JP4320425B2 - 境界データのセル内形状への変換方法及び変換プログラム - Google Patents

Description

発明の技術分野
本発明は、形状と物性を統合した実体データを小さい記憶容量で記憶し、ＣＡＤとシミュレーションを一元化できる実体データの記憶方法に係り、更に詳しくは、境界データのセル内形状データへの変換方法及び変換プログラムに関する。
関連技術の説明
先端的な研究開発・技術開発の現場では、その高度化・複雑化に伴い、膨大な試行錯誤が不可欠となっており、開発途中でのリスクが高まっている。科学技術立国を目指す我が国として、これらのリスクを極力排し、開発過程の革新的な高度化・効率化を図ることが極めて重要である。
現在、研究開発・技術開発の現場において、ＣＡＤ（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｄｅｓｉｇｎ）、ＣＡＭ（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ）、ＣＡＥ（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）、ＣＡＴ（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｔｅｓｔｉｎｇ）などが、それぞれ設計、加工、解析、試験のシミュレーション手段として用いられている。
また、本発明によって、連続的なシミュレーションであるＣ−Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ（Ｃｏｏｒｐｏｒａｔｉｖｅ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ）、加工プロセスも考慮したＡ−ＣＡＭ（Ａｄｖａｎｃｅｄ ＣＡＭ）、究極の精度が出せるＤ−ｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎ（Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ ｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎ）なども、これから広く普及する見通しである。
上述した従来のシミュレーション手段では、対象物を、ＣＳＧ（Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ Ｓｏｌｉｄ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ）やＢ−ｒｅｐ（Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ）でデータを記憶している。
しかし、ＣＳＧでは、対象物全体を微細なソリッドモデルの集合体として記憶するため、データが重くシミュレーション手段（ソフトウェア等）を実装する場合、膨大なデータを扱うこととなり、大型コンピュータを用いた場合でも解析に時間がかかる問題点があった。
また、Ｂ−ｒｅｐでは、対象物を境界で表現するため、データは軽く、データ量は小さくなるが、境界面の内部に関する情報が直接的にはないため、そのままでは変形解析等には適さない問題点があった。
更に、これらの従来のデータ記憶手段では、熱・流体解析、固体の大変形解析、これらの連成解析等でその都度、解析に適したメッシュ等に分割して、有限要素法等を適用するため、その解析結果を表示等はできるが、ＣＡＤとシミュレーションを一元化することが困難であり、設計・解析・加工・組立・試験等の各工程を同じデータで管理することができない問題点があった。
言い換えれば、現状のＳｏｌｉｄ／Ｓｕｒｆａｃｅ-ＣＡＤ（以下Ｓ-ＣＡＤと呼ぶ）には、以下の問題点があった。
（１）デ-タが渡らない、内部での変換操作に弱い（数値誤差と処理方法の問題）。
（２）シミュレーションに直接使えない（メッシュを生成しなくてはいけない）。
（３）ＣＡＭによる加工の検討ができない（最終形状しかもっていない）。
また加工においても以下の問題点があった。
（１）加工プロセスの表現ができない（荒加工や工程設計の支援が不十分）。
（２）レーザー加工や超先端加工など新しい加工法に対応できていない（切削しかない、数値精度が足りない）。
（３）加工法自体の選択ができない（複合体で内部に異なる材料特性を有する）。
上述した問題点を解決するために、本発明の発明者等は、「形状と物性を統合した実体データの記憶方法」を創案し、出願した（特願２００１−２５０２３、未公開）。
この発明は、図１に模式的に示すように、対象物の境界データからなる外部データを八分木分割により境界平面が直交する立方体のセルに分割し、分割された各セルを境界面を含まない非境界セル１３ａと境界面を含む境界セル１３ｂとに区分するものである。なおこの図で１５は切断点である。
この発明により、各セル毎に種々の物性値を記憶し、形状と物性を統合した実体データを小さい記憶容量で記憶することができ、これにより、物体の形状・構造・物性情報・履歴を一元的に管理し、設計から加工、組立、試験、評価など一連の工程に関わるデータを同じデータで管理することができ、ＣＡＤとシミュレーションを一元化することできる。
上述した実体データの記憶方法を以下「ボリュームＣＡＤ」又は「Ｖ−ＣＡＤ」と呼ぶ。なお本出願では、Ｖ-ＣＡＤを次のように定義する：「Ｖ−ＣＡＤとは、ｖｏｘｅｌ ｄａｔａｓｅｔのセル内に境界面が張られたものである」。
従来のＣＡＤはソリッドと言えども事実上はＢ-ｒｅｐ等のように中身の無い張りぼてであった。これに対してＶ-ＣＡＤは、内部まで詰まっており、物理量も保持できる。内部情報を持つ事により、これまでのＢ-ｒｅｐ等の形状処理では破綻しやすかった幾何演算が頑健に処理できると期待されている。さらに、Ｖ-ＣＡＤは単なる形状表現の道具としての枠を超え、シミュレーションや加工にも直接活かせるデータ基盤となることを目指している。このような「ものつくり」の体系が真に実現される為には、Ｖ-ＣＡＤを効果的に活かす様なシミュレーション技術や加工技術の開発も併行してなされなければならない。特に加工に関してはこれまで表面形状のデータだけがもっぱら使われていたので、ボリュームデータを真に活かしうる加工技術は光造形法やラピッドプロトタイピング（３Ｄインクジェット）を除いて殆ど存在してないとも言える。
ものつくりの世界の現状を踏まえたとき、従来型のＣＡＤが表す形状を読み込んでＶ-ＣＡＤ内にボリュームデータを生成することは非常に重要なことである。このため、Ｖ-ＣＡＤでは、境界セルに形状データ（外部データ）の境界を再構成できる境界データを保有させる必要がある。
従来、ボリュームデータからポリゴンを生成する際に一般に用いられているのが、Ｍａｒｃｈｉｎｇ Ｃｕｂｅｓ（以下、ＭＣと略す）である。ＭＣは、例えば、次の文献１に紹介されている。
（文献１）” ＭＡＲＣＨＩＮＧ ＣＵＢＥＳ： Ａ ＨＩＧＨ ＲＥＳＯＬＵＴＩＯＮ ３Ｄ ＳＵＲＦＡＣＥ ＣＯＮＳＴＲＵＣＴＩＯＮ ＡＬＧＯＲＩＴＨＭ”，Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｇｒａｐｈｉｃｓ，Ｖｏｌｕｍｅ２１，Ｎｕｍｂｅｒ ４，Ｊｕｌｙ １９８７．
参考として、図２ａ乃至図２ｄに２次元ＭＣのすべての切断点パターンおよび境界線分、図３ａ乃至図３ｎに３次元ＭＣのすべての切断点パターン（境界面は省略）を示す。
３次元ＭＣでは、３次元セル（立方体）の８頂点に正負の数値が書き込まれていて、それをもとに等値面を生成する（以下では値がゼロの面を考える）。立方体の稜の両端の数値の符合が異なるならばその稜上に一つの切断点を設け、符合が同じならば切断点は設けない。それを立方体の１２稜について行なったあと、その切断点をもとに面を張るものである。なお２次元ＭＣの場合も同様である。
図４ａ乃至図４ｃは、ＭＣとＫｉｔｔａ Ｃｕｂｅｓ（ＫＴＣ）の矩形セルにおける切断点の相違を示す図の一例である。この例において、ＭＣでは、図４ａの様な状況では正方形セルの４頂点（白丸）は、いずれも形状（閉じた曲線）の外部に位置するので同じ符合をもち、それゆえセルの４稜（４辺）には切断点が発生することは無く、結果としてこの場合セル内面は全く張られない。これは、ＭＣの立場に立てば、この形状を表すには現在の解像度では粗すぎたということを意味する。従って、この例でＭＣでは、セルの４稜の切断点を図４ｂ又は図４ｃのように表現できない問題点があった。図４ａは極端な例であるが、本質的に同じ不具合は頻繁に発生しうるものであり、図４ｄがその一例である。曲がった境界面とセル稜の交差において、頻繁に発生する。ＫＴＣではこれを図４ｆのように近似する。ＭＣでは図４ｇの様に近似される。図４ｃおよび図４ｆは二次元における一例である。三次元においては、さらに多くの場合がＫＴＣのみで表現可能である。同じ解像度でのＫＴＣはＭＣより格段に表現力が豊かであることがわかる。
これに対して、後述する本発明（ＫＴＣ）では、図４ｂのように４稜には切断点が２つづつ発生し、切断点個数を１稜上で０個または１個に制限すると、図４ｃのように表現できる。
図５ａと図５ｂは、従来のＭＣと本発明のＫＴＣの稜の切断点の相違を示す図である。ＭＣ構築の際にも、切断点個数は１稜上で０個または１個に制限されている。図５ａに例示するように、ＭＣではセルの各稜の両端の符合が正負逆の場合に対してのみその稜上に切断点を１つ発生させる。そのため、図５ｂに示すように、１つの稜上に切断点が与えられたとき、その両端の符合は正負逆の場合のみならず、符合が同じ場合のこともあり、ＭＣではその一部の場合しか、切断点を表現できないことになる。
図４ａ乃至図４ｃにおいて、閉じた実線で示す形状を表現するためには、ＭＣではセルを更に細分する必要が生じる。その結果、ＭＣを用いたＶ-ＣＡＤでは、境界データを保有するためにセルを更に細分する必要が生じ、その分、形状と物性を統合した実体データを記憶する記憶容量が指数関数的に増大してしまう。また、記憶容量が増大を避けると、境界部分の形状を精密に表現することが困難となる。
【発明の要約】
本発明は、上述した問題点を解決するために創案されたものである。すなわち、本発明の目的は、Ｍａｒｃｈｉｎｇ Ｃｕｂｅｓ（ＭＣ）によるすべてのセル稜切断点を内含し、かつＭＣでは得られないすべてのセル稜切断点を漏れなく網羅することができ、これによりセル稜切断点を結ぶ境界からなるセル内形状データを漏れなく網羅することができる境界データのセル内形状データへの変換方法及び変換プログラムを提供することにある。
本発明によれば、分割手段（Ａ）が、対象物の境界データからなる外部データ（１２）を直交格子のセル（１３）に分割し、切断点決定手段（Ｂ）が、前記境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とし、境界決定手段（Ｃ）が、求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとし、セル区分手段（Ｄ）が、分割された各セルを境界面を含まない非境界セル（１３ａ）と境界データを含む境界セル（１３ｂ）とに区分し、境界セルデータ区分手段が、境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分し、前記セルは２次元の長方形セルであり、前記切断点決定手段（Ｂ）は、境界データとセルの稜との２ ^４ ＝１６通りの交点をセル稜切断点とし、該セル稜切断点の決定において切断点個数を１稜あたり０個または１個に制限し、更に回転操作による同値類を同一パターンとして全６パターンに区分し、前記境界決定手段（Ｃ）は、前記６パターンすべてに対して、セル稜切断点を結ぶ境界線をセル内形状データとする、ことを特徴とする境界データのセル内形状データへの変換方法が提供される。
また、本発明によれば、分割手段（Ａ）が、対象物の境界データからなる外部データ（１２）を直交格子のセル（１３）に分割し、切断点決定手段（Ｂ）が、前記境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とし、境界決定手段（Ｃ）が、求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとし、セル区分手段（Ｄ）が、分割された各セルを境界面を含まない非境界セル（１３ａ）と境界データを含む境界セル（１３ｂ）とに区分し、
境界セルデータ区分手段が、境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分し、前記セルは、直方体セルであり、前記切断点決定手段（Ｂ）は、境界データとセルの稜との２ ^１２ ＝４０９６通りの交点パターンをセル稜切断点とし、該セル稜切断点の決定において切断点個数を１稜あたり０個または１個に制限し、更に回転操作と鏡映操作による同値類を同一パターンとして全１４４パターンに区分し、前記境界決定手段（Ｃ）は、前記全１４４パターンすべてに対して、セル稜切断点を結ぶ境界面をセル内形状データとする、ことを特徴とする境界データのセル内形状データへの変換方法が提供される。
また、本発明によれば、コンピュータを、対象物の境界データからなる外部データ（１２）を直交格子のセル（１３）に分割する分割手段（Ａ）、前記境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とする切断点決定手段（Ｂ）、求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとする境界決定手段（Ｃ）、分割された各セルを境界面を含まない非境界セル（１３ａ）と境界面を含む境界セル（１３ｂ）とに区分するセル区分手段（Ｄ）、および 境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分する境界セルデータ区分手段（Ｅ）として機能させるための境界データのセル内形状データへの変換プログラムであって、記セルは２次元の長方形セルであり、前記切断点決定手段（Ｂ）は、境界データとセルの稜との２ ^４ ＝１６通りの交点をセル稜切断点とし、該セル稜切断点の決定において切断点個数を１稜あたり０個または１個に制限し、更に回転操作による同値類を同一パターンとして全６パターンに区分し、前記境界決定手段（Ｃ）は、前記６パターンすべてに対して、セル稜切断点を結ぶ境界線をセル内形状データとする、ことを特徴とする境界データのセル内形状データへの変換プログラムが提供される。
また、本発明によれば、コンピュータを、対象物の境界データからなる外部データ（１２）を直交格子のセル（１３）に分割する分割手段（Ａ）、前記境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とする切断点決定手段（Ｂ）、求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとする境界決定手段（Ｃ）、分割された各セルを境界面を含まない非境界セル（１３ａ）と境界面を含む境界セル（１３ｂ）とに区分するセル区分手段（Ｄ）、および 境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分する境界セルデータ区分手段（Ｅ）として機能させるための境界データのセル内形状データへの変換プログラムであって、前記セルは、直方体セルであり、前記切断点決定手段（Ｂ）は、境界データとセルの稜との２ ^１２ ＝４０９６通りの交点パターンをセル稜切断点とし、該セル稜切断点の決定において切断点個数を１稜あたり０個または１個に制限し、更に回転操作と鏡映操作による同値類を同一パターンとして全１４４パターンに区分し、前記境界決定手段（Ｃ）は、前記全１４４パターンすべてに対して、セル稜切断点を結ぶ境界面をセル内形状データとする、ことを特徴とする境界データのセル内形状データへの変換方法プログラムが提供される。
上述した本発明の方法及び変換プログラムによれば、分割ステップ（Ａ）とセル区分ステップ（Ｄ）により、対象物の外部データ（１２）を直交格子のセル（１３）に分割したセルの階層として小さい記憶容量で外部データ（１２）を記憶することができる。
また、切断点決定ステップ（Ｂ）において、境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とするので、「セル稜の両端の数値の符合が異なるならばその稜上に一つの切断点を設け、符合が同じならば切断点は設けない」ＭＣによるすべての切断点配置を内含し、かつそれ以外の境界面とセル稜線との全ての切断点配置を１稜１切断点条件の下で漏れなく網羅することができる。
更に、境界決定ステップ（Ｃ）において、求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとするので、ＭＣによるすべてのセル内形状パタンを包含し、かつそれ以外のセル内形状パタンを１稜１切断点条件の下で漏れなく網羅することができる。
また、境界セルデータ区分ステップ（Ｅ）において、境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分するので、すべてのセルデータを隣接するセルとの連続性を保ちながら、非境界セルデータと境界セルデータに区分できる。
また、２次元セルの場合に、セル稜切断点のパターンをＭＣによる４パターンを内含する全６パターンに区分し、１稜１切断点条件の下で起こり得るセル稜切断点のパターンを漏れなく網羅することができる。
また、３次元セルの場合に、セル稜切断点のパターンをＭＣによる１４パターンを内含する全１４４パターンに区分し、１稜１切断点条件の下で起こり得るセル稜切断点のパターンを漏れなく網羅することができる。
本発明のその他の目的及び有利な特徴は、添付図面を参照した以下の説明から明らかになろう。
【図面の簡単な説明】
【図１】 Ｖ-ＣＡＤの原理図である。
【図２】 図２ａ乃至図２ｄは、２Ｄ-ＭＣの同値類４種を示す図である。
【図３】 図３ａ乃至図３ｎは、３Ｄ-ＭＣの切断点配置の同値類を全てを示す図である。
【図４】 図４ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆはＫＴＣの典型例である。図４ｇは図４ｆをＭＣで表現したものである。
【図５】 図５ａと図５ｂは、ＭＣとＫＴＣのセル稜上の切断点の相違を示す図である。
【図６】 本発明のデータ変換方法及び変換プログラムのフロー図である。
【図７】 図７ａ乃至図７ｆは、２Ｄ-ＫＴＣにおける切断点配置の全ての同値類を示す図である。
【図８】 図８ａ乃至図８ｖは、図７の上での２Ｄ-ＫＴＣにおける切断線分の配置の全ての同値類を示す図である。
【図９】 立方八面体（準正多面体の一つ）である。
【図１０】 図１０ａ乃至図１０ａｄは、３Ｄ-ＫＴＣにおける切断点配置のうち切断点個数が０〜４個の場合の同値類３０個を示す図である。
【図１１】 図１１ａ乃至図１１ａａは、３Ｄ-ＫＴＣにおける切断点配置のうち切断点個数が４又は５個の場合の同値類２７個を示す図である。
【図１２】 図１２ａ乃至図１２ａｄは、３Ｄ−ＫＴＣにおける切断点配置のうち切断点個数が６個の場合の同値類３０個を示す図である。
【図１３】 図１３は、与えられた全ての切断点を結ぶ線分が立方体の表面上で閉ループを構成する例を示す図である。
【図１４】 図１４は、図９の立方八面体の頂点１２個と稜３６本のパスとの関係を平面上のグラフとして表現したものである。
【図１５】 図１５は、閉ループが定まってもセルが分割されない例を示す図である。
【図１６】 図１６ａ、ｂ、ｃは、閉ループが作れてもそれを縁とする３角形分割の仕方によってはセルが２分割にも３分割にも成り得る例を示す図である。
【図１７】 図１７は、１本の閉ループで全ての切断点を結ぶことはできなくてもセルを２分割する例を示す図である。
【図１８】 図１８ａ、ｂ、ｃは、切断点を結ぶ閉ループが６角形の時、それを正６角形とみなしカタラン数から得られる１４通りの三角形分割を同値類３個で示す図である。
【図１９】 図１９ａ乃至図１９ｄは、サイクライドと金型のＢ-ｒｅｐ形状表現とＫＴＣの面張りとを比較したディスプレイ上の画像である。
【好ましい実施例の説明】
以下、本発明の好ましい実施形態を図面を参照して説明する。
図６は、本発明のデータ変換方法及び変換プログラムのフロー図である。この図に示すように、本発明の方法及び変換プログラムは、分割ステップ（Ａ）、切断点決定ステップ（Ｂ）、境界決定ステップ（Ｃ）、セル区分ステップ（Ｄ）及び境界セルデータ区分ステップ（Ｅ）からなる。
外部から入力する外部データ１２は、多面体を表すポリゴンデータ、有限要素法に用いる四面体又は六面体要素、３次元ＣＡＤ又はＣＧツールに用いる曲面データ、或いはその他の立体の表面を部分的な平面や曲面で構成された情報で表現するデータである。
外部データ１２は、このようなデータ（Ｓ−ＣＡＤデータと呼ぶ）のほかに、（１）Ｖ−ＣＡＤ独自のインターフェース（Ｖ−ｉｎｔｅｒｆａｃｅ）により人間の入力により直接作成されたデータと、（２）測定機やセンサ、デジタイザなどの表面のデジタイズデータや、（３）ＣＴスキャンやＭＲＩ、および一般的にＶｏｌｕｍｅレンダリングに用いられているボクセルデータなどの内部情報ももつＶｏｌｕｍｅデータであってもよい。
分割ステップ（Ａ）では、外部データ取得ステップ（図示せず）で取得した対象物の境界データからなる外部データ１２を直交格子のセル１３に分割する。
２次元セルの場合には、この分割は四分木分割により長方形セルに分割する。
また３次元セルの場合には、八分木（オクトリー、ｏｃｔｒｅｅ）分割により直方体のセル１３に分割する。オクトリー表現、すなわち八分木による空間分割とは、目的の立体（対象物）を含む、基準となる直方体１３を８分割し、それぞれの領域の中に境界面が含まれなくなるまで再帰的に８分割処理を指定されたセルサイズまで繰り返す。この八分木分割によりボクセル表現よりも大幅にデータ量を減らすことができる。
四分木又は八分木による空間分割により分割された一つの空間領域をセル１３とよぶ。セルは長方形又は直方体である。長方形又は直方体は、特別な場合として正方形及び立方体であるが、より一般的には稜が互いに直交していない四角形や６面体でも良い。このセルによる階層構造、分割数もしくは分解能によって空間中に占める領域を表現する。これにより空間全体の中で対象は大きさの異なるセルを積み重ねたものとして表現される。
切断点決定ステップ（Ｂ）では、境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点１５とする。
２次元セルの場合に、切断点決定ステップ（Ｂ）において、境界データとセルの稜との２４＝１６通りの交点パターンをセル稜切断点配置とし、更に三次元の回転操作による同値類を同一パターンとして後述する全６パターンに区分する。
また３次元セルの場合には、切断点決定ステップ（Ｂ）において、境界データとセルの稜との２１２＝４０９６通りの交点パターンをセル稜切断点配置とし、更に回転操作と鏡映操作による同値類を同一パターンとして後述する全１４４パターンに区分する。３次元セルの場合にはパターン数が多いので、更に切断点の存在／非存在に関する反転操作による同値類を同一パターンとしてセル稜切断点が０〜６個の８７パターンから、切断点７〜１２個までの全１４４パターンを再現できる。
境界決定ステップ（Ｃ）では、求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとする。
２次元セルの場合に、境界決定ステップ（Ｃ）において、セル稜切断点の６パターンすべてに対して、セル稜切断点を結ぶ境界線分配置をセル内形状データとする。更に具体的には、セル内形状データを三次元の回転操作による同値類を同一パターンとして後述する２２種類のセル内形状パターンに区分するのがよい。
また３次元セルの場合には、境界決定ステップ（Ｃ）において、セル稜切断点の全パターンすべてに対して、セル稜切断点を結ぶ近似境界面（＝切断三角形配置）をセル内形状データとする。なお、後述する具体例では、セル稜切断点を結ぶ近似境界面を求めることを「面を張る」と表現することもある。
セル区分ステップ（Ｄ）では、分割された各セルを境界面を含まない非境界セル１３ａと境界面を含む境界セル１３ｂとに区分する。
すなわち本発明では境界セル１３ｂを表現するために四分木又は八分木を使い、完全に内部に含まれるものはその最大の大きさをもつ内部セル１３ａとし、外部データ１２からの境界情報を含むセルは境界セル１３ｂとする。
境界セルデータ区分ステップ（Ｅ）では、境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分する。
本発明の方法では、必要に応じてステップ（Ａ）〜ステップ（Ｅ）を繰り返し行う。また、得られたＶ−ＣＡＤデータを用いて、例えば、設計・解析・加工・組立・試験等のシミュレーションを順次行い、これを出力ステップ（例えばＣＡＭやポリゴンデータとして）に出力する。
また、本発明の変換プログラムは、上述したステップ（Ａ）〜ステップ（Ｅ）を実行するためのコンピュータプログラムであり、コンピュータに実装して使用する。
以下、本発明を更に詳細に説明する。
１．本発明では、セル内面を生成する為の新しい手法を提案する。これはＭａｒｃｈｉｎｇ Ｃｕｂｅ法のセル内面パタンを完全に包含し、より一般的な手法である。
本発明では、ボクセル集合にポリゴンなどの形状を読み込んでボリュームデータを生成するときに、サンプリング点としてセルの稜と形状表面との交点を切断点として記録し、これら切断点情報をもとに形状表面を復元する。
また本発明では、切断点からのセル内面生成パタンをまず２次元において完全に定義する。すなわち、切断点配置の同値類の数え上げ（６パターン）およびそれら全切断点配置に対してセル内面が張られる全ての可能性（２２通り）を網羅する。
３次元に対しては、切断点配置に対する同値類の数え上げ（１４４パターン）を本発明で行った。また、３次元のセル内面生成について、すべての切断点配置の内、過半数のものに対しては、立方体の６面上で切断点を自己交差なく線分で結合していける。このような閉ループが構成されれば、それを外縁とするようなセル内面を比較的容易に張ることが出来る。数え上げの結果、全切断点を１回ずつ通る１本の配置は１４４パターンの内８７パターンである。閉ループを用いて張られたセル内面の実例を後述する。
１．１ 従来型ＣＡＤの表面形状をセル空間に読み込んで、表面とセルの稜との交点（切断点）を記録し、そこからもとの表面形状を三角形面として近似することが本発明の主題である。
１．２ Ｍａｒｃｈｉｎｇ Ｃｕｂｅｓ（ＭＣ）
上述したＭａｒｃｈｉｎｇ Ｃｕｂｅｓ（ＭＣと略す）では、セルの８頂点に正負の数値が書き込まれていて、それをもとに等値面を生成する（以下では値がゼロの面を考える）。立方体の稜の両端の数値の符合が異なるならばその稜上に一つの切断点を設け、符合が同じならば切断点は設けない。それを立方体の１２稜について行なったあと、その切断点をもとに面を張るというものである。
ＭＣでは、簡潔なアルゴリズムで頑健に面が張れるので、広く世の中で使われるようになった。ＭＣの中身は次の２つにまとめられる。即ち、（１）切断点配置のパターン分類、および（２）各切断点配置に対するセル内面の張り方の定義（つまり切断点をどのようにつなぐか）である。ＭＣの曖昧性の問題とは、ここでいう（２）のセル内面の張り方が必ずしも一意でないということであるが、実装上一意に面が張られるように指定することは難しいことではない。それは例えば、曖昧さが生じる場合に対して、値の大きい頂点同士が繋がるようにセル内面を張ると決める、などすれば良い。或いは、値が小さい方の頂点同士を繋ぐと決めても良い。ＭＣの頑健さとは、このように決めることで穴が無く張れる、すなわちセル内面を構成する３角形の稜が２枚の３角形で共有されていることを指す。
１．３ Ｋｉｔｔａ Ｃｕｂｅｓ（ＫＴＣ）
本発明において、切断点を頂点とする切断三角形で表面形状を近似する為の新しい広義の手段を提案するが、それをＫｉｔｔａ Ｃｕｂｅｓ（以下、ＫＴＣと略す）と名づける（Ｋｉｔｔａは、日本語の「切った」を意味している）。
上述したＭＣでは、頑健にセル内面が張られるが、そのことは、必ずしも形状を正しく表現していることを意味しない。同じ解像度（＝同じセルの大きさ）で形状表現をする際、ＫＴＣを使えばＭＣよりも正確に表現出来ることが、本発明で明らかになる。
ＫＴＣの正確な定義を行なう前に、ＫＴＣがＭＣよりも正確に形状表現出来ることを示す典型的な実例を二次元にて与えておく（図４ａ、ｂ、ｃ）。上述したようにＭＣにおいては、図４ａの様な状況では正方形セルの４頂点は、いずれも形状の外部に位置するので同じ符合をもち、それゆえセルの４稜には切断点が発生することは無く、結果として図４ａの場合セル内面は全く張られない。これは、ＭＣの立場に立てば、この形状を表すには現在の解像度では粗すぎたということを意味する。
次に同じ解像度に対してＫＴＣを適用する。切断点のチェックにより図４ｂの様な切断点が記録される。１稜上の切断点個数を１個までとし図４ｂに現れた２個の切断点を適当な位置の１個に統合すれば、最終的に図４ｃの様なセル内面が張られることになる。両者の表現力の差は明白である。図４ａは極端な例であるが、本質的に同じ不具合は頻繁に発生しうるものであり、図４ｄもその一例である。曲がった境界面とセル稜の交差において、頻繁に発生する。ＫＴＣではこれを図４ｆのように近似する。ＭＣでは図４ｇの様に近似される。図４ｃおよび図４ｆは二次元における一例である。三次元においては、さらに多くの場合がＫＴＣのみで表現可能である。同じ解像度でのＫＴＣはＭＣより格段に表現力が豊かであることがわかる。
実は、アルゴリズムの枠組みをＫＴＣとＭＣとで比較した場合、ＫＴＣはＭＣを完全に包含していることが後述される。つまり、ＭＣパタンはＫＴＣパタンの部分集合である。その意味で、ＫＴＣの形状表現がＭＣよりも豊かであるのは当然である。
図４ａ、ｂ、ｃにおいて、１稜上の切断点を１個までに制限したが、ＭＣとＫＴＣの枠組みを理解する為には、この制限が詳細な意味において明確な差を持つことを認識することが重要である。ＭＣ構築の際にも、切断点個数は１稜上で０個または１個に制限されていた。本発明においても、切断点の個数は１稜上で０個または１個の枠組みでＫＴＣを構築する。両者の差は、ＭＣではセルの各稜の両端の符合が正負逆の場合に対してのみその稜上に切断点を１つ発生させるが（図５ａ）、ＫＴＣでは１つの稜上に切断点が与えられたとき、その両端の符合は正負逆の場合のみならず、符合が同じ場合にも与えられる（図５ｂ）。
以下、ＭＣの場合を「狭義１稜１切断点条件」、ＫＴＣの場合を「広義１稜１切断点条件」と呼び、これらを明確に区別することにする。図５ａと図５ｂから明らかな様に、広義１稜１切断点条件は狭義１稜１切断点条件を完全に含んでいる。したがって、両者から与えられる二次元及び三次元の切断点配置のパターンに関しても、ＭＣの全パターンは、ＫＴＣの全パターンの部分集合となる。
２．二次元Ｋｉｔｔａ Ｃｕｂｅｓ（２Ｄ-ＫＴＣ） ＫＴＣを２次元において構成する。
２． １ ２Ｄ-ＫＴＣにおける切断点配置の分類
２Ｄ-ＫＴＣは、２段階で構成される。第１段階は、正方形の４稜に対する切断点配置の分類であり、第２段階は各切断点配置に対する切断線分（＝切断点を両端に持つ線分）の配置の分類である。
図７ａ乃至図７ｆは、２Ｄ-ＫＴＣにおける切断点配置のすべてのパターンを示す図である。４稜の各々に対する、切断点の存在または非存在の２つの可能性から２４＝１６通りであるが、それらを回転操作に対する同値類を数え上げると表１および図７ａ乃至図７ｆの６パターンにまとめられる。なおこの図で丸で囲んだものは、２Ｄ-ＭＣに存在するものを示している。
切断点の存在非存在に関する反転操作を同値類の分類に加えるならば、６パターンは４パターンにまとめられる。ただし、２．２で切断線分の配置を扱う際には、６パターン全てに対して定義する必要がある。
【表１】

後述するＡｐｐｅｎｄｉｘ Ａ，Ｂにおいて２Ｄおよび３ＤのＭＣを扱うが、ＭＣにおいて頂点の白黒塗りわけ（これは頂点の値の正負の区別に対応）の白黒反転がセル内面の分類上許されるのは、白黒反転後の切断点配置は、白黒反転前の切断点配置と不変だからである。
図７ａ乃至図７ｆの各配置の縮退度は、順に１，４，４，２，４，１である（足し合わせると１６）。ここで、「縮退度」とは、回転操作で１つの同値類へと集約された配置の数である。
２．２ ２Ｄ-ＫＴＣにおける切断線分配置
２Ｄ-ＫＴＣの第２段階に進む。ここでは、２．１で得られた６種類の切断点配置の各々に対して、切断線分配置のあらゆる可能性を網羅する。網羅のポイントは、「注目しているセル内に切断線分を配置する際に、そのセルの稜上に存在する全ての切断点を利用する必要はない」ということである。一つの稜は、２つのセルに共有されており、その稜に切断点が一つあったとき、もし片方のセル内でそれがセル内線を張るために利用されなかったとしても、他方のセルで利用される可能性がある。
もちろん、どちらのセルからも利用されない可能性もある。それは、非常に小さい形状が、その１本の稜とだけ交差する場合である。それに対する実装上の処理としては、切断点情報を活かす態度としては、その稜上に微小な線分を置くことになるだろうし、別の態度は、その切断点を線張りに全く利用しないことである。ただし、線分を置く事（３次元では面分を置く事）は、形状表面が多様体でなくなることを意味するので、本発明中では網羅の対象としない。同じ理由で、セル内で切断線分同士が交差する場合や分岐（＝同一セル稜上で３本の切断線分が交わっている）している場合も数え上げの対象から除外した。
図８ａ乃至図８ｖは、２Ｄ-ＫＴＣにおける切断線分の配置の全てを示す図であり、２．１で得られた６種類の切断点配置の各々に対して、線張りのあらゆる可能性を調べた結果である。なおこの図で丸で囲んだものは、２Ｄ-ＭＣに存在するものを示しているが、２Ｄ-ＫＴＣの部分集合に過ぎないことがわかる。
これらの同値類（ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ）を数え上げる際には三次元の回転操作が利用された。切断線分の接続が多様体的つまり交差や分岐を持たないと仮定すれば、図８ａ乃至図８ｖの４頂点を白と黒で塗り分けることが出来る。ＭＣの場合と違って、この塗りわけは切断線分配置後に行われる。図８の切断線分配置パタンに注目すると、例えば２Ａ（１），３（５），４（９）のように同じタイプのものが現れるが、全ての切断点配置に対する面の張り方を網羅する目的の為には、どちらも省略できない。ちなみに図８ａ乃至図８ｖに描かれた２２種類のパターンを切断線分配置で分類すれば１０ケースになる。
３．三次元Ｋｉｔｔａ Ｃｕｂｅｓ（３Ｄ-ＫＴＣ）
３．１ ３Ｄ-ＫＴＣにおける切断点配置の分類
総数２１２＝４０９６の切断稜配置が、回転操作と鏡映操作のみを許したとき、いくつの同値類にまとまるか、またそれらはどのような配置であるかを解き明かす。
まず、［数１］の（１）（２）式が成り立つから、切断点個数が０〜５個に対する配置に切断点の有無に関する反転操作をすることで切断点個数が７〜１２個に対する配置が得られることがわかり、同値類に関してもその反転操作で対応づいている。
【数１】

まず図９のように立方体の辺に１〜１２までのインデックスを与えておく。正八面体群の回転操作２４に鏡映操作を加えると４８の置換操作が可能である。４０９６個の配置の指標を１番目から順に一つずつ新出か既出かをチェックして行くが、そのとき個々の配置に４８回の操作を施し、既出のリストと照らすことでそれと同じ配置が既に登場しているかどうか判断できる。表２に示すように、最終的に１４４種類の互いに異なる切断点配置が得られる。
【表２】

前段落で述べたように切断点個数が７〜１２個に対する同値類は、切断点個数が０〜５個に対する同値類から再現できるので、切断点個数が０〜６個に対する全８７パターンを表３にまとめ、図１０ａ〜図１０ａｄ、図１１ａ〜図１０ａａ、図１２ａ〜図１２ａｄ、には図を掲げる。なおこれらの図で丸で囲んだものは、３Ｄ-ＭＣに存在するものを示している。ＭＣに現れる切断点配置パタンがＫＴＣの切断点配置パタンのごく一部であることがわかる。図１０、１１、１２では、切断点個数が７〜１２個の場合を省略したが、２Ｄ-ＫＴＣの場合と同様、切断三角形の配置を考える際には全１４４パタンが必要となる。
【表３】

１４４種類の配置のどれもが、実際に表面形状をセル空間に読み込んだ際の切断点配置として出現し得るものである。Ａｐｐｅｎｄｉｘ Ｂの表７に３Ｄ-ＭＣの全ての切断配置を３Ｄ-ＫＴＣのそれと対応させた。ＭＣはＫＴＣのごく一部分でしかないことがわかる。
３．２ ３Ｄ-ＫＴＣにおける面張り定義に関して
与えられた全ての切断点を結ぶ線分がセルの表面上で閉ループを構成する一例を図１３に示した。図９にセルと共に示されたのは、立方八面体（準正多面体の一つ。正３角形８枚と正方形６枚とからなる１４面体）である。切断点の位置が各稜の中心点であるとしても切断点配置の数え上げや閉ループを考察する上で一般性を失わない。この立方八面体は、それら１２稜上の中心点１２個に対する凸包となっている。上記の閉ループを辿る為の道としては、１４面体の各正方形面の２本ずつの対角線つまり全部で１２本の対角線と、１４面体がもともと有する２４稜とを合わせた３６本である。
この準正多面体の頂点１２個と稜３６本のパスとの関係を平面上のグラフとして表現したものが図１４である。この図を元にハミルトン閉路の数え上げを説明する。このグラフにおいて１２個の頂点は全て価数６で同等となっており、ここでの数え上げは、特定の一つの頂点から行うだけでよい。ハミルトン閉路として許されるパスは、立方体の表面上で与えられた全ての切断点を通過して、途中で同じパスや同じ切断点を２度以上通らずに始点に戻ってくるものである。切断点個数が０〜１２に対する切断点配置全１４４種類のうちの過半数である８７種類がこのような非自己交差ハミルトンパスを持つことを数え上げた。
実は、これら閉ループから生成されるセル内面の多くは、Ｖ-ＣＡＤにとって好ましいものとなっている。Ｖ-ＣＡＤが、セル内の情報として物理情報を持つことは上述したが、多媒質にも対応できる。そのとき異材の界面では、セル内を複数の物質が占めることとなるが、この物質の数が３種類以上になったとき、何らかの処理を施すことにより１つのセル内の物質数は２種類までに制限することが好ましい。なお閉ループから作られるセル内面の多くは、セルを２分割するので、好都合である。
ただし、全ての閉ループがセルを２領域に分けるのではない。たとえば、図１５の様に閉ループが作れてもセルが分割されないこともある。図１６ａ、ｂ、ｃの例は、閉ループが作れてもそれを縁とする３角形分割の仕方によっては２分割にも３分割にも成り得ることを示している。逆に、全切断点を通る１本の閉ループを作れなくてもセルを２分割する場合もあり、その一つを図１７に示す。
３．３ 三角形分割に関して
閉ループが出来ると、それを縁とするようなセル内面を張ることは多くの場合容易である。セル内面を三角形分割する問題は、平面上で多角形を三角形分割する問題と関係しており、その三角形分割のパターンの場合の数は、カタラン数を用いて表されることが知られている。カタラン数と三角形分割に関しては、Ａｐｐｅｎｄｉｘ Ｃで後述する。
３．４ ３Ｄ-ＫＴＣの実装例
閉ループを利用した実装を試みた。Ｂ-ｒｅｐ形状表現を読み込んで切断点を記録し、それらに対して閉ループを探し、三角形分割を行った。例題は、サイクライド（図１８ａ）および金型（図１８ｂ）である。これらを切断点情報をもとに復元したのが、図１８ｃ，ｄである。これらは、ＫＴＣの面張りの可能性のごく一部分としての、閉ループから生成したものだが、十分な表現力を持っているといえる。
ここで強調しておくべきことは、これら閉ループと対応する切断点配置は、ＫＴＣの一部に過ぎないが、それでもＭＣの切断点配置の枠組みにはおさまり切れないものだということである。ＭＣの切断点配置が全て合わせても１４通りであるのに対して、ＫＴＣの切断点配置１４４種類の内、閉ループと対応づくものだけでも前述のように８７種類ある。１例を示すと、図１６ａ乃至図１６ｃの切断点配置は閉ループを構成可能であるが、ＭＣの中には存在しないパターンである。さらに、図４ｆの三次元版としてウォータジェット１６ｄも挙げておく。
４．まとめ
上述ように、ＫＴＣとＭＣを同じ解像度で比較するとき、ＫＴＣの方がＭＣよりも精密な形状表現が可能である。これは、ＫＴＣの切断三角形配置の同値類がＭＣのそれを完全に含んでいることから当然の結果である。
本発明では広義の１稜１切断点だけを仮定したときにＫＴＣが示す多様さを厳密に提示した。
Ａｐｐｅｎｄｉｘ Ａ： 二次元Ｍａｒｃｈｉｎｇ Ｃｕｂｅｓ（２Ｄ-ＭＣ）
図２ａ乃至図２ｄに２Ｄ-ＭＣの同値類４種を示す。セルの４頂点上の白黒反転操作と三次元の回転操作だけを用いてこの４パターンを得る。ＭＣは狭義の一稜１切断条件に従うから、４つの頂点白黒塗り分けパタンと切断点配置パタンが１対１に対応する。図２ａ乃至図２ｄ中各パターンにｍｃ-０，ｍｃ-１，ｍｃ-２，ｍｃ-３のインデックスを割り当てた。
２．１で２Ｄ-ＫＴＣを述べたが、同値類を分類する前の配置の総数は、２次元においてはＭＣもＫＴＣも同じ１６（＝２４）であることに注意されたい。これは、正方形の頂点数と辺の数がどちらも４であることに起因する。（立方体では、頂点と稜の個数が異なるので、切断点配置の総数も３Ｄ-ＭＣの２５６（＝２８）に対して、３Ｄ-ＫＴＣは４０９６（＝２１２）と異なる。）
表４は切断点配置に関する同値類の個数を、全配置数と対応させた表である。また表５は、ＭＣの切断点配置とＫＴＣの切断点配置の対応表であり。ここに登場しないＫＴＣの切断点配置、つまり図７ｂと図７ｅは、ＭＣの切断点配置には存在しない。
【表４】

【表５】

Ａｐｐｅｎｄｉｘ Ｂ： 三次元Ｍａｒｃｈｉｎｇ Ｃｕｂｅｓ（３Ｄ-ＭＣ）
図３ａ乃至図３ｎにＭＣの切断点配置の同値類を全て示した。分類に用いられた操作は、頂点上の白黒反転操作、回転操作、そして鏡映操作である。その結果、２５６（＝２８）種類の頂点塗り分けは、これら１４パターンに分類される。これらを切断点の個数に関してまとめると表６の様になる。
【表６】

ＭＣの図は、通常ＭＣの原論文に合わせて０−１４の計１５通りで表されるが、ここには１４通りしかないことに注意されたい（図３ａ乃至図３ｎ）。省略されたＭＣ-１４は、ＭＣ-１１の鏡映対称であった。ＭＣ-１１の面の張り方が決まれば鏡映操作によりＭＣ-１５のそれも一意に決まるので、本発明内での記述の一貫性（同値類の数え上げに鏡映操作も用いること）を保つ上で省略する。
図３ａ乃至図３ｎは原論文の図の並びと同じであるが、セル内面が省かれ、上述の理由でＭＣ-１４が削除されている。これらＭＣの全ケースとＫＴＣとの対応を表７に示す。
【表７】

Ａｐｐｅｎｄｉｘ Ｃ：多角形の３角形分割とカタラン数
セルの表面を辿る閉ループを縁とするような折れ面の生成、すなわちループの内部を３角形分割する問題は、多くの場合平面上の凸ｎ角形を３角形分割する問題に帰着できる。（閉ループ全体が平面的では無い場合、すなわち折れ曲がりの激しいセル内面が閉ループから生成される場合には、後者に帰着できない恐れがあるかもしれない。）
三角形分割の場合の数を求める問題は、カタラン数と関連していることが知られている。結果のみを以下に記す。
カタラン数Ｃｍは（数２）の（３）式で示される。このとき、凸ｎ角形をその内部で交わらない対角線によって３角形分割するとき、異なる分割の仕方が幾通りかを求めたい。求める数Ｔｎは（数２）の（４）式で与えられる。
【数２】

この式に、ｎ＝３，４，…，１２を代入すると、Ｔ３＝１，Ｔ４＝２，Ｔ５＝５，Ｔ６＝１４，…，Ｔ１２＝１６７９６が得られる。
ｎ＝５以下はさほど難しくない。Ｔ６＝１４について補足する。正６角形に対して、これら１４通りを三角形の回転によってまとめると図１９ａ、ｂ、ｃに示した３パターンにまとまる。図１９ａ、図１９ｂ、図１９ｃはそれぞれ６通り、２通り、６通りの三角形分割方法を代表する同値類の図示である。これらを足し合わせると１４通りになることが確認される。
上述したように、本発明の方法及び変換プログラムによれば、分割ステップ（Ａ）とセル区分ステップ（Ｄ）により、対象物の外部データ（１２）を直交セル（１３）に分割したセルの階層として小さい記憶容量で外部データ（１２）を記憶することができる。
また、切断点決定ステップ（Ｂ）において、境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とするので、「両端の数値の符合が異なるならばその稜上に一つの切断点配置を設け、符合が同じならば切断点配置は設けない」ＭＣによるすべての切断点を内含し、かつ１稜１切断条件の下で境界面とセル稜線とのすべての切断点を漏れなく網羅することができる。
更に、境界決定ステップ（Ｃ）において、求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとするので、ＭＣによるすべてのセル内形状データを内含し、かつ１稜１切断条件の下でのセル内切断三角形配置を漏れなく網羅することができる。
また、境界セルデータ区分ステップ（Ｅ）において、境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分するので、すべてのセルデータを隣接するセルとの連続性を保ちながら、内部セルデータと外部セルデータに区分できる。
従って、本発明の境界データのセル内形状データへの変換方法及び変換プログラムは、ＭＣによるすべてのセル稜切断点を内含しかつその他のすべてのセル稜切断点を１稜１切断条件の下で漏れなく網羅することができ、これによりセル稜切断点を結ぶ境界からなるセル内形状データを漏れなく網羅することができる、等の優れた効果を有する。
なお、本発明をいくつかの好ましい実施例により説明したが、本発明に包含される権利範囲は、これらの実施例に限定されないことが理解されよう。反対に、本発明の権利範囲は、添付の請求の範囲に含まれるすべての改良、修正及び均等物を含むものである。

Claims (6)

1. 分割手段（Ａ）が、対象物の境界データからなる外部データ（１２）を直交格子のセル（１３）に分割し、
   切断点決定手段（Ｂ）が、前記境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とし、
   境界決定手段（Ｃ）が、求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとし、
   セル区分手段（Ｄ）が、分割された各セルを境界面を含まない非境界セル（１３ａ）と境界データを含む境界セル（１３ｂ）とに区分し、
   境界セルデータ区分手段が、境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分し、
   前記セルは２次元の長方形セルであり、
   前記切断点決定手段（Ｂ）は、境界データとセルの稜との２ ^４ ＝１６通りの交点をセル稜切断点とし、該セル稜切断点の決定において切断点個数を１稜あたり０個または１個に制限し、更に回転操作による同値類を同一パターンとして全６パターンに区分し、
   前記境界決定手段（Ｃ）は、前記６パターンすべてに対して、セル稜切断点を結ぶ境界線をセル内形状データとする、ことを特徴とする境界データのセル内形状データへの変換方法。
2. 前記境界決定手段（Ｃ）は、セル内形状データを三次元の回転操作による同値類を同一パターンとして２２種類のセル内形状パターンに区分する、ことを特徴とする請求項１に記載の境界データのセル内形状データへの変換方法。
3. 分割手段（Ａ）が、対象物の境界データからなる外部データ（１２）を直交格子のセル（１３）に分割し、
   切断点決定手段（Ｂ）が、前記境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とし、
   境界決定手段（Ｃ）が、求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとし、
   セル区分手段（Ｄ）が、分割された各セルを境界面を含まない非境界セル（１３ａ）と境界データを含む境界セル（１３ｂ）とに区分し、
   境界セルデータ区分手段が、境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分し、
   前記セルは、直方体セルであり、
   前記切断点決定手段（Ｂ）は、境界データとセルの稜との２^１２＝４０９６通りの交点パターンをセル稜切断点とし、該セル稜切断点の決定において切断点個数を１稜あたり０個または１個に制限し、更に回転操作と鏡映操作による同値類を同一パターンとして全１４４パターンに区分し、
   前記境界決定手段（Ｃ）は、前記全１４４パターンすべてに対して、セル稜切断点を結ぶ境界面をセル内形状データとする、ことを特徴とする境界データのセル内形状データへの変換方法。
4. 記切断点決定手段（Ｂ）は、更に切断点の存在／非存在に関する反転操作による同値類を同一パターンとしてセル稜切断点が０〜６個の８７パターンに区分する、ことを特徴とする請求項３に記載の境界データのセル内形状データへの変換方法。
5. コンピュータを、
   対象物の境界データからなる外部データ（１２）を直交格子のセル（１３）に分割する分割手段（Ａ）、
   前記境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とする切断点決定手段（Ｂ）、
   求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとする境界決定手段（Ｃ）、
   分割された各セルを境界面を含まない非境界セル（１３ａ）と境界面を含む境界セル（１３ｂ）とに区分するセル区分手段（Ｄ）、および
   境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分する境界セルデータ区分手段（Ｅ）として機能させるための境界データのセル内形状データへの変換プログラムであって、
   記セルは２次元の長方形セルであり、
   前記切断点決定手段（Ｂ）は、境界データとセルの稜との２ ^４ ＝１６通りの交点をセル稜切断点とし、該セル稜切断点の決定において切断点個数を１稜あたり０個または１個に制限し、更に回転操作による同値類を同一パターンとして全６パターンに区分し、
   前記境界決定手段（Ｃ）は、前記６パターンすべてに対して、セル稜切断点を結ぶ境界線をセル内形状データとする、ことを特徴とする境界データのセル内形状データへの変換プログラム。
6. コンピュータを、
   対象物の境界データからなる外部データ（１２）を直交格子のセル（１３）に分割する分割手段（Ａ）、
   前記境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とする切断点決定手段（Ｂ）、
   求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとする境界決定手段（Ｃ）、
   分割された各セルを境界面を含まない非境界セル（１３ａ）と境界面を含む境界セル（１３ｂ）とに区分するセル区分手段（Ｄ）、および
   境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分する境界セルデータ区分手段（Ｅ）として機能させるための境界データのセル内形状データへの変換プログラムであって、
   前記セルは、直方体セルであり、
   前記切断点決定手段（Ｂ）は、境界データとセルの稜との２ ^１２ ＝４０９６通りの交点パターンをセル稜切断点とし、該セル稜切断点の決定において切断点個数を１稜あたり０個または１個に制限し、更に回転操作と鏡映操作による同値類を同一パターンとして全１４４パターンに区分し、
   前記境界決定手段（Ｃ）は、前記全１４４パターンすべてに対して、セル稜切断点を結ぶ境界面をセル内形状データとする、ことを特徴とする境界データのセル内形状データへの変換方法プログラム。

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