CN108983606A - 一种机械臂***的鲁棒滑模自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有渐进跟踪性能的机械臂***鲁棒滑模自适应控制方法，属于机械臂控制领域。该控制方法考虑了机械臂***的参数等结构不确定性以及外干扰等非结构不确定性，并且针对参数等结构不确定性设计参数估计器；针对外干扰等非结构不确定性的上界设计出连续的鲁棒控制器；本发明所设计的鲁棒自适应控制器对同时存在参数等结构不确定性以及外干扰等非结构不确定性的机械臂***有良好的作用，并能保证机械臂***位置跟踪性能；本发明所设计的鲁棒滑模自适应控制器简单并且其控制输出连续，利于在工程实际中应用。

Description

一种机械臂***的鲁棒滑模自适应控制方法

技术领域

本发明涉及机械臂控制领域，尤其涉及一种机械臂***的鲁棒滑模自适应控制方法。

背景技术

机械臂***是一个多输入多输出、高度非线性、强耦合的复杂***。因其独特的操作灵活性，已经在工业装配、安全防爆等领域得到广泛的应用，如喷漆机器人、点焊机器人、拆弹机器人等。由于机械臂***的复杂性，在控制器设计的过程中会面临着许多建模不确定性包括结构不确定性和非结构不确定性，这些因素会严重影响控制器性能，导致控制器控制精度降低，甚至使所设计的控制器不稳定，从而增加了控制器的设计难度。

随着工业领域技术水平的不断进步，对机械臂的控制精度也在不断提高。但是传统的控制方法显然已经不能满足***的高性能要求，成为限制机械臂控制性能的因素。近年来，随着控制技术的不断发展，各种基于现代控制理论的控制方法相继提出。其中滑模控制在机械臂中用的比较广泛，但是其不能对***中存在参数等结构不确定性进行估计，当***中存在大的参数等结构不确定性时将会使设计的控制器显得保守，从而使***的性能恶化。

针对机械臂***中不确定非线性的特点，建立***数学模型，并在此基础上设计了机械臂***滑模自适应鲁棒控制克服***参数不确定性和未建模不确定性。

发明内容

本发明为解决机械臂***控制中的不确定非线性问题，进而提出一种机械臂鲁棒滑模自适应控制方法。

本发明为解决上述问题采取具体步骤如下：

一种机械臂鲁棒滑模自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1、建立机械臂***的动力学模型，根据欧拉—拉格朗日方法，一个n 自由度的机械臂***动力学模型如下：

公式(1)中q∈Rⁿ，分别为机械臂关节的速度、角速度和角加速度；H(q)∈R^n×n为机械臂***的惯性矩阵；G(q)∈Rⁿ，τ∈Rⁿ分别表示向心科里奥利力、重力以及输入力矩：F_v为粘性摩擦系数， d∈Rⁿ为外部干扰向量，包括***的时变干扰和常值干扰，

所述机械臂***具有以下性质：

性质1：H(q)是一个正定对称矩阵，满足：

其中，m₁和m₂∈R是已知的有界正实数；

性质2：机械臂惯性矩阵的微分矩阵和科里奥利矩阵的满足以下斜对称矩阵关系：

性质3：机械臂动态模型相对于一组物理参数是线性的：

其中，是机械臂关节回归矩阵，α＝[κ,ρ,ε,μ]^T是机械臂模型中的固有参数；

所述机械臂***还满足以下条件和引理：

条件1：机械臂***期望位置指令q_d，它的一阶微分和二阶微分均是连续有界信号；

条件2：机械臂不确定项干扰d有界，即

||d||≤d₀ (5)

其中，d₀是一个已知有界正常数；

引理1.考虑一阶***

如下控制律在上述***中达到有限时间稳定：

θ＝-θ-λθ-μθ^q/p (7)

其中，θ为***状态变量，λ和μ为正常数，q＞0和p＞0且q和p都为奇整数，满足q/p＜1；因此，收敛时间t_s为：

引理2.有

0≤xtanh(x/a)≤|x| (8)

引理3.或x＞,y≥0有

x/x+y≤1 (9)；

步骤2、设计机械臂滑模自适应鲁棒控制步骤如下：

步骤2.1、定义所以q_d是***期望跟踪的位置指令且该指令二阶可微，设计一个滑模面，限制跟踪误差，保证误差收敛至0，

其中Λ是一个常值矩阵，并且它的特征值严格位于右复半平面，设计虚拟参考轨迹q_r代替期望轨迹q_d，

因此，和就被替换为

定义

其中s＝[s₁,s₂,…s_n]^T，

为了避免滑模控制的抖动，设计控制律：

其中λ₁和μ₁是正常数，q₁＞0和p₁＞0且同为整数奇数，并且满足q₁/p₁＜1，

根据公式(1)、(14)和(15)得到：

根据式(16)可得：

步骤2.2、设计控制律，结合公式(17)和性质1，基于机械臂***动力学模型的控制律设计为：

τ＝τ_a+τ_s (18)

τ_s＝τ_s1+τ_s2 (20)

τ_s1＝-K_Ds (21)

其中，τ_a为模型前馈补偿项；τ_s1为线性反馈项，保证***的稳定性；τ_s2为连续鲁棒项，用来克服***中的外部有界干扰，具体设计形式在后续设计中给出； K_D是一个对称正定矩阵，为对角矩阵；和是H(q), G(q)和F_v的估计值；

步骤2.3、设计参数回归器及参数估计器，

采用参数回归器的参数自适应律为：

其中Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，γ为正常数，Γ和γ影响参数的自适应率；

步骤2.4、根据条件2设计连续鲁棒项，克服***干扰

τ_s2＝[τ_s21,τ_s22,…τ_s2n]^T (24)

其中τ_s2i形式如下

式(25)中，k_i为已知正常数，ξ(t)满足以下条件

|ξ_i(t)|≤δ_i ^*

其中和δ_i都是正常数；

步骤3、分析机械臂***的稳定性，根据步骤2中设计的滑模自适应鲁棒控制方法，利用李雅普诺夫稳定性理论对***进行稳定性证明，得到***渐进稳定的结果，

定义李雅普诺夫函数如下：

其中并且F_v＞0，

对(27)式求导，得到

将公式(16)、(18)-(21)带入(28)根据机械臂性质2、3得到

将自适应律(22)、(23)带入式(29)得

将式(24)、(25)带入(30)

根据引理2可得

根据引理3可得

其中，W是一个正函数，同时对公式(33)两侧积分，得到

根据式(34)可得V(t)∈L_∞，W∈L₂，所以s，和都是有界，根据条件 1，可知***状态q有界，根据式(26)，***输出τ有界，所以，***的闭环信号均有界，并且可以得到W有界，因此W一致连续，根据Barbalat引理可知***渐进稳定，

根据引理1可得s_i∈s分别在有限时刻t_i收敛至0，t_i时刻如下

证明：设计李雅普诺夫函数

对(36)求导得到

将公式(15)带入(37)得

其中λ₁和μ₁为正常数，q₁＞0，q₁＞0且同为奇整数，

所以在有限时刻t_i时，s_i收敛至0。

本发明的有益效果是：本发明以机械臂***作为研究对象，建立了机械臂***的动力学模型，以其关节位置输出能准确跟踪期望位置指令为控制目标，同时考虑了***的参数等结构不确定性以及外干扰等非结构不确定性，并且针对参数的结构不确定性设计参数估计器，针对外部烦扰不确定性设计连续的鲁棒控制项，同时结合有限时间控制，保证机械臂***的位置输出能准确地跟踪期望的位置指令；本发明所设计的机械臂***鲁棒滑模自适应控制方法的控制输出光滑连续，更利于在工程实际中应用。仿真结果验证了其有效性。

除了上面所描述的目的、特征和优点之外，本发明还有其它的目的、特征和优点。下面将参照附图，对本发明作进一步详细的说明。

附图说明

图1是本发明仿真二自由度机械臂结构图。

图2是机械臂***鲁棒滑模自适应控制原理示意及流程图。

图3是本发明所设计的控制器作用下***参数自适应图。

图4是本发明所设计的控制器机械臂关节跟踪曲线图。

图5是本发明所设计的控制器机械臂关节跟踪误差图。

图6是PID控制器机械臂关节跟踪误差图。

图7是本发明所设计的控制器关节控制输出图。

具体实施方式

下面结合说明书附图，对本发明作进一步的说明。

本实施例具体结合二自由度机械臂(如图1)实施，机械臂连杆1、2的长度分别为l₁和l₂，质量分别为m₁和m₂，且质心位于连杆二分之一处，q₁和q₂为机械臂关节空间关节角度。

结合图1至图2说明本实施方式，本实施方式所述一种机械臂***的鲁棒滑模自适应控制方法的具体步骤如下：

步骤1、建立机械臂***的动力学模型，根据欧拉—拉格朗日方法，机械臂***的动力学模型如下：

公式(1)中q∈Rⁿ，分别为机械臂关节的速度、角速度和角加速度；H(q)∈R^n×n为机械臂***的惯性矩阵；G(q)∈Rⁿ，τ∈Rⁿ表示向心科里奥利力、重力以及输入力矩：F_v为粘性摩擦系数，d∈Rⁿ为外部干扰向量，包括***的时变干扰和常值干扰。

机械臂***存在一些性质：

性质1：H(q)是一个正定对称矩阵，满足：

其中，m₁和m₂∈R是已知的有界正实数。

性质2：机械臂惯性矩阵的微分矩阵和科里奥利矩阵的满足以下斜对称矩阵关系：

性质3：机械臂动态模型相对于一组物理参数是线性的：

其中，是机械臂关节回归矩阵，α＝[κ,ρ,ε,μ]^T是机械臂模型中的固有参数。

为了后续控制器设计及分析，机械臂***需要满足以下条件和引理：

条件1：机械臂***期望位置指令q_d，它的一阶微分和二阶微分均是连续有界信号。

条件2：机械臂不确定项干扰d有界，即

||d||≤d₀ (5)

其中，d₀是一个已知有界正常数。

引理1.考虑一阶***

如下控制律在上述***中达到有限时间稳定：

θ＝-θ-λθ-μθ^q/p (7)

其中，θ为***状态变量，λ和μ为正常数，q＞0和p＞0且q和p都为奇整数，满足q/p＜1。因此，收敛时间t_s为：

引理2.有

0≤xtanh(x/a)≤|x| (8)

引理3.或x＞,y≥0有

x/x+y≤1 (9)

步骤2、结合图2设计机械臂滑模自适应鲁棒控制步骤如下：

步骤2.1、定义所以q_d是***期望跟踪的位置指令且该指令二阶可微，设计一个滑模面，限制跟踪误差，保证误差收敛至0。

其中Λ是一个常值矩阵，并且它的特征值严格位于右复半平面。然后我们设计虚拟参考轨迹q_r代替期望轨迹q_d。

因此，和就被替换为

定义

其中s＝[s₁,s₂,…s_n]^T。

为了避免滑模控制的抖动，设计一种控制律：

其中λ₁和μ₁是正常数，q₁＞0和p₁＞0且同为整数奇数，并且满足q₁/p₁＜1。

根据公式(1)、(14)和(15)可以得到：

根据式(16)可得：

步骤2.2、设计控制律，结合公式(17)和性质1，基于机械臂动力学模型的控制律设计为：

τ＝τ_a+τ_s (18)

τ_s＝τ_s1+τ_s2 (20)

τ_s1＝-K_Ds (21)

其中，τ_a为模型前馈补偿项；τ_s1为线性反馈项，保证***的稳定性；τ_s2为连续鲁棒项，用来克服***中的外部有界干扰，具体设计形式在后续设计中给出； K_D是一个对称正定矩阵，一般情况下为对角矩阵；和是H(q),G(q)和F_v的估计值。

步骤2.3、设计参数回归器及参数估计器

采用参数回归器的参数自适应律为：

公式中，Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，γ为正常数，Γ和γ影响参数的自适应率。

步骤2.4、根据条件2设计一种连续鲁棒项，克服***干扰

τ_s2＝[τ_s21，τ_s22，…τ_s2n]^T (24)

其中τ_s2i形式如下

式(25)中，k_i为已知正常数，ξ(t)满足以下条件

|ξ_i(t)|≤δ_i ^*

其中δ_i*和δ_i都是正常数。

步骤3、分析机械臂***的稳定性，根据步骤二中设计的滑模自适应鲁棒控制方法，利用李雅普诺夫稳定性理论对***进行稳定性证明，得到***渐进稳定的结果。

定义李雅普诺夫函数如下：

其中并且F_v＞0。

对(27)式求导，得到

将公式(16)、(18)-(21)带入(28)根据机械臂性质2、3得到

将自适应律(22)、(23)带入式(29)得

将式(24)、(25)带入(30)

根据引理2可得

根据引理3可得

其中，W是一个正函数，同时对公式(33)两侧积分，得到

根据式(34)可得V(t)∈L_∞，W∈L₂，所以s，和都是有界。根据条件1，可知***状态q有界。根据式(26)，***输出τ有界。所以，***的闭环信号均有界，并且可以得到W有界，因此W一致连续。根据Barbalat引理可知***渐进稳定。

根据引理1可得s_i∈s分别在有限时刻t_i收敛至0，t_i时刻如下

证明：设计李雅普诺夫函数

对(36)求导得到

将公式(15)带入(37)得

其中λ₁和μ₁为正常数，q₁＞0，q₁＞0且同为奇整数。

所以在有限时刻t_i时，s_i收敛至0。

实施例：

以二自由度机械臂为仿真模型，其中机械臂***参数为：κ＝6.7kg·m²、ρ＝3.4kg·m²、ε＝3.0kg·m²、μ＝0、F_v＝5N·m·s/rad，加入的干扰***期望跟踪的位置指令为曲线 q_1d＝sin(3.14×t)(rad)和q_2d＝sin(3.14×t)(rad)。根据仿真参数可得机械臂模型矩阵如下：

对比仿真结果：本发明所设计的机械臂***的鲁棒滑模自适应控制方法的参数选取为:Λ＝diag[10,10]，Γ＝diag[5,5,5,5]，K_D＝diag[20,20]，γ＝80，λ₁＝5，q₁＝3， p1＝5，k₁＝k₂＝1，ξ₁(t)＝ξ₂(t)＝5000/(1+t2)，它满足公式(26)，机械臂参数的初值为α＝[0,0,0,0]，F_v＝0。PID控制器参数选取为：K_p＝diag[1000,3000],K_i＝0, K_d＝diag[500,1000]。

图3是本发明所设计的机械臂***的鲁棒滑模自适应控制方法作用下***参数α、F_v的估计值随时间变化的曲线，从图中可以看出其估计值渐渐接近于***参数的名义值，并在名义值附近一定范围内波动，从而能够准确地将***的参数估计出来。

控制器作用效果：图4是本发明所设计的控制器机械臂双关节的跟踪曲线图，从图中可以看出，本发明所设计的控制器以良好的跟踪能力精确跟踪期望曲线。

图5和图6是本发明所设计的控制器及传统PID控制器分别作用下***的跟踪误差随时间变化的对比曲线，从图中可以看出，本发明所设计的控制器双关节跟踪误差远远小于传统PID控制器的跟踪误差，体现出了本发明所设计控制器的良好性能。

图7是本发明所设计的机械臂***的鲁棒滑模自适应控制方法的控制输入随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所得到的控制输入信号光滑连续，有利于在工程实际中应用。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种机械臂鲁棒滑模自适应控制方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1、建立机械臂***的动力学模型，根据欧拉—拉格朗日方法，一个n自由度的机械臂***动力学模型如下：

公式(1)中q∈Rⁿ，分别为机械臂关节的速度、角速度和角加速度；H(q)∈R^n×n为机械臂***的惯性矩阵；G(q)∈Rⁿ，τ∈Rⁿ分别表示向心科里奥利力、重力以及输入力矩：F_v为粘性摩擦系数，d∈Rⁿ为外部干扰向量，包括***的时变干扰和常值干扰，

所述机械臂***具有以下性质：

性质1：H(q)是一个正定对称矩阵，满足：

其中，m₁和m₂∈R是已知的有界正实数；

性质2：机械臂惯性矩阵的微分矩阵和科里奥利矩阵的满足以下斜对称矩阵关系：

性质3：机械臂动态模型相对于一组物理参数是线性的：

其中，是机械臂关节回归矩阵，α＝[κ,ρ,ε,μ]^T是机械臂模型中的固有参数；

所述机械臂***还满足以下条件和引理：

条件1：机械臂***期望位置指令q_d，它的一阶微分和二阶微分均是连续有界信号；

条件2：机械臂不确定项干扰d有界，即

||d||≤d₀ (5)

其中，d₀是一个已知有界正常数；

引理1.考虑一阶***

如下控制律在上述***中达到有限时间稳定：

θ＝-θ-λθ-μθ^q/p (7)

其中，θ为***状态变量，λ和μ为正常数，q＞0和p＞0且q和p都为奇整数，满足q/p＜1；因此，收敛时间t_s为：

引理2.有

0≤xtanh(x/a)≤|x| (8)

引理3.或x＞,y≥0有

x/x+y≤1 (9)；

步骤2、设计机械臂滑模自适应鲁棒控制步骤如下：

步骤2.1、定义所以q_d是***期望跟踪的位置指令且该指令二阶可微，设计一个滑模面，限制跟踪误差，保证误差收敛至0，

其中Λ是一个常值矩阵，并且它的特征值严格位于右复半平面，

设计虚拟参考轨迹q_r代替期望轨迹q_d，

因此，和就被替换为

定义

其中s＝[s₁,s₂,…s_n]^T，

为了避免滑模控制的抖动，设计控制律：

其中λ₁和μ₁是正常数，q₁＞0和p₁＞0且同为整数奇数，并且满足q₁/p₁＜1，

根据公式(1)、(14)和(15)得到：

根据式(16)可得：

步骤2.2、设计控制律，结合公式(17)和性质1，基于机械臂***动力学模型的控制律设计为：

τ＝τ_a+τ_s (18)

τ_s＝τ_s1+τ_s2 (20)

τ_s1＝-K_Ds (21)

其中，τ_a为模型前馈补偿项；τ_s1为线性反馈项；τ_s2为连续鲁棒项；K_D是一个对称正定矩阵，为对角矩阵；和是H(q),G(q)和Fv的估计值；

步骤2.3、设计参数回归器及参数估计器，

采用参数回归器的参数自适应律为：

其中Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，γ为正常数，Γ和γ影响参数的自适应率；

步骤2.4、根据条件2设计连续鲁棒项，克服***干扰

τ_s2＝[τ_s21,τ_s22,…τ_s2n]^T (24)

其中τ_s2i形式如下

式(25)中，k_i为已知正常数，ξ(t)满足以下条件

其中δ_i ^*和δ_i都是正常数；

步骤3、分析机械臂***的稳定性，根据步骤2中设计的滑模自适应鲁棒控制方法，利用李雅普诺夫稳定性理论对***进行稳定性证明，得到***渐进稳定的结果：

定义李雅普诺夫函数如下：

其中并且F_v＞0，

对(27)式求导，得到

将公式(16)、(18)-(21)带入(28)根据机械臂性质2、3得到

将自适应律(22)、(23)带入式(29)得

将式(24)、(25)带入(30)

根据引理2可得

根据引理3可得

其中，W是一个正函数，同时对公式(33)两侧积分，得到

根据式(34)可得V(t)∈L_∞，W∈L₂，所以s，和都有界，根据条件1，可知***状态q有界，根据式(26)，***输出τ有界，并且可以得到W有界，因此W一致连续，根据Barbalat引理可知***渐进稳定，

根据引理1可得s_i∈s分别在有限时刻t_i收敛至0，t_i时刻如下

证明：设计李雅普诺夫函数

对(36)求导得到

将公式(15)带入(37)得

其中λ₁和μ₁为正常数，q₁＞0，q₁＞0且同为奇整数，

所以在有限时刻t_i时，s_i收敛至0。