CN104267595A - 具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法，该方法的实现包括以下步骤：建立电机位置伺服***的数学模型；配置自适应律对电机位置伺服***中的不确定性参数进行估计；配置具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制器；及通过参数设定使得电机伺服***的位置输出准确地跟踪期望的位置指令，并且使得电机伺服***的输入无抖动现象产生。利用该方法可解决现有电机伺服***控制中存在的被忽略的模型不确定性、基于传统滑模控制方法所设计的控制器不连续、基于一般自适应鲁棒控制方法存在高增益反馈现象及对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的电机伺服***不能任意约束输出跟踪误差的公差的问题。

Description

具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法

技术领域

本发明涉及电机伺服***控制技术领域，具体而言涉及一种具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法。

背景技术

电机伺服***由于具有响应快、传动效率高、维护方便以及能源获取方便等突出优点，广泛应用于工业及国防等重要领域，如机床进给、火箭炮随动***、机器人等。随着这些领域的快速发展，传统的基于线性理论的三环(电流环、速度环及位置环)控制方法已逐渐不能满足***的高性能需求，迫切需要研究更加先进的控制方法。电机伺服***存在诸多模型不确定性，包括参数不确定性(如负载质量的变化、随温度及磨损而变化的粘性摩擦系数等)以及不确定性非线性(如外干扰等)，这些不确定性的存在可能会严重恶化期望的控制性能，甚至使基于***名义模型所设计的控制器不稳定。

目前针对电机伺服***的先进控制策略，有反馈线性化、滑模以及自适应鲁棒等控制方法。反馈线性化控制方法不仅设计简单，而且可以保证***的高性能，但是其要求所建立的***数学模型必须非常准确，这在实际应用中难以得到保证。滑模控制方法简单实用且对***的外干扰等有一定的鲁棒性，但是基于一般滑模控制的方法会引起滑模面的抖动，使所设计的控制器不连续，从而使***的性能恶化，不利于在工程实际中应用。自适应鲁棒控制方法主要基于***的模型设计非线性控制器，针对参数不确定性，设计恰当的在线估计策略，以提高***的跟踪性能；对可能发生的外干扰等不确定性非线性，通过强增益非线性反馈控制予以抑制进而提升***性能。虽然这些控制方法可以提高位置跟踪精度，但是却不能任意约束位置跟踪误差的公差。然而，基于时变障碍Lyapunov函数的控制方法却能够对输出跟踪误差进行时变约束，并能够使输出的初始值为初始输出约束空间的任意值，具有更大的灵活性。因此，如何处理电机伺服***中的模型不确定性并对其输出跟踪误差进行约束具有重要的研究意义。

总结来说，现有电机伺服***的控制技术的不足之处主要有以下几点：

1.忽略***的模型不确定性。电机伺服***的模型不确定性主要有参数不确定性和不确定性非线性。参数不确定性包括负载质量的变化、随温度及磨损而变化的粘性摩擦系数以及电气增益等；不确定性非线性，如未建模动态及外干扰等。忽略不确定性的存在，可能会使基于***名义模型所设计的控制器不稳定或者性能降阶。

2.基于传统的滑模的控制方法所设计的控制器不连续。基于传统的滑模控制方法容易引起滑模面的抖动从而使所设计的控制器不连续，使***的跟踪性能恶化。

3.基于一般的自适应鲁棒控制方法存在高增益反馈现象。一般的自适应鲁棒控制器对可能发生的大的外干扰等不确定性非线性，通过强增益非线性反馈控制予以抑制进而提升***性能。然而高增益反馈易受测量噪声影响且可能激发***的高频动态进而降低***的跟踪性能，甚至导致***不稳定。

4.对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的电机伺服***不能任意约束输出跟踪误差的公差。

发明内容

本发明为解决现有电机伺服***控制中存在被忽略的模型不确定性、基于传统的滑模的控制方法所设计的控制器不连续、基于一般的自适应鲁棒控制方法存在高增益反馈现象以及对同时存在参数不确定性和不确定性非线性的电机伺服***不能任意约束输出跟踪误差的公差的问题，提出一种具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法。

本发明的上述目的通过独立权利要求的技术特征实现，从属权利要求以另选或有利的方式发展独立权利要求的技术特征。

为达成上述目的，本发明所采用的技术方案如下：

一种具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法，该方法的实现包括以下步骤：

步骤1、建立电机位置伺服***的数学模型；

步骤2、配置自适应律对电机位置伺服***中的不确定性参数进行估计；

步骤3、配置具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制器；

步骤4、通过参数设定使得电机伺服***的位置输出准确地跟踪期望的位置指令，并且使得电机伺服***的输入无抖动现象产生。

进一步的实施例中，前述步骤1建立电机位置伺服***的数学模型，其实现包括以下步骤：

简化电机的电气动态为比例环节，将电机位置伺服***的运动方程表达为：

$m\stackrel{\·\·}{y}=K_{i}u-B\stackrel{\·}{y}-f(t,y,\stackrel{\·}{y})---\left(1\right)$

其中，m为惯性负载参数，y为惯性负载位移，K_i为力矩放大系数，u为***的控制输入电压，B为粘性摩擦系数，为不确定性项，包括未建模的摩擦以及外干扰；

选取状态矢量为：则电机位置伺服***的运动学方程可以转化为如下状态方程形式：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{x}}_2=u-{\mathrm{\θ}}_2{x}_2-{\mathrm{\θ}}_3-d(x,t)---\left(2\right)$

y＝x₁

对于公式(2)，定义不确定参数集θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T，其中θ₁＝mK_i，θ₂＝BK_i，θ₃＝d_nK_i；d(x,t)＝f(x,t)K_i-d_nK_i，其中d_n为***总干扰的名义值；

控制器设计的目标为使电机伺服***对参数不确定性以及外干扰具有一定的鲁棒性，并使输出y(t)满足约束其中R₊→R、R₊→R，从而使 ${\stackrel{\‾}{k}}_{c1}\left(t\right)>{\underset{\‾}{k}}_{c1}\left(t\right),\∀t\∈R_{+},$ 故存在以下假设：

假设1：结构不确定性参数集θ以及非结构不确定性d(x,t)满足：

$\mathrm{\θ}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{\θ}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{\mathrm{\θ}:{\mathrm{\θ}}_{\min }\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_{\max }\}---\left(3\right)$

|d(x,t)|≤σ_d           (4)

公式(3)中，θ_max＝[θ_1max,θ_2max,θ_3max]^T,θ_min＝[θ_1min,θ_2min,θ_3min]^T分别为向量θ的上下界；公式(4)中σ_d为已知函数；

假设2：存在常数和i＝0,1,2，使 ${\underset{\‾}{k}}_{c1}\left(t\right)\≥{\underset{\‾}{K}}_{c0},{\stackrel{\‾}{k}}_{c1}\left(t\right)\≤{\stackrel{\‾}{K}}_{c0}$ 并且 $\left|{\stackrel{\‾}{k}}_{c1}^{\left(i\right)}\left(t\right)\right|\≤{\stackrel{\‾}{K}}_{\mathrm{ci}}$ 和 $\left|{\underset{\‾}{k}}_{c1}^{\left(i\right)}\left(t\right)\right|\≤{\underset{\‾}{K}}_{\mathrm{ci}},$ i＝1,2， $\∀t\≥0;$

假设3：存在函数R₊→R₊，R₊→R₊满足 ${\underset{\&OverBar;}{Y}}_0>{\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right),{\stackrel{\&OverBar;}{Y}}_0<{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right),\&ForAll;t\&GreaterEqual;0;$ 存在正常数Y_i，i＝1,2使理想轨迹y_d(t)以及它的微分满足和i＝1,2， $\&ForAll;t\&GreaterEqual;0.$

进一步的实施例中，前述步骤2配置自适应律对电机位置伺服***中的不确定性参数进行估计，其实现包括以下步骤：

定义分别为θ的估计值及估计误差，即

定义不连续投影函数为：

公式(5)中，i＝1,2,3，·_i为矢量·的第i个元素，对于两个向量之间的符号“＜”表示各向量中相应元素之间的小于运算关系；

采用自适应律为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right),{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(0\right)\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }---\left(6\right)$

公式(6)中，Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，τ为自适应函数；

对于任意自适应函数τ，运用投影函数(5)能保证：

$\begin{array}{cc}\left(P1\right)& \widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\widehat{\mathrm{\&theta;}}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}\\ \left(P2\right)& {\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T[{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}]\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}\end{array}.---\left(7\right)$

进一步的实施例中，前述步骤3配置具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制器，其具体实现包括：

步骤3-1、定义z₁＝x₁-x_1d为***的跟踪误差，x_1d是期望跟踪的位置指令，并假设指令是三阶连续可微并且有界的；

将惯性负载的角速度x₂作为虚拟控制量，确保***的跟踪误差z₁在零附近较小的界内，定义z₂＝x₂-α₁，其中α₁为稳定函数；

选取时变非对称障碍函数为：

$V_1=\frac{s\left(z_1\right)}{2p}\log \frac{k_{b1}^{2p}\left(t\right)}{k_{b1}^{2p}\left(t\right)-z_1^{2p}}+\frac{1-s\left(z_1\right)}{2p}\log \frac{k_{a1}^{2p}\left(t\right)}{k_{a1}^{2p}\left(t\right)-z_1^{2p}}---\left(8\right)$

公式(8)中，p为正整数并满足2p≥2以保证稳定函数α₁的可微性；

时变障碍为： $k_{a1}\left(t\right):=y_d\left(t\right)-{\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right),k_{b1}\left(t\right):={\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right)-y_d\left(t\right);$ s(z₁)定义为：

由假设2和假设3可知，存在正常数满足：

${\underset{\&OverBar;}{k}}_{b1}\&le;k_{b1}\left(t\right)\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{b1},{\underset{\&OverBar;}{k}}_{a1}\&le;k_{a1}\left(t\right)\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{a1}\&ForAll;t\&GreaterEqual;0---\left(10\right)$

对跟踪误差进行坐标转换得：

${\mathrm{\&xi;}}_a=\frac{z_1}{k_{a1}},{\mathrm{\&xi;}}_b=\frac{z_1}{k_{b1}},\mathrm{\&xi;}=s{\mathrm{\&xi;}}_b+(1-s\left(z_1\right)){\mathrm{\&xi;}}_a---\left(11\right)$

从而公式(8)转换为如下形式：

$V_1=\frac{1}{2p}\log \frac{1}{1-{\mathrm{\&xi;}}^{2p}}---\left(12\right)$

显然，在|ξ|＜1时V₁正定且连续可微，对V₁关于时间求导可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=\frac{s\left(z_1\right){\mathrm{\&xi;}}_b^{2p-1}}{k_{b1}(1-{\mathrm{\&xi;}}_b^{2p})}((z_2+{\mathrm{\&alpha;}}_1){\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d-z_1\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{b1}}{k_{b1}})+\frac{(1-s\left(z_1\right)){\mathrm{\&xi;}}_a^{2p-1}}{k_{a1}(1-{\mathrm{\&xi;}}_a^{2p})}((z_2+{\mathrm{\&alpha;}}_1)-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d-z_1\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{a1}}{k_{a1}})---\left(13\right)$

稳定函数α₁设计为：

${\mathrm{\&alpha;}}_1=-(k_1+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1\left(t\right))z_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d---\left(14\right)$

公式(14)中k₁＞0，时变增益设计为：

${\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1\left(t\right)=\sqrt{{\left(\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{a1}}{k_{a1}}\right)}^2+{\left(\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{b1}}{k_{b1}}\right)}^2+\mathrm{\&beta;}}---\left(15\right)$

公式(15)中β＞0且β用来保证即使当和均为0的情况下α₁依然有界，把式(11)、(14)及(15)代入式(13)可得：

${\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1\left(t\right)+s\left(z_1\right)\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{b1}}{k_{b1}}+(1-s\left(z_1\right))\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{a1}}{k_{a1}}\&GreaterEqual;0---\left(16\right)$

把式(14)及(15)代入式(13)并由式(16)可以得到：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\&le;-\frac{k_1{\mathrm{\&xi;}}^{2p}}{1-{\mathrm{\&xi;}}^{2p}}+{\mathrm{\&mu;}}_1{z}_1^{2p-1}{z}_2---\left(17\right)$

公式(17)中 ${\mathrm{\&mu;}}_1=\frac{s\left(z_1\right)}{k_{b1}^{2p}-z_1^{2p}}+\frac{1-s\left(z_1\right)}{k_{a1}^{2p}-z_1^{2p}};$

步骤3-2、设计实际的控制器输入u，使得虚拟控制的期望值与真实状态值之间的误差z₂在零附近较小的界内

对z₂求导可得：

${\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=u-{\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3-d(x,t)---\left(18\right)$

根据公式(18)设计电机伺服***的控制器输入u为：

u＝u_a+u_s                (19)

$u_a={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2{x}_2+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3-{\mathrm{\&mu;}}_1{z}_1^{2p-1}---\left(20\right)$

u_s＝u_s1+u_s2            (21)

u_s1＝-k₂z₂            (22)

公式(20)中u_a为基于模型的前馈补偿项，u_s为鲁棒反馈项；公式(21)中u_s1为线性鲁棒反馈项，u_s2为非线性鲁棒反馈项；公式(22)中k₂为可调整的增益且k₂＞0；

把(19)-(22)代入(18)可得：

公式(23)中 确定自适应函数

非线性鲁棒反馈项u_s2需光滑连续并满足：

z₂u_s2≤0              (24)

公式(25)中ε₁为任意小的参数；

因此非线性鲁棒反馈项u_s2设计为：

$u_{s2}=-k_{s1}{z}_2\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}-\frac{h_1}{2{\mathrm{\&epsiv;}}_1}{z}_2---\left(26\right)$

公式(26)中

进一步的实施例中，通过确定电机伺服***中结构不确定性参数集θ的范围即θ_min及θ_max的值，选取时变函数进而确定k_a1(t)、k_b1(t)，同时选取对角自适应律矩阵Γ、的值并调节参数p、β、k₁、k_1s、k₂能保证电机伺服***的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令x_1d，并使输出y(t)满足约束同时电机伺服***的输入u无抖动现象产生。

由以上本发明的技术方案可知，本发明所提出的具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法，选取电机伺服***作为研究对象，以其位置输出能准确地跟踪期望的位置指令为控制目标，同时考虑了***的参数不确定性以及外干扰等不确定性非线性，并且针对参数不确定性采用不连续投影函数进行估计，确保估计值在参数不确定性的范围之内；对外干扰等不确定性非线性设计出连续的鲁棒控制器；本发明对电机伺服***存在参数不确定性和不确定性非线性的情况下利用时变非对称障碍Lyapunov函数所设计的非线性鲁棒控制器能够对输出位置跟踪误差进行时变约束，并能够使输出的初始值为初始输出约束空间的任意值，具有更大的灵活性；本发明所设计的非线性鲁棒控制器的控制电压连续，更利于在工程实际中应用。仿真结果验证了其有效性。

附图说明

图1是典型的电机伺服位置控制***图。

图2是本发明所设计的具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制原理示意图。

图3是本发明所设计控制器作用下***在位置输出初始值为x₁(0)＝0时参数θ₁、θ₂、θ₃的估计值随时间变化的曲线。

图4表示本发明所设计的控制器作用下***在位置输出初始值分别为x₁(0)＝0.9(图中以条件1标识)和x₁(0)＝-0.8(图中以条件2标识)的情况下位置输出随时间变化的曲线以及在0-0.02秒的局部放大图，其中输出位移的时变约束上界为k_c1(t)＝1.1+0.1cos(t)，时变约束下界为 ${\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right)=-1+0.9\sin \left(t\right).$

图5是***在不同位置输出初始值情况下的跟踪误差随时间变化的曲线以及在0-0.02秒的局部放大图，其中跟踪误差的时变约束为k_a1(t)＝1+0.1sin(t)，k_b1(t)＝1.1+0.1cos(t)-sin(t)。

图6是跟踪误差约束为k_a1(t)＝k_b1(t)＝0.001mm时，本发明所设计的控制器(图中以CAC标识)和PID控制器分别作用下***在位置输出初始值为x₁(0)＝0的情况下跟踪误差随时间变化的曲线。

图7是本发明所设计的控制器在位置输出初始值为x₁(0)＝0的情况下其控制输入随时间变化的曲线。

具体实施方式

为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。

结合图1、图2所示，根据本发明的较优实施例，一种具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法，该方法的实现包括以下步骤：

步骤1、建立电机位置伺服***的数学模型；

步骤2、配置自适应律对电机位置伺服***中的不确定性参数进行估计；

步骤3、配置具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制器；

步骤4、通过参数设定使得电机伺服***的位置输出准确地跟踪期望的位置指令，并且使得电机伺服***的输入无抖动现象产生。

下面结合附图所示，具体说明上述实施例中各步骤的实施。

步骤1、建立电机位置伺服***的数学模型

在电机伺服***高性能控制策略设计中往往基于电机伺服***的模型，通常可以采用二阶运动学模型或含一阶电气动态的三阶模型进行控制器设计。其中在二阶模型中通常简化***控制输入u与电机输出力呈线性比例关系，而三阶模型通常在二阶模型的基础上考虑了原始电气的动态过程。在绝大多数工业应用场合都是通过采购成熟的电机以及驱动器等来搭建电机伺服***，而开发成熟的商业驱动器都至少固化有电流环控制器，以克服电气动态过程对控制性能的影响。因此，基于电机伺服***的三阶模型进行控制器设计时需要自行开发电气驱动电路以便能够对电气动态过程施加控制，这往往不符合实际的工业应用情况。而建立二阶模型时则认为驱动器内固化的电流环控制器动态过程足够快，使得电机的电气动态不显现于实际用户，用户无需考虑电机与驱动器内部的工作机制，只需建立***的运动学方程即可。

因此，根据牛顿第二定律，对于如图1所示的典型电机伺服***，简化电机的电气动态为比例环节，将电机位置伺服***的运动方程表达为：

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=K_{i}u-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}-f(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(1\right)$

公式(1)中m为惯性负载参数，y为惯性负载位移，K_i为力矩放大系数，u为***的控制输入电压，B为粘性摩擦系数，为未建模的摩擦以及外干扰等不确定性项。

为了便于控制器的设计，选取状态矢量为：则电机位置伺服***的运动学方程可以转化为如下状态方程形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3-d(x,t)---\left(2\right)$

y＝x₁

对于公式(2)，定义不确定参数集θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T，其中θ₁＝mK_i，θ₂＝BK_i，θ₃＝d_nK_i；d(x,t)＝f(x,t)K_i-d_nK_i，其中d_n为***总干扰的名义值。

一般情况下，电机伺服***由于参数m、K_i、B、d_n的变化而存在结构不确定性。另外，非结构不确定性d(x,t)也不能用明确的函数来建模。

控制器设计的目标为使电机伺服***对参数不确定性以及外干扰具有一定的鲁棒性，并使输出y(t)满足约束其中R₊→R、R₊→R，从而使 ${\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right)>{\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right),\&ForAll;t\&Element;R_{+},$ 故存在下述成立的假设：

假设1：结构不确定性参数集θ以及非结构不确定性d(x,t)满足：

$\mathrm{\&theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\mathrm{\&theta;}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&theta;}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}---\left(3\right)$

|d(x,t)|≤σ_d        (4)

公式(3)中θ_max＝[θ_1max,θ_2max,θ_3max]^T,θ_min＝[θ_1min,θ_2min,θ_3min]^T分别为向量θ的上下界；公式(4)中σ_d为已知函数。

假设2：存在常数和i＝0,1,2，使 ${\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right)\&GreaterEqual;{\underset{\&OverBar;}{K}}_{c0},{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right)\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_{c0}$ 并且 $\left|{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{c1}^{\left(i\right)}\left(t\right)\right|\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{K}}_{\mathrm{ci}}$ 和 $\left|{\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}^{\left(i\right)}\left(t\right)\right|\&le;{\underset{\&OverBar;}{K}}_{\mathrm{ci}},$ i＝1,2， $\&ForAll;t\&GreaterEqual;0.$

假设3：存在函数R₊→R₊，R₊→R₊满足存在正常数Y_i，i＝1,2使理想轨迹y_d(t)以及它的微分满足和i＝1,2， $\&ForAll;t\&GreaterEqual;0.$

步骤2、配置自适应律对电机位置伺服***中的不确定性参数进行估计

定义分别为θ的估计值及估计误差(即)。定义不连续投影函数为：

公式(5)中i＝1,2,3，·_i为矢量·的第i个元素，对于两个向量之间的符号“＜”表示各向量中相应元素之间的小于运算关系。

采用自适应律为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right),{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(0\right)\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }---\left(6\right)$

公式(6)中Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，τ为自适应函数。对于任意自适应函数τ，运用投影函数(5)能保证： $\begin{array}{cc}\left(P1\right)& \widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}\{\widehat{\mathrm{\&theta;}}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}\\ \left(P2\right)& {\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T[{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}]\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}\end{array}---\left(7\right)$

结合图2所示，接下来的步骤3中，配置具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制器

具体地，自适应鲁棒位置控制器的配置包括以下步骤：

步骤3-1、定义z₁＝x₁-x_1d为***的跟踪误差，x_1d是期望跟踪的位置指令，并假设指令是三阶连续可微并且有界的；

将惯性负载的角速度x₂作为虚拟控制量，确保***的跟踪误差z₁在零附近较小的界内，定义z₂＝x₂-α₁，其中α₁为稳定函数；

选取时变非对称障碍函数为：

$V_1=\frac{s\left(z_1\right)}{2p}\log \frac{k_{b1}^{2p}\left(t\right)}{k_{b1}^{2p}\left(t\right)-z_1^{2p}}+\frac{1-s\left(z_1\right)}{2p}\log \frac{k_{a1}^{2p}\left(t\right)}{k_{a1}^{2p}\left(t\right)-z_1^{2p}}---\left(8\right)$

公式(8)中，p为正整数并满足2p≥2以保证稳定函数α₁的可微性；

时变障碍为： $k_{a1}\left(t\right):=y_d\left(t\right)-{\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right),k_{b1}\left(t\right):={\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right)-y_d\left(t\right);$ s(z₁)定义为：

由假设2和假设3可知，存在正常数满足：

${\underset{\&OverBar;}{k}}_{b1}\&le;k_{b1}\left(t\right)\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{b1},{\underset{\&OverBar;}{k}}_{a1}\&le;k_{a1}\left(t\right)\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{a1}\&ForAll;t\&GreaterEqual;0---\left(10\right)$

对跟踪误差进行坐标转换得：

${\mathrm{\&xi;}}_a=\frac{z_1}{k_{a1}},{\mathrm{\&xi;}}_b=\frac{z_1}{k_{b1}},\mathrm{\&xi;}=s{\mathrm{\&xi;}}_b+(1-s\left(z_1\right)){\mathrm{\&xi;}}_a---\left(11\right)$

从而公式(8)转换为如下形式：

$V_1=\frac{1}{2p}\log \frac{1}{1-{\mathrm{\&xi;}}^{2p}}---\left(12\right)$

显然，在|ξ|＜1时V₁正定且连续可微，对V₁关于时间求导可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=\frac{s\left(z_1\right){\mathrm{\&xi;}}_b^{2p-1}}{k_{b1}(1-{\mathrm{\&xi;}}_b^{2p})}((z_2+{\mathrm{\&alpha;}}_1){\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d-z_1\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{b1}}{k_{b1}})+\frac{(1-s\left(z_1\right)){\mathrm{\&xi;}}_a^{2p-1}}{k_{a1}(1-{\mathrm{\&xi;}}_a^{2p})}((z_2+{\mathrm{\&alpha;}}_1)-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d-z_1\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{a1}}{k_{a1}})---\left(13\right)$

稳定函数α₁设计为：

${\mathrm{\&alpha;}}_1=-(k_1+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1\left(t\right))z_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d---\left(14\right)$

公式(14)中k₁＞0，时变增益设计为：

${\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1\left(t\right)=\sqrt{{\left(\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{a1}}{k_{a1}}\right)}^2+{\left(\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{b1}}{k_{b1}}\right)}^2+\mathrm{\&beta;}}---\left(15\right)$

公式(15)中β＞0且β用来保证即使当和均为0的情况下α₁依然有界，把式(11)、(14)及(15)代入式(13)可得：

${\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1\left(t\right)+s\left(z_1\right)\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{b1}}{k_{b1}}+(1-s\left(z_1\right))\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{a1}}{k_{a1}}\&GreaterEqual;0---\left(16\right)$

把式(14)及(15)代入式(13)并由式(16)可以得到：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\&le;-\frac{k_1{\mathrm{\&xi;}}^{2p}}{1-{\mathrm{\&xi;}}^{2p}}+{\mathrm{\&mu;}}_1{z}_1^{2p-1}{z}_2---\left(17\right)$

公式(17)中 ${\mathrm{\&mu;}}_1=\frac{s\left(z_1\right)}{k_{b1}^{2p}-z_1^{2p}}+\frac{1-s\left(z_1\right)}{k_{a1}^{2p}-z_1^{2p}};$

步骤3-2、设计实际的控制器输入u，使得虚拟控制的期望值与真实状态值之间的误差z₂在零附近较小的界内

对z₂求导可得：

${\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=u-{\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3-d(x,t)---\left(18\right)$

根据公式(18)设计电机伺服***的控制器输入u为：

u＝u_a+u_s             (19)

$u_a={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2{x}_2+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3-{\mathrm{\&mu;}}_1{z}_1^{2p-1}---\left(20\right)$

u_s＝u_s1+u_s2             (21)

u_s1＝-k₂z₂            (22)

公式(20)中u_a为基于模型的前馈补偿项，u_s为鲁棒反馈项；公式(21)中u_s1为线性鲁棒反馈项，u_s2为非线性鲁棒反馈项；公式(22)中k₂为可调整的增益且k₂＞0；

把(19)-(22)代入(18)可得：

公式(23)中 确定自适应函数

非线性鲁棒反馈项u_s2需光滑连续并满足：

z₂u_s2≤0            (24)

公式(25)中ε₁为任意小的参数；

因此非线性鲁棒反馈项u_s2设计为：

$u_{s2}=-k_{s1}{z}_2\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{=}-\frac{h_1}{2{\mathrm{\&epsiv;}}_1}{z}_2---\left(26\right)$

公式(26)中

步骤4、通过参数设定使得电机伺服***的位置输出准确地跟踪期望的位置指令，并且使得电机伺服***的输入无抖动现象产生

具体地，通过确定电机伺服***中结构不确定性参数集θ的范围即θ_min及θ_max的值，选取时变函数进而确定k_a1(t)、k_b1(t)，同时选取对角自适应律矩阵Γ(Γ＞0)、 的值并调节参数p(p＞1)、β(β＞0)、k₁(k₁＞0)、k_1s(k_1s＞0)、k₂(k₂＞0)以保证电机伺服***的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令x_1d，并使输出y(t)满足约束同时电机伺服***的输入u无抖动现象产生。

本实施例中选取Lyapunov方程对基于前述设计的控制器的***稳定性进行分析

若d(x,t)不为零，选取Lyapunov方程为可以证明***有一致有界稳定性并且跟踪误差若t≥t₀时d(x,t)≡0，选取Lyapunov方程为 $V_s=V+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&theta;}},$ 可以证明***有渐进稳定性且***的跟踪误差 $-k_{a1}\left(t\right)<z_1\left(t\right)<k_{b1}\left(t\right),\&ForAll;t>t_0.$ 下面分两种情况进行描述。

第一种情况：若d(x,t)不为零，则***有一致有界稳定性并且跟踪误差根据控制理论中***的稳定性分析，选取Lyapunov方程为：

$V=V_1+\frac{1}{2}{\mathrm{\&theta;}}_1{z}_2^2---\left(27\right)$

对公式(27)关于时间进行微分可得：

从而可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\&le;-\mathrm{\&lambda;V}+{\mathrm{\&epsiv;}}_1---\left(29\right)$

公式(29)中 $\mathrm{\&lambda;}=\min \{2p{k}_1,\frac{2}{{\mathrm{\&theta;}}_{1\max }}\}.$

因此，***有一致有界稳定性并且跟踪误差

第二种情况：若t≥t₀时d(x,t)≡0，则***一致有界稳定且***的跟踪误差 $-k_{a1}\left(t\right)<z_1\left(t\right)<k_{b1}\left(t\right),\&ForAll;t>t_0.$ 选取Lyapunov方程为：

$V_s=V+\frac{1}{2}{\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}\widetilde{\mathrm{\&theta;}}---\left(30\right)$

对公式(30)关于时间进行微分可得：

把公式(6)、(7)代入(31)可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_s\&le;0---\left(32\right)$

因此，***有渐进稳定性并且跟踪误差

下面结合图3-图7所示，对采用上述实施例方法的实施效果进行进一步说明。

电机伺服***参数为：惯性负载参数m＝0.01kg·m²；力矩放大系数K_i＝5N·m/V；粘性摩擦系数B＝1.025N·m·s/rad；名义干扰值d_n＝0.03N·m；在t＝10s时加入时变外干扰f(t)＝0.05sin(πt)N·m；***期望跟踪的位置指令为曲线x_1d(t)＝sin(t)[1-exp(-t³)]rad。

对比仿真结果：仿真时由于调节增益k₂和k_1s其所要达到的目的是一致的，为了便于仿真，可以通过只调节增益k₂的值来满足控制性能，进而可以省略调节增益k_1s。本发明所设计的控制器的参数选取为: ${\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right)=-1+0.9\sin \left(t\right),{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right)=1.1+0.1\cos \left(t\right),$ θ_min＝[0,0,-0.01]^T,θ_max＝[0.005,0.4,0.01]^T，p＝2，β＝0.1，Γ＝diag{0.3,25,1.5}，k₁＝300,k₂＝10。PID控制器参数选取为：k_P＝700,k_I＝300,k_D＝1。

图3是本发明所设计控制器作用下***在位置输出初始值为x₁(0)＝0时参数θ₁、θ₂、θ₃的估计值随时间变化的曲线，从图中可以看出其估计值渐渐接近于***参数的名义值，并在名义值附近一定范围内波动，从而能够准确地将***的参数估计出来。

控制器作用效果：

图4表示本发明所设计的控制器作用下***在位置输出初始值分别为x₁(0)＝0.9(图中以条件1标识)和x₁(0)＝-0.8(图中以条件2标识)的情况下位置输出随时间变化的曲线，其中输出位移的时变约束上界为时变约束下界为 ${\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right)=-1+0.9\sin \left(t\right);$

图5是***在不同位置输出初始值情况下的跟踪误差随时间变化的曲线，其中跟踪误差的时变约束为k_a1(t)＝1+0.1sin(t)，k_b1(t)＝1.1+0.1cos(t)-sin(t)；

从图4和图5在0-0.02秒的局部放大图中可以看出即使***的位置输出初始值在远离理想轨迹初始值的情况下仍能快速地跟踪理想轨迹。

图6是跟踪误差约束为k_a1(t)＝k_b1(t)＝0.001mm时，本发明所设计的控制器(图中以CAC标识)和PID控制器分别作用下***在位置输出初始值为x₁(0)＝0的情况下跟踪误差随时间变化的曲线，从图中可以看出本发明所设计的控制器跟踪性能更好些。

图7是本发明所设计的控制器在位置输出初始值为x₁(0)＝0的情况下其控制输入随时间变化的曲线，从图中可以看出，本发明所得到的控制输入信号连续，利于在工程实际中应用。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。

Claims (5)

1.一种具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法，其特征在于，该方法的实现包括以下步骤：

步骤1、建立电机位置伺服***的数学模型；

步骤2、配置自适应律对电机位置伺服***中的不确定性参数进行估计；

步骤3、配置具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制器；

步骤4、通过参数设定使得电机伺服***的位置输出准确地跟踪期望的位置指令，并且使得电机伺服***的输入无抖动现象产生。

2.根据权利要求1所述的具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法，其特征在于，前述步骤1建立电机位置伺服***的数学模型，其实现包括以下步骤：

简化电机的电气动态为比例环节，将电机位置伺服***的运动方程表达为：

$m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}=K_{i}u-B\stackrel{\&CenterDot;}{y}-f(t,y,\stackrel{\&CenterDot;}{y})---\left(1\right)$

其中，m为惯性负载参数，y为惯性负载位移，K_i为力矩放大系数，u为***的控制输入电压，B为粘性摩擦系数，为不确定性项，包括未建模的摩擦以及外干扰；

选取状态矢量为：则电机位置伺服***的运动学方程可以转化为如下状态方程形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=u-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3-d(x,t)---\left(2\right)$

y＝x₁

对于公式(2)，定义不确定参数集θ＝[θ₁,θ₂,θ₃]^T，其中θ₁＝m/K_i，θ₂＝B/K_i，θ₃＝d_n/K_i；d(x,t)＝f(x,t)/K_i-d_n/K_i，其中d_n为***总干扰的名义值；

控制器设计的目标为使电机伺服***对参数不确定性以及外干扰具有一定的鲁棒性，并使输出y(t)满足约束 ${\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right)<y\left(y\right)<{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right),\&ForAll;t\&GreaterEqual;0,$ 其中 ${\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}:R_{+}\&RightArrow;R,{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{c1}:R_{+}\&RightArrow;R,$ 从而使 ${\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right)>{\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}\left(t\right),\&ForAll;t\&Element;R_{+},$ 故存在以下假设：

假设1：结构不确定性参数集θ以及非结构不确定性d(x,t)满足：

$\mathrm{\&theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\&OverBar;}}\{\mathrm{\&theta;}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\mathrm{\&theta;}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}---\left(3\right)$

|d(x,t)|≤σ_d        (4)

公式(3)中，θ_max＝[θ_1max,θ_2max,θ_3max]^T,θ_min＝[θ_1min,θ_2min,θ_3min]^T分别为向量θ的上下界；公式(4)中σ_d为已知函数；

假设2：存在常数K _ci和i＝0,1,2，使k _c1(t)≥K _c0，并且和 $\left|{\underset{\&OverBar;}{k}}_{c1}^{\left(i\right)}\left(t\right)\right|\&le;{\underset{\&OverBar;}{K}}_{\mathrm{ci}},i=\mathrm{1,2},\&ForAll;t\&GreaterEqual;0;$

假设3：存在函数Y ₀:R₊→R₊，满足Y ₀＞k _c1(t)，存在正常数Y_i，i＝1,2使理想轨迹y_d(t)以及它的微分满足和 $\&ForAll;t\&GreaterEqual;0.$

3.根据权利要求2所述的具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法，其特征在于，前述步骤2配置自适应律对电机位置伺服***中的不确定性参数进行估计，其实现包括以下步骤：

定义分别为θ的估计值及估计误差，即

定义不连续投影函数为：

公式(5)中，i＝1,2,3，·_i为矢量·的第i个元素，对于两个向量之间的符号“＜”表示各向量中相应元素之间的小于运算关系；

采用自适应律为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}={\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right),{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(0\right)\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }---\left(6\right)$

公式(6)中，Γ为对角自适应律矩阵且Γ＞0，τ为自适应函数；

对于任意自适应函数τ，运用投影函数(5)能保证：

$\begin{array}{cc}\left(P1\right)& \widehat{\mathrm{\&theta;}}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\&OverBar;}}\{\widehat{\mathrm{\&theta;}}:{\mathrm{\&theta;}}_{\min }\&le;\widehat{\mathrm{\&theta;}}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_{\max }\}\\ \left(P2\right)& {\widetilde{\mathrm{\&theta;}}}^T[{\mathrm{\&Gamma;}}^{-1}{\mathrm{Proj}}_{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}\left(\mathrm{\&Gamma;\&tau;}\right)-\mathrm{\&tau;}]\&le;0,\&ForAll;\mathrm{\&tau;}\end{array}.---\left(7\right)$

4.根据权利要求3所述的具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法，其特征在于，前述步骤3配置具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制器，其具体实现包括：

步骤3-1、定义z₁＝x₁-x_1d为***的跟踪误差，x_1d是期望跟踪的位置指令，并假设指令是三阶连续可微并且有界的；

将惯性负载的角速度x₂作为虚拟控制量，确保***的跟踪误差z₁在零附近较小的界内，定义z₂＝x₂-α₁，其中α₁为稳定函数；

选取时变非对称障碍函数为：

$V_1=\frac{s\left(z_1\right)}{2p}\log \frac{k_{b1}^{2p}\left(t\right)}{k_{b1}^{2p}\left(t\right)-z_1^{2p}}+\frac{1-s\left(z_1\right)}{2p}\log \frac{k_{a1}^{2p}\left(t\right)}{k_{a1}^{2p}\left(t\right)-z_1^{2p}}---\left(8\right)$

公式(8)中，p为正整数并满足2p≥2以保证稳定函数α₁的可微性；

时变障碍为：k_a1(t):＝y_d(t)-k _c1(t)，s(z₁)定义为：

由假设2和假设3可知，存在正常数k _b1, k _a1,满足：

${\underset{\&OverBar;}{k}}_{b1}\&le;k_{b1}\left(t\right)\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{b1},{\underset{\&OverBar;}{k}}_{a1}\&le;k_{a1}\left(t\right)\&le;{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_{a1},\&ForAll;t\&GreaterEqual;0---\left(10\right)$

对跟踪误差进行坐标转换得：

${\mathrm{\&xi;}}_a=\frac{z_1}{k_{z1}},{\mathrm{\&xi;}}_b=\frac{z_1}{k_{b1}},\mathrm{\&xi;}=s{\mathrm{\&xi;}}_b+(1-s\left(z_1\right)){\mathrm{\&xi;}}_a---\left(11\right)$

从而公式(8)转换为如下形式：

$V_1=\frac{1}{2p}\log \frac{1}{1-{\mathrm{\&xi;}}^{2p}}---\left(12\right)$

显然，在|ξ|＜1时V₁正定且连续可微，对V₁关于时间求导可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=\frac{s\left(z_1\right){\mathrm{\&xi;}}_b^{2p-1}}{k_{b1}(1-{\mathrm{\&xi;}}_b^{2p})}((z_2+{\mathrm{\&alpha;}}_1)-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d-z_1\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{b1}}{k_{b1}})+\frac{(1-s\left(z_1\right)){\mathrm{\&xi;}}_a^{2p-1}}{k_{a1}(1-{\mathrm{\&xi;}}_a^{2p})}((z_2+{\mathrm{\&alpha;}}_1)-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d-z_1\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{a1}}{k_{a1}})---\left(13\right)$

稳定函数α₁设计为：

${\mathrm{\&alpha;}}_1=-(k_1+{\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1\left(t\right))z_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d---\left(14\right)$

公式(14)中k₁＞0，时变增益设计为：

${\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1\left(t\right)=\sqrt{{\left(\frac{{\stackrel{.}{k}}_{a1}}{k_{a1}}\right)}^2+{\left(\frac{{\stackrel{.}{k}}_{b1}}{k_{b1}}\right)}^2+\mathrm{\&beta;}}---\left(15\right)$

公式(15)中β＞0且β用来保证即使当和均为0的情况下α₁依然有界，把式(11)、(14)及(15)代入式(13)可得：

${\stackrel{\&OverBar;}{k}}_1\left(t\right)+s\left(z_1\right)\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{b1}}{k_{b1}}+(1-s\left(z_1\right))\frac{{\stackrel{\&CenterDot;}{k}}_{a1}}{k_{a1}}\&GreaterEqual;0---\left(16\right)$

把式(14)及(15)代入式(13)并由式(16)可以得到：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\&le;-\frac{k_1{\mathrm{\&xi;}}^{2p}}{1-{\mathrm{\&xi;}}^{2p}}+{\mathrm{\&mu;}}_1{z}_1^{2p-1}{z}_2---\left(17\right)$

公式(17)中 ${\mathrm{\&mu;}}_1=\frac{s\left(z_1\right)}{k_{b1}^{2p}-z_1^{2p}}+\frac{1-s\left(z_1\right)}{k_{a1}^{2p}-z_1^{2p}};$

步骤3-2、设计实际的控制器输入u，使得虚拟控制的期望值与真实状态值之间的误差z₂在零附近较小的界内

对z₂求导可得：

${\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_2=u-{\mathrm{\&theta;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_2{x}_2-{\mathrm{\&theta;}}_3-d(x,t)---\left(18\right)$

根据公式(18)设计电机伺服***的控制器输入u为：

u＝u_a+u_s          (19)

$u_a={\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_2{x}_2+{\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_3-{\mathrm{\&mu;}}_1{z}_1^{2p-1}---\left(20\right)$

u_s＝u_s1+u_s2         (21)

u_s1＝-k₂z₂               (22)

公式(20)中u_a为基于模型的前馈补偿项，u_s为鲁棒反馈项；公式(21)中u_s1为线性鲁棒反馈项，u_s2为非线性鲁棒反馈项；公式(22)中k₂为可调整的增益且k₂＞0；

把(19)-(22)代入(18)可得：

公式(23)中确定自适应函数

非线性鲁棒反馈项u_s2需光滑连续并满足：

z₂u_s2≤0         (24)

公式(25)中ε₁为任意小的参数；

因此非线性鲁棒反馈项u_s2设计为：

$u_{s2}=-k_{s1}{z}_2\stackrel{\mathrm{\&Delta;}}{\stackrel{\&OverBar;}{\&OverBar;}}-\frac{h_1}{2{\mathrm{\&epsiv;}}_1}{z}_2$

公式(26)中

5.根据权利要求4所述的具有时变输出约束的电机伺服***自适应鲁棒位置控制方法，其特征在于，通过确定电机伺服***中结构不确定性参数集θ的范围即θ_min及θ_max的值，选取时变函数k _c1(t)、进而确定k_a1(t)、k_b1(t)，同时选取对角自适应律矩阵Γ、的值并调节参数p、β、k₁、k_1s、k₂能保证电机伺服***的位置输出y(t)准确地跟踪期望的位置指令x_1d，并使输出y(t)满足约束同时电机伺服***的输入u无抖动现象产生。