CN101620045A - 基于时间序列的步进应力加速退化试验可靠性评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于时间序列的步进应力加速退化试验可靠性评估方法，该方法利用相关系数平稳序列分析方法描述步进应力加速退化试验数据中的非等间距随机信息，在汲取确定性的回归模型以及随机性的相关系数平稳序列自回归模型各自优点的基础上建立回归－非等间距自回归退化模型，结合灰色理论预测产品退化趋势，形成基于时间序列的步进应力加速退化试验寿命预测及可靠性评估函数和曲线。本发明方法显著减小了产品的样本量以及缩短了退化试验的时间，从而节省了大量经费和资源，提高了退化模型的拟合精度，从而提高了可靠性评估结果的可信度。

Description

基于时间序列的步进应力加速退化试验可靠性评估方法

技术领域

本发明涉及一种加速退化试验寿命预测及可靠性评估方法，属于加速试验评估技术领域。

背景技术

对于高可靠性长寿命的产品，往往难以在短期内观测到产品失效，基于产品性能退化数据分析产品可靠性成为一种有效途径。为了针对这些难以获得失效数据，但可以获得性能退化数据的产品进行可靠性评估，加速退化试验的方法应运而生。

研究加速退化失效，关键要建立产品性能退化特征参数随时间变化的加速退化模型。加速退化模型一般分为基于退化机理和基于统计数据两种模型。前者需要对产品自身的退化机理有深入的研究以及大量的试验基础，且局限于退化机理相同的产品，不适用于工程应用的推广。后者使用统计模型来描述退化数据，在工程中更加适用。

在以往的基于统计数据的加速退化试验可靠性评估中，加速退化模型多采用某一回归模型表示。该方法可以反映性能特征参数退化的确定性变化趋势，但不能全面描述性能退化的特征，因为产品的性能退化规律并非仅包含规则变化的确定性部分，若要对其进行精确分析，还需要对其不规则变化的随机部分进行深入的研究。

此外，现有基于统计数据的加速退化试验可靠性评估方法几乎仅针对恒定应力水平的加速退化试验有效。然而，恒定应力加速退化试验通常需要一定数量的试验样本，因而不适于对新研制且成本昂贵的产品进行可靠性寿命的评估。而步进应力加速退化试验具有相对更快加速产品退化失效，以及仅需更少试验样本个数的优点，从而针对步进应力的加速退化试验可靠性评估方法具有更高的实用价值。

时间序列分析原系数理统计学科的一个分支，它是研究随机过程的重要数学工具。在工程技术等领域中，对于具有随机性，并随时间的推移而具有某种统计规律的信息，不可能或难以应用一般确定的解析方法描述其过程，而时间序列分析则利用现代统计学和信息数据处理技术，能够充分挖掘信息中随机性规律及特征，是解决这一实际问题的有力工具。由于步进应力加速退化试验数据为时间序列，因此可以采用时间序列分析方法对其进行分析。在国内外现有相关步进应力加速退化试验可靠性评估方法文献中，尚未见到应用时间序列分析方法的报道。

时间序列方法在步进应力加速退化试验可靠性评估中的应用需要解决以下问题：

1、采用步进应力加速寿命试验中的试验时间折合方法，可将步进应力加速退化试验数据在各应力水平下的试验时间折合为产品在正常应力水平下试验时间，折合后的退化数据为非等间距的时间序列。然而传统的时间序列分析方法只适用于恒定应力加速退化试验中等间距时间序列的分析，因此需要研究适用于步进应力加速退化试验中非等间距时间序列的分析方法。

2、以往的加速退化试验中，很少考虑试验设备对产品性能退化过程的影响，包括确定性和随机性的影响，如何将确定性的解析模型同描述随机过程的非等间距时间序列模型相结合，并对组合模型参数进行估计，有待进一步研究。

3、为了提高时间序列模型预测的精度以及长度，在保留时间序列模型自身优点的基础上，如何采用现有的预测理论与之结合，是工程应用中的实际问题。

4、如何将基于时间序列分析方法建立的加速退化模型应用于步进应力加速退化试验，形成适用于步进应力水平、基于统计数据、可信度高的加速退化试验可靠性评估方法，是目前领域内的一个难点。

发明内容

本发明的目的是为了解决传统的加速退化模型无法描述加速退化试验统计数据中随机性信息，以及现有的加速退化试验可靠性评估方法难以应用于步进应力水平的加速退化试验可靠性评估的问题，采取时间序列分析建模技术手段，达到根据步进应力加速退化试验数据合理预测产品寿命及可靠性评估的技术效果。

本发明利用相关系数平稳序列分析方法描述步进应力加速退化试验数据中的非等间距随机信息，在汲取确定性的回归模型以及随机性的相关系数平稳序列自回归模型各自优点的基础上建立回归-非等间距自回归加速退化模型，结合灰色理论预测产品退化趋势，形成基于时间序列的步进应力加速退化试验寿命预测及可靠性评估的方法。

本发明提出的步进应力加速退化试验假设：

假设1产品的性能退化过程具有单调性，即性能发生的退化不可逆；

假设2每个应力水平下产品的失效机理不变；

假设3产品的残余寿命仅依赖于当时已累计失效部分和当时应力水平，而与累积方式无关；

假设4试验中不存在由退化引发的任何失效，即产品的性能退化未穿越失效阈值。

为便于说明，本发明还需下述假设解释：假设对n个产品进行步进应力加速退化试验，试验中共有k个应力水平S_i，i＝1，2，…，k。每个应力水平下的采样间隔均为Δt，各应力水平下对产品性能的采样个数为m_i，所有应力水平下总采样个数 $m=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{m}_i,$ 则各应力水平的试验时间为τ_i＝Δt·m_i，每个产品在所有应力水平下的性能退化数据为y_l，l＝1，2，…m。

基于上述假设，本发明提供的可靠性评估方法主要包括以下五大步骤：

步骤一、采集试验数据及数据预处理。

由试验设备采集到的原始退化数据通常难以直接对其进行数据分析，为了避免过大的退化量值对数据分析造成的影响，提高加速退化模型的拟合精度，并且统一退化失效的判据，应对每个产品的原始退化数据分别作初值化的预处理。

步骤二、采样间距折合。

在步进应力加速退化试验中，应力在整个试验中呈阶梯式变化，而产品性能退化率随应力的变化而改变，为建立加速退化模型，首先要获得同一退化率即同一应力下的退化数据。在步进应力加速寿命试验中，采用的是试验时间折合方法，即在保持各应力下退化数据的累积退化量不变的条件下，对各应力下退化数据的试验时间进行折合，从而折算出产品在其失效时的应力下所经历的试验时间，即为产品在该应力下的寿命。

而对于步进应力加速退化试验来说，试验当中观测不到产品失效，因此需要采用这种试验时间的折合方法获得各应力水平折算到正常应力水平下的试验时间，从而获得退化数据在正常应力水平下的采样间距，这样才能对正常应力水平下的退化数据建立加速退化模型，从而预测产品在正常应力下的寿命。由于不同应力水平下的退化数据在正常应力水平下的采样间距不同，因此由各应力水平折合为正常应力水平的退化数据将不再是等间距采样的时间序列。

对每个产品分别进行的具体折合步骤如下：

1、分别根据各应力水平下退化数据的累积退化量及其对应的试验时间，确定各应力水平下的性能退化率。

2、将各应力水平下的退化率与应力水平相对应。对各应力水平与退化率建立回归模型，就可以得到退化率与应力水平的关系模型。

3、通过对应力-退化率关系模型外推，可得到产品在正常应力下的退化率。

4、根据累积损伤等效原理，在保持退化数据的累积退化量不变的条件下，将步进应力加速退化试验不同应力水平下的试验时间按退化率的比值折算到正常应力水平下的试验时间，同理，可将所有试验应力水平下的采样间距按退化率的比值折算到正常应力水平下的采样间距。

步骤三、建立时间序列加速退化模型。

步进应力加速退化试验的数据，具有非平稳趋势、周期性变化以及随机性变化等特点，利用时间序列方法建立加速退化模型时，须对退化数据逐项进行分析。若以Y(l)表示在第l＝1，2，…，m次观测的性能退化随机变量，根据Cramer分解定理可知，任何一个时间序列{Y(l)}都可以分解为确定性部分和平稳随机部分的叠加

Y(l)＝T(l)+S(l)+R(l)，l＝1，2，…m。                    (1)

式中：T(l)是趋势项，S(l)是周期项，R(l)是残差项。趋势项和周期项为非平稳时间序列中的确定性部分，通常采用回归模型表示。而残差项为平稳随机部分，采用自回归模型表示。

对每个产品分别进行的具体建模步骤如下：

1、对经过预处理的退化数据，建立趋势项模型。因趋势项与应力水平相关，故应分别对各应力水平下的退化数据采用线性回归模型建立趋势项模型

T_i(l)＝slp_i·l+y_0i，l＝1，2，…m_i，i＝1，2，…k。                 (2)

式中：slp_i为各应力水平下的退化率，y_0i为各应力水平下退化数据初始值。

2、去除趋势项并对去除趋势项后的退化数据建立周期项模型。以温度应力试验为例，受到试验设备的温度控制特性的影响，温度通常会在某一设定值上下呈周期性波动。而对于某些产品，例如电子产品通常会存在温度漂移的现象，因此温度的上下波动必然会反映在电子产品的某些性能输出值上。由于周期性波动由试验设备引起，而与应力水平无关，因此可一起对所有应力下的退化数据采用潜周期回归模型建立周期项模型

式中：q是角频率个数，A_j是第j个角频率的振幅，

      ω_j是第j个角频率，

是第j个相位角。

3、去除周期项并将各应力下的残差项折合为正常应力下的残差项。残差项与应力水平相关，为了对正常应力下的退化数据进行预测，应根据不同应力折合到正常应力下的采样间距，将各应力下的等间距采样残差项折合为正常应力下的非等间距采样残差项。

4、对正常应力下的残差项建立残差项模型。各应力水平折合到正常应力水平下的残差项是非等间距的时间序列，而传统的时间序列分析方法只适用于等间距采样的时间序列，因此传统时间序列方法不适用于该数据的分析。由于残差项为相关系数平稳过程，根据马小兵、***2003年发表于航空动力学报的《非等间距相关系数平稳序列分析方法》，可采用非等间距相关系数平稳序列分析方法，以t_l表示第l＝1，2，…m次观测在正常应力下对应的时间，建立非等间距时间序列的自回归模型，从而得到产品在正常应力水平下的残差项模型

$R\left(l\right)=\underset{j=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\η}}_j\left({\mathrm{\τ}}_l\right)R(l-j)+\mathrm{\ϵ}\left({\mathrm{\τ}}_l\right),l=\mathrm{1,2},\·\·\·m.---\left(4\right)$

式中：p为自回归模型的阶数，η_j为自回归系数的函数，

τ_l＝(τ_l1，τ_l2，…，τ_lp)′，τ_lj＝τ_i-τ_l-j(j＝1，2，…，p)，

ε(τ_l)为相互独立且服从N[0，σ₀ ²φ(α，τ_l)]的白噪声。

5、联合残差项和周期项模型建立非等间距自回归潜周期模型。由于残差项R(l)和随机变量Y(l)之间具有相关性，为了提高模型拟合精度，应在确定各项模型的结构后，将所有参数联合求解。本发明提出将周期项潜周期回归模型代入残差项非等间距自回归模型进行迭代运算，建立非等间距自回归潜周期模型，得到产品周期项和在正常应力下残差项联合模型。

非等间距自回归潜周期模型为

式中：A_j ^*，

为潜周期回归模型代入非等间距自回归潜周期模型时作出相应变换的参数。具体变换方法可参考由何书元编著、北京大学出版社出版的《应用时间序列分析》中第七章关于等间距自回归潜周期模型的内容。

6、建立正常应力下的趋势项模型。根据正常应力下的退化率slp₀及退化数据初始值y₀，可得到正常应力下的趋势项模型

T^*(l)＝slp₀·l+y₀，l＝1，2，…，m，                    (6)

7、组合回归-非等间距自回归模型形成最终的加速退化模型。将正常应力下的趋势项模型与非等间距自回归潜周期模型直接相加，建立回归-非等间距自回归模型，得到产品退化数据在正常应力水平下的最终加速退化模型

Y^*(l)＝T^*(l)+X(l)，l＝1，2，…，m。                    (7)

步骤四、结合灰色理论预测加速退化模型。

时间序列分析方法可以充分挖掘数据中的随机性信息，然而该模型存在预测精度的保证依赖于大样本量的局限。若采用常规的直接预测方法进行时间序列模型预测，则预测精度难以保证，从而降低了可靠性评估结果的可信度。灰色理论是研究少数据不确定性的理论，即研究在少数据不确定性的背景下，数据的处理、现象的分析、模型的建立、发展趋势的预测、事物的决策以及***的控制与状态的评估。采用灰色理论预测加速退化模型，可以在保留时间序列建模优点的基础上，很好地克服时间序列模型预测的局限性，提高加速退化模型的预测精度。

灰色理论中的***灰色预测嵌套法，是针对某种构造的***灰色预测模型，将GM(1，1)模型嵌入GM(1，N)模型求解，以获得各行为变量的预测值。对于时间序列加速退化模型，若根据原始数据直接对未来预测，其精度往往不理想。基于***灰色预测嵌套法，将每一步预测值加入原始数据，并删去第一个原始数据，再重新拟合加速退化模型，使模型时刻修正，以此类推，直至预测到所要求的所要求的步数为止，这种嵌套预测通常要比直接预测精度高。

由于正常应力下的趋势项模型是由各应力下的退化率根据应力-退化率关系直接外推至正常应力下的退化率而得，因此无须再对该模型进行修正，只须对由周期项和正常应力下残差项建立的非等间距自回归潜周期模型采用***灰色预测嵌套法进行预测，再与正常应力下趋势项模型的直接预测值相加，从而得到最终的加速退化模型预测值。

对每个产品分别进行的具体预测步骤如下：

1、设定预测步数h，令u＝1，2，…，h表示预测的次数。

2、设x_l，l＝1，2，…，m表示一组待预测的去除趋势项后的退化数据，对其采用潜周期回归模型建立周期项模型。

式中：q_u，A_uj，ω_uj，

j＝1，2，…，q_u为进行第u次预测时修正的模型参数。

3、去除周期项得到残差项。将各应力下的等间距残差项折合为正常应力下的非等间距残差项。

4、对正常应力下的残差项采用非等间距自回归模型建立残差项模型。

$R\left(l\right)=\underset{j=1}{\overset{p_u}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\η}}_{\mathrm{uj}}\left({\mathrm{\τ}}_{\mathrm{ul}}\right)R(l-j)+{\mathrm{\ϵ}}_u\left({\mathrm{\τ}}_{\mathrm{ul}}\right),l=\mathrm{1,2},\·\·\·,m.---\left(9\right)$

式中：τ_ul，p_u，η_uj，ε_u，l＝1，2，…，m，j＝1，2，…，p_u为进行第u次预测时修正的模型参数。

5、联合残差项和周期项模型，并取正常应力下残差项的平均采样间距

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\Δt}}=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Δt}}_i,---\left(10\right)$

作为模型的预测间距，相应地取τ_u＝(Δt，Δt·2，…，Δt·p_u)′，建立非等间距自回归潜周期模型的预测公式。

式中：τ_u，A_uj ^*，

j＝1，2，…，q_u为进行第u次预测时修正的模型参数。

6、采用非等间距自回归潜周期模型的最佳无偏预测公式进行一步预测，所述的最佳无偏预测公式如下：

根据公式(12)得到该模型的一个新的预测值x_m+1，至此完成一次预测。

7、去掉该组退化数据的第一个数据x₁，加入非等间距自回归潜周期模型的一步预测值x_m+1，得到一组新的去除趋势项后的退化数据x_l，l＝2，3，…，m+1。

8、以x_l，l＝2，3，…，m+1为待预测数据，重复上述步骤2～6。

9、重复h-1次上述步骤7、8，可逐次预测出x_m+u，u＝1，2，…，h。

10、对正常应力下的趋势项模型公式(6)进行h步直接预测，得到预测值t_m+u ^*，u＝1，2，…，h。

11、将两种模型预测结果相加，得到回归-非等间距自回归模型即加速退化模型的h步预测值

$y_{m+u}^{*}=t_{m+u}^{*}+x_{m+u},u=\mathrm{1,2},\·\·\·,h.$

步骤五、预测误差分析及可靠性评估。

对于加速退化试验来说，产品性能退化到不能满足产品规范中规定的性能指标要求时，即认为产品发生了失效。其寿命就是产品性能从符合要求到不符合要求间的时间。对于本发明提出的基于时间序列建立加速退化模型方法，产品性能的失效，相当于退化过程时间序列的量值首次穿越某一设定失效阈值，而产品的寿命就是首次穿越失效阈值的时间。由于在加速退化试验中，通常观测不到产品性能退化量穿越失效阈值，只能根据加速退化模型的预测值首次穿越失效阈值来判定失效，因此这种通过预测得到的失效所对应的寿命并不是产品的真实寿命，而称之为伪寿命。本发明针对步进应力加速退化试验建立的加速退化模型，可直接得到正常应力水平下的伪寿命，因此本发明中伪寿命的分布函数就是产品的不可靠度函数。

此外，对于加速退化试验的可靠性评估，加速退化模型的预测精度决定了伪寿命的准确度，从而决定了可靠性评估结果的可信度，因此本发明对伪寿命所对应的预测值进行了误差分析。

对所有产品进行的具体评估步骤如下：

1、根据工程实际情况设定产品的退化失效判据，给出失效阈值。

2、根据每个产品正常应力下的加速退化模型h步预测值y_m+u ^*，u＝1，2，…，h，确定每个产品的预测值首次穿越失效阈值的预测步数u_life及其对应正常应力下的时间

$t_{\mathrm{life}}=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\τ}}_{0i}+u_{\mathrm{life}}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{\Δt}},---\left(13\right)$

即为每个产品在正常应力下的伪寿命。

3、对每个产品的伪寿命对应的预测值

进行误差分析。对于加速退化模型即回归-非等间距自回归模型，其误差是由残差项即非等间距自回归模型产生，则其灰色理论预测的均方误差公式为

${\mathrm{\σ}}_{m+u}^2=\underset{j=1}{\overset{u}{\mathrm{\Σ}}}{G}_{\mathrm{uj}}^2{\mathrm{\σ}}_{(u-j+1)\mathrm{\ϵ}}^2,u=\mathrm{1,2},\·\·\·,h,---\left(14\right)$

式中：G_uj，j＝1，2，…，u为非等间距自回归模型第u步预测的Green函数；

σ_(u-j+1)ε ²，j＝1，2，…，u为非等间距自回归模型第u-j+1步预测的白噪声方差。则各伪寿命预测步数u_life所对应的均方误差即为所求。

4、结合所有产品正常应力下的伪寿命，确定产品的伪寿命分布函数结构及参数估计。

5、根据产品伪寿命分布函数，给出可靠度函数及曲线，从而给出步进应力加速退化试验的可靠性评估结果。

本发明的优点在于：

(1)本发明在现有加速退化试验可靠性评估方法几乎仅针对恒定应力水平有效的情况下，提出一套完整可行、适用于步进应力的加速退化试验可靠性评估方法，该方法实现了对步进应力加速退化试验数据的可靠性评估，与现有只适用于恒定应力的加速退化试验可靠性评估的方法相比，显著减小了产品的样本量以及缩短了退化试验的时间，从而节省了大量经费和资源。

(2)本发明首次采用时间序列方法对步进应力加速退化试验数据建立加速退化模型，由于时间序列模型是一种统计模型，用其描述加速退化数据，是基于统计数据的加速退化模型。与基于退化机理建立加速退化模型而进行步进应力加速退化试验可靠性评估的方法相比，本方法不需要对产品自身的物理化学退化机理有深入的研究以及大量的试验基础，不局限于评估退化机理相同的产品，因而更适于工程应用的推广。

(3)本发明提出了将时间序列方法中的非等间距相关系数平稳序列分析方法应用于对步进应力加速退化试验中非等间距退化数据建立加速退化模型的方法，成功解决了现有针对恒定应力加速试验数据建立的加速退化模型无法应用于步进应力加速退化试验数据的问题。

(4)本发明提出了回归-非等间距自回归模型，并将其作为步进应力加速退化试验数据的加速退化模型。该模型结合了回归模型能够准确把握性能确定性变化趋势以及自回归模型能够充分挖掘随机信息中随机性规律及特征的优势，弥补了传统仅对加速退化数据建立回归模型的方法不能全面描述产品性能退化特征的缺点，提高了加速退化模型的拟合精度，而加速退化模型的拟合精度决定了寿命预测的准确度，从而提高了可靠性评估结果的可信度；

(5)本发明除了分析产品自身的性能退化过程外，还提出了考虑试验设备对产品性能退化过程的影响，对由试验设备导致的周期性变化过程建立潜周期回归模型的方法，与传统仅考虑产品自身性能退化的建模方法相比，本方法建立的加速退化模型对退化过程的描述更加全面，从而提高了可靠性评估结果的可信度。

(6)本发明提出了非等间距自回归潜周期模型，并将其用于对正常应力下退化数据中周期项和残差项的描述。该模型并非仅将二者的模型简单相加，而是提出了考虑步进应力加速退化试验数据中周期项同残差项的相关性，将潜周期回归模型代入非等间距自回归模型的迭代运算，并对两种模型参数联合求解的方法，与传统仅将各项的模型简单相加的建模方法相比，提高了加速退化模型的拟合精度，从而提高了可靠性评估结果的可信度；

(7)本发明提出了采用灰色理论中***灰色预测嵌套法对产品加速退化模型进行预测的方法，与传统的直接预测方法相比，该方法可针对少数据不确定性的信息进行预测，在保留时间序列模型能全面描述产品性能退化特征这一优点的基础上，不仅克服了基于时间序列的加速退化模型预测精度依赖于大样本量的局限，而且提高了加速退化模型的预测精度，从而提高了可靠性评估结果的可信度。

(8)本发明提出了一种回归-非等间距自回归模型的灰色理论预测误差分析方法，量化了加速退化模型的预测精度，从而可以客观地评价采用本发明方法得到可靠性评估结果的可信度。

附图说明

图1是本发明可靠性评估方法的流程图；

图2是原始退化数据；

图3是初值化预处理后的退化数据及各应力水平下的趋势项；

图4是应力-退化率关系；

图5是去除趋势项后的退化数据及周期项；

图6是非等间距自回归潜周期模型预测结果；

图7是回归-非等间距自回归模型预测结果；

图8是实施例1的原始退化数据；

图9是实施例1初值化预处理后的退化数据；

图10是实施例1应力-退化率关系；

图11是实施例1去除趋势项后的退化数据；

图12是实施例1正常应力下的退化数据及预测；

图13是实施例1可靠度曲线。

图中：1-初值化预处理后的退化数据，2-各应力水平下的趋势项，3-去除趋势项后的退化数据，4-周期项，5-非等间距自回归潜周期模型预测结果，6-正常应力水平下的退化数据，7-回归-非等间距自回归模型预测结果，8-正常应力水平下的趋势项，9-实施例1正常应力水平下的退化数据，10-实施例1回归-非等间距自回归模型预测结果，11-实施例1正常应力水平下的趋势项。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例1对本发明作进一步的详细说明。

本发明是一种基于时间序列的步进应力加速退化试验可靠性评估方法，方法执行之前首先进行如下假设：

假设1产品的性能退化过程具有单调性，即性能发生的退化不可逆；

假设2每个应力水平下产品的失效机理不变；

假设3产品的残余寿命仅依赖于当时已累计失效部分和当时应力水平，而与累积方式无关；

假设4试验中不存在由退化引发的任何失效，即产品的性能退化未穿越失效阈值。

并假设对n个产品进行步进应力加速退化试验，试验中共有k个应力水平S_i，i＝1，2，…，k。每个应力水平下的采样间隔均为Δt，各应力水平下对产品性能的采样个数为m_i，所有应力水平下总采样个数 $m=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{m}_i,$ 则各应力水平的试验时间为τ_i＝Δt·m_i，每个产品在所有应力水平下的性能退化数据为y_l，l＝1，2，…m。

具体方法实施流程如图1所示，通过如下步骤实现：

步骤一、采集试验数据，进行数据预处理。

由试验设备采集原始退化数据，如图2所示，对其作初值化的预处理。

对每个产品分别进行的具体方法如下：

设步进应力加速退化试验的原始退化数据为y_l，l＝1，2，…m。则经初值化预处理后的退化数据为

$y_l^{\′}=\frac{y_l}{y_1},l=\mathrm{1,2},\·\·\·,m---\left(15\right)$

如图3中的曲线1，预处理后的退化数据的初始值都为1。为便于说明，以下经过预处理后的退化数据仍然用y_l表示。

步骤二、采样间距折合。

对每个产品分别进行的具体方法如下：

1、对于预处理后的退化数据y_l，l＝1，2，…，mi，分别计算各应力水平下的累积退化量

${\mathrm{\Δy}}_i=y_{m_i}-y_1,i=\mathrm{1,2},\·\·\·,k,---\left(16\right)$

及其对应的试验时间τ_i，确定各应力水平下的性能退化率slp_i，即为如图3所示的曲线2斜率，退化率计算公式如下

${\mathrm{slp}}_i=\frac{{\mathrm{\Δy}}_i}{{\mathrm{\τ}}_i},i=\mathrm{1,2},\·\·\·,k.---\left(17\right)$

2、将各应力水平下的退化率slp_i与应力水平S_i相对应。对各应力水平S_i与对应的退化率slp_i建立回归模型，以得到退化速率slp_i与应力水平S_i关系。

以Arrhenius温度加速模型为例，如图4所示。此时应力S_i为绝对温度，即

${\mathrm{slp}}_i=\mathrm{Aexp}\left(\frac{E}{{\mathrm{KS}}_i}\right),i=\mathrm{1,2},\·\·\·,k---\left(18\right)$

式中：K是波尔兹曼常数；

      E是激活能，与材料有关；

      A是常数。

3、通过对应力-退化率关系模型外推，可得到产品在正常应力S₀下的退化率slp₀，也就是如图7中的曲线8的斜率。

4、根据累积损伤等效原理，即产品在应力S_i下工作τ_i时间的累积退化量等于此产品在应力水平S_j下工作τ_j时间的累积退化量，其中i≠j，可以获得步进应力加速退化试验不同应力水平阶段试验时间τ_i折算到正常应力水平下的试验时间τ_0i，从而得到所有试验应力水平折算到正常应力水平下的采样间距Δt_i，如图7所示。

由于

slp₀·τ_0i＝Δy_i，i＝1，2，…k，                    (19)

由公式(17)可得

slp₀·τ_0i＝slp_i·τ_i，                             (20)

所以折算到正常应力下的试验时间为

${\mathrm{\τ}}_{0i}=\frac{{\mathrm{slp}}_i}{{\mathrm{slp}}_0}\·{\mathrm{\τ}}_i.---\left(21\right)$

同理，折算到正常应力水平下的采样间距为

${\mathrm{\Δt}}_i=\frac{{\mathrm{\τ}}_{0i}}{m_i}=\frac{{\mathrm{slp}}_i}{{\mathrm{slp}}_0}\·\frac{{\mathrm{\τ}}_i}{m_i}=\frac{{\mathrm{slp}}_i}{{\mathrm{slp}}_0}\·\mathrm{\Δt}.---\left(22\right)$

步骤三、建立时间序列加速退化模型。

对每个产品分别进行的具体方法如下：

1、对一组经过预处理的退化数据y_l，l＝1，2，…，m，建立趋势项模型。分别对各应力水平下的退化数据采用线性回归模型公式(2)建立趋势项模型，令t_l，l＝1，2，…，m_i，i＝1，2，…，k表示该模型的样本值，则所有应力水平下的趋势项集合为

t_l＝{t₁，t₂，…，t_k}，l＝1，2，…，m，

如图3所示的曲线2。

2、去除趋势项t_l并对去除趋势项后的退化数据建立周期项模型。去除趋势项后的数据为

y_l-t_l，l＝1，2，…，m，

对其采用潜周期回归模型公式(3)建立周期项模型，令s_l，l＝1，2，…，m表示该模型的样本值，即为周期项，如图5所示的曲线4。

3、去除周期项s_l并将各应力下的等间距采样残差项折合为正常应力下的非等间距采样残差项。残差项表示为

r_l＝y_l-t_l-s_l，l＝1，2，…，m。

4、对正常应力下的非等间距采样残差项建立非等间距时间序列的自回归模型，从而得到产品在正常应力水平下的残差项模型公式(4)。

5、联合残差项和周期项模型建立非等间距自回归潜周期模型公式(5)，令x_l，l＝1，2，…，m表示该模型的样本值，即为正常应力下的周期项及残差项，如图6所示的曲线3。

6、建立正常应力下的趋势项模型。根据正常应力下的退化率slp₀及退化数据初始值y₀，得到正常应力下的趋势项模型公式(6)，令t_l ^*，l＝1，2，…，m表示该模型样本值，即为正常应力下的趋势项，如图7所示的曲线8。

7、组合回归-非等间距自回归模型。将正常应力下的趋势项模型与非等间距自回归潜周期模型直接相加，建立回归-非等间距自回归模型公式(7)，得到产品退化数据在正常应力水平下的最终加速退化模型，令y_l ^*，l＝1，2，…，m表示该模型样本值，则正常应力下的退化数据表示为

$y_l^{*}=t_l^{*}+x_l,l=\mathrm{1,2},\·\·\·,m.$

如图7所示的曲线6。

步骤四、结合灰色理论预测加速退化模型及预测误差分析。

对每个产品分别进行的具体方法如下：

1、设定预测步数h，令u＝1，2，…，h表示预测的次数。

2、令x_l，l＝1，2，…，m表示一组待预测的去除趋势项后的退化数据，对其采用潜周期回归模型建立周期项模型公式(8)，令s_l，l＝1，2，…，m表示该模型的样本值，如图5所示。

3、去除周期项得到残差项

r_l＝x_l-s_l，l＝1，2，…，m，

并将各应力下的等间距残差项折合为正常应力下的非等间距残差项。

4、对正常应力下的残差项r_l采用非等间距自回归模型建立残差项模型公式(9)。

5、联合残差项和周期项模型，并取正常应力下残差项的平均采样间距Δt作为模型的预测间距，建立非等间距自回归潜周期模型的预测公式(10)。

6、采用非等间距自回归潜周期模型的最佳无偏预测公式(11)进行一步预测，得到该模型的一个新的预测值x_m+1，至此完成一次预测。

7、去掉该组退化数据的第一个数据x₁，加入非等间距自回归潜周期模型的一步预测值x_m+1，得到一组新的去除趋势项后的退化数据x_l，l＝2，3，…，m+1。

8、以x_l，l＝2，3，…，m+1为待预测数据，重复上述步骤2～6。

9、重复h-1次上述步骤7、8，逐次预测出x_m+u，u＝1，2，…，h，得到的预测结果如图6所示的曲线5。

10、对正常应力下的趋势项模型公式(6)进行h步直接预测，得到预测值t_m+u ^*，u＝1，2，…，h，如图7所示的曲线8。

11、将两种模型预测结果相加，得到回归-非等间距自回归模型即加速退化模型的h步预测值

$y_{m+u}^{*}=t_{m+u}^{*}+x_{m+u},u=\mathrm{1,2},\·\·\·,h,$

如图7所示的曲线7。

步骤五、预测误差分析及可靠性评估。

对所有产品进行的具体方法如下：

1、根据工程实际情况，设定产品性能初始值的某一百分比值为失效阈值。

2、根据正常应力下的加速退化模型h步预测值y_m+u ^*，u＝1，2，…，h，确定每个产品的预测值首次穿越失效阈值的预测步数u_life及其在正常应力水平下的伪寿命t_life。

3、对每个产品的伪寿命对应的预测值

进行误差分析。根据加速退化模型灰色理论预测的均方误差公式(14)，则每个产品的伪寿命预测步数u_life所对应的均方误差即为所求。

4、结合所有产品正常应力水平下的伪寿命t_life，确定产品的伪寿命分布函数结构及参数估计。可参考加速试验中常用的寿命分布，包括指数分布、威布尔分布、对数正态分布等。其参数可采用极大似然方法进行估计。

5、对于本发明获得正常应力水平下的伪寿命t_life，其分布函数就是产品的不可靠度函数，将其转换为可靠度函数，从而给出步进应力加速退化试验的可靠性评估结果。

实施例1：

以某型电子产品步进应力加速退化试验为例，具体介绍基于时间序列的步进应力加速退化试验可靠性评估方法。

步骤一、采集试验数据，进行数据预处理。

对10个该产品进行4温度应力水平的步进应力加速退化试验，测试间隔均为1小时，原始退化数据如图8所示。试验参数如表1所示。

表1步进应力加速退化试验参数

温度	采样个数
		55℃	1320
70℃	5460
		85℃	900
95℃	1320

对每个产品分别进行：

对由试验设备直接采集到的原始退化数据作初值化的预处理，采用公式(15)得到经初值化预处理后的退化数据，如图9所示。

步骤二、采样间距折合。

对每个产品分别进行：

1、根据公式(16)得到各应力水平下退化数据的累积退化量及其对应的试验时间，从而根据公式(17)确定各应力水平下的性能退化率。

2、将各应力水平下的退化率与应力水平相对应。对各应力水平与对应的退化率建立Arrhenius温度加速模型公式(18)，得到退化率与应力水平关系，如图10所示。

3、通过对应力-退化率关系模型外推，得到产品在正常应力水平25℃下的退化率，如图12所示曲线11的斜率即为退化率。

4、根据累积损伤等效原理公式(22)，得到各应力水平折算到正常应力水平25℃下的采样间距，如图12所示的曲线9。

步骤三、建立时间序列加速退化模型。

对每个产品分别进行：

1、分别对各应力水平下经过预处理的退化数据采用线性回归模型公式(2)建立趋势项模型。

2、去除趋势项并对去除趋势项后的退化数据采用潜周期回归模型公式(3)建立周期项模型，如图11所示的是去除趋势项的退化数据。

3、去除周期项并将各应力下的等间距采样残差项折合为正常应力下的非等间距采样残差项。

4、对正常应力下的残差项建立非等间距时间序列的自回归模型，从而得到产品在正常应力水平下的残差项模型公式(4)。

5、联合残差项和周期项模型建立非等间距自回归潜周期模型公式(5)。

6、建立正常应力下的趋势项模型。根据正常应力下的退化率及退化数据初始值，得到正常应力下的趋势项模型公式(6)，趋势项如图12所示的曲线11。

7、组合回归-非等间距自回归模型。将正常应力下的趋势项模型与非等间距自回归潜周期模型直接相加，建立回归-非等间距自回归模型公式(7)，得到产品退化数据在正常应力水平下的最终加速退化模型，如图12所示的曲线9。

步骤四、结合灰色理论预测加速退化模型及预测误差分析。

对每个产品分别进行：

1、设定预测步数为5000步。

2、对一组待预测的去除趋势项后的退化数据，采用潜周期回归模型建立周期项模型公式(8)，如图11所示的是去除趋势项的退化数据。

3、去除周期项得到残差项，将各应力下的等间距残差项折合为正常应力下的非等间距残差项。

4、对正常应力下的残差项采用非等间距自回归模型建立残差项模型公式(9)。

5、联合残差项和周期项模型，并取正常应力下残差项的平均采样间距100小时作为模型的预测间距，建立非等间距自回归潜周期模型的预测公式(10)。

6、采用非等间距自回归潜周期模型的最佳无偏预测公式(11)进行一步预测，得到该模型的一个新的预测值。

7、去掉该组退化数据的第一个数据，加入非等间距自回归潜周期模型的一步预测值，得到一组新的去除趋势项后的退化数据。

8、以该组新数据为待预测数据，重复上述步骤2～6。

9、重复4999次上述步骤7、8，可逐次得到5000步的预测值。

10、对正常应力下的趋势项模型公式(6)进行直接预测，得到5000步预测值，如图12所示曲线11。

11、将两种模型预测结果相加得到回归-非等间距自回归模型即加速退化模型的5000步预测值，如图12所示曲线10。

步骤五、预测误差分析及可靠性评估。

对所有产品进行：

1、根据工程实际情况，设定该型电子产品的性能初始值的97％为失效阈值。

2、根据正常应力下的加速退化模型5000步预测值，确定各产品在正常应力下的伪寿命。

3、对各产品的伪寿命对应的预测值进行误差分析。根据加速退化模型灰色理论预测的均方误差公式(14)，则各产品的伪寿命预测步数所对应的均方误差即为所求，如表2所示。

表2伪寿命数据及预测误差

模型	伪寿命数据(小时)	均方误差
			回归-非等间距自回归模型	1569948，991970，1025120，1345578，1564491，1390313，1621545，1024051，928334，1053697	0.0087，0.0087，0.0094，0.0090，0.00910.0091，0.0096，0.0094，0.0088，0.0092
纯回归模型	1654080，1011170，1042520，1366178，1578591，1409213，1639145，1043451，950334，1066597	0.0838，0.0834，0.0872，0.0845，0.0856，0.0871，0.0895，0.0884，0.0841，0.0869

4、结合所有产品正常应力水平下的伪寿命，确定该型电子产品的伪寿命分布函数为对数正态分布，其分布函数为

F(t)＝Φ{[1nt-μ]/σ}，t＝1，2，…。

5、对于本发明获得正常应力水平下的伪寿命，其分布函数就是产品的不可靠度函数，则其可靠度函数为

R(t)＝1-Φ{[1nt-μ]/σ}，t＝1，2，…，

具体参数如表3所示，可靠度曲线如图13所示，从而给出步进应力加速退化试验的可靠性评估结果。

表3可靠性评估结果

模型	回归-非等间距自回归模型	纯回归模型
			对数正态伪寿命分布均值	14.0231	14.0593
对数正态伪寿命分布方差	0.051	0.2692
			伪寿命均值(小时)	1251504	1276127

下面给出基于纯回归模型的步进应力加速退化试验可靠性评估方法的结果，与本发明提出的基于时间序列的方法进行比较。

同样以该型电子产品的步进应力加速退化试验为例，各试验参数同表1。

该方法建立的加速退化模型如图12所示，其计算的伪寿命数据及预测误差见表2，可靠性评估结果见表3，可靠度曲线如图13所示。

从表2可以明显看出，基于回归-非等间距自回归模型方法得到的伪寿命所对应退化数据预测值的均方误差显著小于基于纯回归模型方法的结果，说明本发明的方法所得到寿命预测结果相比基于纯回归模型的方法更加精确，因此本发明的步进应力加速退化试验可靠性评估方法所得到结果相比基于纯回归模型的方法结果更为可信。

Claims (3)

1、基于时间序列的步进应力加速退化试验可靠性评估方法，

假设1：产品的性能退化过程具有单调性，即性能发生的退化不可逆；

假设2：每个应力水平下产品的失效机理不变；

假设3：产品的残余寿命仅依赖于当时已累计失效部分和当时应力水平，而与累积方式无关；

假设4：试验中不存在由退化引发的任何失效，即产品的性能退化未穿越临界值；

并假设对n个产品进行步进应力加速退化试验，试验中共有k个应力水平S_i，i＝1，2，...，k。每个应力水平下的采样间隔均为Δt，各应力水平下对产品性能的采样个数为m_i，所有应力水平下总采样个数 $m=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{m}_i,$ 则各应力水平的试验时间为τ_i＝t·m_i，每个产品在所有应力水平下的性能退化数据为v_l，l＝1，2，…m；其特征在于具体方法步骤如下：

步骤一、采集试验数据，进行数据预处理；

步骤二、采样间距折合；

步骤三、建立时间序列退化模型；

若以Y(l)表示在第l＝1，2，…，m次观测的性能退化随机变量，根据Cramer分解定理可知，任何一个时间序列{Y(l)}都可以分解为确定性部分和平稳随机部分的叠加

Y(l)＝T(l)+S(l)+R(l)，l＝1，2，…m    (1)

式中：T(l)是趋势项，S(l)是周期项，R(l)是残差项。趋势项和周期项为非平稳时间序列中的确定性部分，通常采用回归模型表示。而残差项为平稳随机部分，采用自回归模型表示；

对每个产品分别进行的具体建模步骤如下：

(1)对经过步骤一预处理的退化数据，分别对各应力水平下的退化数据采用线性回归模型建立趋势项模型：

T_i(l)＝slp_i·l+y_0i    (2)

式中：slp_i为各应力水平下的退化率，y_0i为退化数据初始值，l＝1，2，…m_i，i＝1，2，…k；(2)去除退化数据中的趋势项并对去除趋势项后的退化数据采用潜周期回归模型建立周期项模型：

式中：q是角频率个数，A_j是第j个角频率的振幅，ω_j是第j个角频率，

是第j个相位角，l＝1，2，…m；

(3)去除周期项并将各应力下的等间距采样残差项折合为正常应力下的非等间距采样残差项；

(4)对正常应力下的残差项建立残差项模型；

采用非等间距相关系数平稳序列分析方法，以t_l表示第l次观测在正常应力下对应的时间，建立非等间距时间序列的自回归模型，从而得到产品在正常应力水平下的残差项模型：

$R\left(l\right)=\underset{j=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\η}}_j\left({\mathrm{\τ}}_l\right)R(l-j)+\mathrm{\ϵ}\left({\mathrm{\τ}}_l\right)---\left(4\right)$

式中：p为自回归模型的阶数，η_j为自回归系数的函数，τ_l＝(τ_l1，τ_l2，…，τ_lp)′，τ_lj＝t_l-t_l-j(j＝1，2，…，p)，ε(τ_l)为相互独立且服从N[0，σ₀ ²φ(α，τ_l)]的白噪声，l＝1，2，…m；

(5)联合步骤(4)中的残差项和步骤(2)中的周期项模型建立非等间距自回归潜周期模型；

将周期项潜周期回归模型代入残差项非等间距自回归模型进行迭代运算，建立非等间距自回归潜周期模型，得到产品周期项和在正常应力下残差项模型；

非等间距自回归潜周期模型为

式中：A_j ^*

为潜周期回归模型代入非等间距自回归潜周期模型时作出相应变换的参数l＝1，2，…m；

(6)建立正常应力下的趋势项模型；

根据正常应力下的退化率slp₀及退化数据初始值y₀，得到正常应力下的趋势项模型：

T^*(l)＝slp₀·l+y₀            (6)

式中：l＝1，2，…m；

(7)组合回归-非等间距自回归模型，形成最终的退化模型；

将正常应力下的趋势项模型与非等间距自回归潜周期模型直接相加，建立回归-非等间距自回归模型，得到产品退化数据在正常应力水平下的最终退化模型：

Y^*(l)＝T^*(l)+X(l)        (7)

式中：l＝1，2，…m；

步骤四、结合灰色理论预测退化模型；

对每个产品分别进行的具体预测步骤如下：

(1)设定预测步数h，令u＝1，2，…，h表示预测的次数；

(2)设x_l，l＝1，2，…，m表示一组待预测的去除趋势项后的退化数据，对其采用潜周期回归模型建立周期项模型：

式中：q_u、A_uj、ω_uj、

j＝1，2，…，q_u，为进行第u次预测时修正的模型参数l＝1，2，…，m；

(3)去除周期项得到残差项，将各应力下的等间距残差项折合为正常应力下的非等间距残差项；

(4)对正常应力下的残差项采用非等间距自回归模型建立残差项模型

$R\left(l\right)=\underset{j=1}{\overset{p_u}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\η}}_{\mathrm{uj}}\left({\mathrm{\τ}}_{\mathrm{ul}}\right)R(l-j)+{\mathrm{\ϵ}}_u\left({\mathrm{\τ}}_{\mathrm{ul}}\right)---\left(9\right)$

式中：τ_ul，p_u，η_uj，ε_u，j＝1，2，…，p_u为进行第u次预测时修正的模型参数，l＝1，2，…，m；

(5)联合残差项和周期项模型，并取正常应力下残差数据的平均采样间距

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\Δt}}=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Δt}}_i,---\left(10\right)$

作为模型的预测间距，相应地取τ＝(Δt，Δt·2，…，Δt·p_u)′，建立非等间距自回归潜周期模型的预测公式

式中：τ_u，A_uj ^*，

j＝1，2，…，q_u为进行第u次预测时修正的模型参数；

(6)采用非等间距自回归潜周期模型的最佳无偏预测公式进行一步预测，所述最佳无偏预测公式如下：

根据公式(12)得到该模型的一个新的预测值x_m+1，至此完成一次预测；

(7)去掉该组退化数据的第一个数据x₁，加入非等间距自回归潜周期模型的一步预测值x_m+1，得到一组新的去除趋势项后的退化数据x_l，l＝2，3，…，m+1；

(8)以x_l，l＝2，3，…，m+1为待预测数据，重复上述步骤2～6；

(9)重复h-1次上述步骤7、8，可逐次预测出x_m+u，u＝1，2，…，h；

(10)对正常应力下的趋势项模型公式(6)进行h步直接预测，得到预测值t_m+u ^*，u＝1，2，…，h；

(11)将两种模型预测结果相加，得到回归-非等间距自回归模型即退化模型的h步预测值：

$y_{m+u}^{*}=t_{m+u}^{*}+x_{m+u},u=\mathrm{1,2},...,h;$

步骤五、预测误差分析及可靠性评估；

对所有产品进行的具体评估步骤如下：

(1)根据工程实际情况设定产品的退化失效判据，给出失效阈值；

(2)根据每个产品正常应力下的加速退化模型h步预测值y_m+u ^*，u＝1，2，…，h，确定每个产品的预测值首次穿越失效阈值的预测步数u_life及其对应正常应力下的时间

$t_{\mathrm{life}}=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\τ}}_{0i}+u_{\mathrm{life}}\·\stackrel{\‾}{\mathrm{\Δt}},---\left(13\right)$

即为每个产品在正常应力下的伪寿命；

(3)对每个产品的伪寿命对应的预测值

进行误差分析，公式为

${\mathrm{\σ}}_{m+u}^2=\underset{j=1}{\overset{u}{\mathrm{\Σ}}}{G}_{\mathrm{uj}}^2{\mathrm{\σ}}_{(u-j+1)\mathrm{\ϵ}}^2,---\left(14\right)$

式中：G_uj，j＝1，2，…，u为非等间距自回归模型第u步预测的Green函数；

σ_(u-j+1)ε ²，j＝1，2，…，u为非等间距自回归模型第u-j+1步预测的白噪声方差；

u＝1，2，…，h；

则各伪寿命预测步数u_life所对应的均方误差即为所求；

(4)结合所有产品正常应力下的伪寿命，确定产品的伪寿命分布函数结构及参数估计；

(5)根据产品伪寿命分布函数，给出可靠度函数及曲线，从而给出步进应力加速退化试验的可靠性评估结果。

2、根据权利要求1所述的基于时间序列的步进应力加速退化试验可靠性评估方法，其特征在于：步骤二中所述的具体采样间距折合步骤如下：

(1)分别根据每一应力水平下退化数据的累积退化量及其对应的工作时间，确定每一应力水平下的性能退化率；

(2)将不同应力水平下的退化率与应力水平相对应，对各应力水平与退化率建立回归模型，得到退化率与应力水平的关系模型；

(3)通过对应力-退化率关系模型外推，得到产品在正常应力下的退化率；

(4)根据累积损伤等效原理，在保持退化数据的累积退化量不变的条件下，将步进应力加速退化试验不同应力水平下的工作时间按退化率的比值折算到正常应力水平下的工作时间，同理，将所有试验应力水平下的采样间距按退化率的比值折算到正常应力水平下的采样间距。

3、根据权利要求1所述的基于时间序列的步进应力加速退化试验可靠性评估方法，其特征在于：步骤一所述的初值化预处理具体通过如下方法实现：

对每个产品分别设步进应力加速退化试验的原始退化数据为y_l，l＝1，2，…m，则经初值化预处理后的退化数据为

$y_l^{\′}=\frac{y_l}{y_1}---\left(15\right)$

将预处理后的退化数据的初始值统一为1。

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