设计数值方法并应用于求解非线性分数阶***。

对于具有给定函数g(·,·)的一般分数阶微分方程

t≥0，y_f(t)的分数阶导数商定义写成无穷级数，即：

式中h＞0和

表示步长和系数，同时满足基于Euler-Gamma函数的条件为

在区间[0T]中定义了等距网格t_n＝nh,n＝0,1,…,N，其中N＝T/h。然后得到在t＝t_n时的积分表达式

让常数

在每个子区间[t_j,t_j+1]上逼近的向量场g(τ,y_f(τ))。(18)式的数值近似改写为：

主/从永磁同步发电机分数阶模型的***参数设置为三种工况：

工况1：α＝0.99，σ＝3，ρ＝4，μ＝25，T_L＝0，初始条件x₁(0)＝0.1，x₂(0)＝0.9，x₃(0)＝20；

工况2：α＝0.99，σ＝17，ρ＝16，μ＝25，T_L＝0，初始条件x₁(0)＝1.5，x₂(0)＝0.5，x₃(0)＝20；

工况3：α＝0.99，σ＝5.5，ρ＝5.5，μ＝20，T_L＝0，初始条件x₁(0)＝0.1，x₂(0)＝0.1，x₃(0)＝3。

通过引入(5)式，给出了不同分数阶的近似传递函数

式中的误差值分别是≤0.1dB，≤0.2dB与≤0.4dB。

永磁同步发电机产生了具有两个吸引子的混沌振荡。为了展示分数阶模型的优势，同时揭示与分数阶值有关的永磁同步发电机动态特性。将分阶数值设置为0.96，永磁同步发电机的周期运动马上切换到具有一个吸引子的混沌轨道上。在工况1中，当α＝0.97时，***出现了T倍周期行为和混沌吸引子的两种运动状态。在工况2中，当α＝0.98时，永磁同步发电机的运动行为变成具有两个吸引子的混沌振荡。最后，无论是工况1还是工况2，一旦α增加到0.992或0.998，***运动维持在具有两个吸引子的混沌振荡状态。

图2～3揭示了在工况1-2下李雅普诺夫指数与***参数(σ，ρ)，分数阶和时间三者之间的关系。在图2的第一个子图中，当ρ∈(2 6.5)时，永磁同步发电机发生混沌振荡。在它的第二个子图中，当σ被设置在区间[2.16]时，永磁同步发电机陷入混沌状态。图2的第三个子图揭示了分数阶处于区间(0.9121)时能触发混沌振荡。由图2～3的最后一个子图可知，永磁同步发电机在整个过程中一直处于混沌状态。在图3的第一个子图中，当ρ∈(2 16)时，永磁同步发电机处于混沌状态。值得注意的是在周期态和混沌振荡之间存在一个切换点。在图3的第二子图中，当σ处于区间[12.420]时，永磁同步发电机发生了混沌振荡。从图3的第三个子图看出，分数阶值当α>0.928时导致永磁同步发电机出现混沌振荡。

图4～5展示了在工况1-2下，α-ρ，α-σ和σ-ρ参数平面中与***稳定和不稳定边界有关的最大李雅普诺夫指数等值线图。每个子图的彩色条表示在如α-ρ，α-σ和σ-ρ的这两个参数之间产生混沌的区间。显然柠檬黄区域的李雅普诺夫指数最大。也就是说，三个参数的组合落入柠檬黄区域时，永磁同步发电机就会产生混沌振荡。混沌振荡有很多的应用场景。但对于永磁同步发电机而言，这种振荡会导致运行***的性能下降，甚至会烧毁电机及其周围部件。因此，有必要提出一种有效的抑制混沌振荡的方法。同时，面对高维超混沌***时，一型模糊神经网络具有近似精度差的缺点。在最小化成本函数的时候，如何进一步提高单向耦合分数阶永磁同步发电机的稳定时间与动态性能仍是一个棘手的问题。

3、模糊有限时间最优控制器设计

3.1分层二型模糊神经网络

分层二型模糊神经网络是一型模糊神经网络的衍生，具有较强的学习能力、函数逼近能力和容错能力。它由输入层、隶属度层、规则层、降阶层和输出层五层组成。在第二层，上下隶属度等级写为：

式中

分别表示第i个输入的第j个隶属度等级的中心、上部宽度和下部宽度。

在规则层中，上/下触发规则计算为：

在第四层中，Y_R和Y_L以集降阶中心的形式表示为：

式中

与

被称为权重，T ^j与

表示第j条规则的上、下触发度，M表示模糊规则的个数，

在输出层中，推导了矢量形式的模糊输出：

其中w≡[w_R w_L]，

ξ≡[x_R x_L].

通过调用(26)，分层二型模糊神经网络在紧集上实现对任意未知但有界函数的高精度逼近，则

式中

N表示输入数，e(X)＞0表示近似误差，Ω_w和D_X分别是w和X的适当界的紧集。引入一个最优参数w^*，该参数满足条件：

表示h的近似值。定义

其中w^*表示用于分析的人工量。

为了避免规则数的指数增长，采用跟踪误差降低率和模糊规则e完备性两个准则来执行分层二型模糊神经网络的结构调整。跟踪误差降低率相当于驱动***输出与响应***之间跟踪误差平方的导数。模糊规则的完备性定义为“至少有一个模糊规则保证在操作范围内的触发强度不小于e”。如果隶属度等级在分层结构中等于或大于0.5，则保存它们。否则，删除这些在自结构算法中的不重要规则。

为了提高求解速度和简化结构，对分层二型模糊神经网络进行如下变换：

w^Tξ(X)≤ζξ^T(X)ξ(X)/2b²+b²/2 (28)

式中ζ＝||w||²，b＞0。存在

其中

表示ζ的估计值。

备注1：与Grunwald-Letnikov和Riemann-Liouville导数相比，分数阶微分方程Caputo导数的初始条件具有与整数阶微分方程的初始条件相同的形式。当Caputo导数应用于常数时，其值为零。因此，直接得到

3.2控制器设计

为了避免***性能降低，抑制误差变量的收敛特性，设计一个正的且严格单调递减的有限时间预设性能函数：

式中a_i,i＝0,…,3表示设计参数，T₀与

表示收敛时间与收敛边界。同时，该性能函数满足以下约束条件：

式中β₀表示有限时间预设性能函数的初始值。

备注2：当约束信号与预设性能函数的收敛率相匹配时，在初始阶段，限制条件抑制了控制输出的较大的超调量。对于预先给定的参数，如β₀，T₀和

通过适当选择四个设计参数，很容易得到一个满意的有限时间预设性能函数。

为了实现更快的响应，给出了基于一阶Levant微分器的分数阶限时命令滤波器：

式中

与

表示命令滤波器状态，

表示命令滤波器的输入信号，c_i,1与c_i,2表示正设计常数，正常数Γ_i,1与Γ_i,2满足|Z_i,1-α_r|≤Γ_i,1和

条件。

显然，通过合适的选取c_i,1，c_i,2，当输入噪声在有限时间的瞬态过程中被完全抑制时，有Z_i,1＝α_r和

引入误差变量

式中α_i ^c,i＝2,3与Z_i,1,i＝2,3相同，表示分数阶命令滤波器的输出。

补偿跟踪误差表示为：

u_i＝z_i-θ_i,i＝1,2,3 (33)

式中θ_i表示虚拟控制和滤波信号之间的补偿信号。

误差变量有如下不等式：

式中0＜ρ，

定义一个光滑且可导的函数S₁(z₁)，以上的不等式可改写为不受约束的形式：

e₁＝β(t)S₁(z₁) (35)

值得注意的是，

属于上述的光滑且可导的函数之一。

于是(35)的逆变换写成：

式中φ₁(t)＝e₁(t)/β(t)。

(36)式的分数阶导数推导为：

式中

利用(9)式与(37)式，有：

由于受到来自风速、发电机温度、定子电阻、摩擦系数和工作负载等的扰动，式中f₁＝-ρe₁，f₂＝-e₂-y₁y₃+x₁x₃-(κ₁e₁+κ₂e₂)H(t-t_g)+μe₁，f₃＝-e₃+y₁y₂-x₁x₂都被视为未知非线性函数。

基于分数阶反步控制原理，该控制器的设计由三个步组成。

第一步：考虑到f₁的不确定性，为了便于控制器设计，采用上述分层2型模糊神经网络在一个紧集上估计，即

式中(·)表示(x₁,x₂,x₃)的缩写。

第一个李雅普诺夫候选函数选取为：

取V₁的分数阶导数，得到：

式中

和

表示虚拟控制与σ上界，ζ₁＝||w₁||²和b₁＞0。

通过定义2，对以下成本函数进行了设计，以实现其最小值。

式中u_oi，

与κ_i分别表示最优控制输入，正常数和设计参数。为了补偿分层二型模糊神经网络的估计误差，使用如下不等式

最优控制输入设计为

这里P_i属于代数Riccati方程

k_i＞0的解。

然后进一步推导了最优控制输入：

选择了虚拟控制及其自适应律和补偿信号

式中k₁＞0，l₁＞0，γ₁＞0，s₁＞0，0＜γ＜1。

利用(14)，将(44)-(46)代入到(41)得到

式中

和

第二步：为了解决前面提到的未知非线性函数f₂，使用一个分层二型模糊神经网络以如下形式高精度逼近它：

选取第二个李雅普诺夫候选函数：

V₂的分数阶导数写为：

式中ζ₂＝||w₂||²和b₂＞0。

q轴控制输入以及自适应律和补偿信号设计如下：

式中k₂＞0，l₂＞0，γ₂＞0和s₂＞0。

利用和-，进一步简化为：

式中

和

第三步：同样，为了处理未知非线性函数f₃，利用一个具有很高精度和重复性的分层二型模糊神经网络来估计：

由于采用磁场定向控制，因此

等于零。定义最后一个李雅普诺夫候选函数：

计算V₃的分数阶导数为

式中ζ₃＝||w₃||²和b₃＞0.

设计d轴控制输入、自适应律和补偿信号如下：

式中k₃＞0，l₃＞0，γ₃＞0和s₃＞0。

可得：

式中

和

备注3：当复杂非线性***的阶数增大时，分数阶有限时间命令滤波器的滤波误差将变得难以控制。在这种情况下，很难获得最小的跟踪误差。因此，通过构造补偿信号来解决这一问题并实现有限时间收敛是必要的和有意义的。

4、稳定性分析

定理1：针对具有混沌振荡的单向耦合分数阶永磁同步发电机模糊有限时间最优同步控制问题，如果设计具有自适应律(52)，(59)和补偿信号(53)、(60)的q轴和d轴控制输入(51)和(58)，那么闭环***的所有信号都是有界的，同步误差满足预设的性能要求。同时，达到了模糊有限时间最优同步控制的目的，并使成本函数最小化。

证明：定义整个李雅普诺夫函数候选者

求(62)的分数阶导数

式中

b_e＝2min{d₁,b₁,d₂,b₂,d₃,b₃}，

u_i，

与θ_i在紧集Ω_e内与有限时间T₀下实现稳定性，即

式中D_e＝min{c_e/(1-λ_e)a_e,(c_e/(1-λ_e)b_e)^2/(γ+1)}和0＜λ_e＜1。

有限时间T₀为：

T₀≤max{t₁,t₂} (65)

式中

证毕。

5、实验结果与分析

构建基于积分规则的求解非线性分数阶***的数值方法，并通过编程实现。主、从动永磁同步发电机的耦合参数为κ₁＝0.1，κ₂＝-0.1。有限时间预设性能函数的参数选择如下：a₀＝0.4，a₁＝0，a₂＝-4.9，a₃＝6.3，β_T0＝0.02。有限时间设置为T₀＝0.4，分数阶有限时间命令滤波器参数设置为c_1,1＝6，c_1,2＝5。光滑可逆函数的参数设置为ρ＝0.1，

控制器参数设置为k₁＝k₂＝k₃＝10，γ₁＝γ₂＝2，γ₃＝8，l₁＝l₂＝l₃＝10，s₁＝s₂＝s₃＝0.5，

γ＝0.4和k₁＝k₂＝k₃＝1。将与分层二型模糊神经网络关联的隶属度等级中心均布设置在区间[-11]上，并选择隶属度等级的上下宽度为

和

图6为主、从动单向耦合分数阶永磁同步发电机在具有、无有限时间预设性能函数时的同步误差。很明显，没有有限时间预设性能函数的传统方案在整个运行过程中具有较大的超调量和较长的振荡周期。所设计方案实现了主、从动永磁同步发电机的快速同步，并且在有限的时间内达到误差很小。因此，在相同条件下，所设计方案明显优于没有有限时间预设性能函数的传统方案。

周围环境引起的电网实时变化通过风电场的输电母线和馈电线会对每台发电机的工作状态产生不可避免的影响，这些影响可能导致不准确的建模和***参数扰动。从图7看出，所设计方案较好地克服了这些不利影响，使交流主、从动永磁同步发电机在普通负载下实现了精确的频率重合。从动永磁同步发电机的运动状态在尽可能短的时间内被吸到主动永磁同步发电机的吸引子中。同时，同步误差被控制在预先配置的性能范围内。

耦合系数的大小直接决定永磁同步发电机并行运行时的同步/非同步运动和谐波振荡/周期运动。给出了三种组合，如I：κ₁＝0.1，κ₂＝-0.1；II：κ₁＝0.2，κ₂＝-0.15；III：κ₁＝0.15，κ₂＝-0.2。在这三种工况下，永磁同步发电机都会在应用所提方法之前产生振荡行为。图8描述了采用所设计方案后的补偿跟踪误差，很明显几条曲线一直是重叠的。说明所设计方法具有较强的抗耦合系数扰动能力。

具有转换的分层二型模糊神经网络对由于风速、发电机温度、定子阻力、摩擦系数、工作负荷等引起的颤抖问题进行补偿和函数逼近。定义了三组***扰动参数：A1：ρ＝5，μ＝19；A2：ρ＝5.5，μ＝20；A3：ρ＝6，μ＝21。从图9～图10看出，分层二型模糊神经网络的转换权重在自结构算法中能快速收敛到原点的一个小邻域内。同时，无论是在不同的***参数中还是在不同的分数阶中，三条曲线总是重叠的。

与补偿信号匹配的分数阶有限时间指令滤波器达到响应速度快、估计精度高和有限时间收敛的目的。无论是否存在变耦合系数、***参数扰动或分数阶变化等，图11充分展示了分数阶有限时间指令滤波器都能维持它的高性能。

图12为启动时刻有外载和无外载时的控制输入和最优控制输入。由图可见，单向耦合分数阶永磁同步发电机***在有负载时经过短暂的波动后，迅速实现稳定运行。因此，所设计的控制器具有良好的抗干扰能力。

由图13可知，当所提控制方法尚未介入时，永磁同步发电机会产生大量的包括混沌振荡的动态行为。一旦使用了所提出的模糊有限时间最优控制方案，每个永磁同步发电机在0.4秒内立即切换到周期运动，相应的混沌振荡在这里被完全抑制。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (4)

1.分数阶永磁同步发电机的模糊有限时间最优同步控制方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

S1：***建模；

S2：设计数值方法并应用于求解非线性分数阶***；

S3：建立分层二型模糊神经网络，设计控制器。

2.根据权利要求1所述的分数阶永磁同步发电机的模糊有限时间最优同步控制方法，其特征在于：所述S1具体为：风能转换***由风力涡轮机、永磁同步发电机和三台转换器构成；依次是二极管桥式整流器、dc/dc升压变换器和逆变器；永磁同步发电机产生的电能通过转换器输送到电网；

结合当地空气动力特性，风力涡轮机产生的功率表示为：

式中ρ，R，ω_r，β，ω_r和v_w分别表示为空气密度，涡轮半径、转速、桨叶角、转速、风速，C_p(ω_rR/v_w,β)表示为涡轮功率系数；

根据转动定律，给出了永磁同步发电机的机械分数阶模型：

式中α，J，T_t，T_g，

和b分别表示分数阶系数、***惯性、涡轮转矩、发电机转矩、时间和粘滞摩擦系数；

定义电磁发电机的转矩：

式中L_d和L_q表示d轴和q轴电感，i_d和i_q表示d轴和q轴定子电流，p和φ表示三相永磁同步发电机中永磁体的极对个数和磁通量；

永磁同步发电机在同步旋转d-q参照系中的分数阶模型表示为：

式中R_s，V_d与V_q表示定子电阻，d轴和q轴定子电压；

在拉普拉斯域，利用波德图中斜率为-20m dB/decade的传递函数来表示具有零极点对的线性近似形式下的分数阶积分器：

式中

P_f，ω_max与d_f分别表示角频率、频宽和实际线与近似线的差值，Q_i与P_i表示奇异函数的零点与极点；

由于定子绕组对称，得到L＝L_d＝L_q；由式(2)和式(4)定义永磁同步发电机分数阶模型为：

式中

表示当α＞0且起点在原点的Caputo分数阶导数；

通过引入新变量x₁＝Lω_r/R_s，x₂＝pLφi_q/bR_s，x₃＝pLφi_d/bR_s，永磁同步主电机的归一化分数阶模型写为：

式中

μ＝-pφ²/bR_s，σ＝3Lb/2JR_s，ρ＝bL/JR_s，x₁，x₂，x₃，t，u_q，u_d和T_L分别表示归一化角速度，q轴电流、d轴电流、时间、q轴电压、d轴电压和负载转矩，σ，ρ和μ表示***参数；

利用Heaviside函数H(t-T_g)，建立从动永磁同步发电机的分数阶模型：

式中t_g，κ₁与κ₂分别表示初始同步时间、电容耦合和电阻耦合，u₂与u₃表示控制输入；

定义同步误差为e₁＝y₁-x₁，e₂＝y₂-x₂与e₃＝y₃-x₃；用(8)式减去(7)式得：

定义1：对于一个充分可微的函数F(t)，Caputo分数阶导数写成：

式中

表示欧拉伽马函数，n-1＜α＜n，

对(10)做拉普拉斯变换得到：

对于任意的连续函数，当0＜α＜1且F₁(t)与F₂(t)在区间[0,t_V]内时，存在

当F₁(t)＝F₂(t)时，推导出以下不等式：

引理1：对于任何

如果常数c_s＞0，d_s＞0，

是任意正实函数，则不列等式成立

定义2：最小化性能成本函数如下：

式中

U，

分别表示惩罚函数、最优控制输入与N阶矩阵，

3.根据权利要求2所述的分数阶永磁同步发电机的模糊有限时间最优同步控制方法，其特征在于：所述S2具体为：

对于具有给定函数g(·,·)的分数阶微分方程

y_f(t)的分数阶导数商定义写成无穷级数，即：

式中h＞0和

表示步长和系数，满足基于Euler-Gamma函数的条件为

在区间[0T]中定义等距网格t_n＝nh,n＝0,1,…,N，其中N＝T/h；然后得到在t＝t_n时的积分表达式：

让常数

在每个子区间[t_j,t_j+1]上逼近的向量场

(18)式的数值改写为：

主/从永磁同步发电机分数阶模型的***参数设置为三种工况：

工况1：α＝0.99，σ＝3，ρ＝4，μ＝25，T_L＝0，初始条件x₁(0)＝0.1，x₂(0)＝0.9，x₃(0)＝20；

工况2：α＝0.99，σ＝17，ρ＝16，μ＝25，T_L＝0，初始条件x₁(0)＝1.5，x₂(0)＝0.5，x₃(0)＝20；

工况3：α＝0.99，σ＝5.5，ρ＝5.5，μ＝20，T_L＝0，初始条件x₁(0)＝0.1，x₂(0)＝0.1，x₃(0)＝3；

通过引入(5)式，给出不同分数阶的近似传递函数

式中的误差值分别是≤0.1dB，≤0.2dB与≤0.4dB。

4.根据权利要求3所述的分数阶永磁同步发电机的模糊有限时间最优同步控制方法，其特征在于：所述S3具体为：

分层二型模糊神经网络由输入层、隶属度层、规则层、降阶层和输出层五层组成；

在第二层，上下隶属度等级写为：

式中

分别表示第i个输入的第j个隶属度等级的中心、上部宽度和下部宽度；

在规则层中，上/下触发规则计算为：

在第四层中，Y_R和Y_L以集降阶中心的形式表示为：

式中

与

被称为权重，T ^j与

表示第j条规则的上、下触发度，M表示模糊规则的个数，

在输出层中，推导了矢量形式的模糊输出：

其中w≡[w_R w_L]，

ξ≡[ξ_R ξ_L]

通过调用(26)，分层二型模糊神经网络在紧集上实现对任意未知但有界函数的高精度逼近，则

式中

N表示输入数，e(X)＞0表示近似误差，Ω_w和D_X分别是w和X的适当界的紧集；引入一个最优参数w^*，该参数满足条件：

表示h的近似值；定义

其中w^*表示用于分析的人工量；

为避免规则数的指数增长，采用跟踪误差降低率和模糊规则ε完备性两个准则来执行分层二型模糊神经网络的结构调整；跟踪误差降低率相当于驱动***输出与响应***之间跟踪误差平方的导数；模糊规则的完备性定义为“至少有一个模糊规则保证在操作范围内的触发强度不小于ε”；如果隶属度等级在分层结构中等于或大于0.5，则保存它们；否则，删除这些在自结构算法中的不重要规则；

为提高求解速度和简化结构，对分层二型模糊神经网络进行如下变换：

w^Tξ(X)≤ζξ^T(X)ξ(X)/2b²+b²/2 (28)

式中ζ＝||w||²，b＞0；存在

其中

表示ζ的估计值，

为避免***性能降低，抑制误差变量的收敛特性，正的且严格单调递减的有限时间预设性能函数：

式中a_i,i＝0,…,3表示设计参数，T₀与

表示收敛时间与收敛边界；该性能函数满足以下约束条件：

式中β₀表示有限时间预设性能函数的初始值；

当约束信号与预设性能函数的收敛率相匹配时，在初始阶段，限制条件抑制控制输出的较大的超调量；对于预先给定的参数，β₀，T₀和

通过适当选择四个设计参数，很容易得到一个满意的有限时间预设性能函数；

为了实现更快的响应，给出了基于一阶Levant微分器的分数阶限时命令滤波器：

式中

与

表示命令滤波器状态，

表示命令滤波器的输入信号，c_i,1与c_i,2表示正设计常数，正常数G_i,1与G_i,2满足|Z_i,1-α_r|≤G_i,1和

条件；

显然，通过合适的选取c_i,1，c_i,2，当输入噪声在有限时间的瞬态过程中被完全抑制时，有Z_i,1＝α_r和

引入误差变量

式中

与Z_i,1,i＝2,3相同，表示分数阶命令滤波器的输出；

补偿跟踪误差表示为：

v_i＝z_i-θ_i,i＝1,2,3 (33)

式中θ_i表示虚拟控制和滤波信号之间的补偿信号；

误差变量有如下不等式：

式中0＜ρ,

定义一个光滑且可导的函数S₁(z₁)，以上的不等式可改写为不受约束的形式：

e₁＝β(t)S₁(z₁) (35)

值得注意的是，

属于上述的光滑且可导的函数之一；

于是(35)的逆变换写成：

式中φ₁(t)＝e₁(t)/β(t)；

(36)式的分数阶导数推导为：

式中

利用(9)式与(37)式，有：

由于受到来自风速、发电机温度、定子电阻、摩擦系数和工作负载等的扰动，式中f₁＝-ρe₁，f₂＝-e₂-y₁y₃+x₁x₃-(κ₁e₁+κ₂e₂)H(t-t_g)+μe₁，f₃＝-e₃+y₁y₂-x₁x₂都被视为未知非线性函数；

基于分数阶反步控制原理，该控制器的设计由三个步组成；

第一步：考虑到f₁的不确定性，为了便于控制器设计，采用上述分层2型模糊神经网络在一个紧集上估计，即

式中(·)表示(x₁,x₂,x₃)的缩写；

第一个李雅普诺夫候选函数选取为：

取V₁的分数阶导数，得到：

式中

和

表示虚拟控制与σ上界，ζ₁＝||w₁||²和b₁＞0；

通过定义2，对以下成本函数进行了设计，以实现其最小值；

式中u_oi，

与κ_i分别表示最优控制输入，正常数和设计参数；为了补偿分层二型模糊神经网络的估计误差，使用如下不等式

最优控制输入设计为

这里P_i属于代数Riccati方程

k_i＞0的解；

推导最优控制输入：

选择虚拟控制及其自适应律和补偿信号

式中k₁＞0，l₁＞0，γ₁＞0，s₁＞0，0＜γ＜1；

利用(14)，将(44)-(46)代入到(41)得到

式中

和

第二步：为了解决前面提到的未知非线性函数f₂，使用一个分层二型模糊神经网络以如下形式高精度逼近它：

选取第二个李雅普诺夫候选函数：

V₂的分数阶导数写为：

式中ζ₂＝||w₂||²和b₂＞0；

q轴控制输入以及自适应律和补偿信号设计如下：

式中k₂＞0，l₂＞0，γ₂＞0和s₂＞0；

利用和-，进一步简化为：

式中

和

第三步：为处理未知非线性函数f₃，利用一个具有很高精度和重复性的分层二型模糊神经网络来估计：

由于采用磁场定向控制，

等于零；定义最后一个李雅普诺夫候选函数：

计算V₃的分数阶导数为

式中ζ₃＝||w₃||²和b₃＞0；

设计d轴控制输入、自适应律和补偿信号如下：

式中k₃＞0，l₃＞0，γ₃＞0和s₃＞0；

得：

式中

和

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