KR100966904B1 - 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치, 방법 및 기록매체 - Google Patents

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Abstract

본 발명은 지하구조를 영상화하기 위한 장치, 방법 및 기록매체에 관한 것으로, 지하구조를 영상화하기 위해 파형 역산을 통해 신호를 처리하며, 신호 처리 시 의 파형 역산을 라플라스-푸리에 영역에서 수행하는 것을 특징으로 한다. 일 예로써, 본 발명은 측정 대상 지역의 탄성파 신호를 수신하는 수신기와, 측정 대상 지역의 지하 구조를 영상화하기 위한 영상 데이터를 생성하기 위해 탄성파 신호를 처리하는 신호처리부를 포함할 수 있으며, 신호처리부는 라플라스-푸리에 영역에서 파형 역산을 수행하여 측정 대상 지역의 실제 구조와 유사한 속도 모델을 생성하는 것이 가능하다.
파형 역산, 탄성파 탐사, 라플라스-푸리에 변환, 목적 함수, 속도 모델

Description

라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치, 방법 및 기록매체{Apparatus, Methods and Recording medium for imaging a subsurface using the waveform inversion in the Laplace-Fourier domain}
본 발명은 지하 구조 탐사 기술에 관한 것으로, 특히 파형 역산(waveform inversion)을 이용한 신호 처리를 통해 지하 구조를 영상화하는 기술과 관련된다.
파형 역산(waveform inversion)이란 중합전 탄성파 데이터(prestack seismic data)를 이용하여 지하의 속도 모델을 추정하는 기법을 말한다.
파형 역산은 관심 지역에 대한 초기 모델을 만들고 해당 지역에서 측정값을 얻은 후, 얻어진 측정값을 이용하여 초기 모델을 반복적으로 업데이트하여 실제 지하 구조와 유사한 지하 구조 모델을 얻는 일련의 과정을 의미하는 것으로 볼 수 있다. 이와 같은 과정은 컴퓨터에 의해 임의의 지하 구조로부터 이론값들을 계산하고(모델링) 이론값과 현장탐사를 통해 얻어진 자료 사이의 오차로부터 그 오차가 최소가 될 때까지 지하의 물성을 대표하는 파라미터를 반복적으로 업데이트하면서 계산이 이루어진다.
파형 역산은 지구 물리탐사의 목표 중의 하나인 지하구조 해석의 한 방법으 로 수학적으로 수많은 방법이 운용되고 있으며 그 대표적인 예로 반복적 최소자승법이 있다. 최근 컴퓨터가 발달하여 간단한 역산이 개인용 컴퓨터로 많이 해결되고 있으며, 대개 유일해가 존재하지 않으므로 특정 조건을 부가하여 최적해를 얻는다. 이때 수렴에 비중을 두느냐 아니면 주어진 측정값으로부터 보다 정밀한 해를 구하느냐 하는 것은 선택 사항이다. 역산 모델은 단순화시켜야 할 뿐만 아니라 대개 극단적 가정을 해야 할 경우가 많으므로 역산을 수행할 때는 지구 물리적 물성과 관련한 지질학적인 사전 정보를 최대로 이용하게 된다.
정확한 지하구조를 영상화하기 위한 지구 물리적 물성 중 가장 중요한 것으로는 지하 매질의 탄성파 전파속도가 있다. 최근에는 이를 획득하기 위해서 측정 대상이 되는 일정한 지역에서 인위적으로 파동을 발생시키고 탄성파를 측정하여 측정된 탄성파 자료에 대해 시간영역 또는 주파수 영역의 파형 역산을 수행하여 지하 매질의 탄성파 속도를 얻고자 하는 연구가 다수 수행되고 있는 실정이다.
본 발명은 전술한 점을 고려하여 안출된 것으로, 실제 지하 구조와 유사한 속도 모델을 얻기 위해 현장 자료의 부족한 저 주파수 성분을 효율적으로 이용할 수 있는 지하 구조의 영상화 장치, 방법 및 기록매체를 제공하는데 그 목적이 있다.
전술한 목적은 라플라스-푸리에 영역(Laplace-Fourier domain)에서 파형 역산(waveform inversion)을 수행하는 것에 의해 달성될 수 있다.
라플라스 변환(Laplace transform) 또는 푸리에 변환(Fourier transform)이란 어떤 함수를 인자로 받아 다른 함수로 변환하는 것을 말하는데, 그 변환은 원래 함수에 지수항을 갖는 지수함수를 곱하고 이를 적분하는 형태로 이루어지는 것이 일반적이다. 이때, 라플라스 변환 시 곱해지는 지수함수의 지수항은 실수항이 되며, 푸리에 변환 시 곱해지는 지수함수의 지수항은 허수항이 된다. 즉, 본 발명의 일 양상에 따른 라플라스-푸리에 영역이란 변환을 수행할 때 곱해지는 지수함수의 지수항을 복소수로 이용하여 변환한 혼성 영역(hybrid domain)이 될 수 있다.
예컨대, 본 발명의 일 양상에 따라 지하 구조를 영상화할 때, 측정된 시간 영역의 신호에 지수감쇠함수를 곱하고 이것을 시간에 대해 적분하여 파형 역산의 영역을 변환하는 것이 가능하다. 이때, 지수감쇠함수는 복소수로 주어지는 감쇠 상수를 가지며, 이와 같이 복소수를 이용하여 라플라스-푸리에 영역에서 파형 역산을 수행하면, 감쇠 파장의 진폭(amplitude) 및 위상(phase) 정보를 모두 이용할 수 있게 된다.
보다 구체적으로, 본 발명의 일 양상에 따른 지하 구조의 영상화 장치는, 측정 대상 지역의 탄성파 신호를 수신하는 수신기와, 측정 대상 지역의 지하 구조를 영상화하기 위한 영상 데이터를 생성하기 위해 탄성파 신호를 처리하는 신호처리부를 포함할 수 있다.
이때, 신호처리부는, 수신기로부터 시간 영역의 측정 데이터를 입력받는 입력부; 복소수로 주어지는 감쇠 상수를 이용하여, 시간 영역의 측정 데이터를 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터로 변환하는 변환부; 측정 대상 지역의 특성을 나타내는 파라미터를 입력받아 상기 파라미터가 포함된 방정식을 설정하고, 상기 방정식을 라플라스-푸리에 영역에서 계산하여 모델링 데이터를 산출하는 모델링 데이터 생성부; 및 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터와 모델링 데이터를 비교하여 상기 파라미터를 업데이트하는 파라미터 업데이트부;를 포함할 수 있다.
상기 감쇠 상수는 실수 부분의 라플라스 감쇠 상수 및 허수 부분의 각 주파수로 구성될 수 있다.
또한, 상기 파라미터는 상기 측정 대상 지역에 관한 속도 모델, 속도/밀도 모델 또는 임피던스/밀도 모델을 포함할 수 있다.
또한, 상기 파라미터 업데이트부는 상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터와 상기 모델링 데이터 간의 차이를 나타내는 목적 함수를 생성하고, 상기 목적 함수를 감소시키는 방향으로 상기 파라미터를 업데이트하는 것이 가능하며, 목적 함수는 상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터 및 상기 모델링 데이터에 대해서 로그를 취한 값을 이용하여 정의될 수 있다.
또한, 본 발명의 다른 양상에 따라 상기 목적 함수는 각 데이터에 대하여 p 번 거듭제곱한 값 또는 p 번 거듭제곱한 값을 적분한 값을 이용하여 정의되는 것이 가능하며, 이때 p 값은 적어도 1.0 이하일 수 있다.
또한, 본 발명의 일 양상에 따라 상기 신호처리부는 최종적으로 업데이트된 상기 파라미터를 이용하여 상기 측정 대상 지역에 대한 영상 데이터를 생성하고 이를 디스플레이 장치에 표시되도록 하는 영상처리부;를 더 포함할 수 있다.
한편, 본 발명의 일 양상에 따른 지하 구조의 영상화 방법은, 측정 대상 지역으로부터 수신된 탄성파 자료를 처리하여 측정 대상 지역의 지하 구조를 영상화하는 방법에 있어서, 상기 측정 대상 지역으로부터 시간 영역의 측정 데이터를 입력받는 단계; 복소수로 주어지는 감쇠 상수를 이용하여, 상기 시간 영역의 측정 데이터를 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터로 변환하는 단계; 상기 측정 대상 지역의 특성을 나타내는 파라미터가 포함된 방정식을 설정하고, 상기 방정식을 상기 라플라스-푸리에 영역에서 계산하여 모델링 데이터를 산출하는 단계; 및 상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터와 상기 모델링 데이터를 비교하여 상기 파라미터를 업데이트하는 단계; 를 포함할 수 있다.
또한, 본 발명의 다른 양상에 따른 지하 구조의 영상화 방법은, 파형 역산을 이용하여 측정 대상 지역의 지하 구조를 영상화하는 방법에 있어서, 라플라스-푸리에 영역에서 상기 파형 역산을 수행하여 상기 측정 대상 지역의 중파장 또는 장파 장 성분을 갖는 속도 모델을 찾는 제 1 단계; 및 상기 제 1 단계에서 찾아진 속도 모델을 이용하여 주파수 영역에서 파형 역산을 수행하고 상기 측정 대상 지역의 단파장 성분을 갖는 속도 모델을 찾는 제 2 단계; 를 포함하는 것이 가능하다.
이때, 상기 제 1 단계는 측정 대상 지역으로부터 얻어진 시간 영역의 측정 파장을 라플라스-푸리에 영역의 파장으로 변환하는 과정을 포함할 수 있으며, 상기 변환은 복소수로 주어지는 감쇠 상수를 이용하여 수행되는 것이 가능하다.
또한, 본 발명의 일 양상에 따른 기록 매체에는 시간 영역의 측정 데이터를 입력받는 과정; 복소수로 주어지는 감쇠 상수를 이용하여, 상기 시간 영역의 측정 데이터를 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터로 변환하는 과정; 초기 파라미터가 포함된 방정식을 설정하고, 상기 방정식을 상기 라플라스-푸리에 영역에서 계산하여 모델링 데이터를 산출하는 과정; 및 상기 측정 데이터와 상기 모델링 데이터 간의 차이를 나타내는 목적 함수를 정의하고, 상기 목적 함수를 감소시키는 방향으로 상기 파라미터를 업데이트하는 과정;이 기록되는 것이 가능하다.
본 발명에 따른 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치, 방법 및 기록매체에 의하면,
라플라스-푸리에 영역에서 파형 역산을 수행하였기 때문에 감쇠 파장의 0 주파수 성분(zero frequency component) 및 저 주파수 성분(low frequency component)를 모두 이용할 수 있고, 이를 통해 장파장 정보 및 중파장 정보를 갖는 속도 모델을 안정적으로 얻을 수 있는 효과가 있다.
또한, 라플라스-푸리에 영역에서 파형 역산을 하여 얻어진 속도 모델을 주파수 영역 파형역산의 초기 속도 모델로 사용할 수 있기 때문에 실제 지하 구조와 매우 유사한 속도 모델을 얻을 수 있는 효과가 있다.
이하에서는 첨부한 도면을 참조하여 본 발명의 실시예를 상세히 설명한다. 본 발명을 설명함에 있어 관련된 공지 기능 또는 구성에 대한 구체적인 설명이 본 발명의 요지를 불필요하게 흐릴 수 있다고 판단되는 경우에는 그 상세한 설명을 생략할 것이다. 또한, 후술되는 용어들은 본 발명에서의 기능을 고려하여 정의된 용어들로서 이는 사용자, 운용자 의도 또는 관례 등에 따라 달라질 수 있다. 그러므로 그 정의는 본 명세서 전반에 걸친 내용을 토대로 내려져야 할 것이다.
본 발명의 실시예에 따른 파형 역산(waveform inversion)이란 현장에서 실제 측정된 자료를 토대로 지하 구조에 관한 정보(예컨대, 측정 대상 지역에 대한 속도 모델 또는 밀도 모델)를 유추하는 과정을 말한다. 이러한 파형 역산은 해석자가 임의의 지하구조 모델을 설정한 후 설정된 모델에 대한 이론값을 구하는 모델링(modeling) 과정을 수반할 수 있다.
예컨대, 본 발명의 실시예에 따른 파형 역산을 이용하여 지하 구조를 영상화 하는 경우, 모델링을 거쳐 계산된 이론값들과 실제 현장 탐사를 통해 얻어진 측정값들을 비교하여 새로운 지하 구조 모델을 만들고, 새로운 지하 구조 모델에 대한 이론값들을 다시 측정값들과 반복적으로 비교하여 그 오차를 최소화함으로써 실제 지하 구조와 유사한 지하 구조 모델을 얻는 것이 가능하다.
이러한 본 발명의 실시예에 따른 파형 역산은 측정 대상 지역의 지하 구조를 영상화하기 위한 영상 데이터를 생성하기 위해 각종 신호를 처리하는 계산 장치, 신호 처리 알고리즘이 기록된 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록 매체, 이러한 계산 장치 또는 기록 매체 등을 통해 지하 구조를 영상화하는 방법 등에 의해 구체화될 수 있다.
먼저, 도 1을 참조하여 본 발명의 실시예에 따른 파형 역산의 원리를 개략적으로 설명한다.
도 1에서, V는 지하 구조의 특성을 나타내며, S는 상기 V에 가하여진 입력을, D는 S가 V에 가하여졌을 때의 출력을 나타낸다.
파형 역산의 최종적인 목적은 측정된 D를 이용하여 지하 구조의 특성 V를 찾는 것이다. 한편, 지하 구조의 특성 중 탄성파의 속도 분포(즉, 속도 모델)가 파악되면 이를 통해 쉽게 지하 구조를 영상화할 수 있으므로 위 특성 V는 속도 분포인 것으로, 입력 S는 송신원 자료인 것으로, 출력 D는 탄성파 자료인 것으로 가정한다.
측정된 탄성파 자료 Dreal은 측정 대상 지역의 현장 탐사를 통해 실제로 얻을 수 있고, 추정된 탄성파 자료 Dest는 해당 지역을 모델링한 이론값(Vest, Sest)으로부터 얻는 것이 가능하다. 이때, 실제 측정된 탄성파 자료 Dreal과 추정된 탄성파 자료 Dest 간의 차이가 최소화되도록 초기에 추정된 속도 자료 Vest 및 송신원 자료 Sest를 업데이트하고 이러한 과정을 반복하면 결국 추정된 속도 분포 Vest를 실제의 속도 분포 Vreal과 동일시 할 수 있게 되는 것이다. 이때, 지하구조를 나타내는 V는 위와 같이 속도분포만을 나타낼 수도 있고, 속도/밀도, 임피던스, Lame 상수/밀도 분포를 나타낼 수도 있다.
도 2는 본 발명의 실시예에 따른 지하구조의 영상화 장치의 개략적인 구성을 도시한다.
도 2를 참조하면, 본 실시예에 따른 지하구조의 영상화 장치는 송신원(102), 수신기(101), 신호처리부(103) 및 디스플레이부(104)를 포함할 수 있다.
송신원(102)은 측정 대상 지역(105)으로 파동을 발생시키는 것이 가능하며, 수신기(101)는 측정 대상 지역(105)으로부터 전파되는 탄성파 신호를 수신할 수 있다. 신호처리부(103)는 수신기(101)로부터 상기 탄성파 신호를 수신하고 디스플레이부(104)로 측정 대상 지역(105)의 지하구조가 표시될 수 있도록 수신된 탄성파 신호를 처리하여 영상 데이터를 생성한다.
신호처리부(103)의 신호 처리 과정은 전술한 파형 역산을 이용하게 되는데, 본 실시예에 따른 신호처리부(103)는 상기 파형 역산을 라플라스-푸리에 도메인(Laplace-Fourier) 상에서 수행하는 것이 가능하다. 예컨대, 신호처리부(103)는 입력받은 시간 영역의 파장과 복소수로 주어지는 감쇠 상수 s를 갖는 지수감쇠함수(e- st)를 곱하고 이러한 감쇠 파장을 시간에 대하여 적분하여 영역 변환(domain transformation)을 하는 것이 가능하다.
신호처리부(103)의 파형 역산을 위한 라플라스-푸리에 영역에 대해 구체적으로 설명한다.
시간 영역의 파장에 대한 라플라스-푸리에 변환은 다음 식으로 나타낼 수 있다.
Figure 112008061870914-pat00001
상기 수학식 1에서, d(s)는 라플라스-푸리에 영역으로 변환된 데이터를, d(t)는 시간 영역의 데이터를 나타낸다. 또 s는 복소수로 주어지는 감쇠 상수로써, 실수 부분의 라플라스 감쇠 상수 σ와 허수 부분의 각 주파수 ω로 구성될 수 있다.
상기 수학식 1에서, s가 실수 범위(real number)에 있는 경우, 상기 변환은 일반적인 라플라스 변환과 동일하며 본 발명의 실시예에 따른 파형 역산에 적용하게 되면, 감쇠 파장(damped wavefield)의 0 주파수 성분(zero frequency component)를 이용하는 것이 가능하다.
상기 수학식 1에서, s가 복소수 범위(complex number)에 있는 경우, 상기 변환은 혼성 영역(hybrid domain)으로의 변환으로써, 일반적인 라플라스 영역으로의 변환과 구별을 위해 본 명세서에서는 라플라스-푸리에 변환이라고 지칭하였다. 즉, 라플라스-푸리에 변환은 라플라스 변환의 확장으로 볼 수 있는데, 라플라스-푸리에 영역에서의 파형 역산은 감쇠 파장의 0 주파수 성분뿐만 아니라 저 주파수 성분(low frequency component)까지도 이용하게 된다.
라플라스 영역의 파장과 라플라스-푸리에 영역의 파장을 비교하기 위해, 시간 영역의 파장을 v(t)라고 가정하면, 상기 v(t)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112008061870914-pat00002
또한, 이러한 시간 영역의 파장 v(t)를 상기 수학식 1을 이용하여 변환하면, 변환된 파장은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112008061870914-pat00003
수학식 3에서, 라플라스-푸리에 변환된 파장 v(s)는 시간 영역의 파장 v(t)의 진폭(a1, b1) 및 위상(ωc, ωs)에 관한 함수임을 알 수 있다. 여기서는 설명의 편의를 위해, 위 b1 및 ωs를 0으로 놓고 ωc가 20.0 또는 40.0인 경우를 가정하면, 상기 v(t)는 도 3과 같이 나타낼 수 있다.
도 4는 도 3의 파장을 라플라스 변환(즉, s=real number)한 결과를 도시한 것으로, 라플라스 감쇠 상수가 증가함에 따라 파장의 진폭이 증가하게 되며, 파장의 각 주파수에 따라 두 곡선의 기울기가 다르다는 것을 알 수 있다.
도 5는 도 3의 파장을 라플라스-푸리에 변환(즉, s=complex number)한 결과를 도시한 것으로, 도 4와 달리 등고선과 같은 형태로 진폭 및 위상 정보가 모두 나타나는 것을 알 수 있다.
도 5에서, 원래 함수는 20과 40의 주파수 성분만을 가지고 있지만, 라플라스-푸리에 영역으로 변환하여 도시한 진폭 및 위상에서 원래 함수의 주파수인 20과 40의 정보를 등고선의 형태로부터 찾아갈 수 있음을 알 수 있다. 이러한 점은 저주파수 성분이 거의 없는 현장 자료에 적용할 경우에도 라플라스-푸리에 변환을 통하여 저주파수 성분의 이용이 가능함을 나타내고 있다. 따라서, 라플라스-푸리에 영역에서의 파형 역산은 저주파수 성분을 활용하여 장파장(long-wavelength) 정보를 포함한 속도모델을 얻을 수 있다.
도 6은 라플라스 감쇠 상수 σ의 변화에 따른 라플라스-푸리에 변환 결과를 도시한다. 도 6에서, (a), (b), (c)는 시간 영역의 파장을, (d), (e), (f)는 라플라스-푸리에 변환된 파장의 주파수 스펙트럼을 각각 나타낸다. 도 6을 참조하면, 라플라스 감쇠 상수가 증가할수록 진폭 및 위상 스펙트럼이 점점 부드럽게 변하는 것을 알 수 있다. 특히 파형역산에서 일반적으로 이용되는 0Hz에서 5Hz 구간의 위상 스펙트럼이 라플라스 감쇠 상수에 따라서 변화가 큼을 볼 수 있다.
기존의 파형 역산은 시간 영역 또는 주파수 영역에서 수행되는 것이 일반적이었다. 그러나 실제 탐사 자료에는 낮은 주파수 성분이 거의 없기 때문에 이로부 터 장파장 정보를 얻는 데에는 한계가 있다. 그러나, 전술한 것처럼 파형 역산을 라플라스 영역 또는 라플라스-푸리에 영역에서 수행하면 0 주파수 부근의 낮은 주파수 성분도 이용할 수 있어서 보다 명확한 지하 구조의 정보를 얻을 수 있다.
다만, 라플라스 영역에서 파형 역산을 수행하면, 감쇠 파장(damped wavefield)의 0 주파수 성분(zero frequency component)을 이용하여 장파장 정보를 얻을 수 있는 장점이 있으나, 라플라스 영역에서의 파형 역산은 역산의 침투 깊이(penetration depth)가 탄성파 탐사 자료의 최대 오프셋 및 선택된 라플라스 감쇠 상수에 매우 민감하기 때문에 단지 부드러운(smooth) 형태의 속도 모델만 제공하는 면이 있다.
따라서 본 실시예에서는 라플라스 영역에서 파형 역산을 수행하되, 복소수로 주어지는 감쇠 상수를 이용하여 라플라스-주파수 영역의 혼성 영역에서 파형 역산을 수행하였다.
예컨대, 신호처리부(103)가 측정 대상 지역의 지하 구조를 영상화하기 위해 파형 역산을 이용하여 데이터를 처리할 때, 제 1 단계로 라플라스-푸리에 영역에서 파형 역산을 수행하여 측정 대상 지역의 속도 모델에 관한 중파장(medium-wavelength) 또는 장파장(long-wavelength) 성분을 찾은 이후, 제 2 단계로 제 1 단계에서 획득한 속도 모델을 주파수 영역에서 파형 역산의 초기 속도 모델로 설정하여 역산을 수행하여 속도 모델에 관한 단파장(short-wavelength) 성분을 찾는 것이 가능하다.
도 7은 본 발명의 실시예에 따른 신호처리부의 구체적인 구성을 도시한다.
제 1 입력부(201)는 수신기(101)와 연결되어 측정 대상 지역에 대한 시간 영역의 데이터를 입력받는다. 제 1 입력부(201)는 수신된 시간 영역의 데이터를 변환부(202)로 전달한다. 예컨대, 제 1 입력부(201)에서 변환부(202)로 전달되는 데이터는 상기 수학식 2와 같이 나타낼 수 있다.
변환부(202)는 입력받은 시간 영역의 데이터를 라플라스-푸리에 영역의 데이터로 변환한다. 예컨대, 변환부(202)는 복소수로 주어지는 감쇠 상수를 이용하여 수학식 1과 같이 데이터를 변환하는 것이 가능하다.
모델링 데이터 생성부(203)는 측정 대상 지역에 대한 모델링 데이터를 생성하는 기능을 수행한다. 예컨대, 상기 측정 대상 지역의 특성을 나타내는 파라미터가 제 2 입력부(204)로 입력되면, 파라미터 저장부(205)는 입력된 파라미터를 저장하고, 모델링 데이터 생성부(203)는 파라미터 저장부(205)에 저장된 파라미터를 수신하여 상기 파라미터가 포함된 방정식을 설정한 후, 상기 방정식을 라플라스-푸리에 영역에서 계산하여 모델링 데이터를 생성하는 것이 가능하다.
즉, 변환부(202)의 출력은 측정 데이터를 의미하고 모델링 데이터 생성부(203)의 출력은 추정 데이터인 것으로 볼 수 있다.
파라미터 업데이트부(206)는 변환부(202)의 출력, 즉 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터와 모델링 데이터 생성부(203)의 출력, 즉 라플라스-푸리에 영역의 모델링 데이터를 비교하여 파라미터 저장부(205)에 저장된 파라미터를 갱신한다. 이때, 파라미터 업데이터부(206)는 상기 측정 데이터와 모델링 데이터 간의 차이를 최소화시킬 수 있는 방향으로 기 저장된 파라미터를 업데이트하는 것이 가능하다.
이러한 기능을 구체적인 수식을 통해 살펴보기로 한다.
모델링 데이터 생성부(203)는 측정 대상 지역의 특성을 나타내는 파라미터가 반영된 파동방정식을 유한요소법 또는 유한차분법을 이용하여 다음과 같은 행렬방정식으로 표현할 수 있다.
Figure 112008061870914-pat00004
수학식 4에서, M, C, K는 각각 질량 행렬(mass matrix), 감쇠 행렬(damping matrix), 강성 행렬(stiffness matrix)를 나타낸다. 또한, u는 시간 영역의 파장을, f는 송신원 벡터(sourec vector)를 나타낸다. u` 또는 u``은 시간에 대한 미분을 의미한다. 이때, 측정 대상 지역의 특성을 나타내는 파라미터들은 상기 M, C, K 등에 반영되어 있다.
상기 수학식 4를 계산하여 방정식의 해 u를 구하면, u는 측정 대상 지역에 대한 모델링 데이터가 될 수 있다. 라플라스-푸리에 영역에서 위 해를 구하기 위해 상기 수학식 4를 다음과 같이 변환할 수 있다.
Figure 112008061870914-pat00005
라플라스-푸리에 영역에서 수학식 5의 해는 복소 임피던스 행렬 S를 인자화하고, 송신원 벡터에 대하여 정대입 또는 역대입을 수행하는 방식 또는 반복적인 행렬풀이법을 이용하여 간단하게 구할 수 있다.
이후, 파라미터 업데이트부(206)는 모델링 데이터 생성부(203)에서 얻어진 u(s)와 변환부(202)에서 얻어진 d(s)를 비교하여 그 차이가 최소화되도록 파라미터 저장부(205)에 저장된 파라미터를 갱신하게 되는데, 이를 위해 상기 d(s)와 u(s) 간의 차이를 나타내는 목적 함수 E를 정의하고 상기 목적 함수 E의 그래디언트를 이용하여 목적 함수 E를 감소시키는 방법으로 상기 파라미터를 업데이트하는 것이 가능하다.
예컨대, j번째 송신원에 의한 k번째 수신기의 i번째 라플라스-푸리에 주파수에 대한 d(s)와 u(s) 간의 차이는 로그를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112008061870914-pat00006
또한, 목적 함수 E는 다음과 같이 정의될 수 있다.
Figure 112008061870914-pat00007
수학식 7에서, nf는 역산에 관한 주파수의 개수를, ns 및 nr은 송신원 및 수신기의 개수를 각각 나타내며, * 는 켤레 복소수(complex conjugate)를 의미한다.
상기 목적 함수 E를 최소화하면서 파라미터를 업데이트하는 것은 최대경사법(steepest descent method)를 통해 이루어질 수 있으며, 주어진 복소 주파수에 대한 m번째 모델 파라미터 pm에 대한 최대경사방향은 다음과 같이 주어질 수 있다.
Figure 112008061870914-pat00008
상기 수학식 8은 가상 송신원 벡터를 이용한 유사 헤시안(pseudo-Hessian) 행렬의 대각 성분을 이용하여 정규화되며, 이렇게 구한 최대급경사 방향을 이용하여 다음과 같이 파라미터를 업데이트 시킬 수 있다.
Figure 112008061870914-pat00009
수학식 9에서, NRM은 정규화를, pm l은 l번 반복된 m번째 모델 파라미터를, λ는 감쇠 팩터(damping factor)를, α는 step length의 스케일 계수를 의미한다.
이와 같이 초기 파라미터에서 시작하여 반복적으로 최대경사방향의 스케일링된 업데이트 증분을 더하면, 목적 함수 E를 최소화하는 모델링 데이터를 얻을 수 있다.
목적 함수 E를 최소화하는 모델링 데이터에 반영된 파라미터는 업데이트를 통해 측정 대상 지역의 특성과 동일한 것으로 볼 수 있으므로, 영상 데이터 생성부(207)는 최종적으로 업데이트된 파라미터를 이용하여 측정 대상 지역에 대한 영상 데이터를 생성할 수 있다.
대안적으로, 목적 함수 E는 각각의 d(s) 및 u(s)를 p번 거듭제곱한 값의 차이 또는 p번 거듭제곱한 값을 적분한 값의 차이를 이용하여 정의되는 것도 가능하며, 이때 p 값은 1.0 보다 작을 수 있다. 또한 목적함수 E를 최소화하는 어떠한 수치해석기법도 이용될 수 있다.
도 8은 본 발명의 실시예에 따른 지하구조의 영상화 방법을 도시한다.
본 발명의 실시예에 따른 지하구조의 영상화 방법은 전술한 지하 구조의 영상화 장치에서 실행되거나 해당 영상화 장치에서 실행 가능한 기록 매체 등으로 구현될 수 있다.
도 8에서, 단계 S101은 측정 대상 지역으로부터 측정 데이터를 입력받는 단계이다. 상기 측정 데이터는 측정 대상 지역으로부터 반사된 탄성파 자료가 될 수 있으며, 상기 수학식 2와 같이 시간 영역의 파장으로 나타낼 수 있다.
측정 데이터는 단계 S102를 통해 라플라스-푸리에 영역의 데이터로 변환된다. 이러한 변환 과정은 상기 수학식 1을 통해 수행되는 것이 가능하며, 변환시 감쇠 상수 s는 라플라스 감쇠 상수 및 각 주파수로 구성되는 복소수가 이용될 수 있다.
한편, 단계 S103은 측정 대상 지역을 모델링하는 단계이다. 예컨대, 상기 단계 S103은 측정 대상 지역의 특성을 나타내는 파라미터를 이용하여 상기 수학식 5와 같은 행렬 방정식을 설정하고, 상기 방정식을 계산하여 모델링 데이터를 생성하는 과정이 될 수 있으며, 이를 위해 측정 대상 지역에 대한 초기 파라미터를 별도로 입력 받는 과정을 포함할 수 있다.
이어서, 단계 S104를 통해 라플라스-푸리에 영역에서 측정 데이터와 모델링 데이터 간의 차이를 반영하는 목적 함수를 생성한다. 예컨대, 상기 목적 함수는 각 데이터에 로그를 취한 값을 이용하여 상기 수학식 6 및 7과 같이 생성되는 것이 가능하다. 또한, 다른 예로써, 목적 함수는 각 데이터를 p 번 거듭제곱한 값을 이용하거나 p 번 거듭제곱한 값을 적분한 값을 이용하여 설정될 수 있다.
다음으로, 단계 S105 및 단계 S106을 통해 상기 목적 함수를 최소화하는 방향으로 초기 설정된 파라미터를 반복적으로 업데이트한다. 업데이트의 반복은 미리 임계값을 정해 놓고 업데이트된 파라미터를 이용하여 다시 생성된 목적 함수와 상기 임계값을 비교하여 목적 함수가 임계값 이하로 내려갈 때까지 계속될 수 있다.
예컨대, 단계 S105에서 목적 함수와 임계값을 비교하여, 목적 함수가 임계값 이하인 경우 단계 S107을 수행하고, 그렇지 아니한 경우 단계 S106에서 모델링 데이터를 생성하기 위한 파라미터를 업데이트하는 것이 가능하다. 이때의 파라미터 업데이트는 상기 목적 함수를 줄이는 방향으로 이루어 질 수 있다.
상기 과정을 거쳐 파라미터가 최종적으로 업데이트되면, 단계 S107에서 해당 파라미터를 이용하여 측정 대상 지역에 대한 영상 데이터를 생성한다. 예컨대, 측정 대상 지역의 속도 모델을 파라미터로 사용하고 상기 속도 모델을 계속적으로 업데이트 한 후 최종적으로 얻어진 속도 모델을 기초로 영상 데이터를 생성할 수 있다.
도 9는 BP model의 P파 속도 모델을 도시한다.
BP model이란 지하 구조 탐색 기술을 검증할 때 사용되는 가상의 지하 구조 모델을 말한다. 따라서, 측정 대상 지역이 도 9와 같은 구조를 갖는다고 가정한 후, 실제 측정 자료(이것은 BP model의 데이터 셋으로부터 얻을 수 있음)로부터 도 9와 동일하거나 유사한 구조를 구해내면, 지하 구조 탐색 기술의 유효성을 테스트할 수 있게 되는 것이다.
도 10은 BP model의 시간 영역의 파장을 도시한다.
이것은 BP model의 인위적인 데이터 셋으로부터 도출되는 것이 가능하다. 예컨대, 도 10은 측정 대상 지역에서 현장 탐사를 통해 실제 얻어지는 진동 기록과 동일한 것으로 볼 수 있다.
도 11은 상기 도 10에 대한 라플라스-푸리에 영역의 파장을 도시한다.
도 11에서, (a), (b), (c)는 라플라스 감쇠 상수, 즉 σ가 0, 1, 10일 경우 를 각각 나타낸다. 이때, 전술한 바와 같이, σ가 증가할수록 라플라스-푸리에 파장의 진폭 및 위상 스펙트럼이 점점 부드러워지는 것을 알 수 있다.
도 12는 파형 역산을 위한 초기 속도 모델의 일 예를 도시한다.
도 12를 참조하면, 본 발명의 실시예에 따른 초기 속도 모델은 깊이에 따라 선형적인 속도 분포를 갖는 것으로 설정되었다.
도 13은 본 발명의 실시예에 따른 최대 경사 방향을 도시한 것으로, 주파수 영역, 라플라스 영역 및 라플라스-푸리에 영역별로 최대 경사 방향을 나타냈다.
도 13에서, (a)는 주파수 영역의 최대 경상 방향을 나타낸 것으로, 단파장(short-wavelength) 정보를 보여준다. (b)는 라플라스 영역의 최대 경사 방향을 나타낸 것으로 장파장(long-wavelength) 정보를 보여준다. (c)는 라플라스-푸리에 영역의 최대 경사 방향을 나타낸 것으로 상기 (b)에 비해 짧은 파장의 정보, 예컨대, 중파장(medium-wavelenght)에 관한 정보까지 보여주는 것을 알 수 있다.
도 14는 본 발명의 실시예에 따른 파형 역산을 통해 최종 업데이트된 속도 모델의 일 예를 도시한 것으로, (a)는 주파수 영역에서, (b)는 라플라스 영역에서, (c)는 라플라스-푸리에 영역에서 파형 역산을 수행한 결과를 나타낸다.
도 15는 본 발명의 실시예에 따른 파형 역산을 통해 최종 업데이트된 속도 모델의 다른 예를 도시한 것이다. 도 15의 속도 모델은 도 14의 (c)에서 얻어진 속도 모델을 다시 초기 속도 모델로 간주하고 주파수 영역에서 파형 역산을 한 번 더 수행하여 얻어진 결과이다.
도 14 및 도 15를 참조하면, 본 발명의 실시예에 따라 얻어진 속도 모델은 최조 실제 속도 모델이라고 가정하였던 도 9와 매우 유사함을 알 수 있다. 특히, 실제 자료에 포함되지 않은 장파장 정보를 분석할 수 있는 라플라스 영역에서의 파형 역산을 확장하여 장파장 또는 중파장 정보까지 분석할 수 있도록 라플라스-푸리에 영역에서 파형 역산을 수행하여 실제 지하 구조에 근접한 지하 구조 모델을 얻을 수 있다. 또한, 라플라스-푸리에 영역에서 파형 역산을 수행하여 얻어진 지하 구조 모델에 대하여 다시 한번 주파수 영역에서 파형 역산을 수행함으로써 단파장 정보까지 분석하는 것이 가능하므로 더욱 실제 구조와 유사한 자료를 얻을 수 있게 된다.
이상에서 본 발명의 실시예에 대하여 설명하였으나 본 발명은 상술한 특정의 실시예에 한정되지 아니한다. 즉, 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가지는 자라면 첨부된 특허청구범위의 사상 및 범주를 일탈함이 없이 본 발명에 대한 다수의 변경 및 수정이 가능하며, 그러한 모든 적절한 변경 및 수정의 균등물들도 본 발명의 범위에 속하는 것으로 간주되어야 할 것이다.
도 1은 본 발명의 실시예에 따른 파형 역산의 원리를 도시한다.
도 2는 본 발명의 실시예에 따른 지하구조 영상화 장치의 개략적인 구성을 도시한다.
도 3은 본 발명의 실시예에 따라 현장에서 얻어진 측정 자료를 도시한다.
도 4는 도 3의 측정 자료를 라플라스 변환한 결과를 도시한다.
도 5 및 도 6은 도 3의 측정 자료를 라플라스-푸리에 변환한 결과를 도시한다.
도 7은 본 발명의 실시예에 따른 신호처리부의 개략적인 구성을 도시한다.
도 8은 본 발명의 실시예에 따른 지하구조 영상화 방법을 도시한다.
도 9는 본 발명의 실시예에 따른 BP 모델의 P파 속도 모델을 도시한다.
도 10은 도 9에 대한 시간 영역의 파장을 도시한다.
도 11은 도 10에 대한 라플라스-푸리에 영역의 파장을 도시한다.
도 12는 본 발명의 실시예에 따른 초기 속도 모델을 도시한다.
도 13은 본 발명의 실시예에 따른 최대경사방향을 도시한다.
도 14는 본 발명의 실시예에 따른 파형 역산을 통해 최종 업데이트된 속도 모델의 일 예를 도시한다.
도 15는 본 발명의 실시예에 따른 파형 역산을 통해 최종 업데이트된 속도 모델의 다른 예를 도시한다.
<도면의 주요부호에 대한 설명>
101 : 수신기 102 : 송신원
103 : 신호처리부 104 : 디스플레이부
201 : 제 1 입력부 202 : 변환부
203 : 모델링 데이터 생성부 204 : 제 2 입력부
205 : 파라미터 저장부 206 : 파라미터 업데이트부
207 : 영상 데이터 생성부

Claims (20)

  1. 측정 대상 지역의 탄성파 신호를 수신하는 수신기와, 상기 측정 대상 지역의 지하 구조를 영상화하기 위한 영상 데이터를 생성하기 위해 상기 탄성파 신호를 처리하는 신호처리부를 포함하는 지하 구조의 영상화 장치에 있어서,
    상기 신호처리부는,
    상기 수신기로부터 시간 영역의 측정 데이터를 입력받는 입력부;
    복소수로 주어지는 감쇠 상수를 이용하여, 상기 시간 영역의 측정 데이터를 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터로 변환하는 변환부;
    상기 측정 대상 지역의 특성을 나타내는 파라미터를 입력받아 상기 파라미터가 포함된 방정식을 설정하고, 상기 방정식을 상기 라플라스-푸리에 영역에서 계산하여 모델링 데이터를 산출하는 모델링 데이터 생성부; 및
    상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터와 상기 모델링 데이터를 비교하여 상기 파라미터를 업데이트하는 파라미터 업데이트부; 를 포함하는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 감쇠 상수는 실수 부분의 라플라스 감쇠 상수 및 허수 부분의 각 주파수를 포함하는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지 하 구조의 영상화 장치.
  3. 제 1 항에 있어서,
    상기 변환부는 수신된 시간 영역의 측정 파장과 복소수로 주어지는 감쇠 상수를 갖는 지수감쇠함수를 곱하고 이를 시간에 대하여 적분하는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치.
  4. 제 1 항에 있어서,
    상기 파라미터는 상기 측정 대상 지역에 관한 속도 모델을 포함하는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치.
  5. 제 1 항에 있어서,
    상기 파라미터 업데이트부는 상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터와 상기 모델링 데이터 간의 차이를 나타내는 목적 함수를 생성하고, 상기 목적 함수를 감소시키는 방향으로 상기 파라미터를 업데이트하는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치.
  6. 제 5 항에 있어서,
    상기 목적 함수는 상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터 및 상기 모델링 데이터 각각에 로그를 취한 값을 이용하여 정의되는 것을 특징으로 하는 라플라수-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치.
  7. 제 5 항에 있어서,
    상기 목적 함수는 상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터 및 상기 모델링 데이터 각각을 p 번 거듭제곱한 값 또는 p 번 거듭제곱한 값을 적분한 값을 이용하여 정의되는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치.
  8. 제 7 항에 있어서,
    상기 p 값은 적어도 1.0 이하인 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치.
  9. 제 1 항에 있어서,
    상기 신호처리부는 최종적으로 업데이트된 상기 파라미터를 이용하여 상기 측정 대상 지역에 대한 영상 데이터를 생성하고 이를 디스플레이 장치에 표시되도록 하는 영상처리부; 를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치.
  10. 측정 대상 지역으로부터 수신된 탄성파 자료를 처리하여 상기 측정 대상 지역의 지하 구조를 영상화하는 방법에 있어서,
    상기 측정 대상 지역으로부터 시간 영역의 측정 데이터를 입력받는 단계;
    복소수로 주어지는 감쇠 상수를 이용하여, 상기 시간 영역의 측정 데이터를 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터로 변환하는 단계;
    상기 측정 대상 지역의 특성을 나타내는 파라미터가 포함된 방정식을 설정하고, 상기 방정식을 상기 라플라스-푸리에 영역에서 계산하여 모델링 데이터를 산출하는 단계; 및
    상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터와 상기 모델링 데이터를 비교하여 상기 파라미터를 업데이트하는 단계; 를 포함하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 방법.
  11. 제 10 항에 있어서,
    상기 변환 단계는 다음 수학식에 의하여 수행되며,
    Figure 112008061870914-pat00010
    상기 수학식에서, d(s)는 상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터를, d(t)는 상기 시간 영역의 측정 데이터를, s는 상기 감쇠 상수를, σ는 라플라스 감쇠 상수를, ω는 각 주파수를 나타내는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 방법.
  12. 제 10 항에 있어서,
    상기 파라미터를 업데이트하는 단계는 상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터와 상기 모델링 데이터 간의 차이를 나타내는 목적 함수를 정의하고, 상기 목적 함수를 감소시키는 방향으로 상기 파라미터를 업데이트하는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 방법.
  13. 제 12 항에 있어서,
    상기 목적 함수는 상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터 및 상기 모델링 데이터 각각에 로그를 취한 값을 이용하여 정의되는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 방법.
  14. 제 12 항에 있어서,
    상기 목적 함수는 상기 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터 및 상기 모델링 데이터 각각을 p 번 거듭제곱한 값 또는 p 번 거듭제곱한 값을 적분한 값을 이용하여 정의되는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 방법.
  15. 제 14 항에 있어서,
    상기 p 값은 적어도 1.0 이하인 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 방법.
  16. 제 10 항에 있어서,
    최종적으로 업데이트된 상기 파라미터를 이용하여 상기 측정 대상 지역의 지하구조를 영상화하여 출력하는 단계; 를 더 포함하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 방법.
  17. 파형 역산을 이용하여 측정 대상 지역의 지하 구조를 영상화하는 방법에 있어서,
    라플라스-푸리에 영역에서 상기 파형 역산을 수행하여 상기 측정 대상 지역의 중파장 또는 장파장 성분을 갖는 속도 모델을 찾는 제 1 단계; 및
    상기 제 1 단계에서 찾아진 속도 모델을 이용하여 주파수 영역에서 파형 역산을 수행하고 상기 측정 대상 지역의 단파장 성분을 갖는 속도 모델을 찾는 제 2 단계; 를 포함하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 방법.
  18. 제 17 항에 있어서,
    상기 제 1 단계는 측정 대상 지역으로부터 얻어진 시간 영역의 측정 파장을 라플라스-푸리에 영역의 파장으로 변환하는 과정을 포함하며,
    상기 변환은 복소수로 주어지는 감쇠 상수를 이용하여 수행되는 것을 특징으로 하는 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 방법.
  19. 제 17 항에 있어서,
    상기 파형 역산은 상기 속도 모델을 얻기 위하여 감쇠 파장의 진폭 및 위상 정보를 모두 이용하는 것을 특징으로 하는 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 방법.
  20. 측정 대상 지역의 탄성파 신호를 수신하는 수신기와, 상기 측정 대상 지역의 지하 구조를 영상화하기 위한 영상 데이터를 생성하기 위해 상기 탄성파 신호를 처리하는 신호처리부를 포함하는 지하 구조의 영상화 장치의 지하 구조 영상화 프로그램을 기록한 컴퓨터 판독 가능한 기록매체에 있어서,
    시간 영역의 측정 데이터를 입력받는 과정;
    복소수로 주어지는 감쇠 상수를 이용하여, 상기 시간 영역의 측정 데이터를 라플라스-푸리에 영역의 측정 데이터로 변환하는 과정;
    초기 파라미터가 포함된 방정식을 설정하고, 상기 방정식을 상기 라플라스-푸리에 영역에서 계산하여 모델링 데이터를 산출하는 과정; 및
    상기 측정 데이터와 상기 모델링 데이터 간의 차이를 나타내는 목적 함수를 정의하고, 상기 목적 함수를 감소시키는 방향으로 상기 파라미터를 업데이트하는 과정; 을 포함하는 지하 구조 영상화 프로그램이 기록된 컴퓨터로 판독 가능한 기록매체.
KR1020080085356A 2008-05-06 2008-08-29 라플라스-푸리에 영역의 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치, 방법 및 기록매체 KR100966904B1 (ko)

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