JP2007064018A - フランシス形ランナ及び水力機械 - Google Patents

Abstract

【課題】 設計点の摩擦損失を増加させることなく、２次流れに起因した非設計点の水力損失発生を抑制するフランシス形ランナを提供すること。
【解決手段】 回転軸に固着されたクラウン８とリング状のバンド９との間に周方向に複数のランナ羽根１０が設けられたフランシス形ランナに関する。子午断面におけるランナ羽根の後縁のバンド側縁線及びクラウン側縁線の少なくとも一方が、上記縁線１０ａとバンドとの交点或いは縁線１０ａとクラウンとの交点にてバンド或いはクラウンの内面に対して鉛直に立てた線よりも上流側にあり、且つ下流側に向かって凹曲状に形成されている。
【選択図】 図１

Description

本発明は、フランシス形水車またはポンプ水車等の水力機械に用いられるフランシス形ランナ及び水力機械に関する。

一般に、フランシス形水車またはポンプ水車等の水力機械に用いられるフランシス形ランナは、主軸の軸線を中心に回転可能なクラウンを有し、そのクラウンと離間して設けられたリング状のバンドと上記クラウンの間に、そのクラウン及びバンドを接続するように周方向に複数の板状のランナ羽根が設けられて構成されている。そして、水車運転時にはクラウンとバンドとの間に外方から水を導入し、導入された水の作用により主軸の軸線を中心にフランシス形ランナを回転させ、主軸に連結された発電機を駆動する。

図３０はフランシス形水車が据え付けられた水力発電所のフランシス形水車近傍の縦断面図であり、発電運転時には、水は図示省略の上池から水圧鉄管を通り、ケーシング１からステーベーン２およびガイドベーン３を通ってランナ４に流れ込み、その水流によってランナ４が回転駆動され、主軸５を介して発電機６が駆動される。一方、ランナ４を駆動した水は吸出し管７を経て図示省略の放水路へと流出する。本運転時にはガイドベーン３の開度を変化させることにより、ランナ４に流入する水量を調整し、発電量を変化させている。なお、フランシス型ランナは、主軸５に固着されたクラウン８と、リング状のバンド９と、上記クラウン８とバンド９とを接続するように配設された複数枚のランナ羽根１０から形成されている。

ところで、前述したように運転時には発電量を調整するために、ガイドベーン３の開度を調整し水量を変化させるため、ランナ４内の流れは運転状態により大きく変化する。図３１は水量の違いによるランナ４内の子午面流れの模式を示したものである。即ち、ランナ４の子午面流れは、流れを内周側に押し込もうとする水流の動圧力１１と、流れを外周側に押し出そうとするランナ４の回転による遠心力１２のバランスにより決まるため、設計点（発電効率を最高にしたい点）より水量の小さな運転点では、図３１（ｂ）に示すように、遠心力１２が相対的に大きくなり流れが外周側に偏り、中心部に図３１（ａ）に示す設計点に比較して広い死水領域１３が形成され、設計点（発電効率を最高にしたい点）より水量の大きな運転点では、図３１（ｃ）に示すように、遠心力１２が相対的に小さくなり流れが内周側に偏り、外周側に死水領域１３が形成される。

上述した流れの偏りは２次流れと称され、非設計点において、ランナ４内で発生する水力損失の主因となっている。このような、非設計点の２次流れを低減する方法としては、図３２のように、クラウン８とバンド９との間の入口側流路に、クラウン８とバンド９の半径方向長さより短い整流羽根１４をほぼ平行に複数枚ランナ羽根１０から突設する方法が提案されている（例えば特許文献１）。また図３３のようにランナ羽根１０の相互間にランナ羽根よりも翼長が短い中間羽根１５を設ける方法も提案されている（例えば特許文献２）。この様な整流羽根１４や中間羽根１５の整流効果により、設計点より水量の小さな運転点や設計点より水量の大きな運転点では、ランナ４の子午面内流れの偏りが緩和され、２次流れを低減することが出来る。
特開平８−２９６５４４号公報 特開昭５７−１２６５６６号公報

しかしながら、上述したフランシス形ランナにおいては、２次流れが弱い設計点流れでは、整流羽根１４や中間羽根１５による整流効果が小さく、整流羽根１４や中間羽根１５が摩擦抵抗として強く作用する。このため、非設計点の２次流れ損失は低減されるが、設計点の摩擦損失が増加することが課題であった。

本発明は上述した課題を解決するためになされたものであり、設計点の摩擦損失を増加させることなく、２次流れに起因した非設計点の水力損失発生を抑制するフランシス形ランナ及び水力機械を提供することを目的とする。

本願の第１の発明は、回転軸に固着されたクラウンとリング状のバンドとの間に周方向に複数のランナ羽根が設けられたフランシス形ランナにおいて、子午線断面におけるランナ羽根の後縁のバンド側縁線及びクラウン側縁線の少なくとも一方が、上記縁線とバンドとの交点或いは縁線とクラウンとの交点にてバンド或いはクラウンの内面に対して鉛直に立てた線よりも上流側にあり、且つ下流側に向かって凹曲状に形成されていることを特徴とする。

また第２の発明は、回転軸に固着されたクラウンとリング状のバンドとの間に周方向に複数のランナ羽根が設けられたフランシス形ランナにおいて、子午線断面におけるランナ羽根の後縁の縁線のバンド付根部位及びクラウン付根部位の少なくとも一方に、下流側に延びるとともに下流側に向かって凹曲状に形成されたフィレットを取付けたことを特徴とする。

上記構成により、設計点の摩擦損失を増加させることなく、設計点より水量の大きな運転点或いは設計点より水量の少ない運転点の子午面内の２次流れが効果的に低減され、２次流れに起因した非設計点の水力損失発生を抑制することができる。

以下、本発明に係るフランシス形ランナの実施の形態について、図面を参照して説明する。

（第１の実施形態）
まず、図１は第１の実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面を示しており、水車ランナは、クラウン８、バンド９、及びランナ羽根１０から形成されている。本実施の形態においては、図１に示されるように、子午断面においてランナ羽根１０の後縁の縁線１０ａのバンド側形状が、縁線１０ａとバンド９との交点Ｐ１ｂにてバンド９に対し鉛直に立てた線１６よりも上流側にあり、且つ下流側に向かって凹曲状に形成されている点を特徴としている。

このように構成された本実施の形態においては、ランナ羽根後縁近傍に形成されるよどみ点１７で静圧が急激に回復して静圧値が大きくなるため、図２に示されるようにランナ羽根出口のバンド側近傍領域では内周側から外周側へかけて圧力が低下する圧力勾配１８が形成される。この圧力勾配は羽根出口部位のバンド側流れを外周側すなわちバンド側に押し付けるように作用するので、設計点より水量の大きな運転点で発生する外周側の死水領域１３の大きさが低減される。したがって、本実施の形態によれば、図３に示すように、設計点より水量の大きな運転点における子午面内の２次流れが低減され、水力損失発生を抑制することができる。

なお、本実施の形態による発明を効果的に機能させるためは、図４に示すように、回転軸の軸線を含む子午面におけるランナ羽根の後縁の縁線１０ａとバンド９との交点をＰ１ｂ、Ｐ１ｂにてバンド９に対し鉛直に立てた線１６とランナ羽根の後縁の縁線１０ａとの交点をＰ２ｂ、Ｐ１ｂとＰ２ｂとの間に形成される直線Ｌｂの長さをＬＬｂ、直線Ｌｂとランナ羽根の後縁の縁線１０ａとの距離の最大値をｓｂとする時、ｓb／ＬＬｂの値を適正にする必要がある。即ち、ｓb／ＬＬｂの値は０より大きい程、バンド側の子午面内流れを外周側へ押し付ける力１８が強くなるが、図５に示す様に、これに伴い羽根出口中央部付近ではこれとは逆に子午面流れを内周側に押し付ける力１９も強くなる。このため、ｓb／ＬＬｂの値を極度に大きくすると、羽根中央部付近で流れが剥離２０し、２次流れ損失がかえって増大することになる。図６に流れ解析で算定した、ｓb／ＬＬｂと２次流れ損失の関係を示す。本図より、０＜ｓb／ＬＬｂ＜０．１５の領域では、ランナ内の２次流れ損失を低減できていることが分かる。従って、本実施の形態において、
０＜ｓb／ＬＬｂ＜０．１５
と数値限定することで、設計点より水量の大きな運転点の子午面内の２次流れが効果的に低減され、水力損失発生を抑制することができる。

（第２の実施形態）
次に、本発明に係るフランシス形ランナの第２の実施の形態を図７乃至９を用いて説明する。なお、第１の実施の形態と同一の構成には同一の符号を付し、重複する説明は省略する。

図７は本発明における第２の実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面を示している。本実施の形態が従来の水車ランナと異なるのは、図７に示されるように、子午断面においてランナ羽根の後縁の縁線１０ａのクラウン側形状が、縁線１０ａとクラウン８の内面との交点Ｐ１ｃにてクラウン８に対し鉛直に立てた線２１よりも上流側にあり、且つその縁線１０ａが下流側に向かって凹曲状に形成されていることである。

このように構成された本実施の形態においては、ランナ羽根後縁近傍に形成されるよどみ点１７で静圧が急激に回復して静圧値が大きくなるため、図８に示されるようにランナ羽根出口クラウン側近傍領域では外周側から内周側へかけて圧力が低下する圧力勾配１９が形成される。本圧力勾配は羽根出口部位のクラウン側流れを内周側に押し付ける様に作用するので、設計点より水量の小さな運転点で発生する内周側の死水領域１３の大きさが低減される。したがって、本実施の形態によれば、設計点より水量の小さな運転点の子午面内の２次流れが低減され、水力損失発生を抑制することができ、図９に示すように、設計点より水量の小さな運転点での水力効率を向上させることができる。

なお、本実施の形態による発明を効果的に機能させるためは、図１０に示すように、子午面にてランナ羽根の後縁の縁線１０ａとクラウン８との交点をＰ１ｃ、Ｐ１ｃにてクラウン８の内面に対し鉛直に立てた線２１とランナ羽根の後縁の縁線１０ａとの交点をＰ２ｃ、Ｐ１ｃとＰ２ｃとの間に形成される直線Ｌｃの長さをＬＬｃ、直線Ｌｃとランナ羽根の後縁の縁線１０ａとの距離の最大値をｓｃとする時、ｓｃ／ＬＬｃの値を適正にする必要がある。即ち、ｓｃ／ＬＬｃの値は０より大きい程、クラウン側の子午面内流れを内周側へ押し付ける力１９が強くなるが、図１１に示す様に、これに伴い羽根出口中央部付近ではこれとは逆に子午面流れを外周側に押し付ける力１８も強くなる。このため、ｓｃ／ＬＬｃの値を極度に大きくすると、羽根中央部付近で流れが剥離２０し、２次流れ損失がかえって増大することになる。図１２に流れ解析で算定した、ｓｃ／ＬＬｃと２次流れ損失の関係を示す。本図より、０＜ｓｃ／ＬＬｃ＜０．１５の領域では、ランナ内の２次流れ損失を低減できていることが分かる。従って、本実施の形態において
０＜ｓｃ／ＬＬｃ＜０．１５
と数値限定することで、設計点より水量の小さな運転点の子午面内の２次流れが効果的に低減され、水力損失発生を抑制することができる。

（第３の実施形態）
図１３は本発明の第３の実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面を示している。本実施の形態が従来の水車ランナと異なるのは、図１３に示される様に、子午断面においてランナ羽根１０の後縁の縁線１０ａのクラウン側形状が、縁線１０ａとクラウン８の内面との交点Ｐｃにてクラウンの内面に対し鉛直に立てた線２１よりも上流側にあり、且つ、子午断面においてランナ羽根１０の後縁の縁線１０ａのバンド側形状が、縁線１０ａとバンド９との交点Ｐｂにてバンドに対し鉛直に立てた線１６よりも上流側にあり、しかも上記縁線１０ａが下流方向に向かって凹曲状に形成されていることである。

本第３の実施の形態は、第１及び第２の実施の形態を組み合わせたものである。したがって、両者の相乗効果により、非設計点のランナ内の２次流れが低減され、水力損失発生を抑制することができ、図１４に示すように、設計点より水量が大きい運転点及び小さな運転点での水力効率を向上させることができる。

なお、本実施例による発明を効果的に機能させるためは、図１５に示すように、子午面にてランナ羽根の後縁の縁線１０ａとバンド１０との交点をＰｂ、ランナ羽根の後縁の縁線１０ａとクラウン８との交点Ｐｃ、ＰｂとＰｃとの間に形成される直線Ｌの長さをＬＬ、直線Ｌとランナ羽根の後縁の縁線１０ａとの距離の最大値をｓとする時、ｓ／ＬＬの値を適正にする必要がある。即ち、ｓ／ＬＬの値は０より大きい程、クラウン側の子午面内流れを内周側へ押し付ける力１９とバンド側の子午面流れを外周側へ押し付ける力１８が強くなる。しかしながら、図１６に示す様に、ｓ／ＬＬの値を極度に大きくすると、羽根中央部付近で流れが剥離２０し、２次流れ損失がかえって増大することになる。図１７に流れ解析で算定した、ｓ／ＬＬと２次流れ損失の関係を示す。本図より、０＜ｓ／ＬＬ＜０．１５の領域では、ランナ内の２次流れ損失を低減できていることが分かる。

したがって、本実施の形態において
０＜ｓ／ＬＬ＜０．１５
と数値限定することで、非設計点の子午面内の２次流れがより効果的に低減され、水力損失発生を抑制することができる。

（第４の実施形態）
次に、本発明に係るフランシス形ランナの第４の実施の形態を図１８，１９を用いて説明する。なお、第１乃至第３の実施の形態と同一の構成には同一の符号を付し、重複する説明は省略してある。

図１８は第４の実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面を示している。本実施に形態が従来の水車ランナと異なるのは、図１８に示される様に、子午断面においてランナ羽根１０の後縁の縁線１０ａのバンド付根部位に、下流側にのびるフィレット２２が取付けられていることである。

このように構成された本実施の形態においては、ランナ羽根後縁近傍に形成されるよどみ点１７で静圧が急激に回復して静圧値が大きくなるため、第１の実施の形態と同様に、図１９に示される如くランナ羽根出口バンド側近傍領域では内周側から外周側へかけて圧力が低下する圧力勾配１８が形成される。そして、この圧力勾配は羽根出口部位のバンド側流れを外周側に押し付ける様に作用するので、設計点より水量の大きな運転点で発生する外周側の死水領域１３の大きさが低減される。従って、本実施の形態によれば、設計点より水量の大きな運転点の子午面内の２次流れが低減されるので、水力損失発生を抑制することができ、図２０に示すように、設計点より水量の大きな運転点での水力効率を向上させることができる。

なお、本実施の形態を効果的に機能させるためは、図２１に示すように、子午面におけるランナ羽根の後縁の縁線１０ａとバンド９との交点をＰｂ、ランナ羽根の後縁の縁線１０ａとクラウン８の内面との交点をＰｃ、ＰｂとＰｃとの間に形成される直線の長さをＬＬ、バンド付根部位のフィレット２２の曲率半径をＲｂとする時、Ｒｂ／ＬＬの値を適正にする必要がある。即ち、Ｒｂ／ＬＬの値は０より大きい程、バンド側の子午面内流れを外周側へ押し付ける力１８が強くなる。しかしながら、Ｒｂ／ＬＬの値が極度に小さいと、バンド側の子午面内流れを外周側へ押し付ける力１８が弱く、二次流れ損失低減の明確な効果が現れない。また、Ｒｂ／ＬＬの値を極度に大きくすると、本作用が子午面流路全域に影響を与える様になり、クラウン側の子午面内流れをも外周側に押しやる様に作用し、設計点より水量の大きな運転点の２次流れ損失は減少するが、設計点より水量の小さな運転点の２次流れ損失は増加してしまう。図２２に流れ解析で算定した、Ｒｂ／ＬＬと各運転点での２次流れ損失の関係を示す。本図より、０．０５＜Ｒｂ／ＬＬ＜０．３の領域では、設計点より水量の小さな運転点の２次流れ損失が増加することなく、設計点より水量の大きな運転点の２次流れ損失を低減できていることが分かる。従って、本実施の形態において、
０．０５＜Ｒｂ／ＬＬ＜０．３
と数値限定することで、設計点より水量の大きな運転点の子午面内の２次流れが効果的に低減され、水力損失発生を抑制することができる。

（第５の実施形態）
次に、本発明に係るフランシス形ランナの第５の実施の形態を図２３、２４を用いて説明する。なお、第１乃至第４の実施の形態と同一の構成には同一の符号を付し、重複する説明は省略する。

図２３は本第５の実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面を示している。本実施の形態が従来の水車ランナと異なるのは、図２３に示されるように、子午断面においてランナ羽根１０の後縁の縁線１０ａのクラウン付根部位に、下流側にのびるフィレット２３を取付けたことである。

このように構成された本実施の形態においては、ランナ羽根後縁近傍に形成されるよどみ点１７で静圧が急激に回復して静圧値が大きくなるため、第２の実施の形態と同様に、図２４に示される如くランナ羽根出口クラウン側近傍領域では外周側から内周側へかけて圧力が低下する圧力勾配１９が形成される。そして、この圧力勾配は羽根出口部位のクラウン側流れを内周側に押し付ける様に作用するので、設計点より水量の小さな運転点で発生する内周側の死水領域１３の大きさが低減される。従って、本実施の形態によれば、設計点より水量の小さな運転点の子午面内の２次流れが低減されるので、水力損失発生を抑制することができ、図２５に示すように、設計点より水量の小さな運転点での水力効率を向上させることができる。

なお、本実施の形態を効果的に機能させるためは、図２６に示すように、子午面におけるランナ羽根１０の後縁の縁線１０ａとバンド９との交点をＰｂ、ランナ羽根の後縁の縁線１０ａとクラウン８との交点をＰｃ、ＰｂとＰｃとの間に形成される直線の長さをＬＬ、クラウン付根部位のフィレット２３の曲率半径をＲｃとする時、Ｒｃ／ＬＬの値を適正にする必要がある。即ち、Ｒｃ／ＬＬの値は０より大きい程、クラウン側の子午面内流れを内周側へ押し付ける力１９が強くなる。しかしながら、Ｒｃ／ＬＬの値が極度に小さいと、クラウン側の子午面内流れを内周側へ押し付ける力１９が弱く、二次流れ損失低減の明確な効果が現れない。また、Ｒｃ／ＬＬの値を極度に大きくすると、本作用が子午面流路全域に影響を与える様になり、バンド側の子午面内流れをも内周側に押しやる様に作用し、設計点より水量の小さな運転点の２次流れ損失は減少するが、設計点より水量の大きな運転点の２次流れ損失は増加してしまう。図２７に流れ解析で算定した、Ｒｃ／ＬＬと各運転点での２次流れ損失の関係を示す。本図より、０．０５＜Ｒｃ／ＬＬ＜０．３の領域では、設計点より水量の大きな運転点の２次流れ損失が増加することなく、設計点より水量の小さな運転点の２次流れ損失を低減できていることが分かる。従って、本実施の形態において
０．０５＜Ｒｃ／ＬＬ＜０．３
と数値限定することで、設計点より水量の小さな運転点の子午面内の２次流れが効果的に低減され、水力損失発生を抑制することができる。

（第６の実施形態）
次に、本発明に係るフランシス形ランナの第６の実施の形態を図２８を用いて説明する。なお、第１乃至第５の実施の形態と同一の構成には同一の符号を付し、重複する説明は省略する。

図２８は本実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面を示している。本実施の形態が従来の水車ランナと異なるのは、図２８に示されるように、子午断面においてランナ羽根１０の後縁の縁線１０ａのクラウン付根部位とバンド付根部位に、下流側に延びるとともに下流側に向かって凹曲状に形成されたフィレット２３、２２を取付けたことことである。

本実施の形態は、第４及び第５の実施の形態を組み合わせたものである。したがって、両者の相乗効果により、非設計点のランナ内の２次流れがより効果的に低減され、水力損失発生を抑制することができ、図２９に示すように、設計点より水量の小さな運転点及び大きな設計点での水力効率を向上させることができる。

本発明における第１の実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面図。 第１の実施の形態のフランシス形水車ランナの内部流れ模式図。 第１の実施の形態における水力効率の変化を示す図。 第１の実施の形態における各部寸法の説明図。 第１の実施の形態のフランシス形水車ランナの内部流れ模式図。 第１の実施の形態のフランシス形水車ランナのｓｂ／ＬＬｂと２次流れ損失相関図。 第２の実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面図 第２の実施の形態のフランシス形水車ランナの内部流れ模式図 第２の実施の形態における水力効率の変化を示す図。 第２の実施の形態における各部寸法の説明図。 第２の実施の形態のフランシス形水車ランナの内部流れ模式図 第２の実施の形態のフランシス形水車ランナのｓｃ／ＬＬｃと２次流れ損失相関図 第３の実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面図 第３の実施の形態における水力効率の変化を示す図。 第３の実施の形態における各部寸法の説明図。 第３の実施の形態のフランシス形水車ランナの内部流れ模式図 第３の実施の形態のフランシス形水車ランナのｓ／ＬＬと２次流れ損失相関図 第４の実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面図 第４の実施の形態のフランシス形水車ランナの内部流れ模式図 第４の実施の形態における水力効率の変化を示す図。 第４の実施の形態における各部寸法の説明図。 第４の実施の形態のフランシス形水車ランナのＲｂ／ＬＬと２次流れ損失相関図 第５の実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面図 第５の実施の形態のフランシス形水車ランナの内部流れ模式図 第５の実施の形態における水力効率の変化を示す図。 第５の実施の形態における各部寸法の説明図。 第５の実施の形態のフランシス形水車ランナのＲｃ／ＬＬと２次流れ損失相関図 第６の実施の形態のフランシス形水車ランナの子午断面図。 第６の実施の形態における水力効率の変化を示す図。 従来のフランシス形水車ランナが据え付けられた水力発電所の縦断面図。 （ａ）、（ｂ）、（ｃ）は、それぞれ水量の違いによるランナ内の子午面内流れ模式図。 従来の２次流れ低減技術を示す図。 従来の２次流れ低減技術を示す図。

符号の説明

１ ケーシング
３ ガイドベーン
４ ランナ
５ 吸出し管
８ クラウン
９ バンド
１０ 羽根
１０ａ 羽根後縁の縁線
１３ 死水領域
１６ バンド面に対し鉛直に立てた線
１７ 静圧が急激に回復するよどみ点領域
１８ 圧力勾配により外周側に作用する流体力
１９ 圧力勾配により内周側に作用する流体力
２１ クラウン面に対し鉛直に立てた線
２２ フィレット

Claims (5)

1. 回転軸に固着されたクラウンとリング状のバンドとの間に周方向に複数のランナ羽根が設けられたフランシス形ランナにおいて、子午断面におけるランナ羽根の後縁のバンド側縁線及びクラウン側縁線の少なくとも一方が、上記縁線とバンドとの交点或いは縁線とクラウンとの交点にてバンド或いはクラウンの内面に対して鉛直に立てた線よりも上流側にあり、且つ下流側に向かって凹曲状に形成されていることを特徴とする、フランシス形ランナ。
2. 上記ランナ羽根後縁の縁線とバンド或いはクラウンとの交点をＰ１ｂまたはＰ１ｃ、Ｐ１ｂまたはＰ１ｃにてバンド或いはクラウンの内面に対して鉛直に立てた線とランナ羽根後縁の縁線との交点をＰ２ｂまたはＰ２ｃ、Ｐ１ｂとＰ２ｂとの間に形成される直線をＬＬｂ、Ｐ１ｃとＰ２ｃとの間に形成される直線をＬＬｃ、直線ＬＬｂまたはＬＬｃとランナ羽根後縁の縁線との距離の最大値をｓｂまたはｓｃとすると、
   ０＜ｓｂ／ＬＬｂ＜０．１５
   または ０＜ｓｃ／ＬＬｃ＜０．１５
   を満たすことを特徴とする、請求項１記載のフランシス形ランナ。
3. 回転軸に固着されたクラウンとリング状のバンドとの間に周方向に複数のランナ羽根が設けられたフランシス形ランナにおいて、子午断面におけるランナ羽根の後縁の縁線のバンド付根部位及びクラウン付根部位の少なくとも一方に、下流側に延びるとともに下流側に向かって凹曲状に形成されたフィレットを取付けたことを特徴とするフランシス形ランナ。
4. 子午線断面におけるランナ羽根の後縁の縁線とバンドとの交点をＰｂ、ランナ羽根の後縁の縁線とクラウンとの交点をＰｃ、ＰｂとＰｃとの間に形成される直線の長さをＬＬ、バンド付根部位或いはクラウン付根部位のフィレットの曲率半径をＲｂまたはＲｃとすると、
   ０．０５ ＜ Ｒｂ／ＬＬ ＜ ０．３
   または ０．０５ ＜ Ｒｃ／ＬＬ ＜ ０．３
   を満たすことを特徴とする、請求項３記載のフランシス形ランナ。
5. 請求項１乃至４のいずれかに記載のフランシス形ランナを備えた水力機械。

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