WO2003073335A1 - Procede et programme de conversion de donnees frontieres en forme a l'interieur d'une cellule - Google Patents

Procede et programme de conversion de donnees frontieres en forme a l'interieur d'une cellule Download PDF

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WO2003073335A1
WO2003073335A1 PCT/JP2003/002197 JP0302197W WO03073335A1 WO 2003073335 A1 WO2003073335 A1 WO 2003073335A1 JP 0302197 W JP0302197 W JP 0302197W WO 03073335 A1 WO03073335 A1 WO 03073335A1
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WO
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cell
data
boundary
cutting
patterns
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PCT/JP2003/002197
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English (en)
French (fr)
Inventor
Yoshinori Teshima
Kiwamu Kase
Shugo Usami
Akitake Makinouchi
Original Assignee
Riken
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Publication date
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    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06T—IMAGE DATA PROCESSING OR GENERATION, IN GENERAL
    • G06T17/00—Three dimensional [3D] modelling, e.g. data description of 3D objects
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
    • G06F30/23—Design optimisation, verification or simulation using finite element methods [FEM] or finite difference methods [FDM]
    • B—PERFORMING OPERATIONS; TRANSPORTING
    • B33—ADDITIVE MANUFACTURING TECHNOLOGY
    • B33Y—ADDITIVE MANUFACTURING, i.e. MANUFACTURING OF THREE-DIMENSIONAL [3-D] OBJECTS BY ADDITIVE DEPOSITION, ADDITIVE AGGLOMERATION OR ADDITIVE LAYERING, e.g. BY 3-D PRINTING, STEREOLITHOGRAPHY OR SELECTIVE LASER SINTERING
    • B33Y50/00—Data acquisition or data processing for additive manufacturing

Definitions

  • the present invention relates to a method of storing entity data that integrates shape and physical properties with a small storage capacity, and a method of storing entity data that can unify CAD and simulation. More specifically, a method for converting boundary data into in-cell shape data And a conversion program. Description of related technology
  • CAD Computer Aided Engineering
  • CAM Computer Aided Manufacturing
  • CAE Computer Aided Engineering
  • CAT Computer Aided Engineering
  • the data of the target object is stored as CSG (CoiisstrructtieveSolidGeometry) or B-rep (BoundaRyR ePre se s e n t io n).
  • external data consisting of boundary data of an object is divided into cubic cells whose boundary planes are orthogonal by octree division, and each of the divided cells is defined as a boundary. It is divided into a non-boundary cell 13a that does not include a surface and a boundary cell 13b that includes a boundary surface. In this figure, 15 is a cutting point.
  • various physical property values can be stored for each cell, and physical data obtained by integrating the shape and physical properties can be stored with a small storage capacity, whereby the object shape-structure-physical property information history
  • the data related to a series of processes, from design to processing, assembly, testing, and evaluation, can be managed with the same data, and CAD and simulation can be unified.
  • V-CAD is a cell of voeldataset. With a border inside.
  • the conventional CAD is a solid, but it is actually a solid lining like B-rep.
  • V-CAD is packed to the inside and can hold physical quantities.
  • V-CAD aims to be a data base that can be used directly for simulation and processing, beyond the scope of a mere tool for expressing shapes.
  • simulation technology and processing technology that effectively utilize V-CAD must also be developed.
  • only surface shape data has been used exclusively for machining, so machining technologies that can truly utilize volume data are almost all except stereolithography and rapid prototyping (3D ink jet). It can be said that it does not exist.
  • MC MarchingCubes
  • Fig. 2a to Fig. 2d show all cutting point patterns and boundary lines of the two-dimensional MC
  • Figs. 3a to 3n show all cutting point patterns of the three-dimensional MC. (Omitted)
  • FIGS. 4A to 4C are examples of diagrams showing the difference between the cut points in the rectangular cells of MC and KittaCubes (KTC).
  • KT C this is approximated as shown in Fig. 4f.
  • MC it is approximated as shown in Fig. 4g.
  • Figures 4c and 4f are two-dimensional examples. In three dimensions, many more cases can be represented only by KT C. KT C at the same resolution is much more expressive than MC.
  • FIGS. 5a and 5b are views showing the difference between the cutting points of the ridges of the conventional MC and the KTC of the present invention. Also in MC construction, the number of cutting points is limited to 0 or 1 on one ridge. As shown in Fig. 5a, in MC, the sign at both ends of each cell edge is opposite. Only one cut point is generated on the ridge for each case. Therefore, as shown in Fig. 5b, when a cutting point is given on one edge, the sign at both ends is not only the case of opposite sign but also the case of the same sign. Only in the case of a part, the cutting point can be expressed.
  • an object of the present invention is to include all cell edge cutting points by Marching Cubes (MC), and to completely cover all cell edge cutting points that cannot be obtained by MC, Accordingly, it is an object of the present invention to provide a method and program for converting boundary data into in-cell shape data, which can cover in-cell shape data consisting of boundaries connecting cell edge cutting points without omission.
  • MC Marching Cubes
  • a dividing step (A) of dividing external data (1 2) consisting of boundary data of an object into orthogonal cells (13), and a cell edge cutting at an intersection between the boundary data and a cell edge A step (B) for determining a cutting point as a point, a step (C) for determining a boundary connecting the obtained cell edge cutting points as in-cell shape data, and a non-boundary cell (including no boundary) for each divided cell.
  • a method and program for converting boundary data into in-cell shape data are provided.
  • the intersection between the boundary data and the cell edge is defined as the cell edge cutting point. Therefore, if the sign of the numerical value at both ends of the cell edge is different, one cutting point is placed on the edge. No cutting point is set if the sign is the same. '' All cutting point arrangements by MC are included, and all other cutting point arrangements between the boundary surface and the cell ridge line are 1 edge 1 cutting point It is possible to cover all under conditions.
  • the boundary connecting the obtained cell edge cut points is used as the cell internal shape data, so that all the cell internal shape patterns by MC are included and other cell internal shape patterns are included.
  • the shape pattern can be covered without omission under the condition of one edge and one cutting point.
  • the cell data constituting the boundary cell is divided into inner cell data inside and outside cell data outside the cell internal shape data. While maintaining the continuity of data, it can be divided into non-boundary cell data and boundary cell data.
  • the cell is a square cell including a square cell and a rectangular cell in two dimensions, and in the cutting point determination step (B), the boundary data and the edge of the cell are used.
  • 4 16
  • Six types of intersections are defined as cell edge cutting points, and the equivalent class obtained by rotating the square cell is regarded as a square cell, and the equivalent class is divided into a total of six patterns.
  • the pattern of cell edge cut points is divided into a total of 6 patterns including 4 patterns by MC, and cell edge cut points that can occur under 1 edge 1 cut point conditions Patterns can be covered without omission.
  • the in-cell shape data is divided into two or two types of in-cell shape patterns using the same class as the equivalent pattern obtained by the three-dimensional rotation operation.
  • all the in-cell shape data by MC can be included, and the in-cell shape data that can occur under the 1-edge, 1-cut, lf-point condition can be completely covered.
  • the pattern of cell edge cutting points is divided into all 144 patterns including 14 patterns by MC, and cell edges that can occur under the condition of 1 edge 1 cutting point It is possible to cover the pattern of the cutting point without omission.
  • the equivalent class obtained by the inversion operation regarding the existence / non-existence of the cutting point is further classified into 87 patterns of 0 to 6 cell edge cutting points as the same pattern. .
  • a boundary surface connecting cell edge cutting points is defined as in-cell shape data.
  • all the in-cell shape data by the MC can be included, and the in-cell shape data that can occur under the condition of one edge and one cutting point can be covered without omission.
  • FIG. 1 is a principle diagram of VCAD.
  • 2a to 2d are diagrams showing four equivalent classes of 2D-MC.
  • FIGS. 3a to 3n are diagrams showing all the equivalent classes of the arrangement of the cutting points of 3D-MC.
  • Figure 4 a, b, c, d, e, and f are typical examples of KTC.
  • Figure 4g is a representation of Figure 4f in MC.
  • FIGS. 5A and 5B are diagrams showing the difference between the cutting points on the cell edges of MC and KTC.
  • FIG. 6 is a flowchart of the data conversion method and the conversion program of the present invention.
  • FIGS. 7A to 7F are diagrams showing all the equivalent classes of the arrangement of the cutting points in 2D-KTC.
  • 8A to 8V are diagrams showing all equivalent classes of the arrangement of cutting line segments in 2D-KTC on FIG.
  • Figure 9 shows a cubo-octahedron (a quasi-regular polyhedron).
  • FIGS. 10a to 10ad are diagrams showing 30 equivalent classes in the case where the number of cut points is 0 to 4 in the cut point arrangement in 3D-KTC.
  • FIGS. 11a to 11aa are diagrams showing 27 equivalent classes when the number of cut points is 4 or 5 in the cut point arrangement in 3D-KTC.
  • FIGS. 12a to 12ad are diagrams showing 30 equivalent classes in the case where the number of cuts in the arrangement of cut points in 3D-KTC is six.
  • FIG. 13 is a diagram showing an example in which a line segment connecting all given cutting points forms a closed loop on the surface of a cube.
  • Fig. 14 shows the relationship between the 12 vertices and 36 ridge paths of the cubo-octahedron of Fig. 9 as a graph on a plane.
  • FIG. 15 is a diagram illustrating an example in which a cell is not divided even when a closed loop is determined.
  • Figures 16a, b, and c show examples in which a cell can be divided into two or three depending on the way in which a closed loop is created, but depending on the manner of triangle division with the edge as the edge.
  • FIG. 17 is a diagram showing an example in which a cell is divided into two even if all cut points cannot be connected by one closed loop.
  • Figures 18a, b, and c show the fourteen triangulations obtained from the Catalan number when the closed loop connecting the cutting points is a hexagon, assuming that it is a regular hexagon, with three equivalent classes. .
  • FIGS. 19a to 19d are images on the display comparing the B-rep shape representations of the cyclide and the mold with the surface of the KTC. DESCRIPTION OF THE PREFERRED EMBODIMENTS Hereinafter, preferred embodiments of the present invention will be described with reference to the drawings.
  • FIG. 6 is a flowchart of the data conversion method and the conversion program of the present invention.
  • the method and the conversion program of the present invention include a dividing step (A), a cutting point determining step (B), a boundary determining step (C), a cell dividing step (D), and a boundary cell data dividing. Step (E).
  • External data 12 input from the outside may be polygon data representing a polyhedron, cuboid or hexahedral elements used for the finite element method, curved surface data used for 3D CAD or CG tools, or partial surfaces of other solids. This is data represented by information composed of simple planes and curved surfaces.
  • External data 1 and 2 include, in addition to such data (referred to as S-CAD data), (1) data directly created by human input using V-CAD's unique interface (V-interface), and ( 2) Digitized data on the surface of measuring instruments, sensors, and digitizers, and (3) internal information such as CT scans, MRI, and poxel data generally used for Volum e rendering. It may be ume data.
  • the external data 12 composed of the boundary data of the object acquired in the external data acquiring step (not shown) is divided into cells 13 of an orthogonal lattice.
  • this division is divided into rectangular cells by quadtree division.
  • quadtree division In the case of a three-dimensional cell, it is divided into rectangular parallelepiped cells 13 by octree division.
  • the ottree representation that is, the spatial division by octree, means that the reference rectangular solid 13 including the target solid (object) is divided into eight parts, and until the boundary surface is not included in each area. Recursively repeats the 8-segment processing up to the specified cell size.
  • the data amount can be significantly reduced compared to the poxel representation.
  • One spatial region divided by the spatial division by the quadtree or the octree is called a cell 13.
  • the cells are rectangular or rectangular parallelepiped.
  • a rectangle or cuboid is a special case of a square or a cube, but more generally may be a square or a hexahedron whose edges are not orthogonal to each other.
  • the area occupied in the space is represented by the hierarchical structure, the number of divisions, or the resolution by these cells.
  • the object is represented as a stack of cells of different sizes in the entire space.
  • the intersection between the boundary data and the cell edge is defined as a cell edge cutting point 15.
  • 2 4 16 types of intersection patterns between the boundary data and the cell edges are set as cell edge cutting point locations, and the equivalence class is obtained by a three-dimensional rotation operation. Are classified as the same pattern into all six patterns described later.
  • the equivalent class by the reversal operation regarding the presence / absence of the cut point is the same pattern, and the cell edge cut point is 0- Up to 12 patterns of all 144 patterns can be reproduced. .
  • the boundary connecting the obtained cell edge cut points is used as the in-cell shape data.
  • the boundary determination step (C) the arrangement of the cutting line segments connecting the cell edge cutting points for all six patterns of the cell edge cutting points is used as the in-cell shape data. More specifically, it is preferable to divide the in-cell shape data into 22 types of in-cell shape patterns, which will be described later, using the same class as the same pattern by a three-dimensional rotation operation. In the case of a three-dimensional cell, in the boundary determination step (C), for all the patterns at the cell edge cutting points, an approximate boundary plane cutting triangle arrangement connecting the cell edge cutting points is used as the in-cell shape data. . Note that in a specific example described later, obtaining an approximate boundary surface connecting the cell edge cutting points may be expressed as “spreading a surface”.
  • each divided cell is placed in a non-boundary cell that does not include a boundary surface.
  • the boundary cell 13b including the boundary surface.
  • a quadtree or an octree is used to represent the boundary cell 13b, and the one completely contained inside is the internal cell 13a having the maximum size, and the external data 12
  • the cell containing the boundary information from is assumed to be the boundary cell 13b.
  • step (E) the cell data constituting the boundary cell is partitioned into internal cell data inside and outside cell data outside the cell internal shape data.
  • step (A) and step (E) are repeated as necessary.
  • simulation such as design 'analysis' processing-assembly and test is sequentially performed, and this is output to an output step (for example, as CAM or polygon data).
  • the conversion program of the present invention is a computer program for executing the above-mentioned steps (A) and (E), and is used by being mounted on a computer.
  • the present invention proposes a new method for generating cell inner surfaces. This completely encompasses the cell inner surface pattern of the MarchhingCube method, and can be obtained by a more general method.
  • volume data when volume data is generated by reading a shape such as a polygon into a set of poxels, the intersection between the cell edge and the surface of the shape is recorded as a sampling point as a cutting point, and based on the cutting point information, Restore shape surface.
  • a pattern for generating a cell inner surface from a cutting point is first completely defined in two dimensions. In other words, it covers the enumeration of the equivalent classes of the cutting point arrangements (6 patterns) and all the possibilities (22 cases) that the cell inner surface is set up for all the cutting point arrangements.
  • the present invention performed counting (144 patterns) of equivalence classes with respect to the cutting point arrangement.
  • the cutting points can be connected by line segments on the six faces of the cube without self-intersection. If such a closed loop is formed, it is possible to relatively easily stretch the inner surface of the cell such that it is the outer edge.
  • counting not every cutting point once
  • the arrangement of cutting points having one closed loop that passes through is 87 out of 144 patterns. An example of a cell inner surface stretched using a closed loop will be described later.
  • the present invention reads the surface shape of a conventional CAD into the cell space, records the intersection (cutting point) between the surface and the cell edge, and approximates the original surface shape as a triangular surface from this. It is the subject of.
  • MarchingCubes In the above-mentioned MarchingCubes (abbreviated as MC), positive and negative numerical values are written to the eight vertices of the cell, and an isosurface is generated based on the numerical values (hereinafter, a surface with zero value is considered). If the sign of the numerical value at both ends of the edge of the cube is different, one cutting point is set on the edge. If the sign is the same, no cutting point is set. This is done for the 12 edges of the cube, and then a surface is created based on the cut points.
  • MC is widely used in the world because simple algorithms can be used robustly.
  • the contents of MC can be summarized into the following two. That is, (1) the pattern classification of the arrangement of the cutting points, and (2) the definition of how the inner surface of the cell is stretched for each arrangement of the cutting points (that is, how to connect the cutting points).
  • the problem of the ambiguity of MC is that the cell inner surface in (2) is not necessarily unique, but it is not difficult to specify that the surface is uniquely unique in implementation. .
  • the inner surface of the cell may be decided so that vertices having large values are connected to each other. Alternatively, it may be determined that vertices having smaller values are connected to each other.
  • the robustness of the MC means that it is possible to stretch without holes by making such a decision, that is, the triangular ridges that form the inner surface of the cell are shared by two triangles.
  • KT C can represent shapes more accurately than MC (Fig. 4a, b, c).
  • MC in the situation shown in Fig. 4a, the four vertices of a square cell all have the same sign because they are located outside the shape, and therefore a cutting point occurs at the four ridges of the cell.
  • the inner surface of the cell is not stretched at all in the case of Fig. 4a. This means, from the point of view of -MC, that the current resolution was too coarse to represent this shape.
  • the MC pattern is a subset of the KT C pattern. In that sense, it is natural that the shape representation of KT C is richer than MC.
  • the case of MC is referred to as “narrow sense 1 ridge 1 cutting point condition”
  • the case of KTC is referred to as “broad sense 1 ridge 1 cutting point condition”
  • the broadly defined 1 edge 1 cutting point condition completely includes the narrowly defined 1 edge 1 cutting point condition. Therefore, regarding the two-dimensional and three-dimensional cutting point arrangement patterns provided by both, all the patterns of MC are a subset of all the patterns of KTC.
  • 2D-KTC consists of two stages.
  • the first stage is the classification of the arrangement of the cutting points for the four edges of the square
  • the second stage is the classification of the arrangement of the cutting line segments (the line segments having cutting points at both ends) for each arrangement of the cutting points.
  • the degree of degeneracy of each arrangement in Fig. 7a to Fig. 7 7 is 1, 4, 4, 2, 2, 4, 1 in order.
  • FIGS. 8A to 8V are diagrams showing all the arrangements of the cutting line segments in 2D-KTC.
  • the circled items in this figure indicate those existing in 2D-MC, but it can be seen that they are only a subset of 2D-KTC.
  • a three-dimensional rotation operation was used. Assuming that the connection of the cutting line is manifold, that is, has no intersection or branch, the four vertices in FIGS. 8A to 8V can be painted in white and black. Unlike MC, this is done after placing the cutting line. Looking at the cut line segment arrangement pattern in Fig.
  • cut edge arrangements allow only rotation and mirroring operations-find out how many equivalence classes can be combined and how they are arranged. .
  • Equations (1) and (2) in [Equation 1] hold, the number of cutting points can be reduced to 7—1 2 by performing an inversion operation regarding the presence or absence of a cutting point in the arrangement corresponding to 0—5. It can be seen that the arrangement for each individual can be obtained, and the equivalence classes are also handled by the inversion operation.
  • any of the four types of layouts can appear as cut point layouts when the surface shape is actually read into the cell space.
  • Table 7 of A ppendix B all the cut configurations of 3D-MC corresponded to those of 3D-KTC.
  • MC is only one of KT C You can see that it is only a part.
  • Figure 13 shows an example in which the line connecting all the given cutting points forms a closed loop on the cell surface.
  • Figure 9 shows a cubo-octahedron (a quasi-regular polyhedron; a tetrahedron consisting of eight regular triangles and six squares) together with the cells. Even if the position of the cutting point is the center point of each ridge, the number of cutting point arrangements is counted up. Generality is maintained in considering closed loops.
  • This cubo-octahedron is a convex hull for the 12 center points on those 12 edges.
  • the way to enter the closed loop is to add two diagonals of each square face of the tetrahedron, that is, a total of 12 diagonals, and 24 edges originally included in the tetrahedron. It is a book.
  • Figure 14 shows the relationship between the 12 vertices and 36 ridge paths of this quasi-regular polyhedron as a graph on a plane.
  • the counting of Hamiltonian cycles will be explained based on this figure.
  • all 12 vertices have the same valence of 6, and the enumeration here only needs to be performed from one specific vertex.
  • a path permitted as a Hamiltonian cycle is one that passes through all the given cutting points on the surface of the cube and returns to the starting point without passing through the same path or the same cutting point more than once on the way.
  • 8 7 types which are the majority of the 1 4 4 types of cutting point arrangements for 0-1 2 cutting points, have such non-self-intersecting Hamilton paths.
  • V-CAD has physical information as information in a cell, but it can also be applied to multi-media. At that time, at the interface of different materials, multiple substances occupy the cell, but when the number of these substances becomes three or more, the number of substances in one cell is reduced by performing some processing. It is preferable to limit to two types. Note that most of the inner surfaces of cells made from a closed loop are convenient because they divide the cell into two.
  • the problem of triangulating the inner surface of a cell is related to the problem of triangulating a polygon on a plane, and it is known that the number of triangulation patterns is expressed using Catalan numbers. I have. The Catalan number and triangulation will be described later in Ap pendiC.
  • KTC can represent a more precise shape than MC. This is a natural consequence of the fact that the equivalence class of KT C's truncated triangle configuration completely includes that of MC.
  • the diversity indicated by KTC is strictly presented when only one cutting edge at one edge is assumed in a broad sense.
  • Figures 2a to 2d show four equivalent classes of 2D-MC. Black and white anti on four vertices of cell These four patterns are obtained using only the rotation operation and the three-dimensional rotation operation.
  • MC is a force that follows the cutting condition of 1 edge and 1 in a narrow sense, and 4 vertex black-and-white coloring patterns and cutting point arrangement patterns correspond one to one. Indexes of mc-0, mc-1, mc-2, and mc-3 were assigned to each pattern in Figs. 2a to 2d.
  • Table 4 is a table in which the number of equivalent classes related to the arrangement of cutting points is associated with the total number of arrangements.
  • Table 5 shows the correspondence between the MC break point arrangement and the KT C break point arrangement. Not participating here The cut point arrangement of KT C, that is, Fig. 7b and Fig. 7e, do not exist in the cut point arrangement of MC.
  • Ap endix B 3D M arching Cubes (3D-MC)
  • Figures 3a to 3n show all equivalence classes of MC cutting point arrangement.
  • the operations used for the classification are the black-and-white inversion operation on the vertices, the rotation operation, and the reflection operation.
  • Table 6 summarizes these in terms of the number of cutting points.
  • the MC figure is usually represented in 15 ways, 0- 14 according to the original paper of MC.-Please note that there are only 14 ways (Fig. 3a to 3 ⁇ ). Omitted
  • MC-14 was the mirror symmetry of MC-11. If the method of stretching the surface of the MC-11 is determined, the mirroring operation uniquely determines that of the MC-15, so consistency in the description within the present invention (use of the mirroring operation to count the equivalence classes) Omitted to keep).
  • Figures 3a to 3n are the same as the arrangement of the figures in the original paper, but the cell inner surface has been omitted and MC-14 has been deleted for the reasons described above.
  • Table 7 shows the correspondence between all MC cases and KTC.
  • a e n d i x C Triangulation of polygon and force Taran number
  • the Catalan number C m is given by Equation (3) of Equation (2).
  • the number T n to be obtained is given by equation (4) of equation (2).
  • FIG. 19a, b, and c show the fourteen patterns in a regular hexagon, which are summarized by rotating the triangle. The three patterns are completed.
  • FIG. 19a, FIG. 19b, and FIG. 19c are diagrams of equivalent classes representing six, two, and six triangulation methods, respectively. When these are added together, it is confirmed that there are 14 ways.
  • the external data (1 2) of the object is divided into orthogonal cells (1 3) by the dividing step (A) and the cell dividing step (D).
  • External data (1 2) can be stored with a small storage capacity as a cell hierarchy.
  • the intersection of the boundary data and the cell edge is set as the cell edge cutting point. Therefore, if the signs of the numerical values at both ends are different, one cutting point arrangement is provided on that edge. If the signs are the same, no cutting point arrangement is provided. '' All cutting points by the MC are included, and all cutting points between the boundary surface and the cell ridge line under one cutting condition and one cutting condition are not leaked. Can be exhaustive.
  • the boundary connecting the obtained cell edge cutting points is used as cell internal shape data, so that all cell internal shape data by MC are included, and one edge and one cut are performed. It is possible to cover the arrangement of the cut triangles in the cell under the conditions without omission.
  • the cell data constituting the boundary cell is divided into inner cell data inside and outside cell data outside the inside shape data of the cell, so that all the cell data are regarded as adjacent cells. While maintaining the continuity of data, it can be divided into internal cell data and external cell data.
  • the method and program for converting boundary data into in-cell shape data according to the present invention include all cell edge cut points by MC and all other cell edge cut points by one edge and one cut. It has excellent effects such as that the data can be completely covered under the conditions, and thereby the in-cell shape data consisting of the boundaries connecting the cell edge cutting points can be completely covered.

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Description

明細書 境界データのセル内形状への変換方法及び変換プログラム 発明の背景 発明の技術分野
本発明は、 形状と物性を統合した実体データを小さい記憶容量で記憶し、 CA Dとシミュレーションを一元化できる実体データの記憶方法に係り、 更に詳しく は、 境界データのセル内形状データへの変換方法及び変換プログラムに関する。 関連技術の説明
先端的な研究開発 ·技術開発の現場では、 その高度化 ·複雑化に伴い、 膨大な 試行錯誤が不可欠となっており、 開発途中でのリスクが高まっている。 科学技術 立国を目指す我が国として、 これらのリスクを極力排し、 開発過程の革新的な高 度化■効率化を図ることが極めて重要である。
現在、 研究開発 ·技術開発の現場において、 CAD (C om u t e r A i d e d D e s i g n) CAM (C omp u t e r A i d e d Ma n u f a c t u r i n g) ^ CAE (C omp u t e r A i d e d E n g i n e e r i n g) , CAT (C omp u t e r A i d e d T e s t i n g)など力 S、 それぞれ設計、 加工、 解析、 試験のシミュレーショ ン手段として用いられてい る。
また、 本発明によって、 連続的なシミュレーショ ンである C- S i mu 1 a t i o n (C o o r p o r a t i v e S i mu l a t i o n) 、 カロ _C 口セス 1 考慮した A- CAM (A d v a n c e d CAM) 、 究極の精度が出せる D - f a b r i c a t i o n (D e t e r m i n i s t i c f a b r i c a t i o n) なども、 これから広く普及する見通しである。
上述した従来のシミュレーショ ン手段では、 対象物を、 C S G (C o ii s t r u c t i v e S o l i d G e ome t r y) や B - r e p ( B o u n d a r y R e p r e s e n t a t i o n) でデータを記憶している。
差替え用紙 （規則 26) しかし、 C S Gでは、 対象物全体を微細なソリッドモデルの集合体として記憶 するため、 データが重くシミュレーショ ン手段 （ソフトウェア等） を実装する場 合、 膨大なデータを扱うこととなり、 大型コンピュータを用いた場合でも解析に 時間がかかる問題点があった。
また、 B- r では、 対象物を境界で表現するため、 データは軽く、 データ 量は小さくなるが、 境界面の内部に関する情報が直接的にはないため、 そのまま では変形解析等には適さない問題点があった。
更に、 これらの従来のデータ記憶手段では、 熱 .流体解析、 固体の大変形解析、 これらの連成解析等でその都度、 解析に適したメッシュ等に分割して、 有限要素 法等を適用するため、 その解析結果を表示等はできるが、 CADとシミュレーシ ョンを一元化することが困難であり、 設計 ·解析 ·加工■組立■試験等の各工程 を同じデータで管理することができない問題点があった。
言い換えれば、 現状の S o 1 i d/S u r f a c e -CAD (以下 S- CADと 呼ぶ） には、 以下の問題点があった。
( 1)デ-タが渡らない、 内部での変換操作に弱い（数値誤差と処理方法の問題）。
(2)シミュレーションに直接使えない (メッシュを生成しなくてはいけない）。
(3) CAMによる加工の検討ができない （最終形状しかもっていない） 。
また加工においても以下の問題点があった。
(1) 加工プロセスの表現ができない （荒加工や工程設計の支援が不十分） 。 (2) レーザー加ェゃ超先端加ェなど新しい加工法に対応できていなレ、 (切削し かない、 数値精度が足りない） 。
(3)加工法自体の選択ができない（複合体で内部に異なる材料特性を有する）。 上述した問題点を解決するために、 本発明の発明者等は、 「形状と物性を統合 した実体データの記憶方法」 を創案し、 出願した （特願 200 1- 2 5 0 2 3、 未公開） 。
この発明は、 図 1に模式的に示すように、 対象物の境界データからなる外部デ 一タを八分木分割により境界平面が直交する立方体のセルに分割し、 分割された 各セルを境界面を含まない非境界セル 1 3 aと境界面を含む境界セル 1 3 bとに 区分するものである。 なおこの図で 1 5は切断点である。 この発明により、 各セル毎に種々の物性値を記憶し、 形状と物性を統合した実 体データを小さい記憶容量で記憶することができ、 これにより、 物体の形状 -構 造 -物性情報 '履歴を一元的に管理し、 設計から加工、 組立、 試験、 評価など一 連の工程に関わるデータを同じデータで管理することができ、 CADとシミュレ ーシヨンを一元化することできる。
上述した実体データの記憶方法を以下 「ボリユーム C AD」 又は「V- C ADJ と呼ぶ。 なお本出願では、 V- C ADを次のように定義する ： 「V- CADとは、 v o e l d a t a s e tのセル内に境界面が張られたものである」 。
従来の C ADはソリ ッドと言えども事実上は B-r e p等のように中身の無い 張りぼてであった。 これに対して V-C ADは、 内部まで詰まっており、 物理量 も保持できる。 内部情報を持つ事により、 これまでの B- r e p等の形状処理で は破綻しやすかつた幾何演算が頑健に処理できると期待されている。 さらに、 V - C A Dは単なる形状表現の道具としての枠を超え、 シミュレーションゃ加工に も直接活かせるデータ基盤となることを目指している。 このような「ものつく り」 の体系が真に実現される為には、 V-CADを効果的に活かす様なシミュレーシ ョン技術や加工技術の開発も併行してなされなければならない。 特に加工に関し てはこれまで表面形状のデータだけがもっぱら使われていたので、 ボリュームデ ータを真に活かしうる加工技術は光造形法やラピッ ドプロ トタイピング （3Dィ ンクジヱッ ト） を除いて殆ど存在してないとも言える。
ものつく りの世界の現状を踏まえたとき、 従来型の CADが表す形状を読み込 んで V-CAD内にボリユームデータを生成することは非常に重要なことである ( このため、 V-CADでは、 境界セルに形状データ （外部データ） の境界を再構成 できる境界データを保有させる必要がある。
従来、 ボリユームデータからポリゴンを生成する際に一般に用いられているの 力 Ma r c h i n g C u b e s (以下、 MCと略す） である。 MCは、 例え ば、 次の文献 1に紹介されている。
(文献 1)" MARCH I NG CUB E S ： A H I GH RE S O LUT I ON 3D SURFACE CONS TRUCT I ON ALGOR I TH M", C omp u t e r G r a h i c s , V o 1 u m e 2 1 , Numb e r 4， J u l y 1 9 8 7.
参考として、 図 2 a乃至図 2 dに 2次元 MCのすベての切断点パターンおよび 境界線分、 図 3 a乃至図 3 nに 3次元 MCのすベての切断点パターン （境界面は 省略） を示す。
3次元 MCでは、 3次元セル （立方体） の 8頂点に正負の数値が書き込まれて いて、 それをもとに等値面を生成する （以下では値がゼロの面を考える） 。 立方 体の稜の両端の数値の符合が異なるならばその稜上に一つの切断点を設け、 符合 が同じならば切断点は設けない。 それを立方体の 1 2稜について行なったあと、 その切断点をもとに面を張るものである。 なお 2次元 MCの場合も同様である。 図 4 a乃至図 4 cは、 MCと K i t t a C u b e s (KTC) の矩形セルに おける切断点の相違を示す図の一例である。 この例において、 MCでは、 図 4 a の様な状況では正方形セルの 4頂点 （白丸） は、 いずれも形状 （閉じた曲線） の 外部に位置するので同じ符合をもち、 それゆえセルの 4稜 （4辺） には切断点が 発生することは無く、 結果としてこの場合セル内面は全く張られない。 これは、 MCの立場に立てば、 この形状を表すには現在の解像度では粗すぎたということ を意味する。 従って、 この例で MCでは、 セルの 4稜の切断点を図 4 b又は図 4 cのように表現できない問題点があった。 図 4 aは極端な例であるが、 本質的に 同じ不具合は頻繁に発生しうるものであり、 図 4 dがその一例である。 曲がった 境界面とセル稜の交差において、 頻繁に発生する。 KT Cではこれを図 4 f のよ うに近似する。 MCでは図 4 gの様に近似される。 図 4 cおよび図 4 f は二次元 における一例である。 三次元においては、 さらに多くの場合が KT Cのみで表現 可能である。 同じ解像度での KT Cは MCより格段に表現力が豊かであることが わ力 る。
これに対して、 後述する本発明 （KTC) では、 図 4 bのように 4稜には切断 点が 2つづつ発生し、 切断点個数を 1稜上で 0個または 1個に制限すると、 図 4 cのように表現できる。
図 5 aと図 5 bは、 従来の MCと本発明の K T Cの稜の切断点の相違を示す図 である。 MC構築の際にも、 切断点個数は 1稜上で 0個または 1個に制限されて いる。 図 5 aに例示するように、 MCではセルの各稜の両端の符合が正負逆の場 合に対してのみその稜上に切断点を 1つ発生させる。 そのため、 図 5 bに示すよ うに、 1つの稜上に切断点が与えられたとき、 その両端の符合は正負逆の場合の みならず、 符合が同じ場合のこともあり、 MCではその一部の場合しか、 切断点 を表現できないことになる。
図 4 a乃至図 4 cにおいて、 閉じた実線で示す形状を表現するためには、 MC ではセルを更に細分する必要が生じる。 その結果、 MCを用いた V- C ADでは、 境界データを保有するためにセルを更に細分する必要が生じ、 その分、 形状と物 性を統合した実体データを記憶する記憶容量が指数関数的に増大していまう。 ま た、 記憶容量が増大を避けると、 境界部分の形状を精密に表現することが困難と なる。 発明の要約 本発明は、 上述した問題点を解決するために創案されたものである。 すなわち、 本発明の目的は、 Ma r c h i n g C u b e s (MC) によるすベてのセル稜 切断点を内含し、 かつ M Cでは得られないすべてのセル稜切断点を漏れなく網羅 することができ、 これによりセル稜切断点を結ぶ境界からなるセル内形状データ を漏れなく網羅することができる境界データのセル内形状データへの変換方法及 び変換プログラムを提供することにある。
本発明によれば、 対象物の境界データからなる外部データ （ 1 2) を直交セル ( 1 3) に分割する分割ステップ （A) と、 前記境界データとセルの稜との交点 をセル稜切断点とする切断点決定ステップ （B) と、 求めたセル稜切断点を結ぶ 境界をセル内形状データとする境界決定ステップ （C) と分割された各セルを境 界面を含まない非境界セル （1 3 a) と境界面を含む境界セル （1 3 b) とに区 分するセル区分ステップ （D) と、 境界セルを構成するセルデータをセル内形状 データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分する境界セルデ ータ区分ステップ （E) とを有する、 ことを特徴とする境界データのセル内形状 データへの変換方法及び変換プログラムが提供される。
この方法及ぴ変換プログラムによれば、 分割ステップ (A) とセル区分ステツ プ （D ) により、 対象物の外部データ （ 1 2 ) を直交格子のセル （1 3 ) に分割 したセルの階層として小さい記憶容量で外部データ （1 2 ) を記憶することがで きる。
また、 切断点決定ステップ （B ) において、 境界データとセルの稜との交点を セル稜切断点とするので、 「セル稜の両端の数値の符合が異なるならばその稜上 に一つの切断点を設け、 符合が同じならば切断点は設けない」 M Cによるすベて の切断点配置を内含し、 かつそれ以外の境界面とセル稜線との全ての切断点配置 を 1稜 1切断点条件の下で漏れなく網羅することができる。
更に、 境界決定ステップ （C ) において、 求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセ ル内形状データとするので、 M Cによるすベてのセル内形状パタンを包含し、 か つそれ以外のセル内形状パタンを 1稜 1切断点条件の下で漏れなく網羅すること ができる。
また、 境界セルデータ区分ステップ （E ) において、 境界セルを構成するセル データをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに 区分するので、 すべてのセルデータを隣接するセルとの連続性を保ちながら、 非 境界セルデータと境界セルデータに区分できる。
本発明の好ましい実施形態によれば、 前記セルは、 二次元では正方形セルや長 方形セルを含む四角形セルであり、 切断点決定ステップ （B ) において、 境界デ ータとセルの稜との 2 4 = 1 6通りの交点をセル稜切断点とし、 更に四角形セル を正方形セルと見なした上での回転操作による同値類を同一パターンとして全 6 パターンに区分する。
この方法により、 2次元セルの場合に、 セル稜切断点のパターンを M Cによる 4パターンを内含する全 6パターンに区分し、 1稜 1切断点条件の下で起こり得 るセル稜切断点のパターンを漏れなく網羅することができる。
前記境界決定ステップ （C ) において、 前記 6パターンすべてに対して、 切断 線分 （=セル稜切断点を結ぶ境界線） の配置をセル内形状データとする。
また、 前記境界決定ステップ （C ) において、 セル内形状データを三次元の回 転操作による同値類を同一パターンとして 2 2種類のセル内形状パターンに区分 する。 これらの方法により、 M Cによるすベてのセル内形状データを内含し、 かつ 1 稜 1切 l f点条件の下で起こり得るセル内形状データを漏れなく網羅することがで きる。
本発明の別の好ましい実施形態によれば、 前記セルは三次元では、 立方体や直 方体を含む 6面体セルであり、 切断点決定ステップ （B ) において、 境界データ とセルの稜との 2 1 2 = 4 0 9 6通りの交点をセル稜切断点とし、 更に回転操作 と鏡映操作による同値類を同一パターンとして全 1 4 4パターンに区分する。 この方法により、 3次元セルの場合に、 セル稜切断点のパターンを M Cによる 1 4パターンを内含する全 1 4 4パターンに区分し、 1稜 1切断点条件の下で起 こり得るセル稜切断点のパターンを漏れなく網羅することができる。
前記切断点決定ステップ （B ) において、 更に切断点の存在/非存在に関する 反転操作による同値類を同一パターンとしてセル稜切断点が 0— 6個の 8 7パタ ーンに区分する。 .
この方法により、 セル稜切断点が 0— 6個の 8 7パターンで、 セル稜切断点の 全 1 4 4パターンを漏れなく再現することができる。
前記境界決定ステップ （C ) において、 前記全パターンすべてに対して、 セル 稜切断点を結ぶ境界面をセル内形状データとする。
この方法により、 M Cによるすベてのセル内形状データを内含し、 かつ 1稜 1 切断点条件の下で起こり得るセル内形状データを漏れなく網羅することができ る。
本発明のその他の目的及び有利な特徴は、 添付図面を参照した以下の説明か ら明らかになろう。 図面の簡単な説明 図 1は、 V- C A Dの原理図である。
図 2 a乃至図 2 dは、 2 D -M Cの同値類 4種を示す図である。
図 3 a乃至図 3 nは、 3 D -M Cの切断点配置の同値類を全てを示す図であ る。 図 4 a、 b、 c、 d、 e、 f は K T Cの典型例である。 図 4 gは図 4 f を MC で表現したものである。
図 5 aと図 5 bは、 MCと KT Cのセル稜上の切断点の相違を示す図である。 図 6は、 本発明のデータ変換方法及び変換プログラムのフロー図である。
図 7 a乃至図 7 f は、 2 D-KT Cにおける切断点配置の全ての同値類を示す 図である。
図 8 a乃至図 8 Vは、 図 7の上での 2 D- KT Cにおける切断線分の配置の全 ての同値類を示す図である。
図 9は、 立方八面体 （準正多面体の一つ） である。
図 1 0 a乃至図 1 0 a dは、 3 D -K T Cにおける切断点配置のうち切断点個 数が 0— 4個の場合の同値類 30個を示す図である。
図 1 1 a乃至図 1 1 a aは、 3 D-KT Cにおける切断点配置のうち切断点個 数が 4又は 5個の場合の同値類 2 7個を示す図である。
図 1 2 a乃至図 1 2 a dは、 3 D-KT Cにおける切断点配置のうち切断^;個 数が 6個の場合の同値類 3 0個を示す図である。
図 1 3は、 与えられた全ての切断点を結ぶ線分が立方体の表面上で閉ループを 構成する例を示す図である。
図 1 4は、 図 9の立方八面体の頂点 1 2個と稜 3 6本のパスとの関係を平面上 のグラフとして表現したものである。
図 1 5は、 閉ループが定まってもセルが分割されない例を示す図である。
図 1 6 a、 b、 cは、 閉ループが作れてもそれを縁とする 3角形分割の仕方に よってはセルが 2分割にも 3分割にも成り得る例を示す図である。
図 1 7は、 1本の閉ループで全ての切断点を結ぶことはできなくてもセルを 2 分割する例を示す図である。
図 1 8 a、 b、 cは、 切断点を結ぶ閉ループが 6角形の時、 それを正 6角形と みなしカタラン数から得られる 1 4通りの三角形分割を同値類 3個で示す図であ る。
図 1 9 a乃至図 1 9 dは、 サイクライ ドと金型の B- r e p形状表現と KT C の面張りとを比較したディスプレイ上の画像である。 好ましい実施例の説明 以下、 本発明の好ましい実施形態を図面を参照して説明する。
図 6は、 本発明のデータ変換方法及び変換プログラムのフロー図である。 この 図に示すように、 本発明の方法及び変換プログラムは、 分割ステップ （A) 、 切 断点決定ステップ （B) 、 境界決定ステップ （C) 、 セル区分ステップ （D) 及 び境界セルデータ区分ステップ （E) からなる。
外部から入力する外部データ 1 2は、 多面体を表すポリ ゴンデータ、 有限要素 法に用いる匹面体又は六面体要素、 3次元 CAD又は CGツールに用いる曲面デ ータ、 或いはその他の立体の表面を部分的な平面や曲面で構成された情報で表現 するデータである。
外部データ 1 2は、 このようなデータ （S- CADデータと呼ぶ） のほかに、 (1) V - CAD独自のインターフェース （V— i n t e r f a c e) により人 間の入力により直接作成されたデータと、 （2) 測定機やセンサ、 デジタイザな の表面のデジタイズデータや、 （3) CTスキャンや MR I、 および一般的に Vo l um eレンダリングに用いられているポクセルデータなどの内部情報もも つ V o 1 u m eデータであってもよい。
分割ステップ （A) では、 外部データ取得ステップ （図示せず） で取得した対 象物の境界データからなる外部データ 1 2を直交格子のセル 1 3に分割する。
2次元セルの場合には、 この分割は四分木分割により長方形セルに分割する。 また 3次元セルの場合には、 八分木 （ォク トリー、 o c t r e e) 分割により 直方体のセル 1 3に分割する。 オタ トリー表現、 すなわち八分木による空間分割 とは、 目的の立体 （対象物） を含む、 基準となる直方体 1 3を 8分割し、 それぞ れの領域の中に境界面が含まれなくなるまで再帰的に 8分割処理を指定されたセ ルサイズまで繰り返す。 この八分木分割によりポクセル表現よりも大幅にデータ 量を減らすことができる。 四分木又は八分木による空間分割により分割された一つの空間領域をセル 1 3 とよぶ。 セルは長方形又は直方体である。 長方形又は直方体は、 特別な場合とし て正方形及び立方体であるが、 より一般的には稜が互いに直交していない四角形 や 6面体でも良い。 このセルによる階層構造、 分割数もしくは分解能によって空 間中に占める領域を表現する。 これにより空間全体の中で対象は大きさの異なる セルを積み重ねたものとして表現される。
切断点決定ステップ （B ) では、 境界データとセルの稜との交点をセル稜切断 点 1 5とする。
2次元セルの場合に、 切断点決定ステップ （B ) において、 境界データとセル の稜との 2 4 = 1 6通りの交点パターンをセル稜切断点配置とし、 更に三次元の 回転操作による同値類を同一パターンとして後述する全 6パターンに区分する。 また 3次元セルの場合には、 切断点決定ステップ （B ) において、 境界データ とセルの稜との 2 1 2 = 4 0 9 6通りの交点パターンをセル稜切断点配置と し、 更に回転操作と鏡映操作による同値類を同一パターンとして後述する全 1 4 4パ ターンに区分する。 3次元セルの場合にはパターン数が多いので、 更に切断点の 存在/非存在に関する反転操作による同値類を同一パターンとしてセル稜切断点 が 0— 6個の 8 7パターンから、 切断点 7— 1 2個までの全 1 4 4パターンを再 現できる。 .
境界決定ステップ （C ) では、 求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状デ ータとする。
2次元セルの場合に、 境界決定ステップ （C ) において、 セル稜切断点の 6パ ターンすべてに対して、 セル稜切断点を結ぶ切断線分配置をセル内形状データと する。 更に具体的には、 セル内形状データを三次元の回転操作による同値類を同 一パターンとして後述する 2 2種類のセル内形状パターンに区分するのがよい。 また 3次元セルの場合には、 境界決定ステップ （C ) において、 セル稜切断点 の全パターンすべてに対して、 セル稜切断点を結ぶ近似境界面 切断三角形配 置） をセル内形状データとする。 なお、 後述する具体例では、 セル稜切断点を結 ぶ近似境界面を求めることを 「面を張る」 と表現することもある。
セル区分ステップ （D ) では、 分割された各セルを境界面を含まない非境界セ ル 1 3 aと境界面を含む境界セル 1 3 bとに区分する。
すなわち本発明では境界セル 1 3 bを表現するために四分木又は八分木を使い、 完全に内部に含まれるものはその最大の大きさをもつ内部セル 1 3 aとし、 外部 データ 1 2からの境界情報を含むセルは境界セル 1 3 bとする。
境界セルデータ区分ステップ （E ) では、 境界セルを構成するセルデータをセ ル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに区分する。 本発明の方法では、 必要に応じてステップ （A ) ステップ （E ) を繰り返し 行う。 また、 得られた V- C A Dデータを用いて、 例えば、 設計 '解析 '加工 - 組立 .試験等のシミュレーショ ンを順次行い、 これを出力ステップ （例えば C A Mやポリゴンデータとして） に出力する。
また、 本発明の変換プログラムは、 上述したステツ,プ （A ) ステップ （E ) を実行するためのコンピュータプログラムであり、 コンピュータに実装して使用 する。
以下、 本発明を更に詳細に説明する。
1 . 本発明では、 セル内面を生成する為の新しい手法を提案する。 これは M a r c h i n g C u b e法のセル内面パタンを完全に包含し、 より一般的な手法で める。
本発明では、 ポクセル集合にポリゴンなどの形状を読み込んでボリ ムデー タを生成するときに、 サンプリング点としてセルの稜と形状表面との交点を切断 点として記録し、 これら切断点情報をもとに形状表面を復元する。
また本発明では、 切断点からのセル内面生成パタンをまず 2次元において完全 に定義する。 すなわち、 切断点配置の同値類の数え上げ （6パターン） およびそ れら全切断点配置に対してセル内面が張られる全ての可能性 （2 2通り） を網羅 する。
3次元に対しては、 切断点配置に対する同値類の数え上げ （1 4 4パターン） を本発明で行った。 また、 3次元のセル内面生成について、 すべての切断点配置 の内、 過半数のものに対しては、 立方体の 6面上で切断点を自己交差なく線分で 結合していける。 このような閉ループが構成されれば、 それを外縁とするような セル内面を比較的容易に張ることが出来る。 数え上げの結果、 全切断点を 1回ず つ通る 1本の閉ループを有する切断点の配置は 1 44パターンの内 8 7パターン である。 閉ループを用いて張られたセル内面の実例を後述する。
1. 1 従来型 CADの表面形状をセル空間に読み込んで、 表面とセルの稜との 交点 （切断点） を記録し、 そこからもとの表面形状を三角形面として近似するこ とが本発明の主題である。
1. 2 Ma r c h i n g C u b e s (MC)
上述した Ma r c h i n g C u b e s (MCと略す） では、 セルの 8頂点に 正負の数値が書き込まれていて、 それをもとに等値面を生成する （以下では値が ゼロの面を考える） 。 立方体の稜の両端の数値の符合が異なるならばその稜上に 一つの切断点を設け、 符合が同じならば切断点は設けない。 それを立方体の 1 2 稜について行なったあと、 その切断点をもとに面を張るというものである。
MCでは、 簡潔なアルゴリズムで頑健に面が張れるので、 広く世の中で使われ るようになった。 MCの中身は次の 2つにまとめられる。 即ち、 （ 1) 切断点配 置のパターン分類、 および （2) 各切断点配置に対するセル内面の張り方の定義 (つまり切断点をどのようにつなぐか） である。 MCの曖昧性の問題とは、 ここ でいう （2) のセル内面の張り方が必ずしも一意でないということであるが、 実 装上一意に面が張られるように指定することは難しいことではない。 それは例え ば、 曖昧さが生じる場合に対して、 値の大きい頂点同士が繋がるようにセル内面 を張ると決める、 などすれば良い。 或いは、 値が小さい方の頂点同士を繋ぐと決 めても良い。 MCの頑健さとは、 このように決めることで穴が無く張れる、 すな わちセル内面を構成する 3角形の稜が 2枚の 3角形で共有されていることを指 す。
1. 3 K i t t a C u b e s (KTC)
本発'明において、 切断点を頂点とする切断三角形で表面形状を近似する為の新 しい広義の手段を提案するが、 それを K i t t a C u b e s (以下、 KT Cと 略す） と名づける （K i t t aは、 日本語の 「切った」 を意味している） 。 上述した MCでは、 頑健にセル内面が張られるが、 そのことは、 必ずしも形状 を正しく表現していることを意味しない。 同じ解像度 （=同じセルの大きさ） で 形状表現をする際、 KTCを使えば MCよりも正確に表現出来ることが、 本発明 で明らかになる。
KT Cの正確な定義を行なう前に、 KT Cが MCよりも正確に形状表現出来る ことを示す典型的な実例を二次元にて与えておく （図 4 a、 b、 c ) 。 上述した ように MCにおいては、 図 4 aの様な状況では正方形セルの 4頂点は、 いずれも 形状の外部に位置するので同じ符合をもち、 それゆえセルの 4稜には切断点が発 生することは無く、 結果として図 4 aの場合セル内面は全く張られない。 これは- MCの立場に立てば、 この形状を表すには現在の解像度では粗すぎたということ を意味する。
次に同じ解像度に対して KT Cを適用する。 切断点のチェックにより図 4 bの 様な切断点が記録される。 1稜上の切断点個数を 1個までとし図 4 bに現れた 2 個の切断点を適当な位置の 1個に統合すれば、 最終的に図 4 cの様なセル内面が 張られることになる。 両者の表現力の差は明白である。 図 4 aは極端な例である ί 本質的に同じ不具合は頻繁に発生しうるものであり、 図 4 dもその一例であ る。 曲がった境界面とセル稜の交差において、 頻繁に発生する。 KTCではこれ を図 4 f のように近似する。 MCでは図 4 gの.様に近似される。 図 4 cおよび図 4 f は二次元における一例である。 三次元においては、 さらに多くの場合が KT Cのみで表現可能である。 同じ解像度での KT Cは MCより格段に表現力が豊か であることがわかる。
実は、 アルゴリズムの枠組みを KT Cと MCとで比較した場合、 丁じは1\1じ を完全に包含していることが後述される。 つまり、 MCパタンは KT Cパタンの 部分集合である。 その意味で、 KT Cの形状表現が MCよりも豊かであるのは当 然である。
図 4 a、 b、 cにおいて、 1稜上の切断点を 1個までに制限したが、 MCと K T Cの枠組みを理解する為には、 この制限が詳細な意味において明確な差を持つ ことを認識することが重要である。 MC構築の際にも、 切断点個数は 1稜上で 0 個または 1個に制限されていた。 本発明においても、 切断点の個数は 1稜上で 0 個または 1個の枠組みで KT Cを構築する。 両者の差は、 MCではセルの各稜の 両端の符合が正負逆の場合に対してのみその稜上に切断点を 1つ発生させるが (図 5 a) 、 KT Cでは 1つの稜上に切断点が与えられたとき、 その両端の符合 は正負逆の場合のみならず、 符合が同じ場合にも与えられる （図 5 b) 。
以下、 MCの場合を 「狭義 1稜 1切断点条件」 、 KTCの場合を 「広義 1稜 1 切断点条件」 と呼び、 これらを明確に区別することにする。 図 5 aと図 5 bから 明らかな様に、 広義 1稜 1切断点条件は狭義 1稜 1切断点条件を完全に含んでい る。 したがって、 両者から与えられる二次元及ぴ三次元の切断点配置のパターン に関しても、 MCの全パターンは、 KT Cの全パターンの部分集合となる。
2. 二次元 i t t a C u b e s (2D- KTC) KTCを 2次元において構 成する。
2. 1 2D- KTCにおける切断点配置の分類
2 D- KTCは、 2段階で構成される。 第 1段階は、 正方形の 4稜に対する切 断点配置の分類であり、 第 2段階は各切断点配置に対する切断線分 （-切断点を 両端に持つ線分） の配置の分類である。
図 7 a乃至図 7.f は、 2 D-K T Cにおける切断点配置のすべてのパターンを 示す図である。 4稜の各々に対する、 切断点の存在または非存在の 2つの可能性 から 24= 1 6通りであるが、 それらを回転操作に対する同値類を数え上げると 表 1および図 7 a乃至図 7 f の 6パターンにまとめられる。 なおこの図で丸で囲 んだものは、 2 D-MC'に存在するものを示している。
切断点の存在非存在に関する反転操作を同値類の分類に加えるならば、 6パタ ーンは 4パターンにまとめられる。 ただし、 2. 2で切断線分の配置を扱う際に は、 6パターン全てに対して定義する必要がある。
【表 1】
Figure imgf000016_0001
後述する Ap p e n d i x A, Bにおいて 2 Dおよび 3 Dの M Cを扱う；^、 MCにおいて頂点の白黒塗り.わけ （これは頂点の値の正負の区別に対応） の白黒 反転がセル内面の分類上許されるのは、 白黒反転後の切断点配置は、 白黒反転前 の切断点配置と不変だからである。
図 7 a乃至図 7 ίの各配置の縮退度は、 順に 1 , 4， 4， 2,， 4， 1である
差替え用紙（規則 26) (足し合わせると 1 6) 。 ここで、 「縮退度」 とは、 回転操作で 1つの同値類へ と集約された配置の数である。
2. 2 2 D- KT Cにおける切断線分配置
2 D- KT Cの第 2段階に進む。 ここでは、 2. 1で得られた 6種類の切断点 配置の各々に対して、 切断線分配置のあらゆる可能性を網羅する。 網羅のポイン トは、 「注目しているセル内に切断線分を配置する際に、 そのセルの稜上に存在 する全ての切断点を利用する必要はない」 ということである。 一つの稜は、 2つ のセルに共有されており、 その稜に切断点が一つあったとき、 もし片方のセル内 でそれがセル内線を張るために利用されなかったとしても、 他方のセルで利用さ れる可能性がある。
もちろん、 どちらのセルからも利用されない可能性もある。 それは、 非常に小 さい形状が、 その 1本の稜とだけ交差する場合である。 それに対する実装上の処 理としては、 切断点情報を活かす態度としては、 その稜上に微小な線分を置くこ とになるだろうし、 別の態度は、 その切断点を線張りに全く利用しないことであ る。 ただし、 線分を置く事，（3次元では面分を置く事） は、 形状表面が多様体で なくなることを意味するので、 本発明中では網羅の対象としない。 同じ理由で、 セル内で切断線分同士が交差する場合や分岐 （=同一セル稜上で 3本の切断線分 が交わっている） している場合も数え上げの対象から除外した。
図 8 a乃至図 8 Vは、 2 D-KT Cにおける切断線分の配置の全てを示す図で あり、 2. 1で得られた 6種類の切断点配置の各々に対して、 線張りのあらゆる 可能性を調べた結果である。 なおこの図で丸で囲んだものは、 2 D-MCに存在 するものを示しているが、 2 D- KT Cの部分集合に過ぎないことがわかる。 これらの同値類 （e q u i v a l e n c e c l a s s ) を数え上げる際には 三次元の回転操作が利用された。 切断線分の接続が多様体的つまり交差や分岐を 持たないと仮定すれば、 図 8 a乃至図 8 Vの 4頂点を白と黒で塗り分けることが 出来る。 MCの場合と違って、 この塗りわけは切断線分配置後に行われる。 図 8 の切断線分配置パタンに注目すると、 例えば 2 A ( 1) ， 3 (5) ， 4 (9) の ように同じタイプのものが現れるが、 全ての切断点配置に対する面の張り方を網 羅する目的の為には、 どちらも省略できない。 ちなみに図 8 a乃至図 8 Vに描か れた 2 2種類のパターンを切断線分配置で分類すれば 1 0ケースになる。 3. 三次元 i t t a C u b e s ( 3 D-KT C)
3. 1 3 D- KT Cにおける切断点配置の分類
総数 2 1 2= 4 0 9 6の切断稜配置が、 回転操作と鏡映操作のみを許したとき- いくつの同値類にまとまる力、 またそれらはどのような配置であるかを解き明か す。 .
まず、 [数 1] の （1 ) ( 2) 式が成り立つから、 切断点個数が 0— 5個に対 する配置に切断点の有無に関する反転操作をすることで切断点個数が 7— 1 2個 に対する配置が得られることがわかり、 同値類に関してもその反転操作で対応づ いている。
【数 1】
り 12 ― 12 1 12
厶 一 Z-,k-o 、 • (1)
12、 ( 12
J = (12 .(2)
— まず図 9のように立方体の辺に 1一 1 2までのィンデッタスを与えておく。 正 八面体群の回転操作 24に鏡映操作を加えると 4 8の置換操作が可能である。 4 0 9 6個の配置の指標を 1番目から順に一つずつ新出か既出かをチェックして行 くが、 そのとき個々の配置に 4 8回の操作を施し、 既出のリストと照らすことで それと同じ配置が既に登場しているかどうか判断できる。 表 2に示すように、 最 終的に 1 44種類の互いに異なる切断点配置が得られる。
【表 2】
Figure imgf000018_0001
前段落で述べたように切断点個数が 7— 1 2個に対する同値類ば、 切断点個数 が 0— 5個に対する同値類から再現できるので、 切断点個数が 0— 6個に対する 全 8 7パターンを表 3にまとめ、 図 1 0 a—図 1 0 a d、 図 1 1 a—図 1 0 a a . 図 1 2 a—図 1 2 a d、 には図を掲げる。 なおこれらの図で丸で囲んだものは、
差替え用紙 （規則 26) 3 D-MCに存在するものを示している。 MCに現れる切断点配置パタンが KT Cの切断点配置パタンのごく一部であることがわかる。 図 1 0、 1 1、 1 2では、 切断点個数が 7— 1 2個の場合を省略したが、 2 D-KT Cの場合と同様、 切断 三角形の配置を考える際には全 1 4 4パタンが必要となる。
【表 3】
Figure imgf000019_0001
1 4 4種類の配置のどれもが、 実際に表面形状をセル空間に読み込んだ際の切 断点配置として出現し得るものである。 A p p e n d i x Bの表 7に 3 D - M Cの全ての切断配置を 3 D- KT Cのそれと対応させた。 MCは KT Cのごく一 部分でしかないことがわかる。
3 . 2 3 D -K T Cにおける面張り定義に関して
与えられた全ての切断点を結ぶ線分がセルの表面上で閉ループを構成する一例 を図 1 3に示した。 図 9にセルと共に示されたのは、 立方八面体 （準正多面体の —つ。 正 3角形 8枚と正方形 6枚とからなる 1 4面体） である。 切断点の位置が 各稜の中心点であるとしても切断点配置の数え上げゃ閉ループを考察する上で一 般性を失わない。 この立方八面体は、 それら 1 2稜上の中心点 1 2個に対する凸 包となっている。 上記の閉ループを迪る為の道としては、 1 4面体の各正方形面 の 2本ずつの対角線つまり全部で 1 2本の対角線と、 1 4面体がもともと有する 2 4稜とを合わせた 3 6本である。
この準正多面体の頂点 1 2個と稜 3 6本のパスとの関係を平面上のグラフとし て表現したものが図 1 4である。 この図を元にハミルトン閉路の数え上げを説明 する。 このグラフにおいて 1 2個の頂点は全て価数 6で同等となっており、 ここ での数え上げは、 特定の一つの頂点から行うだけでよい。 ハミルトン閉路として 許されるパスは、 立方体の表面上で与えられた全ての切断点を通過して、 途中で 同じパスや同じ切断点を 2度以上通らずに始点に戻ってくるものである。 切断点 個数が 0— 1 2に対する切断点配置全 1 4 4種類のうちの過半数である 8 7種類 がこのような非自己交差ハミルトンパスを持つことを数え上げた。
実は、 これら閉ループから生成されるセル内面の多くは、 V - C A Dにとつて 好ましいものとなっている。 V - C A Dが、 セル内の情報として物理情報を持つ ことは上述したが、 多媒質にも対応できる。 そのとき異材の界面では、 セル内を 複数の物質が占めることとなるが、 この物質の数が 3種類以上になったとき、 何 らかの処理を施すことにより 1つのセル内の物質数は 2種類までに制限すること が好ましい。 なお閉ループから作られるセル内面の多くは、 セルを 2分割するの で、 好都合である。
ただし、 全ての閉ループがセルを 2領域に分けるのではない。 たとえば、 図 1 5の様に閉ループが作れてもセルが分割されないこともある。 図 1 6 a、 b、 c の例は、 閉ループが作れてもそれを縁とする 3角形分割の仕方によっては 2分割 にも 3分割にも成り得ることを示している。 逆に、 全切断点を通る 1本の閉ルー プを作れなくてもセルを 2分割する場合もあり、 その一つを図 1 7に示す。
3. 3 三角形分割に関して
閉ループが出来ると、 それを縁とするようなセル內面を張ることは多くの場合 容易である。 セル内面を三角形分割する問題は、 平面上で多角形を三角形分割す る問題と関係しており、 その三角形分割のパターンの場合の数は、 カタラン数を 用いて表されることが知られている。 カタラン数と三角形分割に関しては、 Ap p e n d i Cで後述する。
3. 4 3 D-KTCの実装例
閉ループを利用した実装を試みた。 B- r e p形状表現を読み込んで切断点を 記録し、 それらに対して閉ループを探し、 三角形分割を行った。 例題は、 サイク ライド （図 1 8 a) および金型 （図 1 8 b) である。 これらを切断点情報をもと に復元したのが、 図 1 8 c， dである。 これらは、 KT Cの面張りの可能性のご く一部分としての、 閉ループから生成したものだが、 十分な表現力を持っている といえる。
ここで強調しておくべきことは、 これら閉ループと対応する切断点配置は、 K TCの一部に過ぎないが、 それでも MCの切断点配置の枠組みにはおさまり切れ ないものだということである。 MCの切断点配置が全て合わせても 1 4通りであ るのに対して、 KT Cの切断点配置 1 44種類の内、 閉ループと対応づくものだ けでも前述のように 8 7種類ある。 1例を示すと、 図 1 6 a乃至図 1 6 cの切断 点配置は閉ループを構成可能であるが、 MCの中には存在しないパターンである c さらに、 図 4 f の三次元版として図 1 6 dも挙げておく。
4. まとめ
上述ように、 KT Cと MCを同じ解像度で比較するとき、 KTCの方がMCょ りも精密な形状表現が可能である。 これは、 KT Cの切断三角形配置の同値類が MCのそれを完全に含んでいることから当然の結果である。
本発明では広義の 1稜 1切断点だけを仮定したときに K T Cが示す多様さを厳 密に提示した。
A e n d i x A： 二次元 M a r c h i n g C u b e s (2 D - MC) 図 2 a乃至図 2 dに 2 D- MCの同値類 4種を示す。 セルの 4頂点上の白黒反 転操作と三次元の回転操作だけを用いてこの 4パターンを得る。 MCは狭義の 1 稜 1切断条件に従う力ゝら、 4つの頂点白黒塗り分けパタンと切断点配置パタンが 1対 1に対応する。 図 2 a乃至図 2 d中各パターンに m c - 0 , m c - 1 , m c - 2， m c- 3のインデックスを割り当てた。
2. 1で 2 D-KT Cを述べたが、 同値類を分類する前の配置の総数は、 2次 元においては MCも KTCも同じ 1 6 (= 24) であることに注意されたい。 こ れは、 正方形の頂点数と辺の数がどちらも 4であることに起因する。 （立方体で は、 頂点と稜の個数が異なるので、 切断点配置の総数も 3 D-MCの 2 5 6 (= 2 8) に対して、 30— 丁〇は40 96 (= 212) と異なる。 ）
表 4は切断点配置に関する同値類の個数を、 全配置数と対応させた表である。 また表 5は、 MCの切断点配置と KT Cの切断点配置の対応表であり。 ここに登 場しない KT Cの切断点配置、 つまり図 7 bと図 7 eは、 MCの切断点配置には 存在しない。
【表 4】
Figure imgf000022_0001
【表 5】
Figure imgf000022_0002
Ap e n d i x B ： 三次元 M a r c h i n g C u b e s ( 3 D-MC) 図 3 a乃至図 3 nに M Cの切断点配置の同値類を全て示した。 分類に用いられ た操作は、 頂点上の白黒反転操作、 回転操作、 そして鏡映操作である。 その結果- 25 6 (= 28) 種類の頂点塗り分けは、 これら 1 4パターンに分類される。 こ れらを切断点の個数に関してまとめると表 6の様になる。
【表 6】
Figure imgf000022_0003
MCの図は、 通常 MCの原論文に合わせて 0- 1 4の計 1 5通りで表されるが. -こには 1 4通りしかないことに注意されたい （図 3 a乃至図 3 η) 。 省略され
差替え用紙 （規則 26) た MC- 14は、 MC- 1 1の鏡映対称であった。 MC- 1 1の面の張り方が決ま れば鏡映操作により MC- 1 5のそれも一意に決まるので、 本発明内での記述の 一貫性 （同値類の数え上げに鏡映操作も用いること） を保つ上で省略する。
図 3 a乃至図 3 nは原論文の図の並びと同じであるが、 セル内面が省かれ、 上 述の理由で MC-1 4が削除されている。 これら MCの全ケースと KTCとの対 応を表 7に示す。
【表 7】
Figure imgf000023_0001
A e n d i x C ：多角形の 3角形分割と力タラン数
セルの表面を迪る閉ループを縁とするような折れ面の生成、 すなわちループの 内部を 3角形分割する問題は、.多くの場合平面上の凸 n角形を 3角形分割する問 題に帰着できる。 （閉ループ全体が平面的では無い場合、 すなわち折れ曲がりの 激しいセル内面が閉ループから生成される場合には、 後者に帰着できない恐れが あるかもしれない。 ）
三角形分割の場合の数を求める問題は、 カタラン数と関連していることが知ら れている。 結果のみを以下に記す。
カタラン数 Cmは （数 2) の （3) 式で示される。 このとき、 凸 n角形をその 内部で交わらない対角線によって 3角形分割するとき、 異なる分割の仕方が幾通 りかを求めたい。 求める数 Tnは （数 2) の （4) 式で与えられる。
【数 2】
— 1 . (2m\ (3)
し" ― m+l m )
.(4)
ln―し"一2 - n-i { n-2 J
この式に、 n = 3， 4， …， 1 2を代入すると、 T3= ] ΤΔ= 2, TB = 5 Τ6= 1 4, …， Τ 2= 1 6 7 9 6が得られる。
η = 5以下はさほど難しくない。 Te= 1 4について補足する。 正 6角形に対 して、 これら 1 4通りを三角形の回転によってまとめると図 1 9 a、 b、 cに示 した 3パターンにまとまる。 図 1 9 a、 図 1 9 b、 図 1 9 cはそれぞれ 6通り、 2通り、 6通りの三角形分割方法を代表する同値類の図示である。 これらを足し 合わせると 1 4通りになることが確認される。
上述したように、 本発明の方法及び変換プログラムによれば、 分割ステップ (A) とセル区分ステップ （D) により、 対象物の外部データ （1 2) を直交セ ル （ 1 3) に分割したセルの階層として小さい記憶容量で外部データ （ 1 2) を 記憶することができる。
また、 切断点決定ステップ （B) において、 境界データとセルの稜との交点を セル稜切断点とするので、 「両端の数値の符合が異なるならばその稜上に一つの 切断点配置を設け、 符合が同じならば切断点配置は設けない」 MCによるすベて の切断点を内含し、 かつ 1稜 1切断条件の下で境界面とセル稜線とのすべての切 断点を漏れなく網羅することができる。
更に、 境界決定ステップ （C) において、 求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセ ル内形状データとするので、 MCによるすベてのセル内形状データを内含し、 か つ 1稜 1切断条件の下でのセル内切断三角形配置を漏れなく網羅することができ る。
また、 境界セルデータ区分ステップ （E) において、 境界セルを構成するセル データをセル内形状データより内側の内部セルデータと外側の外部セルデータに 区分するので、 すべてのセルデータを隣接するセルとの連続性を保ちながら、 内 部セルデータと外部セルデータに区分できる。
従って、 本発明の境界データのセル内形状データへの変換方法及び変換プログ ラムは、 MCによるすベてのセル稜切断点を内含しかつその他のすべてのセル稜 切断点を 1稜 1切断条件の下で漏れなく網羅することができ、 これによりセル稜 切断点を結ぶ境界からなるセル内形状データを漏れなく網羅することができる、 等の優れた効果を有する。
なお、 本発明をいくつかの好ましい実施例により説明したが、 本発明に包含さ れる権利範囲は、 これらの実施例に限定されないことが理解されよう。 反対に、 本発明の権利範囲は、 添付の請求の範囲に含まれるすべての改良、 修正及び均等 物を含むものである。

Claims

請求の範囲
1. 対象物の境界データからなる外部データ （ 1 2)を直交格子のセル（ 1 3) に分割する分割ステップ （A) と、
前記境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とする切断点決定ステップ
(B) と、
求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとする境界決定ステップ
(C) と
分割された各セルを境界面を含まない非境界セル （ 1 3 a ) と境界データを含 む境界セル （ 1 3 b) とに区分するセル区分ステップ （D) と、
境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータ と外側の外部セルデータに区分する境界セルデータ区分ステップ （E) とを有す る、 ことを特徴とする境界データのセル内形状データへの変換方法。
2. 前記セルは 2次元では、 長方形セルであり、
切断点決定ステップ （B) において、 境界データとセルの稜との 24= 1 6通 りの交点をセル稜切断点とし、 更に回転操作による同値類を同一パターンとして 全 6パターンに区分する、 ことを特徴とする請求項 1に記載の境界データのセル 内形状データへの変換方法。
3. 前記境界決定ステップ （C) において、 前記 6パターンすべてに対し て、 セル稜切断点を結ぶ境界線をセル内形状データとする、 ことを特徴とする請 求項 2に記載の境界データのセル内形状データへの変換方法。
4. 前記境界決定ステップ （C) において、 セル内形状データを三次元の 回転操作による同値類を同一パターンとして 2 2種類のセル内形状パターンに区 分する、 ことを特徴とする請求項 2に記載の境界データのセル内形状データへの 変換方法。
5. 前記セルは、 3次元では、 直方体セルであり、
切断点決定ステップ （B) において、 境界データとセルの稜との 212 = 4 0 9 6通りの交点パターンをセル稜切断点とし、 更に回転操作と鏡映操作による同値 類を同一パターンとして全 1 44パターンに区分する、 ことを特徴とする請求項 1に記載の境界データのセル内形状データへの変換方法。
6. 前記切断点決定ステップ （B) において、 更に切断点の存在/非存在 に関する反転操作による同値類を同一パターンとしてセル稜切断点が 0— 6個の 8 7パターンに区分する、 ことを特徴とする請求項 5に記載の境界データのセル 内形状データへの変換方法。
7. 前記境界決定ステップ （C) において、 前記全 1 44パターンすべて に対して、 セル稜切断点を結ぶ境界面をセル内形状データとする、 ことを特徴と する請求項 5又は 6に記載の境界データのセル内形状データへの変換方法。
8. 対象物の境界データからなる外部データ （ 1 2)を直交格子のセル（ 1 3) に分割する分割ステップ (A) と、
前記境界データとセルの稜との交点をセル稜切断点とする切断点決定ステップ
(B) と、
求めたセル稜切断点を結ぶ境界をセル内形状データとする境界決定ステップ
(C) と
分割された各セルを境界面を含まない非境界セル （1 3 a) と境界面を含む境 界セル （1 3 b) とに区分するセル区分ステップ （D) と、
境界セルを構成するセルデータをセル内形状データより内側の内部セルデータ と外側の外部セルデータに区分する境界セルデータ区分ステップ (E) とを有す る、 ことを特徴とする境界データのセル内形状データへの変換プログラム。
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