CN108303873B - 一种考虑控制量受限的永磁同步电机滑模控制器 - Google Patents

Abstract

一种考虑控制量受限的永磁同步电机滑模控制器，滑模控制***的状态变化包括从初始值向滑模面靠近的趋近运动和在滑模面上的滑模运动两个阶段，为驱使***状态在有限时间内逼近给定的参考信号，构造一种考虑控制量限制的离散变速趋近律，根据切换变量s_k值大小不同分别分析其动态，给定电机输出参考轨迹，考虑控制输入量受限制的情况下构造单调无抖振收敛的趋近律用于滑模控制器设计，以满足永磁同步电机跟踪控制的实际需求。本发明通过具有单调无抖振收敛的趋近律设计，提供一种基于滑模控制的伺服控制器，以实现精确的位置跟踪。

Description

一种考虑控制量受限的永磁同步电机滑模控制器

技术领域

本发明涉及电机数字控制技术，尤其适用于周期性作业的电机位置跟踪伺服***。

背景技术

永磁同步电机以其体积小、效率高、结构简单等特点，在运动控制领域得到广泛应用。同时，由于其多变量、强耦合、非线性、变参数等特点，常规的PID控制方法往往不能满足实际应用中高性能控制的需求。因此，一些现代控制理论研究成果，特别是滑模控制方法越来越多地被用于永磁同步电机伺服控制器。

传统离散滑模控制器因包含有开关切换项，不可避免地存在高频抖振。高为炳院士提出指数趋近律用于滑模控制器设计(Gao W B,Wang Y F,Homaifa A.Discrete-timevariable structure control systems.IEEE Transactions on IndustrialElectronics,1995,42(2):117-122)。这种通过定义趋近运动轨迹的滑模控制方法存在诸多优点，能够很大程序改善***抖振。指数趋近律及其改进形式也成为了当前最常见的滑模趋近律。Andrzej Bartoszewic给出了有效趋近律的一般形式，放宽了对趋近律步步穿越滑模面的要求(Andrzej Bartoszewic.Discrete-time quasi-sliding-mode controlstrategies.IEEE Transactions on industrial electronics,1998,45(4):633-637)。据此，Golo等人提出一种新的无抖振趋近律用于离散滑模控制器设计(Golo G,MilosavjevicC.Robust discrete-time chattering free sliding mode control.Systems&ControlLetters,2000,41(1):19-28)。

在实际运动控制***中，受限于电机功率和驱动器带负载能力，过度的控制量是难以实现的。在应用中往往简单地对控制量进行限幅，这难免影响控制***性能，甚至使得***失去稳定性。常见的趋近律设计主要从削弱抖振、缩短到达时间和抑制干扰等方面考虑问题，没有针对控制量受限的实际问题提出解决方案。本发明提供一种

发明内容

为了克服现有的永磁同步电机输入受限的实际问题，本发明通过具有单调无抖振收敛的趋近律设计，提供一种基于滑模控制的伺服控制器，以实现精确的位置跟踪。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种考虑控制量受限的永磁同步电机滑模控制器，滑模控制***的状态变化包括从初始值向滑模面靠近的趋近运动和在滑模面上的滑模运动两个阶段，为驱使***状态在有限时间内逼近给定的参考信号，构造一种考虑控制量限制的离散变速趋近律：

其中s_k为第k控制步的切换变量值，arctg(·)为反正切函数，参数λ≥1用于限制控制量变化速率，α和β为

其中sgn(·)为符号函数，

表示向下取整；

根据切换变量s_k值大小不同分别分析其动态，过程如下：

1)当|s_k|≥λ时，α＝β＝1，所以由(1)得

其中

因此

也即|s_k+1|＜|s_k|，所以切换变量具有收敛性；

根据反正切函数的特性，有arctan(|s_k|+1-λ)＜|s_k|+1-λ，所以

因此，s_k+1与s_k保持同号，即切换变量收敛过程具有单调性；

根据趋近律(1)有

即切换变量收敛步长不小于

所以经过有限控制步后必然有|s_k|＜λ；

2)当1≤|s_k|＜λ时，α＝1，β＝0；由(1)得

从而

即切换变量具有收敛性；又因为

所以s_k+1与s_k保持同号，即收敛过程具有单调性；

根据趋近律(1)有

即切换变量收敛步长不小于

所以经过有限控制步后必然有|s_k|＜1；

3)当0＜|s_k|＜1时，α＝β＝0，所以s_k+1＝s_k-arctg(|s_k|)sgn(s_k)，因此

|s_k+1|＝|s_k|-arctg(|s_k|)＜|s_k| (9)

所以切换变量具有收敛性，又因为arctg(|s_k|)＜|s_k|，所以s_k+1sgn(s_k)＝|s_k|-arctg(|s_k|)＞0，即s_k+1与s_k保持同号，即收敛过程具有单调性；

对于任意小常数δ＞0，当δ＜|s_k|＜1时有

即切换变量收敛步长不小于arctg(δ)，所以经过有限控制步后切换变量必然收敛到原点附近任意小的领域内；

以上分析表明，利用趋近律(1)设计的滑模控制器使得切换变量在有限时间内单调收敛至原点附近任意小的领域内并趋近于零，切换变量收敛过程不穿越零线，无抖振，无正负交替现象，即sgn(s_k+1)＝sgn(s_k)；

趋近律(1)刻画的切换变量收敛时间与初始值s₀有关，若初始值s₀∈[λ,∞)，此时α＝β＝1，根据反正切函数的单调性有

所以

从而有

由此得存在

表示向上取整，使得任意k≥k₁均满足s_k＜λ，即切换变量从s₀开始，经过不超过k₁控制步后收敛至零点邻域λ内；

若初始值s₀∈[1,λ)，此时α＝1，β＝0，由(1)得

所以有

依此类推有

由(12)得，存在使得任意k≥k₂均满足s_k＜1，即切换变量从e₀开始，经过不超过k₂步后收敛至半径为1的零点邻域内，当s₀→λ-时，k₂取最大值

若s₀∈[δ,1)，此时α＝β＝0，所以s_k+1＝s_k-arctg(s_k)≤s_k-arctg(δ)，从而有s_k≤s₀-karctg(δ)，由此得存在

使得任意k≥k₃-1均满足s_k＜δ，即切换变量从s₀开始，经过k₃控制步后必定收敛至半径为δ的邻域内，特别当s₀＝1时，k₃取最大值

由(1)不难看出Δs_k是关于s_k的奇函数，当s₀＜0时，具有相同的收敛特性；所以，当初始值|s₀|≥δ时，跟踪误差从s₀开始，经过有限控制步k后，必定收敛到零点附近以δ为半径的小邻域内，k的表达式为

永磁同步电机***的模型为：

其中，θ为电机转角位置，ω为转速，f(t,θ,ω)为有界的***参数摄动，包含建模过程中忽略掉的次要因素，u为控制输入信号，u_w为来自输入端的有界干扰信号，矩阵J、B、K为表示电机输出轴转动惯量、摩擦系数和弹性系数，令***状态

则电机***的状态空间模型表示为：

其中w(t)＝u_w(t)-f(t,θ,ω)，表示折算到输入端的***不确定性总和，将(15)转换为离散状态空间：

x_k+1＝Gx_k+Hu_k+w_k (16)

其中G＝e^AT，T为采样周期，H＝A^-1(G_I)B，w_k为kT时刻的有界集总扰动；

设电机输出期望轨迹为定义滑模面

令C＝[c₁ c₂]并取合适的值使满足(CB)^-1≠0，则s_k＝Ce_k＝0，其中

为kT时刻的电机输出跟踪误差；由(17)知，s_k为转角误差与速度误差的线性组合，所以上述对于切换变量收敛过程的定性分析结果同样适用于跟踪误差e_k，相应的滑模控制器为

u_k＝(CH)-¹(s_k+1+Cr_k+1-CGx_k) (18)

所以

考虑到现代高速数字控制器具有微秒级的采样周期，根据G的幂级数表达式：

当采样周期足够小时，忽略(20)中所有与T有关的和项，从而有

Δu_k≈(CH)^-1(Δs_k-Δs_k-1+CΔr_k-CΔr_k-1) (21)

其中Δr_k由给定的参考轨迹决定，由(21)看出，控制输入的变化率取决于跟踪误差的变化率，因此，控制器设计时需要考虑对于误差变化率的约束；

根据(3)，当|s_k|≥λ时，

所以

当1≤|s_k|＜λ时，由(1)得

所以

当0＜|s_k|＜1时，由(1)得Δs_k＝-arctg(|s_k|)sgn(s_k)，所以

由(22)、(23)和(24)知，通过调节参数λ改变切换变量收敛速率的上限，收敛速率小于且在收敛过程中收敛速率单调下降；将趋近律(1)代入(18)得到具有考虑输入量限制的滑模控制器：

本发明的技术构思为：给定电机输出参考轨迹，考虑控制输入量受限制的情况下构造单调无抖振收敛的趋近律用于滑模控制器设计，以满足永磁同步电机跟踪控制的实际需求。

本发明的有益效果主要表现在：1、通过构造单调无抖振收敛的趋近律，对切换变量从任意初始值收敛到控制目标的轨迹进行了定义，保证***具有良好的动态品质；2、所述的控制器可使得切换变量在有限时间内收敛到达滑模面附近任意小半径的邻域，到达时间可通过解析式计算。与其它趋近律控制器相比，相同的控制量上限，所述的控制器到达时间更短；3、切换变量收敛速率受限，可由参数调节，并与其它趋近律控制器相比，相同的到达时间，可实现更小的控制量上限，从而满足电机对于控制输入量的要求，符合实际控制器的工作条件；4、当电机控制***存在有界扰动时，给出了所述控制器作用下切换变量的稳态界。

附图说明

图1是永磁同步电机跟踪控制***结构方框图。

图2是所述的滑模控制器结构图。

图3是实施例所述的电机位置跟踪控制中得到的输出转角和转速随时间的变化轨迹。

图4是实施例所述的滑模控制器在λ＝50，Δ＝0.5时的控制量与切换变量。

图5是实施例所述的滑模控制器在λ＝50，Δ＝1.2时的控制量与切换变量。

图6是实施例所述的滑模控制器在λ＝20，Δ＝1.2时的控制量与切换变量。

图7是实施例所述的滑模控制器在λ＝80，Δ＝1.2时的控制量与切换变量。

图8是实施例所述的控制器(30)在ρ＝0.03，ε＝0.2时的控制量与切换变量。

图9是实施例所述的控制器(30)在ρ＝0.16，ε＝0.2时的控制量与切换变量。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图9，一种考虑控制量受限的永磁同步电机滑模控制器，滑模控制***的状态变化包括从初始值向滑模面靠近的趋近运动和在滑模面上的滑模运动两个阶段，为驱使***状态在有限时间内逼近给定的参考信号，构造一种考虑控制量限制的离散变速趋近律：

其中s_k为第k控制步的切换变量值，arctg(·)为反正切函数，参数λ≥1用于限制控制量变化速率，α和β为

其中sgn(·)为符号函数，

表示向下取整。

根据切换变量s_k值大小不同分别分析其动态，过程如下：

1)当|s_k|≥λ时，α＝β＝1，所以由(1)得

其中

因此

也即|s_k+1|＜|s_k|，所以切换变量具有收敛性。

根据反正切函数的特性，有arctan(|s_k|+1-λ)＜|s_k|+1-λ，所以

因此，s_k+1与s_k保持同号，即切换变量收敛过程具有单调性；

根据趋近律(1)有

即切换变量收敛步长不小于

所以经过有限控制步后必然有|s_k|＜λ；

2)当1≤|s_k|＜λ时，α＝1，β＝0；由(1)得

从而

即切换变量具有收敛性；又因为

所以s_k+1与s_k保持同号，即收敛过程具有单调性；

根据趋近律(1)有

即切换变量收敛步长不小于

所以经过有限控制步后必然有|s_k|＜1；

3)当0＜|s_k|＜1时，α＝β＝0，所以s_k+1＝s_k-arctg(|s_k|)sgn(s_k)。因此

|s_k+1|＝|s_k|-arctg(|s_k|)＜|s_k| (9)

所以切换变量具有收敛性。又因为arctg(|s_k|)＜|s_k|，所以s_k+1sgn(s_k)＝|s_k|-arctg(|s_k|)＞0，即s_k+1与s_k保持同号，即收敛过程具有单调性。

对于任意小常数δ＞0，当δ＜|s_k|＜1时有

即切换变量收敛步长不小于arctg(δ)，所以经过有限控制步后切换变量必然收敛到原点附近任意小的领域内；

以上分析表明，利用趋近律(1)设计的滑模控制器使得切换变量在有限时间内单调收敛至原点附近任意小的邻域内并趋近于零，切换变量收敛过程不穿越零线，无抖振，无正负交替现象，即sgn(s_k+1)＝sgn(s_k)。

趋近律(1)刻画的切换变量收敛时间与初始值s₀有关，若初始值s₀∈[λ,∞)，此时α＝β＝1，根据反正切函数的单调性有

所以

从而有

由此得存在

使得任意k≥k₁均满足s_k＜λ，即切换变量从s₀开始，经过不超过k₁控制步后收敛至零点邻域λ内。

若初始值s₀∈[1,λ)，此时α＝1，β＝0，由(1)得

所以有

依此类推有

由(12)可得，存在

使得任意k≥k₂均满足s_k＜1，即切换变量从e₀开始，经过不超过k₂步后收敛至半径为1的零点邻域内，当s₀→λ^-时，k₂取最大值

若s₀∈[δ,1)，此时α＝β＝0，所以s_k+1＝s_k-arctg(s_k)≤s_k-arctg(δ)。从而有s_k≤s₀-karctg(δ)，由此得存在

使得任意k≥k₃-1均满足s_k＜δ，即切换变量从s₀开始，经过k₃控制步后必定收敛至半径为δ的邻域内。特别当s₀＝1时，k₃取最大值

由(1)不难看出Δs_k是关于s_k的奇函数，当s₀＜0时，具有相同的收敛特性；所以，当初始值|s₀|≥δ时，跟踪误差从s₀开始，经过有限控制步k后，必定收敛到零点附近以δ为半径的小邻域内，k的表达式为

需要说明，上述推导过程对于反正切函数进行了线性近似以利于求解，所以切换变量的实际收敛时间略小于上述分析。

永磁同步电机***的模型为：

其中，θ为电机转角位置，ω为转速，f(t,θ,ω)为有界的***参数摄动，包含建模过程中忽略掉的次要因素，u为控制输入信号，u_w为来自输入端的有界干扰信号，矩阵J、B、K为表示电机输出轴转动惯量、摩擦系数和弹性系数。令***状态

则电机***的状态空间模型表示为：

其中w(t)＝u_w(t)-f(t,θ,ω)，表示折算到输入端的***不确定性总和，将(15)转换为离散状态空间：

x_k+1＝Gx_k+Hu_k+w_k (16)

其中G＝e^AT，T为离散***的采样周期，H＝A-¹(G_I)B，w_k为kT时刻的有界集总扰动。

设电机输出期望轨迹为

定义滑模面

令C＝[c₁ c₂]并取合适的值使满足(CB)-¹≠0，则s_k＝Ce_k＝0。其中为kT时刻的电机输出跟踪误差。由(17)可知，s_k为转角误差与速度误差的线性组合，所以上述对于切换变量收敛过程的定性分析结果同样适用于跟踪误差e_k，相应的滑模控制器为

u_k＝(CH)^-1(s_k+1+Cr_k+1-CGx_k) (18)

所以

考虑到现代高速数字控制器具有微秒级的采样周期，根据G的幂级数表达式：

当采样周期足够小时，忽略(20)中所有与T有关的和项，从而有

Δu_k≈(CH)-¹(Δs_k-Δs_k-1+CΔr_k-CΔr_k-1) (21)

其中Δr_k由给定的参考轨迹决定，由(21)可以看出，控制输入的变化率取决于跟踪误差的变化率，因此，控制器设计时需要考虑对于误差变化率的约束；

根据(3)，当|s_k|≥λ时，

所以

当1≤|s_k|＜λ时，由(1)得

所以

当0＜|s_k|＜1时，由(1)得Δs_k＝-arctg(|s_k|)sgn(s_k)。所以

由(22)、(23)和(24)知，通过调节参数λ可以改变切换变量收敛速率的上限，收敛速率小于

且在收敛过程中收敛速率单调下降；这种特性有助于限制控制输入量的变化速率，将趋近律(1)代入(18)得到具有考虑输入量限制的滑模控制器：

SMC为本发明所述的滑模控制器(25)。通过电机本体获取输出轴转角信息，并计算得到转速值。转角位置与转速作为SMC的状态变量x_k，与给定的参考信号r_k、计算得到的误差信号e_k一同作为SMC的输入。SMC的输出即驱动器的控制量u_k。所述的SMC结构框图如图2所示。图2中，增益a＝1-α-β+2αβ，

其中α与β根据(2)计算得到。

收敛性能：假设有界集总扰动上界已知，满足|Cw_k|≤Δ，将(25)代入(16)可得实际***的切换变量动态收敛的充分条件是满足不等式

当s_k≥λ时，代入(26)并结合前述分析可得(1)若

那么

所以当

时必有即切换变量必定在有限时间内收敛至；(2)若

那么

所以当

时，必有

即切换变量必定在有限时间内收敛至s_k＜λ。

当1≤s_k＜λ时，

代入(26)并结合前述分析可得(1)若

那么

所以当

时，切换变量必定在有限时间内收敛至s_k＜1；(2)若

那么

求解(26)可得切换变量必定在有限时间内收敛至s_k＜1；(3)若

求解(26)可得切换变量必定在有限时间内收敛至

当0＜s_k＜1时，s_k+1＝s_k-arctg(s_k)。代入(26)并结合前述分析可得当s_k＞tg(Δ)时，切换变量必定收敛。

同理可得，当s_k＜0时，其收敛边界与s_k＞0时相同。综上所述，在已知***扰动界的情况下，取控制器参数

则当

时切换变量收敛域边界

当

时，Δ_AAL＝tg(Δ)，也即

稳态性能：以上分析过程表明，当切换变量大于收敛域边界Δ_AAL时，下一控制步的变量值一定收敛。而一旦到达或者穿越收敛边界即s_k≤Δ_AAL，下一控制步的值有可能会因扰动的作用重新超出收敛边界。具体地，情形一：当

时，若0≤s_k≤tg(Δ)，则s_k+1＝s_k-arctg(s_k)+w_k。取s_k＝1，得到s_k+1的上界

取s_k＝0，得到s_k+1的下界-Δ，也即

同理，若-tg(Δ)≤s_k≤0，则

情形二：当时，1)若

则

取

得到s_k+1的上界取s_k＝1，得到s_k+1的下界2)若0≤s_k＜1，则s_k+1＝s_k-arctg(s_k)+w_k。取s_k→1^-，得到s_k+1的上界取s_k＝0，得到s_k+1的下界-Δ。因为所以

且

因此，当

时，只要

都有

同理，若则

综合以上两种情形，切换变量的稳态边界为

本实施例以小功率交流永磁同步电机(PMSM)按照给定参考信号所描述的运动轨迹执行位置跟踪任务为目标。选用的电机磁极对数为4，输出轴转动惯量为1.02gm²，旋转摩擦系数和弹性系数分别为10^-3和10^-5N/m。将其代入(14)并以1ms的采样周期离散化后得到状态空间(16)中的

本实施例给定电机位置参考信号r(t)＝1.5πcos(2πft)rad，其中f＝2Hz。即要求电机输出轴以2Hz的频率周期性正反转，旋转幅度270度(1.5πrad)。根据所述模型，以1ms为采样周期将其离散化，并采用控制器(25)进行仿真验证。仿真时设电机输出轴初始位置θ₀＝-50rad，初始转速为0，即x₀＝[-50 20]^T；设***扰动

其中rand₁和rand₂均为±Δ范围内的随机数。取控制器参数λ＝50，扰动界Δ＝0.5时，仿真得到电机输出转角和转速随时间的变化轨迹如图3所示，控制器输入量和切换变量如图4所示。由图3可见，经过约0.4s后，电机输出轴转角和转速均跟踪上给定的参考信号变化。由图4可见，控制器输入量被限制在25.7以下，并逐步下降；切换变量经过约0.035s后收敛进入以零为中心，以Δ_SSD为半径的稳态界。因为

所以

Δ_AAL＝tg(Δ)＝0.55。保持其它条件不变，增大

则仿真结果如图5所示。由图4和5可见，切换变量稳态值处于(27)(28)所述的界内。图6与图7为分别取λ＝20，λ＝50，扰动界均为Δ＝1.2时的仿真结果。与图5相比较可知，在趋近运动阶段，参数λ取值越大，控制量u_k越大，切换变量进入稳态界的时间也越短。因此，可以通过选择合适的参数来满足实际***输入量所受的限制。

为方便对比分析，采用常见的指数趋近律

s_k+1＝(1-ρ)s_k-εsgn(s_k) (29)

设计控制器

u_k＝(CH)^-1[Cr_k+1-CGx_k+(1-ρ)s_k-εsgn(s_k)] (30)

取ε＝0.2，Δ＝1.2，分别取ρ＝0.03，ρ＝0.16时，得到仿真结果如图8和图9所示。不难看出，与图5相比，图8中控制量上界相近，但到达时间约0.16s，明显增长；而图9中虽然显示到达时间约0.034s，与图5相近，但是控制量上界达到131.2。因此，尽管本发明所述的控制器通过减小参数λ来满足控制量的限制条件会延长切换变量进入稳态界的时间，但是相比控制器(30)，只需较小的控制量上界就可以取得相同的到达时间；另一方面，在保持所需的控制量上界相同的情况下，所述的控制器到达时间短，具有更好的动态性能。

上述实施例的仿真结果通过一类基于新型趋近律设计的滑模控制器，验证了本发明给出的考虑输入限制的滑模控制方法对于永磁同步电机位置跟踪***性能提升的效果，具有较强的实用性。

Claims (1)

1.一种考虑控制量受限的永磁同步电机滑模控制器，其特征在于：滑模控制***的状态变化包括从初始值向滑模面靠近的趋近运动和在滑模面上的滑模运动两个阶段，为驱使***状态在有限时间内逼近给定的参考信号，构造一种考虑控制量限制的离散变速趋近律：

其中s_k为第k控制步的切换变量值，arctg(·)为反正切函数，参数λ≥1用于限制控制量变化速率，α和β为

其中sgn(·)为符号函数，

表示向下取整；

根据切换变量s_k值大小不同分别分析其动态，过程如下：

1)当|s_k|≥λ时，α＝β＝1，所以由(1)得

其中

因此

也即|s_k+1|＜|s_k|，所以切换变量具有收敛性；

根据反正切函数的特性，有arctan(|s_k|+1-λ)＜|s_k|+1-λ，所以

因此，s_k+1与s_k保持同号，即切换变量收敛过程具有单调性；

根据趋近律(1)有

即切换变量收敛步长不小于

所以经过有限控制步后必然有|s_k|＜λ；

2)当1≤|s_k|＜λ时，α＝1，β＝0；由(1)得

从而

即切换变量具有收敛性；又因为

所以s_k+1与s_k保持同号，即收敛过程具有单调性；

根据趋近律(1)有

即切换变量收敛步长不小于

所以经过有限控制步后必然有|s_k|＜1；

3)当0＜|s_k|＜1时，α＝β＝0，所以s_k+1＝s_k-arctg(|s_k|)sgn(s_k)，因此

|s_k+1|＝|s_k|-arctg(|s_k|)＜|s_k| (9)

所以切换变量具有收敛性，又因为arctg(|s_k|)＜|s_k|，所以s_k+1sgn(s_k)＝|s_k|-arctg(|s_k|)＞0，即s_k+1与s_k保持同号，即收敛过程具有单调性；

对于任意小常数δ＞0，当δ＜|s_k|＜1时有

即切换变量收敛步长不小于arctg(δ)，所以经过有限控制步后切换变量必然收敛到原点附近任意小的领域内；

以上分析表明，利用趋近律(1)设计的滑模控制器使得切换变量在有限时间内单调收敛至原点附近任意小的领域内并趋近于零，切换变量收敛过程不穿越零线，无抖振，无正负交替现象，即sgn(s_k+1)＝sgn(s_k)；

趋近律(1)刻画的切换变量收敛时间与初始值s₀有关，若初始值s₀∈[λ,∞)，此时α＝β＝1，根据反正切函数的单调性有

所以

从而有

由此得存在

表示向上取整，使得任意k≥k₁均满足s_k＜λ，即切换变量从s₀开始，经过不超过k₁控制步后收敛至零点邻域λ内；

若初始值s₀∈[1,λ)，此时α＝1，β＝0，由(1)得所以有

依此类推有

由(12)得，存在

使得任意k≥k₂均满足s_k＜1，即切换变量从s₀开始，经过不超过k₂步后收敛至半径为1的零点邻域内，当s₀→λ^-时，k₂取最大值

若s₀∈[δ,1)，此时α＝β＝0，所以s_k+1＝s_k-arctg(s_k)≤s_k-arctg(δ)，从而有s_k≤s₀-karctg(δ)，由此得存在

使得任意k≥k₃-1均满足s_k＜δ，即切换变量从s₀开始，经过k₃控制步后必定收敛至半径为δ的邻域内，特别当s₀＝1时，k₃取最大值

由(1)不难看出Δs_k是关于s_k的奇函数，当s₀＜0时，具有相同的收敛特性；所以，当初始值|s₀|≥δ时，跟踪误差从s₀开始，经过有限控制步k后，必定收敛到零点附近以δ为半径的小邻域内，k的表达式为

永磁同步电机***的模型为：

其中，θ为电机转角位置，ω为转速，f(t,θ,ω)为有界的***参数摄动，包含建模过程中忽略掉的次要因素，u为控制输入信号，u_w为来自输入端的有界干扰信号，矩阵J、B、K为表示电机输出轴转动惯量、摩擦系数和弹性系数，令***状态

则电机***的状态空间模型表示为：

其中w(t)＝u_w(t)-f(t,θ,ω)，表示折算到输入端的***不确定性总和，将(15)转换为离散状态空间：

x_k+1＝Gx_k+Hu_k+w_k (16)

其中G＝e^AT，T为采样周期，H＝A^-1(G-I)B，w_k为kT时刻的有界集总扰动；

设电机输出期望轨迹为定义滑模面

令C＝[c₁ c₂]并取合适的值使满足(CB)^-1≠0，则s_k＝Ce_k＝0，其中

为kT时刻的电机输出跟踪误差；由(17)知，s_k为转角误差与速度误差的线性组合，所以上述对于切换变量收敛过程的定性分析结果同样适用于跟踪误差e_k，相应的滑模控制器为

u_k＝(CH)^-1(s_k+1+Cr_k+1-CGx_k) (18)

所以

考虑到现代高速数字控制器具有微秒级的采样周期，根据G的幂级数表达式：

当采样周期足够小时，忽略(20)中所有与T有关的和项，从而有

Δu_k≈(CH)^-1(Δs_k-Δs_k-1+CΔr_k-CΔr_k-1) (21)

其中Δr_k由给定的参考轨迹决定，由(21)看出，控制输入的变化率取决于跟踪误差的变化率，因此，控制器设计时需要考虑对于误差变化率的约束；

根据(3)，当|s_k|≥λ时，

所以

当1≤|s_k|＜λ时，由(1)得

所以

当0＜|s_k|＜1时，由(1)得Δs_k＝-arctg(|s_k|)sgn(s_k)，所以

由(22)、(23)和(24)知，通过调节参数λ改变切换变量收敛速率的上限，收敛速率小于

且在收敛过程中收敛速率单调下降；将趋近律(1)代入(18)得到具有考虑输入量限制的滑模控制器：

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