JP3072687B2 - 固有振動数の算出方法 - Google Patents
固有振動数の算出方法Info
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- JP3072687B2 JP3072687B2 JP5067855A JP6785593A JP3072687B2 JP 3072687 B2 JP3072687 B2 JP 3072687B2 JP 5067855 A JP5067855 A JP 5067855A JP 6785593 A JP6785593 A JP 6785593A JP 3072687 B2 JP3072687 B2 JP 3072687B2
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Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明はロボットの作動制御に関
し、特にロボットアームの作動時に発生する振動を制振
する際に問題となる固有振動数を算出する方法に関す
る。
し、特にロボットアームの作動時に発生する振動を制振
する際に問題となる固有振動数を算出する方法に関す
る。
【０００２】
【従来の技術】今日、産業用ロボットは製造業を始め様
々な業種において使用されている。このロボットは、省
力化が図れる、劣悪な環境の下でも作業が可能であるな
どの優れた特性があるが、その一つに正確な作業が行え
ることがある。
々な業種において使用されている。このロボットは、省
力化が図れる、劣悪な環境の下でも作業が可能であるな
どの優れた特性があるが、その一つに正確な作業が行え
ることがある。
【０００３】図５には、３軸制御型のロボットが示され
ている。Ｘフレーム１上をｘ方向にＹフレーム２が摺動
可能に設けられ、さらにＺフレーム３がＹフレーム２上
をｙ方向に摺動可能に設けられている。Ｚフレーム３に
はハンド部４が設けられ、Ｚ方向に移動可能である。こ
の構成によって、このロボットは所定の範囲内におい
て、ある位置のワークを掴み、別の位置まで移動させ、
ここでワークを放すという動作ができる。従って、この
ようなロボットは製造業において、組み付け工程に盛ん
に用いられている。
ている。Ｘフレーム１上をｘ方向にＹフレーム２が摺動
可能に設けられ、さらにＺフレーム３がＹフレーム２上
をｙ方向に摺動可能に設けられている。Ｚフレーム３に
はハンド部４が設けられ、Ｚ方向に移動可能である。こ
の構成によって、このロボットは所定の範囲内におい
て、ある位置のワークを掴み、別の位置まで移動させ、
ここでワークを放すという動作ができる。従って、この
ようなロボットは製造業において、組み付け工程に盛ん
に用いられている。
【０００４】この組み付け工程に際しては、移動終端点
においてワークの移動を急速に停止することによって振
動が発生し、この振動が収束してからでないと所定の位
置に組み付けられないという問題がある。このときの振
動は、ロボットのフレームの剛性、質量や掴んでいるワ
ークの質量により決定される固有振動数で振動する。こ
れを利用して、本出願人により先に出願された特願平４
−２６３７１４号、特願平４−２６４３８５号、特願平
４−３２５３４６号などにより示された技術には、１回
目の加振力に対し、２回目の加振力が制振力として作用
するように制御タイミングが設定される技術が記載され
ている。すなわち、１回目の加振力によって発生した振
動は、そのときの系の固有振動数で振動し２回目の加振
力はこの振動と逆の位相で加えられ、これによって１回
目の加振によって発生した振動を打ち消すように設定さ
れている。
においてワークの移動を急速に停止することによって振
動が発生し、この振動が収束してからでないと所定の位
置に組み付けられないという問題がある。このときの振
動は、ロボットのフレームの剛性、質量や掴んでいるワ
ークの質量により決定される固有振動数で振動する。こ
れを利用して、本出願人により先に出願された特願平４
−２６３７１４号、特願平４−２６４３８５号、特願平
４−３２５３４６号などにより示された技術には、１回
目の加振力に対し、２回目の加振力が制振力として作用
するように制御タイミングが設定される技術が記載され
ている。すなわち、１回目の加振力によって発生した振
動は、そのときの系の固有振動数で振動し２回目の加振
力はこの振動と逆の位相で加えられ、これによって１回
目の加振によって発生した振動を打ち消すように設定さ
れている。
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】前述の出願に開示され
た技術によれば、固有振動数を何らかの形で求める必要
がある。固有振動数を求める最も一般的な方法として
は、対象となる物体に加速度センサを取り付けて、対象
となる物体を加振し、前述の加速度センサからの信号を
高速フーリエ変換器（ＦＦＴ）により周波数分析すると
いう方法がある。この方法を図５に示した装置において
行おうとすれば、ワークを移動する際の移動終端点ごと
に、また移動するワークの質量ごとに固有振動数を求め
る必要が生じる。すなわち、図５のＡの位置とＢの位置
のように終端点が違う場合にはｙ方向のオーバハング量
が変化するため、系の剛性などが変化し、固有振動数が
変化する。また、ワークの質量が変化しても固有振動数
が変化する。
た技術によれば、固有振動数を何らかの形で求める必要
がある。固有振動数を求める最も一般的な方法として
は、対象となる物体に加速度センサを取り付けて、対象
となる物体を加振し、前述の加速度センサからの信号を
高速フーリエ変換器（ＦＦＴ）により周波数分析すると
いう方法がある。この方法を図５に示した装置において
行おうとすれば、ワークを移動する際の移動終端点ごと
に、また移動するワークの質量ごとに固有振動数を求め
る必要が生じる。すなわち、図５のＡの位置とＢの位置
のように終端点が違う場合にはｙ方向のオーバハング量
が変化するため、系の剛性などが変化し、固有振動数が
変化する。また、ワークの質量が変化しても固有振動数
が変化する。
【０００６】したがって、様々なワークを対象にして、
様々な組み付け作業を行うロボットにおいて、その作業
ごと、ワークごとに固有振動数を前述の方法で求めてい
ては、多くの工数が必要となる。
様々な組み付け作業を行うロボットにおいて、その作業
ごと、ワークごとに固有振動数を前述の方法で求めてい
ては、多くの工数が必要となる。
【０００７】また、新たな作業を行わせる場合は、その
終端点とワーク質量により、その都度固有振動数を測定
する必要がある。この場合には、一旦設置したロボット
に加速度センサを取り付け、ＦＦＴにより解析を行なう
必要が生じる。しかし、他の施設・設備の関係で設置さ
れたロボットの近傍にＦＦＴを持ち込むことができない
場合もある。また、ロボットを設置した工場にＦＦＴが
ない場合もあり得る。以上のように、作業内容ごとに固
有振動数を求めていては多くの工数が必要となるという
問題があった。また、新たな作業内容に対応して、固有
振動数を測定しようとしても、これができない場合もあ
るという問題があった。
終端点とワーク質量により、その都度固有振動数を測定
する必要がある。この場合には、一旦設置したロボット
に加速度センサを取り付け、ＦＦＴにより解析を行なう
必要が生じる。しかし、他の施設・設備の関係で設置さ
れたロボットの近傍にＦＦＴを持ち込むことができない
場合もある。また、ロボットを設置した工場にＦＦＴが
ない場合もあり得る。以上のように、作業内容ごとに固
有振動数を求めていては多くの工数が必要となるという
問題があった。また、新たな作業内容に対応して、固有
振動数を測定しようとしても、これができない場合もあ
るという問題があった。
【０００８】本発明は前述の問題点を解決するためにな
されたものであり、作業内容ごとに固有振動数を測定す
る必要がなく、作業内容を指定することによりその作業
内容に対応する固有振動数を算出する方法を提供するこ
とを目的とする。
されたものであり、作業内容ごとに固有振動数を測定す
る必要がなく、作業内容を指定することによりその作業
内容に対応する固有振動数を算出する方法を提供するこ
とを目的とする。
【０００９】
【課題を解決するための手段】前述の目的を達成するた
めに、本発明にかかる固有振動数の算出方法は、ロボッ
トアームの可動範囲内の複数箇所で、複数種の質量のワ
ークを移動させたときの固有振動数を各々測定するステ
ップと、前記測定された固有振動数を基に固有振動数を
ロボットアームの作動位置とワーク質量との関数として
表すステップと、任意のアーム作動位置と任意のワーク
質量における固有振動数を前記の関数に基づき算出する
ステップとを含む。
めに、本発明にかかる固有振動数の算出方法は、ロボッ
トアームの可動範囲内の複数箇所で、複数種の質量のワ
ークを移動させたときの固有振動数を各々測定するステ
ップと、前記測定された固有振動数を基に固有振動数を
ロボットアームの作動位置とワーク質量との関数として
表すステップと、任意のアーム作動位置と任意のワーク
質量における固有振動数を前記の関数に基づき算出する
ステップとを含む。
【００１０】
【作用】本発明は以上のような構成を有しており、ロボ
ットの固有振動数をロボットアームの作動位置とワーク
の質量との関数として予め表しているので、個々の作業
内容が定められれば、直接固有振動数を測定することな
く、前記関数によって、これを求めることが可能とな
る。
ットの固有振動数をロボットアームの作動位置とワーク
の質量との関数として予め表しているので、個々の作業
内容が定められれば、直接固有振動数を測定することな
く、前記関数によって、これを求めることが可能とな
る。
【００１１】
【実施例】以下、本発明にかかる好適な実施例を図面に
従って説明する。
従って説明する。
【００１２】図１は本実施例の装置を示し、図５に示し
た装置と同様の構成については、同一の符号を付し説明
を省略する。図中の点Ａ1 から点Ａ8 の８個の点により
囲まれた領域が本装置のハンド部４の可動範囲である。
本装置は前述の装置と同様、可動領域内の任意の点から
別の点までワーク５を把持して移動させることができ
る。この作動は図２に示した制御部で行われる。すなわ
ち、コントローラ１０内のＣＰＵ１１は内部メモリ１２
に記憶されている作動プログラムに基づいてサーボアン
プ１３に指令を送る。この指令に基づきサーボモータ１
４が駆動され、このモータ１４がロボットの各フレーム
の移動を行いハンド部４の位置決めを行う。本装置の場
合はｘｙｚの各方向の各々にサーボアンプ１３、サーボ
モータ１４が備えられており、独立して駆動されてい
る。
た装置と同様の構成については、同一の符号を付し説明
を省略する。図中の点Ａ1 から点Ａ8 の８個の点により
囲まれた領域が本装置のハンド部４の可動範囲である。
本装置は前述の装置と同様、可動領域内の任意の点から
別の点までワーク５を把持して移動させることができ
る。この作動は図２に示した制御部で行われる。すなわ
ち、コントローラ１０内のＣＰＵ１１は内部メモリ１２
に記憶されている作動プログラムに基づいてサーボアン
プ１３に指令を送る。この指令に基づきサーボモータ１
４が駆動され、このモータ１４がロボットの各フレーム
の移動を行いハンド部４の位置決めを行う。本装置の場
合はｘｙｚの各方向の各々にサーボアンプ１３、サーボ
モータ１４が備えられており、独立して駆動されてい
る。
【００１３】前述の移動の開始点と終了点の組み合わせ
は作業内容ごとに異なり、さらにワークも作業内容によ
り異なるためにワークの質量も異なる。よって、装置全
体の剛性や、梁としての寸法が異なるので、固有振動数
も異なる。本実施例の装置においては、前記可動範囲内
の複数の点および複数のワーク質量において、その固有
振動数を加速度センサを取り付けてＦＦＴにより測定
し、これらのデータを基に固有振動数の算出式を求めて
いる。
は作業内容ごとに異なり、さらにワークも作業内容によ
り異なるためにワークの質量も異なる。よって、装置全
体の剛性や、梁としての寸法が異なるので、固有振動数
も異なる。本実施例の装置においては、前記可動範囲内
の複数の点および複数のワーク質量において、その固有
振動数を加速度センサを取り付けてＦＦＴにより測定
し、これらのデータを基に固有振動数の算出式を求めて
いる。
【００１４】すなわち、ロボットのハンド部４の座標を
（ｘ，ｙ，ｚ）、ワーク５の質量をＷ、固有振動数をｆ
とすると、これらの関係を示す関数 ｆ＝Ｘ（ｘ，ｙ，ｚ，Ｗ） …（１） を導く。
（ｘ，ｙ，ｚ）、ワーク５の質量をＷ、固有振動数をｆ
とすると、これらの関係を示す関数 ｆ＝Ｘ（ｘ，ｙ，ｚ，Ｗ） …（１） を導く。
【００１５】この関数（１）を前述の内部メモリ１２に
記憶し、ハンド部４の移動制御ごとにその移動終了点の
座標と、このときのワークの質量から、関数（１）に基
づき固有振動数を算出する。
記憶し、ハンド部４の移動制御ごとにその移動終了点の
座標と、このときのワークの質量から、関数（１）に基
づき固有振動数を算出する。
【００１６】そして、実際の移動制御においては、前述
の固有振動数に基づき制振制御を行なう。例として、ロ
ボットアームを停止する時の減速開始時に生じる振動を
減速終了時に生じる振動によって打ち消す、特願平４−
２６４３８５号において示された制振制御を用いて説明
する。この制振制御は、定速移動しているロボットアー
ムを停止する時に生じる２つの振動、すなわち減速開始
時に発生する振動と、減速終了時に生じる振動とを互い
に干渉させることにより制振効果を得ている。ロボット
アームを停止させる際には、所定の加速度で減速させる
必要があるが、定速制御から減速制御に移行する点にお
いてサーボモータのトルクピークが発生し、このとき１
回目の振動が発生する。さらに一定の加速度で減速させ
る減速制御から静止位置に停止させる際にもサーボモー
タのトルクピークが発生し、このとき２回目の振動が発
生する。１回目の振動は、厳密には静止位置とは異なる
位置で発生するために、静止位置での固有振動数とは異
なる振動数で振動するが、この違いはごく僅かのもので
ある。よって、静止位置における固有振動数に基づき制
御を行なっても実際には問題は生じない。この振動を２
回目の振動で打ち消すわけであるが、２回目の加振は１
回目の加振と反対方向に加振されることを考慮すれば、
１回目と２回目の加振の時間間隔がちょうど固有振動数
の逆数である固有周期（Ｔ＝１／ｆ）の整数倍であるこ
とが制振の条件となることが分かる。すなわち、減速の
開始時から、静止トルク発生時までの時間ｔが ｔ＝ｎＴ （ｎ＝０，１，２，…） となるように制御される。このように、１回目と２回目
の加振力が固有周期だけ位相をずらすことによって、１
回目の加振により発生した振動を２回目の加振で打ち消
すことができる。
の固有振動数に基づき制振制御を行なう。例として、ロ
ボットアームを停止する時の減速開始時に生じる振動を
減速終了時に生じる振動によって打ち消す、特願平４−
２６４３８５号において示された制振制御を用いて説明
する。この制振制御は、定速移動しているロボットアー
ムを停止する時に生じる２つの振動、すなわち減速開始
時に発生する振動と、減速終了時に生じる振動とを互い
に干渉させることにより制振効果を得ている。ロボット
アームを停止させる際には、所定の加速度で減速させる
必要があるが、定速制御から減速制御に移行する点にお
いてサーボモータのトルクピークが発生し、このとき１
回目の振動が発生する。さらに一定の加速度で減速させ
る減速制御から静止位置に停止させる際にもサーボモー
タのトルクピークが発生し、このとき２回目の振動が発
生する。１回目の振動は、厳密には静止位置とは異なる
位置で発生するために、静止位置での固有振動数とは異
なる振動数で振動するが、この違いはごく僅かのもので
ある。よって、静止位置における固有振動数に基づき制
御を行なっても実際には問題は生じない。この振動を２
回目の振動で打ち消すわけであるが、２回目の加振は１
回目の加振と反対方向に加振されることを考慮すれば、
１回目と２回目の加振の時間間隔がちょうど固有振動数
の逆数である固有周期（Ｔ＝１／ｆ）の整数倍であるこ
とが制振の条件となることが分かる。すなわち、減速の
開始時から、静止トルク発生時までの時間ｔが ｔ＝ｎＴ （ｎ＝０，１，２，…） となるように制御される。このように、１回目と２回目
の加振力が固有周期だけ位相をずらすことによって、１
回目の加振により発生した振動を２回目の加振で打ち消
すことができる。
【００１７】図３には、本実施例の装置の操作を示すフ
ローチャートが示されている。図３（ａ）のフローは前
述の関数（１）を求める事前段階のフローである。まず
ロボットアームの可動範囲内の複数の代表点での固有振
動数を、加速度センサの出力をＦＦＴで解析することに
より求める（ステップＳ１）。実際に実験したデータの
一部を図４に示す。このときの実験においては、ｘ，
ｙ，ｚの各座標に対して各４か所、すなわち６４の位置
に対して、各々３種の質量のワークにより測定を行って
いる。次に、測定条件、すなわちロボットアームの位置
とワークの質量と、固有振動数の関係を示す式を求める
（ステップＳ２）。前述の実験データを基に関数を求め
ると、 ｆ＝−0.0083ｙ−0.0511ｚ−1.1628Ｗ＋35.22 …（２） となる。
ローチャートが示されている。図３（ａ）のフローは前
述の関数（１）を求める事前段階のフローである。まず
ロボットアームの可動範囲内の複数の代表点での固有振
動数を、加速度センサの出力をＦＦＴで解析することに
より求める（ステップＳ１）。実際に実験したデータの
一部を図４に示す。このときの実験においては、ｘ，
ｙ，ｚの各座標に対して各４か所、すなわち６４の位置
に対して、各々３種の質量のワークにより測定を行って
いる。次に、測定条件、すなわちロボットアームの位置
とワークの質量と、固有振動数の関係を示す式を求める
（ステップＳ２）。前述の実験データを基に関数を求め
ると、 ｆ＝−0.0083ｙ−0.0511ｚ−1.1628Ｗ＋35.22 …（２） となる。
【００１８】この結果によれば、ｘ方向の位置に関して
は固有振動数に影響しないことが分かる。これは実験に
用いた装置はＸフレーム１が両端支持の梁となる構造を
有し、その他のフレームの片持ち支持構造に比して十分
な剛性があったためと考えられる。また、各変数（ｙ，
ｚ，Ｗ）に関して２次の項がないことから、ｘ，ｙ，ｚ
の各座標に対して２か所、ワーク質量に対して２種の１
６種のデータによって、前記の関数を求めても、予測の
精度に関して影響を与えないことが分かる。すなわち、
本実施例のような３軸直交型ロボットであって、各フレ
ームの断面形状または断面２次モーメントが大きく変化
しないような場合は、前述のように１６種のデータによ
り実用上十分な精度の予測が行える。
は固有振動数に影響しないことが分かる。これは実験に
用いた装置はＸフレーム１が両端支持の梁となる構造を
有し、その他のフレームの片持ち支持構造に比して十分
な剛性があったためと考えられる。また、各変数（ｙ，
ｚ，Ｗ）に関して２次の項がないことから、ｘ，ｙ，ｚ
の各座標に対して２か所、ワーク質量に対して２種の１
６種のデータによって、前記の関数を求めても、予測の
精度に関して影響を与えないことが分かる。すなわち、
本実施例のような３軸直交型ロボットであって、各フレ
ームの断面形状または断面２次モーメントが大きく変化
しないような場合は、前述のように１６種のデータによ
り実用上十分な精度の予測が行える。
【００１９】図３（ｂ）に、以上のように求められた予
測式（２）に基づき行われる固有振動数算出のフローが
示されている。固有振動数を求めたい点の座標（ｘ，
ｙ，ｚ）、ワーク重量（Ｗ）の情報を内部メモリ１２か
ら読み出す（ステップＳ３）。そして、この値に基づき
固有振動数の算出を行う（ステップＳ４）。この固有振
動数に基づき、前述したように１回目と２回目の加振の
タイミングを調整し、１回目の加振で発生した振動が２
回目の加振で制振される制御を算出し、これを内部メモ
リに記憶する。（ステップＳ５）。そして、対象となる
全ての点について固有振動数の算出が終了したかが判断
され、終了していない場合はステップＳ３に戻り、また
終了している場合は固有振動数算出プログラムを終了す
る。
測式（２）に基づき行われる固有振動数算出のフローが
示されている。固有振動数を求めたい点の座標（ｘ，
ｙ，ｚ）、ワーク重量（Ｗ）の情報を内部メモリ１２か
ら読み出す（ステップＳ３）。そして、この値に基づき
固有振動数の算出を行う（ステップＳ４）。この固有振
動数に基づき、前述したように１回目と２回目の加振の
タイミングを調整し、１回目の加振で発生した振動が２
回目の加振で制振される制御を算出し、これを内部メモ
リに記憶する。（ステップＳ５）。そして、対象となる
全ての点について固有振動数の算出が終了したかが判断
され、終了していない場合はステップＳ３に戻り、また
終了している場合は固有振動数算出プログラムを終了す
る。
【００２０】以上、本実施例においては３軸直交型のロ
ボットについて説明したが、多関節型のロボットにおい
ても、その可動範囲の複数の点において実測を行い、こ
の実測によって得られたデータを基に、固有振動数をロ
ボットアームの位置（姿勢）とワークの質量の関数とし
て表すことができる。よって、本発明の範囲は３軸直交
型ロボットに限らず、その他の構成を有するロボットに
おいても適用可能である。
ボットについて説明したが、多関節型のロボットにおい
ても、その可動範囲の複数の点において実測を行い、こ
の実測によって得られたデータを基に、固有振動数をロ
ボットアームの位置（姿勢）とワークの質量の関数とし
て表すことができる。よって、本発明の範囲は３軸直交
型ロボットに限らず、その他の構成を有するロボットに
おいても適用可能である。
【００２１】また、実施例おいてはワークの質量を変数
として取り扱ったが、ハンド部４を作業内容に応じたも
のに取り替えて作業する場合も考慮して、このハンド部
４の質量も含めた質量を変数として取り扱うことも可能
である。
として取り扱ったが、ハンド部４を作業内容に応じたも
のに取り替えて作業する場合も考慮して、このハンド部
４の質量も含めた質量を変数として取り扱うことも可能
である。
【００２２】
【発明の効果】以上のように本発明によれば、固有振動
数を算出するための予測式を、予め固有振動数と、ロボ
ットアームの位置とワークの質量との関数として求めて
おくことにより、任意の点における固有振動数を予測す
ることができる。そして、作業内容ごとに固有振動数の
測定を行う必要がなく、また新たな作業を行う場合に
も、あらためて測定を行う必要がない。よって、作業の
効率化を図ることが可能となる。
数を算出するための予測式を、予め固有振動数と、ロボ
ットアームの位置とワークの質量との関数として求めて
おくことにより、任意の点における固有振動数を予測す
ることができる。そして、作業内容ごとに固有振動数の
測定を行う必要がなく、また新たな作業を行う場合に
も、あらためて測定を行う必要がない。よって、作業の
効率化を図ることが可能となる。
【図１】本発明にかかる実施例の構成を示す図である。
【図２】本実施例の制御系のブロック図である。
【図３】本実施例の操作を示すフローチャートである。
【図４】実際に固有振動数を測定したデータの一部を示
す図である。
す図である。
【図５】一般的な３軸直交型ロボットの構成を示す図で
ある。
ある。
１ Ｘフレーム ２ Ｙフレーム ３ Ｚフレーム ４ ハンド部 ５ ワーク １０ コントローラ １１ ＣＰＵ １２ 内部メモリ １４ サーボモータ
フロントページの続き (56)参考文献 特開 平６−114761（ＪＰ，Ａ) 特開 平６−114762（ＪＰ，Ａ) 特開 平６−138950（ＪＰ，Ａ) 特開 平６−269188（ＪＰ，Ａ) 特開 平５−177627（ＪＰ，Ａ) 特開 昭58−191933（ＪＰ，Ａ) (58)調査した分野(Int.Cl.7，ＤＢ名) B25J 3/00 - 3/04 B25J 9/10 - 9/22 B25J 13/00 - 13/08 B25J 19/02 - 19/06 G05B 19/18 - 19/46 B23Q 15/00 - 15/28 G01H 1/00 - 17/00
Claims (1)
- 【請求項１】 ワークを把持して当該ワークの移動を行
うロボットアームの固有振動数の算出方法であって、 前記ロボットアームの可動範囲内の複数箇所で、複数種
の質量のワークを移動させたときの固有振動数を各々測
定するステップと、 前記測定された固有振動数を基に、固有振動数をロボッ
トアームの作動位置とワーク質量との関数として表すス
テップと、 任意のアーム作動位置と任意のワーク質量における固有
振動数を前記の関数に基づき算出するステップと、を含
む固有振動数の算出方法。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP5067855A JP3072687B2 (ja) | 1993-03-26 | 1993-03-26 | 固有振動数の算出方法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP5067855A JP3072687B2 (ja) | 1993-03-26 | 1993-03-26 | 固有振動数の算出方法 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH06278080A JPH06278080A (ja) | 1994-10-04 |
| JP3072687B2 true JP3072687B2 (ja) | 2000-07-31 |
Family
ID=13356988
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP5067855A Expired - Fee Related JP3072687B2 (ja) | 1993-03-26 | 1993-03-26 | 固有振動数の算出方法 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP3072687B2 (ja) |
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-
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- 1993-03-26 JP JP5067855A patent/JP3072687B2/ja not_active Expired - Fee Related
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