CN104614994A - 一种含输入死区的非线性***鲁棒自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种含输入死区的非线性***鲁棒自适应控制方法，包括以下步骤：步骤1，建立含输入死区的一类非线性***的数学模型；步骤2，设计鲁棒自适应控制器；步骤3，鲁棒自适应控制器的性能。该控制方法通过引入死区逆函数的思想设计真实的控制输入，解决了精确考虑死区模型时控制器设计的问题。且设计的鲁棒自适应控制器可以同时处理***存在的参数不确定性和不确定性非线性，即通过自适应的方法可以估计出死区中的未知参数以及***其他未知参数，且对不确定性非线性具有一定的鲁棒性。

Description

一种含输入死区的非线性***鲁棒自适应控制方法

技术领域

本发明涉及非线性***控制领域，主要涉及一种含输入死区的非线性***鲁棒自适应控制方法。

背景技术

输入死区现象广泛存在于液压伺服阀，直流伺服电机，机械连接等运用中，在建立实际物理***模型时若不加以考虑死区的存在，将会严重恶化控制器的性能。由于死区中的参数往往难以获知，因此对于控制器的设计不是简单的对死区非线性函数求逆，这给控制器的设计带来了很大的困难。此外，实际的非线性***还存在其它参数不确定性和不确定性非线性，对于这类非线性***的控制问题具有很大的挑战性。

目前对于含输入死区的非线性***的控制方法大致可以分为以下两类：第一类是精确考虑死区非线性的模型，运用死区逆函数设计自适应控制器以使***获得良好的跟踪性能。其中死区逆函数可分为连续的逆函数和不连续的逆函数。连续逆函数的获得是通过对不连续的死区模型进行连续化近似再求逆获得的，但是这样必然存在一定的近似误差，该近似误差以及***不确定性非线性导致以往设计的自适应控制器只能获得一致最终有界的跟踪误差。而不连续的逆函数是直接对原不连续的死区模型求逆获得，由于其不连续性，间接自适应鲁棒控制方法通过对死区的两个不连续区间设计间接自适应律以估计死区中的未知参数以实现对死区的精确补偿，但是间接自适应是基于不存在外干扰等不确定性非线性的前提设计的，在此前提下可以获得渐近跟踪的稳态性能，而实际的***都存在一定的不确定性非线性，该控制器在这种情况则只能保证确定的暂态性能和一致最终有界的稳态性能。第二类处理输入死区非线性的方法是通过将死区非线性模型近似为与控制输入呈线性关系，把近似误差归到***的不确定性非线性中，再设计鲁棒自适应等控制器保证***的跟踪性能。但是，由于没有精确考虑死区的非线性模型，所设计的控制器并不能精确补偿死区的影响，***无法获得最好的跟踪性能。

发明内容

为了克服现有技术存在的问题，本发明针对一类含输入死区的非线性***，运用连续的死区模型逼近实际的不连续的死区，再利用连续的死区逆函数进行鲁棒自适应控制器设计。本发明所设计的鲁棒自适应控制器通过巧妙地设计非线性鲁棒控制律并利用其连续可微的性质进行反步设计，使得***在同时存在参数不确定性和不确定性非线性的情况下仍然可以获得渐近跟踪的稳态性能，增强了***对于不确定性非线性的鲁棒性。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种含输入死区的非线性***鲁棒自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立含输入死区的非线性***的数学模型；

步骤2，设计鲁棒自适应控制器；

步骤3，鲁棒自适应控制器性能及分析。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：精确考虑了输入死区的非线性模型，并运用死区逆函数进行补偿，克服了输入死区对***跟踪性能的影响，且所设计的鲁棒自适应控制器增强了传统自适应控制对外负载干扰等不确定性非线性的鲁棒性，使得***在同时存在参数不确定性和不确定性非线性的情况下仍可获得渐近跟踪的性能。仿真结果验证了其有效性。

下面结合说明书附图对本发明做进一步描述。

附图说明

图1是本发明含输入死区的非线性***鲁棒自适应控制原理示意图；

图2是期望跟踪的位置指令随时间变化的曲线图；

图3是四种控制器的对比跟踪误差曲线；

图4是在最后10s的仿真时间内四种控制器的对比跟踪误差；

图5是RABC控制器作用下的控制输入随时间变化的曲线；

图6是RABC控制器作用下的***参数估计随时间变化的曲线；

具体实施方式

结合图1本发明含输入死区的非线性***的鲁棒自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立含输入死区的非线性***的数学模型；

本发明所考虑的含输入死区的一类严格反馈非线性***具有如下状态空间形式：

式(1)中θ＝[θ₁,...θ_n]^T为非线性***中的不确定参数； 为已知的连续可微的函数；为***的外干扰等不确定性非线性；u为实际作用于控制对象的控制输入；v为真实的控制输入，也即为死区的输入；y为***输出。

对于输入死区(Dead-Zone)的建模如下：

真实的死区模型为

$u\left(v\right)=\mathrm{DZ}\left(v\right)\text{=}\left\{\begin{array}{cc}{m}_r(v-b_r)& v\&GreaterEqual;b_r\\ 0& b_l<v<b_r\\ m_l(v-b_l)& v\&le;b_l\end{array}\right.---\left(2\right)$

式(2)中m_r,m_l为死区两侧的斜率，b_r,b_l为死区两侧不连续拐点的值，且m_r,m_l,b_r,b_l均为未知参数。由于直接采用式(2)中的死区模型进行控制器的设计会造成设计的控制器不连续从而引起控制输入的抖振，这在实际中是不允许的。为此，有必要将死区模型进行连续化近似，并将近似误差归到不确定性非线性中。本发明所采用的连续化近似后的死区模型为：

u(v)＝m_r(v-b_r)φ_r(v)+m_l(v-b_l)φ_l(v)           (3)

式(3)中 ${\mathrm{\&phi;}}_r\left(v\right)=\frac{e^{v/\mathrm{\&epsiv;}}}{e^{v/\mathrm{\&epsiv;}}+e^{-v/\mathrm{\&epsiv;}}},{\mathrm{\&phi;}}_l\left(v\right)=\frac{e^{-v/\mathrm{\&epsiv;}}}{e^{v/\mathrm{\&epsiv;}}+e^{-v/\mathrm{\&epsiv;}}},$ ε为可调正的增益。

为便于鲁棒自适应控制器的设计，对死区进行线性参数化如下

$u=-{\mathrm{\&theta;}}_d^T\mathrm{\&omega;}---\left(4\right)$

式(4)中

θ_d＝[m_r,m_rb_r,m_l,m_lb_l]^T,ω＝[-σ_r(t)v,σ_r(t),-σ_l(t)v,σ_l(t)]^T

${\mathrm{\&sigma;}}_r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1& \mathrm{if}& u\&GreaterEqual;0\\ 0& & \mathrm{else}\end{array}\right.,{\mathrm{\&sigma;}}_l\left(t\right)\text{=}\left\{\begin{array}{ccc}-1& \mathrm{if}& u\&le;0\\ 0& & \mathrm{else}\end{array}\right.$

由于θ_d是未知参数，且ω无法获取，因此实际作用于控制对象的控制输入u_d可按如下思路进行设计：

$u_d=-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_d^T\widehat{\mathrm{\&omega;}}---\left(5\right)$

式(5)中 ${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_d={[\widehat{m_r},\widehat{m_r{b}_r},\widehat{m_l},\widehat{m_l{b}_l}]}^T,\widehat{\mathrm{\&omega;}}={[-{\mathrm{\&phi;}}_r\left(v\right)v,{\mathrm{\&phi;}}_r\left(v\right),-{\mathrm{\&phi;}}_l\left(v\right)v,{\mathrm{\&phi;}}_l\left(v\right)]}^T.$

u和u_d之间的偏差为

$u-u_d={\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_d^T\widehat{\mathrm{\&omega;}}+d_{\mathrm{\&omega;}},d_{\mathrm{\&omega;}}={\mathrm{\&theta;}}_d^T(\widehat{\mathrm{\&omega;}}-\mathrm{\&omega;})---\left(6\right)$

可获得d_ω的上界为

$\left|d_{\mathrm{\&omega;}}\right|=|{{\mathrm{\&theta;}}_d}^T(\widehat{\mathrm{\&omega;}}-\mathrm{\&omega;})|\&le;\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{e}^{-1}|m_r-m_l|\mathrm{\&epsiv;}+\frac{m_r{b}_r-m_l{b}_l}{e^{2b_r/\mathrm{\&epsiv;}}+1}& v\&GreaterEqual;b_r\\ \max \{m_r,m_l\}|b_r-b_l|& b_l<v<b_r\\ \frac{1}{2}{e}^{-1}|m_r-m_l|\mathrm{\&epsiv;}+\frac{|m_r{b}_r-m_l{b}_l|}{e^{-2b_l/\mathrm{\&epsiv;}}+1}& v\&le;b_l\end{array}\right.---\left(7\right)$

将d_ω归到不确定性非线性中，即则原***方程(1)可写成

***控制器的设计目标为：给定***参考信号y_d(t)＝x_1d(t)，设计一个有界的控制输入u使***输出y＝x₁尽可能地跟踪***的参考信号。

为便于控制器设计，有如下假设和定义：

假设1：***参考指令信号x_1d(t)是n阶连续可微的，且x_1d(t)的各阶导数均是有界的，即 $x_{1d}^{\left(i\right)}\left(t\right)\&Element;L_{\&infin;},i=1,...n.$

假设2：***方程所有通道的不确定性非线性都是有界的，但上界的值不必已知，即 $d_i({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)\&Element;L_{\&infin;},i=1,...,n,$ 且满足

$\begin{array}{c}\left|d_1({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)\right|\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_1,|d_2({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)-\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_1}{\&PartialD;x_1}{d}_1({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)|\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_2,...,|d_i({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)-\underset{j=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_{i-1}}{\&PartialD;x_j}{d}_j({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)|\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_i\\ ,...,|d({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)-\underset{j=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_{n-1}}{\&PartialD;x_j}{d}_j({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)|\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_n\end{array}---\left(9\right)$

式(9)中α₁,...,α_n-1为各通道的虚拟控制律，Θ＝[Θ₁,...,Θ_n]^T为未知常数。

假设3：参数不确定性θ的大小范围以及上界Θ的波动范围已知，即

$\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&theta;}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&theta;}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}\\ \mathrm{\&Theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&Theta;}:{\mathrm{\&Theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&Theta;}\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_{\max }\}\end{array}---\left(10\right)$

其中θ_min＝[θ_1min,...,θ_pmin]^T,θ_max＝[θ_1max,...,θ_pmax]^T,Θ_min＝[Θ_1min,...,Θ_nmin]^T，Θ_max＝[Θ_1max,...,Θ_nmax]^T均为已知。

假设4：存在充分光滑的正的可积函数δ_i(t)满足以下性质：

$\begin{array}{c}\left|{\mathrm{\&delta;}}_i^{\left(j\right)}\left(t\right)\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_{i,j}^{*},(1\&le;i\&le;n,1\&le;j\&le;n-1)\\ {\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&delta;}}_i\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}_i,\&ForAll;t\&GreaterEqual;0\end{array}---\left(11\right)$

步骤2，设计鲁棒自适应控制器，步骤如下：

(2.1)在进行控制器设计之前先给出参数自适应所采用的连续的投影映射函数：

定义为未知参数θ的估计，为参数估计的误差，即令其中π是有界的连续投影映射函数。定义为投影后的参数估计误差。基于假设3，定义如下的投影映射函数：

π(v)＝[π₁(v₁),...,π_p(v_p)]^T         (12)

式中v＝[v₁,...,v_p]^T。取任意小的正实数矢量ε_θ＝[ε_θ1,...,ε_θp]^T，则存在充分光滑的不减函数π_i满足以下性质：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&pi;}}_i\left(v_i\right)=v_i,\&ForAll;v_i\&Element;[{\mathrm{\&theta;}}_{i\min },{\mathrm{\&theta;}}_{i\max }]\\ {\mathrm{\&pi;}}_i\left(v_i\right)\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}[{\mathrm{\&theta;}}_{i\min }-{\mathrm{\&epsiv;}}_{{\mathrm{\&theta;}}_i},{\mathrm{\&theta;}}_{i\max }+{\mathrm{\&epsiv;}}_{{\mathrm{\&theta;}}_i}],\&ForAll;v_i\&Element;R\end{array}---\left(13\right)$

且具有n-1阶导数，因此

$\begin{array}{c}\mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right)=\widehat{\mathrm{\&theta;}},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{v:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;v{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}\\ \mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right)\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{v:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&theta;}}\&le;v\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }+{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&theta;}}\},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;R^p\\ {\mathrm{\&pi;}}^{\left(j\right)}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right)\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&pi;j}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&mu;}:|{\mathrm{\&mu;}}_i|\&le;c_{{\mathrm{\&pi;}}_{i}j}\},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;R^p,1\&le;j\&le;n\end{array}---\left(14\right)$

式(14)中和都是有界的紧集，μ＝[μ₁,...,μ_p]^T为一矢量，为正实数。定义由式(10)和(14)可知如下定义的函数是正定的：

$V_{\mathrm{\&theta;}}(\widetilde{\mathrm{\&theta;}},\mathrm{\&theta;})=\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{{\mathrm{\&Gamma;}}_i}{\&Integral;}_0^{{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_i}[{\mathrm{\&pi;}}_i(v_i+{\mathrm{\&theta;}}_i)-{\mathrm{\&theta;}}_i]d{v}_i,{\mathrm{\&Gamma;}}_i>0---\left(15\right)$

式(15)中Γ＝diag{Γ₁,...,Γ_p}是正定对角自适应增益矩阵，且式(14)中所定义的函数具有如下性质：

$\begin{array}{c}\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}{V}_{\mathrm{\&theta;}}(\widetilde{\mathrm{\&theta;}},\mathrm{\&theta;})=\left[\frac{1}{{\mathrm{\&Gamma;}}_1}\right[{\mathrm{\&pi;}}_1\left({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1\right)-{\mathrm{\&theta;}}_1],...,\frac{1}{{\mathrm{\&Gamma;}}_p}[{\mathrm{\&pi;}}_p\left({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_P\right)-{\mathrm{\&theta;}}_P\left]\right]\\ ={\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\end{array}---\left(16\right)$

因此，针对参数估计矢量有相似的投影函数定义及性质，即

连续投影函数：

π(κ)＝[π₁(κ₁),...,π_n(κ_n)]^T                   (17)

式(17)中κ＝[κ₁,...,κ_n]^T，取任意小的正实数矢量ε_Θ＝[ε_Θ1,...,ε_Θn]^T，则有以下性质

$\begin{array}{c}\mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right)=\widehat{\mathrm{\&Theta;}},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&kappa;}{:\mathrm{\&Theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&kappa;}\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_{\max }\}\\ \mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right)\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&kappa;}:{\mathrm{\&Theta;}}_{\min }-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Theta;}}\&le;\mathrm{\&kappa;}\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_{\max }+{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Theta;}}\},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\&Element;R^n\\ {\mathrm{\&pi;}}^{\left(j\right)}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right)\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&pi;j}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&lambda;}:|{\mathrm{\&lambda;}}_i|\&le;s_{{\mathrm{\&pi;}}_{i}j}\},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\&Element;R^n,1\&le;j\&le;n\end{array}---\left(18\right)$

式(18)中和Ω_πj都是有界的紧集，λ＝[λ₁,...,λ_n]^T为一矢量，为正实数。定义 ${\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}=\mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right),\widetilde{\mathrm{\&Theta;}}=\widehat{\mathrm{\&Theta;}}-\mathrm{\&Theta;},{\widetilde{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}={\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}-\mathrm{\&Theta;}$ 且 ${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^{\left(i\right)}={[\mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right),...,{\mathrm{\&pi;}}^{\left(i\right)}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right)]}^T.$ 如下定义的矩阵：

$V_{\mathrm{\&Theta;}}(\widetilde{\mathrm{\&Theta;}},\mathrm{\&Theta;})=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_i}{\&Integral;}_0^{{\widetilde{\mathrm{\&Theta;}}}_i}[{\mathrm{\&pi;}}_i({\mathrm{\&kappa;}}_i+{\mathrm{\&Theta;}}_i)-{\mathrm{\&Theta;}}_i]d{\mathrm{\&kappa;}}_i,{\mathrm{\&gamma;}}_i>0---\left(19\right)$

具有如下性质：

式(20)中γ＝diag{γ₁,...,γ_n}为正定对角自适应增益矩阵。

(2.2)基于反步(Backstepping)设计方法，定义z₁＝x₁-x_1d为***的跟踪误差，z₂＝x₂-α₁为x₂与虚拟控制α₁之间的偏差，则由式(8)中的第一个方程可得

设计虚拟控制律α₁为

式(22)中k₁,k_s1为正的反馈增益，α_1a为用于改善模型补偿的基于模型的前馈控制律，α_1s为鲁棒控制律且其中α_1s1为线性鲁棒反馈项，α_1s2为非线性鲁棒项用于克服不确定性非线性对***性能的影响。

将式(22)代入式(21)可得：

选取李雅普诺夫函数并对其求导得：

运用式(9)以及不等式性质0≤ηtanh(η/a)≤|η|,可得：

(2.3)考虑式(8)的第二个方程，定义z₃＝x₃-α₂为x₃与虚拟控制α₂之间的偏差

由于对虚拟控制律α₁求导，有如下展开式

式(27)中为中可计算的部分，为中不可计算的部分，故对虚拟控制律进行设计时只能用进行模型补偿，而则作为不确定项进行鲁棒处理。

设计虚拟控制律α₂如下：

式(28)中k₂,k_s2为正的反馈增益。

将式(28)代入式(26)中可得：

选取了李雅普诺夫函数并对其求导得：

运用式(9)可得：

(2.4)对于式(8)的第i个方程，1≤i≤n-1。定义误差变量z_i+1＝x_i+1-α_i为x_i+1与虚拟控制律α_i之间的偏差，则

由于对虚拟控制律α_i-1求导，有如下展开式

式(33)中为中可计算的部分，为中不可计算的部分

设计虚拟控制律α_i如下

式中k_i,k_si为正的反馈增益。

将式(34)代入式(32)中可得：

选取李雅普诺夫函数并对其求导可得：

(2.5)对于式(8)的第n个方程，有

设计实际作用于控制对象的控制输入u_d为

将式(38)代入式(37)可得：

运用死区逆函数，真实的控制输入v可设计为

$v=\mathrm{DI}\left(u_d\right)=\frac{u_d+\widehat{m_r{b}_r}}{\widehat{m_r}}{\mathrm{\&phi;}}_r\left(u_d\right)+\frac{u_d+\widehat{m_l{b}_l}}{\widehat{m_l}}{\mathrm{\&phi;}}_l\left(u_d\right)---\left(40\right)$

步骤3，鲁棒自适应控制器的性能，具体如下：

控制器性能：

对于***未知参数即包括θ和θ_d，以及式(9)中的各未知上界Θ，采用如下自适应律

式(41)中Γ,Υ,Μ为自适应增益，且都为正定对角矩阵。c₁,...c_n为正的可调增益。

控制器(38)、(40)的反馈增益k₁,k₂,...,k_n取得足够大以及选取合适的c₁,...c_n和k_s1,...k_sn以使如下定义的矩阵Λ为正定矩阵：

则设计的鲁棒自适应控制器可使闭环***中所有信号均有界，且***获得渐近输出跟踪性能，即当t→∞时，z₁→0。

对上述性能的分析：

选取李雅普诺夫函数

$V_n=V_{n-1}+\frac{1}{2}{c}_n{z}_n^2+V_{\mathrm{\&theta;}}(\widetilde{\mathrm{\&theta;}},\mathrm{\&theta;})+V_{\mathrm{\&Theta;}}(\widetilde{\mathrm{\&Theta;}},\mathrm{\&Theta;})+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_p^T{M}^{-1}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_p---\left(43\right)$

对上式求导并运用式(39)、(9)、(36)和(41)可得：

式(44)中Z＝[z₁,...,z_n]^T。

对(44)两边积分可得

$V_n\left(t\right)+{\text{\&Integral;}}_0^{t}W\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\&le;V_n\left(0\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{c_i}{k_{\mathrm{si}}}{\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&delta;}}_i\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\&le;V_n\left(0\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{c_i}{k_{\mathrm{si}}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}_i---\left(45\right)$

由于式(42)定义的矩阵为正定矩阵，则W＞0，由(45)可知V(t)∈L_∞，故 由假设1可知***所有状态都是有界的，再根据假设4可知v(t)是有界的，因此闭环***所有信号都是有界的。再根据式(23)、(29)、(35)和(39)可以得到此外，由(45)可得

${\&Integral;}_0^{t}W\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\&le;V_n\left(0\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{c_i}{k_{\mathrm{si}}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}_i---\left(46\right)$

故W∈L₂。由Barbalat’s引理可知当t→∞时，W→0，即可推得结论：当t→∞时，z₁→0。含输入死区的非线性***鲁棒自适应控制原理示意图如图1所示。

实施例

为考核所设计的控制器性能，给出以下仿真实例。

考虑如下含输入死区的一阶非线性***

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\mathrm{bu}\left(v\right)+a\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}+d\left(t\right)---\left(47\right)$

式(47)中u为死区的输出，d(t)为外干扰等不确定性非线性。为简化仿真过程，考虑对称的死区且死区的斜率参数已知即m_r＝m_l＝1，b＝1也已知。***其他不确定参数的真值分别为b_r＝-b_l＝1,a＝1且干扰d(t)＝0.6sint。定义θ_d＝b_r,θ＝a且Θ为干扰上界。

期望跟踪的指令为：y_d(t)＝arctan(sint)·[1-exp(-0.01t³)]，其示意图如图2所示。为证明本发明所设计的控制器的有效性，现对比以下四种控制器：

1)本发明所设计的鲁棒自适应控制器(RABC)：选取控制器参数：k₁＝100,c₁＝1，k_s1＝1，ε＝0.01,δ(t)＝5000/(t²+1)，参数不确定范围取为：θ_max＝5,Θ_max＝30,θ_min＝0,Θ_min＝0。参数估计的初始值取为：参数自适应增益：Γ＝500,γ＝500,Μ＝100。

2)具有如下形式的鲁棒自适应控制器(RAC)：

$v\left(t\right)=-\frac{\frac{1}{2}{z}_1{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}^2{f}^2(x,t)}{\frac{1}{2}{z}_1\tanh [\frac{1}{2}{z}_1/\mathrm{\&sigma;}\left(t\right)]\widehat{\mathrm{\&beta;}}f(x,t)+\mathrm{\&sigma;}\left(t\right)}---\left(48\right)$

参数自适应律：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}=\frac{1}{2}\mathrm{\&alpha;}\left|z_1\right|f(x,t)---\left(49\right)$

其中

$\begin{array}{c}f(x,t)=\sqrt{{\left(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\right)}^2+h_1}+\sqrt{z_1^2+h+1}\\ d_0=\stackrel{\&OverBar;}{D}+\underset{t\&GreaterEqual;0}{\sup }\left|{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d\right|,\mathrm{\&beta;}=\max \left\{\right|a|,d_0\}\\ \stackrel{\&OverBar;}{D}=\underset{t\&GreaterEqual;0}{\sup }\left|D\left(t\right)\right|,D\left(t\right)=b{d}_1\left(v\right)+\stackrel{\&OverBar;}{d}\left(t\right)\end{array}---\left(50\right)$

选取控制器参数：h₁＝2,h＝2,σ(t)＝5000/(t²+1),α＝6，参数β估计的初值

3)自适应控制器(ABC)：该自适应控制是RABC控制器除去非线性鲁棒项的部分，为保证对比的公平性，其控制器参数与RABC中的相应参数相同。

4)自适应变结构控制器(AVSC)：该控制器的设计中也采用了光滑的死区逆模型对死区进行补偿，实际作用于控制对象的控制输入可设计为：

$\begin{array}{c}{u}_d=\frac{1}{b}\stackrel{\&OverBar;}{u}\\ \stackrel{\&OverBar;}{u}=-(l_1+1)\left(\right|z_1|-{\mathrm{\&rho;}}_1)\mathrm{sg}\left(z_1\right)-\hat{a}\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-\hat{D}\mathrm{sg}\left(z_1\right)\end{array}---\left(51\right)$

参数自适应律：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}={\mathrm{\&Gamma;}}_a\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\left(\right|z_1|-{\mathrm{\&rho;}}_1)f_1\mathrm{sg}\left(z_1\right)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_d={\mathrm{\&Gamma;}}_b({\mathrm{\&Phi;}}_l\left(v\right)-{\mathrm{\&Phi;}}_r\left(v\right))\left(\right|z_1|-{\mathrm{\&rho;}}_1)f_1\mathrm{sg}\left(z_1\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\hat{D}}={\mathrm{\&Gamma;}}_d\left(\right|z_1|-{\mathrm{\&rho;}}_1)f_1\mathrm{sg}\left(z_1\right)\end{array}---\left(52\right)$

其中D为干扰的上界，为其估计值。且

$\begin{array}{c}{f}_1\text{=}\left\{\begin{array}{cc}1& \left|z_1\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&rho;}}_1\\ 0& \left|z_1\right|<{\mathrm{\&rho;}}_1\end{array}\right.\\ \mathrm{sg}\left(z_1\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{z_1}{\left|z_1\right|}& \left|z_1\right|\&GreaterEqual;{\mathrm{\&rho;}}_1\\ \frac{z_1^3}{{\left({\mathrm{\&rho;}}_1^2{-z}_1^2\right)}^2}& \left|z_1\right|<{\mathrm{\&rho;}}_1\end{array}\right.\end{array}---\left(53\right)$

选取控制器参数：l₁＝100,Γ_a＝200,Γ_b＝40,Γ_d＝30,ρ₁＝5×10^-4。

四种控制器作用下的跟踪误差曲线如图3和图4所示。从图中可以看出，RABC控制器无论在瞬态还是在稳态都表现出最佳的跟踪性能。由于没有模型补偿，RAC控制器的初始跟踪误差相当大，且在设计时没有考虑死区的影响造成其稳态误差也很大。ABC的瞬态跟踪误差和RABC几乎没有差别，但是由于缺少非线性鲁棒项以削弱干扰的影响，其稳态误差比RABC要大。自适应变结构控制器的稳态跟踪误差可由ρ₁的选取进行调节，但是ρ₁取得过小会引起跟踪误差抖动，图中可以看书其跟踪误差已有微小抖动。RABC控制器的控制输入随时间变化的曲线如图5所示。***参数估计过程如图6所示。

Claims (4)

1.一种含输入死区的非线性***鲁棒自适应控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立含输入死区的一类非线性***的数学模型；

步骤2，设计鲁棒自适应控制器；

步骤3，鲁棒自适应控制器的性能。

2.根据权利要求1所述的含输入死区的非线性***鲁棒自适应控制方法，其特征在于，步骤1所述建立含输入死区的一类非线性***的数学模型，具体如下：

步骤1.1，设计含输入死区的一类严格反馈非线性***具有如下状态空间形式：

y＝x₁

式(1)中θ＝[θ₁,...θ_n]^T为非线性***中的不确定参数；为已知的连续可微的函数；为***的外干扰等不确定性非线性；u为实际作用于控制对象的控制输入；v为真实的控制输入；y为***输出；

步骤1.2，建立死区模型

$u\left(v\right)=\mathrm{DZ}\left(v\right)=\left\{\begin{array}{cc}{m}_r(v-b_r)& v\&GreaterEqual;b_r\\ 0& b_l<v<b_r\\ m_l(v-b_l)& v\&le;b_l\end{array}\right.---\left(2\right)$

式(2)中m_r,m_l为死区两侧的斜率，b_r,b_l为死区两侧不连续拐点的值，DZ(·)为死区函数；

步骤1.3，对死区模型进行连续化近似，并将近似误差归到不确定性非线性中，得到连续化近似后的死区模型：

u(v)＝m_r(v-b_r)φ_r(v)+m_l(v-b_l)φ_l(v)        (3)

式(3)中 ${\mathrm{\&phi;}}_r\left(v\right)=\frac{e^{v/\mathrm{\&epsiv;}}}{e^{v/\mathrm{\&epsiv;}}+e^{-v/\mathrm{\&epsiv;}}},{\mathrm{\&phi;}}_l\left(v\right)=\frac{e^{-v/\mathrm{\&epsiv;}}}{e^{v/\mathrm{\&epsiv;}}+e^{-v/\mathrm{\&epsiv;}}},$ ε为可调正的增益；

步骤1.4，对死区进行线性参数化

$u=-{\mathrm{\&theta;}}_d^T\mathrm{\&omega;}---\left(4\right)$

式(4)中

θ_d＝[m_r,m_rb_r,m_l,m_lb_l]^T,ω＝[-σ_r(t)v,σ_r(t),-σ_l(t)v,σ_l(t)]^T

${\mathrm{\&sigma;}}_r\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{ifu}\&GreaterEqual;0\\ 0& \mathrm{else}\end{array}\right.,{\mathrm{\&sigma;}}_l\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-1& \mathrm{ifu}\&le;0\\ 0& \mathrm{else}\end{array}\right.;$

步骤1.5，计算实际作用于控制对象的控制输入u_d

$u_d=-{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_d^T\widehat{\mathrm{\&omega;}}---\left(5\right)$

式(5)中 $\widehat{\mathrm{\&omega;}}={[-{\mathrm{\&phi;}}_r\left(v\right)v,{\mathrm{\&phi;}}_r\left(v\right),-{\mathrm{\&phi;}}_l\left(v\right)v,{\mathrm{\&phi;}}_l\left(v\right)]}^T,$

分别为m_r,m_rb_r,m_l,m_lb_l的估计值；

计算1.6，u和u_d之间的偏差为

$u-u_d={\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_d^T\widehat{\mathrm{\&omega;}}+d_{\mathrm{\&omega;}},d_{\mathrm{\&omega;}}={\mathrm{\&theta;}}_d^T(\widehat{\mathrm{\&omega;}}-\mathrm{\&omega;})---\left(6\right)$

可获得d_ω的上界为

$\left|d_{\mathrm{\&omega;}}\right|=\left|{{\mathrm{\&theta;}}_d}^T(\widehat{\mathrm{\&omega;}}-\mathrm{\&omega;})\right|\&le;\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{e}^{-1}|m_r-m_l|\mathrm{\&epsiv;}+\frac{|m_r{b}_r-m_l{b}_l|}{e^{2b_r/\mathrm{\&epsiv;}}+1}& v\&GreaterEqual;b_r\\ \max \{m_r,m_l\}|b_r-b_l|& b_l<v<b_r\\ \frac{1}{2}{e}^{-1}|m_r-m_l|\mathrm{\&epsiv;}+\frac{|m_r{b}_r-m_l{b}_l|}{e^{-2b_l/\mathrm{\&epsiv;}}+1}& v\&le;b_l\end{array}\right.---\left(7\right)$

步骤1.7，将d_ω归到不确定性非线性中，即则原***方程(1)可写成

y＝x₁

步骤1.8，对于控制器设计，假设如下：

假设1，***参考指令信号x_1d(t)是n阶连续可微的，且x_1d(t)的各阶导数均是有界的，即 $x_{1d}^{\left(i\right)}\left(t\right)\&Element;L_{\&infin;},i=1,...n;$

假设2，***方程所有通道的不确定性非线性都是有界的，但上界的值不必已知，即 $d_i({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)\&Element;L_{\&infin;},i=1,...,n,$ 且满足

$\begin{array}{c}\left|d_1({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)\right|\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_1,|d_2({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)-\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_1}{\&PartialD;x_1}{d}_1({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)|\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_2,...,|d_i({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)-\underset{j=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_{i-1}}{\&PartialD;x_j}{d}_j({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)|\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_i\\ ,...,|d({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)-\underset{j=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_{n-1}}{\&PartialD;x_j}{d}_j({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_n,t)|\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_n\end{array}---\left(9\right)$

式(9)中α₁,...,α_n-1为各通道的虚拟控制律，Θ＝[Θ₁,...,Θ_n]^T为未知常数；

假设3，参数不确定性θ的大小范围以及上界Θ的波动范围已知，即

$\begin{array}{c}\mathrm{\&theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&theta;}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&theta;}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}\\ \mathrm{\&Theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&Theta;}:{\mathrm{\&Theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&Theta;}\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_{\max }\}\end{array}---\left(10\right)$

其中θ_min＝[θ_1min,...,θ_pmin]^T,θ_max＝[θ_1max,...,θ_pmax]^T,Θ_min＝[Θ_1min,...,Θ_nmin]^T，Θ_max＝[Θ_1max,...,Θ_nmax]^T均为已知；

假设4，存在充分光滑的正的可积函数δ_i(t)满足以下性质：

$\begin{array}{c}\left|{\mathrm{\&delta;}}_i^{\left(j\right)}\left(t\right)\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_{i,j}^{*},(1\&le;i\&le;n,1\&le;j\&le;n-1)\\ {\&Integral;}_0^t{\mathrm{\&delta;}}_i\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&delta;}}}_i,\&ForAll;t\&GreaterEqual;0\end{array}---\left(11\right)$

3.根据权利要求1所述的含输入死区的非线性***鲁棒自适应控制方法，其特征在于，步骤2所述设计鲁棒自适应控制器，步骤如下：

步骤2.1，在进行控制器设计之前先给出参数自适应所采用的连续的投影映射函数：

定义为未知参数θ的估计，为参数估计的误差，即令其中π是有界的连续投影映射函数，定义为投影后的参数估计误差，基于条件(3)，定义如下的投影映射函数：

π(v)＝[π₁(v₁),...,π_p(v_p)]^T            (12)

式中v＝[v₁,...,v_p]^T；

步骤2.2，取任意小的正实数矢量则存在充分光滑的不减函数π_i满足以下性质：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&pi;}}_i\left(v_i\right)=v_i,\&ForAll;v_i\&Element;[{\mathrm{\&theta;}}_{i\min },{\mathrm{\&theta;}}_{i\max }]\\ {\mathrm{\&pi;}}_i\left(v_i\right)\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}[{\mathrm{\&theta;}}_{i\min }-{\mathrm{\&epsiv;}}_{{\mathrm{\&theta;}}_i},{\mathrm{\&theta;}}_{i\max }+{\mathrm{\&epsiv;}}_{{\mathrm{\&theta;}}_i}],\&ForAll;v_i\&Element;R\end{array}---\left(13\right)$

且具有n-1阶导数，因此

$\begin{array}{c}\mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right)=\widehat{\mathrm{\&theta;}},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{v:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;v\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}\\ \mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right)\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{v:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&theta;}}\&le;v\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }+{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&theta;}}\},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;R^p\\ {\mathrm{\&pi;}}^{\left(j\right)}\left(\widehat{\mathrm{\&theta;}}\right)\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&pi;j}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&mu;}:|{\mathrm{\&mu;}}_i|\&le;c_{{\mathrm{\&pi;}}_{i}j}\},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;R^p,1\&le;j\&le;n\end{array}---\left(14\right)$

式(14)中和都是有界的紧集，μ＝[μ₁,...,μ_p]^T为一矢量，为正实数；

步骤2.3，定义由式(10)和(14)可知如下定义的函数是正定的：

$V_{\mathrm{\&theta;}}(\widetilde{\mathrm{\&theta;}},\mathrm{\&theta;})=\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{{\mathrm{\&Gamma;}}_i}{\&Integral;}_0^{{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_i}[{\mathrm{\&pi;}}_i(v_i+{\mathrm{\&theta;}}_i)-{\mathrm{\&theta;}}_i]{\mathrm{dv}}_i,{\mathrm{\&Gamma;}}_i>0---\left(15\right)$

式(15)中Γ＝diag{Γ₁,...,Γ_p}是正定对角自适应增益矩阵，且式(14)中所定义的函数具有如下性质：

$\begin{array}{c}\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}{V}_{\mathrm{\&theta;}}(\widetilde{\mathrm{\&theta;}},\mathrm{\&theta;})=\left[\frac{1}{{\mathrm{\&Gamma;}}_1}\right[{\mathrm{\&pi;}}_1\left({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1\right)-{\mathrm{\&theta;}}_1],...,\frac{1}{{\mathrm{\&Gamma;}}_p}[{\mathrm{\&pi;}}_p\left({\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_p\right)-{\mathrm{\&theta;}}_p\left]\right]\\ ={\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\end{array}---\left(16\right)$

因此，针对参数估计矢量有相似的投影函数定义及性质，即

连续投影函数：

π(κ)＝[π₁(κ₁),...,π_n(κ_n)]^T             (17)

式(17)中κ＝[κ₁,...,κ_n]^T，取任意小的正实数矢量ε_Θ＝[ε_Θ1,...,ε_Θn]^T，则有以下性质

$\begin{array}{c}\mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right)=\widehat{\mathrm{\&Theta;}},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&Theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&kappa;}:{\mathrm{\&Theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&kappa;}\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_{\max }\}\\ \mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right)\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&kappa;}:{\mathrm{\&Theta;}}_{\min }-{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Theta;}}\&le;\mathrm{\&kappa;}\&le;{\mathrm{\&Theta;}}_{\max }+{\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&Theta;}}\},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\&Element;R^n\\ {\mathrm{\&pi;}}^{\left(j\right)}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right)\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&pi;j}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&lambda;}:|{\mathrm{\&lambda;}}_i|\&le;s_{{\mathrm{\&pi;}}_{i}j}\},\&ForAll;\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\&Element;R^n,1\&le;j\&le;n\end{array}---\left(18\right)$

式(18)中和Ω_πj都是有界的紧集，λ＝[λ₁,...,λ_n]^T为一矢量，为正实数，定义 ${\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}=\mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right),\widetilde{\mathrm{\&Theta;}}=\widehat{\mathrm{\&Theta;}}-\mathrm{\&Theta;},{\widetilde{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}={\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}-\mathrm{\&Theta;}$ 且 ${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^{\left(i\right)}={[\mathrm{\&pi;}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right),...,{\mathrm{\&pi;}}^{\left(i\right)}\left(\widehat{\mathrm{\&Theta;}}\right)]}^T,$ 如下定义的矩阵：

$V_{\mathrm{\&Theta;}}(\widetilde{\mathrm{\&Theta;}},\mathrm{\&Theta;})=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_i}{\&Integral;}_0^{{\widetilde{\mathrm{\&Theta;}}}_i}[{\mathrm{\&pi;}}_i({\mathrm{\&kappa;}}_i+{\mathrm{\&Theta;}}_i)-{\mathrm{\&Theta;}}_i]d{\mathrm{\&kappa;}}_i,{\mathrm{\&gamma;}}_i>0---\left(19\right)$

具有如下性质：

式(20)中γ＝diag{γ₁,...,γ_n}为正定对角自适应增益矩阵；

步骤2.4，基于反步设计方法，定义z₁＝x₁-x_1d为***的跟踪误差，z₂＝x₂-α₁为x₂与虚拟控制α₁之间的偏差，则由式(8)中的第一个方程可得

设计虚拟控制律α₁为

${\mathrm{\&alpha;}}_1(x_1,{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}},{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}},t)={\mathrm{\&alpha;}}_{1a}+{\mathrm{\&alpha;}}_{1s},{\mathrm{\&alpha;}}_{1s}={\mathrm{\&alpha;}}_{1s1}+{\mathrm{\&alpha;}}_{1s2}$

${\mathrm{\&alpha;}}_{1s1}(x_1,t)=-k_1{z}_1,{\mathrm{\&alpha;}}_{1s2}(x_1,{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}},{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}},t)=-\frac{k_{s1}{z}_1{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{{\mathrm{\&pi;}}^1}^2}{k_{s1}{z}_1\tanh \left(\frac{z_1}{{\mathrm{\&delta;}}_1\left(t\right)}\right){\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}1}+{\mathrm{\&delta;}}_1\left(t\right)}$

式(22)中k₁,k_s1为正的反馈增益，α_1a为用于改善模型补偿的基于模型的前馈控制律，α_1s为鲁棒控制律且其中α_1s1为线性鲁棒反馈项，α_1s2为非线性鲁棒项用于克服不确定性非线性对***性能的影响；

步骤2.5，考虑式(8)的第二个方程，定义z₃＝x₃-α₂为x₃与虚拟控制α₂之间的偏差

由于对虚拟控制律α₁求导，有如下展开式

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1(x_1,{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}},{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}},t)=\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_1}{\&PartialD;t}+\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_1}{\&PartialD;x_1}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1+\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_1}{\&PartialD;{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_{\mathrm{\&pi;}}+\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_1}{\&PartialD;{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}}_{\mathrm{\&pi;}}={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{1c}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{1u}$

式(24)中为中可计算的部分，为中不可计算的部分，故对虚拟控制律进行设计时只能用进行模型补偿，而则作为不确定项进行鲁棒处理，

设计虚拟控制律α₂如下：

${\mathrm{\&alpha;}}_2({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^{\left(1\right)},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^{\left(1\right)},t)={\mathrm{\&alpha;}}_{2a}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2s},{\mathrm{\&alpha;}}_{2s}={\mathrm{\&alpha;}}_{2s1}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2s2}$

${\mathrm{\&alpha;}}_{2a1}({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2,t)=-k_2{z}_2---\left(25\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_{2s2}({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_2,{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}},t)=-\frac{k_{s2}{z}_2{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{2\mathrm{\&pi;}}^2}{k_{s2}{z}_2\tanh \left(\frac{z_2}{{\mathrm{\&delta;}}_2\left(t\right)}\right){\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{2\mathrm{\&pi;}}+{\mathrm{\&delta;}}_2\left(t\right)}$

式(25)中k₂,k_s2为正的反馈增益；

步骤2.6，对于式(8)的第i个方程，1≤i≤n-1。定义误差变量z_i+1＝x_i+1-α_i为x_i+1与虚拟控制律α_i之间的偏差，则

由于对虚拟控制律α_i-1求导，有如下展开式

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{i-1}({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_{i-1},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^{(i-1)},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^{(i-1)},t)=\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_{i-1}}{\&PartialD;t}+\underset{j=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_{i-1}}{\&PartialD;x_j}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_j+\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_{i-1}}{\&PartialD;{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_{\mathrm{\&pi;}}+\frac{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_{i-1}}{\&PartialD;{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}}{\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}}_{\mathrm{\&pi;}}\\ ={\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{(i-1)c}+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{(i-1)u}\end{array}$

式(27)中为中可计算的部分，为不可计算的部分设计虚拟控制律α_i如下

${\mathrm{\&alpha;}}_i({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^{(i-1)},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^{(i-1)},t)={\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ia}}+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{is}},{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{is}}={\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{is}1}+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{is}2}$

${\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{is}1}({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i,t)=-k_i{z}_i---\left(28\right)$

${\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{is}2}({\stackrel{\&OverBar;}{x}}_i,{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^{(i-1)},{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{\&pi;}}^{(i-1)},t)=-\frac{k_{\mathrm{si}}{z}_i{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{i\&pi;}}^2}{k_{\mathrm{si}}{z}_i\tanh \left(\frac{z_i}{{\mathrm{\&delta;}}_i\left(t\right)}\right){\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{i\&pi;}}+{\mathrm{\&delta;}}_i\left(t\right)}$

式中k_i,k_si为正的反馈增益；

步骤2.7，对于式(8)的第n个方程，有

设计实际作用于控制对象的控制输入u_d为

u_d＝u_da+u_ds,u_ds＝u_ds1+u_ds2

u_ds1＝-k_nz_n(30)

$u_{\mathrm{ds}2}=-\frac{k_{\mathrm{sn}}{z}_n{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{n\&pi;}}^2}{k_{\mathrm{sn}}{z}_n\tanh \left(\frac{z_n}{{\mathrm{\&delta;}}_n\left(t\right)}\right){\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{\mathrm{n\&pi;}}+{\mathrm{\&delta;}}_n\left(t\right)}$

自适应律设计为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_d=-M{c}_n\widehat{\mathrm{\&omega;}}{z}_n$

式(31)中Γ,Μ为自适应增益，且都为正定对角矩阵。c₁,...c_n为正的可调增益。

运用死区逆函数，真实的控制输入v可设计为

4.根据权利要求1所述的含输入死区的非线性***鲁棒自适应控制方法，其特征在于，步骤3所述鲁棒自适应控制器的性能，具体如下：

对于***未知参数即包括θ和θ_d，以及式(9)中的各未知上界Θ，采用自适应律(31)，控制器(30)、(32)的反馈增益k₁,k₂,...,k_n取得足够大以及选取合适的c₁,...c_n和k_s1,...k_sn以使如下定义的矩阵Λ为正定矩阵：

则设计的鲁棒自适应控制器可使闭环***中所有信号均有界，且***获得渐近输出跟踪性能，即当t→∞时，z₁→0。