CN102591207A - 一种基于干扰观测器的柔性关节机械臂的滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种基于干扰观测器的柔性关节机械臂的滑模控制方法，有七大步骤。步骤一：欠驱动柔性关节机械臂***的分析与建模；步骤二：干扰观测器的设计及稳定性分析；步骤三：滑模控制律的设计；步骤四：滑模控制律稳定性分析；步骤五：参数c_i的设计与调节；步骤六：由仿真效果判断是否需要对参数进行调整；步骤七：设计结束。该控制方法采用滑模控制和干扰观测器相结合，能够实现其跟踪的高精度控制，达到快速稳定的设计要求，并且通过在滑模控制器中加入扰动补偿，可有效地消除抖振，同时实现该欠驱动***的鲁棒控制。

Description

一种基于干扰观测器的柔性关节机械臂的滑模控制方法

(一)技术领域

本发明涉及一种欠驱动柔性关节机械臂的滑模控制方法，尤其涉及一种基于干扰观测器的柔性关节机械臂的滑模控制方法，它用于控制柔性关节机械臂连杆角度，属于自动控制技术领域。

(二)背景技术

柔性关节机械臂是特殊机械手的一种结构形式，是典型的欠驱动***。欠驱动***是指***的独立控制变量个数小于***自由度个数的一类非线性***，在节约能量、降低造价、减轻重量、增强***灵活度等方面都较完全驱动***优越。简单的说就是输入比要控制的量多的***。欠驱动***结构简单，便于进行整体的动力学分析和试验。同时由于***的高度非线性、参数摄动、多目标控制要求及控制量受限等原因，欠驱动***又足够复杂，便于研究和验证各种算法的有效性。当驱动器故障时，可能使完全驱动***成为欠驱动***，欠驱动控制算法可以起到容错控制的作用。从控制理论的角度看，欠驱动***控制输入的限制是具有挑战性的控制问题，研究欠驱动机械***的控制问题有助于非完整约束***控制理论的发展。

近年来，滑模控制方法因其所具有的优良特性而受到越来越多的重视。该方法通过自行设计所需的滑模面和等效控制律，能快速响应输入的变换，而对参数变换和扰动不敏感，具有很好的鲁棒性，且物理制作简单。在滑模控制中，当存在控制扰动时，需要增大滑模控制器的增益，这就不可避免地产生抖振。采用滑模控制和干扰观测器相结合的方法，通过在滑模控制器中加入扰动补偿，可有效地消除抖振，同时实现该欠驱动***的鲁棒控制。

(三)发明内容

1、发明目的

本发明的目的是提供一种基于干扰观测器的柔性关节机械臂的滑模控制方法，该方法设计欠驱动柔性关节机械臂的滑模控制器，其中切换控制用来保证不确定外扰存在下的到达过程。通过设计干扰观测器，在滑模控制器中加入扰动补偿，可有效地消除抖振，实现该欠驱动***的鲁棒控制。

2、技术方案

为了达到上述目的，本发明结合流程框图1中的步骤，具体介绍该设计方法的技术方案。

本发明一种基于干扰观测器的柔性关节机械臂的滑模控制方法，该方法具体步骤如下：

步骤1：欠驱动柔性关节机械臂***的分析与建模

本发明所针对的***是欠驱动柔性关节机械臂***，工作原理如图2所示。根据动力学方程，对欠驱动柔性关节机械臂***进行分析，便可得到其数学模型如下：

$I\stackrel{\·\·}{q}+K(q-q_m)+\mathrm{Mgl}\sin q=0$ (1)

$J{\stackrel{\·\·}{q}}_m-K(q-q_m)=u$

其中：q表示柔性关节机械臂连杆角度，q_m表示电机转子角度，I表示柔性关节机械臂转动惯量，J表示电机转子转动惯量，K表示关节刚度系数，M表示柔性关节机械臂连杆质量，g表示重力加速度，l表示关节到杆质心的距离，u表示电机转矩。

***的控制目标为柔性关节机械臂连杆角度q，设跟踪的理想角度为q_d，定义跟踪误差为e＝q-q_d。

令x₁＝q，

x₃＝q_m，

则式(1)可写为

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=-\frac{1}{I}(\mathrm{Mgl}\sin x_1+K(x_1-x_3))$ (2)

${\stackrel{\·}{x}}_3=x_4$

${\stackrel{\·}{x}}_4=\frac{1}{J}(u-K(x_3-x_1))$

取 $f_1(x_1,x_3)=-\frac{1}{I}(\mathrm{Mgl}\sin x_1+K(x_1-x_3)),$ $f_2(x_1,x_3)=\frac{K}{J}(x_1-x_3),$ 同时考虑控制扰动，假设干扰d为慢时变信号，则

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=f_1(x_1,x_3)$

${\stackrel{\·}{x}}_3=x_4---\left(3\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_4=f_2(x_1,x_3)+\frac{1}{J}(u-d)$

步骤2：干扰观测器的设计及稳定性分析

针对二阶***设计干扰观测器，分析其是否为Lyapunov稳定。取干扰观测器Lyapunov函数为V_o，容易验证当干扰d为慢时变信号(即

很小)，并且取k₁为较大值时，有

故通过采用本干扰观测器，可以对干扰项进行有效的观测。其具体过程如下：

针对二阶***

${\stackrel{\·}{x}}_3=x_4$

${\stackrel{\·}{x}}_4=f_2(x_1,x_3)+\frac{1}{J}(u-d)---\left(4\right)$

设计干扰观测器为：

$\stackrel{\·}{\hat{d}}=k_1({\hat{x}}_4-x_4)---\left(5\right)$

${\stackrel{\·}{\hat{x}}}_4=-\frac{1}{J}\hat{d}+\frac{1}{J}u-k_2({\hat{x}}_4-x_4)+f_2(x_1,x_3)---\left(6\right)$

其中，

为对d项的估计，

为对x₄的估计，k₁＞0，k₂＞0。

稳定性分析如下：

首先，定义干扰观测器的Lyapunov函数为

$V_o=\frac{1}{2k_1}{\tilde{d}}^2+\frac{1}{2}{{\tilde{x}}_4}^2---\left(7\right)$

其中 $\tilde{d}=\frac{1}{J}(d-\hat{d}),$ ${\tilde{x}}_4=x_4-{\hat{x}}_4.$

则

${\stackrel{\·}{V}}_o=\frac{1}{k_1}\tilde{d}\stackrel{\·}{\tilde{d}}+{\tilde{x}}_4{\stackrel{\·}{\tilde{x}}}_4=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\left(\stackrel{\·}{d}-\stackrel{\·}{\hat{d}}\right)+{\tilde{x}}_4({\stackrel{\·}{x}}_4-{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_4)---\left(8\right)$

由于干扰d为慢时变信号，故很小。当取k₁为较大值时，有

$\frac{1}{k_1}\stackrel{\·}{d}\≈0---\left(9\right)$

将式(5)、(6)和式(9)代入式(8)，得

${\stackrel{\·}{V}}_o=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\·}{d}-\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\·}{\hat{d}}+{\tilde{x}}_4({\stackrel{\·}{x}}_4-(-\frac{1}{J}\hat{d}+\frac{1}{J}u-k_2({\hat{x}}_4-x_4)+f_2(x_1,x_3)))$

$=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\·}{d}-\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}{k}_1({\hat{x}}_4-x_4)+{\tilde{x}}_4(f_2(x_1,x_3)+\frac{1}{J}(u-d)-(-\frac{1}{J}\hat{d}+\frac{1}{J}u-k_2({\hat{x}}_4-x_4)+f_2(x_1,x_3)))$ (10)

$=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\·}{d}-\frac{1}{J}\tilde{d}({\hat{x}}_4-x_4)+{\tilde{x}}_4(\frac{1}{J}(-d+\hat{d})+k_2({\hat{x}}_4-x_4))$

$=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\·}{d}-\frac{1}{J}\tilde{d}{\tilde{x}}_4+{\tilde{x}}_4(-\frac{1}{J}\tilde{d}-k_2{\tilde{x}}_4)=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\·}{d}-k_2{{\tilde{x}}_4}^2\≤0$

通过采用本干扰观测器，取较大的k₁和k₂，可对干扰项进行有效的观测，从而实现干扰项d的补偿。

步骤3：滑模控制律的设计

根据欠驱动柔性关节机械臂***的模型信息，取滑模函数并令其导数

可得到等效控制部分u_eq，取滑模Lyapunov函数为

令滑模函数

可得到切换控制部分u_sw，从而得出滑模控制律u＝u_eq+u_sw。

由步骤1可知，柔性关节机械臂连杆角度q定义为x₁，跟踪的理想角度q_d定义为x_d，则跟踪误差可定义为e＝x₁-x_d，取误差方程为

e₁＝x₁-x_d

$e_2={\stackrel{\·}{e}}_1=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_d$

$e_3={\stackrel{\·\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{x}}_2-{\stackrel{\·\·}{x}}_d=f_1(x_1,x_3)-{\stackrel{\·\·}{x}}_d$ (11)

$e_4={\stackrel{\·\·\·}{e}}_1={\stackrel{\·}{f}}_1-{\stackrel{\·\·\·}{x}}_d=\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_1}{x}_2+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_2}{f}_1+\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}{x}_4-{\stackrel{\·\·\·}{x}}_d$

可知 $\left|\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}\right|=\frac{K}{I}\≤{\mathrm{\β}}_3.$

取滑模函数为

s＝c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄      (12)

其中c_i＞0，i＝1，2，3。

令

则由式(3)、(11)和式(12)可得等效控制部分

$u_{\mathrm{eq}}=-{\left[\frac{{\∂f}_1}{{\∂x}_3}b\right]}^{-1}\{c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{{\∂f}_1}{\∂x_1}{x}_2+\frac{\∂f_1}{\∂x_2}{f}_1+\frac{\∂f_1}{\∂x_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{\∂f_1}{\∂x_1}{x}_2]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{\∂f_1}{\∂x_2}{f}_1]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{\∂f_1}{\∂x_3}]x_4+\frac{\∂f_1}{\∂x_3}{f}_2-c_1{\stackrel{\·}{x}}_d-c_2{\stackrel{\·\·}{x}}_d-c_3{\stackrel{\·\·\·}{x}}_d-{\stackrel{\·\·\·}{x}}_d\}---\left(13\right)$

由

设计切换控制部分，可得

$u_{\mathrm{sw}}=-{\left[\frac{\∂f_1}{\∂x_3}b\right]}^{-1}[\mathrm{Msgn}\left(s\right)+\mathrm{\λs}]---\left(14\right)$

其中λ＞0，M的值由下面第4步的稳定性分析得到， $\mathrm{sgn}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ 0& s=0\\ -1& s<0\end{array}\right..$

控制律设计为等效控制和切换控制之和，即：

u＝u_eq+u_sw    (15)

步骤4：滑模控制律稳定性分析

验证整个闭环***的Lyapunov稳定性，取闭环***Lyapunov函数为V＝V_c+V_o，验证得出

证明该***可以在有限时间内达到稳定。然后再分析带有误差变量的Lyapunov函数

验证

从而保证e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，

实现所需的跟踪效果。

由式(3)、(11)和式(12)可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1+c_2{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2+c_3{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_4$

$=c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_1}{x}_2+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_2}{f}_1+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_1}{x}_2\right]---\left(16\right)$

$+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_2}{f}_1\right]+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}\right]x_4+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}(f_2+\mathrm{bu})-c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-c_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-c_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d$

将控制律式(15)代入上式，得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s}$

取

ρ＞0，取Lyapunov函数为

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_c=s\stackrel{\&CenterDot;}{s}=s(-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\mathrm{sgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s})$ (17)

$=-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\left|s\right|-\mathrm{\&lambda;}{s}^2\&le;-\mathrm{\&rho;}\left|s\right|-\mathrm{\&lambda;}{s}^2\&le;0$

取整个闭环***的Lyapunov函数为

$V=V_c+V_o=\frac{1}{2}{s}^2+\frac{1}{2k_1}{\tilde{d}}^2+\frac{1}{2}{{\tilde{x}}_4}^2$

由式(10)和式(17)可知

由式(12)可知，当s＝0时，有e₄＝-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃。取 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -c_1& -c_2& -c_3\end{array}\right],$ A为Hurwitz。取E₁＝[e₁ e₂ e₃]^T，则误差变量可写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1=A{E}_1---\left(18\right)$

取Q＝Q^T＞0，由于A为Hurwitz，则存在Lyapunov方程A^TP+PA＝-Q，其解为P＝P^T＞0。针对式(18)，取Lyapunov函数为

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1={\left({\mathrm{AE}}_1\right)}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P\left(A{E}_1\right)$

$=E_1^T{A}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^T{\mathrm{PAE}}_1=E_1^T(A^{T}P+\mathrm{PA})E_1$

$=-E_1^{T}Q{E}_1\&le;-{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|E_1\left|\right|}_2^2\&le;0$

其中λ_min(Q)为正定阵Q的最小特征值。

由

可知：e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，实现了跟踪效果。

步骤5：参数c_i的设计与调节

参数c_i的设计条件为：满足A为Hurwitz且

其中

λ_left(-A)表示-A的所有特征根中实部最小的特征根的实部。

为了满足A为Hurwitz，需要保证A的特征值实部为负，即 $|A-\mathrm{\&lambda;I}|=\left|\begin{array}{ccc}-\mathrm{\&lambda;}& 1& 0\\ 0& -\mathrm{\&lambda;}& 1\\ -c_1& {-c}_2& {-c}_3-\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right|={\mathrm{\&lambda;}}^2({-c}_3-\mathrm{\&lambda;}){-c}_1-c_2\mathrm{\&lambda;}={-\mathrm{\&lambda;}}^3-c_3{\mathrm{\&lambda;}}^2-c_2\mathrm{\&lambda;}-c_1=0$ 的根实部为负。取特征值为三重根-3，由(λ+3)³＝0可得λ³+9λ²+27λ+27＝0，从而按λ³+c₃λ²+c₂λ+c₁＝0可取c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9。

为了验证是否满足将c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9代入-A中，求得-A的三个特征值均为3，即λ_left(-A)＝3。取

β₁＝β₂＝0，则 $\max \{{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2\}=0.1<3,$ 满足条件。

步骤6：由仿真效果判断是否需要对参数进行调整

经过Matlab仿真后，若控制效果不能满足要求，返回步骤5继续调节参数，直到控制效果达到要求。若控制效果满足要求，则设计结束。

步骤7：设计结束

整个设计过程分为七大步骤。第一步确定了欠驱动柔性关节机械臂***的数学模型；第二步设计了干扰观测器并分析了其是否稳定；第三步得到了***的滑模控制律；第四步分析了滑模控制律是否稳定；第五步是对设计的控制律进行参数设置；第六步是针对仿真结果对参数进行调整。经过上述各步骤后，设计结束。

3、优点及功效

本发明的优点在于对加在欠驱动***控制上的慢时变干扰具有完全的鲁棒性，***状态一旦进入滑模运动，可快速地收敛到控制目标，为欠驱动不确定性***的鲁棒性设计提供了一种有效途径。采用滑模控制和干扰观测器相结合的方法，可有效地实现该欠驱动***的鲁棒控制，更广泛的扩大了欠驱动***控制方法的应用范围，并且在响应速度和控制精度方面都有很好的控制效果。

(四)附图说明

图1本发明实施步骤流程框图

图2本发明中柔性关节机械臂工作原理示意图

图3本发明闭环控制***结构示意图

图4(a)本发明角度跟踪仿真示意图

图4(b)本发明角速度跟踪仿真示意图

图5本发明控制输入仿真示意图

图6本发明干扰及干扰估计仿真示意图

(五)具体实施方式

下面将结合附图和技术方案对本发明做进一步的详细说明。

见图1，本发明一种基于干扰观测器的柔性关节机械臂的滑模控制方法，该方法具体步骤如下：

步骤1：欠驱动柔性关节机械臂***模型分析与构建

本发明所针对的***是欠驱动柔性关节机械臂***。根据动力学方程，对欠驱动柔性关节机械臂***进行分析，便可得到其数学模型如下：

$I\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}+K(q-q_m)+\mathrm{Mgl}\sin q=0$ (1)

$J{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_m-K(q-q_m)=u$

其中：q表示柔性关节机械臂连杆角度，q_m表示电机转子角度，I表示柔性关节机械臂转动惯量，J表示电机转子转动惯量，K表示关节刚度系数，M表示柔性关节机械臂连杆质量，g表示重力加速度，l表示关节到杆质心的距离，u表示电机转矩。

***的控制目标为柔性关节机械臂连杆角度q，设跟踪的理想角度为q_d，定义跟踪误差为e＝q-q_d。

令x₁＝q，

x₃＝q_m，则式(1)可写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-\frac{1}{I}(\mathrm{Mgl}\sin x_1+K(x_1-x_3))$ (2)

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=\frac{1}{J}(u-K(x_3-x_1))$

取 $f_1(x_1,x_3)=-\frac{1}{I}(\mathrm{Mgl}\sin x_1+K(x_1-x_3)),$ $f_2(x_1,x_3)=\frac{K}{J}(x_1-x_3),$ 同时考虑控制扰动，假设干扰d为慢时变信号，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f_1(x_1,x_3)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4---\left(3\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=f_2(x_1,x_3)+\frac{1}{J}(u-d)$

步骤2：干扰观测器的设计及稳定性分析

针对二阶***

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=f_2(x_1,x_3)+\frac{1}{J}(u-d)---\left(4\right)$

设计观测器为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{d}}=k_1({\hat{x}}_4-x_4)---\left(5\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_4=-\frac{1}{J}\hat{d}+\frac{1}{J}u-k_2({\hat{x}}_4-x_4)+f_2(x_1,x_3)---\left(6\right)$

其中，

为对d项的估计，

为对x₄的估计，k₁＞0，k₂＞0。

稳定性分析如下：

首先，定义干扰观测器的Lyapunov函数为

$V_o=\frac{1}{2k_1}{\tilde{d}}^2+\frac{1}{2}{{\tilde{x}}_4}^2---\left(7\right)$

其中 $\tilde{d}=\frac{1}{J}(d-\tilde{d}),$ ${\tilde{x}}_4=x_4-{\tilde{x}}_4.$

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_o=\frac{1}{k_1}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{d}}+{\tilde{x}}_4{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{x}}}_4=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{d}}\right)+{\tilde{x}}_4({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4-{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_4)---\left(8\right)$

由于干扰d为慢时变信号，故

很小。当取k₁为较大值时，有

$\frac{1}{k_1}\stackrel{\&CenterDot;}{d}\&ap;0---\left(9\right)$

将式(5)、(6)和式(9)代入式(8)，得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_o=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{d}}+{\tilde{x}}_4({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4-(-\frac{1}{J}\hat{d}+\frac{1}{J}u-k_2({\hat{x}}_4-x_4)+f_2(x_1,x_3)))$

$=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}{k}_1({\hat{x}}_4-x_4)+{\tilde{x}}_4(f_2(x_1,x_3)+\frac{1}{J}(u-d)-(-\frac{1}{J}\hat{d}+\frac{1}{J}u-k_2({\hat{x}}_4-x_4)+f_2(x_1,x_3)))$ (10)

$=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\frac{1}{J}\tilde{d}({\hat{x}}_4-x_4)+{\tilde{x}}_4(\frac{1}{J}(-d+\hat{d})+k_2({\hat{x}}_4-x_4))$

$=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\frac{1}{J}\tilde{d}{\tilde{x}}_4+{\tilde{x}}_4(-\frac{1}{J}\tilde{d}-k_2{\tilde{x}}_4)=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{d}-k_2{{\tilde{x}}_4}^2\&le;0$

通过采用本观测器，取较大的k₁和k₂，可对干扰项进行有效的观测，从而实现干扰项d的补偿。

步骤3：滑模控制律的设计

由步骤1可知，柔性关节机械臂连杆角度q定义为x₁，跟踪的理想角度q_d定义为x_d，则跟踪误差可定义为e＝x₁-x_d，取误差方程为

e₁＝x₁-x_d

$e_2={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d$

$e_3={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d=f_1(x_1,x_3)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d$ (11)

$e_4={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d=\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}{x}_4-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d$

可知 $\left|\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}\right|=\frac{K}{I}\&le;{\mathrm{\&beta;}}_3.$

取滑模函数为

s＝c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄     (12)

其中c_i＞0，i＝1，2，3。

令

则由式(3)、(11)和式(12)可得等效控制部分

$u_{\mathrm{eq}}=-{\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}b\right]}^{-1}\{c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{{\&PartialD;f}_1}{\&PartialD;x_1}{x}_2+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_2}{f}_1+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_1}{x}_2]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_2}{f}_1]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}]x_4+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}{f}_2-c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-c_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-c_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\}---\left(13\right)$

由

设计切换控制部分，可得

$u_{\mathrm{sw}}=-{\left[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}b\right]}^{-1}[\mathrm{Msgn}\left(s\right)+\mathrm{\&lambda;s}]---\left(14\right)$

其中λ＞0，M的值由下面第4步的稳定性分析得到， $\mathrm{sgn}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ 0& s=0\\ -1& s<0\end{array}\right..$

控制律设计为等效控制和切换控制之和，即：

u＝u_eq+u_sw    (15)

步骤4：滑模控制的稳定性分析

由式(3)、(11)和式(12)可得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1+c_2{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2+c_3{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_4$

$=c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_1}{x}_2+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_2}{f}_1+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_1}{x}_2\right]---\left(16\right)$

$+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_2}{f}_1\right]+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}\right]x_4+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}(f_2+\mathrm{bu})-c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-c_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-c_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d$

将控制律式(15)代入上式，得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s}$

取

ρ＞0，取Lyapunov函数为

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_c=s\stackrel{\&CenterDot;}{s}=s(-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\mathrm{sgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s})$ (17)

$=-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\left|s\right|-\mathrm{\&lambda;}{s}^2\&le;-\mathrm{\&rho;}\left|s\right|-\mathrm{\&lambda;}{s}^2\&le;0$

取整个闭环***的Lyapunov函数为

$V=V_c+V_o=\frac{1}{2}{s}^2+\frac{1}{2k_1}{\tilde{d}}^2+\frac{1}{2}{{\tilde{x}}_4}^2$

由式(10)和式(17)可知

由式(12)可知，当s＝0时，有e₄＝-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃。取

A为Hurwitz。取E₁＝[e₁ e₂ e₃]^T，则误差变量可写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1=A{E}_1---\left(18\right)$

取Q＝Q^T＞0，由于A为Hurwitz，则存在Lyapunov方程A^TP+PA＝-Q，其解为P＝P^T＞0。针对式(18)，取Lyapunov函数为

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1={\left({\mathrm{AE}}_1\right)}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P\left(A{E}_1\right)$

$=E_1^T{A}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^T{\mathrm{PAE}}_1=E_1^T(A^{T}P+\mathrm{PA})E_1$

$=-E_1^{T}Q{E}_1\&le;-{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|E_1\left|\right|}_2^2\&le;0$

其中λ_min(Q)为正定阵Q的最小特征值。

由

可知：e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，

实现了跟踪效果。

步骤5：参数c_i的设计与调节

参数c_i的设计条件为：满足A为Hurwitz且其中

λ_left(-A)表示-A的所有特征根中实部最小的特征根的实部。

为了满足A为Hurwitz，需要保证A的特征值实部为负，即 $|A-\mathrm{\&lambda;I}|=\left|\begin{array}{ccc}-\mathrm{\&lambda;}& 1& 0\\ 0& -\mathrm{\&lambda;}& 1\\ -c_1& {-c}_2& {-c}_3-\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right|={\mathrm{\&lambda;}}^2({-c}_3-\mathrm{\&lambda;}){-c}_1-c_2\mathrm{\&lambda;}={-\mathrm{\&lambda;}}^3-c_3{\mathrm{\&lambda;}}^2-c_2\mathrm{\&lambda;}-c_1=0$ 的根实部为负。取特征值为三重根-3，由(λ+3)³＝0可得λ³+9λ²+27λ+27＝0，从而按λ³+c₃λ²+c₂λ+c₁＝0可取c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9。

为了验证是否满足

将c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9代入-A中，求得-A的三个特征值均为3，即λ_left(-A)＝3。取

β₁＝β₂＝0，则 $\max \{{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2\}=0.1<3,$ 满足条件。

步骤6：由仿真效果判断是否需要对参数进行调整

仿真时，由于d需为慢时变信号，故取d＝3sin(0.1t)。k₁应取较大的正数，故取k₁＝1000。若控制效果不能满足要求，返回步骤5继续调节参数，直到控制效果达到要求。若控制效果满足要求，则设计结束。

控制***示意图见图3，仿真结果如图4(a)、图4(b)至图6。可见，采用本方法可以实现对理想角度和角速度的高精度跟踪，并有效地克服干扰。

步骤7：设计结束

整个设计过程重点考虑了三个方面，首先是针对欠驱动柔性关节机械臂***设计了干扰观测器；其次将Lyapunov方程和闭环***Lyapunov函数相结合，分析了所设计的滑模控制律的稳定性；最后，给出了保证闭环***稳定的控制参数选取方法。

综上所述，对欠驱动柔性关节机械臂***而言，采用滑模控制和干扰观测器相结合的方法，能够实现其跟踪的高精度控制，达到快速稳定的设计要求，并且通过在滑模控制器中加入扰动补偿，可有效地消除抖振，同时实现该欠驱动***的鲁棒控制。

Claims (1)

1.一种基于干扰观测器的柔性关节机械臂的滑模控制方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤1：欠驱动柔性关节机械臂***的分析与建模

根据动力学方程，对欠驱动柔性关节机械臂***进行分析，便得到其数学模型如下：

$I\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}+K(q-q_m)+\mathrm{Mgl}\sin q=0$ (1)

$J{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_m-K(q-q_m)=u$

其中：q表示柔性关节机械臂连杆角度，q_m表示电机转子角度，I表示柔性关节机械臂转动惯量，J表示电机转子转动惯量，K表示关节刚度系数，M表示柔性关节机械臂连杆质量，g表示重力加速度，l表示关节到杆质心的距离，u表示电机转矩；

该***的控制目标为柔性关节机械臂连杆角度q，设跟踪的理想角度为q_d，定义跟踪误差为e＝q-q_d；

令x₁＝q，

x₃＝q_m，

则式(1)写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=-\frac{1}{I}(\mathrm{Mgl}\sin x_1+K(x_1-x_3))$ (2)

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=\frac{1}{J}(u-K(x_3-x_1))$

取 $f_1(x_1,x_3)=-\frac{1}{I}(\mathrm{Mgl}\sin x_1+K(x_1-x_3)),$ $f_2(x_1,x_3)=\frac{K}{J}(x_1-x_3),$ 同时考虑控制扰动，假设干扰d为慢时变信号，则

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f_1(x_1,x_3)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4---\left(3\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=f_2(x_1,x_3)+\frac{1}{J}(u-d)$

步骤2：干扰观测器的设计及稳定性分析

针对二阶***设计干扰观测器，分析其是否为Lyapunov稳定；取干扰观测器Lyapunov函数为V_o，容易验证当干扰d为慢时变信号即

很小，并且取k₁为较大值时，有

故通过采用本干扰观测器，对干扰项进行有效的观测；其具体过程如下：

针对二阶***

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=x_4$

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4=f_2(x_1,x_3)+\frac{1}{J}(u-d)---\left(4\right)$

设计干扰观测器为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{d}}=k_1({\hat{x}}_4-x_4)---\left(5\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_4=-\frac{1}{J}\hat{d}+\frac{1}{J}u-k_2({\hat{x}}_4-x_4)+f_2(x_1,x_3)---\left(6\right)$

其中，

为对d项的估计，

为对x₄的估计，k₁＞0，k₂＞0；

稳定性分析如下：

首先，定义干扰观测器的Lyapunov函数为

$V_o=\frac{1}{2k_1}{\tilde{d}}^2+\frac{1}{2}{{\tilde{x}}_4}^2---\left(7\right)$

其中 $\tilde{d}=\frac{1}{J}(d-\hat{d}),$ ${\tilde{x}}_4=x_4-{\hat{x}}_4;$

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_o=\frac{1}{k_1}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{d}}+{\tilde{x}}_4{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{x}}}_4=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\left(\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{d}}\right)+{\tilde{x}}_4({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4-{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_4)---\left(8\right)$

由于干扰d为慢时变信号，故

很小，当取k₁为较大值时，有

$\frac{1}{k_1}\stackrel{\&CenterDot;}{d}\&ap;0---\left(9\right)$

将式(5)、(6)和式(9)代入式(8)，得

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_o=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{d}}+{\tilde{x}}_4({\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_4-(-\frac{1}{J}\hat{d}+\frac{1}{J}u-k_2({\hat{x}}_4-x_4)+f_2(x_1,x_3)))$

$=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}{k}_1({\hat{x}}_4-x_4)+{\tilde{x}}_4(f_2(x_1,x_3)+\frac{1}{J}(u-d)-(-\frac{1}{J}\hat{d}+\frac{1}{J}u-k_2({\hat{x}}_4-x_4)+f_2(x_1,x_3)))$ (10)

$=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\frac{1}{J}\tilde{d}({\hat{x}}_4-x_4)+{\tilde{x}}_4(\frac{1}{J}(-d+\hat{d})+k_2({\hat{x}}_4-x_4))$

$=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{d}-\frac{1}{J}\tilde{d}{\tilde{x}}_4+{\tilde{x}}_4(-\frac{1}{J}\tilde{d}-k_2{\tilde{x}}_4)=\frac{1}{k_{1}J}\tilde{d}\stackrel{\&CenterDot;}{d}-k_2{{\tilde{x}}_4}^2\&le;0$

通过采用本干扰观测器，取较大的k₁和k₂，对干扰项进行有效的观测，从而实现干扰项d的补偿；

步骤3：滑模控制律的设计

根据欠驱动柔性关节机械臂***的模型信息，取滑模函数并令其导数

得到等效控制部分u_eq，取滑模Lyapunov函数为

令滑模函数

得到切换控制部分u_sw，从而得出滑模控制律u＝u_eq+u_sw；

由步骤1，柔性关节机械臂连杆角度q定义为x₁，跟踪的理想角度q_d定义为x_d，则跟踪误差定义为e＝x₁-x_d，取误差方程为

e₁＝x₁-x_d

$e_2={\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=x_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d$

$e_3={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d=f_1(x_1,x_3)-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d$ (11)

$e_4={\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{f}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d=\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_1}{x}_2+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_2}{f}_1+\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}{x}_4-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d$

可知 $\left|\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}\right|=\frac{K}{I}\&le;{\mathrm{\&beta;}}_3.$

取滑模函数为

s＝c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄      (12)

其中c_i＞0，i＝1，2，3；

令

则由式(3)、(11)和式(12)得等效控制部分

$u_{\mathrm{eq}}=-{\left[\frac{{\&PartialD;f}_1}{{\&PartialD;x}_3}b\right]}^{-1}\{c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{{\&PartialD;f}_1}{\&PartialD;x_1}{x}_2+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_2}{f}_1+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_1}{x}_2]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_2}{f}_1]+\frac{d}{\mathrm{dt}}[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}]x_4+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}{f}_2-c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-c_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-c_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d\}---\left(13\right)$

由

设计切换控制部分，得

$u_{\mathrm{sw}}=-{\left[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}b\right]}^{-1}[\mathrm{Msgn}\left(s\right)+\mathrm{\&lambda;s}]---\left(14\right)$

其中λ＞0，M的值由下面第4步的稳定性分析得到， $\mathrm{sgn}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ 0& s=0\\ -1& s<0\end{array}\right.;$

控制律设计为等效控制和切换控制之和，即：

u＝u_eq+u_sw    (15)

步骤4：滑模控制律稳定性分析

验证整个闭环***的Lyapunov稳定性，取闭环***Lyapunov函数为V＝V_c+V_o，验证得出

证明该***在有限时间内达到稳定；然后再分析带有误差变量的Lyapunov函数

验证

从而保证e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，

实现所需的跟踪效果；

由式(3)、(11)和式(12)得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1+c_2{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2+c_3{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3+{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_4$

$=c_1{x}_2+c_2{f}_1+c_3(\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_1}{x}_2+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_2}{f}_1+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}{x}_4)+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_1}{x}_2\right]---\left(16\right)$

$+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_2}{f}_1\right]+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}\right]x_4+\frac{\&PartialD;f_1}{\&PartialD;x_3}(f_2+\mathrm{bu})-c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_d-c_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-c_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_d$

将控制律式(15)代入上式，得

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{Msgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s}$

取

ρ＞0，取Lyapunov函数为

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_c=s\stackrel{\&CenterDot;}{s}=s(-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\mathrm{sgn}\left(s\right)-\mathrm{\&lambda;s})$ (17)

$=-({\mathrm{\&beta;}}_3\stackrel{\&OverBar;}{d}+\mathrm{\&rho;})\left|s\right|-\mathrm{\&lambda;}{s}^2\&le;-\mathrm{\&rho;}\left|s\right|-\mathrm{\&lambda;}{s}^2\&le;0$

取整个闭环***的Lyapunov函数为

$V=V_c+V_o=\frac{1}{2}{s}^2+\frac{1}{2k_1}{\tilde{d}}^2+\frac{1}{2}{{\tilde{x}}_4}^2$

由式(10)和式(17)可知

由式(12)知，当s＝0时，有e₄＝-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃；取 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -c_1& -c_2& -c_3\end{array}\right],$ A为Hurwitz；取E₁＝[e₁ e₂ e₃]^T，则误差变量写为

${\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1=A{E}_1---\left(18\right)$

取Q＝Q^T＞0，由于A为Hurwitz，则存在Lyapunov方程A^TP+PA＝-Q，其解为P＝P^T＞0；针对式(18)，取Lyapunov函数为

则

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1={\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P{\stackrel{\&CenterDot;}{E}}_1={\left({\mathrm{AE}}_1\right)}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^{T}P\left(A{E}_1\right)$

$=E_1^T{A}^T{\mathrm{PE}}_1+E_1^T{\mathrm{PAE}}_1=E_1^T(A^{T}P+\mathrm{PA})E_1$

$=-E_1^{T}Q{E}_1\&le;-{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(Q\right){\left|\right|E_1\left|\right|}_2^2\&le;0$

其中λ_min(Q)为正定阵Q的最小特征值；

由

知：e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，

实现了跟踪效果；

步骤5：参数c_i的设计与调节

参数c_i的设计条件为：满足A为Hurwitz且其中

λ_left(-A)表示-A的所有特征根中实部最小的特征根的实部；

为了满足A为Hurwitz，需要保证A的特征值实部为负，即 $|A-\mathrm{\&lambda;I}|=\left|\begin{array}{ccc}-\mathrm{\&lambda;}& 1& 0\\ 0& -\mathrm{\&lambda;}& 1\\ -c_1& {-c}_2& {-c}_3-\mathrm{\&lambda;}\end{array}\right|={\mathrm{\&lambda;}}^2({-c}_3-\mathrm{\&lambda;}){-c}_1-c_2\mathrm{\&lambda;}={-\mathrm{\&lambda;}}^3-c_3{\mathrm{\&lambda;}}^2-c_2\mathrm{\&lambda;}-c_1=0$ 的根实部为负；取特征值为三重根-3，由(λ+3)³＝0可得λ³+9λ²+27λ+27＝0，从而按λ³+c₃λ²+c₂λ+c₁＝0取c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9；

为了验证是否满足

将c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9代入-A中，求得-A的三个特征值均为3，即λ_left(-A)＝3；取

β₁＝β₂＝0，则 $\max \{{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1,{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2,{\mathrm{\&beta;}}_1{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_1+{\mathrm{\&beta;}}_2{\stackrel{\&OverBar;}{d}}_2\}=0.1<3,$ 满足条件；

步骤6：由仿真效果判断是否需要对参数进行调整

经过Matlab仿真后，若控制效果不能满足要求，返回步骤5继续调节参数，直到控制效果达到要求；若控制效果满足要求，则设计结束；

步骤7：设计结束

整个设计过程分为七大步骤，第一步确定了欠驱动柔性关节机械臂***的数学模型；第二步设计了干扰观测器并分析了其是否稳定；第三步得到了***的滑模控制律；第四步分析了滑模控制律是否稳定；第五步是对设计的控制律进行参数设置；第六步是针对仿真结果对参数进行调整；经过上述各步骤后，设计结束。

Images