CN104635490A

CN104635490A - 一种单出杆液压缸位置伺服***的输出反馈控制方法

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Publication number: CN104635490A
Application number: CN201410769382.4A
Authority: CN
Inventors: 姚建勇; 徐张宝; 杨贵超; 董振乐; 邓文翔
Original assignee: Nanjing University of Science and Technology
Current assignee: Nanjing University of Science and Technology
Priority date: 2014-12-15
Filing date: 2014-12-15
Publication date: 2015-05-20
Anticipated expiration: 2034-12-15
Also published as: CN104635490B

Abstract

本发明提供一种单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制方法，包括以下步骤：步骤一、建立单出杆液压缸位置伺服***模型；步骤二、在所建立的伺服***模型基础上，设计基于扩张状态观测器的单出杆液压缸高精度控制器；以及步骤三、调节控制律的参数，使***满足控制性能指标。本发明的单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制方法，针对阀控单出杆液压缸位置伺服***的特点，建立阀控单出杆液压缸位置伺服***模型，设计基于状态估计的阀控单出杆液压缸位置伺服***高精度控制器，对***未知状态和匹配性未建模干扰进行估计并实时补偿，能有效解决阀控单出杆液压缸位置伺服***状态未知及匹配性干扰问题。本发明简化了控制器设计，仿真结果表明了其有效性。

Description

一种单出杆液压缸位置伺服***的输出反馈控制方法

技术领域

本发明涉及一种电液控制方法，具体涉及一种单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制方法。

背景技术

电液伺服***以其高响应、高精度、大功率、***刚度大和抗干扰能力强等优点,在航天、航空、航海、兵器、矿山、冶金及民用等方面都得到了广泛应用。单出杆液压缸相对于双出杆液压缸具有工作空间小、结构简单等优点,在液压***中应用十分广泛,尤其适用于空间有限、控制性能要求较高的使用场合。但是由于单出杆液压缸***存在着严重的非线性问题和建模不确定性以及诸多弊端。如在对称阀控制单出杆非对液压缸电液伺服***实现运动换向时,液压缸两腔容易出现气蚀和超压等现象,同时液压缸两腔面积不等导致正反向运动时液压***刚度不等,造成***动态特性不对称,特别是速度特性非对称,如果***需要达到正反向运动最大速度相等,则增加了***对流量的需求,从而增加了液压源的体积和成本。因此，为单出杆液压缸***设计高性能的控制器异常困难。

在传统控制方式越来越难以满足单出杆液压缸***高精度控制要求的情况下，研究简单实用且满足***高精度控制性能需求的控制方法显得尤为迫切。近年来，各种先进控制策略应用于电液伺服***，如滑模控制、自适应鲁棒控制、自适应积分鲁棒控制、自适应反步控制、间接自适应反步控制等。但上述控制策略控制器设计均比较复杂，不易于工程实现

此外，所有上述方法中使用的全状态反馈控制方法，在运动控制中，不仅需要位置信号，还需要速度和/或加速度信号以及液压缸腔室内部压力信号。但对于许多应用中，由于降低成本的需要，仅位置信息可知。此外，严重的测量噪声通常会污染所测的速度和加速度信号，进而恶化实现性能的全状态反馈控制器。因而，仅在位置信息可知的情况下，设计单出杆液压缸的高性能控制器尤为重要。

发明内容

本发明在只有阀控单出杆液压缸伺服***位移可知的前提下，针对阀控单出杆液压缸伺服***中存在的不确定非线性问题，提出一种单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制方法。

本发明的上述目的通过独立权利要求的技术特征实现，从属权利要求以另选或有利的方式发展独立权利要求的技术特征。

为达成上述目的，本发明提出一种单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制方法，包括以下步骤：

步骤一、建立单出杆液压缸位置伺服***模型

根据牛顿第二定律，单出杆液压缸惯性负载的动力学模型方程为：

m \overset{\cdot \cdot}{y} = P_{1} A_{1} - P_{2} A_{2} - b \overset{\cdot}{y} + f (t, y, \overset{\cdot}{y}) - - - (1)

其中y为负载位移，m表示惯性负载，P₁和P₂分别为液压缸无杆腔和有杆腔的压力，A₁和A₂分别为液压缸无杆腔和有杆腔的有效工作面积，b代表粘性摩擦系数，f代表其他未建模干扰，包括非线性摩擦、外部干扰以及未建模动态。

液压缸流量连续性方程为：

\begin{matrix} \frac{V_{1}}{β_{e}} {\overset{\cdot}{P}}_{1} = - A_{1} \overset{\cdot}{y} - C_{tm} (P_{1} - P_{2}) - C_{em 1} (P_{1} - P_{r}) + Q_{1} + {\tilde{f}}_{1} \\ \frac{V_{2}}{β_{e}} {\overset{\cdot}{P}}_{2} = A_{2} \overset{\cdot}{y} + C_{tm} (P_{1} - P_{2}) - C_{em 2} (P_{2} - P_{r}) - Q_{2} + {\tilde{f}}_{2} \end{matrix} - - - (2)

其中液压缸V₁＝V₀₁+A₁y和V₂＝V₀₂-A₂y分别为液压缸无杆腔有效容积和有杆腔有效容积，V₀₁和V₀₂分别为液压缸无杆腔初始容积和有杆腔初始容积，C_tm为液压缸内泄露系数，C_em1和C_em2分别为液压缸两个腔室的外泄漏系数，Q₁为液压缸无杆腔供油流量，Q₂为液压缸有杆腔回油流量, 分别代表建模误差；

Q₁和Q₂为伺服阀阀芯位移x_v的函数：

\begin{matrix} Q_{1} = k_{q 1} x_{v} \sqrt{Δ P_{1}}, Δ P_{1} = \{\begin{matrix} P_{s} - P_{1}, x_{v} > 0 \\ P_{1} - P_{r}, x_{v} < 0 \end{matrix} \\ Q_{2} = k_{q 2} x_{v} \sqrt{Δ P_{2}}, Δ P_{2} = \{\begin{matrix} P_{2} - P_{r}, x_{v} > 0 \\ P_{s} - P_{2}, x_{v} < 0 \end{matrix} \end{matrix} - - - (3)

其中分别为流量伺服阀的增益系数，C_d为伺服阀的流量系数，w₁，w₂分别为伺服阀的面积梯度；ρ为液压油的密度,P_s为供油压力，P_r为回油压力；

假设伺服阀阀芯位移正比于控制输入u，即，x_v＝k_iu，其中k_i>0是比例系数，u是控制输入电压，因此，等式(3)转化为：

\begin{matrix} Q_{1} = k_{t 1} u \sqrt{Δ P_{1}}, Δ P_{1} = \{\begin{matrix} P_{s} - P_{1}, x_{v} > 0 \\ P_{1} - P_{r}, x_{v} < 0 \end{matrix} \\ Q_{2} = k_{t 2} u \sqrt{Δ P_{2}}, Δ P_{2} = \{\begin{matrix} P_{2} - P_{r}, x_{v} > 0 \\ P_{s} - P_{2}, x_{v} < 0 \end{matrix} \end{matrix} - - - (4)

其中k_t1＝k_q1k_i，k_t2＝k_q2k_i；

令n＝A₂/A₁＝w₂/w₁，液压伺服***中，由于压缩流量和泄露流量很小，可得下式：

\begin{matrix} Q_{1} \approx A_{1} \overset{\cdot}{y} \\ Q_{2} \approx A_{2} \overset{\cdot}{y} \end{matrix} - - - (5)

令

p_{L} = \frac{A_{1} P_{1} - A_{2} P_{2}}{A_{1}} = P_{1} - n P_{2},

由式(4)和式(5)可得：

\{\begin{matrix} P_{1} = \frac{n P_{s} + P_{L}}{1 + n} \\ P_{2} = \frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n} \end{matrix} - - - (6)

此时式(2)表达为：

\begin{matrix} \frac{A_{1}}{m} {\overset{\cdot}{P}}_{L} = - \frac{β_{e}}{m} (\frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \overset{\cdot}{y} + (\frac{A_{1} β_{e}}{m V_{2}} Q_{2}) - \frac{β_{e} C_{tm}}{m} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) (P_{1} - P_{2}) \\ - \frac{C_{em 1} A_{1} β_{e}}{m V_{1}} (P_{1} - P_{r}) + \frac{C_{em 2} A_{2} β_{e}}{m V_{2}} (P_{2} - P_{r}) + (\frac{A_{1} β_{e}}{m V_{1}} {\overset{\cdot}{f}}_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{m V_{2}} {\tilde{f}}_{2}) - - - (7) \\ = - \frac{β_{e}}{m} (\frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \overset{\cdot}{y} + (\frac{A_{1} β_{e}}{m V_{1}} Q_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} Q_{2}) + \frac{A_{1}}{m} q_{0} p_{L} + q_{1} + d_{2} \end{matrix}

其中：

\begin{matrix} Q_{1} = k_{t 1} u [s (u) \sqrt{P \frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n}} + s (- u) \sqrt{\frac{n P_{s} + P_{L}}{1 + n}}] \\ Q_{2} = k_{t 2} u [s (u) \sqrt{\frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n}} + s (- u) \sqrt{\frac{{nP}_{s} + P_{L}}{1 + n}}] \\ q_{0} = - \frac{{2 β}_{e} C_{tm}}{A_{1} (n + 1)} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) - \frac{c_{em 1} β_{e}}{V_{1} (n + 1)} - \frac{C_{em 2} A_{2} β_{e}}{A_{1} V_{2} (n + 1)} \\ q_{1} = - \frac{β_{e} C_{tm} (n - 1)}{m (n + 1)} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) P_{s} - \frac{C_{em 1} A_{1} β_{e}}{m V_{1}} (\frac{{nP}_{s}}{1 + n} - P_{r}) + \frac{C_{em 2} A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} (\frac{P_{s}}{1 + n} - P_{r}) \\ d_{2} = (\frac{A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} {\tilde{f}}_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} {\tilde{f}}_{2}) \end{matrix} - - - (8)

s(u)为

s (u) = \{\begin{matrix} 1, u &GreaterEqual; 0 \\ 0, u < 0 \end{matrix} - - - (9)

定义状态变量则整个***表达成如下状态空间形式：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = x_{3} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3} = g x_{2} + h (x_{3}, u) u + q_{0} x_{3} + q_{1} + d_{2} \end{matrix} - - - (10)

其中

h (x_{3}, u) = (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{A_{1} V_{2}}) \frac{k_{t 1} β_{e}}{m \sqrt{1 + n}} [s (u) \sqrt{P_{s} - \frac{m}{A_{1}} x_{3}} + s (- u) \sqrt{{nP}_{s} + \frac{m}{A_{1}} x_{3}}], d_{1} (x, t) = \frac{f (t, y, \overset{\cdot}{y})}{m},

g = (- \frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} - \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \frac{β_{e}}{m};

步骤二、设计基于扩张状态观测器的单出杆液压缸高精度控制器，具体步骤如下：

步骤二(一)、根据公式(10)构建单出杆液压缸的扩张状态观测器

首先，将建模不确定性d₂扩张成一个额外状态，即定义x₄＝d₂，此时***状态x扩展为x＝[x₁x₂x₃x₄]^T，令为状态x₄的时间导数，则式(10)转换成如下形式：

假设1：P₁和P₂是有界的，|P_L|远小于P_s以保证函数h(x₃,u)远离0；

由于包含符号函数sign(u),h(x₃,u)在u＝0处是不可微的，但是除了u＝0这一点，h(x₃,u)在任意点都是连续可微的，且在u＝0点，h(x₃,u)的左导数和右导数是存在且有界的，因此以下假设是合理的：

假设2：在定义域内，h(x₃,u)关于x₃是Lipschitz；

假设3：d₁和d₂是已知有界的，即d₁<δ₁，d₁<δ₂；

设计的扩张状态观测器不仅要观测不可测状态，即x₂,、x₃，还要估计建模不确定性d₂，对控制器进行实时补偿；

令表示x估计，表示估计误差；

根据式(11)构建线性扩张状态观测器如下：

\begin{matrix} {\overset{\overset{\cdot}{^}}{x}}_{1} = {\hat{x}}_{2} - 4 w_{0} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\overset{\cdot}{^}}{x}}_{2} = {\hat{x}}_{3} - \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - 6 w_{0}^{2} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\overset{\cdot}{^}}{x}}_{3} = g {\hat{x}}_{2} + h ({\hat{x}}_{3}, u) u + q_{0} {\hat{x}}_{3} + q_{1} + {\hat{x}}_{4} - 4 w_{0}^{3} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\overset{\cdot}{^}}{x}}_{4} = - w_{0}^{4} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \end{matrix} - - - (12)

其中w₀>0为观测器频宽；

状态估计误差为：

其中

\tilde{h} = h (x_{3}, u) - h ({\hat{x}}_{3}, u);

令

ϵ_{i} = {\tilde{x}}_{i} / w_{0}^{i - 1}, i = 1, 2, 3, 4,

由式(13)可得：

令ε＝[ε₁,ε₂,ε₃,ε₄]^T，则：

其中

B = [\begin{matrix} - 4 & 1 & 0 & 0 \\ - 6 & 0 & 1 & 0 \\ - 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}], B_{1} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], B_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], B_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}];

由于B是Hurwitz，存在P满足：

B^TP+PB＝-2I； (16)

步骤二(二)、设计基于扩张状态观测器的单出杆液压缸高精度控制器，包括如下步骤：定义一组函数如下：

\begin{matrix} z_{2} = {\overset{\cdot}{z}}_{1} + k_{1} z_{1} = x_{2} - x_{2 eq} \\ x_{2 eq} \overset{Δ}{=} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} - k_{1} z_{1} \end{matrix} - - - (17)

其中z₁＝x₁-x_1d(t)是输出跟踪误差，k₁>0是一个反馈增益；由于G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，使得z₁很小或趋近于零就是让z₂很小或趋近于零，因此，控制器设计转变成让z₂尽可能小或趋近于零；

微分式(7)可得：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{2} = {\overset{\cdot}{x}}_{2} - {\overset{\cdot}{x}}_{2 eq} \\ = x_{3} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) - {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} \end{matrix} - - - (18)

此时x₃为一个虚拟控制输入；

接下来将针对虚拟控制量x₃设计控制律α₂来保证输出跟踪精度；

令z₃＝x₃-α₂表示输入误差，由式(18)可得：

{\overset{\cdot}{z}}_{2} = z_{3} + α_{2} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) - {\overset{\cdot \cdot}{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} - - - (19)

基于式(12)得到的状态估计估计，由式(19)可得虚拟控制律α₂：

\begin{matrix} α_{2} = α_{2 a} + α_{2 s} \\ α_{2 a} = \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - k_{1} {\hat{x}}_{2} + {\overset{\cdot \cdot}{x}}_{1 d} \\ α_{2 s} = - k_{2} ({\hat{x}}_{2} - x_{2 eq}) \end{matrix}, + k_{1} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} - - - (20)

其中k₂>0表示反馈增益；

把式(20)代入式(19)，可得z₂的动态方程：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{2} = z_{3} + \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - k_{1} {\hat{x}}_{2} + {\overset{\cdot \cdot}{x}}_{1 d} + k_{1} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} - k_{2} ({\hat{x}}_{2} - x_{2 eq}) - \frac{b}{m} x_{2} - {\overset{\cdot \cdot}{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} + d_{1} (x, t) \\ = z_{3} - k_{2} z_{2} + w_{0} (k_{1} + k_{2} - \frac{b}{m}) ϵ_{2} + d_{1} (x, t) \end{matrix} - - - (21)

由式(11)，微分z₃可得：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{3} = {\overset{\cdot}{x}}_{3} - {\overset{\cdot}{α}}_{2} = {\overset{\cdot}{x}}_{3} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 c} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 u} \\ = {gx}_{2} + h (x_{3}, u) u + q_{0} x_{3} + q_{1} + x_{4} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 c} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 u} \end{matrix} - - - (22)

其中

{\overset{\cdot}{α}}_{2 c} = \frac{&PartialD; α_{2}}{&PartialD; t} + \frac{{&PartialD; α}_{2}}{&PartialD; x_{1}} {\hat{x}}_{2} + \frac{&PartialD; α_{2}}{&PartialD; {\hat{x}}_{2}} {\overset{\overset{\cdot}{^}}{x}}_{2}, {\overset{\cdot}{α}}_{2 u} = \frac{&PartialD; α_{2}}{{&PartialD; x}_{1}} {\tilde{x}}_{2},

和分别为的可计算量和不可计算量；

基于状态估计的控制器为：

u = \frac{1}{h ({\hat{x}}_{3}, u)} [- g {\hat{x}}_{2} - q_{0} {\hat{x}}_{3} - q_{1} - {\hat{x}}_{4} + {\overset{\cdot}{α}}_{2 c} - k_{3} ({\hat{x}}_{3} - α_{2})]

其中k₃>0为反馈增益；

把式(23)代入式(22)，可得：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{3} = h ({\hat{x}}_{3}, u) u + {\tilde{h}}_{u} + {gx}_{2} + q_{0} x_{3} + q_{1} + x_{4} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 c} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 u} \\ = {\tilde{h}}_{u} + g {\tilde{x}}_{2} + {\tilde{x}}_{4} + q_{0} {\tilde{x}}_{3} - k_{3} z_{3} + k_{3} {\tilde{x}}_{3} - \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; α}_{1}} {\tilde{x}}_{2} \\ {\tilde{h}}_{u} - k_{3} z_{3} + w_{0} (g - \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; x}_{1}}) ϵ_{2} + w_{0}^{2} (k_{3} + q_{0}) ϵ_{3} + w_{0}^{3} ϵ_{4} \end{matrix} - - - (24)

步骤三、调节控制律u的参数k₁，k₂，k₃，w₀，使***满足控制性能指标。

由以上本发明的技术方案可知，本发明针对阀控单出杆液压缸伺服***的特点，建立了阀控单出杆液压缸伺服***模型；本发明设计的基于状态估计的阀控单出杆液压缸伺服***高精度控制器，对***未知状态和匹配性未建模干扰进行估计并实时补偿，能有效解决阀控单出杆液压缸伺服***状态未知及匹配性干扰问题。本发明简化了控制器设计，仿真结果表明了其有效性。

应当理解，前述构思以及在下面更加详细地描述的额外构思的所有组合只要在这样的构思不相互矛盾的情况下都可以被视为本公开的发明主题的一部分。另外，所要求保护的主题的所有组合都被视为本公开的发明主题的一部分。

结合附图从下面的描述中可以更加全面地理解本发明教导的前述和其他方面、实施例和特征。本发明的其他附加方面例如示例性实施方式的特征和/或有益效果将在下面的描述中显见，或通过根据本发明教导的具体实施方式的实践中得知。

附图说明

附图不意在按比例绘制。在附图中，在各个图中示出的每个相同或近似相同的组成部分可以用相同的标号表示。为了清晰起见，在每个图中，并非每个组成部分均被标记。现在，将通过例子并参考附图来描述本发明的各个方面的实施例，其中：

图1是单出杆液压缸***的典型示意图。

图2是期望跟踪指令。

图3是干扰作用下控制器输入电压u曲线，控制器输入电压满足-10V～+10V的输入范围，符合实际应用。

图4是状态估计和状态估计误差曲线。

图5是跟踪信号和跟踪误差曲线。

具体实施方式

为了更了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图式说明如下。

在本公开中参照附图来描述本发明的各方面，附图中示出了许多说明的实施例。本公开的实施例不必定意在包括本发明的所有方面。应当理解，上面介绍的多种构思和实施例，以及下面更加详细地描述的那些构思和实施方式可以以很多方式中任意一种来实施，这是应为本发明所公开的构思和实施例并不限于任何实施方式。另外，本发明公开的一些方面可以单独使用，或者与本发明公开的其他方面的任何适当组合来使用。

下面结合附图说明本实施方式，本实施方式所述一种单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制方法的具体步骤如下：

步骤一、建立单出杆液压缸位置伺服***模型

结合图1所示的单出杆液压缸***的典型***结构示意，本例中，根据牛顿第二定律，单出杆液压缸惯性负载的动力学模型方程为：

m \overset{\cdot \cdot}{y} = P_{1} A_{1} - P_{2} A_{2} - b \overset{\cdot}{y} + f (t, y, \overset{\cdot}{y}) - - - (1)

其中y为负载位移，m表示惯性负载，P₁和P₂分别为液压缸无杆腔和有杆腔的压力，A₁和A₂分别为液压缸无杆腔和有杆腔的有效工作面积，b代表粘性摩擦系数，f代表其他未建模干扰，比如非线性摩擦，外部干扰以及未建模动态。

液压缸流量连续性方程为：

\begin{matrix} \frac{V_{1}}{β_{e}} {\overset{\cdot}{P}}_{1} = - A_{1} \overset{\cdot}{y} - C_{tm} (P_{1} - P_{2}) - C_{em 1} (P_{1} - P_{r}) + Q_{1} + {\tilde{f}}_{1} \\ \frac{V_{2}}{β_{e}} {\overset{\cdot}{P}}_{2} = A_{2} \overset{\cdot}{y} + C_{tm} (P_{1} - P_{2}) - C_{em 2} (P_{2} - P_{r}) - Q_{2} + {\tilde{f}}_{2} \end{matrix} - - - (2)

其中液压缸V₁＝V₀₁+A₁y和V₂＝V₀₂-A₂y分别为液压缸无杆腔有效容积和有杆腔有效容积，V₀₁和V₀₂分别为液压缸无杆腔初始容积和有杆腔初始容积，C_tm为液压缸内泄露系数，C_em1和C_em2分别为液压缸两腔室的外泄漏系数，Q₁液压缸无杆腔供油流量，Q₂为液压缸有杆腔回油流量, 代表由泄露，伺服阀参数变化，流量建模误差等导致的建模误差。

Q₁和Q₂为伺服阀阀芯位移x_v的函数：

\begin{matrix} Q_{1} = k_{q 1} x_{v} \sqrt{Δ P_{1}}, Δ P_{1} = \{\begin{matrix} P_{s} - P_{1}, x_{v} > 0 \\ P_{1} - P_{r}, x_{v} < 0 \end{matrix} \\ Q_{2} = k_{q 2} x_{v} \sqrt{Δ P_{2}}, Δ P_{2} = \{\begin{matrix} P_{2} - P_{r}, x_{v} > 0 \\ P_{s} - P_{2}, x_{v} < 0 \end{matrix} \end{matrix} - - - (3)

其中为流量伺服阀的增益系数，C_d为伺服阀的流量系数，w₁，w₂为伺服阀的面积梯度；ρ为液压油的密度,P_s为供油压力，P_r为回油压力。

假设伺服阀阀芯位移正比于控制输入u，即，x_v＝k_iu，其中k_i>0是比例系数，u是控制输入电压。因此，等式(3)可以转化为

\begin{matrix} Q_{1} = k_{t 1} u \sqrt{Δ P_{1}}, Δ P_{1} = \{\begin{matrix} P_{s} - P_{1}, x_{v} > 0 \\ P_{1} - P_{r}, x_{v} < 0 \end{matrix} \\ Q_{2} = k_{t 2} u \sqrt{Δ P_{2}}, Δ P_{2} = \{\begin{matrix} P_{2} - P_{r}, x_{v} > 0 \\ P_{s} - P_{2}, x_{v} < 0 \end{matrix} \end{matrix} - - - (4)

其中k_t1＝k_q1k_i，k_t2＝k_q2k_i。

\begin{matrix} Q_{1} \approx A_{1} \overset{\cdot}{y} \\ Q_{2} \approx A_{2} \overset{\cdot}{y} \end{matrix} - - - (5)

令

p_{L} = \frac{A_{1} P_{1} - A_{2} P_{2}}{A_{1}} = P_{1} - n P_{2},

由式(4)和式(5)可得

\{\begin{matrix} P_{1} = \frac{n P_{s} + P_{L}}{1 + n} \\ P_{2} = \frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n} \end{matrix} - - - (6)

此时式(2)为

\begin{matrix} \frac{A_{1}}{m} {\overset{\cdot}{P}}_{L} = - \frac{β_{e}}{m} (\frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \overset{\cdot}{y} + (\frac{A_{1} β_{e}}{m V_{2}} Q_{2}) - \frac{β_{e} C_{tm}}{m} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) (P_{1} - P_{2}) \\ - \frac{C_{em 1} A_{1} β_{e}}{m V_{1}} (P_{1} - P_{r}) + \frac{C_{em 2} A_{2} β_{e}}{m V_{2}} (P_{2} - P_{r}) + (\frac{A_{1} β_{e}}{m V_{1}} {\overset{\cdot}{f}}_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{m V_{2}} {\tilde{f}}_{2}) - - - (7) \\ = - \frac{β_{e}}{m} (\frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \overset{\cdot}{y} + (\frac{A_{1} β_{e}}{m V_{1}} Q_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} Q_{2}) + \frac{A_{1}}{m} q_{0} p_{L} + q_{1} + d_{2} \end{matrix}

其中

\begin{matrix} Q_{1} = k_{t 1} u [s (u) \sqrt{P \frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n}} + s (- u) \sqrt{\frac{n P_{s} + P_{L}}{1 + n}}] \\ Q_{2} = k_{t 2} u [s (u) \sqrt{\frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n}} + s (- u) \sqrt{\frac{{nP}_{s} + P_{L}}{1 + n}}] \\ q_{0} = - \frac{{2 β}_{e} C_{tm}}{A_{1} (n + 1)} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) - \frac{c_{em 1} β_{e}}{V_{1} (n + 1)} - \frac{C_{em 2} A_{2} β_{e}}{A_{1} V_{2} (n + 1)} \\ q_{1} = - \frac{β_{e} C_{tm} (n - 1)}{m (n + 1)} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) P_{s} - \frac{C_{em 1} A_{1} β_{e}}{m V_{1}} (\frac{{nP}_{s}}{1 + n} - P_{r}) + \frac{C_{em 2} A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} (\frac{P_{s}}{1 + n} - P_{r}) \\ d_{2} = (\frac{A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} {\tilde{f}}_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} {\tilde{f}}_{2}) \end{matrix} - - - (8)

s(u)为

s (u) = \{\begin{matrix} 1, u &GreaterEqual; 0 \\ 0, u < 0 \end{matrix} - - - (9)

定义状态变量那么整个***可以写成如下状态空间形式：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{x}}_{1} = x_{2} \\ {\overset{\cdot}{x}}_{2} = x_{3} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) \\ {\overset{\cdot}{x}}_{3} = g x_{2} + h (x_{3}, u) u + q_{0} x_{3} + q_{1} + d_{2} \end{matrix} - - - (10)

其中

h (x_{3}, u) = (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{A_{1} V_{2}}) \frac{k_{t 1} β_{e}}{m \sqrt{1 + n}} [s (u) \sqrt{P_{s} - \frac{m}{A_{1}} x_{3}} + s (- u) \sqrt{{nP}_{s} + \frac{m}{A_{1}} x_{3}}], d_{1} (x, t) = \frac{f (t, y, \overset{\cdot}{y})}{m},

g = (- \frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} - \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \frac{β_{e}}{m};

步骤二、设计基于扩张状态观测器的单出杆液压缸高精度控制器的具体步骤如下：

步骤二(一)、根据公式(10)构建单出杆液压缸的扩张状态观测器。

首先，把建模不确定性d₂扩张成一个额外状态，即定义x₄＝d₂，此时***状态x扩展为x＝[x₁x₂x₃x₄]^T，令为状态x₄的时间导数，则式(10)可以写成如下形式：

假设1：P₁和P₂是有界的，|P_L|远小于P_s以保证函数h(x₃,u)远离0。

由于包含符号函数sign(u),h(x₃,u)在u＝0出是不可微的，但是除了u＝0这一点，h(x₃,u)在任意点都是连续可微的，且在u＝0点，h(x₃,u)的左导数和右导数是存在且有界的。因此以下假设是合理的。

假设2：在定义域内，h(x₃,u)关于x₃是Lipschitz。

假设3：d₁和d₂是已知有界的，即d₁<δ₁，d₁<δ₂。

设计的扩张状态观测器不仅要观测不可测状态(即x₂,x₃)，还要估计建模不确定性d₂，对控制器进行实时补偿。令表示x估计，表示估计误差。根据式(11)构建线性扩张状态观测器如下：

\begin{matrix} {\overset{\overset{\cdot}{^}}{x}}_{1} = {\hat{x}}_{2} - 4 w_{0} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\overset{\cdot}{^}}{x}}_{2} = {\hat{x}}_{3} - \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - 6 w_{0}^{2} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\overset{\cdot}{^}}{x}}_{3} = g {\hat{x}}_{2} + h ({\hat{x}}_{3}, u) u + q_{0} {\hat{x}}_{3} + q_{1} + {\hat{x}}_{4} - 4 w_{0}^{3} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\overset{\cdot}{^}}{x}}_{4} = - w_{0}^{4} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \end{matrix} - - - (12)

其中w₀>0为观测器频宽。

状态估计误差为

其中

\tilde{h} = h (x_{3}, u) - h ({\hat{x}}_{3}, u);

令

ϵ_{i} = {\tilde{x}}_{i} / w_{0}^{i - 1}, i = 1, 2, 3, 4,

由式(13)可得

令ε＝[ε₁,ε₂,ε₃,ε₄]^T，则

其中

B = [\begin{matrix} - 4 & 1 & 0 & 0 \\ - 6 & 0 & 1 & 0 \\ - 4 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}], B_{1} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], B_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], B_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}];

由于B是Hurwitz,存在P满足

B^TP+PB＝-2I (16)

步骤二(二)、设计基于扩张状态观测器的单出杆液压缸高精度控制器如下：

定义一组函数如下：

\begin{matrix} z_{2} = {\overset{\cdot}{z}}_{1} + k_{1} z_{1} = x_{2} - x_{2 eq} \\ x_{2 eq} \overset{Δ}{=} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} - k_{1} z_{1} \end{matrix} - - - (17)

其中z₁＝x₁-x_1d(t)是输出跟踪误差，k₁>0是一个反馈增益。由于G(s)＝z₁(s)/z₂(s)＝1/(s+k₁)是一个稳定的传递函数，让z₁很小或趋近于零就是让z₂很小或趋近于零。因此，控制器设计转变成让z₂尽可能小或趋近于零。微分式(7)可得：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{2} = {\overset{\cdot}{x}}_{2} - {\overset{\cdot}{x}}_{2 eq} \\ = x_{3} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) - {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} \end{matrix} - - - (18)

此时x₃为一个虚拟控制输入。接下来将针对虚拟控制量x₃设计控制律α₂来保证输出跟踪精度。

令z₃＝x₃-α₂表示输入误差，由式(18)可得

{\overset{\cdot}{z}}_{2} = z_{3} + α_{2} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) - {\overset{\cdot \cdot}{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} - - - (19)

\begin{matrix} α_{2} = α_{2 a} + α_{2 s} \\ α_{2 a} = \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - k_{1} {\hat{x}}_{2} + {\overset{\cdot \cdot}{x}}_{1 d} \\ α_{2 s} = - k_{2} ({\hat{x}}_{2} - x_{2 eq}) \end{matrix}, + k_{1} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} - - - (20)

其中k₂>0反馈增益。

把式(20)代入式(19)，可得z₂的动态方程：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{2} = z_{3} + \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - k_{1} {\hat{x}}_{2} + {\overset{\cdot \cdot}{x}}_{1 d} + k_{1} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} - k_{2} ({\hat{x}}_{2} - x_{2 eq}) - \frac{b}{m} x_{2} - {\overset{\cdot \cdot}{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\overset{\cdot}{x}}_{1 d} + d_{1} (x, t) \\ = z_{3} - k_{2} z_{2} + w_{0} (k_{1} + k_{2} - \frac{b}{m}) ϵ_{2} + d_{1} (x, t) \end{matrix} - - - (21)

由式(11)，微分z₃可得：

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{3} = {\overset{\cdot}{x}}_{3} - {\overset{\cdot}{α}}_{2} = {\overset{\cdot}{x}}_{3} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 c} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 u} \\ = {gx}_{2} + h (x_{3}, u) u + q_{0} x_{3} + q_{1} + x_{4} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 c} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 u} \end{matrix} - - - (22)

其中

{\overset{\cdot}{α}}_{2 c} = \frac{&PartialD; α_{2}}{&PartialD; t} + \frac{{&PartialD; α}_{2}}{&PartialD; x_{1}} {\hat{x}}_{2} + \frac{&PartialD; α_{2}}{&PartialD; {\hat{x}}_{2}} {\overset{\overset{\cdot}{^}}{x}}_{2}, {\overset{\cdot}{α}}_{2 u} = \frac{&PartialD; α_{2}}{{&PartialD; x}_{1}} {\tilde{x}}_{2},

和分别为的可计算量和不可计算量。

基于状态估计的控制器为

u = \frac{1}{h ({\hat{x}}_{3}, u)} [- g {\hat{x}}_{2} - q_{0} {\hat{x}}_{3} - q_{1} - {\hat{x}}_{4} + {\overset{\cdot}{α}}_{2 c} - k_{3} ({\hat{x}}_{3} - α_{2})]

其中k₃>0为反馈增益。

把式(23)代入式(22)，可得

\begin{matrix} {\overset{\cdot}{z}}_{3} = h ({\hat{x}}_{3}, u) u + {\tilde{h}}_{u} + {gx}_{2} + q_{0} x_{3} + q_{1} + x_{4} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 c} - {\overset{\cdot}{α}}_{2 u} \\ = {\tilde{h}}_{u} + g {\tilde{x}}_{2} + {\tilde{x}}_{4} + q_{0} {\tilde{x}}_{3} - k_{3} z_{3} + k_{3} {\tilde{x}}_{3} - \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; α}_{1}} {\tilde{x}}_{2} \\ {\tilde{h}}_{u} - k_{3} z_{3} + w_{0} (g - \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; x}_{1}}) ϵ_{2} + w_{0}^{2} (k_{3} + q_{0}) ϵ_{3} + w_{0}^{3} ϵ_{4} \end{matrix} - - - (24)

步骤三、调节控制律的参数，使***满足控制性能指标

本例中，通过调节控制律u的参数k₁，k₂，k₃，w₀，使***满足控制性能指标。

下面选取李雅普诺夫方程来验证所设计的***的稳定性。

验证***稳定性：

由假设2，h(x₃,u)的定义以及ε₃的定义可知，存在已知常数c满足：

| h (x_{3}, u) - h ({\hat{x}}_{3}, u) | \leq c | ϵ_{3} | - - - (25)

如下定义一组已知常数

\begin{matrix} η = \frac{1}{2} δ_{1}^{2} + \frac{σ_{1}^{2}}{{2 w}_{0}^{2}} δ_{1}^{2} + \frac{σ_{3}^{2}}{{2 w}_{0}^{6}} δ_{2}^{2} \\ L_{1} = c | u |_{\max} + w_{0}^{2} (k_{3} + q_{0}), L_{3} = w_{0}^{3} \\ L_{2} = w_{0} | g | + w_{0} | \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; x}_{1}} |, L_{4} = k_{1} + k_{2} + \frac{b}{m} \\ γ = 1 + \frac{σ_{2} | g |}{w_{0}} + \frac{σ_{2} c | u |_{\max}}{w_{0}^{2}} + σ_{2} q_{0} + \frac{b}{m} σ_{1} \end{matrix} - - - (26)

其中σ_i＝|PB_i|,i＝1,2,3，|u|_max表示控制输入的最大值。

定理1：选择合适的参数k₁，k₂，k₃，w₀使如下矩阵A为正定阵

A = [\begin{matrix} k_{1} & - 1 / 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 / 2 & k_{2} - 1 / 2 & - 1 / 2 & 0 & - L_{4} / 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 / 2 & k_{3} & 0 & - L_{2} / 2 & - L_{1} / 2 & - L_{3} / 2 \\ 0 & 0 & 0 & ψ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - L_{1} / 2 & - L_{2} / 2 & 0 & ψ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - L_{1} / 2 & 0 & 0 & ψ & 0 \\ 0 & 0 & - L_{3} / 2 & 0 & 0 & 0 & ψ \end{matrix}] - - - (27)

其中ψ＝w₀-γ-1。

那么本文设计的控制律(23)有一下性质：

A)当d₁≠0，d₂≠0时，***跟踪误差z＝[z₁,z₂,z₃]^T和转换状态估计误差ε是有界的，定义李雅普诺夫方程

V = \frac{1}{2} z^{T} z + \frac{1}{2} ϵ^{T} pϵ - - - (28)

满足如下的不等式

V (t) \leq (0) \exp (- ζt) + \frac{η}{ζ} [1 - \exp (- ζt)] - - - (29)

其中ζ＝2λ_min(A)min{1,1/λ_max(P)},λ_min(·)和λ_max(·)分别表示矩阵的最小和最大特征值。

B)一段时间后，如果d₁＝0，d₂＝0，则设计控制器(23)除了能够得到结论A，还能保证输出信号的渐进跟踪性能，即当t→∞时，z₁(t)→0。

证明：微分式(28),并代入式(21)，(24)，(25)，(26)，可得：

由式(26)和(27)可得

\begin{matrix} \overset{\cdot}{V} \leq - (w_{0} - γ - 1) {| | ϵ | |}^{2} - k_{1} z_{1}^{2} - (k_{2} - \frac{1}{2}) z_{2}^{2} - k_{3} z_{3}^{2} + | z_{1} | | z_{2} | \\ + | z_{2} | | z_{3} | + L_{1} | ϵ_{3} | | z_{3} | + L_{2} | ϵ_{2} | | z_{3} | + L_{3} | ϵ_{4} | | z_{3} | + L_{4} | ϵ_{2} | | z_{2} | + η \\ = - φ^{T} Aφ + η \end{matrix} - - - (31)

其中φ＝[|z₁|,|z₂|,|z₃|,|ε₁|,|ε₂|，|ε₃|，|ε₄|]^T。

对式(31)积分可得：

V (t) \leq (0) \exp (- ζt) + \frac{η}{ζ} [1 - \exp (- ζt)] - - - (32)

因此z和ε是有界的，那么状态x和状态估计也是有界的，可以可以证明A。下面证明B，如果d₁＝0，d₂＝0，式(31)为

\overset{\cdot}{V} \leq - λ_{\min} (A) ({| | z | |}^{2} + {| | ϵ | |}^{2}) = - W - - - (33)

式中W恒为非负，且W∈L₂，由式(10)和式(13)可知，W有界，因此W是一致连续的，由Barbalat引理，当t→∞时，W→0，由此证明了结论B。

因此控制器是收敛的，***是稳定的。

下面结合一些具体的实例在仿真环境下进行试验：

在仿真中取如下参数对***进行建模：m＝40kg,b＝80N·s/m,k_q1＝4×10^-8m⁴/k_i＝1，A₁＝2×10^-4m²,A₂＝1×10^-4m²,p_s＝7Mpa,p_r＝0Mpa,V₀₁＝10×10^-4m³,V₀₂＝10×10^-4m³,β_e＝200Mpa，C_tm＝1×10^-11m³/s/Pa，C_em1＝C_em2＝5×10^-13m³/s/Pa。

取控制器参数k₁＝200,k₂＝300,w₀＝2500。

位置角度输入信号y＝0.2sin(πt)[1-e^-0.01t3]，单位rad。

外加干扰d₁(x,t)＝10sin(2πt)N·m，d₂＝20sin(πt)N·m。

控制律作用效果：

图2是期望跟踪指令的示意图。

图4a-4b是状态估计和状态估计误差曲线，其中图4a是状态x₁估计和估计误差，图4b是状态x₂估计和估计误差。

图5是跟踪信号和跟踪误差曲线。

由上图可知，本发明提出的输出反馈控制方法在仿真环境下能够准确的估计出***状态，本发明设计的控制器能够极大的提高存在干扰情况下***的控制精度。仿真结果表明在不确定非线性影响下，本例中提出的方法能够满足性能指标。

虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然其并非用以限定本发明。本发明所属技术领域中具有通常知识者，在不脱离本发明的精神和范围内，当可作各种的更动与润饰。因此，本发明的保护范围当视权利要求书所界定者为准。

Claims

1.一种单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、建立单出杆液压缸位置伺服***模型；

步骤二、在所建立的伺服***模型基础上，设计基于扩张状态观测器的单出杆液压缸高精度控制器；以及

步骤三、调节控制律的参数，使***满足控制性能指标。

2.根据权利要求1所述的单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制方法，其特征在于，前述步骤一中的建立单出杆液压缸位置伺服***模型，其实现包括：

m \overset{\cdot \cdot}{y} = P_{1} A_{1} - P_{2} A_{2} - b \overset{\cdot}{y} + f (t, y, \overset{\cdot}{y}) - - - (1)

液压缸流量连续性方程为：

\begin{matrix} \frac{V_{1}}{β_{e}} {\dot{P}}_{1} = - A_{1} \dot{y} - C_{tm} (P_{1} - P_{2}) - C_{em 1} (P_{1} - P_{r}) + Q_{1} + {\tilde{f}}_{1} \\ \frac{V_{2}}{β_{e}} {\dot{P}}_{2} = A_{2} \dot{y} + C_{tm} (P_{1} - P_{2}) - C_{em 2} (P_{2} - P_{r}) - Q_{2} + {\tilde{f}}_{2} \end{matrix} - - - (2)

其中液压缸V₁＝V₀₁+A₁y和V₂＝V₀₂-A₂y分别为液压缸无杆腔有效容积和有杆腔有效容积，V₀₁和V₀₂分别为液压缸无杆腔初始容积和有杆腔初始容积，C_tm为液压缸内泄露系数，C_em1和C_em2分别为液压缸两个腔室的外泄漏系数，Q₁为液压缸无杆腔供油流量，Q₂为液压缸有杆腔回油流量,分别代表建模误差；

Q₁和Q₂为伺服阀阀芯位移xv的函数：

\begin{matrix} Q_{1} = k_{q 1} x_{v} \sqrt{{ΔP}_{1}}, {ΔP}_{1} = \{\begin{matrix} P_{s} - P_{1}, x_{v} > 0 \\ P_{1} - P_{r}, x_{v} < 0 \end{matrix} \\ Q_{2} = k_{q 2} x_{v} \sqrt{{ΔP}_{2}}, {ΔP}_{2} = \{\begin{matrix} P_{2} - P_{r}, x_{v} > 0 \\ P_{s} - P_{2}, x_{v} < 0 \end{matrix} \end{matrix} - - - (3)

\begin{matrix} Q_{1} = k_{t 1} u \sqrt{{ΔP}_{1}}, {ΔP}_{1} = \{\begin{matrix} P_{s} - P_{1}, x_{v} > 0 \\ P_{1} - P_{r}, x_{v} < 0 \end{matrix} \\ Q_{2} = k_{t 2} u \sqrt{{ΔP}_{2}}, {ΔP}_{2} = \{\begin{matrix} P_{2} - P_{r}, x_{v} > 0 \\ P_{s} - P_{2}, x_{v} < 0 \end{matrix} \end{matrix} - - - (4)

其中k_t1＝k_q1k_i，k_t2＝k_q2k_i；

\begin{matrix} Q_{1} \approx A_{1} \dot{y} \\ Q_{2} \approx A_{2} \dot{y} \end{matrix} - - - (5)

令

P_{L} = \frac{A_{1} P_{1} - A_{2} P_{2}}{A_{1}} = P_{1} - n P_{2},

由式(4)和式(5)可得：

\{\begin{matrix} P_{1} = \frac{{nP}_{s} + P_{L}}{1 + n} \\ P_{2} = \frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n} \end{matrix} - - - (6)

此时式(2)表达为：

\begin{matrix} \frac{A_{1}}{m} {\dot{P}}_{L} = - \frac{β_{e}}{m} (\frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \dot{y} + (\frac{A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} Q_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} Q_{2}) - \frac{β_{e} C_{tm}}{m} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) (P_{1} - P_{2}) \\ - \frac{C_{em 1} A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} (P_{1} - P_{r}) + \frac{C_{em 2} A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} (P_{2} - P_{r}) + (\frac{A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} {\tilde{f}}_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} {\tilde{f}}_{2}) \\ = - \frac{β_{e}}{m} (\frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \dot{y} + (\frac{A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} Q_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} Q_{2}) + \frac{A_{1}}{m} q_{0} P_{L} + q_{1} + d_{2} \end{matrix} - - - (7)

其中：

Q_{1} = k_{t 1} u [s (u) \sqrt{P \frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n}} + s (- u) \sqrt{\frac{{nP}_{s} + P_{L}}{1 + n}}]

Q_{2} = k_{t 2} u [s (u) \sqrt{\frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n}} + s (- u) \sqrt{\frac{{nP}_{s} + P_{L}}{1 + n}}]

q_{0} = - \frac{{2 β}_{e} C_{tm}}{A_{1} (n + 1)} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) - \frac{C_{em 1} β_{e}}{V_{1} (n + 1)} - \frac{C_{em 2} A_{2} β_{2}}{A_{1} V_{2} (n + 1)} - - - (8)

q_{1} = - \frac{β_{e} C_{tm} (n - 1)}{m (n + 1)} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) P_{s} - \frac{C_{em 1} A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} (\frac{{nP}_{s}}{1 + n} - P_{r}) + \frac{C_{em 2} A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} (\frac{P_{s}}{1 + n} - P_{r})

d_{2} = (\frac{A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} {\tilde{f}}_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} {\tilde{f}}_{2})

s(u)为

s (u) = \{\begin{matrix} 1, u &GreaterEqual; 0 \\ 0, u < 0 \end{matrix} - - - (9)

定义状态变量则整个***表达成如下状态空间形式：

{\dot{x}}_{1} = x_{2}

{\dot{x}}_{2} = x_{3} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) - - - (10)

{\dot{x}}_{3} = {gx}_{2} + h (x_{3}, u) u + q_{0} x_{3} + q_{1} + d_{2}

其中

h (x_{3}, u) = (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{A_{1} V_{2}}) \frac{k_{t 1} β_{e}}{m \sqrt{1 + n}} [s (u) \sqrt{P_{s} - \frac{m}{A_{1}} x_{3}} + s (- u) \sqrt{{nP}_{s} + \frac{m}{A_{1}} x_{3}}],

d_{1} (x, t) = \frac{f (t, y, \dot{y})}{m},

g = (- \frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} - \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \frac{β_{e}}{m} .

3.根据权利要求2所述的单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制方法，其特征在于，前述步骤二中设计基于扩张状态观测器的单出杆液压缸高精度控制器，具体步骤如下：

首先，将建模不确定性d₂扩张成一个额外状态，即定义x₄＝d₂，此时***状态x扩展为x＝[x₁ x₂ x₃ x₄]^T，令为状态x₄的时间导数，则式(10)转换成如下形式：

假设2：在定义域内，h(x₃,u)关于x₃是Lipschitz；

假设3：d₁和d₂是已知有界的，即d₁<δ₁，d₁<δ₂；

令表示x估计，表示估计误差；

根据式(11)构建线性扩张状态观测器如下：

\begin{matrix} {\overset{\dot{^}}{x}}_{1} = {\hat{x}}_{2} - {4 w}_{0} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\dot{^}}{x}}_{2} = {\hat{x}}_{3} - \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - {6 w}_{0}^{2} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\dot{^}}{x}}_{3} = g {\hat{x}}_{2} + h ({\hat{x}}_{3}, u) u + q_{0} {\hat{x}}_{3} + q_{1} + {\hat{x}}_{4} - {4 w}_{0}^{3} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\dot{^}}{x}}_{4} = - w_{0}^{4} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \end{matrix} - - - (12)

其中w₀>0为观测器频宽；

状态估计误差为：

其中

\tilde{h} = h (x_{3}, u) - h ({\hat{x}}_{3}, u);

令i＝1,2,3,4，由式(13)可得：

令ε＝[ε₁,ε₂,ε₃,ε₄]^T，则：

其中

B = [\begin{matrix} - 4 & 1 & 0 & 0 \\ - 6 & 0 & 1 & 0 \\ - 4 & 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}],

B_{1} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}],

B_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}],

B_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}];

由于B是Hurwitz，存在P满足：

B^TP+PB＝-2I； (16)

\begin{matrix} z_{2} = {\dot{z}}_{1} + k_{1} z_{1} = x_{2} - x_{2 eq} \\ x_{2 eq} \overset{Δ}{=} {\dot{x}}_{1 d} - k_{1} z_{1} \end{matrix} - - - (17)

微分式(7)可得：

\begin{matrix} {\dot{z}}_{2} = {\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{2 eq} \\ = x_{3} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) - {\dot{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\dot{x}}_{1 d} \end{matrix} - - - (18)

此时x₃为一个虚拟控制输入；

令z₃＝x₃-α₂表示输入误差，由式(18)可得：

{\dot{z}}_{2} = z_{3} + α_{2} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) - {\overset{. .}{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\dot{x}}_{1 d} - - - (19)

\begin{matrix} α_{2} = α_{2 a} + α_{2 s} \\ α_{2 a} = \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - k_{1} {\hat{x}}_{2} + {\overset{. .}{x}}_{1 d} + k_{1} {\dot{x}}_{1 d} \\ α_{2 s} = - k_{2} ({\hat{x}}_{2} - x_{2 eq}) \end{matrix} - - - (20)

其中k₂>0表示反馈增益；

把式(20)代入式(19)，可得z₂的动态方程：

\begin{matrix} {\dot{z}}_{2} = z_{3} + \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - k_{1} {\hat{x}}_{2} + {\overset{. .}{x}}_{1 d} + k_{1} {\dot{x}}_{1 d} - k_{2} ({\hat{x}}_{2} - x_{2 eq}) - \frac{b}{m} x_{2} - {\overset{. .}{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\dot{x}}_{1 d} + d_{1} (x, t) \\ = z_{3} - k_{2} z_{2} + w_{0} (k_{1} + k_{2} - \frac{b}{m}) ϵ_{2} + d_{1} (x, t) \end{matrix} - - - (21)

由式(11)，微分z₃可得：

\begin{matrix} {\dot{z}}_{3} = {\dot{x}}_{3} - {\dot{α}}_{2} = {\dot{x}}_{3} - {\dot{α}}_{2 c} - {\dot{α}}_{2 u} \\ = {gx}_{2} + h (x_{3}, u) u + q_{0} x_{3} + q_{1} + x_{4} - {\dot{α}}_{2 c} - {\dot{α}}_{2 u} \end{matrix} - - - (22)

其中

{\dot{α}}_{2 c} = \frac{{&PartialD; α}_{2}}{&PartialD; t} + \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; x}_{1}} {\hat{x}}_{2} + \frac{{&PartialD; α}_{2}}{&PartialD; {\hat{x}}_{2}} {\overset{\dot{^}}{x}}_{2},

{\dot{α}}_{2 u} = \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; x}_{1}} {\tilde{x}}_{2},

和分别为的可计算量和不可计算量；

基于状态估计的控制器为：

u = \frac{1}{h ({\hat{x}}_{3}, u)} [- g {\hat{x}}_{2} - q_{0} {\hat{x}}_{3} - q_{1} - {\hat{x}}_{4} + {\dot{α}}_{2 c} - k_{3} ({\hat{x}}_{3} - α_{2})] - - - (23)

其中k₃>0为反馈增益；

把式(23)代入式(22)，可得：

\begin{matrix} {\dot{z}}_{3} = h ({\hat{x}}_{3}, u) u + \tilde{h} u + {gx}_{2} + q_{0} x_{3} + q_{1} + x_{4} - {\dot{α}}_{2 c} - {\dot{α}}_{2 u} \\ = \tilde{h} u + g {\tilde{x}}_{2} + {\tilde{x}}_{4} + q_{0} {\tilde{x}}_{3} - k_{3} z_{3} + k_{3} {\tilde{x}}_{3} - \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; x}_{1}} {\tilde{x}}_{2} \\ = \tilde{h} u - k_{3} z_{3} + w_{0} (g - \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; x}_{1}}) ϵ_{2} + w_{0}^{2} (k_{3} + q_{0}) ϵ_{3} + w_{0}^{3} ϵ_{4} \end{matrix} . - - - (24)

4.根据权利要求3所述的单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制方法，其特征在于，前述步骤三的实现包括：调节控制律u的参数k₁，k₂，k₃，w₀，使***满足控制性能指标。

5.一种单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制装置，其特征在于，包括：

用于建立单出杆液压缸位置伺服***模型的第一模块；

用于在所建立的伺服***模型基础上配置基于扩张状态观测器的单出杆液压缸高精度控制器的第二模块；提及

用于调节控制律的参数使***满足控制性能指标的第三模块。

6.根据权利要求5所述的单出杆液压缸位置伺服***输出反馈控制装置，其特征在于，前述的第一模块、第二模块、第三模块的实现包括：

所述第一模块按照下述方式实现单出杆液压缸位置伺服***模型的构建：

m \overset{\cdot \cdot}{y} = P_{1} A_{1} - P_{2} A_{2} - b \overset{\cdot}{y} + f (t, y, \overset{\cdot}{y}) - - - (1)

液压缸流量连续性方程为：

\begin{matrix} \frac{V_{1}}{β_{e}} {\dot{P}}_{1} = - A_{1} \dot{y} - C_{tm} (P_{1} - P_{2}) - C_{em 1} (P_{1} - P_{r}) + Q_{1} + {\tilde{f}}_{1} \\ \frac{V_{2}}{β_{e}} {\dot{P}}_{2} = A_{2} \dot{y} + C_{tm} (P_{1} - P_{2}) - C_{em 2} (P_{2} - P_{r}) - Q_{2} + {\tilde{f}}_{2} \end{matrix} - - - (2)

Q₁和Q₂为伺服阀阀芯位移xv的函数：

\begin{matrix} Q_{1} = k_{q 1} x_{v} \sqrt{{ΔP}_{1}}, {ΔP}_{1} = \{\begin{matrix} P_{s} - P_{1}, x_{v} > 0 \\ P_{1} - P_{r}, x_{v} < 0 \end{matrix} \\ Q_{2} = k_{q 2} x_{v} \sqrt{{ΔP}_{2}}, {ΔP}_{2} = \{\begin{matrix} P_{2} - P_{r}, x_{v} > 0 \\ P_{s} - P_{2}, x_{v} < 0 \end{matrix} \end{matrix} - - - (3)

\begin{matrix} Q_{1} = k_{t 1} u \sqrt{{ΔP}_{1}}, {ΔP}_{1} = \{\begin{matrix} P_{s} - P_{1}, x_{v} > 0 \\ P_{1} - P_{r}, x_{v} < 0 \end{matrix} \\ Q_{2} = k_{t 2} u \sqrt{{ΔP}_{2}}, {ΔP}_{2} = \{\begin{matrix} P_{2} - P_{r}, x_{v} > 0 \\ P_{s} - P_{2}, x_{v} < 0 \end{matrix} \end{matrix} - - - (4)

其中k_t1＝k_q1k_i，k_t2＝k_q2k_i；

\begin{matrix} Q_{1} \approx A_{1} \dot{y} \\ Q_{2} \approx A_{2} \dot{y} \end{matrix} - - - (5)

令

P_{L} = \frac{A_{1} P_{1} - A_{2} P_{2}}{A_{1}} = P_{1} - n P_{2},

由式(4)和式(5)可得：

\{\begin{matrix} P_{1} = \frac{{nP}_{s} + P_{L}}{1 + n} \\ P_{2} = \frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n} \end{matrix} - - - (6)

此时式(2)表达为：

\begin{matrix} \frac{A_{1}}{m} {\dot{P}}_{L} = - \frac{β_{e}}{m} (\frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \dot{y} + (\frac{A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} Q_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} Q_{2}) - \frac{β_{e} C_{tm}}{m} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) (P_{1} - P_{2}) \\ - \frac{C_{em 1} A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} (P_{1} - P_{r}) + \frac{C_{em 2} A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} (P_{2} - P_{r}) + (\frac{A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} {\tilde{f}}_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} {\tilde{f}}_{2}) \\ = - \frac{β_{e}}{m} (\frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \dot{y} + (\frac{A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} Q_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} Q_{2}) + \frac{A_{1}}{m} q_{0} P_{L} + q_{1} + d_{2} \end{matrix} - - - (7)

其中：

Q_{1} = k_{t 1} u [s (u) \sqrt{P \frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n}} + s (- u) \sqrt{\frac{{nP}_{s} + P_{L}}{1 + n}}]

Q_{2} = k_{t 2} u [s (u) \sqrt{\frac{P_{s} - P_{L}}{1 + n}} + s (- u) \sqrt{\frac{{nP}_{s} + P_{L}}{1 + n}}]

q_{0} = - \frac{{2 β}_{e} C_{tm}}{A_{1} (n + 1)} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) - \frac{C_{em 1} β_{e}}{V_{1} (n + 1)} - \frac{C_{em 2} A_{2} β_{2}}{A_{1} V_{2} (n + 1)} - - - (8)

q_{1} = - \frac{β_{e} C_{tm} (n - 1)}{m (n + 1)} (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}}{V_{2}}) P_{s} - \frac{C_{em 1} A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} (\frac{{nP}_{s}}{1 + n} - P_{r}) + \frac{C_{em 2} A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} (\frac{P_{s}}{1 + n} - P_{r})

d_{2} = (\frac{A_{1} β_{e}}{{mV}_{1}} {\tilde{f}}_{1} + \frac{A_{2} β_{e}}{{mV}_{2}} {\tilde{f}}_{2})

s(u)为

(u) = \{\begin{matrix} 1, u &GreaterEqual; 0 \\ 0, u < 0 \end{matrix} - - - (9)

定义状态变量则整个***表达成如下状态空间形式：

{\dot{x}}_{1} = x_{2}

{\dot{x}}_{2} = x_{3} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) - - - (10)

{\dot{x}}_{3} = {gx}_{2} + h (x_{3}, u) u + q_{0} x_{3} + q_{1} + d_{2}

其中

h (x_{3}, u) = (\frac{A_{1}}{V_{1}} + \frac{A_{2}^{2}}{A_{1} V_{2}}) \frac{k_{t 1} β_{e}}{m \sqrt{1 + n}} [s (u) \sqrt{P_{s} - \frac{m}{A_{1}} x_{3}} + s (- u) \sqrt{{nP}_{s} + \frac{m}{A_{1}} x_{3}}],

d_{1} (x, t) = \frac{f (t, y, \dot{y})}{m},

g = (- \frac{A_{1}^{2}}{V_{1}} - \frac{A_{2}^{2}}{V_{2}}) \frac{β_{e}}{m} .

所述第二模块按照下述方式配置基于扩张状态观测器的单出杆液压缸高精度控制器：

1)根据公式(10)构建单出杆液压缸的扩张状态观测器

首先，将建模不确定性d₂扩张成一个额外状态，即定义x₄＝d₂，此时***状态x扩展为x＝[x₁ x₂ x₃ x₄]^T，令为状态x4的时间导数，则式(10)转换成如下形式：

假设2：在定义域内，h(x₃,u)关于x₃是Lipschitz；

假设3：d₁和d₂是已知有界的，即d₁<δ₁，d₁<δ₂；

令表示x估计，表示估计误差；

根据式(11)构建线性扩张状态观测器如下：

\begin{matrix} {\overset{\dot{^}}{x}}_{1} = {\hat{x}}_{2} - {4 w}_{0} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\dot{^}}{x}}_{2} = {\hat{x}}_{3} - \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - {6 w}_{0}^{2} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\dot{^}}{x}}_{3} = g {\hat{x}}_{2} + h ({\hat{x}}_{3}, u) u + q_{0} {\hat{x}}_{3} + q_{1} + {\hat{x}}_{4} - {4 w}_{0}^{3} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \\ {\overset{\dot{^}}{x}}_{4} = - w_{0}^{4} ({\hat{x}}_{1} - x_{1}) \end{matrix} - - - (12)

其中w₀>0为观测器频宽；

状态估计误差为：

其中

\tilde{h} = h (x_{3}, u) - h ({\hat{x}}_{3}, u);

令i＝1,2,3,4，由式(13)可得：

令ε＝[ε₁,ε₂,ε₃,ε₄]^T，则：

其中

B = [\begin{matrix} - 4 & 1 & 0 & 0 \\ - 6 & 0 & 1 & 0 \\ - 4 & 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}],

B_{1} = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}],

B_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}],

B_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}];

由于B是Hurwitz，存在P满足：

B^TP+PB＝-2I； (16)

2)设计基于扩张状态观测器的单出杆液压缸高精度控制器，包括如下步骤：

定义一组函数如下：

\begin{matrix} z_{2} = {\dot{z}}_{1} + k_{1} z_{1} = x_{2} - x_{2 eq} \\ x_{2 eq} \overset{Δ}{=} {\dot{x}}_{1 d} - k_{1} z_{1} \end{matrix} - - - (17)

微分式(7)可得：

\begin{matrix} {\dot{z}}_{2} = {\dot{x}}_{2} - {\dot{x}}_{2 eq} \\ = x_{3} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) - {\dot{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\dot{x}}_{1 d} \end{matrix} - - - (18)

此时x₃为一个虚拟控制输入；

令z₃＝x₃-α₂表示输入误差，由式(18)可得：

{\dot{z}}_{2} = z_{3} + α_{2} - \frac{b}{m} x_{2} + d_{1} (x, t) - {\overset{. .}{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\dot{x}}_{1 d} - - - (19)

\begin{matrix} α_{2} = α_{2 a} + α_{2 s} \\ α_{2 a} = \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - k_{1} {\hat{x}}_{2} + {\overset{. .}{x}}_{1 d} + k_{1} {\dot{x}}_{1 d} \\ α_{2 s} = - k_{2} ({\hat{x}}_{2} - x_{2 eq}) \end{matrix} - - - (20)

其中k₂>0表示反馈增益；

把式(20)代入式(19)，可得z₂的动态方程：

\begin{matrix} {\dot{z}}_{2} = z_{3} + \frac{b}{m} {\hat{x}}_{2} - k_{1} {\hat{x}}_{2} + {\overset{. .}{x}}_{1 d} + k_{1} {\dot{x}}_{1 d} - k_{2} ({\hat{x}}_{2} - x_{2 eq}) - \frac{b}{m} x_{2} - {\overset{. .}{x}}_{1 d} + k_{1} x_{2} - k_{1} {\dot{x}}_{1 d} + d_{1} (x, t) \\ = z_{3} - k_{2} z_{2} + w_{0} (k_{1} + k_{2} - \frac{b}{m}) ϵ_{2} + d_{1} (x, t) \end{matrix} - - - (21)

由式(11)，微分z₃可得：

\begin{matrix} {\dot{z}}_{3} = {\dot{x}}_{3} - {\dot{α}}_{2} = {\dot{x}}_{3} - {\dot{α}}_{2 c} - {\dot{α}}_{2 u} \\ = {gx}_{2} + h (x_{3}, u) u + q_{0} x_{3} + q_{1} + x_{4} - {\dot{α}}_{2 c} - {\dot{α}}_{2 u} \end{matrix} - - - (22)

其中

{\dot{α}}_{2 c} = \frac{{&PartialD; α}_{2}}{&PartialD; t} + \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; x}_{1}} {\hat{x}}_{2} + \frac{{&PartialD; α}_{2}}{&PartialD; {\hat{x}}_{2}} {\overset{\dot{^}}{x}}_{2},

{\dot{α}}_{2 u} = \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; x}_{1}} {\tilde{x}}_{2},

和分别为的可计算量和不可计算量；

基于状态估计的控制器为：

u = \frac{1}{h ({\hat{x}}_{3}, u)} [- g {\hat{x}}_{2} - q_{0} {\hat{x}}_{3} - q_{1} - {\hat{x}}_{4} + {\dot{α}}_{2 c} - k_{3} ({\hat{x}}_{3} - α_{2})] - - - (23)

其中k₃>0为反馈增益；

把式(23)代入式(22)，可得：

\begin{matrix} {\dot{z}}_{3} = h ({\hat{x}}_{3}, u) u + \tilde{h} u + {gx}_{2} + q_{0} x_{3} + q_{1} + x_{4} - {\dot{α}}_{2 c} - {\dot{α}}_{2 u} \\ = \tilde{h} u + g {\tilde{x}}_{2} + {\tilde{x}}_{4} + q_{0} {\tilde{x}}_{3} - k_{3} z_{3} + k_{3} {\tilde{x}}_{3} - \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; x}_{1}} {\tilde{x}}_{2} \\ = \tilde{h} u - k_{3} z_{3} + w_{0} (g - \frac{{&PartialD; α}_{2}}{{&PartialD; x}_{1}}) ϵ_{2} + w_{0}^{2} (k_{3} + q_{0}) ϵ_{3} + w_{0}^{3} ϵ_{4} \end{matrix} - - - (24)

所述第三模块按照下述方式进行调节：调节控制律u的参数k₁，k₂，k₃，w₀，使***满足控制性能指标。