CN105867118A - 一种改进的电机位置伺服***的自适应鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种改进的电机位置伺服***的自适应鲁棒控制(MARC)方法，基于传统的自适应鲁棒控制(ARC)方法，在其采用的直接参数自适应律中融入了自适应补偿机制，所得到改进的参数自适应律可使***参数估计在滤波后的自适应回归函数满足一定条件的情况下以指数形式收敛到***参数的真值。另外，改进的自适应鲁棒控制器可以保证***在存在不确定性非线性的情况下获得一致最终有界的跟踪性能。所公开的控制方法有效地克服了传统的直接自适应鲁棒控制方法中参数自适应收敛效果差以及持续激励(PE)条件难以满足的问题，获得了更好的跟踪性能。

Description

一种改进的电机位置伺服***的自适应鲁棒控制方法

技术领域

本发明涉及机电伺服控制技术领域，主要涉及一种改进的电机位置伺服***的自适应鲁棒控制方法。

背景技术

电机位置伺服***广泛运用于各种工业场合，如机床、机械手、电动汽车等的运动控制中。随着现代工业技术水平的不断进步，对于控制精度的要求也不断提升。因此设计高性能的控制器以保证***的控制精度显得尤为迫切。但是，由于对实际***的建模往往存在许多建模不确定性，如参数不确定性和不确定性非线性，使得基于模型的高性能控制器设计非常困难。自适应鲁棒控制(ARC)是解决***同时存在参数不确定性和不确定性非线性的有效方法，可获得一致有界的跟踪性能。而且在只存在参数不确定性时还可获得渐近跟踪性能。然而，传统的ARC方法采用的直接自适应律具有以下缺点：(1)直接自适应律是直接由***跟踪误差驱动的，如果控制器设计可使跟踪误差很小的话则参数收敛速度会很慢；(2)直接自适应参数收敛到真值所需要满足的持续激励(PE)条件往往不容易满足。

本发明基于传统的ARC方法，通过构造一种自适应补偿机制，并将其与原自适应律结合使得新得到的自适应律可由***跟踪误差和参数估计误差同时驱动。为使参数估计收敛到其真值，只需要满足一定时间后与滤波后的回归矩阵相关的积分为正定，这个条件比原PE条件更容易满足。改进的自适应鲁棒控制器(MARC)可大大提升瞬态性能以及稳态性能，且参数估计相对ARC可更快速地收敛。

发明内容

本发明的目的在于提供一种参数估计快速收敛、跟踪性能高的改进的电机位置伺服***自适应鲁棒控制方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种改进的电机位置伺服***自适应鲁棒控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立电机位置伺服***的数学模型；

步骤2，设计自适应补偿器；

步骤3，设计改进的自适应鲁棒控制器；

步骤4，所设计的改进的自适应鲁棒控制器的性能及稳定性分析。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：参数估计快速收敛，***瞬态和稳态跟踪性能明显提升。仿真结果验证了其有效性。

附图说明

图1是本发明电机位置伺服***的原理图；

图2是本发明改进的电机位置伺服***自适应鲁棒控制方法原理示意图；

图3是***期望跟踪的指令信号；

图4是本发明所提出的改进的自适应鲁棒控制器(MARC)与传统自适应鲁棒控制器(ARC)分别作用下的***跟踪误差对比曲线；

图5是MARC控制器与ARC控制器分别作用下***参数估计的收敛过程对比曲线；

图6是MARC作用下***的控制输入随时间变化的曲线。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细说明。

结合图1～2本发明改进的电机位置伺服***的自适应鲁棒控制方法，包括以下步骤：

步骤1，建立电机位置伺服***的数学模型；

(1.1)本发明所考虑的电机位置伺服***是通过配有商业电气驱动器的永磁直流电机直接驱动惯性负载。考虑到电磁时间常数比机械时间常数小得多，且电流环速度远大于速度环和位置环的响应速度，因此可忽略电流环动态。

因此，根据牛顿第二定律，电机位置伺服***的运动方程为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=k_{f}u-B\stackrel{\·}{y}-A_f{S}_f\left(\stackrel{\·}{y}\right)+f(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

式(1)中m为惯性负载参数，k_f为力矩放大系数，B为粘性摩擦系数，A_f表征库伦摩擦的幅值，为已知的形状函数，是其他未建模干扰，y为惯性负载的位移，u为***的控制输入，t为时间变量；

(1.2)定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={\mathrm{\θ}}_{1}u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2-{\mathrm{\θ}}_3{S}_f\left(x_2\right)+d\left(x,t\right)\\ y=x_1\end{array}---\left(2\right)$

式(2)中，为***的未知参数。可认为是***总的干扰，包括外负载干扰、未建模摩擦、未建模动态等。f(t,x₁,x₂)即为上述x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度。

***控制器的设计目标为：给定***参考信号y_d(t)＝x_1d(t)，设计一个有界的控制输入u使***输出y＝x₁尽可能地跟踪***的参考信号。

为便于控制器设计，假设如下：

假设1：***参考指令信号x_1d(t)是二阶连续可微的，且其各阶时间微分都是有界的，即存在ε_i＞0使得

假设2：***参数不确定性θ和总干扰d(x,t)的大小范围已知，即

$\mathrm{\θ}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{\θ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\mathrm{\θ}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_{max}\}---\left(3\right)$

|d(x,t)|≤δ_d (4)

式中θ_min＝[θ_1min,θ_2min,θ_3min]^T,θ_max＝[θ_1max,θ_2max,θ_3max]^T为θ的已知上下界，δ_d为已知正数。

步骤2，设计参数自适应补偿器，步骤如下：

针对式(2)中的第二个方程，设计状态预估器如下：

式(5)为状态x₂的估计值，为θ的初始值，k_ω为正的增益。

对回归矩阵进行滤波，且定义滤波后的回归矩阵为ω

定义辅助变量ρ为

$\mathrm{\ρ}={\tilde{x}}_2-{\mathrm{\ω}}^T({\mathrm{\θ}}^0-\mathrm{\θ})---\left(7\right)$

式(7)中为状态估计误差。对式(7)求导并运用式(2)、(5)和(6)得

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}=-k_{\mathrm{\ω}}\mathrm{\ρ},\mathrm{\ρ}\left(0\right)={\tilde{x}}_2\left(0\right)---\left(8\right)$

设计自适应补偿器如下：

${\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}}_c=\mathrm{\Γ}(N-M\widehat{\mathrm{\θ}})---\left(9\right)$

式(9)中 $\widehat{\mathrm{\θ}}$ 为参数θ的估计值，Γ为正定对角自适应增益矩阵，矩阵M和N定义如下：

$\begin{array}{c}M={\∫}_0^t\mathrm{\ω}\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{\ω}{\left(\mathrm{\τ}\right)}^{T}d\mathrm{\τ},M\left(0\right)=0\\ N={\∫}_0^t\mathrm{\ω}\left(\mathrm{\τ}\right)\[\mathrm{\ω}{\left(\mathrm{\τ}\right)}^T{\mathrm{\θ}}^0+{\tilde{x}}_2-\mathrm{\ρ}\]d\mathrm{\τ},N\left(0\right)=0\end{array}---\left(10\right)$

由式(10)可知矩阵M恒为半正定，因此必然存在有限时间t_c使得矩阵M正定，即

$\∃t_c>0,M\left(t_c\right)={\∫}_0^{t_c}\mathrm{\ω}\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{\ω}{\left(\mathrm{\τ}\right)}^{T}d\mathrm{\τ}>0---\left(11\right)$

因此，结合式(7)可知对于任意的t≥t_c，θ＝M^-1N。此条件类似于直接自适应中PE条件，但是从式(9)可以看出自适应函数含与滤波后的回归矩阵相关的积分而非其本身，因此条件(11)相较PE条件容易满足。

步骤3，设计改进的自适应鲁棒控制器，步骤如下：

(3.1)在进行控制器设计之前先给出参数自适应所采用的不连续的参数映射：

另表示对***未知参数θ的估计，为参数估计误差，即为确保自适应控制律的稳定性，基于***的参数不确定性是有界的，即假设2，定义如下的参数自适应不连续映射：

${\mathrm{Proj}}_{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i}\left({\mathrm{\&tau;}}_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& if{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{i\max }{\mathrm{and\&tau;}}_i>0\\ 0& if{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{i\min }{\mathrm{and\&tau;}}_i<0\\ {\mathrm{\&tau;}}_i& otherwise\end{array}\right.---\left(12\right)$

式中i＝1,2,3；τ为参数自适应函数，并在后续的控制器设计中给出其具体的形式。

给定如下参数自适应率：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;}\right){\mathrm{with\&theta;}}_{min}\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(0\right)\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{max}---\left(13\right)$

对于任意的自适应函数τ，不连续映射(13)具有如下性质：

$\begin{array}{cc}\left(P1\right)& \widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\widehat{\mathrm{\&theta;}}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{max}\}\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{cc}\left(P2\right)& {\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T\&lsqb;{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}\&rsqb;\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}\end{array}---\left(15\right)$

对以上性质的证明：

性质P1的证明由不连续映射的定义很容易得到，故在此省略。

下面考虑性质P2的证明。当不连续映射不起作用时，此时有

${\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T\left({\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\right(\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;})-\mathrm{\&tau;})=0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}$

当且Γτ＞0时，此时

${\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\&lsqb;{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;}\right)-\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;}\&rsqb;={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}(-\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;})<0$

因此

${\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T\left({\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\right(\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;})-\mathrm{\&tau;})\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}$

当且Γτ＜0时，此时

${\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\&lsqb;{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;}\right)-\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;}\&rsqb;={\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}(-\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;})>0$

由此证明了上述性质。

(3.2)定义如下误差变量：

$z_2={\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+k_1{z}_1=x_2-x_{2eq},x_{2eq}={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(16\right)$

式(16)中z₁＝x₁-x_1d为***跟踪误差，k₁为正的反馈增益。由式(2)和(16)可得

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3{S}_f\left(x_2\right)+d\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2eq}---\left(17\right)$

基于式(17)，设计控制器如下：

$\begin{array}{c}u=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1}\left(u_a+u_s\right),u_s=u_{s1}+u_{s2}\\ u_a={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2{x}_2+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3{S}_f\left(x_2\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2eq},u_{s1}=-k_2{z}_2\end{array}---\left(18\right)$

式(18)中u_a为基于模型的补偿项，用于提高***的跟踪精度；u_s为鲁棒控制律，其中u_s1为使***稳定的线性鲁棒反馈控制律，u_s2为可抑制干扰对***性能影响的非线性鲁棒项。将式(18)代入(17)中可得

根据自适应鲁棒控制器的设计步骤，u_s2的设计需要满足以下两个条件：

式(20)中ε为任意小的正数。

因此，满足式(20)的u_s2可以设计成

$u_{s2}=-k_{s2}{z}_2=-\frac{h_1}{2\mathrm{\&epsiv;}}{z}_2---\left(21\right)$

式(21)中的非线性函数h₁满足如下条件：

式(22)中θ_M＝θ_max-θ_min。

步骤4，所设计的改进的自适应鲁棒控制器的性能，具体如下：

使用不连续参数自适应律(13)，结合式(9)令自适应函数控制器(18)具有如下性能：

A闭环***所有信号都是有界的，且定义如下的李雅普诺夫函数

$V_1=\frac{1}{2}{z}_2^2---\left(23\right)$

满足如下的不等式：

$V_1\&le;e^{-{\mathrm{\&lambda;}}_{1}t}{V}_1\left(0\right)+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}\&lsqb;1-e^{-{\mathrm{\&lambda;}}_{1}t}\&rsqb;---\left(24\right)$

式(24)中λ₁＝2k₂。

B.如果在某一时刻t_c之后，***只存在参数不确定性，即d(t)＝0，且滤波后的回归矩阵满足条件(11)，那么除了结论A之外，控制器(18)还可获得渐近稳定性，即当t→∞时，z₁→0；而且***参数估计将渐近收敛到其真值。

稳定性分析：

A.对式(23)求导可得：

则易得到式(24)。结合式(16)假设***初始状态匹配即V₁(0)＝0，则当t→∞时即***获得一致有界的跟踪性能。

B.选取李雅普诺夫函数

$V_2=\frac{1}{2}{z}_2^2+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&theta;}}---\left(27\right)$

对式(27)求导且当t≥t_c可得：

式(28)中λ₂＝2min{k₂,λ_min(ΓM)}，λ_min(ΓM)为矩阵ΓM的最小特征值。由式(28)并结合式(16)可得可得t→∞,z₁→0。改进的电机位置伺服***的自适应鲁棒控制方法原理示意图如图2所示。

实施例

为考核所设计的控制器的性能，给定电机位置伺服***的参数如下：

负载转动惯量m＝0.01kg·m²，粘性摩擦系数B＝1.025N·m·s/rad，力矩放大系数k_f＝5N·m/V，库伦摩擦幅值A_f＝0.1N·m·s/rad，形状函数S_f(x₂)＝tanh(700x₂)，总干扰由所给定的电机位置伺服***的物理参数值可计算得到参数θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T的真值为：θ₁＝500,θ₂＝102.5,θ₃＝10。

给定***期望跟踪的位置指令为：x_1d＝0.2sin(πt)[1-exp(-0.01t³)](rad)，其示意图如图3所示。为验证所设计的改进的自适应鲁棒控制器的有效性，现对比如下控制器：(1)MARC：即为本发明所提出的改进的自适应鲁棒控制器。选取控制器参数：k₁＝100,k₂＝20,k_ω＝5；参数变化的范围设定为：θ_max＝[900,200,50]^T,θ_min＝[200,10,0]^T；参数自适应增益矩阵取为Γ＝diag{100,100,100}，参数估计的初始值：(2)ARC：传统的自适应鲁棒控制器。为保证对比的公平性，其控制器参数的选取与MARC完全相同。

两种控制器的跟踪误差对比曲线如图4所示。从图中可以看出，MARC控制器作用下***的跟踪性能明显优于ARC控制器，尤其是瞬态性能。这是因为传统ARC控制器所采用的直接自适应律参数估计尚未收敛，影响了模型补偿的精度，进而影响***的跟踪误差，而MARC由于参数估计快速收敛的特性使得瞬态跟踪误差明显减小。***参数估计过程如图5所示，其中实线代表MARC控制器，点线代表ARC控制器。MARC的控制输入如图6所示。

Claims (5)

1.一种改进的电机位置伺服***的自适应鲁棒控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立电机位置伺服***的数学模型；

步骤2，设计参数自适应补偿机制；

步骤3，设计改进的自适应鲁棒控制器；

步骤4，所设计的改进的自适应鲁棒控制器的性能。

2.根据权利要求1所述的改进的电机位置伺服***的自适应鲁棒控制方法，其特征在于，步骤1所述建立电机位置伺服***的数学模型，具体如下：

(1.1)本发明所考虑的电机位置伺服***是通过配有商业电气驱动器的永磁直流电机直接驱动惯性负载。考虑到电磁时间常数比机械时间常数小得多，且电流环速度远大于速度环和位置环的响应速度，因此可忽略电流环动态。

因此，根据牛顿第二定律，电机位置伺服***的运动方程为：

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=k_{f}u-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}-A_f{S}_f\left(\stackrel{\&CenterDot;}{y}\right)+f(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(1\right)$

式(1)中m为惯性负载参数，k_f为力矩放大系数，B为粘性摩擦系数，A_f表征库伦摩擦的幅值，为已知的形状函数，是其他未建模干扰，y为惯性负载的位移，u为***的控制输入，t为时间变量；

(1.2)定义状态变量：则式(1)运动方程转化为状态方程：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3{S}_f\left(x_2\right)+d(x,t)---\left(2\right)$

y＝x₁

式(2)中， ${\mathrm{\&theta;}}_1=\frac{k_f}{m},{\mathrm{\&theta;}}_2=\frac{B}{m},{\mathrm{\&theta;}}_3=\frac{A_f}{m}$ 为***的未知参数。 $d(x,t)=\frac{f(t,x_1,x_2)}{m}$ 可认为是***总的干扰，包括外负载干扰、未建模摩擦、未建模动态等。f(t,x₁,x₂)即为上述x₁表示惯性负载的位移，x₂表示惯性负载的速度。

***控制器的设计目标为：给定***参考信号y_d(t)＝x_1d(t)，设计一个有界的控制输入u使***输出y＝x₁尽可能地跟踪***的参考信号。

为便于控制器设计，假设如下：

假设1：***参考指令信号x_1d(t)是二阶连续可微的，且其各阶时间微分都是有界的，即存在ε_i＞0使得 $\left|x_{1d}^{\left(i\right)}\right|\&le;{\mathrm{\&epsiv;}}_i,i=0,1,2.$

假设2：***参数不确定性θ和总干扰d(x,t)的大小范围已知，即

$\mathrm{\&theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&theta;}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&theta;}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{max}\}---\left(3\right)$

|d(x,t)|≤δ_d (4)

式中θ_min＝[θ_1min,θ_2min,θ_3min]^T,θ_max＝[θ_1max,θ_2max,θ_3max]^T为θ的已知上下界，δ_d为已知正数。

3.根据权利要求1所述的改进的电机位置伺服***的自适应鲁棒控制方法，其特征在于，步骤2所述设计参数自适应补偿器，步骤如下：

针对式(2)中的第二个方程，设计状态预估器如下：

式(5)为状态x₂的估计值， ${\mathrm{\&theta;}}^0={[{\mathrm{\&theta;}}_1^0,{\mathrm{\&theta;}}_2^0,{\mathrm{\&theta;}}_3^0]}^T$ 为θ的初始值，k_ω为正的增益。

对回归矩阵进行滤波，且定义滤波后的回归矩阵为ω

定义辅助变量ρ为

$\mathrm{\&rho;}={\tilde{x}}_2-{\mathrm{\&omega;}}^T({\mathrm{\&theta;}}^0-\mathrm{\&theta;})---\left(7\right)$

式(7)中为状态估计误差。对式(7)求导并运用式(2)、(5)和(6)得

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&rho;}}=-k_{\mathrm{\&omega;}}\mathrm{\&rho;},\mathrm{\&rho;}\left(0\right)={\tilde{x}}_2\left(0\right)---\left(8\right)$

设计自适应补偿器如下：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}}_c=\mathrm{\&Gamma;}(N-M\widehat{\mathrm{\&theta;}})---\left(9\right)$

式(9)中为参数θ的估计值，Γ为正定对角自适应增益矩阵，矩阵M和N定义如下：

$\begin{array}{c}M={\&Integral;}_0^t\mathrm{\&omega;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{\&omega;}{\left(\mathrm{\&tau;}\right)}^{T}d\mathrm{\&tau;},M\left(0\right)=0\\ N={\&Integral;}_0^t\mathrm{\&omega;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\&lsqb;\mathrm{\&omega;}{\left(\mathrm{\&tau;}\right)}^T{\mathrm{\&theta;}}^0+{\tilde{x}}_2-\mathrm{\&rho;}\&rsqb;d\mathrm{\&tau;},N\left(0\right)=0\end{array}---\left(10\right)$

4.根据权利要求1所述的改进的电机位置伺服***的自适应鲁棒控制方法，其特征在于，步骤3所述设计改进的自适应鲁棒控制器，步骤如下：

(3.1)在进行控制器设计之前先给出参数自适应所采用的不连续的参数映射：

另表示对***未知参数θ的估计，为参数估计误差，即为确保自适应控制律的稳定性，基于***的参数不确定性是有界的，即假设2，定义如下的参数自适应不连续映射：

${\mathrm{Proj}}_{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i}\left({\mathrm{\&tau;}}_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& if{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{imax}{\mathrm{and\&tau;}}_i>0\\ 0& if{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_i={\mathrm{\&theta;}}_{imin}{\mathrm{and\&tau;}}_i<0\\ {\mathrm{\&tau;}}_i& otherwise\end{array}\right.---\left(11\right)$

式中i＝1,2,3；τ为参数自适应函数，并在后续的控制器设计中给出其具体的形式。

给定如下参数自适应率：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;}\right){\mathrm{with\&theta;}}_{min}\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(0\right)\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{max}---\left(12\right)$

对于任意的自适应函数τ，不连续映射(12)具有如下性质：

$\begin{array}{cc}\left(P1\right)& \widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\widehat{\mathrm{\&theta;}}:{\mathrm{\&theta;}}_{min}\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{max}\}\end{array}---\left(13\right)$

$\begin{array}{cc}\left(P2\right)& {\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T\&lsqb;{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}\&rsqb;\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}\end{array}---\left(14\right)$

(3.2)定义如下误差变量：

$z_2={\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_1+k_1{z}_1=x_2-x_{2eq},x_{2eq}={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{1d}-k_1{z}_1---\left(15\right)$

式(15)中z₁＝x₁-x_1d为***跟踪误差，k₁为正的反馈增益。由式(2)和(15)可得

${\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2={\mathrm{\&theta;}}_{1}u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3{S}_f\left(x_2\right)+d\left(t\right)-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2eq}---\left(16\right)$

基于式(16)，设计控制器如下：

$u=\frac{1}{{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1}(u_a+u_s),u_s=u_{s1}+u_{s2}---\left(17\right)$

$u_a={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2{x}_2+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3{S}_f\left(x_2\right)+{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{2eq},u_{s1}=-k_2{z}_2$

式(17)中u_a为基于模型的补偿项，用于提高***的跟踪精度；u_s为鲁棒控制律，其中u_s1为使***稳定的线性鲁棒反馈控制律，u_s2为可抑制干扰对***性能影响的非线性鲁棒项。将式(17)代入(16)中可得

根据自适应鲁棒控制器的设计步骤，u_s2的设计需要满足以下两个条件：

式(19)中ε为任意小的正数。

因此，满足式(19)的u_s2可以设计成

$u_{s2}=-k_{s2}{z}_2=-\frac{h_1}{2\mathrm{\&epsiv;}}{z}_2---\left(20\right)$

式(20)中的非线性函数h₁满足如下条件：

式(21)中θ_M＝θ_max-θ_min。

5.根据权利要求1所述的改进的电机位置伺服***的自适应鲁棒控制方法，其特征在于，步骤4所述所设计的改进的自适应鲁棒控制器的性能，具体如下：

使用不连续参数自适应律(12)，结合式(9)令自适应函数控制器(17)具有如下性能：

A.闭环***所有信号都是有界的，且定义如下的李雅普诺夫函数

$V_1=\frac{1}{2}{z}_2^2---\left(22\right)$

满足如下的不等式：

$V_1\&le;e^{-{\mathrm{\&lambda;}}_{1}t}{V}_1\left(0\right)+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}\&lsqb;1-e^{-{\mathrm{\&lambda;}}_{1}t}\&rsqb;---\left(23\right)$

式(23)中λ₁＝2k₂。

B.如果在某一时刻t_c之后，***只存在参数不确定性，即d(t)＝0，且滤波后的回归矩阵满足以下条件：

$M\left(t_c\right)={\&Integral;}_0^{t_c}\mathrm{\&omega;}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{\&omega;}{\left(\mathrm{\&tau;}\right)}^{T}d\mathrm{\&tau;}>0---\left(24\right)$

那么除了结论A之外，控制器(17)还可获得渐近稳定性，即当t→∞时，z₁→0；而且***参数估计将渐近收敛到其真值。