ES2216133T3 - Construccion de señales prototipo para transmision multiportadora. - Google Patents

Abstract

Señal multiportadora s(t) destinada a ser transmitida a receptores digitales, especialmente en un canal de transmisión no estacionario, correspondiente al multiplexado en frecuencia de varias portadoras elementales, correspondientes, cada una, a una serie de símbolos, siendo asignado cada símbolo a una portadora durante un tiempo símbolo 0 y siendo el espaciamiento entre dos portadoras contiguas igual a 0, caracterizado porque la citada red tiempo-frecuencia utilizada es una red dispuesta al tresbolillo, en la cual: - el citado tiempo símbolo 0 es igual a la cuarta parte de la inversa del citado espaciamiento 0 entre dos portadoras contiguas; - dos símbolos consecutivos emitidos en una misma portadora están espaciados dos tiempos símbolo 0; y - los símbolos emitidos en dos portadoras adyacentes están desplazados el tiempo símbolo 0.

Description

Construcción de señales prototipos para transmisión multiportadora.

1. Ámbito de la invención 1.1. Ámbito general

El ámbito de la invención es el de la transmisión o de la difusión de datos numéricos, o de datos analógicos y muestreados, destinados, especialmente, a ser recibidos por móviles. De modo más preciso, la invención se refiere a señales producidas con la ayuda de nuevas modulaciones, así como a las técnicas de modulación y de desmodulación correspondientes.

Desde hace muchos años, se intenta construir modulaciones adaptadas a canales firmemente no estacionarios, tales como los canales de transmisiones a móviles. Los trabajos dirigidos por el CCETT en el marco del proyecto europeo EUREKA 147 (DAB: Digital Audio Broadcasting, o Difusión Audionumérica) han mostrado el interés, para este tipo de canales, de las modulaciones multiportadoras y, en particular, de la OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing).

La OFDM ha sido mantenida en el marco de este proyecto europeo como base de la norma DAB. Esta técnica ha sido mantenida, igualmente, como modulación para la difusión de programas de televisión (DVB). Sin embargo, cuando se aborda el problema de modulaciones codificadas de alta eficacia espectral, tales como las requeridas para las aplicaciones de TV digital, se constatan un cierto número de limitaciones (precisadas en lo que sigue).

1.2. Aplicaciones posibles

La invención encuentra aplicación en ámbitos muy numerosos, especialmente cuando se desea una alta eficacia espectral y el canal es firmemente no estacionario.

Una primera categoría de aplicaciones concierne a la radiodifusión digital terrestre, se trate de imagen, de sonido y/o de datos. En particular, la invención puede aplicarse a la difusión síncrona, que genera intrínsecamente trayectorias múltiples de larga duración. Ésta se aplica, también, ventajosamente, a la difusión a móviles.

Otra categoría de aplicaciones concierne a las radiocomunicaciones digitales. La invención puede encontrar aplicación, especialmente, en sistemas de comunicación digital a móviles de alto caudal, por ejemplo, en el marco de la UMTS. Ésta puede ser considerada, igualmente, para redes locales radio de alto caudal (tipo HIPERLAN).

Una tercera categoría de aplicaciones es la de las transmisiones submarinas. El canal de transmisión en acústica submarina es perturbado de modo importante debido a la pequeña velocidad de transmisión de las ondas acústicas en el agua. Esto conduce a un ensanchamiento importante de las trayectorias múltiples y del espectro Doppler. Las técnicas de modulación multiportadoras y, de modo particular, las técnicas objeto de la presente invención, están, por tanto, bien adaptadas a este ámbito.

2. Estado de la técnica 2.1. Observaciones teóricas sobre la representación de las señales

Antes de presentar las señales de acuerdo con la invención, se describen a continuación las señales conocidas. Esta descripción se basa en una tratamiento general de las señales multiportadoras definido por los inventores, y nuevo en sí misma. Esta generalización, en efecto, no tiene ningún equivalente en el estado de la técnica, y no es en modo alguno evidente para el experto en la materia. Ésta, por tanto, debe ser considerada como una parte de la invención, y no como perteneciente al estado de la técnica.

Se trata de señales reales (por ejemplo, una magnitud eléctrica), de energía finita, y función del tiempo. Las señales, por tanto, pueden ser representadas por funciones reales de L^{2}(R). Además, estas señales son de banda limitada y su espectro está contenido en \left[f_{c} - \frac{w}{2}, f_{c} + \frac{w}{2}\right], siendo f_{c} la "frecuencia portadora" de la señal. Por tanto, una señal real
a(t) puede representarse de modo equivalente por su envolvente compleja s(t), con:

(1)s(t) = e^{-2i\pi f_{c}t} F_{A}[a](t)

donde F_{A} designa el filtro analítico.

La señal s(t) pertenece a un subespacio vectorial (caracterizado por la limitación de banda a \pm \frac{w}{2}) del espacio de las funciones complejas de una variable real y de cuadrado sumable L^{2}(R). Este espacio vectorial puede definirse de dos modos diferentes, según que se le construya en el cuerpo de los complejos o en el cuerpo de los reales. A cada uno de estos espacios, puede asociarse un producto escalar de valor en C o en R y construir un espacio de Hilbert. Se denominará H el espacio de Hilbert construido en el cuerpo de los complejos y H_{R} el espacio de Hilbert construido en el cuerpo de los reales.

Los productos escalares correspondientes se escriben:

(2)\langle x|y\rangle = \int\limits_{R}x(t)y^{*} \ t(dt)

\hskip1,2cm

en el caso de H

(3)\langle x|y\rangle = \Re e \int\limits_{R}x(t)y^{*} \ (t)(dt)

\hskip0,5cm

en el caso de H_{R}

Las normas asociadas son evidentemente idénticas en los dos casos:

(4)||x|| = \left[\int\limits_{R}|x(t)|^{2} dt\right]^{1/2}

2.2. Principios generales de la OFDM

Los principios generales de la OFDM están presentados, por ejemplo, en la patente francesa FR-86 09622 registrada el 2 de julio de 1986. La idea de base de esta técnica es transmitir símbolos codificados como coeficientes de formas de onda elementales confinadas todo lo posible en el plano tiempo-frecuencia, y para los cuales el canal de transmisión puede considerarse como localmente estacionario. El canal aparece, entonces, como un simple canal multiplicativo caracterizado por la distribución del módulo de los coeficientes, que sigue una ley de Rice o de Rayleigh.

Se asegura después la protección contra las atenuaciones con la ayuda de un código utilizable en decisión ponderada, en asociación con un entrelazamiento en tiempo y en frecuencia que garantiza que los símbolos que intervienen en la malla mínima del código estén, en la medida de lo posible, afectados por atenuaciones independientes.

Esta técnica de codificación con entrelazamiento en el plano tiempo-frecuencia es conocida con el nombre de COFDM. Ésta está descrita, por ejemplo, en el documento [22] (véase el anexo 1 (para simplificar la lectura, la mayoría de las referencias del estado de la técnica están listadas en este anexo 1. Ésta, así como los anexos 2 y 3 deben ser considerados, naturalmente, como partes integrantes de la presente descripción)).

Existen, esencialmente, dos tipos de modulaciones OFDM conocidas. Siendo, con frecuencia, las denominaciones utilizadas en la literatura, ambiguas, se introducirán aquí denominaciones nuevas, más precisas, recordando al mismo tiempo la correspondencia con la literatura existente. Se utilizará la denominación genérica OFDM, seguida de un sufijo que precisa el tipo de modulación en el interior de esta familia.

2.3. OFDM/QAM 2.3.1. Principios teóricos

Una primera categoría de modulaciones está constituida por un múltiplex de portadoras QAM (Quadrature Amplitude Modulation) o, eventualmente, en QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) en el caso particular de datos binarios. En lo que sigue, este sistema se designará con el nombre OFDM/QAM. Las portadoras están todas sincronizadas, y las frecuencias portadoras están espaciadas en la inversa del tiempo símbolo. Aunque los espectros de estas portadoras se recubren, la sincronización del sistema permite garantizar la ortogonalidad entre los símbolos emitidos por diferentes portadoras.

Las referencias [1] a [7] dan una buena percepción de la literatura disponible sobre este asunto.

Para mayor simplicidad en la escritura, y de acuerdo con el método nuevo de la invención, se representarán las señales en su forma analítica descrita anteriormente. En estas condiciones, la ecuación general de una señal OFDM/QAM se escribe:

(5)s(t) = \sum\limits_{m,n} a_{m,n} \ x_{m,n}(t)

Los coeficientes a_{m,n} toman valores complejos que representan los datos emitidos. Las funciones x_{m,n}(t) son trasladadas en el espacio tiempo-frecuencia de una misma función prototipo x(t):

1

(7)x_{m,n}(t) = e^{i(2\pi nv_{0}t+\varphi)}x(t-n\tau_{0})

\hskip0,5cm

con \ v_{0} \tau_{0} = 1

siendo \varphi una fase cualquiera, que puede fijarse arbitrariamente en 0. La función x(t) es centrada, es decir, que sus momentos de orden 1 son nulos, o sea:

(8)\int t|x(t)|^{2}dt = \int f|X(f)|^{2}df = 0

designando X(f) la transformada de Fourier de x(t).

En estas condiciones se observa que:

\int t|x_{m,n}(t)|^{2}dt = n\tau_{0}

(9)\int f|X_{m,n}(f)|^{2} df = mv_{0}

Los baricentros de las funciones de base forman, por tanto, una red del plano tiempo frecuencia generada por los vectores (\tau_{0}, 0) y (0, v_{0}). Esta red es de densidad unidad, es decir, que v_{0}\tau_{0} = 1. Podrá referirse al artículo [9] para una discusión más detallada sobre este asunto.

La función prototipo x(t) tiene de particular que las funciones {x_{m,n}} son ortogonales entre sí y, de modo más preciso, constituyen una base hilbertiana de L^{2}(R), o sea

2

Proyectar una señal sobre esta base equivale simplemente a cortar la señal en secuencias de duración \tau_{0} y en representar cada una de estas secuencias por el desarrollo en serie de Fourier correspondiente. Este tipo de descomposición constituye un primer paso hacia una localización a la vez en tiempo y en frecuencia, al contrario que en el análisis de Fourier clásico, que asegura una localización frecuencial perfecta con una pérdida total de la información temporal.

Desgraciadamente, si la localización temporal es excelente, la localización frecuencial es mucho peor, debido al decrecimiento lento de X(f). El teorema de Balian-Low-Coifman-Semmes (véase [9], página 976) muestra, por otra parte, que si se denomina X la transformada de Fourier de x, tx(t) y fX(f) no pueden ser simultáneamente de cuadrado sumable.

2.3.2. La OFDM/QAM con intervalo de guarda

De manera general, la tolerancia de una modulación OFDM con respecto a las trayectorias múltiples y al ensanchamiento Doppler puede caracterizarse por un parámetro que mide de manera global la variación del nivel de interferencia entre símbolos (IES) en función de un desfasaje en tiempo o en frecuencia. La justificación de este concepto viene dada en el anexo 2. Este parámetro de tolerancia es denominado \xi y está definido por la relación:

(11)\xi = 1/4\pi\Delta t\Delta f

con:

(12)\Delta t^{2} \int|x(t)|^{2}dt = \int t^{2}|x(t)|^{2}dt

(13)\Delta f^{2} \int|X(f)|^{2}dt = \int f^{2}|X(f)|^{2}df

En virtud de la desigualdad de Heisemberg, \xi no puede sobrepasar la unidad.

Habida cuenta del teorema Balian-Low-Coifman-Semmes citado anterior- mente, el parámetro \xi vale 0 para la OFDM/QAM. Se trata aquí de un defecto importante de la modulación OFDM/QAM tal como la descrita anteriormente. Esto se caracteriza, en la práctica, por una gran sensibilidad a los errores temporales y, por consiguiente, a las trayectorias múltiples.

Este defecto puede ser solventado por la utilización de un intervalo de guarda, descrito, por ejemplo, en [5]. Se trata aquí de un artificio consistente en prolongar la ventana rectangular de la función prototipo. La densidad de la red de los símbolos de base es, entonces, estrictamente inferior a la unidad.

Esta técnica es posible debido a que en el interior de un símbolo prolongado por un intervalo de guarda se encuentran una infinidad de versiones trasladadas del símbolo inicial. Naturalmente, esto funciona solamente porque la función prototipo es una ventana rectangular. En este sentido, la OFDM/QAM con intervalo de guarda constituye un punto singular único.

La modulación OFDM/QAM con intervalo de guarda es la base del sistema DAB. Este intervalo de guarda permite limitar la interferencia entre símbolos, a costa de una pérdida de características, puesto que una parte de la información emitida no es realmente utilizada por el receptor, sino que sirve solamente para absorber las trayectorias múltiples.

Así, en el caso del sistema DAB, donde el intervalo de guarda representa el 25% del símbolo útil, la pérdida es de 1 dB. Además, existe una pérdida suplementaria, debido al hecho de que para obtener una eficacia espectral global dada, hay que compensar la pérdida debida al intervalo de guarda por una mejor eficacia del código utilizado.

Esta pérdida es marginal en el caso del sistema DAB, porque la eficacia espectral es pequeña. Por el contrario, si se pretende una eficacia espectral global de 4 bits/Hz, hay que utilizar un código de 5 bits/Hz, o sea, según el teorema de Shannon, una pérdida del orden de 3 dB. La pérdida global en este caso es, por tanto, aproximadamente, 4 dB.

2.3.3 Otros sistemas OFDM/QAM

Pueden imaginarse otros sistemas de tipo OFDM/QAM. Desgraciadamente, ninguna modulación QAM filtrada (es decir, que utiliza una puesta en forma convencional del tipo semi-Nyquist (o de modo más exacto, "raíz cuadrada de Nyquist")), verifica los requisitos de ortogonalidad requeridos. Las funciones prototipos conocidas que verifican los criterios de ortogonalidad requeridos, son:

- la ventana rectangular;

- el seno cardinal.

Estos dos ejemplos son triviales, y aparecen duales uno de otro por transformada de Fourier. El caso de la ventana rectangular corresponde a la OFDM/QAM sin intervalo de guarda. El caso del seno cardinal corresponde a un múltiplex frecuencial clásico (es decir, cuyas portadoras tienen espectros disjuntos) con una atenuación del 0%, lo que constituye un caso asintótico difícilmente realizable en la práctica.

En cada uno de estos casos, se observa que la función prototipo está perfectamente limitada, ya sea en tiempo, o en frecuencia, pero tiene un decrecimiento mediocre (en 1/t o 1/f) en el ámbito dual.

Por otra parte, el teorema de Bailan-Low-Coifman-Semmes deja poca esperanza de que puedan existir soluciones satisfactorias. Como se indicó anteriormente, este teorema demuestra que tx(t) y fX(f) no pueden ser simultáneamente de cuadrado sumable. Por tanto, no puede esperarse encontrar una función x(t), tal que x(t) y X(f) decrezcan simultáneamente con un exponente inferior a -3/2.

Esto, por otra parte, no excluye que puedan existir funciones satisfactorias desde el punto de vista de un ingeniero. Sin embargo, un artículo reciente [10] que trata sobre este asunto muestra otro ejemplo de función prototipo que tiene las propiedades requeridas. La forma de la función prototipo propuesta en este artículo está muy alejada de lo que puede desearse en términos de concentración temporal. Por tanto, es probable que no exista solución satisfactoria de tipo OFDM/QAM.

En conclusión, la OFDM/QAM, que corresponde a la utilización de una red de densidad 1 y de coeficientes a_{m,n} complejos, solamente puede ser puesta en práctica en el caso de una ventana temporal rectangular y de la utilización de un intervalo de guarda. El experto en la materia que busque otras modulaciones tiende, por tanto, a volver a las técnicas descritas anteriormente con el nombre de OFDM/OQAM.

2.4 OFDM/OQAM

Una segunda categoría de modulaciones utiliza, en efecto, un múltiplex de portadoras OQAM (Offset Quadrature Amplitude Modulation). En lo que sigue, este sistema se designará con el nombre de OFDM/OQAM. Las portadoras están todas sincronizadas, y las frecuencias portadoras están espaciadas la mitad de la inversa del tiempo símbolo. Aunque los espectros de estas portadoras se recubren, la sincronización del sistema y la elección de las fases de las portadoras permiten garantizar la ortogonalidad entre los símbolos emitidos por diferentes portadoras. Las referencias [11-18] dan una buena percepción de la literatura disponible sobre este asunto.

Para mayor simplicidad en la escritura, se representarán las señales en su forma analítica. En estas condiciones, la ecuación general de una señal OFDM/OQAM, se escribe:

(14)s(t) = \sum\limits_{m,n}a_{m,n} \ x_{m,n}(t)

Los coeficientes a_{m,n} toman valores reales que representan los datos emitidos. Las funciones x_{m,n}(t) son trasladadas en el espacio tiempo- frecuencia de una misma función prototipo x(t):

3

con \upsilon_{0}\tau_{0} = 1/2,

siendo \varphi una fase cualquiera que puede fijarse arbitrariamente igual a 0.

Los baricentros de las funciones de base forman, por tanto, una red del plano tiempo-frecuencia generada por los vectores (\tau_{0},0) y (0,\upsilon_{0}), tal como la ilustrada en la figura 2.

Esta red es de densidad 2. Las funciones x_{m,n}(t) son ortogonales en el sentido del producto escalar en R. En los métodos conocidos, la función prototipo está limitada en frecuencia, de tal manera que el espectro de cada portadora solamente recubre el de las portadoras adyacentes. En la práctica, las funciones prototipos consideradas son funciones pares (reales o, eventualmente, complejas) que verifican la relación siguiente:

4

Una elección posible para x(t) es la respuesta en impulsos de un filtro semi-Nyquist con 100% de atenuación, o sea

5

Cuando se observa x(t) y su transformada de Fourier, se observa que X(f) es de soporte limitado y que x(t) decrece en t^{-2}, es decir, un resultado notablemente mejor que el límite teórico que se deduce del teorema Balian-Low -Coifman-Semmes. Las formas de onda elementales son localizadas mejor en el plano tiempo frecuencia que en el caso de la OFDM/QAM, lo que confiere a esta modulación un mejor comportamiento en presencia de trayectorias múltiples y de efecto Doppler. Como anteriormente, puede definirse el parámetro \xi que mide la tolerancia de la modulación al retardo y al efecto Doppler. Este parámetro \xi vale 0,865.

2.5 OFDM/MSK

Otra solución, descrita en el documento WO-A-96 35278 a nombre de los mismos depositantes de la presente solicitud, consiste en utilizar una función prototipo diferente. La citada función prototipo x(t) es una función par, nula fuera del intervalo [-\tau_{0},\tau_{0}], y que verifica la relación:

6

De modo ventajoso, la citada función prototipo x(t) está definida por:

7

Esta función puede ser considerada como dual por transformada de Fourier de la función prototipo utilizada en el caso de la OFDM/OQAM. Este caso particular se denomina OFDM/MSK. Las características en términos de resistencia al efecto Doppler y a las trayectorias múltiples son equivalentes a las de OFDM/OQAM, y la realización del receptor resulta simplificada.

2.6 OFDM/IOTA

Otra solución, descrita, igualmente, en la solicitud de patente FR-95 05455 ya citada, consiste en utilizar una función prototipo que no está limitada en tiempo, ni limitada en frecuencia, pero que tiene propiedades de decrecimiento rápido a la vez en el ámbito temporal y el ámbito frecuencial. Esta función prototipo x(t) está caracterizada por la ecuación:

x(t) = \frac{y(t)}{\sqrt{\tau_{0}\sum \limits_{k}|y(t-k\tau_{0})|^{2}}}

estando definida la función y(t) por su transformada de Fourier Y(f):

Y(f) = \frac{G(f)}{\sqrt{v_{0}\sum \limits_{k}|G(f-kv_{0})|^{2}}}

donde G(f) es una función gausiana normalizada del tipo: G(f) = (2\alpha)^{1/4} e^{-\pi \alpha f^{2}}

En el caso de la modulación OFDM/IOTA, el parámetro \alpha está fijado en 1. En este caso, la función prototipo correspondiente, indicada por \Im, es idéntica a su transformada de Fourier.

La realización del receptor es más simple que en el caso de la OFDM/OQAM, aunque ligeramente más compleja que en el caso precedente, pero las características son sensiblemente superiores.

3. Inconvenientes de los sistemas conocidos

Estos sistemas conocidos presentan ciertos inconvenientes y límites, especialmente, en los canales muy perturbados, y/o cuando se requiere una alta eficacia.

3.1 OFDM/QAM

El problema principal del sistema OFDM/QAM es que éste necesita imperativamente la utilización de un intervalo de guarda. Como se indicó anteriormente, esto genera una pérdida de eficacia notable cuando se pretenden altas eficacias espectrales.

Además, los símbolos emitidos están mal concentrados en el ámbito frecuencial, lo que limita, igualmente, las características en canales firmemente no estacionarios. En particular, este ensanchamiento hace difícil la utilización de los ecualizadores.

3.2 OFDM/OQAM

A la inversa, las características frecuenciales de la OFDM/OQAM son más bien satisfactorias y no se plantea el problema de la perdida asociada al intervalo de guarda. Por el contrario, la respuesta en impulsos de la función prototipo tiene un decrecimiento temporal relativamente lento, o sea en 1/x^{2}.

Esto implica dos tipos de dificultades. En primer lugar, la forma de onda puede ser difícilmente truncada en un intervalo de tiempo corto, lo que implica un tratamiento complejo a nivel del receptor. Además, esto complica, igualmente, eventuales sistemas de ecualización.

En otras palabras, la eficacia de las técnicas OFDM/OQAM es superior a la de la OFDM/QAM, pero estas técnicas se consideran más complejas de poner en práctica y, por tanto, costosas, en particular en los receptores.

3.3 OFDM/MSK

La modulación OFDM/MSK presenta las mejores características en términos de resistencia al efecto Doppler y a las trayectorias múltiples con respecto a la OFDM/OQAM. Estas características son inferiores a las de la OFDM/IOTA. Por el contrario, la limitación temporal de la función prototipo simplifica el receptor.

3.4 OFDM/IOTA

La modulación OFDM/IOTA presenta características óptimas en términos de resistencia al efecto Doppler y a las trayectorias múltiples. Por el contrario, la realización del receptor es más compleja que en el caso de la OFDM/MSK.

4. Presentación de la invención 4.1Objetivos de la invención

La invención tiene por objetivo, especialmente, paliar estos diferentes inconvenientes y limitaciones del estado de la técnica.

Así, un objetivo de la invención es proporcionar una señal digital destinada a ser transmitida o difundida a receptores, que permita obtener características equivalentes a la mejor solución conocida, o sea la OFDM/IOTA, mejorando al mismo tiempo la concentración de respuesta temporal de la función prototipo, especialmente, de modo que se simplifique el tratamiento a nivel del receptor.

La invención tiene por objetivo, igualmente, proporcionar una señal de este tipo, que permita la realización de receptores de complejidad y coste limitados, en particular en lo que concierne a la desmodulación y a la ecualización.

Un objetivo complementario de la invención es facilitar emisores, receptores, procedimientos de transmisión o de difusión, procedimientos de recepción y procedimientos de construcción, es decir, de definición, de una modulación, correspondientes a una señal de este tipo.

4.2Características principales de la invención

Estos objetivos, así como otros que aparecerán en lo que sigue, se consiguen, de acuerdo con la invención, con una señal multiportadora destinada a ser transmitida a receptores digitales, especialmente, en un canal de transmisión no estacionario, correspondiente al multiplexado en frecuencia de varias portadoras elementales, correspondientes, cada una, a una serie de símbolos, construida en una red tiempo-frecuencia no ortogonal de densidad 2.

Ventajosamente, esta red es una red dispuesta al tresbolillo, en la cual, siendo el espaciamiento entre dos portadoras contiguas igual a \upsilon_{0},

- el tiempo símbolo \tau_{0} es igual a la cuarta parte de la inversa del espaciamiento \upsilon_{0} entre dos portadoras contiguas,

- los símbolos emitidos por una misma portadora están espaciados 2 tiempos símbolo \tau_{0},

- los símbolos emitidos por portadoras adyacentes están desplazados el tiempo símbolo \tau_{0}.

Preferentemente, cada portadora es sometida a un filtrado de puesta en forma de su espectro.

Este filtrado se elige de modo que cada elemento de símbolo sea concentrado todo lo posible, a la vez en el ámbito temporal y en el ámbito frecuencial.

Especialmente, una señal de este tipo puede responder a la ecuación siguiente:

s(t) = \sum\limits_{m+n \ par}a_{m,n} \ x_{m,n}(t)

donde:

a_{m,n} es un coeficiente real representativo de la señal fuente, elegido en un alfabeto de modulación predeterminado;

m es un entero que representa la dimensión frecuencial;

n es un entero que representa la dimensión temporal;

t representa el tiempo;

x_{m,n}(t) es una función de base, trasladada en el espacio tiempo- frecuencia, de una misma función prototipo x(t) que toma valores reales o complejos, o sea:

x_{m,n}(t) = e^{i \varphi m,n} \ e^{i(2 \pi m v_{0} t + \varphi)} \ x(t-n\tau_{0})

\hskip0,5cm

con

\hskip0,3cm

v_{0} \tau_{0} = 1/4

con

\hskip3,9cm

\varphi_{m,n} = (m + n + mn + (n^{2} - m^{2})/2)\pi/2

donde \varphi es un parámetro de fase arbitrario,

y donde las citadas funciones de base {x_{m,n}} son ortogonales entre sí, siendo la parte real del producto escalar de dos funciones de base diferentes, nula.

Así, la invención se basa en un sistema de modulación que utiliza funciones prototipos concentradas todo lo posible en el plano tiempo-frecuencia. El interés de este método es disponer de una modulación que tiene características idénticas a la modulación OFDM/IOTA, beneficiándose al mismo tiempo de una repuesta de impulsos de decrecimiento rápido.

En otras palabras, la invención tiene por objeto nuevos sistemas de modulación construidos como la OFDM(IOTA en una red de densidad 2. La diferencia esencial con respecto a los sistemas ya conocidos es que la red de base es una red dispuesta al tresbolillo de densidad 1/2.

Entre las modulaciones propuestas, se encuentran modulaciones que utilizan funciones prototipos que no están limitadas ni en tiempo ni en frecuencia, pero que a cambio presentan propiedades de decrecimiento rápido, a la vez en tiempo y en frecuencia, y una concentración casi óptima en el plano tiempo-frecuencia.

Tales señales no son, en modo alguno, evidentes para el experto en la materia, a la vista del estado de la técnica. Como se indicó anteriormente, existen fundamentalmente dos modos de construcción de modulaciones de tipo OFDM.

El primer modo de construcción conocido utiliza una red ortogonal de densidad 1. Esta primera solución utiliza una base de descomposición de las señales en la que cualquier señal es cortada en intervalos, siendo descompuesto después cada intervalo en forma de serie de Fourier. Ésta es la solución OFDM/QAM. La literatura da pocos ejemplos de soluciones alternativas construidas en la misma red, y los resultados obtenidos son de poco interés práctico [10].

Además, la técnica OFDM/QAM es la única que puede beneficiarse del método del intervalo de guarda. La solución OFDM/QAM es, por tanto, un punto singular que no permite extensiones.

El segundo modo de construcción conocido utiliza una red ortogonal de densidad 2. Éste reagrupa un conjunto de modulaciones tales como la OFDM/OQAM, la OFDM/MSK y la OFDM/IOTA. Estas modulaciones difieren en la elección de la función prototipo, que está limitada en frecuencia (OFDM/OQAM), o limitada en tiempo (OFDM/MSK), o no está limitada ni en tiempo, ni en frecuencia, pero es de decrecimiento rápido en las dos dimensiones (OFDM/IOTA).

Por consiguiente, la construcción de nuevas modulaciones que no están construidas en tales redes ortogonales no es evidente.

Todas las variantes de la invención descritas anteriormente presentan la ventaja de utilizar una función prototipo de decrecimiento rápido, de tal modo que la función puede ser fácilmente truncada.

El principio de base consiste en construir una función prototipo que presente las propiedades de ortogonalidad deseadas en una red dispuesta al tresbolillo. El método de construcción, que está detallado en el anexo 3, consiste en partir de una función prototipo que presente las propiedades de ortogonalidad deseadas en una red ortogonal y en efectuar una rotación de 45º en el plano tiempo frecuencia. El operador que permite esta rotación no es un operador clásico. Éste puede ser asimilado a la raíz cuadrada de una transformada de Fourier, y es indicado por F^{1/2}. La justificación matemática de esta notación viene dada en el anexo 3.

En principio, el método puede aplicarse a cualquier función prototipo que permita construir una base hilbertiana en una red ortogonal de densidad 1/2. A este respecto, pueden utilizarse las funciones prototipos de la OFDM/OQAM, y de la OFDM/MSK. Éstas, sin embargo, conducen a resultados que son funciones complejas. En consecuencia, los resultados obtenidos tienen poco interés práctico.

Se considerarán las condiciones necesarias para que este método de construcción conduzca a una función real. Sea una función prototipo x(t) real par que permite generar una base hilbertiana en una red ortogonal de densidad 2, y la función y(t) definida por:

y = F^{1/2}x

donde F^{1/2} es el operador raíz cuadrada de la transformada de Fourier como se definió anteriormente. A nivel de las funciones de ambigüedad (tales como las definidas en el anexo 2), este operador realiza una rotación de ángulo -\pi/4 en el plano tiempo frecuencia. Para que la función y(t) sea real par, es necesario que su función de ambigüedad presente una simetría con respecto a los ejes tiempo y frecuencia. Esto implica, por tanto, que la función x(t) presente, además de la simetría con respecto a los ejes tiempo y frecuencia, una simetría con respecto a las diagonales del plano tiempo-frecuencia. Una propiedad de este tipo solamente puede cumplirse si la función x(t) es idéntica a su transformada de Fourier. Ahora bien, actualmente se conoce solamente una función que tenga esta propiedad, que es la función prototipo de la OFDM/IOTA, o sea \Im.

Se define, por tanto, la función IOTA \pi/4 por la relación:

\Im^{\pi/4} = F^{1/2}\Im

Esta función es por construcción real y par. La función de ambigüedad de esta función se anula, por tanto, en una red dispuesta al tresbolillo.

El conjunto de las funciones {\Im^{\pi/4}_{m,n}} definido por:

\Im^{\pi/4}_{m,n}(t) = e^{i\varphi m,n} \ e^{i\pi (m-n)t} \ \Im^{\pi/4}(t-(m + n)/2),

con \varphi_{m,n}= (m + n + mn + (n^{2} - m^{2})/2)\pi/2

constituye una base hilbertiana.

Redefiniendo los índices, la definición de este conjunto puede volver a escribirse del modo siguiente:

\Im^{\pi/4}_{m,n}(t) = e^{i\varphi m,n} \ e^{i\pi mt} \ \Im^{\pi/4}(t-n/2), m + n par

con \varphi_{m,n}= (n - mn / 2 + (n^{2} - m^{2}) / 4)\pi/2

La invención se refiere, igualmente, a un procedimiento de transmisión de una señal digital, especialmente en un canal de transmisión no estacionario, que comprende las etapas siguientes:

-

codificación en el canal de una señal digital que hay que transmitir, que facilita coeficientes numéricos reales a_{m,n} elegidos en un alfabeto predeterminado;

-

construcción de una señal s(t) que responda a la ecuación definida anteriormente;

-

emisión, al menos, a un receptor digital, de una señal que tenga por envolvente compleja la citada señal s(t).

De modo ventajoso, un procedimiento de este tipo comprende, además, una etapa de entrelazamiento en frecuencia y/o en tiempo, aplicada a los elementos binarios que forman la citada señal digital que hay que transmitir o a los coeficientes numéricos a_{m,n}.

Esto permite asegurar características óptimas en canales no estacionarios.

La invención se refiere, igualmente, a los emisores de una señal de este tipo.

La invención se refiere, también, a un procedimiento de recepción de una señal tal como la descrita anteriormente, que comprende las etapas siguientes:

-

recepción de una señal que tiene por envolvente compleja una señal r(t) correspondiente a la señal s(t) en la emisión;

-

estimación de la respuesta del canal de transmisión, que comprende una estimación de la respuesta en fase \theta_{m,n} y de la respuesta en amplitud \rho_{m,n};

-

desmodulación de la citada señal r(t), que comprende las etapas siguientes:

-

multiplicación de la citada señal r(t) por la función prototipo x(t);

-

solapamiento de la forma de onda filtrada módulo 2\tau_{0};

-

aplicación de una transformada de Fourier (FFT);

-

selección de las muestras para las cuales m+n es par;

-

corrección de la fase \theta_{m,n} inducida por el canal de transmisión;

-

corrección de la fase correspondiente al término e^{i\varphi m,n};

-

selección de la parte real del coeficiente obtenido \overline{a}_{m,n} correspondiente al coeficiente a_{m,n} emitido ponderado por la respuesta en amplitud \rho_{m,n} del canal de transmisión.

De modo preferente, este procedimiento de recepción comprende una etapa de desentrelazamiento en frecuencia y/o en tiempo de los citados coeficientes numéricos reales \overline{a}_{m,n} y, eventualmente, de los valores correspondientes \rho_{m,n} de la respuesta de la amplitud del canal, siendo el citado entrelazamiento inverso de un entrelazamiento puesto en práctica en la emisión, y/o una etapa de descodificación en decisión ponderada adaptada a la codificación en el canal puesta en práctica en la emisión.

La invención se refiere, igualmente, a los receptores correspondientes.

Finalmente, la invención se refiere, también, a un procedimiento preferente de construcción de una función prototipo x(t) para una señal tal como la descrita anteriormente. Este procedimiento se presenta en los anexos adjuntos.

5. Descripción de modos realización particulares de la invención 5.1.Lista de las figuras

-

la figura 1 ilustra una red de densidad 1/2, correspondiente a la puesta en práctica en el caso de la invención;

-

las figuras 2A a 2E ilustran la modulación IOTA-\pi/4 de la invención, de acuerdo con los aspectos siguientes:

\bullet A: la función prototipo x(t);

\bullet B: la transformada de Fourier en lineal de la función prototipo;

\bullet C: el módulo de la función de ambigüedad en lineal (tal como la definida en el anexo 2);

\bullet D: la función de intersímbolo (tal como la definida en el anexo 2);

\bullet E: el decrecimiento de la señal, en escala logarítmica;

-

la figura 3 la función de ambigüedad de una función gausiana;

-

la figura 4 es un esquema sinóptico de un emisor (y del procedimiento de emisión correspondiente) utilizable de acuerdo con la invención;

-

la figura 5 es un esquema sinóptico de un receptor (y del procedimiento de recepción correspondiente) utilizable de acuerdo con la invención;

-

la figura 6 ilustra de modo más preciso el procedimiento de desmodulación puesto en práctica en el receptor de la figura 5.

5.2. Principios generales de la invención

La invención se basa en un tratamiento completamente nuevo de las señales multiportadoras del tipo OFDM/OQ
AM, construidas en redes tiempo-frecuencia no ortogonales de densidad 2. La invención propone, especialmente, la utilización de una red dispuesta al tresbolillo, tal como la ilustrada en la figura 1, en la cual sólo se utilizan los emplazamientos de la red (definidos por los índices m (dimensión frecuencial) y n (dimensión temporal)) tales que m+n sea par.

En otras palabras, la envolvente compleja de una señal de acuerdo con la invención, que utiliza esta repartición en el espacio tiempo-frecuencia, responde a la ecuación siguiente:

s(t) = \sum\limits_{m+n \ par} a_{m,n} \ x_{m,n}(t)

donde:

a_{m,n} es un coeficiente real representativo de la señal fuente, elegido en un alfabeto de modulación predeterminado;

t representa el tiempo;

x_{m,n}(t) es una función de base, trasladada en el espacio tiempo -frecuencia, de una misma función prototipo x(t) que toma valores reales o complejos, o sea:

x_{m,n}(t) = e^{i \varphi m,n} \ e^{i(2 \pi m v_{0}t + \varphi)} \ x(t-n\tau_{0})

\hskip0,5cm

con

\hskip0,3cm

v_{0} \tau _{0} = 1/4

\hskip4cm

con \phi_{m,n} = (m + n + mn + (n^{2}- m^{2})/2)\pi/2

donde \phi es un parámetro de fase arbitrario,

y donde las citadas funciones de base {x_{m,n}} son ortogonales entre sí, siendo la parte real del producto escalar de dos funciones de base diferentes nula.

La invención concierne, igualmente, a modulaciones bien adaptadas a tales redes y, especialmente, a la modulación IOTA -\pi/4.

5.3. La modulación IOTA-\pi/4

La modulación OFDM/IOTA resulta de un procedimiento totalmente original en el ámbito del tratamiento de señal, que se denominará transformada IOTA (de "Isotropic Orthogonal Transform Algotithm"), y descrito en el anexo 3 y en la solicitud de patente FR-95 05455 ya mencionada.

La modulación IOTA-\pi/4 puede obtenerse por rotación de -\pi/4 de la modulación OFDM/IOTA, tal como se describe en el anexo 3.

5.3.1. Ecuación de la señal

La ecuación de la señal, y el modo en que ésta se obtiene, se tratan en los anexos 3 y 4.

5.3.2. Comentarios a las figuras y ventajas asociadas al decrecimiento rápido

A fin de poner mejor en evidencia, de modo visual, las ventajas de la invención, se presenta la modulación IOTA-\pi/4 (véanse las figuras 2A a 2E):

\bullet

A: la función prototipo x(t);

\bullet

B: la transformada de Fourier en lineal de la función prototipo;

\bullet

C: el módulo de la función de ambigüedad en lineal (tal como la definida en el anexo 2);

\bullet

D: la función de intersímbolo (tal como la definida en el anexo 2).

La figura 2C permite juzgar el confinamiento en el plano tiempo-frecuencia de la función prototipo. La figura 2D de la función de intersímbolo permite apreciar la sensibilidad de una modulación al retardo y al efecto Doppler. Los errores de fase no son considerados, puesto que todas las modulaciones son equivalentes en este plano.

Estas figuras podrán compararse con las presentadas y comentadas en las solicitudes de patente ya citadas, para las otras modulaciones tratadas en la presente solicitud de patente.

La modulación OFDM/IOTA-\pi/4. Ésta presenta, por tanto, un decrecimiento rápido (en el sentido matemático del término) en tiempo y en frecuencia, lo que permite considerar la ecualización en las mejores condiciones posibles. Ésta, por otra parte, presenta una simetría perfecta con respecto a estos dos ejes. Su función de intersímbolo es casi ideal. De manera general, su comportamiento se aproxima al de la gausiana. El parámetro \xi vale 0,9769.

La función de ambigüedad de la función \Im (véase la figura 2C) puede compararse a la de una gausiana, tal como la ilustrada en la figura 3. La forma general de estas dos funciones es muy similar a nivel del vértice. Éstas, por el contrario, difieren en la base.

La figura 2E muestra a escala logarítmica el decrecimiento en tiempo de la señal IOTA-\pi/4. Se observa que la amplitud de la señal decrece linealmente a escala logarítmica (en tiempo y en frecuencia, naturalmente, puesto que los dos aspectos son idénticos), o sea de modo exponencial a escala lineal. Esta propiedad, por tanto, permite, en una realización práctica, truncar la forma de onda y limitar, así, la complejidad del receptor.

Se observará, también, que el decrecimiento de esta modulación es muy rápido (lineal en escala logarítmica) con un coeficiente superior a \sqrt{2} en la modulación OFDM/IOTA.

5.4. Principio de un emisor

La figura 4 presenta un esquema sinóptico simplificado de un emisor de una señal de acuerdo con la invención. El procedimiento de emisión se deduce de ella directamente.

Se considera una fuente binaria de alto caudal (típicamente algunos Megabits o decenas de Megabits). Por fuente binaria, se entiende una serie de elementos de datos correspondientes a una o varias señales 91 fuente de cualquier tipo (sonidos, imágenes, datos) digitales o analógicas muestreadas. Estos datos binarios son sometidos a una codificación en el canal 92 binario a binario adaptada a canales atenuantes. Podrá utilizarse, por ejemplo, un código de entramado (Trellis Coded Modulation), concatenado, eventualmente, con un código Reed-Solomon. De modo más preciso, si se desea una eficacia espectral de 4 bits/Hertzio, puede utilizarse un código de rendimiento 2/3 asociado a una modulación 8AM, que toma 8 niveles de amplitud.

A continuación, de acuerdo con el principio expuesto en la patente FR-88 15216, estos datos codificados se reparten (93) en el espacio tiempo-frecuencia de modo que aporten la diversidad necesaria, y descorrelacionen la atenuación (fading) de Rayleigh que afecta a los símbolo emitidos.

De modo más general, se efectúa una primera codificación binario a binario, un entrelazamiento en tiempo y en frecuencia y una codificación binaria de coeficientes, denominada comúnmente "mapping". Está claro que el entrelazamiento puede efectuarse indiferentemente antes o después del mapping, de acuerdo con las necesidades y los códigos utilizados.

Al final de esta operación de codificación, se dispone de los símbolos reales que hay que emitir a_{m,n}. El principio de realización del modulador 94 OFDM/IOTA-\pi/4 es análogo al de un emisor OFDM/OQAM. Para una descripción detallada del sistema de modulación, véase [15]. Para construir la señal que hay que emitir, se reagrupan los símbolos del mismo rango n, y se calcula:

(30)s(t) = \sum\limits_{m+n \ par} a_{m,n} \ x_{m,n} (t) = \sum\limits_{n}\sum\limits_{m}a_{m,n} \ e^{i \varphi m,n} \ e^{i(2\pi m v_{0} t + \varphi)} x(t-n\tau_{0})

Esta operación puede realizarse, ventajosamente, en forma numérica por una transformada rápida de Fourier (FFT) que lleva todos los símbolos de igual rango n (es posible reducir a la mitad el número de puntos de la FFT, debido a la decimación efectuada en la red de la invención), seguido de una multiplicación de la forma de onda resultante por la función prototipo IOTA-\pi/4 y, finalmente, una adición de los símbolos de rango diferentes (suma según el índice n).

La señal compleja así generada es convertida, entonces, en forma analógica 98, y después transpuesta a la frecuencia final por un modulador 99 de dos vías en cuadratura (modulador I&Q) y, finalmente, amplificada 910 antes de ser emitida 911.

5.5. Principio de un receptor

La figura 5 ilustra de modo esquemático un receptor de una señal de acuerdo con la invención (así como el procedimiento de recepción correspondiente).

El receptor OFDM/IOTA-\pi/4 es sensiblemente análogo al adaptado a la modulación OFDM/OQAM. Las etapas de entrada son convencionales. La señal es preamplificada 101, y convertida después en frecuencia intermedia 102 a fin de realizar el filtrado en canal 103. La señal de frecuencia intermedia es convertida después en banda de base en dos vías en cuadratura 105. Además, se realizan las funciones de corrección automática de ganancia (CAG) 104, que controla la preamplificación 101.

Otra solución consiste en trasponer la señal de frecuencia intermedia en una frecuencia portadora baja, a fin de muestrear la señal en una sola vía, obteniéndose, entonces, la representación compleja por filtrado numérico. Alternativamente, la señal RF puede ser transpuesta directamente en banda de base (conversión directa), realizándose, entonces, el filtrado en canal en cada una de las dos vías I&Q. En todos los casos, puede llegarse a una representación discreta de la señal analítica correspondiente a la señal recibida.

A fin de detallar el tratamiento numérico en banda de base, se considerará una modulación de tipo multiportadora caracterizada por la ecuación de la envolvente compleja de la señal emitida:

(31)s(t) = \sum\limits_{m+n} a_{m,n} \ x_{m,n} (t)

Sea un canal de transmisión caracterizado por su función de transferencia variable T(f,t) (véase el anexo 2). La envolvente compleja de la señal recibida r(t) se escribe:

(32)r(t) = \int S(f)T(f, t) e^{2i\pi ft} df

El desmodulador estima (106) la función de transferencia T(f, t) por medios clásicos, que pueden utilizar, por ejemplo, una red de referencia de portadoras explícitas de acuerdo con la patente FR-90 01491. Para desmodular la señal propiamente dicha (107), se asimila el canal localmente a un canal multiplicativo caracterizado por una amplitud y una fase correspondiente al valor de T (f, t) para el instante y la frecuencia considerados. Para estimar a_{m,n}(t), la señal recibida se asimila, por tanto, a la señal:

(33)\tilde{r}(t) = \int S (f) T (m v_{0} n \tau _{0}) e2^{i \pi ft} df = T(m v_{0},n \tau_{0}) s (t)

Sea:

(34)T(mv_{0},n\tau_{0}) = \rho ^{i \theta_{m,n}}

El desmodulador efectúa, por tanto, el tratamiento siguiente:

(35)\tilde{a}_{m,n} = \Re e \int r (t) e^{-i\theta _{m,n}} x^{*}_{m,n} (t) dt

En el caso de un canal estacionario de función de transferencia \rhoe^{i\theta}, se tiene, evidentemente:

(36)\tilde{a}_{m,n} = \rho a_{m,n}

En la práctica, el tratamiento 107 se efectúa en forma numérica, de acuerdo con el procedimiento ilustrado en la figura 6. El receptor funciona de modo análogo a un receptor OFDM/OQAM [13-16]. Éste efectúa los tratamientos siguientes:

-

multiplicación 111 de la citada señal recibida r(t) por la función prototipo x(t) 112;

-

"solapamiento" 113 de la forma de onda filtrada módulo 2\tau_{0};

-

aplicación 114 de una transformada de Fourier (FFT);

-

selección de las muestras para las cuales m+n es par (efectuada, eventualmente, durante la aplicación de la FFT);

-

corrección 115 de la fase \theta_{m,n} en función de la estimación del canal 116 que comprende, por ejemplo, una estimación \rho_{m,n} de la respuesta de la amplitud y una estimación \theta_{m,n} de la respuesta de la fase del canal de transmisión;

-

corrección 117 de la fase e^{i \varphi m,n};

-

selección 118 de la parte real, ponderada por la respuesta de la amplitud \rho_{m,n}

Este algoritmo permite, por tanto, calcular globalmente todos los coeficientes de un índice n dado. El orden de magnitud de la complejidad correspondiente es, aproximadamente, el doble del correspondiente al algoritmo utilizado para la OFDM/QAM.

Los coeficientes así obtenidos son desentrelazados después 108, simétricamente con el entrelazamiento puesto en práctica en la emisión, y descodificados después 109, ventajosamente, de acuerdo con una técnica de descodificación de decisión blanda, poniendo en práctica, por ejemplo, un algoritmo del tipo del algoritmo de Viterbi. Si la descodificación del canal tiene en cuenta la estimación de la respuesta de la amplitud del canal \rho_{m,n} los valores correspondientes son, igualmente, desentrelazados 110. Por otra parte, el desentrelazamiento se efectúa, naturalmente, antes o después del mapping, según el momento en que el entrelazamiento ha sido puesto en práctica en la emisión.

El anexo 4 describe de modo más detallado las operaciones efectuadas.

Anexo 1

Referencias

[1] M.L. Doeltz, E.T. Heald and D.L. Martin, "Binary data transmission techniques for linear systems" Proceedings of the IRE, págs. 656-661, May 1957.

[2] R.R Mosier, "A data transmission system using pulse phase moluation" IRE Conv. Rec. Ist Nat=1 Conv Military Electronics (Washington, D.C., June 17-19, 1957) págs. 233-238.

[3] G.A. Franco and G. Lachs "An orthogonal coding technique for communications" 1961 IRE Internat=1 Conv. Rec., vol. 9, págs. 126-133.

[4] H.F. Harmuth, "On the transmission of information by orthogonal time functions" AIEE Trans. (Communications and Electronics) vol. 79, págs. 248-255, July 1960.

[5] S.B. Weinstein and Paul M. Ebert, "Data transmission by frequency -division multiplexing using the discrete Fourier transform" IEEE Trans. Commun., vol. COM-19, págs 628-634, Oct. 1971.

[6] L.J. Cimini, "Analysis and simulation of a digital mobile channel using orthogonal frequency division multiplexing" IEEE. Trans. Commun., vol. COM-33, págs. 665-675, July 1985.

[7] E.F. Casas and C. Leung, "OFDM for data communication over mobile radio FM channels B Part I: Analysis and experimental results" IEEE Trans. Commun. vol. 39, págs. 783-793, May 1991.

[8] E.F. Casas and C. Leung "OFDM for data communication over mobile radio FM channels B Part II: Performance improvement." IEEE. Trans. Commun. vol. 40, págs 680-683, April 1992.

[9] J. Daubechies, "The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis." IEEE Trans. Inform. Theory. vol. IT-36, págs. 961-1005, Sept 1990.

[10] H.E. Jensen, T. Hoholdt and J. Justesen. "Double series representation of bounded signals." IEEE. Trans. Inform. Theory. vol. IT-34, págs. 613-624, July 1988.

[11] R.W. Chang, "Synthesis of band-limited orthogonal signals for multi-channel data transmission." Bell Syst. tech. J. vol. 45, págs. 1775- 1796, Dec, 1966.

[12] B.R. Saltzberg, "Performance of an efficient parallel data transmission. System" IEEE Trans. Commun. Technol., vol. COM-15, págs. 805-811, Dec, 1967.

[13] R.W. Chang, "A theoretical study of performance of an orthogonal multiplexing data transmission scheme." IEEE Trans. Commun. Techonol., vol. COM-16, págs. 529-540, Aug, 1968.

[14] B. Hirosaki, "An analysis of automatic equalizers for orthogonally multiplexed QAM systems." IEEE Trans. Commun., vol. COM-28, págs. 73-83, Jan. 1980.

[15] B. Hirosaki, "An orthogonally multiplexed QAM systems using the discrete Fourier transform." IEEE Trans. Commun., vol. COM-29, págs. 982-989, July. 1981.

[16] B. Hirosaki, "A maximum likehood receiver for an orthogonally multiplexed QAM system." IEEE Journal on Selected Areas in Commun., vol. SAC-22, págs. 757-764, Sept. 1984.

[17] B. Hirosaki, S. Hasegawa, and A. Sabato, "Advanced goup-band modem using orthogonally multiplexed QAM technique." IEEE Trans. Commun., vol. COM-34, págs. 587-592, June. 1986.

[18] John A.C. Bingham, "Multicarrier modulation for data transmission: An idea whose time has come." IEEE Communications Magazine., págs. 5-14, May. 1990.

[19] P:M: WOODWARD, "Probability and information theory with application to Radar." Pergamon Press, London 1953.

[20] F. Amoroso and J.A. Kivett, "Simplified MSK signalling technique." IEEE Trans. Commun., vol. COM-25, págs. 443-441, April 1977.

[21] P.A. Bello, "Characterization of randomly time-variant linear channels." IEEE Trans. Commun Systems, págs. 360-393, Dec. 1964.

\newpage

[22] P.M. WOODWARD, "Probability and information theory with application to Radar." Pergamon Press, London 1953.

[23] M. ALARD et R. LASSALLE "Principes de modulation et de codage canal en radiodiffusion numérique vers les mobiles." Revue de 1=U:E:R. N1 224, août 1987, págs 168-190

Anexo 2

1. Modelización del canal 1.1. Modelo general

Un canal dispersivo puede considerarse como un sistema lineal que tiene una respuesta en régimen de impulsos variable en el tiempo. Existen dos modos de definir esta respuesta en régimen de impulsos. Inspirándose ampliamente en los convenios propuestos en [21]:

\bullet la respuesta en régimen de impulsos a la entrada (Input Delay Spread Function) g(t, \tau) definida por

r(t) = \int s (t-\tau) g (t,\tau) d \tau

donde s(t) y r(t) representan, respectivamente, las señales emitidas y recibidas,

\bullet la respuesta en régimen de impulsos a la salida (Output Delay Spread Function) h(t, \tau) definida por

r(t) = \int s (t-\tau) h (t-\tau,\tau) d \tau

Se tiene, evidentemente h(t,\tau) = g(t+\tau,\tau), h(t,\tau) representa la respuesta en régimen de impulsos del canal en el instante t. Provistos de estos convenios, pueden definirse las funciones características siguientes:

\bullet la función de ensanchamiento retardo-Doppler U(\tau,v) (Delay -Doppler Spread Function) caracterizada por:

g(t,\tau) = \int U(\tau, v) e^{i 2\pi vt}dv

con r(t) = \int\intU(\tau,v)s(t-\tau)e^{i 2\pi v(t-\tau)}d vd\tau

\bullet la función de ensanchamiento Doppler-retardo V(v,\tau) (Doppler-Delay Spread Function) caracterizada por

h(t,\tau) = \int V(\tau, v) e^{-i 2\pi vt}dv

con r(t) = \int\intV(v,\tau) s (t-\tau)e^{i 2\pi v(t-\tau)}d vd\tau

Se tiene simplemente:

V(v, \tau) = e^{i 2\pi\tau}U(\tau,v)

\bullet la función de transferencia variable (Time-Variant Transfert Function) T(f, t) caracterizada por:

T(f,t) = \int g(t,\tau) e^{-i 2\pi f \tau} d \tau

con r(t) = \int S (f) T (f,t) e^{i 2\pi ft} df

Se llega, por tanto, a la misma ecuación que en el caso de un canal estacionario, siendo la diferencia simplemente que la función de transferencia se hace variable en el tiempo. Esta función de transferencia T(f,t) es la transformada de Fourier bidimensional de U(\tau, v), o sea:

T(f,t) = \int\int U(\tau ,v)e^{-12\pi\tau f}e^{i 2\pi v\tau} \ d \ \tau d \ v

En todos los casos, se considerará que U(\tau,v) es de soporte limitado, lo que permite representar la función de transferencia T(f,t) por una red de valores discretos en virtud del teorema de muestreo.

1.2 El modelo retardo-Doppler estático

El modelo retardo-Doppler está definido por la ecuación:

r(t) = \int\int U(\tau ,v)s(t-\tau)e^{i 2\pi v\tau}d \ \tau d \ v

Esta ecuación hace aparecer el canal como una suma de canales elementales caracterizados por una amplitud, una fase, un desplazamiento temporal y un desplazamiento frecuencial. Es legítimo, también, interesarse en el comportamiento de las diferentes modulaciones en presencia de este tipo de canal, que se denominarán retardo-Doppler estático.

La ecuación del canal se escribe, entonces, en la forma simplificada siguiente:

r(t) = Ae^{i \theta} s (t-\tau) e^{i 2\pi v\tau}

2. Características de funcionamiento de la OFDM en los canales no estacionarios 2.1 Caso general

Considérese una modulación multiportadora OFDM de tipo cualquiera (OFDM/QAM), OFDM/OQAM u OFDM/
IOTA), caracterizada por la ecuación genérica:

s(t) = \sum\limits_{k\epsilon E}a_{k} \ x_{k}(t)

Siendo a_{k} variables reales, E una red bidimensional de densidad 2 en el espacio tiempo-frecuencia, y siendo las funciones x_{k}(t) trasladadas en tiempo y en frecuencia de una misma función prototipo x(t), y que constituyen una base hilbertiana de L^{2}(R).

x_{k}(t) = e^{i \varphi k}x(t-\tau_{k})e^{2i\pi v_{k}t}, k\epsilon E

Se observará que no se ha hecho ninguna hipótesis sobre la estructura de la red E. En el caso particular de la OFDM/QAM, esta red se descompone en dos subredes co-localizadas con fases en cuadratura.

La operación de desmodulación se escribe:

\hat{a}_{n} = \Re e\left\lfloor e^{-i \phi}\int r(t)x^{*}_{n}(t)dt \right\rfloor

Siendo \phi una fase estimada por el desmodulador y r(t) la señal recibida. Puede escribirse, por tanto:

\vskip1.000000\baselineskip

8

\vskip1.000000\baselineskip

Ahora bien:

\vskip1.000000\baselineskip

9

De esto se deduce que:

10

El valor óptimo de \phi es el que hace máximo \hat{a}_{n} , o sea:

\phi = Arg \int \int e^{2i \pi v \tau} U (\tau, v) A_{x} (-\tau, -v) d \ \tau d \ v

Las ecuaciones anteriores, aunque generales, apenas son manipulables. Éstas, sin embargo, muestran que la señal útil y el intersímbolo aparecen como integraciones de la función de ambigüedad ponderada por la función de ensanchamiento retardo-Doppler.

2.2. Caso del canal estático

Considérese un canal de tipo retardo-Doppler estático, caracterizado por una fase \theta, un retardo \xi y un desplazamiento v (se normalizará a 1 la amplitud A), se efectúa la desmodulación de manera similar introduciendo en el estimador un parámetro de fase \phi. El resultado de esta operación se escribe:

150

La señal desmodulada se escribe, por tanto, finalmente:

11

El segundo término representa la interferencia entre símbolos (IES). Si se consideran los datos como variables aleatorias independientes de varianza \sigma^{2}, la varianza I del IES se escribe:

I = \sum\limits_{k \epsilon \ E , k\neq n}c_{k}^{2}\sigma^{2}

Ahora bien, los coeficientes c_{k} son los coeficientes de la descomposición de la función e^{i(\phi-\theta)}e^{-2i \pi v(t+\tau)}x_{n}(t+\tau), de norma unidad, en la base hilbertiana de las funciones x_{k}(t). Se tiene, por tanto:

\sum\limits_{k \epsilon \ E} c_{k}^{2} = 1

\hskip1cm

e

\hskip0,5cm

I = (1-c^{2}_{n})\sigma^{2}

En otras palabras, la varianza de la señal recibida es constante y se reparte entre la señal "útil" c_{n}a_{n} y el intersímbolo, de varianza I = (1 - c_{n}^{2})\sigma^{2}. El cálculo del coeficiente c_{n} da:

12

donde A_{x_{n}}(\tau,v) representa la función de ambigüedad de x_{n} (véase, igualmente, el anexo 3), o sea:

13

Finalmente, puede escribirse:

14

Considérese que la fase de desmodulación \phi se escribe en forma de \phi_{opt} + \Delta\phi, donde \phi_{opt} es la fase de desmodulación que hace mínimo IES, es decir, que hace máximo c_{n}, o sea

\phi_{opt} = \theta + \pi v\tau + 2\pi(\tau_{n}v-v_{n}\tau)

Entonces, la varianza del IES se escribe simplemente:

I = (1-(\Re e \left\lfloor A_{x}(\tau , v)e^{i\Delta \phi} \right\rfloor)^{2})\sigma^{2}

Cuando la función prototipo es par, (lo que corresponde al caso del método de construcción de bases hilbertianas descrito en el texto principal), la función de ambigüedad es real, y se tiene, por tanto:

I = (1-A^{2}_{x}(\tau , v)cos^{2}\Delta \phi))\sigma^{2}

Este resultado es realmente importante, puesto que demuestra que la sensibilidad al retardo y al efecto Doppler de cualquier modulación multiportadora depende solamente de la función de ambigüedad de su función prototipo. En lo sucesivo se denominará función de intersímbolo (expresión utilizada para designar la función de interferencia entre símbolos) normalizada la función Is(\tau,v) = \sqrt{1-A^{2}_{x}(\tau ,v)} en el caso general), que representa el valor cuadrático medio del intersímbolo normalizado por el valor cuadrático medio de los datos en el caso de una estimación de fase óptima.

3. Análisis comparativo de los diferentes tipos de OFDM 3.1. Límites teóricos

Se tratan ahora las propiedades de la función de intersímbolo normalizada. Se constata que la sensibilidad de una modulación multiportadora está ligada directamente al comportamiento de la función de ambigüedad de la función prototipo correspondiente en las proximidades de (0,0). El problema planteado es totalmente análogo a los problemas de incertidumbre encontrados en el ámbito radar, y podrá hacerse referencia a la literatura abundante sobre este asunto (véase, por ejemplo, [22]). Sin pérdida de generalidad, la función x(t) puede elegirse por una traslación temporal y frecuencial adecuada, de tal modo que sus momentos de orden uno sean nulos, o sea:

\int t|x(t)|^{2} dt = \int f|X(f)|^{2} df = 0

En estas condiciones, se verifica que las derivadas parciales del primer orden se anulan:

15

El comportamiento de la función de ambigüedad alrededor de (0, 0) puede caracterizarse a partir de las derivadas parciales de segundo orden:

16

Sea

17

Considérese el desarrollo de Tylor-Young de la función de ambigüedad en (0, 0):

A_{x}(d\tau , dv)= 1-2\pi^{2}(\Delta t^{2} \ dv^{2} + \Delta f^{2} \ d\tau^{2})+\mu d \ vd \ \tau + \sigma(dv^{2} + d\tau^{2})

De ésta se deduce el desarrollo de Tylor-Young de la varianza del intersímbolo I = (1-(\Ree[A_{x}(\tau,v])^{2}cos^{2}\Delta\phi)\sigma^{2}, o sea:

I(d\tau,dv,d\phi)= \sigma^{2}[4\pi^{2}(\Delta t^{2}d \ v^{2} + \Delta f^{2} \ d\tau^{2})-2\mu d \ vd\tau + d\phi^{2} + \sigma(dv^{2}+d\tau^{2}+d\phi^{2}]

De ésta se deduce que la función de intersímbolo Is admite en el origen un cono tangente de ecuación:

z = \sqrt{4\pi^{2}(\Delta \tau^{2}v^{2} + \Delta f^{2}\tau^{2})-2\mu v\tau}

La intersección de este cono con el plano z = 1 (intersímbolo máximo) delimita una superficie de contorno elíptico cuya área \xi puede considerarse como una medición de la sensibilidad al retardo y al efecto Doppler. Cuando \mu_{x} es nulo, esta elipse tiene como ejes de simetría los ejes temporal y frecuencial, y se extiende de \pm1/2\pi\Deltaf según el eje temporal y \pm1/2\pi\Deltat según el eje frecuencial. Se tiene, por tanto:

\xi = 1/4\pi\Delta t\Delta f

En virtud de la desigualad de Heisenberg, \xi no puede rebasar la unidad. Este resultado se generaliza al caso en que \mu_{x} es diferente de 0. Considérese la función y(t) obtenida multiplicando la función x(t) por una wobulación:

19

Puede escribirse, por tanto:

20

Por tanto, es posible anular \mu_{y} eligiendo \beta de modo apropiado. Ahora bien, la operación de multiplicación por una wobulación realiza un simple cambio de ejes de la función de ambigüedad asociada, con conservación de áreas. De esto se deduce que el parámetro \xi está, por tanto, comprendido siempre entre 0 y 1.

Este resultado es sumamente importante, puesto que permite comparar las características de todas los MCM en canales dispersivos a partir de un parámetro único. Se constata, por tanto, que estas características dependen solamente de la concentración de la función prototipo asociada. El óptimo se consigue virtualmente por la gausiana, pero este óptimo es inaccesible, puesto que las gausianas no permiten construir una base hilbertiana.

3.2. El caso particular de la OFDM con intervalo de guarda

Las modulaciones OFDM construidas a partir de una red de densidad 1 constituyen un caso degenerado: en razón del teorema de Balian-Low-Coifman -Semmes, el parámetro \xi es, entonces, nulo. Este resultado es, por otra parte, totalmente general, y se aplica cualquiera que sea la estructura de la red de los baricentros de las funciones de base. En efecto, a partir de las operaciones de wobulación temporal, de transformada de Fourier y de homotecia, puede llegarse siempre a una estructura ortogonal cualquiera, en la cual se aplica el teorema de Balian-Low-Coifman-Semmes. Ahora bien, estos tres operadores realizan solamente cambios de ejes de la función de ambigüedad, con conservación de las áreas. Se deduce de esto que el parámetro \xi es nulo en todas las modulaciones de este tipo.

La modulación OFDM/QAM no se escapa de esta regla. En este caso, el parámetro \Deltaf es infinito, lo que conduce a una gran sensibilidad a los desplazamientos temporales (la función de intersímbolo presenta una tangente vertical según el eje temporal). Sin embargo, la OFDM/QAM dispone de un "joker" que no dispone de ningún otro tipo de OFDM, y que reside en el hecho de que en el interior de un símbolo prolongado por un intervalo de guarda se encuentran una infinidad de versiones trasladadas del símbolo inicial. Este carácter único hace que la OFDM/QAM sea realmente un punto singular en el conjunto de las MCM complejas.

El intervalo de guarda crea una zona de no intersímbolo que permite artificialmente transformar el cono tangente a la función de intersímbolo (en este caso, totalmente aplanado en el sentido temporal), en un prisma cuya intersección con el plano z = 1 es un rectángulo no degenerado, es decir, cuya área es no nula. Para comprender mejor el efecto del intervalo de guarda podrá hacerse referencia a la figura 3. Naturalmente, la utilización de un intervalo de guarda hace salirse del marco de las demostraciones precedentes, y que la limitación a la unidad de esta área no se aplique. Por el contrario, la OFDM con intervalo de guarda puede compararse a una modulación MCM óptima virtual (con \xi = 1), y preguntarse qué intervalo de guarda permite encontrar un \xi aparente idéntico. Considérese una modulación OFDM construida a partir de la función prototipo x(t):

21

Se verifica inmediatamente que \Deltat^{2}= \tau_{0}^{2}/12. Por consiguiente, la intersección del prisma tangente a la función de intersímbolo con el plano z = 1 está limitada en el sentido frecuencial a \pm \sqrt{3} / \pi\tau_{0}. Admítase que se desea limitar a - 10 dB el nivel de intersímbolo. Para una modulación óptima, con \xi = 1, el área de la zona de intersímbolo inferior a - 10 dB es del orden de 0,1. Para obtener un resultado equivalente con una modulación OFDM con intervalo de guarda, es necesario que el intervalo de guarda \Delta\tau sea tal que \Delta\taux(\sqrt{3} / \pi\tau_{0}) / \sqrt{10} \approx 0,1, o sea \Delta\tau \approx 0,287 \tau_{0}. Este valor es realmente considerable e ilustra bien el precio que hay que pagar para hacer funcionar un sistema OFDM en condiciones desfavorables de retardo y de Doppler.

Anexo 3

1. Introducción

Este anexo da el conjunto de las demostraciones que certifican la existencia de transformadas tiempo-frecuencia simétricas con respecto a ejes temporal y frecuencial. En este sentido, estas transformadas presentan una gran analogía con la transformada de Gabor, que está caracterizada por una perfecta isotropía en todas las direcciones del plano tiempo-frecuencia. Aunque la isotropía de éstas nuevas transformadas sea solamente aproximada, se convendrá en denominarlas isótropas. La diferencia esencial con respecto a la transformada de Gabor es que estas transformadas son estrictamente ortogonales, lo que permite considerar su aplicación al ámbito de las transmisiones digitales. En efecto, la ortogonalidad de la transformada garantiza la conservación de las métricas euclídeas, lo que constituye una propiedad esencial en un canal que comprende ruido aditivo gausiano.

Los sistemas de modulación resultante de este procedimiento que utiliza algoritmos de transformada ortogonal isótropa (Isotropic Orthogonal Transform Algorithms), se denominan sistemas de modulación "IOTA".

2. Función de ambigüedad

Los estudios sobre la función de ambigüedad han estado ampliamente motivados en el pasado por los desarrollos de las técnicas de Radar. Este capítulo recuerda las principales propiedades de esta función, y describe diferentes operadores que actúan sobre esta función.

2.1. Recordatorio sobre la función de ambigüedad 2.1.1 Definiciones

Sea una función x(t) y su transformada de Fourier X(f). A éstas pueden asociarse sus productos temporal y frecuencial definidos, respectivamente, por:

22

La transformada de Wigner-Ville y la función de ambigüedad de x vienen dadas, entonces, por:

23

2.1.2. Propiedades de simetría de la función de ambigüedad

Sea una función x(t). Se representará, respectivamente, por x^{-} y \tilde{x} las funciones definidas de la manera siguiente:

24

Se tienen, entonces, la relaciones:

25

o sea, haciendo u = -t:

26

Se concluye, en particular, que si una función x es par, es decir, que x = x^{-}, su función de ambigüedad es real. Por otra parte, se observará la relación siguiente:

27

Combinando estas dos relaciones, se obtiene:

A_{x}(\tau,v)= A_{x}(\tau,-v)

2.1.3. Función de ambigüedad y transformada de Fourier

La definición de la función de ambigüedad puede rescribirse del modo siguiente:

28

o, también, A_{x}(\tau,v) = A_{x}(-v,\tau)

2.1.4. Función de ambigüedad y traslación tiempo frecuencia

Considérese una función trasladada de una función prototipo x(t) cualquiera, o sea:

x_{k} = e^{i \varphi_{k}} \ e^{2i \pi v_{k}t} \ x(t-\tau_{k})

La función de ambigüedad asociada se escribe:

29

O sea, haciendo u = t - \tau_{k}:

30

2.2 Ortogonalidad y función de ambigüedad 2.2.1. Caso general

Considérense dos funciones trasladadas de una misma función x(t), o sea:

31

El producto escalar de estas dos funciones se escribe:

32

o sea, haciendo u = t - (\tau_{k} + \tau_{k'})/2:

33

3. Bases hilbertianas en redes ortogonales 3.1. Principios generales de construcción

Considérese un conjunto de funciones {x_{m,n}} definido por:

x_{m,n}(t) = e^{i(m+n)\pi/2} \ e^{2i\pi mv_{0}t} \ x(t-n\tau_{0})

\hskip0,5cm

con v_{0}\tau_{0} = 1/2

Se buscan las condiciones en x(t) para que este conjunto {x_{m,n}} constituya una base hilbertiana de H_{R}. Se impondrá que x(t) sea una función par, cuya función de ambigüedad A_{x} sea, por tanto, real.

El producto escalar en R de x_{m,n} y de x_{m',n'} puede escribirse:

34

Se observará la relación de congruencia módulo 2:

(m - m') + (n - n') + (m - m')(n + n') \cong 1 - (m - m' + 1)(n - n' + 1)

Por consiguiente, si (m,n) \neq (m', n') módulo 2, el producto escalar es nulo. La red {x_{m,n}} puede, por tanto, descomponerse en cuatro subredes caracterizadas por: {m par, n par}, {m par, n impar}, {m impar, n par}, {m impar, n impar}. La ortogonalidad entre funciones que pertenecen a subredes diferentes es, por tanto, automática, y no depende de las propiedades de la función prototipo, desde el momento en que ésta sea par.

Falta después garantizar que las funciones de una misma subred sean ortogonales entre sí. Para esto basta que la función de ambigüedad A_{x} verifique:

A_{x}(2n\tau_{0}, 2mv_{0}) = 0

\hskip0,5cm

\forall (m,n) \neq (0,0)

Se constata, por tanto, que el problema de la construcción de bases hilbertianas de H_{R} en una red ortogonal de densidad 2 lleva al de la construcción de una función prototipo par cuya función de ambigüedad se anule en una red de densidad 1/2.

3.2. Métodos de ortogonalización 3.2.1. Ortogonalización temporal Definición

Sea una función x(t) de transformada de Fourier X(f). Se denomina O_{t} el operador de ortogonalización temporal que asocia a x(t) una función y(t) definida por su transformada de Fourier Y(f):

35

Por construcción, se tiene:

36

o sea, por transformada de Fourier inversa:

\left[\sum\limits_{n}\delta(\tau-2n\tau_{0})\right] A_{y}(\tau,0) = \delta(r)

o sea, también

A_{y}(2\pi\tau_{0},0) = 0

\hskip1cm

\forall n \neq 0

\hskip0,3cm

y

\hskip0,3cm

Ay(0, 0) = 1

Por tanto, se realiza bien la ortogonalidad en el eje temporal.

Sea x una función gausiana e y = O_{t}x. Considérese la expresión:

37

Puesto que X es una gausiana, puede escribirse:

X(f + mv_{0}) X'(f - mv_{0}) = c_{m}||X(f)||^{2}

donde c_{m} es una constante. De esto se deduce que:

\Gamma_{y}(f,2mv_{0}) = c_{m}\Gamma_{y}(f,0)

Por transformada de Fourier inversa, se obtiene:

A_{y}(\tau,2mv_{0}) = c_{m}A_{y}(\tau,0)

Por consiguiente:

\forall m, \forall n \neq 0

\hskip0,5cm

A_{y}(2n\tau_{0}, 2mv_{0})=0

El operador de ortogonalización temporal O_{t} ortogonaliza, por tanto, el conjunto de la red, con excepción del eje de las frecuencias.

Teorema 1

Sea x una función gausiana e y = O_{t}x, entonces:

\forall m, \forall n \neq 0

\hskip0,5cm

A_{y}(2n\tau_{0}, 2mv_{0}) = 0 3.2.2.Ortogonalización frecuencial Definición

Sea una función x(t). Se denomina O_{f} el operador de ortogonalización frecuencial que asocia a x(t) una función y(t) definida por:

38

Por construcción, se tiene:

39

sea, por transformada de Fourier:

40

o sea también

A_{y}(0, 2mv_{0}) = 0

\hskip1cm

\forall m \neq 0

\hskip0,3cm

y

\hskip0,3cm

A_{y}(0,0) =

Por tanto, se realiza bien la ortogonalidad en el eje frecuencial.

Sea x una función gausiana y z = O_{f}y, con y = O_{t}x. Considérese la expresión:

41

Puede escribirse, por tanto:

\gamma_{z}(t,2n\tau_{0}) = \gamma_{y}(t,2n\tau_{0})P(t)

donde P(t) es una función periódica de período \tau_{0} que admite un desarrollo en serie de Fourier del tipo \suma_{k}e^{4i \pi kv_{0}t}

Por transformada de Fourier, se obtiene:

A_{x}(2n\tau_{0},v) = \sum\limits_{k}a_{k}A_{y}(2n\tau_{0},v-2kv_{0})

Ahora bien

42

Además, por construcción,

\forall m\neq 0,

\hskip0,5cm

A_{z}(0, 2mv_{0}) = 0

Se tiene, por tanto, finalmente:

\forall (m, n) \neq (0,0),

\hskip0,5cm

A_{z}(2n\tau_{0}, 2mv_{0}) = 0

Así, la función de ambigüedad de z se anula fuera de (0,0) para todos los múltiplos de 2\tau_{0} y de 2v_{0}, o sea una red de densidad 1/2.

Teorema 2

Sea x una función gausiana y z = O_{f}O_{t}x, entonces:

\forall(m,n) \neq (0,0),

\hskip0,5cm

A_{z}(2n\tau_{0}, 2mv_{0})=0 3.3. El operador de ortogonalización O

A la vista de lo que precede, se ve claramente que existe una escala tiempo-frecuencia que simetriza la escritura de las ecuaciones: Basta para esto elegir \tau_{0} = v_{0} = 1/\sqrt{2}. Se renormalizarán, por tanto, las escalas en consecuencia, sin que esto perjudique a la generalidad de las demostraciones.

3.3.1. Definición

Se denomina O el operador de ortogonalización que asocia a una función x la función y definida por:

43

Además, en lo sucesivo se denominará F el operador de transformada de Fourier.

3.3.2. Idempotencia del operador O

Sea z = Oy e y = Ox. Puede escribirse:

44

Se tiene, por tanto, OOx = Ox, lo que demuestra la idempotencia del operador O.

Del mismo modo, el operador dual F^{-1}OF es, igualmente, idempotente, puesto que F^{-1}OFF^{-1}OF = F^{-1}OOF = F^{-1}OF.

3.3.3. Lema 1

Sea P una función periódica de período 1/\sqrt{2} y D una distribución de la forma:

D(u) = \sum\limits_{k} a_{k}\delta(u-k\sqrt{2})

Sea x una función cualquiera:

[D *(Px)](u) = \sum\limits_{k} a_{k}P(u-k\sqrt{2})x(u-k\sqrt{2})=

P(u)\sum\limits_{k} a_{k}x(u-k\sqrt{2}) = [P(D * x)](u)

Lema 1

Sea P una función periódica de período 1/\sqrt{2} y D una distribución de la forma D(u) = \sum\limits_{k} a_{k}\delta(u-k\sqrt{2}). Sea x una función cualquiera. Se tiene:

D * (Px) = P(D*x)

3.3.4. Lema 2

Sea la función y_{\alpha} definida por y_{\alpha} = D * x_{\alpha}, con x_{\alpha} = (2\alpha)^{1/4} e^{-\pi \alpha u^{2}}, siendo D una distribución de la forma D(u) =
\sum\limits_{k} a_{k}\delta(u-k\sqrt{2})

Puede escribirse, por tanto: y_{\alpha} (u) = \sum\limits_{k}a_{k}x_{\alpha}(u-k\sqrt{2})

Sea z_{\alpha} = Oy_{\alpha} Se tiene:

45

La suma debajo de la raíz puede escribirse:

46

Sea, también, por aplicación del resultado dado en anexo:

47

Después, reorganizando los índices y redefiniendo k como k + k'+ k'':

48

Puede escribirse, por tanto:

49

con:

50

Sea C_{0} = \frac{1}{\sqrt{c}}. Se tiene:

z_{\alpha} = c_{0}P_{\alpha}y_{\alpha} = c_{0}P_{\alpha}(D * x), o sea, por aplicación del lema 1:

z_{\alpha} = c_{0}D * (P_{\alpha}x_{\alpha})

Finalmente, puede escribirse:

O[D \text{*} x_{\alpha}] = c_{0}D \text{*} Ox_{\alpha}

\newpage

Lema 2

Sea x una gausiana y D una distribución de la forma D(u) = \sum\limits_{k}a_{k}\delta(u-k\sqrt{2}), entonces:

O[D * x]= c_{0}D * Ox, donde c_{0} es una constante positiva.

3.3.5. Conmutatividad de los operadores O y F^{-1}OF

Se va a demostrar ahora que los operadores O y F^{-1}OF conmutan cuando estos son aplicados a una gausiana.

Sea x_{\alpha} = (2\alpha)^{1/4}e^{-\pi \alpha u^{2}}

Entonces Fx_{\alpha} = x_{1/\alpha}

y Ox_{\alpha} = P_{\alpha}x_{\alpha}

Habida cuenta del carácter periódico de P_{\alpha}, su transformada de Fourier D_{\alpha} puede escribirse:

D(u) = \sum\limits_{k}a_{\alpha , k}\delta(u-k\sqrt{2})

Considérese la función z_{\alpha}, resultado de la ortogonalización de y_{\alpha} por O, siendo y_{\alpha} el resultado de la ortogonalización de x_{\alpha} por F^{-1}OF. Se tiene, por tanto:

z_{\alpha} = OF^{-1}OFx_{\alpha}

Por otra parte, se observará que:

\bullet

para cualquier función par x, F^{-1}x = Fx

\bullet

si c es una constante positiva, O[cx] = Ox

\bullet

para cualquier función real par x(u), Ox, Fx y F^{-1} son funciones reales pares.

Habida cuenta de estas observaciones, puede escribirse:

OF^{-1}OFx_{\alpha} = OF^{-1}Ox_{1/\alpha} = OF^{-1} [P_{1/\alpha}x_{1/ \alpha}] = O[D_{1/\alpha} \text{*} x_{\alpha}]

Por aplicación del lema 2:

O[D_{1/\alpha} \text{*} x_{\alpha}] = c_{1}D_{1/\alpha} \text{*} Ox_{\alpha}= c_{1}D_{1/ \alpha} \text{*} (P_{\alpha}x_{\alpha})

siendo c_{1} una constante positiva. Se deduce que:

OF^{-1}OFx_{\alpha}= c_{1}D_{1/\alpha} \text{*} (P_{\alpha}x_{\alpha})

Del mismo modo, puede escribirse:

F^{-1}OFOx_{\alpha}= F^{-1}OF[P_{\alpha}x_{\alpha}] = F^{-1}O[D_{\alpha} \text{*} x_{1/\alpha}]

Por aplicación del lema 2:

O[D_{\alpha} \text{*} x_{1/\alpha}] = c_{2}D_{\alpha} \text{*} Ox_{1/ \alpha} = c_{2}D_{\alpha} \text{*} (P_{1/\alpha}x_{1/\alpha})

Siendo c_{2} una constante positiva. Se deduce que:

F^{-1}OFOx_{\alpha} = c_{2}F^{-1}[D_{\alpha} \text{*} (P_{1/\alpha}x_{1/\alpha})] = c_{2}P_{\alpha}(D_{1/\alpha} \text{*} x_{\alpha})

Ahora bien, por aplicación del lema 1:

D_{1/\alpha} \text{*} (P_{\alpha}x_{\alpha}) = P_{\alpha}(D_{1/\alpha} \text{*} x_{\alpha})

Se tiene, por tanto:

c_{2}OF^{-1}OFx_{\alpha} = c_{1}F^{-1}OFOx_{\alpha}

Ahora bien, OF^{-1}OFx_{\alpha} y F^{-1}OFOx_{\alpha} son las dos de norma unidad y, por tanto, son iguales.

Teorema 3

Para cualquier función gausiana x, los operadores O y F^{-1}OF conmutan, o sea:

OF^{-1}OFx = F^{-1}OFOx

Corolario 1

Sea z_{\alpha} = OF^{-1}OFx_{\alpha}, con x_{\alpha} = (2\alpha)^{1/4} e^{-\pi \alpha u^{2}}, entonces Fz_{\alpha} = z_{1/ \alpha}

Demostración:

Fz_{\alpha} = FF^{-1}OFOx_{\alpha} = OF^{-1}Ox_{\alpha} = OF^{-1}OFx_{1/\alpha} = z_{1/\alpha}

Caso particular importante

Fz_{1} = z_{1}

Esta función particular confiere una perfecta simetría a los ejes tiempo y frecuencia, y constituye, por tanto, la función prototipo de la transformada IOTA (Isotropic Orthogonal Transform Algorithm). Esta función particular se representará por \Im.

Corolario 2

Sea x una función gausiana y z = OF^{-1}OFx, entonces Oz = z

Demostración:

Oz = OOF^{-1}OFx = OF^{-1}OFx = z

Corolario 3

Sea x una función gausiana y z = OF^{-1}OFx, entonces F^{-1}OFz = z

Demostración:

F^{-1}OFz = F^{-1}OFF^{-1}OFOx = F^{-1}OOFOx = F^{-1}OFOx = z

3.3.6. Función de ambigüedad de las funciones z_{\alpha}

Considérese el teorema 2, con la normalización \tau_{0} = v_{0} = 1/\sqrt{2}. Entonces:

O_{f} = O

\hskip0,5cm

y

\hskip0,5cm

O_{t} = F^{-1}OF

Por consiguiente, el teorema 2 puede escribirse:

Teorema 4

Sea x una función gausiana y z = F^{-1}OFOx, entonces:

\forall(m, n) \neq 0,

\hskip0,5cm

A_{z}(n \sqrt{2}, m \sqrt{2}) = 0 4. Generalización a redes cualesquiera

Hasta ahora, se han considerado bases hilbertianas construidas en una red ortogonal de densidad 2. En este capítulo se tratará de las bases hilbertianas construidas en una red cualquiera de densidad 2.

4.1 Principios generales de construcción

De modo análogo a lo que se ha demostrado para las redes ortogonales, en este apartado se indicará cómo construir una base hilbertiana en una red cualquiera de densidad 2 a partir de una función prototipo cuya función de ambigüedad se anula en una red de densidad 1/2.

Considérese una red cualquiera de densidad 2, generada a partir de los vectores de base (\tau_{1},v_{1}) y (\tau_{2}, v_{2}), con
|v_{1}\tau_{1}-v_{2}\tau_{1}| = 1/2. Por convenio, se elegirá el orden de los vectores de base de tal modo que v_{2}\tau_{1}- v_{1}\tau_{2} = 1/2. Considérese una función x(t) tal que:

A_{x} (2n\tau_{1} + 2m\tau_{2}, 2nv_{1} + 2mv_{2}) = 0

cuya función de ambigüedad se anula, por tanto, en una red de densidad 1/2. Considérese el conjunto de las funciones {x_{m,n}} definidas por:

x_{m,n}(t) = e^{i\phi_{m,n}} e^{2i\pi(nv_{1} + mv_{2)}t}x(t - (n\tau_{1} + m\tau_{2}))

calcúlese el producto escalar, \langlex_{m,n}|x_{m',n'}\rangle o sea:

\langle x_{m,n}|x_{m',n'}\rangle = e^{i(\varphi_{m,n}-\varphi_{m',n'})} e^{i\theta} A_{x}((n'-n)\tau_{1} + (m'-m)\tau_{2}),(n'-n)v_{1} + (m'-m)v_{2})

con \theta = \pi((n - n')v_{1} + (m - m')v_{2})((n + n')\tau_{1} + (m + m')\tau_{2}) = \pi((n^{2}- n'^{2})v_{1}\tau_{1} + (m^{2} - m'^{2})v_{2}\tau_{2} + 2(mn - m'n)v_{1}\tau_{2} + (m - m')(n + n')v_{2}\tau_{1}

Ahora bien, v_{2}\tau_{1} - v_{1}\tau_{2} = 1/2.

Sea \Psi_{m,n} = \pi(n^{2}v_{1}\tau_{1} + m^{2}v_{2}\tau_{1} + 2mnv_{1}\tau_{2}), se obtiene, por tanto:

\theta = \Psi_{m,n} - \Psi_{m',n'} + (m - m')(n + n')\pi/2.

Sea \varphi_{m,n} = (m + n)\pi/2 - \Psi_{m,n}. El producto escalar \langlex_{m,n}|x_{m',n'}\rangle_{R} se escribe, finalmente:

51

Siendo la función de ambigüedad de x real, se prestará interés a su coeficiente. Se encuentra el mismo término de fase que en el caso de una red ortogonal. Por consiguiente, si (m, n) \neq (m', n') módulo 2, el producto escalar es nulo. En caso contrario, es, igualmente nulo en razón de la hipótesis hecha sobre la función de ambigüedad de x.

Se dispone, por tanto, de un método general para construir bases hilbertianas en redes cualesquiera en el plano tiempo-frecuencia. Falta, por tanto, construir funciones prototipos cuya función de ambigüedad presente las propiedades requeridas.

4.2. Cambio de coordenadas en el plano tiempo-frecuencia

Hasta ahora, se han encontrado ya operadores cuya acción podía interpretarse fácilmente en el plano tiempo-frecuencia, tales como los operadores de ortogonalización, que crean puntos de anulación de la función de ambigüedad en una red ortogonal de densidad 1/2. A continuación se tratará de nuevos operadores, que efectúan cambios de coordenadas en el plano tiempo-frecuencia. Esos operadores permiten transformar una función prototipo cuya función de ambigüedad se anula en una red ortogonal de densidad 1/2, en una función prototipo cuya función de ambigüedad se anula en una red cualquiera de densidad 1/2.

Sea un operador T que asocia a una función x la función y = Tx tal que:

A_{y}((\tau,v)'M_{T}) = A_{x}(\tau,v)

siendo M_{T} una matriz cuyo determinante es igual a 1.

El operador T realiza, por tanto, un cambio de coordenadas en el plano tiempo frecuencia caracterizado por la matriz M_{\tau}

4.3. Operadores de base 4.3.1. Operador de transformada de Fourier

Se ha visto anteriormente que si X es la transformada de x, o sea X = Fx, se tenía la relación:

A_{x}(v,-\tau) = A_{x}(\tau,v)

La matriz característica correspondiente se escribe, por tanto:

52

Esta matriz corresponde a una rotación de -\pi/2 en el plano tiempo frecuencia.

4.3.2. Operador de desfasaje

Considérese el operador de desfasaje P^{\theta} que asocia a una función x la función y tal que:

y(t) = e^{i\theta}x(t)

Se tiene, evidentemente:

A_{y}(\tau,v) = A_{x}(\tau,v)

y, por consiguiente, M_{p}\theta = I, siendo I la matriz identidad.

4.3.3. Operador de homotecia

El operador de homotecia H_{\gamma} es el operador que asocia a una función x(t) la función y(t) definida por:

y(t) = \frac{1}{\sqrt{|\gamma|}}x(t/\gamma)

siendo \gamma el factor de homotecia considerado.

Se tiene, por tanto:

\vskip1.000000\baselineskip

53

\vskip1.000000\baselineskip

Sea u = t / \gamma. Si \gamma es positivo:

54

Si \gamma es negativo:

\vskip1.000000\baselineskip

55

\vskip1.000000\baselineskip

En los dos casos, A_{y}(\tau,v) = A_{x} (\tau/\gamma, \gammav), o sea:

A_{y}(\gamma\tau, v / \gamma) = A_{x}(\tau, v)

Por consiguiente 56

4.3.3. Operador de wobulación

Un método simple para modificar la función de ambigüedad de una función consiste en multiplicarla por una señal de wobulación. Se denomina W^{\beta} el operador de wobulación temporal que asocia a una función x(t) la función y(t) definida por:

y(t) = x(t)e^{i\pi\beta t^{2}}

Puede escribirse, entonces:

\gamma_{\gamma}(t,\tau) = y(t + \tau/2)y\text{*} (t - \tau/2) = x(t + \tau/2)x\text{*} (t - \tau/2) e^{2i\pi\beta u} = \gamma_{x}(t,\tau)e^{2i\pi\beta u}

o sea, por transformada de Fourier:

\vskip1.000000\baselineskip

57

\vskip1.000000\baselineskip

o también:

A_{y}(\tau ,v + \beta\tau) = A_{x}(\tau ,v)

por consiguiente 58

4.4. Grupo de los operadores tiempo frecuencia

Considérese el conjunto de los operadores que pueden ser generados por una conjugación finita de operadores de base descritos anteriormente. Se observará, en primer lugar, que si y = Tx = T_{1}T_{2} ... T_{n}x, se tiene, entonces, también:

M_{T} = M_{T_{1}}M_{T_{2}} ... M_{T_{n}}

De modo evidente, este conjunto provisto del producto definido como la conjugación de los operadores tiene una estructura de grupo.

4.4.1 Reglas de base para la multiplicación de los operadores

La multiplicación de los operadores obedece a las reglas siguientes:

F^{4} = I

F^{2} = H_{-1}

P^{\theta}P^{\theta'} = P^{\theta + \theta'}

H_{\gamma}H_{\gamma'} = H_{\gamma \gamma'}

W^{\beta}W^{\beta'} = W^{\beta + \beta'}

Por otra parte, F^{2} y P^{\theta} conmutan con todos los otros operadores. Finalmente, se observarán las relaciones siguientes:

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158

\vskip1.000000\baselineskip

Sea u'=u/\gamma. Si \gamma es positivo:

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59

\vskip1.000000\baselineskip

Si \gamma es negativo:

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60

\vskip1.000000\baselineskip

En los dos casos, se tiene, por tanto H_{\gamma}F = FH_{1/\gamma}.

Del mismo modo:

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61

\vskip1.000000\baselineskip

Se tiene, por tanto H_{\gamma}W^{\beta} = W^{\beta/\gamma^{2}}H_{\gamma}

4.4.2. Extensión del "Chirp Transform Algorithm"

Las reglas descritas anteriormente permiten conmutar todos los operadores entre sí, con excepción de la transformada de Fourier y del operador de wobulación. Las reglas que permiten conmutar estos últimos operadores son más complejas y pueden ser extrapoladas a partir del algoritmo "Chirp Transform".

Se considera aquí una relación que liga los operadores F, W y H. Sea \delta_{1}(u) = \delta(u - t). Siendo los operadores considerados lineales, sus propiedades pueden ser analizadas considerando su acción sobre las distribuciones \delta_{1}, en virtud de la relación:

x(t) = \int x(u)\delta_{1}(u)du

\newpage

Se tiene:

62

Se tiene, finalmente:

FW^{1/\beta} F = P^{\pi/4} W^{-\beta}FW^{-1/\beta} H_{\beta}

4.4.3. Descomposición canónica

Sea un elemento del conjunto de los operadores definido anteriormente. Si este elemento no comprende ningún operador F, éste puede reducirse, utilizando las reglas dadas en 4.4.1, a la forma:

T = P^{\theta}H_{\gamma}W^{\alpha}

Si este elemento comprende solamente un operador F, éste puede reducirse, aplicando las mismas reglas, a la forma:

T = P^{\theta}H_{\gamma}W^{\alpha}FW^{\beta}

Si este elemento comprende, al menos, dos operadores F, éste puede reducirse a la forma:

T = P^{\theta}H_{\gamma}W^{\alpha}FW^{\beta_{1}} ... FW^{\beta_{n}}

Aplicando la regla dada en 4.4.2, pueden delimitarse de modo iterativo los operadores F y obtener finalmente una representación que comprende solamente un operador. En resumen, todos los elementos del grupo pueden escribirse en una de las dos representaciones dadas anteriormente.

Sea T un elemento del grupo que se escribe en el primer tipo de representación. Su matriz característica se escribe:

63

Sea T un elemento del grupo que se escribe en el segundo tipo de representación. Su matriz característica se escribe:

64

Inversamente, sea una matriz M_{T} cualquiera de determinante unidad. Ésta puede asociarse a un operador descrito en su representación canónica:

\vskip1.000000\baselineskip

65

\vskip1.000000\baselineskip

Si c=0, se puede asociar a esta matriz un operador de primer tipo, con:

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66

\vskip1.000000\baselineskip

Si c \neq 0, se puede asociar a esta matriz un operador de segundo tipo, con

67

Obsérvese que, evidentemente, subsiste una indeterminación total en lo que concierne a \theta.

4.5. Construcción de una base hilbertiana en una red cualquiera

Los métodos que se han descrito anteriormente dan un método general de construcción de una base hilbertiana en una red cualquiera. Considérese una red cualquiera de densidad 2, generada a partir de los vectores de base (\tau_{1}, v_{1}) y (\tau_{2}, v_{2}) con v_{2}\tau_{1} - v_{1}\tau_{2} = 1/2. Se considera una función x(t) tal que:

\forall(m,n) \neq (0, 0), A_{x}(n \sqrt{2}, m \sqrt{2}) = 0

La función x puede ser, en la práctica, la función prototipo de la OQAM, OMSK o una cualquiera de las funciones obtenidas por ortogonalización de gausianas, como se indicó en el capítulo 3 y, en particular, la función IOTA.

Sea T un operador de matriz característica M_{T} definida por:

68

e y = Tx. Entonces, \forall(m,n) \neq (0, 0):

A_{y} (2n\tau_{1} + 2m\tau_{2}, 2nv_{1} + 2mv_{2}) = A_{y} ((n \sqrt{2}, m \sqrt{2})'M_{T}) = A_{x} ((n \sqrt{2}, m \sqrt{2}) = (0,0)

Considérese el conjunto de las funciones {y_{m,n}} definidas por:

y_{m,n} (t) = e^{i\varphi_{m,n}} e^{2i\pi(nv_{1} +mv_{2})t} y(t - (n\tau_{1} + m\tau_{2}))

con \varphi_{m,n} = (m + n)\pi/2 - \pi(n^{2}v_{1}\tau_{1}+ m^{2}v_{2}\tau_{2}+ 2mnv_{1}\tau_{2})

De acuerdo con lo que se ha demostrado en 4.1, el conjunto de las funciones {y_{m,n}} constituye una base hilbertiana. Se dispone, por tanto, de un método general para construir bases hilbertianas en redes cualesquiera en el plano tiempo-frecuencia.

5. Construcción de bases hilbertianas dispuestas al tresbolillo

Aunque el método general descrito anteriormente presenta un interés académico evidente, su aplicación práctica pone de manifiesto ciertas dificultades. Por una parte, en el caso general, los algoritmos de desmodulación son muy complicados por la estructura oblicua de la red de las funciones de base. Por otra, la función prototipo obtenida es, generalmente, compleja, lo que aumenta todavía la complejidad.

Por tanto, puede preguntarse legítimamente si esta generalización presenta algún interés práctico. El objeto de este apartado es aportar una respuesta completa a esta pregunta.

Considérese el conjunto de las bases hilbertianas generadas de acuerdo con el método expuesto anteriormente. En el interior de este conjunto se buscan las bases hilbertianas cuya función prototipo sea real par. La función de ambigüedad presenta, entonces, las simetrías siguientes:

69

y

70

Se tiene, por tanto, A_{x}(\tau,v) = A_{x}(-\tau,v) = A_{x}(- \tau,-v). Estas simetrías de la función de ambigüedad solamente pueden obtenerse si la red de anulación de esta función presenta las mismas simetrías. Ahora bien, estas condiciones solamente se verifican para dos tipos de redes: la red ortogonal en la cual se basan todas las modulaciones consideradas hasta ahora, y la red dispuesta al tresbolillo.

La red ortogonal es generada por los vectores de base (\tau_{1}, v_{1}) = (1/\sqrt{2}, 0) y (\tau_{2}v_{2}) = (0, 1/\sqrt{2}). La red dispuesta al tresbolillo, es generada por los vectores (\tau_{1},v_{1}) = (1/2,-1/2) y (\tau_{2},v_{2}) = (1/2,1/2). Se pasa de una red a otra por una rotación de ángulo -\pi/4. Por este motivo, en lo que sigue se concede un interés muy particular a los operadores que realizan una rotación en el plano tiempo-frecuencia.

5.1 Subgrupo de los operadores de rotación tiempo frecuencia

Considérese que el conjunto de los operadores cuya matriz característica es una rotación en el plano tiempo-frecuencia:

71

Se ha visto ya que el operador de transformada de Fourier F correspondía a una rotación de ángulo \varphi = -\pi/2, mientras que el operador F^{3} = F^{-1} correspondía a una rotación de ángulo \varphi = \pi/2.

Considérese un operador de la forma:

P^{\theta}FW^{\alpha}H_{\gamma}FW^{\beta}

Su matriz característica se escribe:

72

Haciendo \gamma = -cos\varphi y \alpha = \beta = tg\varphi, se obtiene una matriz de rotación de ángulo \varphi. El parámetro \theta se mantiene indeterminado. Para salvar esta indeterminación, se impondrá que este operador deje invariante la función gausiana
x(u) = e^{-\pi n^{2}}, o sea:

73

74

75

El término \varphi_{mod

\;

\pi} designa el valor comprendido entre -\pi/2 y \pi/2 que es congruente con \varphi módulo \pi. Se puede escribir:

76

Finalmente, puede escribirse:

P^{-\varphi _{mod \ \pi^{/2}}} FW^{tg\varphi} H_{-cos\varphi} FW^{tg\varphi} x(u) = x(u)

Definición

Se denomina R^{\varphi} el operador de rotación en el plano tiempo-frecuencia de ángulo \varphi definido por:

77

Sea un número real \alpha. Se define, igualmente, la potencia fraccionaria del operador F por la relación:

F^{\alpha} = R^{-\alpha\pi/2}

El conjunto de operadores así definido tiene una estructura de grupo conmutativo isomorfo en el grupo de las rotaciones del plano. La notación de exponente del operador F verifica todas las propiedades "habituales" de un exponente.

5.2 IOTA \pi/4

Considérese una función prototipo x(t) real par que permita generar una base hilbertiana en la red ortogonal, y la función y(t) definida por:

y = F^{1/2}x

donde F^{1/2} es el operador raíz cuadrada de la transformada de Fourier como el definido anteriormente. A nivel de las funciones de ambigüedad, este operador realiza una rotación de ángulo -\pi/4 en el plano tiempo frecuencia. Para que la función y(t) sea real par, es necesario que su función de ambigüedad presente una simetría con respecto a los ejes tiempo y frecuencia. Esto implica, por tanto, que la función x(t) presente, además de la simetría con respecto a los ejes tiempo y frecuencia, una simetría con respecto a las diagonales del plano tiempo-frecuencia. Una propiedad de este tipo solamente puede verificarse si la función x(t) es idéntica a su transformada de Fourier. Ahora bien, se conoce solamente una función que tiene esta propiedad, que es la función IOTA.

La función IOTA \pi/4 se define por la relación:

\Im^{\pi/4} = F^{1/2}\Im

Esta función es, por construcción, real y par. La función de ambigüedad de esta función se anula, por tanto, en la red dispuesta al tresbolillo generada por los vectores (\tau_{1}, v_{1}) = (1/2, -1/2) y (\tau_{2}, v_{2}) = (1/2, 1/2). De acuerdo con 4.1., se deduce que el conjunto de las funciones {\Im^{\pi/2}_{m,n}} definido por:

{\Im^{\pi/4}_{m,n}\} (t) = e^{i\varphi_{m,n}} e^{i\pi (m+n)t} \Im^{\pi/4}(t - (m - n)/2)

con \phi_{m,n} = (m + n - mn - (m^{2} - n^{2})/2)\pi/2

constituye una base hilbertiana.

Redefiniendo los índices, puede rescribirse la definición de este conjunto del modo siguiente:

{\Im^{\pi/4}_{m,n}\} (t) = e^{i\phi_{m,n}} e^{i\pi mt}\Im^{\pi/4}(t - n/2), m + n \ par

con \varphi_{m,n} = (m - mn / 2 + (n^{2} - m^{2})/4)\pi/2

Anexo 6

Se observará la identidad:

(u - a) ^{2} + (u - b) ^{2} = 2u^{2}- 2au - 2bu + a^{2}+ b^{2} =

2\left[u^{2} - au - bu + \left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} + \left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}\right] = 2 \left[\left(u - \frac{a+b}{2}\right)^{2} + \left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}\right]

Sea una función gausiana x definida por:

x(u) = (2\alpha) ^{1/4}e^{-\pi\alpha u^{2}}

El producto x(u - a)x(u - b) puede, por tanto, escribirse:

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78

\vskip1.000000\baselineskip

Finalmente, puede escribirse:

79

Anexo 4

1. Del continuo al discreto

En los dos capítulos precedentes, se han considerado las funciones de L^{2}(R). En la práctica, el tratamiento numérico de las señales supone pasar al ámbito discreto.

1.1. Generalidades

Las señales utilizadas en la práctica son consideradas siempre como limitadas a la vez en el ámbito temporal y el ámbito frecuencial, aunque esta hipótesis sea una imposibilidad teórica notoria. Sin embargo, este obstáculo puede contornearse, y representar señales mediante un conjunto finito de valores discretos aplicando el método siguiente:

Supóngase que se trata de una señal compleja x(t) cualquiera en un espacio limitado a [0,T] en el ámbito temporal y a [-W/2, W/2] en el ámbito frecuencial. Restringiéndose al caso en que el producto WT es entero, a esta señal puede asociarse un vector \upbar{x} de coordenadas x_{p} con

x_{p} = \sum\limits^{+\infty}\limits_{q = -\infty} x (p/W + qT), variando p de 0 a WT-1

La suma según el índice q efectúa un solapamiento temporal y, por tanto, "periodiza" la señal en el tiempo, mientras que el muestreo "periodiza" la señal en frecuencia.

Sea y(t) = x(t)e^{2i \pi mt/T}

Puede escribirse:

80

Se observará que este resultado perfectamente "natural" se obtiene solamente a costa de una elección particular de la frecuencia de modulación, que elimina todos los problemas de solapamiento. Del mismo modo, si se considera una traslación del tipo y(t) = x(t - n/W), puede escribirse:

81

De manera general, la elección de las estructuras de muestreo temporal y frecuencial que sean, respectivamente, múltiplos de 1/W y de 1/T garantiza un solapamiento armonioso de las señales, y permite una escritura en el ámbito discreto que sea directamente equivalente a la del ámbito continuo.

Considérese, finalmente, el producto escalar de dos vectores \upbar{x} e \upbar{y}. Puede escribirse:

82

83

84

1.2 La transformada IOTA

Se buscará aquí una primera transformada que deriva de los resultados obtenidos en el capítulo "el procedimiento teórico", y basada en la función IOTA.

1.2.1. La transformada IOTA en el ámbito continuo

Considérese aquí una transformada "normalizada", es decir, construida sobre la base de la red de tipo (n/\sqrt{2}, m/\sqrt{2}) descrita anteriormente. Se podrá llegar siempre a esta situación por la acción previa del operador de homotecia adecuado. Sea la base hilbertiana {\Im_{m,n}} definida por:

\Im_{m,n}(t) = e^{i\varphi_{m,n}} e^{\sqrt{2i\pi mt}} \Im (t-\frac{n}{\sqrt{2}})

con \varphi_{m,n} = (m + n)\pi/2

Se observará que puede elegirse alternativamente la formulación siguiente:

85

correspondiendo esta modificación a una eventual inversión de signo de las funciones de base. La transformada IOTA de una señal s(t) de transformada de Fourier S(f) está definida, entonces, por las relaciones:

86

siendo las transformadas inversas :

87

1.2.2. La transformada IOTA discreta

Tómese T igual a N \sqrt{2} y W igual a M \sqrt{2}. Esta elección garantiza la ausencia de problemas de solapamiento. Considérese una función de base \Im_{m,n}. A esta función puede asociarse el vector \overline{\Im}_{m,n} de coordenadas \Im_{m,n,p} con:

88

Sea un producto escalar del tipo \langle\overline{\Im}_{m,n}|\overline{\Im}_{m',n'}\rangle_{a}. Habida cuenta de las propiedades de ortogonalidad de las trasladadas tiempo-frecuencia de la función IOTA, este producto escalar es nulo si (m,n) \neq (m',n') mod (2M, 2N). En lo que concierne a la norma de los vectores \overline{\Im}_{m,n}, puede escribirse:

89

Habida cuenta de estas observaciones, puede definirse la transformada IOTA discreta del modo siguiente:

Definición de la transformada IOTA

Sean M y N dos enteros cualesquiera. Considérense 4MN vectores de dimensión 2MN, ortogonales en el sentido del producto escalar real, y definidos del modo siguiente:

90

variando m de 0 a 2M-1, n de 0 a 2N-1 y p de 0 a 2MN-1

Sea \overline{s} un vector complejo de dimensión 2MN. Éste Puede descomponerse en la forma:

S_{p} = \sum\limits_{m = 0}^{2M-1} \sum\limits_{n = 0}^{2N-1}a_{m,n}\Im_{m,n,p}, variando p de 0 a 2MN - 1, con:

91

La matriz {a_{m,n}} es la transformada IOTA del vector \overline{s}.

1.3. La transformada IOTA \pi/4 1.3.1. La transformada IOTA \pi/4 en el ámbito continuo

Considérese aquí una transformada "normalizada", es decir, construida sobre la base de la red normalizada dispuesta al tresbolillo descrita anteriormente. A esta situación podrá llegarse siempre por la acción previa del operador de homotecia adecuado. Sea la base hilbertiana {\Im_{m,n}^{\pi /4}} definida por:

92

con \varphi_{m,n} = (n - mn/2 + (n^{2}-m^{2})/4)\pi/2

Se verifica fácilmente que puede elegirse alternativamente la formulación siguiente:

93

correspondiendo esta modificación a una eventual inversión de signo de las funciones de base. La transformada IOTA \pi/4 de una señal s(t) de transformada de Fourier S(f) viene definida, entonces, por las relaciones:

94

las transformadas inversas son:

95

1.3.2 La transformada IOTA \pi/4 discreta

Tómese T igual a 2N y W igual a 2M. Esta elección garantiza la ausencia de problemas de solapamiento. Considérese una función de base \Im_{m,n}^{\pi/4}. A esta función puede asociarse el vector \overline{\Im}_{m,n}^{\pi/4} de coordenadas \Im_{m,n,p}^{\pi/4} con:

96

Sea un producto escalar del tipo \langle\vec{\Im}_{m,n}^{\pi/4}|\vec{\Im}_{m',n'}^{\pi/4}\rangle. Habida cuenta de las propiedades de ortogonalidad de las trasladadas tiempo-frecuencia de la función IOTA, este producto escalar es nulo si (m, n) \neq (m', n') mod (2M, 2N). En lo que concierne a la norma de los vectores \overline{\Im}_{m,n,p}^{\pi/4}, puede escribirse:

97

Habida cuenta de estas observaciones, la transformada IOTA \pi/4 discreta puede definirse del modo siguiente:

Definición

Sean M y N dos enteros cualesquiera. Considérense 8MN vectores de dimensión 4MN, ortogonales en el sentido del producto escalar real, y definidos del modo siguiente:

98

variando m de 0 a 4M-1, n de 0 a 4N-1 con m+n par y variando p de 0 a 4MN-1.

Sea \overline{s} un vector complejo de dimensión 4 MN. Éste puede descomponerse en la forma:

99

La matriz {a_{m,n}} es la transformada IOTA \pi/4 del vector \overline{s}.

2. Los algoritmos rápidos de desmodulación 2.1 Desmodulación por transformada IOTA rápida.

Considérese una modulación de tipo multiportadora IOTA caracterizada por la ecuación de la señal emitida:

s(t)= \sum\limits_{m,n}a_{m,n}\Im_{m,n}(t)

Sea un canal de transmisión caracterizado por su función de transferencia variable T(f, t). La señal recibida r(t) se escribe:

r(t) = \int S(f)T(f,t)e^{2i \pi ft}df

El desmodulador óptimo estima la función de transferencia T(f,t) por medios que no se describen en esta fase. Para desmodular la señal propiamente dicha, se asimila localmente el canal a un canal multiplicativo caracterizado por una amplitud y una fase correspondientes al valor de T(f,t) para el instante y la frecuencia considerados. Para estimar a_{m,n}, la señal recibida se asimila, por tanto, a la señal:

100

Sea:

T(m /\sqrt{2}, n/ \sqrt{2}) = \rho_{m,n}e^{i\theta _{m,n}}

El desmodulador efectúa, por tanto, el tratamiento siguiente:

\overline{a}_{m,n} = \Re e\int r(t)e^{-i\theta_{m,n}}\Im^{\text{*}}_{m,n}(t)dt

En el caso de un canal estacionario de función de transferencia \rhoe^{i\theta}, se tiene, evidentemente:

\overline{a}_{m,n} = \rho a_{m,n}

En la práctica, el tratamiento se efectúa en forma numérica. Se obtiene:

101

Se hace, entonces, p = k + 2Mr, variando k de 0 a 2M-1 y r de 0 a N-1:

102

Esta ecuación muestra que puede utilizarse un algoritmo rápido de desmodulación que comprende los tratamientos siguientes:

\bullet

prefiltrado de la señal recibida por la función prototipo

\bullet

solapamiento de la forma de onda filtrada módulo 2M

\bullet

FFT de dimensión 2M puntos complejos

\bullet

corrección de la fase \theta_{m,n} + \varphi_{m,n}

\bullet

selección de la parte real

Este algoritmo permite, por tanto, calcular globalmente todos los coeficientes de un índice n dado. El orden de magnitud de la complejidad correspondiente es, aproximadamente, el doble del orden de magnitud del algoritmo utilizado para la OFDM.

2.2. Desmodulación por transformada IOTA \pi/4 rápida

Considérese una modulación de tipo multiportadora IOTA \pi/4 caracteriza- da por la ecuación de la señal emitida:

103

Como anteriormente, el desmodulador efectúa el tratamiento siguiente:

104

En la práctica, el tratamiento se efectúa en forma numérica. Se obtiene:

105

Se hace, entonces, p = k + 4Mr, variando k de 0 a 4M-1 y r de 0 a N-1:

106

Esta ecuación muestra que puede utilizarse un algoritmo rápido de desmodulación que comprende los tratamientos siguientes:

\bullet

prefiltrado de la señal recibida por la función prototipo \Im^{\pi/4}

\bullet

solapamiento de la forma de onda filtrada módulo 4M

\bullet

FFT de dimensión 4M puntos complejos. En la práctica, basta calcular según la paridad de n los puntos pares o impares. Esta FFT parcial se efectúa decimando en una relación 2 las muestras después del primer banco de mariposas, lo que equivale a un simple prefiltrado complementario (suma o diferencia de muestras). Se llega, entonces, a una FFT de dimensión 2M puntos.

\bullet

corrección de la fase \theta_{m,n} + \varphi_{m,n}

\bullet

selección de la parte real

Este algoritmo permite, por tanto, calcular globalmente todos los coeficientes de un índice n dado. El orden de magnitud de la complejidad correspondiente es, aproximadamente, el doble del orden de magnitud del algoritmo utilizado para la 0FDM.

Claims (11)

1. Señal multiportadora s(t) destinada a ser transmitida a receptores digitales, especialmente en un canal de transmisión no estacionario, correspondiente al multiplexado en frecuencia de varias portadoras elementales, correspondientes, cada una, a una serie de símbolos,

siendo asignado cada símbolo a una portadora durante un tiempo símbolo \tau_{0} y siendo el espaciamiento entre dos portadoras contiguas igual a v_{0},

caracterizado porque la citada red tiempo-frecuencia utilizada es una red dispuesta al tresbolillo, en la cual:

- el citado tiempo símbolo \tau_{0} es igual a la cuarta parte de la inversa del citado espaciamiento v_{0} entre dos portadoras contiguas;

- dos símbolos consecutivos emitidos en una misma portadora están espaciados dos tiempos símbolo \tau_{0}; y

- los símbolos emitidos en dos portadoras adyacentes están desplazados el tiempo símbolo \tau_{0}.

2. Señal de acuerdo con la reivindicación 1, caracterizada porque cada una de las citadas portadoras es sometida a un filtrado de puesta en forma de su espectro elegido de modo que cada símbolo esté firmemente concentrado a la vez en el ámbito temporal y en el ámbito frecuencial.

3. Señal de acuerdo con una cualquiera de las reivindicaciones 1 a 2, caracterizada porque su envolvente compleja responde a la ecuación siguiente:

s(t) = \sum\limits_{m+n \ par}a_{m,n}x_{m,n}(t)

donde:

a_{m,n} es un coeficiente real representativo de la señal fuente, elegido en un alfabeto de modulación predeterminado;

m es un entero que representa la dimensión frecuencial;

n es un entero que representa la dimensión temporal;

t representa el tiempo;

x_{m,n}(t) es una función de base, trasladada en el espacio tiempo-frecuencia, de una misma función prototipo x(t) que toma valores reales o complejos, o sea:

x_{m,n}(t) = e^{i \varphi m,n} \ e^{i(2 \pi m v_{0} \tau + \varphi)} \ x(t-n\tau_{0})

\hskip0,5cm

con v_{0} \tau_{0} = 1/4

con \varphi_{m,n} = (m + n + mn + (n^{2} - m^{2}) / 2)\pi / 2

donde \varphi es un parámetro de fase arbitrario,

y donde la citadas funciones de base {x_{m,n}} son ortogonales entre sí, siendo la parte real del producto escalar de dos funciones de base diferentes, nula.

4. Señal de acuerdo con la reivindicación 3, caracterizada porque la citada función prototipo x(t) correspondiente a la rotación de 45º en el plano tiempo-frecuencia de una función prototipo permite definir una base hilbertiana en una red tiempo-frecuencia ortogonal de densidad 1/2.

5. Señal de acuerdo con la reivindicación 4, caracterizada porque la citada función prototipo x(t) es obtenida por aplicación del operador F^{1/2}, correspondiente a la raíz cuadrada de una transformada de Fourier, a la citada función prototipo que permite definir una base hilbertiana en una red tiempo-frecuencia ortogonal de densidad 1/2.

6. Señal de acuerdo con una cualquiera de las reivindicaciones 4 y 5, caracterizada porque la citada función prototipo x(t) es una función idéntica a su transformada de Fourier.

7. Señal de acuerdo con la reivindicación 6, caracterizada porque la citada función prototipo x(t) es la función prototipo \Im.

8. Procedimiento de transmisión de una señal digital, especialmente, en un canal de transmisión no estacionario, caracterizado porque comprende las etapas siguientes:

- codificación en el canal (92) de una señal digital que hay que transmitir, que facilita coeficientes numéricos reales a_{m,n} elegidos en un alfabeto predeterminado;

- construcción (94) de una señal s(t) que responde a la ecuación siguiente:

s(t) = \sum\limits_{m+n \ par}a_{m,n}x_{m,n}(t)

donde:

\bullet m es un entero que representa la dimensión frecuencial;

\bullet n es un entero que representa la dimensión temporal;

\bullet t representa el tiempo;

\bullet x_{m,n}(t) es una función de base, trasladada en el espacio tiempo-frecuencia, de una misma función prototipo x(t) par que toma valores reales o complejos, o sea:

x_{m,n}(t) = e^{i \varphi m,n} \ e^{i(2 \pi m v_{0} t + \varphi)} \ x(t-n\tau_{0})

\hskip0,5cm

con v_{0} \tau_{0} = 1/4

donde \varphi es un parámetro de fase arbitrario,

siendo las citadas funciones de base {x_{m,n}} son ortogonales entre sí, y siendo la parte real del producto escalar de dos funciones de base diferentes nula.

- emisión (911), al menos, a un receptor de una señal que tiene por envolvente compleja la citada señal s(t).

9. Procedimiento de acuerdo con la reivindicación 8, caracterizado porque comprende una etapa de entrelazamiento en frecuencia y/o en tiempo (93), aplicada a los elementos binarios que forman la citada señal digital que hay que transmitir y/o a los coeficientes numéricos a_{m,n}.

10. Procedimiento de recepción de una señal multiportadora s(t) destinada a ser transmitida a receptores digitales, especialmente, en un canal de transmisión no estacionario, que corresponde al multiplexado en frecuencia de varias portadoras elementales, correspondientes, cada una, a una serie de símbolos,

siendo asignado cada símbolo a una portadora durante un tiempo símbolo \tau_{0} y siendo el espaciamiento entre dos portadoras contiguas igual a v_{0},

caracterizado porque la citada red tiempo-frecuencia utilizada es una red dispuesta al trebolillo en la cual:

- el citado tiempo símbolo \tau_{0} es igual a la cuarta parte de la inversa del citado espaciamiento v_{0}entre dos portadoras contiguas;

- dos símbolos consecutivos emitidos en una misma portadora están espaciados dos tiempos símbolos \tau_{0}; y

- los símbolos emitidos en dos portadoras adyacentes están desfasados el tiempo símbolo \tau_{0},

y porque comprende las etapas siguientes:

- recepción de una señal que tiene por envolvente compleja una señal r(t) correspondiente a la señal s(t) en la emisión:

- estimación (106) de la respuesta del canal de transmisión, que comprende una estimación de la respuesta en fase \theta_{m,a} y de la respuesta en amplitud \rho_{m,n};

- desmodulación de la citada señal r(t), que comprende las etapas siguientes:

- multiplicación (111) de la citada señal r(t) por la función prototipo x(t);

- solapamiento (113) de la forma de onda filtrada módulo 2\tau_{0};

- aplicación (114) de una transformada de Fourier (FFT);

- selección de las muestras para las cuales m+n es par;

- corrección (115) de la fase \theta_{m,n} inducida por el canal de transmisión;

- corrección (117) de la fase correspondiente al término e^{i\varphi_{m,n}};

- selección (118) de la parte real del coeficiente obtenido \overline{a}_{m,n} correspondiente al coeficiente a_{m,n} emitido ponderado por la respuesta en amplitud \rho_{m,n} del canal de transmisión.

11. Procedimiento de acuerdo con la reivindicación 10, caracterizado porque comprende, al menos, una de las etapas siguientes:

- desentrelazamiento (108) en frecuencia y/o en tiempo de los citados coeficientes numéricos reales \overline{a}_{m,n} y, eventualmente, de los valores correspondientes \rho_{m,n} de la respuesta de la amplitud del canal, siendo el citado desentrelazamiento simétrico de un entrelazamiento puesto en práctica durante la emisión;

- descodificación (109) en decisión ponderada adaptada a la codificación en el canal puesta en práctica durante la emisión.