CN104333280A - 一种直驱电机***的鲁棒自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种直驱电机***的鲁棒自适应控制(RAC)方法，基于传统的自适应控制(AC)方法，通过设计非线性鲁棒控制律使得***在同时存在参数不确定性和不确定性非线性的情况下的参数估计不受影响且获得渐近跟踪的性能。本发明公开的直驱电机***的鲁棒自适应控制(RAC)方法可增强传统自适应控制对外负载干扰等不确定性非线性的鲁棒性，以获得更好的跟踪性能。

Description

一种直驱电机***的鲁棒自适应控制方法

技术领域

本发明涉及机电伺服控制技术领域，主要涉及一种直驱电机***的鲁棒自适应控制方法。

背景技术

在现代工业生产中，许多先进的机械设备如数控机床、半导体加工设备及微电子制造设备等都广泛采用直驱电机***来保证高速和高精度的加工过程。直驱电机(如旋转和直线电机)***由于消除了与减速齿轮相关的一些机械传动问题如齿隙、强惯性载荷以及结构柔性等，而这些非线性问题都是影响***性能的主要因素，其存在将会严重恶化控制性能，因此通过对直驱电机***进行先进的控制器设计可以获得高精度的控制性能。然而，也正是由于缺少减速齿轮的作用，对直驱电机***进行控制器设计时需要面临许多建模不确定性，如参数不确定性及外负载干扰等不确定性非线性，这些不确定性不再经过减速齿轮而是直接作用于驱动部件，这样同样会严重地恶化控制性能，导致极限环震荡甚至使***失稳。因此探索先进的控制器设计方法来保证直驱电机***的高精度控制性能仍是实际工程应用领域的迫切需求。

针对直驱电机***的的非线性控制问题，许多方法相继被提出。其中自适应控制(AC)方法对于处理参数不确定性问题是非常有效的方法，能够获得渐近跟踪的稳态性能。但是自适应控制器是基于***不存在外负载干扰等不确定性非线性的前提假设进行设计的，理论上可以保证当***期望值令满足持续激励(PE)条件时***参数估计收敛到真值且***获得渐进跟踪的性能。但是，大量研究表明当PE条件不满足时甚至很小的外负载干扰或测量噪声都能使***参数估计发生漂移进而造成***不稳定。而且，尽管在PE条件满足的情况下大的外负载干扰也能使***跟踪误差逐渐增大直至***失稳。而实际的电机***都存在不确定性非线性，因此传统自适应控制方法在实际应用中并不能获得高精度的控制性能；作为一种鲁棒控制方法，经典滑模控制可以有效地处理任何有界的建模不确定性，并获得渐近跟踪的稳态性能。但是经典滑模控制所设计的不连续的控制器容易引起滑模面的颤振问题，从而恶化***的跟踪性能。为此，许多研究对经典滑模控制进行了改进，如采用光滑连续的双曲正切函数替代不连续的标准符号函数。但是如此一来便丧失了渐近跟踪的稳态性能，只能获得有界的跟踪误差；为了同时解决参数不确定性和不确定性非线性的问题，自适应鲁棒控制(ARC)方法被提出，该控制方法在两种建模不确定性同时存在的情况下可以使***获得确定的暂态和稳态性能，如要获得高精度跟踪性能则必须通过提高反馈增益以减小跟踪误差，然而过大的反馈增益将提高闭环***的频宽，从而可能激发***的高频动态使***失稳。

通过上述各种控制方法的优缺点分析，本发明基于传统的自适应控制方法，通过巧妙地设计非线性鲁棒控制律使得***在同时存在参数不确定性和不确定性非线性的情况下的参数估计不受影响且获得渐近跟踪的性能，增强了传统自适应控制对外负载干扰等不确定性非线性的鲁棒性，获得了更好的跟踪性能。

发明内容

本发明的目的在于提供一种鲁棒性强、跟踪性能高的直驱电机***的鲁棒自适应控制方法。

为实现上述目的，本发明所采用的技术方案如下：

一种直驱电机***的鲁棒自适应控制(RAC)方法，其实现包括以下步骤：

步骤1、建立直驱电机***的数学模型；

步骤2、设计鲁棒自适应控制器；以及

步骤3、鲁棒自适应控制器的性能分析。

进一步地，前述的直驱电机***的鲁棒自适应控制方法，基于传统的自适应控制(AC)方法，通过设计非线性鲁棒控制律使得***在同时存在参数不确定性和不确定性非线性的情况下的参数估计不受影响且获得渐近跟踪的性能。该控制方法是针对如下问题提出的：传统的自适应控制器是基于***不存在外负载干扰等不确定性非线性的前提假设进行设计的，理论上可以保证当***期望值令满足持续激励(PE)条件时***参数估计收敛到真值且***获得渐进跟踪的性能。当持续激励条件不满足时甚至很小的外负载干扰或测量噪声都能使***参数估计发生漂移进而造成***不稳定，而且，尽管在持续激励条件满足的情况下，大的外负载干扰也能使***跟踪误差逐渐增大直至***失稳。所公开的控制方法增强了传统自适应控制对外负载干扰等不确定性非线性的鲁棒性，获得了更好的跟踪性能。

本发明提出的直驱电机***的鲁棒自适应控制方法，与现有技术相比，其显著优点在于：增强了传统自适应控制对外负载干扰等不确定性非线性的鲁棒性，使得***在同时存在参数不确定性和不确定性非线性的情况下的参数估计不受影响且获得渐近跟踪的性能。下述仿真结果验证了其有效性。

附图说明

图1是本发明直驱电机***的原理图。

图2是本发明一实施方式直驱电机***鲁棒自适应(RAC)控制方法的原理示意图。

图3是在工况1时RAC控制器作用下***输出对期望指令的跟踪过程。

图4是在工况1时RAC控制器作用下***的跟踪误差随时间变化的曲线。

图5是在工况1时RAC控制器和传统AC控制器作用下***的跟踪误差对比曲线。

图6是在工况1时RAC控制器作用下***的参数估计随时间变化的曲线。

图7是在工况1时AC控制器作用下***的参数估计随时间变化的曲线。

图8是在工况1时RAC控制器作用下直驱电机***的控制输入随时间变化的曲线。

图9是在工况2时RAC控制器作用下***输出对期望指令的跟踪过程。

图10是在工况2时RAC控制器作用下***的跟踪误差随时间变化的曲线。

图11是在工况2时RAC控制器和传统AC控制器作用下***的跟踪误差对比曲线。

图12是在工况2时RAC控制器作用下***的参数估计随时间变化的曲线。

图13是在工况2时AC控制器作用下***的参数估计随时间变化的曲线。

图14是在工况2时RAC控制器作用下直驱电机***的控制输入随时间变化的曲线。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

结合图1～2，本发明一种直驱电机***的鲁棒自适应控制方法(不需要修改)，包括以下步骤：

步骤1，建立直驱电机***的数学模型；

(1.1)本发明所考虑的直驱电机***如图1所示，是通过配有商业电气驱动器的永磁直流电机直接驱动惯性负载。考虑到电磁时间常数比机械时间常数小得多，且电流环速度远大于速度环和位置环的响应速度，故可将电流环近似为比例环节。

因此，根据牛顿第二定律，直驱电机***的运动方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{i}u-B\stackrel{\·}{y}+f(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

式(1)中m为惯性负载参数，k_i为力矩放大系数，B为粘性摩擦系数，是其他未建模干扰，y为惯性负载的位移，u为***的控制输入，t为时间变量。

(1.2)定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={\mathrm{\θ}}_{1}u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2+{\mathrm{\θ}}_3+\tilde{d}(x,t)\\ y=x_1\end{array}---\left(2\right)$

式(2)中，θ₁＝k_i/m,θ₂＝B/m,θ₃＝d_n是***的未知参数，d(x,t)＝f(x,t)/m可认为是***总的干扰，包括外负载干扰、未建模摩擦、未建模动态等；d_n是总干扰的常值分量，是干扰与其常值分量的偏差；f(x,t)即为上述x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度。

***控制器的设计目标为：给定***参考信号y_d(t)＝x_1d(t)，设计一个有界的控制输入u使***输出y＝x₁尽可能地跟踪***的参考信号。

***控制器的设计目标为：给定***参考信号，设计一个有界的控制输入u使***输出尽可能地跟踪***的参考信号；

本实施例中，为便于控制器的设计，假设如下：

假设1：***参考指令信号x_1d(t)是二阶连续的，且***期望位置指令、速度指令及加速度指令都是有界的。

***不确定性非线性的大小范围已知，即

$\left|\tilde{d}(x,t)\right|\≤{\mathrm{\δ}}_d---\left(3\right)$

式中δ_d为已知正常数。

假设2：参数不确定性θ的大小范围已知，即

$\mathrm{\θ}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{\θ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\mathrm{\θ}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }\}---\left(4\right)$

式中θ_min＝[θ_1min,θ_2min,θ_3min]^T,θ_max＝[θ_1max,θ_2max,θ_3max]^T为向量θ的已知上下界。

步骤2，设计鲁棒自适应控制器，步骤如下：

(2.1)在进行控制器设计之前先给出参数自适应所采用的不连续的参数映射：

另表示对***未知参数θ的估计，为参数估计误差，即为确保自适应控制律的稳定性，基于***的参数不确定性是有界的，即假设2，定义如下的参数自适应不连续映射：

${\mathrm{Proj}}_{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i}\left({\mathrm{\&tau;}}_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& \mathrm{if}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{i\max }\mathrm{and}{\mathrm{\&tau;}}_i>0\\ 0& \mathrm{if}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{i\min }\mathrm{and}{\mathrm{\&tau;}}_i<0\\ {\mathrm{\&tau;}}_i& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中i＝1,2,3；τ为参数自适应函数，并在后续的控制器设计中给出其具体的形式。

给定如下参数自适应率：

$\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)\mathrm{with}{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(0\right){\mathrm{\&theta;}}_{\max }---\left(6\right)$

式中Г>0为正定对角矩阵。

对于任意的自适应函数τ，不连续映射(6)具有如下性质：

$\left(P1\right)\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\widehat{\mathrm{\&theta;}}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}---\left(7\right)$

$\left(P2\right){\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T[{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}]\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}---\left(8\right)$

对以上性质的证明：

性质P1的证明由不连续映射的定义很容易得到，故在此省略。

下面考虑性质P2的证明。当不连续映射不起作用时，此时有

${\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T({\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;})=0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}$

当且Γτ＞0时，此时

${\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}[{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&Gamma;\&tau;}]={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}(-\mathrm{\&Gamma;\&tau;})<0$

因此

${\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T({\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;})\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}$

当且Γτ＜0时，此时

${\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}[{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&Gamma;\&tau;}]={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}(-\mathrm{\&Gamma;\&tau;})>0$

由此证明了上述性质。

(2.2)定义z₁＝x₁-x_1d为***的跟踪误差，根据式(2)中的第一个方程选取x₂为虚拟控制，使方程趋于稳定状态；令x_2eq为虚拟控制的期望值，x_2eq与真实状态x₂的误差为z₂＝x₂-x_2eq，对z₁求导可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}=z_2+x_{2\mathrm{eq}}-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}---\left(9\right)$

设计虚拟控制律：

$x_{2\mathrm{eq}}={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(10\right)$

式中k₁＞0为可调增益，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-k_1{z}_1---\left(11\right)$

由于z₁(s)＝G(s)z₂(s),式中G(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，当z₂趋于0时，z₁也必然趋于0。所以在接下来的设计中，将以使z₂趋于0为设计目标。

(2.3)考虑式(2)的第二个方程，将其代入如下z₂的动态方程中

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2\mathrm{eq}}={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3+\tilde{d}(x,t)-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2\mathrm{eq}}---\left(12\right)$

根据式(12)，基于模型的控制器u可设计为：

$\begin{array}{c}u=u_a+u_s,u_a=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2{x}_2-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2\mathrm{eq}})\\ u_s=u_{s1}+u_{s2},u_{s1}=-\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_{1\min }}{k}_2{z}_2\\ u_{s2}=-\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_{1\min }}\frac{k_{s2}{z}_2{\mathrm{\&delta;}}_d^2}{k_{s2}{z}_2\tanh \left(\frac{z_2}{\mathrm{\&delta;}\left(t\right)}\right){\mathrm{\&delta;}}_d+\mathrm{\&delta;}\left(t\right)}\end{array}---\left(13\right)$

式(13)中k₂,k_s2为正的反馈增益，δ(t)＞0为可选函数满足 为正数，即δ(t)在t∈[0,∞)上积分有界。满足此条件的δ(t)必然也满足：且u_a为用于改善模型补偿的基于模型的前馈控制律，u_s为鲁棒控制律且其中u_s1为线性鲁棒反馈项，u_s2为非线性鲁棒项用于克服不确定性非线性对***性能的影响。将式(13)代入式(12)中得：

式(14)中

为参数自适应的回归器。

步骤3，鲁棒自适应控制器的性能及分析，具体如下：

控制器性能：使用不连续映射自适应律(6)，并令自适应函数控制器反馈增益k₁,k₂取得足够大以使如下定义的矩阵Λ为正定矩阵：

$\mathrm{\&Lambda;}=\left[\begin{array}{cc}{k}_1& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& k_2\end{array}\right]---\left(16\right)$

则设计的鲁棒自适应控制器可使闭环***中所有信号均有界，且***获得渐近输出跟踪性能，即当t→∞时，z₁→0。

稳定性分析：选取如下的李雅普诺夫函数，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性分析

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&theta;}}---\left(17\right)$

根据式(11)，(14)以及自适应函数τ的定义可知

运用式(8)中的性质P2可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;{-Z}^T\mathrm{\&Lambda;Z}+{\mathrm{\&theta;}}_1{z}_2{u}_{s2}+\left|z_2\right|{\mathrm{\&delta;}}_d---\left(19\right)$

式中Z的定义为Z＝[z₁,z₂]^T。

将式(13)中的u_s2代入式(19)并运用如下的不等式性质

0≤xtanh(x/a)≤|x|,x∈R,a＞0  (20)

b/b+c≤1,b≥0,c＞0或b＞0,c≥0  (21)

可得：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;{-Z}^T\mathrm{\&Lambda;Z}+\frac{-k_{s2}{z}_2^2{\mathrm{\&delta;}}_d^2}{k_{s2}\left|z_2\right|{\mathrm{\&delta;}}_d+\mathrm{\&delta;}\left(t\right)}+\left|z_2\right|{\mathrm{\&delta;}}_d\\ =-Z^T\mathrm{\&Lambda;Z}+\frac{\left|z_2\right|{\mathrm{\&delta;}}_d\mathrm{\&delta;}\left(t\right)}{k_{s2}\left|z_2\right|{\mathrm{\&delta;}}_d+\mathrm{\&delta;}\left(t\right)}\\ =-Z^T\mathrm{\&Lambda;Z}+\frac{1}{k_{s2}}\mathrm{\&delta;}\left(t\right)=-W+\frac{1}{k_{S2}}\mathrm{\&delta;}\left(t\right)\end{array}---\left(22\right)$

对式(22)两边积分得

$V\left(t\right)+{\&Integral;}_0^{t}W\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\&le;V\left(0\right)+\frac{1}{k_{s2}}{\&Integral;}_0^t\mathrm{\&delta;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\&le;V\left(0\right)+\frac{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}{k_{s2}}---\left(23\right)$

由于式(16)所定义的矩阵Λ为正定矩阵，则W>0，则从式(23)可得V(t)有界，故z₁,z₂和有界。根据假设1可知***所有状态都是有界的。再由式(11)可知有界，由于u_s2中的每部分都是有界的，因此u_s2是有界的，根据式(14)可知是有界的。由W的定义可知其一致连续。根据式(23)可得

${\&Integral;}_0^{t}W\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\&le;V\left(0\right)+\stackrel{-}{\mathrm{\&delta;}}/k_{s2}---\left(24\right)$

故W∈L₂范数。由Barbalat引理可知当t→∞时，W→0，即可推得结论：当t→∞时，z₁→0。直驱电机***鲁棒自适应(RAC)控制原理示意图如图2所示。

实施例

下面结合图3-图12，对上述实施例的实施做示例性的说明。

为考核所设计的控制器性能，在仿真中取如下参数对直驱电机***进行建模：

惯性负载参数m＝0.02kg·m²；粘性摩擦系数B＝10N·m·s/rad；力矩放大系数k_i＝5N·m/V；***未建模干扰f(t)＝1+2sint。

考虑如下两种不同的工况：

1、给定***的期望指令为x_1d＝sin(t)[1-exp(-0.01t³)](rad)。

取如下的控制器以作对比：

鲁棒自适应(RAC)控制器：取控制器参数k₁＝500,k₂＝50,k_s2＝1,δ_d＝150，θ_min＝[100,1,-500]^T,θ_max＝[700,900,500]^T， $\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(0\right)={\left[\mathrm{580,290,0}\right]}^T,\mathrm{\&Gamma;}=\mathrm{diag}\left\{\mathrm{1500,1000,500}\right\}.$ 函数δ(t)＝5000/(t²+1)。

自适应(AC)控制器：即所设计的RAC控制器中不加非线性鲁棒控制律部分，考虑AC控制器是为了验证RAC控制器中非线性鲁棒控制律对干扰的抑制能力。其控制器参数与RAC控制器中对应的参数相同。

RAC控制器作用下***输出对期望指令的跟踪、RAC控制器跟踪误差、RAC控制器和AC控制器的跟踪误差对比分别如图3，图4和图5所示。由图3和图4可知，所设计的RAC控制器的暂态和稳态跟踪性能都要优于相对比的AC控制器，且RAC控制器在干扰存在的情况下也可以获得渐近跟踪的性能，展现了其对干扰的抑制能力。由于传统AC控制器抗扰能力差，在干扰大的情况下表现出最差的跟踪性能。

图6和图7分别为RAC控制器和AC控制器作用下***参数估计随时间变化的曲线。从图中可以看出，RAC控制器作用下***的参数估计能很好地收敛真值，而AC控制器作用下***的参数估计在干扰的影响下发生漂移，不再收敛到真值。

图8是***在RAC控制器作用下***控制输入随时间变化的曲线图。从图中可以看出，所获得的控制输入是低频连续的信号，更利于在实际应用中的执行。

2、给定***的期望指令为点点指令(P2P)以验证在所设计的RAC控制器作用下***的快速响应能力，指令的最大速度为1rad/s，指令最大加速度为5rad/s²。仍对比RAC控制器和AC控制器的性能，两种控制器的参数同第一种工况中的控制器参数。

从图9，图10和图11中可以看出在快速跟踪的情况下，RAC控制器作用时***的跟踪误差远小于AC控制器的跟踪误差。如图12和图13所示，RAC控制器作用下***参数估计能够很好地收敛到真值，AC控制器作用时***的参数虽然仍在真值附近跳变，但是显然受干扰的影响较大，跳变的幅度太大，很大程度上影响***的跟踪性能。图14为RAC控制器作用下的控制输入随时间变化的曲线，可以看出其连续可微。

Claims (4)

1.一种直驱电机***的鲁棒自适应控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、建立直驱电机***的数学模型；

步骤2、设计鲁棒自适应控制器；

步骤3、鲁棒自适应控制器的性能分析。

2.根据权利要求1所述的直驱电机***的鲁棒自适应控制方法，其特征在于，步骤1所述建立直驱电机***的数学模型，具体如下：

(2.1)根据牛顿第二定律，直驱电机***的运动方程为：

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=k_{i}u-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}+f(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(1\right)$

式(1)中，m为惯性负载参数，k_i为力矩放大系数，B为粘性摩擦系数，是其他未建模干扰项，y为惯性负载的位移，u为***的控制输入，t为时间变量；

(2.2)定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3+\tilde{d}(x,t)\\ y=x_1\end{array}---\left(2\right)$

式(2)中，θ₁,θ₂,θ₃为***的未知参数，且θ₁＝k_i/m,θ₂＝B/m,θ₃＝d_n，d(x,t)＝f(x,t)/m为***总的干扰，包括外负载干扰、未建模摩擦、未建模动态；d_n是总干扰的常值分量，是干扰与其常值分量的偏差，f(x,t)即为上述x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度；

***控制器的设计目标为：给定***参考信号y_d(t)＝x_1d(t)，设计一个有界的控制输入u使***输出y＝x₁尽可能地跟踪***的参考信号；

假设如下：

假设1：***参考指令信号x_1d(t)是二阶连续的，且***期望位置指令、速度指令及加速度指令都是有界的；

***不确定性非线性的大小范围已知，即

$\left|\tilde{d}(x,t)\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_d---\left(3\right)$

式中，δ_d为已知正常数。

假设2：参数不确定性θ的大小范围已知，即

$\mathrm{\&theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&theta;}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&theta;}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}---\left(4\right)$

式中θ_min＝[θ_1min,θ_2min,θ_3min]^T,θ_max＝[θ_1max,θ_2max,θ_3max]^T为向量θ的已知上下界。

3.根据权利要求2所述的直驱电机***的鲁棒自适应控制方法，其特征在于，步骤2所述设计的鲁棒自适应控制器，步骤如下：

(3.1)在进行控制器设计之前先给出参数自适应所采用的不连续的参数映射：

令表示对***未知参数θ的估计，为参数估计误差，即为确保自适应控制律的稳定性，基于***的参数不确定性是有界的，即假设2，定义如下的参数自适应不连续映射：

${\mathrm{Proj}}_{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i}\left({\mathrm{\&tau;}}_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& \mathrm{if}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{i\max }\mathrm{and}{\mathrm{\&tau;}}_i>0\\ 0& \mathrm{if}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{i\min }\mathrm{and}{\mathrm{\&tau;}}_i<0\\ {\mathrm{\&tau;}}_i& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中i＝1,2,3；τ为参数自适应函数，并在后续的控制器设计中给出其具体的形式；

给定如下参数自适应率：

$\stackrel{\stackrel{\&CenterDot;}{^}}{\mathrm{\&theta;}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)\mathrm{with}{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(0\right){\mathrm{\&theta;}}_{\max }---\left(6\right)$

式中Г>0为正定对角矩阵；

对于任意的自适应函数τ，不连续映射(6)具有如下性质：

$\left(P1\right)\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\widehat{\mathrm{\&theta;}}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}---\left(7\right)$

$\left(P2\right){\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T[{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}]\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}---\left(8\right)$

(3.2)定义z₁＝x₁-x_1d为***的跟踪误差，根据式(2)中的第一个方程选取x₂为虚拟控制，使方程趋于稳定状态；令x_2eq为虚拟控制的期望值，x_2eq与真实状态x₂的误差为z₂＝x₂-x_2eq，对z₁求导可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}=z_2+x_{2\mathrm{eq}}-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}---\left(9\right)$

设计虚拟控制律：

$x_{2\mathrm{eq}}={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(10\right)$

式中k₁＞0为可调增益，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1=z_2-k_1{z}_1---\left(11\right)$

由于z₁(s)＝G(s)z₂(s),式中G(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，当z₂趋于0时，z₁也必然趋于0；所以在接下来的步骤中，将以使z₂趋于0为设计目标；

(3.3)考虑式(2)的第二个方程，将其代入如下z₂的动态方程中

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2\mathrm{eq}}={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2+{\mathrm{\&theta;}}_3+\tilde{d}(x,t)-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2\mathrm{eq}}---\left(12\right)$

根据式(12)，基于模型的控制器u可设计为：

$\begin{array}{c}u=u_a+u_s,u_a=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1}({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2{x}_2-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2\mathrm{eq}})\\ u_s=u_{s1}+u_{s2},u_{s1}=-\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_{1\min }}{k}_2{z}_2\\ u_{s2}=-\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_{1\min }}\frac{k_{s2}{z}_2{\mathrm{\&delta;}}_d^2}{k_{s2}{z}_2\tanh \left(\frac{z_2}{\mathrm{\&delta;}\left(t\right)}\right){\mathrm{\&delta;}}_d+\mathrm{\&delta;}\left(t\right)}\end{array}---\left(13\right)$

式(13)中k₂,k_s2为正的反馈增益，δ(t)＞0为可选函数满足 为正数，即δ(t)在t∈[0,∞)上积分有界；满足此条件的δ(t)必然也满足：且u_a为用于改善模型补偿的基于模型的前馈控制律，u_s为鲁棒控制律且其中u_s1为线性鲁棒反馈项，u_s2为非线性鲁棒项用于克服不确定性非线性对***性能的影响；将式(13)代入式(12)中得：

式(14)中：

为参数自适应的回归器。

4.根据权利要求3所述的直驱电机***的鲁棒自适应控制方法，其特征在于，步骤3所述鲁棒自适应控制器的性能分析，具体如下：

控制器性能：使用不连续映射自适应律(6)，并令自适应函数控制器反馈增益k₁,k₂取得足够大以使如下定义的矩阵Λ为正定矩阵：

$\mathrm{\&Lambda;}=\left[\begin{array}{cc}{k}_1& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& k_2\end{array}\right]---\left(16\right)$

则前述设计的鲁棒自适应控制器可使闭环***中所有信号均有界，且***获得渐近输出跟踪性能，即当t→∞时，z₁→0；

稳定性分析：选取如下的李雅普诺夫函数，运用李雅普诺夫稳定性理论进行稳定性分析：

$V=\frac{1}{2}{z}_1^2+\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&theta;}}---\left(17\right)$

并运用Barbalat引理可得***的全局渐近稳定的结果，因此调节参数k₁,k₂,k_s2,及Γ可使***的跟踪误差在时间趋于无穷的条件下趋于零。