CN113434817B - 一种齿轮单项拓扑误差图谱的分析方法 - Google Patents

一种齿轮单项拓扑误差图谱的分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种齿轮单项拓扑误差图谱的分析方法，图谱将三维齿轮误差形态以齿轮误差图谱的图形化进行表征，清晰的表达了齿面上各类型特征误差组合后形成齿面拓扑误差。图谱直观反映了齿面上的各项特征误差，不仅涵盖兼容传统的“线条特征”表征，更具有评价整个齿面形貌的功能。本发明将齿面上的误差映射至啮合面坐标系下，实现了齿面上的三维测量误差的二维化。将啮合面坐标系下的齿面误差采用二维归一化Legendre多项式进行表征，实现了齿面拓扑误差的数学表征。将三维齿轮误差形态以齿轮误差图谱的图形化进行表征，清晰的表达了齿面上各类型特征误差组合后形成误差图，对齿面上存在的特征误差进行定量计算。

Description

一种齿轮单项拓扑误差图谱的分析方法
技术领域
本发明涉及一种齿轮单项拓扑误差图谱的分析方法，属于齿轮机械制造领域。
背景技术
传统的齿轮检测，由于齿面三维测量手段匮乏，也为了提高测量效率，常用齿面上的几 条特征特征线测量来替代齿面三维测量，用对这几条线的评定替代对轮齿曲面的评定，这是 基于二维的测量与评定。按照现行齿轮精度标准，利用统计学采样思想，即在大样本中取少 量样本，以小样本的评定结果作为大样本的评定结果，这在国际国内一系列齿轮精度标准中， 得到普遍采用。基本的作法是在齿轮圆周上测量3～4个齿，每个齿面仅测量齿廓和螺旋线2 条线，以此评定齿面质量；在每个齿面上测量1个点，以此评定齿面在圆周上的分布位置。
三维误差是相对与二维误差的概念。随着光学技术的发展，曲面上可获取的信息越来越 丰富、完整、全面。齿轮三维误差蕴含着大量未能有效利用的信息，如何挖掘其内在价值是 值的研究的内容。因此探索如何利用齿面上大量信息，发展基于齿轮三维曲面的误差表征、 测量和评定方法是很有必要的。三维误差可以更加全面的反映齿面的信息，有利于评价整个 齿面的形貌，有利于加工误差的溯源，有利于预测齿轮的使用性能。发展三维误差的表征与 评定有突出的实用价值，能完善齿轮的评定体系。
为了解决传统圆柱齿轮误差表征的局限与不足，本专利提出一种全新的齿轮三维误差的 表征方法，将***的齿轮误差凝练为具有代表意义的典型齿轮特征误差，提出齿廓偏差 图谱、螺旋线偏差图谱、齿距偏差图谱等“齿轮特征误差图谱”，以及特征误差之间的相互组 合的各类“齿轮单项误差拓扑图谱”的新概念。图谱将三维齿轮误差形态以齿轮误差图谱的 图形化进行表征，清晰的表达了齿面上各类型特征误差组合后形成齿面拓扑误差。图谱直观 反映了齿面上的各项特征误差，不仅涵盖兼容传统的“线条特征”表征，更具有评价整个齿 面形貌的功能。
发明内容
本发明专利提出一种齿轮单项拓扑误差图谱的分析方法。具体步骤如下：
1.建立齿轮三维误差模型。根据齿轮啮合原理，齿面上的任意一点均能在啮合面上找到 一点与之对应，齿面上特征线在啮合面上也存在对应映射关系，映射过程涉及到两个坐标系， 一个是齿轮坐标系，另一个是齿面啮合坐标系。
如图1所示，齿轮坐标系原点的位置位于齿轮回转中心与底面交点，x轴位于第一齿槽 的中间，y轴与之垂直，z轴和齿轮轴回转中心相同。图1中所示的平面为齿轮啮合时的啮 合面，在其上建立坐标系(Yn,Zn)。Zn轴沿着齿高的方向，范围是Yn轴沿着齿廓展开 方向，范围是/>为了表征啮合坐标系下的齿面法向偏差，第三个坐标是与Yn,Zn相垂直 的轴，用dnorm(Yn,Zn)表示，坐标系原点Yn＝0,Zn＝0位于沿着齿宽方向范围b和沿着齿廓展开方 向L的选定分析区域的中心。啮合面下的坐标系(Yn,Yn,δnorm)与齿轮坐标系的关系见式(1)
图2显示了一个三维齿轮坐标系下测量点(xm,ym,zm)的三维点云(左)通过坐标变换获得 啮合坐标系下的计算法向偏差图(右)。
由此实现由齿面上的实测点的测量坐标得到包含有修形信息和齿面误差信息的齿面法向 误差，即齿面上的各种修形或齿面误差最终都体现在法向误差上。进一步通过误差分解将法 向误差分解成齿面沿着螺旋线方向的修形、沿齿廓方向上的修形以及齿面上的各项误差。
2.Legendre多项式与齿面三维误差。勒让德多项式是利用分离变量法在球坐标下解拉普 拉斯方程得到的多项式，在区间[-1,1]上具有正交性，并且各项系数之间相互独立。可以 将齿轮齿面上的法向偏差以通过二维归一化Legendre多项式的叠加精确地表示，从而表征齿 轮三维误差。
l阶Legendre多项式可表示为
式中
本发明采用二维Legendre多项式来重构齿面，二维Legendre多项式可以表示为两个一维 多项式的乘积
Qn(x,y)＝Pk(x)Pl(y) (3)
k和l分别代表各轴的阶次。最低二维Legendre项是一个零阶常数，恰好代表齿轮间距 误差，一阶线性项代表了螺旋线测量和齿廓测量中常见的倾斜误差，二阶项代表了螺旋线和 齿廓中常见的中鼓或中凹误差，二阶交叉项可代表齿面上存在的扭曲偏差，高阶项代表齿面 上螺旋线方向和齿廓方向的波纹度。
任何可测量的齿偏差都可以通过形式的二维归一化Legendre多项式的叠加精确地表示。 第j个齿面的法向偏差可表示为
其中Cj,kl是展开系数，ψk(Zn)与ψl(Yn)是齿面上分别沿螺旋线方向和齿廓方向上的归一化 勒让德多项式。k和l分别代表各轴的阶次，即齿面上的偏差可表征为一系列Legendre多项 式的和。
3.齿轮典型误差图谱与Legendre函数。单个齿面上的典型特征偏差分为5类，分别是0 阶误差齿面的偏移，1阶误差包括齿廓倾斜与螺旋线倾斜，2阶误差包括齿廓中鼓或中凹与螺 旋线中鼓或中凹、高阶误差包括齿廓波纹与螺旋线波纹，2阶交叉误差齿面上的扭曲，共计 10种。
齿面上的三维误差采用Legendre多项式分解后，提取出具有代表性的特征误差，将其进 行图形化表征，即为三维拓扑误差特征图谱，各项特征误差进行组合，即可得到单项三维拓 扑误差图谱。
1)齿面偏移图谱
齿面的实际位置相对于理论位置的偏移称为齿面偏移，用符号fd表示，其特征图谱如图 3所示，为一个距离零点位置有偏移的平面。坐标Zn表示沿着齿宽方向，Yn表示啮合面内齿 廓的法向，为了更好的表征齿面的法向偏差，采用与(Yn,Zn)垂直的轴dnorm[Yn,Zn]表示。齿面偏 移量与多项式中的展开系数Cj,00密切相关，齿面偏移量大，则Cj,00的绝对值大，反之，齿面偏 移量小，则Cj,00的绝对值小。Cj,00的符号表示偏移的方向，“+”表示远离齿面，“-”表示向着 齿面内部。其Legendre多项式表征函数为
Lj(0,0)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn) (5)
将表征函数展开可获得
Lj(0,0)＝Cj,00 (6)
展开系数Cj,00与齿面偏移的关系为
fd＝Cj,00 (7)
2)齿廓倾斜偏差图谱
齿面上仅存齿廓倾斜偏差时，齿廓倾斜图谱是沿着齿廓方向倾斜的平面，在计值范围内 的两端与平均齿廓迹线相交的两条设计齿廓迹线间的距离称为齿廓倾斜偏差，用符号fHα表 示。其特征图谱如图4所示。坐标Zn与Yn以及轴dnorm[Yn,Zn]的含义同齿廓偏移误差图谱相同。 齿廓倾斜的程度与多项式中的展开系数Cj,01密切相关，齿廓倾斜量大，则Cj,01的绝对值大，反 之，齿廓倾斜量小，则Cj,01的绝对值小。Cj,01的符号表示倾斜的方向，“+”表示存在负压力角 误差或者正的基圆半径误差，“-”表示存在正压力角误差或负的基圆半径误差。其Legendre 多项式表征函数为
Lj(0,1)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,01·ψ0(Zn)ψ1(Yn) (8)
将表征函数展开可获得
展开系数Cj,01与齿廓倾斜偏差的关系为
3)螺旋线倾斜偏差图谱
齿面上仅存螺旋线倾斜偏差时，螺旋线倾斜图谱是沿着螺旋线方向倾斜的平面，在计值 范围内的两端与平均螺旋线迹线相交的两条设计螺旋线迹线间的距离称为螺旋线倾斜偏差， 用符号fHβ表示。其特征图谱如图5所示。坐标Zn与Yn以及轴dnorm[Yn,Zn]的含义同齿廓偏移误 差图谱相同。螺旋线倾斜的程度与多项式中的展开系数Cj,10密切相关，螺旋线倾斜量大，则Cj,10的绝对值大，反之，螺旋线倾斜量小，则Cj,10的绝对值小。Cj,10的符号表示倾斜的方向，其 Legendre多项式表征函数为
Lj(1,0)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,10·ψ1(Zn)ψ0(Yn) (11)
将表征函数展开可获得
展开系数Cj,10与单项误差的关系为
4)齿廓中鼓偏差图谱
齿面上仅存齿廓中鼓修形或者偏差时，齿廓中鼓图谱是沿着齿廓方向呈中鼓的抛物面。 齿廓上的中鼓偏差属于齿廓形状偏差。在计值范围内包容实际齿廓迹线的两条与平均齿廓迹 线完全相同的曲线间的距离。且两条曲线与平均齿廓迹线的距离为常数，称为齿廓形状偏差， 用符号ffα表示。其特征图谱如图6所示。坐标Zn与Yn以及dnorm[Yn,Zn]的含义同齿廓偏移误差 图谱相同。齿廓中鼓的程度与多项式中的展开系数Cj,02密切相关，齿廓中鼓量大，则Cj,02的绝 对值大，反之，齿廓中鼓量小，则Cj,02的绝对值小。Cj,02的符号表示抛物线开口的方向，即“+” 表示齿面上存在有沿着齿廓方向中凹的二阶齿面误差，“-”表示存齿面上存在如图6所示的 沿着齿廓方向中鼓的二阶齿面偏差误差。其Legendre多项式表征函数为
Lj(0,2)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,01·ψ0(Zn)ψ1(Yn)+Cj,02·ψ0(Zn)ψ2(Yn) (14)
由多项式可看出与中鼓偏差相关的Legendre展开系数有Cj,00、Cj,01与Cj,02共三个影响系数， 将表征函数展开可获得
其中常数项表示整个中鼓面相对于理论位置的偏移，一阶项表示由于中鼓的存在导致的误差面沿着齿廓方向的倾斜，二阶项/>表示存在的中 鼓，所以Cj,01与齿廓倾斜误差的关系为
展开系数Cj,02与齿廓中鼓偏差的关系为
5)螺旋线中鼓偏差图谱
齿面上仅存螺旋线中鼓修形或者偏差时，螺旋线中鼓图谱是沿着螺旋线方向呈中鼓的抛 物面。螺旋线上的中鼓偏差属于螺旋线形状偏差。在计值范围内包容实际螺旋线迹线的两条 与平均螺旋线迹线完全相同的曲线间的距离。且两条曲线与平均螺旋线迹线的距离为常数， 称为螺旋线形状偏差，用符号ffβ表示。其特征图谱如图7所示。坐标Zn与Yn以及dnorm[Yn,Zn] 的含义同齿廓偏移误差图谱相同。螺旋线中鼓的程度与多项式中的2阶项展开系数Cj,20密切 相关，螺旋线中鼓量大，则Cj,20的绝对值大，反之，螺旋线中鼓量小，则Cj,20的绝对值小。Cj,20的符号表示抛物线开口的方向，即“+”表示齿面上存在有沿着螺旋线方向中凹的二阶齿面误差， “-”表示存齿面上存在如图7所示的沿着螺旋线方向中鼓的二阶齿面偏差误差。其Legendre多 项式表征函数为
Lj(2,0)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,10·ψ1(Zn)ψ0(Yn)+Cj,20·ψ2(Zn)ψ0(Yn) (18)
由多项式可看出与中鼓偏差相关的Legendre展开系数有Cj,00、Cj,10与Cj,20共三个影响系数， 将表征函数展开可获得
其中常数项表示整个中鼓面相对于理论位置的偏移，一阶项表示由于中鼓的存在导致的误差面沿螺旋线方向的的倾斜，二阶项/>表示存在的 中鼓，所以Cj,10与齿廓倾斜误差的关系为
展开系数Cj,20与齿廓中鼓偏差的关系为
6)齿廓中凹偏差图谱
与齿廓中鼓偏差图谱类似，齿面上仅存齿廓中凹修形或者偏差时，齿廓中凹图谱是沿着 齿廓方向呈中凹的抛物面。齿廓上的中凹偏差属于齿廓形状偏差。在计值范围内包容实际齿 廓迹线的两条与平均齿廓迹线完全相同的曲线间的距离。且两条曲线与平均齿廓迹线的距离 为常数，称为齿廓形状偏差，用符号ffα表示。其特征图谱如图8所示。坐标Zn与Yn以及 dnorm[Yn,Zn]的含义同齿廓偏移误差图谱相同。齿廓中鼓的程度与多项式中的展开系数Cj,02密切 相关，齿廓中凹量大，则Cj,02的绝对值大，反之，齿廓中凹量小，则Cj,02的绝对值小。Cj,02的 符号表示抛物线开口的方向，即“+”表示齿面上存在有沿着齿廓方向如图8所示的中凹的二 阶齿面误差，“-”表示存齿面上存在如图6所示的沿着齿廓方向中鼓的二阶齿面偏差误差。 其Legendre多项式表征函数为
Lj(0,2)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,01·ψ0(Zn)ψ1(Yn)+Cj,02·ψ0(Zn)ψ2(Yn) (22)
由多项式可看出与中鼓偏差相关的Legendre展开系数有Cj,00、Cj,01与Cj,02共三个影响系数， 将表征函数展开可获得
其中常数项表示整个中凹面相对于理论位置的偏移，一阶项表示由于中凹的存在导致的误差面沿着齿廓方向的的倾斜，二阶项表示存在的 中凹，所以Cj,01与齿廓倾斜误差的关系为
展开系数Cj,02与齿廓中凹偏差的关系为
7)螺旋线中凹偏差图谱
齿面上仅存螺旋线中凹修形或者偏差时，螺旋线中凹图谱是沿着螺旋线方向呈中凹的抛 物面。螺旋线上的中凹偏差属于螺旋线形状偏差。在计值范围内包容实际螺旋线迹线的两条 与平均螺旋线迹线完全相同的曲线间的距离。且两条曲线与平均螺旋线迹线的距离为常数， 称为螺旋线形状偏差，用符号ffβ表示。其特征图谱如图9所示。坐标Zn与Yn以及dnorm[Yn,Zn] 的含义同齿廓偏移误差图谱相同。螺旋线中凹的程度与多项式中的展开系数Cj,20密切相关， 螺旋线中凹量大，则Cj,20的绝对值大，反之，螺旋线中凹量小，则Cj,20的绝对值小。Cj,20的符 号表示抛物线开口的方向，如图7所示，“+”表示齿面上存在有沿着螺旋线方向中鼓的二阶齿 面误差，“-”表示存齿面上存在如图9所示的沿着螺旋线方向中凹的二阶齿面偏差误差。其 Legendre多项式表征函数为
Lj(2,0)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,10·ψ1(Zn)ψ0(Yn)+Cj,20·ψ2(Zn)ψ0(Yn) (26)
由多项式可看出与中凹偏差相关的Legendre展开系数有Cj,00、Cj,10与Cj,20共三个影响系数， 将表征函数展开可获得
其中常数项表示整个中凹面相对于理论位置的偏移，一阶项表示由于中凹的存在导致的误差面沿螺旋线方向的的倾斜，二阶项表示存在的 中凹，所以Cj,10与齿廓倾斜误差的关系为
展开系数Cj,20与齿廓中凹偏差的关系为
8)齿廓波纹偏差图谱
波动(波纹度、循环偏差)是具有恒定波长和几乎恒定高度的螺旋线形状偏差。波纹度 轮廓的不平度是表面形状特性的一种组成成分，通常粗糙度与之迭加在一起，波纹度间距显 著的大于粗糙度间距。沿着齿廓方向波纹度的波长为λα，轮廓中线到波峰或波谷的距离为齿 廓波度，用fwα表示。沿着螺旋线方向波纹度的波长为λβ，轮廓中线到波峰或波谷的距离为 齿廓波度，用fwβ表示。由于波纹度的周期性特点，所以它是齿轮使用时产生噪音的一个原因， 波纹度也会影响材料表面的抗疲劳能力，因此，当需要高标准的性能和可靠性的时候，将齿 面波纹度从表面粗糙度中分离出来进行研究是很有必要的。
当齿廓上存在有波纹度偏差时，其齿廓波纹图谱如图10所示，沿着齿廓方向存在有一个 以上的波峰或波谷的曲面。坐标Zn与Yn以及dnorm[Yn,Zn]的含义同齿廓偏移误差图谱相同。本 文中选定的正交多项式为5阶多项式，理论上讲，选择的正交多项式阶数越高，表征齿面上 的波纹度偏差的精度越高。多项式展开系数Cj,04与高阶齿面偏差存在密切联系。齿廓上波纹 度幅值fwα大，则Cj,04的绝对值大，反之，齿廓上波纹度幅值fwα小，则Cj,04的绝对值小，Cj,04的符号表示波纹的方向。“+”表示沿着齿廓方向存在中点处出现波峰，“-”表示沿着齿廓方向 存在中点处出现波谷。其Legendre多项式表征函数为
Lj(0,4)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,02·ψ2(Zn)ψ2(Yn)+Cj,04·ψ0(Zn)ψ4(Yn) (30)
由多项式可看出与齿廓波纹度偏差相关的Legendre展开系数有Cj,00、Cj,02与Cj,04共三个影 响系数，将表征函数展开可获得
其中常数项表示整个齿面相对于理论位置的偏移，二阶项表示由于波纹度的存在导致的误差面沿齿廓方向的的中鼓或者中凹，高 阶项/>表示齿面上存在齿廓波纹度偏差，当齿面上的齿廓波纹的波长λα越大，则2 阶项相对于与高阶项所占的比例越大，齿面上的齿廓波纹的波长λα越小，则2阶项相对于与 高阶项所占的比例越小，所以展开系数Cj,00、Cj,02与Cj,04共同决定了齿廓波纹度的大小，二者 与齿廓波纹度偏差的关系为
9)螺旋线波纹偏差图谱
当螺旋线上存在有波纹度偏差时，其螺旋线波纹图谱如图11所示，沿着螺旋线方向存在 有一个以上的波峰或波谷的曲面。坐标Zn与Yn以及dnorm[Yn,Zn]的含义同螺旋线偏移误差图谱 相同。本文中选定的正交多项式为5阶多项式，同齿廓波纹度偏差类似，理论上讲，选择的 正交多项式阶数越高，表征齿面上的波纹度偏差的精度越高。多项式展开系数Cj,40与高阶齿 面偏差存在密切联系。螺旋线上波纹度幅值fwβ大，则Cj,40的绝对值大，反之，螺旋线上波纹 度幅值fwβ小，则Cj,40的绝对值小，Cj,04的符号表示波纹的方向。“+”表示沿着螺旋线方向在 中点处出现波峰，“-”表示沿着螺旋线方向在中点处出现波谷。其Legendre多项式表征函数 为
Lj(4,0)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,20·ψ2(Zn)ψ0(Yn)+Cj,40·ψ4(Zn)ψ0(Yn) (33)
由多项式可看出与螺旋线波纹度偏差相关的Legendre展开系数有Cj,00、Cj,20与Cj,40共三个 影响系数，将表征函数展开可获得
高阶项/>表示齿面上存在螺旋线波纹度偏差，当齿面上的螺旋线波纹的波长λβ越大， 则2阶项相对于与高阶项所占的比例越大，齿面上的螺旋线波纹的波长λβ越小，则2阶项相 对于与高阶项所占的比例越小，所以展开系数Cj,00、Cj,20与Cj,40共同决定了螺旋线波纹度的大 小，二者与螺旋线波纹度偏差的关系为
10)齿面扭曲偏差图谱
扭曲是齿面上端面齿廓沿螺旋线旋转的结果。当沿着齿廓方向与螺旋线方向同时存在的 倾斜偏差，且齿顶的偏差与齿底的偏差符号相反时，在齿面上表征出来的就是扭曲现象，如 图12所示，端面齿廓扭曲Sα和螺旋线扭曲Sβ间是有区别的。端面齿廓扭曲Sα为 |Sα|＝|CHαI-CHαII|，且CHαI＝-CHαII，螺旋线扭曲Sβ为|Sβ|＝|CHβNa-CHβNf|，且CHβNa＝-CHβNf。齿 面扭曲图谱如图12所示，坐标Zn与Yn以及dnorm[Yn,Zn]的含义同齿廓偏移误差图谱相同。展开 系数Cj,11与扭曲的程度密切相关，齿面扭曲的程度大，则Cj,11的绝对值越大，反之，齿面扭曲的程度小，则Cj,11的绝对值越小。Cj,11的符号表示扭曲的方向，“+”表示在齿顶的齿廓倾斜偏差为正，齿底的齿廓倾斜偏差为负，“-”表示在齿顶的齿廓倾斜偏差为负，齿底的齿廓倾斜偏差为正。为与齿面上同时存在一阶齿廓倾斜与螺旋线倾斜相区别，扭曲采用符号L'j(1,1)表 示，其Legendre多项式表征函数为
L'j(1,1)＝Cj,10·ψ1(Zn)ψ0(Yn)+Cj,01·ψ0(Zn)ψ1(Yn)+Cj,11·ψ1(Zn)ψ1(Yn) (36)
由多项式可看出与齿面扭曲偏差相关的Legendre展开系数有Cj,01、Cj,10与Cj,11共三个影响 系数，将表征函数展开可获得
其中一阶项表示由于扭曲的存在导致的沿着螺旋线方向的倾斜，一阶项表示由于扭曲的存在导致的沿着齿廓方向的倾斜，二阶交叉项/>表示齿面上的扭曲，Cj,11与齿面扭曲的关系为
表1给出了Legendre多项式展开系数与齿面上各阶特征误差的对应关系。
表1 Legendre多项式展开系数Cj,kl与各阶特征误差之间的关系
4.九种典型误差组成齿轮单项误差图谱
除0阶误差齿面偏移外，将其余九种典型误差进行两两组合即可获得齿面单项误差图谱。 如图13所示，按齿廓方向与螺旋线方向，齿面上的特征误差组合后形成单项误差图谱，共 43种，基本包含了齿面上的各种类型误差。
本发明的齿轮拓扑误差图谱具有以下显著特点：
1.本文提出齿面三维误差模型。将齿面上的误差映射至啮合面坐标系下，实现了齿面上 的三维测量误差的二维化。
2.提出一种由Legendre多项式表征齿面误差的方法。将啮合面坐标系下的齿面误差采用 二维归一化Legendre多项式进行表征，实现了齿面拓扑误差的数学表征。
3.提出一种齿面拓扑误差图谱。将三维齿轮误差形态以齿轮误差图谱的图形化进行表征， 清晰的表达了齿面上各类型特征误差组合后形成误差图，对齿面上存在的特征误差进行定量 计算。
4.利用齿轮误差图谱形象地展示齿轮特征误差与单项误差之间的关系，齿轮单项拓扑误 差图谱为实现齿轮各项特征误差与综合误差、整体误差以及齿轮副误差之间的图谱关系提供 了理论基础。
附图说明
图1齿轮坐标系与啮合面坐标系。
图2齿轮三维模型到法向偏差二维化过程。
图3齿面偏移图谱。
图4齿廓倾斜图谱。
图5螺旋线倾斜图谱。
图6齿廓中鼓图谱。
图7螺旋线中鼓图谱。
图8齿廓中凹图谱。
图9螺旋线中凹图谱。
图10齿廓波纹图谱。
图11螺旋线波纹图谱。
图12齿面扭曲图谱。
图13齿轮单项三维误差图谱。
图14齿面1与齿面1的拓扑误差图。
图15齿面1的拓扑误差图分解为特征误差图谱。
具体实施方式
以下结合具体实例对本发明进行说明：
特征齿轮基本参数见表2，齿轮上带有误差的齿面1拓扑数据如图14所示。以齿面1为 例进行数据处理。
表2测量试验齿轮基本参数
1.建立齿轮三维误差模型。根据齿轮啮合原理，齿面上的任意一点均能在啮合面上找到 一点与之对应，齿面上特征线在啮合面上也存在对应映射关系，映射过程涉及到两个坐标系， 一个是齿轮坐标系，另一个是齿面啮合坐标系。
如图1所示，齿轮坐标系原点的位置位于齿轮回转中心与底面交点，x轴位于第一齿槽 的中间，y轴与之垂直，z轴和齿轮轴回转中心相同。图1中所示的平面为齿轮啮合时的啮 合面，在其上建立坐标系(Yn,Zn)。Zn轴沿着齿高的方向，范围是(-5,5)，Yn轴沿着齿廓展开 方向，范围是(-1.8,1.8)。为了表征啮合坐标系下的齿面法向偏差，第三个坐标是与Yn,Zn相垂 直的轴，用dnorm(Yn,Zn)表示，坐标系原点Yn＝0,Zn＝0位于沿着齿宽方向范围b和沿着齿廓展开 方向L的选定分析区域的中心。啮合面下的坐标系(Yn,Yn,δnorm)与齿轮坐标系的关系见式(39)
2.Legendre多项式与齿面三维误差。勒让德多项式是利用分离变量法在球坐标下解拉普 拉斯方程得到的多项式，在区间[-1,1]上具有正交性，并且各项系数之间相互独立。可以 将齿轮齿面上的法向偏差以通过二维归一化Legendre多项式的叠加精确地表示，从而表征齿 轮三维误差。
齿面偏差可以通过形式的二维归一化Legendre多项式的叠加精确地表示。第1个齿面的 法向偏差可表示为
其中C1,kl是展开系数，ψk(Zn)与ψl(Yn)是齿面上分别沿螺旋线方向和齿廓方向上的归一化 勒让德多项式。k和l分别代表各轴的阶次，即齿面上的偏差可表征为一系列Legendre多项 式的和。
3.齿轮典型误差图谱与Legendre函数。按照本发明的方法，单个齿面上的典型特征偏差 分为5类，分别是0阶误差齿面的偏移，1阶误差包括齿廓倾斜与螺旋线倾斜，2阶误差包括 齿廓中鼓或中凹与螺旋线中鼓或中凹、高阶误差包括齿廓波纹与螺旋线波纹，2阶交叉误差 齿面上的扭曲，共计10种。具体实例中包含齿廓倾斜偏差、齿廓中鼓偏差、螺旋线倾斜偏差、 螺旋线中鼓偏差与高阶偏差。
齿面上的三维误差采用Legendre多项式分解后，提取出具有代表性的特征误差，将其进 行图形化表征，即为三维拓扑误差特征图谱。
1)齿廓倾斜偏差图谱
齿面上仅存齿廓倾斜偏差时，齿廓倾斜图谱是沿着齿廓方向倾斜的平面，在计值范围内 的两端与平均齿廓迹线相交的两条设计齿廓迹线间的距离称为齿廓倾斜偏差，用符号fHα表 示。其特征图谱如图4所示。坐标Zn与Yn以及轴dnorm[Yn,Zn]的含义同齿廓偏移误差图谱相同。 齿廓倾斜的程度与多项式中的展开系数Cj,01密切相关，齿廓倾斜量大，则Cj,01的绝对值大，反 之，齿廓倾斜量小，则Cj,01的绝对值小。Cj,01的符号表示倾斜的方向，“+”表示存在负压力角 误差或者正的基圆半径误差，“-”表示存在正压力角误差或负的基圆半径误差。其Legendre 多项式表征函数为
Lj(0,1)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,01·ψ0(Zn)ψ1(Yn) (41)
将表征函数展开可获得
展开系数Cj,01与齿廓倾斜偏差的关系为
2)螺旋线倾斜偏差图谱
齿面上仅存螺旋线倾斜偏差时，螺旋线倾斜图谱是沿着螺旋线方向倾斜的平面，在计值 范围内的两端与平均螺旋线迹线相交的两条设计螺旋线迹线间的距离称为螺旋线倾斜偏差， 用符号fHβ表示。其特征图谱如图5所示。坐标Zn与Yn以及轴dnorm[Yn,Zn]的含义同齿廓偏移误 差图谱相同。螺旋线倾斜的程度与多项式中的展开系数Cj,10密切相关，螺旋线倾斜量大，则Cj,10的绝对值大，反之，螺旋线倾斜量小，则Cj,10的绝对值小。Cj,10的符号表示倾斜的方向，其 Legendre多项式表征函数为
Lj(1,0)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,10·ψ1(Zn)ψ0(Yn) (44)
将表征函数展开可获得
展开系数Cj,10与单项误差的关系为
3)齿廓中鼓偏差图谱
齿面上仅存齿廓中鼓修形或者偏差时，齿廓中鼓图谱是沿着齿廓方向呈中鼓的抛物面。 齿廓上的中鼓偏差属于齿廓形状偏差。在计值范围内包容实际齿廓迹线的两条与平均齿廓迹 线完全相同的曲线间的距离。且两条曲线与平均齿廓迹线的距离为常数，称为齿廓形状偏差， 用符号ffα表示。其特征图谱如图6所示。坐标Zn与Yn以及dnorm[Yn,Zn]的含义同齿廓偏移误差 图谱相同。齿廓中鼓的程度与多项式中的展开系数Cj,02密切相关，齿廓中鼓量大，则Cj,02的绝 对值大，反之，齿廓中鼓量小，则Cj,02的绝对值小。Cj,02的符号表示抛物线开口的方向，即“+” 表示齿面上存在有沿着齿廓方向中凹的二阶齿面误差，“-”表示存齿面上存在如图6所示的 沿着齿廓方向中鼓的二阶齿面偏差误差。其Legendre多项式表征函数为
Lj(0,2)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,01·ψ0(Zn)ψ1(Yn)+Cj,02·ψ0(Zn)ψ2(Yn) (47)
由多项式可看出与中鼓偏差相关的Legendre展开系数有Cj,00、Cj,01与Cj,02共三个影响系数， 将表征函数展开可获得
其中常数项表示整个中鼓面相对于理论位置的偏移，一阶项/>表示由于中鼓的存在导致的误差面沿着齿廓方向的倾斜，二阶项/>表示存在的中 鼓，所以Cj,01与齿廓倾斜误差的关系为
展开系数Cj,02与齿廓中鼓偏差的关系为
4)螺旋线中鼓偏差图谱
齿面上仅存螺旋线中鼓修形或者偏差时，螺旋线中鼓图谱是沿着螺旋线方向呈中鼓的抛 物面。螺旋线上的中鼓偏差属于螺旋线形状偏差。在计值范围内包容实际螺旋线迹线的两条 与平均螺旋线迹线完全相同的曲线间的距离。且两条曲线与平均螺旋线迹线的距离为常数， 称为螺旋线形状偏差，用符号ffβ表示。其特征图谱如图7所示。坐标Zn与Yn以及dnorm[Yn,Zn] 的含义同齿廓偏移误差图谱相同。螺旋线中鼓的程度与多项式中的2阶项展开系数Cj,20密切 相关，螺旋线中鼓量大，则Cj,20的绝对值大，反之，螺旋线中鼓量小，则Cj,20的绝对值小。Cj,20的符号表示抛物线开口的方向，即“+”表示齿面上存在有沿着螺旋线方向中凹的二阶齿面误差， “-”表示存齿面上存在如图7所示的沿着螺旋线方向中鼓的二阶齿面偏差误差。其Legendre多 项式表征函数为
Lj(2,0)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,10·ψ1(Zn)ψ0(Yn)+Cj,20·ψ2(Zn)ψ0(Yn) (51)
由多项式可看出与中鼓偏差相关的Legendre展开系数有Cj,00、Cj,10与Cj,20共三个影响系数， 将表征函数展开可获得
其中常数项表示整个中鼓面相对于理论位置的偏移，一阶项表示由于中鼓的存在导致的误差面沿螺旋线方向的的倾斜，二阶项/>表示存在的 中鼓，所以Cj,10与齿廓倾斜误差的关系为
展开系数Cj,20与齿廓中鼓偏差的关系为
5)齿廓波纹偏差图谱
波动(波纹度、循环偏差)是具有恒定波长和几乎恒定高度的螺旋线形状偏差。波纹度 轮廓的不平度是表面形状特性的一种组成成分，通常粗糙度与之迭加在一起，波纹度间距显 著的大于粗糙度间距。沿着齿廓方向波纹度的波长为λα，轮廓中线到波峰或波谷的距离为齿 廓波度，用fwα表示。沿着螺旋线方向波纹度的波长为λβ，轮廓中线到波峰或波谷的距离为 齿廓波度，用fwβ表示。由于波纹度的周期性特点，所以它是齿轮使用时产生噪音的一个原因， 波纹度也会影响材料表面的抗疲劳能力，因此，当需要高标准的性能和可靠性的时候，将齿 面波纹度从表面粗糙度中分离出来进行研究是很有必要的。
当齿廓上存在有波纹度偏差时，其齿廓波纹图谱如图10所示，沿着齿廓方向存在有一个 以上的波峰或波谷的曲面。坐标Zn与Yn以及dnorm[Yn,Zn]的含义同齿廓偏移误差图谱相同。本 文中选定的正交多项式为5阶多项式，理论上讲，选择的正交多项式阶数越高，表征齿面上 的波纹度偏差的精度越高。多项式展开系数Cj,04与高阶齿面偏差存在密切联系。齿廓上波纹 度幅值fwα大，则Cj,04的绝对值大，反之，齿廓上波纹度幅值fwα小，则Cj,04的绝对值小，Cj,04的符号表示波纹的方向。“+”表示沿着齿廓方向存在中点处出现波峰，“-”表示沿着齿廓方向 存在中点处出现波谷。其Legendre多项式表征函数为
Lj(0,4)＝Cj,00·ψ0(Zn)ψ0(Yn)+Cj,02·ψ2(Zn)ψ2(Yn)+Cj,04·ψ0(Zn)ψ4(Yn) (55)
由多项式可看出与齿廓波纹度偏差相关的Legendre展开系数有Cj,00、Cj,02与Cj,04共三个影 响系数，将表征函数展开可获得
其中常数项表示整个齿面相对于理论位置的偏移，二阶项表示由于波纹度的存在导致的误差面沿齿廓方向的中鼓或者中凹，高阶 项/>表示齿面上存在齿廓波纹度偏差，当齿面上的齿廓波纹的波长λα越大，则2阶 项相对于与高阶项所占的比例越大，齿面上的齿廓波纹的波长λα越小，则2阶项相对于与高 阶项所占的比例越小，所以展开系数Cj,00、Cj,02与Cj,04共同决定了齿廓波纹度的大小，二者与 齿廓波纹度偏差的关系为
6)齿面扭曲偏差图谱
扭曲是齿面上端面齿廓沿螺旋线旋转的结果。当沿着齿廓方向与螺旋线方向同时存在的 倾斜偏差，且齿顶的偏差与齿底的偏差符号相反时，在齿面上表征出来的就是扭曲现象，如 图12所示，端面齿廓扭曲Sα和螺旋线扭曲Sβ间是有区别的。端面齿廓扭曲Sα为 |Sα|＝|CHαI-CHαII|，且CHαI＝-CHαII，螺旋线扭曲Sβ为|Sβ|＝|CHβNa-CHβNf|，且CHβNa＝-CHβNf。齿 面扭曲图谱如图12所示，坐标Zn与Yn以及dnorm[Yn,Zn]的含义同齿廓偏移误差图谱相同。展开 系数Cj,11与扭曲的程度密切相关，齿面扭曲的程度大，则Cj,11的绝对值越大，反之，齿面扭曲的程度小，则Cj,11的绝对值越小。Cj,11的符号表示扭曲的方向，“+”表示在齿顶的齿廓倾斜偏差为正，齿底的齿廓倾斜偏差为负，“-”表示在齿顶的齿廓倾斜偏差为负，齿底的齿廓倾斜偏差为正。为与齿面上同时存在一阶齿廓倾斜与螺旋线倾斜相区别，扭曲采用符号L'j(1,1)表 示，其Legendre多项式表征函数为
L'j(1,1)＝Cj,10·ψ1(Zn)ψ0(Yn)+Cj,01·ψ0(Zn)ψ1(Yn)+Cj,11·ψ1(Zn)ψ1(Yn) (58)
由多项式可看出与齿面扭曲偏差相关的Legendre展开系数有Cj,01、Cj,10与Cj,11共三个影响 系数，将表征函数展开可获得
其中一阶项表示由于扭曲的存在导致的沿着螺旋线方向的倾斜，一阶项/>表示由于扭曲的存在导致的沿着齿廓方向的倾斜，二阶交叉项/>表示齿面上的扭曲，Cj,11与齿面扭曲的关系为
由齿面1的齿面拓扑误差图采用本发明提出的方法，可以得到如图15的齿面特征误差图 谱。齿面1上的拓扑误差图被表示为齿面偏移偏差、齿廓倾斜偏差、齿廓中鼓偏差、螺旋线 倾斜偏差、螺旋线中鼓偏差与高阶偏差。表3给出了实例中的具体的各项参数以及与齿轮测 量中心的比对结果。
表3测量试验齿轮齿面偏差参数对比
本专利以各种工艺加工的齿轮误差形态为研究基础，将基于在现代测量手段下获取的齿 轮三维误差进行科学表征，凝练出能反映齿轮使用性能具有特殊意义的典型齿轮特征误差， 并将齿轮三维误差间以“齿轮三维拓扑误差图谱”形式表征。提出齿廓偏差图谱、螺旋线偏 差图谱、齿距偏差图谱等“齿轮特征误差图谱”，以及特征误差之间的相互组合的各类“齿轮 单项误差拓扑图谱”的新概念。图谱将三维齿轮误差形态以齿轮误差图谱的图形化进行表征， 清晰的表达了齿面上各类型特征误差组合后形成误差图，对齿面上存在的特征误差进行定量 计算，为后续实现齿轮各项特征误差与综合误差、整体误差以及齿轮副误差之间的图谱关系 提供了理论基础。

Claims (3)

1.一种齿轮单项拓扑误差图谱的分析方法，其特征在于：该分析方法包括以下步骤：
S1建立齿轮三维误差模型；根据齿轮啮合原理，齿面上的任意一点均能在啮合面上找到一点与之对应，齿面上特征线在啮合面上也存在对应映射关系，映射过程涉及到两个坐标系，一个是齿轮坐标系，另一个是齿面啮合坐标系；
齿轮坐标系原点的位置位于齿轮回转中心与底面交点，x轴位于第一齿槽的中间，y轴与之垂直，z轴和齿轮轴回转中心相同；齿轮啮合时的啮合面，在其上建立坐标系(Yn,Zn)；Zn轴沿着齿高的方向，范围是Yn轴沿着齿廓展开方向，范围是/>为表征啮合坐标系下的齿面法向偏差，第三个坐标是与Yn,Zn相垂直的轴，用dnorm(Yn,Zn)表示，坐标系原点Yn＝0,Zn＝0位于沿着齿宽方向范围b和沿着齿廓展开方向L的选定分析区域的中心；通过误差分解将法向误差分解成齿面沿着螺旋线方向的修形、沿齿廓方向上的修形以及齿面上的各项误差；
S2Legendre多项式与齿面三维误差；勒让德多项式是利用分离变量法在球坐标下解拉普拉斯方程得到的多项式，在区间[-1,1]上具有正交性，并且各项系数之间相互独立；将齿轮齿面上的法向偏差以通过二维归一化Legendre多项式的叠加精确地表示，从而表征齿轮三维误差；
S3齿轮典型误差图谱与Legendre函数；单个齿面上的典型特征偏差分为5类，分别是0阶误差齿面的偏移，1阶误差包括齿廓倾斜与螺旋线倾斜，2阶误差包括齿廓中鼓或中凹与螺旋线中鼓或中凹、高阶误差包括齿廓波纹与螺旋线波纹，2阶交叉误差齿面上的扭曲，共计10种；
S4.九种典型误差组成齿轮单项误差图谱
除0阶误差齿面偏移外，将其余九种典型误差进行两两组合即可获得齿面单项误差图谱；按齿廓方向与螺旋线方向，齿面上的特征误差组合后形成单项误差图谱，共43种，基本包含了齿面上的各种类型误差；
齿面上的三维误差采用Legendre多项式分解后，提取出具有代表性的特征误差，进行图形化表征，即为三维拓扑误差特征图谱，各项特征误差进行组合，即可得到单项三维拓扑误差图谱。
2.根据权利要求1所述的一种齿轮单项拓扑误差图谱的分析方法，其特征在于：啮合面下的坐标系(Yn,Yn,δnorm)与齿轮坐标系的关系见式(1)
三维齿轮坐标系下测量点(xm,ym,zm)的三维点云通过坐标变换获得啮合坐标系下的计算法向偏差图；
由此实现由齿面上的实测点的测量坐标得到包含有修形信息和齿面误差信息的齿面法向误差，即齿面上的各种修形或齿面误差最终都体现在法向误差上。
3.根据权利要求1所述的一种齿轮单项拓扑误差图谱的分析方法，其特征在于：l阶Legendre多项式表示为
式中
采用二维Legendre多项式来重构齿面，二维Legendre多项式表示为两个一维多项式的乘积
Qn(x,y)＝Pk(x)Pl(y) (3)
k和l分别代表各轴的阶次；最低二维Legendre项是一个零阶常数，代表齿轮间距误差，一阶线性项代表螺旋线测量和齿廓测量中常见的倾斜误差，二阶项代表螺旋线和齿廓中的中鼓或中凹误差，二阶交叉项可代表齿面上存在的扭曲偏差，高阶项代表齿面上螺旋线方向和齿廓方向的波纹度；
任何可测量的齿偏差通过形式的二维归一化Legendre多项式的叠加精确地表示；第j个齿面的法向偏差表示为
其中Cj,kl是展开系数，ψk(Zn)与ψl(Yn)是齿面上分别沿螺旋线方向和齿廓方向上的归一化勒让德多项式；k和l分别代表各轴的阶次，即齿面上的偏差表征为一系列Legendre多项式的和。
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