JP2001503591A - マルチキャリア伝送のためのプロトタイプ信号の構築 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 本発明は、各々が一連のシンボルに対応するいくつかの基本キャリアを周波数多重化することに対応して、特に非定常的な伝送チャネル内で、デジタル受信機に送信されるように設計されたマルチキャリア信号であって、密度が２の非直交時間−周波数格子上に構築されるマルチキャリア信号ｓ（ｔ）に関する。本発明は、さらに、このような信号の送信及び受信、さらにはこの信号に適合する波形に関する。

Description

【発明の詳細な説明】 マルチキャリア伝送のためのプロトタイプ信号の構築１．発明の分野 １．１ 一般的な分野 本発明の分野は、特に移動受信機により受信できるように設計されたデジタル データ、即ちアナログ標本化データの伝送又は放送の分野である。より詳細には 、本発明は新しい形式の変調手段により形成された信号、及びそれに対応した変 調及び復調の技術に関する。 長い間、移動体に向けて送信するチャネルのように、高度に非定常的なチャネ ルに適応した変調方式を構築することが求められていた。このようなチャネルで は、送出された信号はフェージング及びマルチパスの現象の影響を受ける。欧州 プロジェクトのユーレカ（ＥＵＲＥＫＡ）１４７（ＤＡＢ：デジタルオーディオ 放送）のフレームワーク内のＣＣＥＴＴにより行われた研究により、このタイプ のチャネルに対するマルチキャリア変調及び特にＯＦＤＭ（直交周波数分割多重 化）の価値が示されている。 ＯＦＤＭはＤＡＢ標準の基準として欧州プロジェクトのフレームワーク内で選 択されている。この技術はさらにデジタルビデオ放送（ＤＶＢ）のための変調技 術として選択可能である。しかし、例えばデジタルテレビジョンへの応用に必要 な変調のようにスペクトル効率を高くして符号化した変調の問題を扱う場合に数 種の制限（後述する）があることが知られている。１．２ 可能な応用分野 本発明は多くの分野、特に高いスペクトル効率が要求される時、及びチャネル が高度に非定常的である時に適用できる。 適用の第１のカテゴリは、画像、音声及び／又はデータのいずれであろうが地 上デジタル無線放送に関している。特に、本発明は本質的に長期間のマルチパス を発生する同期放送に適用できる。本発明はさらに、好都合なことに移動体に対 する放送にも適用できる。 適用の第２のカテゴリは、デジタル無線通信に関している。本発明は例えばＵ ＭＴＳのフレームワーク内で、高いビットレートでの移動体とのデジタル通信を 行うシステムに特に適用できる。本発明はさらに（ハイパーラン（ＨＩＰＥＲＬ ＡＮ）タイプの）高いビットレートのローカル無線ネットワークに対しても考え ることができる。 適用の第３のカテゴリは、水中伝送への応用である。水中音響内での伝送チャ ネルは、水中内での音響波の伝送速度が遅いので非常に乱される。これによりマ ルチパス及びドップラースペクトルの広がりが大きくなる。マルチキャリア変調 の技術、及び特に本発明の対象である技術は、この分野に良く適合する。２．従来の技術 ２．１ 信号の表示に関する理論的な説明 本発明による信号を示す前に、以下に公知の信号について説明する。この説明 は、発明者が定義する、それ自体が新規なマルチキャリア信号に対する一般的な アプローチに基づく。この一般的なアプローチは従来の技術と等価ではなく、当 業者にも明らかな方式ではない。それ故、このアプローチは、本発明の一部であ ると考えるべきであり、従来技術の一部を構成すると考えてはならない。 対象となる信号は実信号（例えば電気的な大きさの）であり、有限のエネルギ を有し、時間の関数である。これら信号は、それ故、実関数Ｌ²（Ｒ）で表され る。さらに、これらの信号は限定された帯域信号であり、それらのスペクトルは 、ｆ_cが信号の“キャリア周波数”の時、 内に含まれている。それ故、分析フィルターをＦ_Aで示すと、等価な方法で次式 の複素包絡信号ｓ（ｔ）により実信号ａ（ｔ）を表すことができる。 この信号ｓ（ｔ）は総和可能な自乗関数Ｌ²（Ｒ）を有した複素関数の実数値 変数の空間のベクトル部分空間（±Ｗ／２の帯域制限により特徴づけられる）に 属している。このベクトル空間は、複素数のフィールドで構成されているか又は 実数のフィールドで構成されているかにより２つの異なる方法で定義される。こ れらの空間のそれぞれに対し、Ｃ又はＲの値が取るスカラ積を関連させ、ヒルベ ルト空間を構成することができる。Ｈは複素数のフィールドに作られたヒルベル ト空間を示し、Ｈ_Rは実数のフィールドに作られたヒルベルト空間を示している 。 対応するスカラ積は次のように表される： Ｈの場合： であり、 Ｈ_Rの場合： である。 随伴基準は、両方の場合について明らかに同一である： ２．２ ＯＦＤＭの一般的な原理 ＯＦＤＭの一般的な原理は、例えば、１９８６年７月２日に出願されたフラン ス特許第ＦＲ−８６０９６２２号に示されている。この技術の基本的な考えは、 時間−周波数平面内にできる限り閉じ込められた基本波の係数として符号化した 信号を送信することであり、そのため、伝送チャネルは局所的に定常であると考 えられている。このチャネルは従ってライス又はレイリーの法則に従う係数のモ ジュラスの分散により特徴づけられる簡単なマルチプライアチャネルとなる。 従って、符号によりフェージング現象に対し保護が行われる。この符号は時間 及び周波数インターレース（インターリーブ）に関連した重み付け決定モードで 使用することができ、これは、符号の最小メッシュ内の一部となる信号がフェー ジング現象から独立することにより最大限可能な範囲まで影響を受けることを保 証する。 この時間−周波数平面内でインターレース（インターリーブ）を用いた符号化 技術はＣＯＦＤＭとして知られている。この技術は例えば文献［２２］（付録１ を参照(読み易くするため従来技術の参考文献のほとんど付録１内にリストされ て。この付録１さらに付録２及び３は、もちろんこの記載の必要不可欠な部分で あると考えねば ならない)）に記載されている。 公知のＯＦＤＭ変調には基本的に２つのタイプがある。文献に用いられている 用語はしばしばあいまいである。本明細書では、より正確である新しい名称を取 り入れるが、これらは現存の文献におけるものとと関連がないかもしれない。こ のグループ内の変調のタイプを示すサフィックスのついた総称であるＯＦＤＭを 使用する。２．３ ＯＦＤＭ／ＱＡＭ ２．３．１ 理論的な原理 変調の第１のカテゴリは、キャリアで変調されたＱＡＭ（直交振幅変調）キャ リア又は２値データ要素という特別の場合におけるＱＰＳＫ（直交位相変調）キ ャリアの多重から構成される。以下、このシステムをＯＦＤＭ／ＱＡＭと呼ぶ。 キャリアは全て同期しており、キャリア周波数はシンボル時間と反対にスペース があけられている。これらのキャリアのスペクトルは重なり合っているが、シス テムを同期させることにより、異なるキャリアで送られたシンボルを直交させる ことができる。 参考文献［１］から［７］はこのテーマに対し利用できる有効なアイデアの文 献である。 記載をより簡単にするため、さらに本発明の新規なアプローチに基づき、信号 は前述の複素包絡で表される。これらの条件のもとで、ＯＦＤＭ／ＱＡＭの一般 式は次のように表すことができる： 係数ａ_m,nは、送られたデータを表す複素数の値を有している。関数ｘ_m,n（ｔ ）は、１つのかつ同一のプロトタイプ関数ｘ（ｔ） の時間−周波数空間に変換される： ここに、φは任意に０に設定できるあらゆる位相である。関数ｘ（ｔ）は中心に 集中している(ｃｅｎｔｅｒｅｄ)、即ちその１次モーメントはゼロで： を与える。Ｘ（ｆ）はｘ（ｔ）のフーリエ変換を示している。 これらの条件のもとで、次式が成立する： 従って、基本関数の重心は、図１に示すようにベクトル（τ₀，０）と（０， ν₀）により発生する時間−周波数の平面の格子を形成している。この格子は密 度が１、即ちν₀τ₀＝１である。このテーマに関するより詳細な論述は、文献［ ９］を参照にされたい。 プロトタイプ関数ｘ（ｔ）は特別な特性を有しており、そこでは関数｛ｘ_m,n ｝は相互に直交しており、より詳細には次式で与えられるＬ²（Ｒ）のヒルベル トの基底を構成している。 この基底に信号を投影することは、この信号を期間がτ₀のシーケンスに分解 し、これらのシーケンスの各々を対応するフーリエ級数展開により表すことと単 に等価である。このタイプの分解は、時間情報の全損失を伴う完全な周波数局所 化を与える標準フーリエ解析に対立して、時間及び周波数の両方で局所化に対す る第１の段階である。 残念なことに、時間的な局所化は優れているが、周波数局所化はＸ（ｆ）がゆ っくり減少する関数であるためかなり効率が低い。さらに、バリアン−ローコイ フマン−セメス（Ｂａｌｉａｎ−Ｌｏｗ−Ｃｏｉｆｍａｎ−Ｓｅｍｍｅｓ）の定 理（［９］のｐ．９７６）は、Ｘがｘのフーリエ変換を示すならば、ｔｘ（ｔ） とｆＸ（ｔ）は同時に総和可能な自乗になることができないことを示している。２．３．２ 保護間隔を有したＯＦＤＭ／ＱＡＭ 一般的に、マルチパスとドップラーの広がりに対するＯＦＤＭ変調の許容誤差 は、時間又は周波数偏移の関数としてシンボル間干渉（ＩＳＩ）のレベルの変動 を包括的に測定するパラメータにより特徴付けられる。この概念の正当性は付録 ２により与えられている。この許容誤差パラメータはξと呼ばれ、次の関係式に より定義される： ここに： ハイゼンベルグの不等式により、ξは１を越えることができない。 前述のバリアン−ロー−コイフマン−セメスの定理をこれに適用すると、パラ メータξはＯＦＤＭ／ＱＡＭの場合、０に等しい。これは前述のようにＯＦＤＭ ／ＱＡＭ変調の大きな欠点である。これは実際には時間エラーに対する従ってマ ルチパスに対する高い感度により特徴付けられる。 この欠点は、例えば［５］に記載した保護間隔を使用することにより回避する ことができる。これはプロトタイプ関数の長方形の窓を広げることからなる方策 である。基底シンボルの格子の密度は従って１よりかなり小さくなる。 この技術が可能となるのは、初期シンボルを変換したものの無限大が保護間隔 により広げられたシンボル内に見つかるからである。もちろん、これが行われる のはプロトタイプ関数が長方形の窓である時のみである。この意味で、保護間隔 を有したＯＦＤＭ／ＱＡＭは独特な特異点である。 保護間隔を有したＯＦＤＭ／ＱＡＭ変調は、ＤＡＢシステムの基礎である。こ の保護間隔は、性能を下げることを犠牲にしてシンボル間干渉を制限することが できるが、これは伝送される情報の一部が受信機により実際に使用されるのでは なくマルチパスを吸収するためにのみ使用されるからである。 このように、ＤＡＢシステムの場合、保護間隔が有効シンボルの２５％を示す ならば、その損失は１ｄＢである。さらに、所定の包括的なスペクトル効率を得 ることによる損失が追加され、使用する符号の効率を大きくすることにより保護 間隔による損失を補償する必要がある。 この損失は、ＤＡＢシステムの場合、スペクトル効率が小さいので僅かである 。反対に、全体のスペクトル効率を４ビット／Ｈｚにしたいならば、シャノンの 法則に基づき３ｄＢ台の損失を与える５ビット／Ｈｚの符号を使用する必要があ る。従って、この場合、全損失は約４ｄＢである。２．３．３ 他のＯＦＤＭ／ＱＡＭシステム ＯＦＤＭ／ＱＡＭタイプの他のシステムを考えることができる。残念なことに 、フィルタ型のＱＡＭ変調、即ち従来のハーフナイキスト（即ちより詳細には“ ナイキスト平方根”）タイプの波形成形を使用した変調は、直交の必要な制約を 果たさない。直交の必要な基準を果たす公知のプロトタイプ関数は次の通りであ る： 長方形の窓； 基本的な正弦。 これらの２つの例は自明なものであり、フーリエ変換により互いに対をなして （デュアルに）現れる。長方形の窓の場合は、保護間隔の無いＯＦＤＭ／ＱＡＭ に対応している。 基本的な正弦の場合は、実際には達成が難しい漸近的な場合であるロールオフ が０％の標準周波数多重化（即ち、キャリアが共通のスペクトルを持たないもの ）に対応している。 これらの場合のいずれも、プロトタイプ関数は完全に時間又は周波数のいずれ かに制限されているが、デュアル領域では平凡な減少（１／ｔ又は１／ｆ）を有 している。 さらに、バリアン−ロー−コイフマン−セメスの定理によれば、満足な解決が 存在するかもしれない期待がほとんど無い。前述のように、この定理は、ｔｘ（ ｔ）とｆＸ（ｆ）が同時に総和可能な自 乗を有することができないことを示している。従って、ｘ（ｔ）及びＸ（ｔ）が 同時に−３／２より小さい指数で減少する関数ｘ（ｔ）を見出すことが期待でき ない。 これは、技術者の観点から満足する関数が存在する可能性を妨げるものではな い。このテーマを扱っている最近の論文［１０］は必要な特性を有する他のプロ トタイプ関数の例を示している。この論文で提案されたプロトタイプ関数の形は 時間集中に関して期待すべきものから非常に離れている。従って、満足するＯＦ ＤＭ／ＱＡＭタイプの解決策ではない可能性がある。 結論として、密度が１で複素係数がａ_m,nを有する格子を使用することに対応 したＯＦＤＭ／ＱＡＭのアプローチは、長方形の時間窓の場合と保護間隔を使用 した場合のみ実施することができる。他の変調を捜している当業者は、それ故、 ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭで示した以下に記載する技術に目を向ける必要があるであろ う。２．４ ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ 変調の第２のカテゴリは、ＯＱＡＭ（オフセット直交振幅変調）変調したキャ リアの多重化を使用している。以下では、このシステムをＯＦＤＭ／ＯＱＡＭと 呼ぶ。キャリアは全て同期しており、キャリア周波数はシンボル時間の逆数の半 分だけ離れている。これらのキャリアのスペクトルは重なっているが、システム の同期とキャリアの位相の選択は、異なるキャリアにより出されるシンボル間の 直交性を保証するため使用可能である。参考文献［１１−１８］は、このテーマ に関し利用できる文献の明らかな状況を与えるものである。 記載をより簡単にするため、信号は分解した形で表わされる。こ れらの条件のもとで、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ信号の一般式は次のように書くことが できる： 係数ａ_m,nは送信されるデータ要素を表す実数と仮定している。 関数ｘ_m,n（ｔ）は１つのかつ同一のプロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数 の空間内に変換される： ここに、ν₀τ₀＝１／２である。 φは任意に０に設定できるあらゆる位相である。 従って、基本関数の重心は、図２に示すように、ベクトル（τ₀，０）と（０ 、ν₀）により形成される時間−周波数の平面の格子を形成している。 この格子は密度が２である。関数ｘ_m,n（ｔ）は、Ｒ内のスカラ積のように相 互に直交している。公知のアプローチにおいては、プロトタイプ関数は、各キャ リアのスペクトルが隣のキャリアのスペクトルのみと重なるように周波数におい て制限されている。実際には、対象とするプロトタイプ関数は、次の関係式を満 たす偶数パリティ関数（実数又は可能ならば複素数）である： ｘ（ｔ）に対する可能な選択は、ロールオフが１００％のハーフナイキストフ ィルタのパルス応答である、即ち： ｘ（ｔ）及びそのフーリエ変換が観測された場合、Ｘ（ｆ）は限定されたサポ ートを有しかつｘ（ｔ）はｔ^-2で減少する、即ちこれはバリアンロー−コイフマ ン−セメスの定理から得られた理論的な制限よりかなり良い結果である、ことが 分かる。基本波形は、ＯＦＤＭ／ＱＡＭの場合より時間−周波数の平面において より局所化しており、これにより、この変調はマルチパス及びドップラー現象が 存在する際に、より良好な動作が与えられる。上述のように、遅延及びドップラ ー現象に対する変調の許容誤差を測定するパラメータξを規定することができる 。このパラメータξは、０．８６５に等しい。２．５ ＯＦＤＭ／ＭＳＫ 本願の出願人により１９９５年５月２日に出願された(未公開の)フランス特許 出願第ＦＲ−９５０５４５５号に記載された他のアプローチは、異なるプロトタ イプ関数を使用することからなる。このプロトタイプ関数ｘ（ｔ）は、偶数パリ ティ関数であり、間隔［−τ₀，τ₀］の外側ではゼロであり、以下の関係式を証 明する： 有利なことに、このプロトタイプ関数ｘ（ｔ）は以下のように定義される： この関数は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭで用いられるプロトタイプ関数 のフーリエ変換によりデュアルであると考えられるかもしれない。この特別な場 合をＯＦＤＭ／ＭＳＫと呼ぶ。ドップラー現象及びマルチパスに対抗するための 実施特性はＯＦＤＭ／ＯＱＡＭと等価であり、受信機の構築が簡易化される。２．６ ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ 上述したフランス特許出願第ＦＲ−９５０５４５５号にさらに記載された他の アプローチは、時間にも周波数にも制限されないが周波数領域におけるのと同様 に時間領域においてもすばやく減少する特性を備えたプロトタイプ関数を使用す ることからなる。このプロトタイプ関数ｘ（ｔ）は、以下の式で特徴付けられる ： 関数ｙ（ｔ）はそのフーリエ変換Ｙ（ｆ）により以下のように定義される： ここで、Ｇ（ｆ）は以下のタイプの正規化されたガウス関数である： ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調の場合、パラメータαは１にセットされる。 リエ変換と同一である。 ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭの場合よりやや複雑となるが、受信機の構築がより簡易化 され、性能が実質的により優れている。３．従来のシステムの欠点 これらの従来技術によるシステムは、特にチャネル非常に乱 されている時、及び高い効率が要求される時に、多くの欠点と制限を有している 。３．１ ＯＦＤＭ／ＱＡＭ ＯＦＤＭ／ＱＡＭシステムの主たる問題は、保護間隔を使用することが必ず要 求されることである。上述のように、これは、高いスペクトル効率値を得ようと する時に、効率に本質的な損失を発生させる。 さらに、送られた信号は周波数領域での集中度が低く、これにより、高度な非 定常的チャネルにおける動作特性をもさらに制限してしまう。特に、この周波数 の広がりにより等価器の使用が難しくなる。３．２ ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ 逆に、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭの周波数特性はむしろ安定であり、保護間隔に関す る損失の問題は生じない。反対に、プロトタイプ関数のパルス応答は比較的ゆっ くりである時間減少、即ち１／ｘ²の減少を有している。 これは２つのタイプの困難性を意味している。１つは、短い時間間隔内に波形 を打ち切りすることが難しいことである。これは、受信機内での処理が複雑とな ることを意味している。さらに、これは、等化システムの可能性を意味している 。 言い換えれば、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ技術の効率は、ＯＦＤＭ／ＱＡＭ技術の効 率より良いが、これらの技術は、実現がより複雑であることが判っており、従っ て、特に受信機においてコストが高くなる。３．３ ＯＦＤＭ／ＭＳＫ ＯＦＤＭ／ＭＳＫ変調は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭに関連してドップラー現象及び マルチパスに対抗するための実施特性を有している。これら特性は、ＯＦＤＭ／ ＩＯＴＡの場合よりも低い。反対に、プロトタイプ関数の時間関数により受信機 が簡易化される。３．４ ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調は、ドップラー現象及びマルチパスに対抗するための 最適な実施特性を有している。反対に、ＯＦＤＭ／ＭＳＫの場合よりも受信機の 構築がより複雑となる。４．本発明の提示 ４．１ 本発明の目的 本発明の目的は特に従来技術の種々の欠点と制限とを解消することにある。 このように、本発明の目的は、受信機に対し送信又は放送されるように設計さ れたデジタル信号であって、最良の公知方法、即ちＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ法、に等 価である実施特性を得るべく使用可能であり、同時に、特に受信機での処理を簡 略化するべく時間応答集中度を改善できるデジタル信号を提供することにある。 本発明の目的は、さらに、特に復調と等価に関して、複雑性及びコストが低減 された受信機を作ることができるこの種の信号を提供することにある。 本発明の付加的な目的は、このような信号に対応する変調の、送信機、受信機 、送信方法又は放送方法、受信方法、及び構築、即ち定義方法を提供することに ある。４．２ 本発明の主な特徴 これらの目的及び以後明らかになるであろう他の目的は、本発明 によれば、各々が一連のシンボルに対応するいくつかの基本キャリアを周波数多 重化することに対応して、特に非定常的な伝送チャネル内で、デジタル受信機に 送信されるように設計されたマルチキャリア信号であって、密度が２の非直交時 間−周波数格子上に構築されるマルチキャリア信号によって達成される。 望ましくは、この時間−周波数格子が、２つの隣り合うキャリア間の間隔がν₀ に等しい５点形格子であり、 シンボル時間τ₀が、２つの隣り合うキャリア間の間隔ν₀の逆数の１／４に等 しく、 １つのかつ同一のキャリアで送られる２つの連続シンボルが、シンボル時間τ₀ ２倍だけ離れており、 隣接するキャリアで送られるシンボルが、シンボル時間τ₀だけオフセットさ れている。 好ましくは、キャリアの各々が、そのスペクトルの波形成形のためのフィルタ リング処理を受ける。 このフィルタリングは、各シンボル要素が時間領域及び周波数領域の両方で高 度に集中されるように選択される。 特にこの種の信号は以下の式に適合しており、 ここで、ａ_m,nは所定のアルファベットの変調から選択された、ソース信号を表 す実数係数であり； ｍは周波数の次元を示す整数であり； ｎは時間の次元を示す整数であり； ｔは時間を示しており； ｘ_m,n（ｔ）は実数又は複素数をとる１つのかつ同一の偶数パリティの プロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数空間に変換された基本関数、即ち： ここに であり、φは任意の位相パラメータであり、 上述の基本関数｛ｘ_m,n｝は相互に直交しており、２つの異なる基本関数のス カラ積の実数部分はゼロである。 このように、本発明は、時間−周波数平面にできるだけ集中するプロトタイプ 関数を使用する変調のシステムに基づいている。このアプローチの利点は、ＯＦ ＤＭ／ＩＯＴＡの場合と同等の実施特性を有すると共により高速減少のパルス応 答による効果も期待できる変調が得られる点にある。 換言すれば、本発明の目的は、密度２の格子上にＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調のよ うに構築された新規な変調システムに関している。既に公知のシステムに対する 基本的な相違は、基本格子が密度１／２の５点形格子である点にある。 提案した変調のタイプの中には、時間にも周波数にも有界されておらず、反対 に、時間及び周波数の両方において高速減少すると共に時間−周波数平面でほぼ 最適に集中する特性を有するプロトタイプ関数を使用した変調がある。 この種の信号は、従来技術の存在の基に当業者に容易に想到できるものでは決 してない。上述したように、ＯＦＤＭタイプの変調の 構築には基本的に２つの方法がある。 第１の公知の構築モードは、密度１の直交格子を使用している。この第１のア プローチは、信号を分解するための基底を使用しており、全ての信号は間隔にサ ブ分割され、各問隔はフーリエ級数の形に分解される。これはＯＦＤＭ／ＱＡＭ のアプローチである。同じ格子の上に構築する数少ない他のアプローチの文献が あるが[１０]、これによって得られる結果は、実施面でほとんど役に立たない。 さらに、ＯＦＤＭ／ＱＡＭ技術は、保護間隔法から利点を得ることができる唯 一の技術である。このＯＦＤＭ／ＱＡＭアプローチは、従って、拡張できない単 一の特徴を持つものである。 第２の公知の構築モードは、密度２の直交格子を使用している。これは、ＯＦ ＤＭ／ＯＱＡＭ、ＯＦＤＭ／ＭＳＫ及びＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ変調等の変調の集合 を組み合わせている。これらの変調は、周波数有界（ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ）であ るか又は時間有界（ＯＦＤＭ／ＭＳＫ）であるか、さらには、時間にも周波数に も有界されておらず、時間及び周波数の両次元において高速減少する特性を有す る（ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ）かというプロトタイプ関数の選択が互いに異なってい る。 従って、このような直交格子上に構築されていない新しいタイプの変調を構築 することは容易ではない。 以下に記載する本発明の全ての変形態様は、関数が容易に打ち切りできるよう に、高速減少のプロトタイプ関数を使用する利点を有している。 基本原理は、５点形タイプの格子上における直交性の所望の特性を有するプロ トタイプ関数を構築することにある。付録２に詳しく 記載されているこの構築法は、直交格子上における直交性の所望の特性を有する プロトタイプ関数に基づく時間−周波数平面内で４５°回転させることからなる 。この回転を可能にする演算子は、旧来の演算子ではない。これは、フーリエ変 換の平方根にたとえられかもしれず、Ｆ^1/2で表される。この表示の数学的正当 性は、付録３で与えられる。 一般原則として、この方法は、密度１／２の直交格子上におけるヒルベルト基 底の構築を可能とするいかなるプロトタイプ関数にも適用できるであろう。この 観点から、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ及びＯＦＤＭ／ＭＳＫのプロトタイプ関数が使用 可能である。しかしながら、これらは、結果として複雑な関数となる。従って、 得られる結果には実施上の価値がほとんどない。 実関数を導き出すこの構築法に必要な条件を考察する。密度２の直交格子上に おけるヒルベルト基底の生成を可能とする偶数パリティのプロトタイプ関数ｘ（ ｔ）を用い、関数ｙ（ｔ）が、 ｙ＝Ｆ^1/2ｘ で定義されるとする。ただし、Ｆ^1/2は、前述したように、フーリエ変換の平方 根演算子である。曖昧性関数のレベルにおいて（付録２で定義したように）、こ の演算子は、時間−周波数平面内で−π／４の角度の回転を実行する。関数ｙ（ ｔ）が偶数パリティの実関数であるためには、その曖昧性関数は時間及び周波数 軸に関して対称性を有する必要がある。従って、これは、関数ｘ（ｔ）が、時間 及び周波数軸に関して対称性を有することに加えて、時間−周波数平面の対角線 に関して対称性を有することを意味する。このような特性は、関数ｘ（ｔ）がそ のフーリエ変換に等しい場合にのみ確かめ られる。現在、われわれはただ１つの関数がこの特性を有していることを知って いる。それは、ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡのプロトタイプ関 従って、関数ＩＯＴＡπ／４は以下の関係式で定義される： この関数は、構築により、実数の偶数パリティ関数である。従って、この関数 の曖昧性関数は５点形格子上で解消される。 ここに ヒルベルト基底を構成する。 指数を再定義する場合、この集合の定義は以下のように書き換えられる： ここに 本発明は、さらに、特に非定常的な伝送チャネル内で、デジタル信号を送信す る方法であって、 送信すべきデジタル信号のチャネル符号化を行い、所定のアルファベットから 選択された実数のデジタル係数ａ_m,nは引き渡すステップと、 前述した式に適合した信号ｓ（ｔ）を構築するステップと、 その複素包絡として信号ｓ（ｔ）を有する信号を少なくとも１つの受信機へ送 信するステップと を備えた方法に関している。 有利には、この方法は、送信すべきデジタル信号を形成するバイナリ要素に又 はデジタル係数ａ_m,nについて周波数及び／又は時間インターレースするステッ プをさらに備えている。 これは、非定常チャネルにおいて最適な実施特性を提供可能とする。 本発明はさらにこの種の信号の送信機にも関する。 本発明は、さらに、上述した信号ｓ（ｔ）を受信する方法であって、 送信側における前記信号ｓ（ｔ）に対応する信号ｒ（ｔ）をその複素包絡とし て有する信号を受信するステップと； 位相応答θ_m,nの推定及び振幅応答ρ_m,nの推定を含む、伝送チャネルの応答を 推定するステップと； 信号ｒ（ｔ）を復調するべく以下の段階： 信号ｒ（ｔ）にプロトタイプ関数ｘ（ｔ）を乗算する段階、 モジュロ２τ₀のフィルタした波形をエィリアシングする段階、 フーリエ変換（ＦＦＴ）を適用する段階； ｍ＋ｎが偶数パリティ値であるサンプルを選択する段階； 伝送チャネルによって生じる位相θ_m,nを修正する段階； 伝送チャネルの振幅応答ρ_m,nによって重み付けされ、送信さ する段階 を含むステップとを備えた方法に関している。 チャネルの振幅応答の対応する値ρ_m,nの周波数及び／又は時間のデインターレ ースであり、伝送時に行なわれたインターレースに対称であるデインターレース を行うステップと、伝送時に行なわれたチャネル符号化に適合した重み付け決定 復号を行うステップとの少なくとも１つをさらに備えている。 本発明はさらにまた、対応する受信機にも関している。 最後の、本発明は、以上述べた信号に対するプロトタイプ関数ｘ（ｔ）を構築 する好ましい方法にも関する。この方法は、後述する付録に表されている。５．本発明の特別な実施形態の記載 ５．１ 図のリスト 図１は、本発明を実施した場合に対応する、密度１／２の格子を示している； 図２Ａ〜図２Ｅは、本発明のＩＯＴＡ−π／４変調を示しており、図２Ａはプ ロトタイプ関数ｘ(ｔ)、図２Ｂはプロトタイプ関数のリニアフーリエ変換、図２ Ｃはリニア曖昧性関数のモジュラス(付録２に定義されているもの)、図２Ｄはシ ンボル間関数(付録２に定義されているもの)、図２Ｅは対数スケールにおける信 号の減少である； 図３はガウス関数の曖昧性関数を示している； 図４は本発明によって使用可能な送信機(及び対応する送信方法)のブロック図 である； 図５は本発明によって使用可能な受信機(及び対応する受信方法) のブロック図である； 図６は図５の受信機で実施される変調方法のより詳細な図である。５．２ 本発明の一般的な原理 本発明は、密度２を有する非直交の時間−周波数格子上に構築されるＯＦＤＭ ／ＯＱＡＭタイプのマルチキャリア信号に対する全く新規なアプローチに基づい ている。特に本発明は、図１に示すような、ｍ＋ｎが偶数パリティ値であるよう な格子位置（サフィックスｍ（周波数領域）及びｎ（時間領域）によって定義さ れる）のみを使用する５点形格子の使用を提供するものである。 換言すれば、時間−周波数空間におけるこの分散を用いる本発明による信号の 複素包絡は，以下の式に対応している： ここで、ａ_m,nは変調の所定のアルファベット内で選択される信号ソースを表す 実係数； ｔは時間； ｘ_m,n（ｔ）は実又は複素値を取る１つのかつ同一の偶数パリティプロ トタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数空間に変換される基本関数、即ち：であり、ここで、 である。ただし、φは任意の位相パラメータであり、基本関数｛ｘ_m,n ｝は互いに直交しており、２つの異なる基本関数のスカラー積はゼロである 。 本発明は、さらに、このような格子に良好に適合する変調、特にＩＯＴＡ−π ／４変調にも関係している。５．３ ＩＯＴＡ−π／４変調 ＩＯＴＡ−π／４変調は、付録３及び前述したフランス特許出願第ＦＲ−９５ ０５４５５号に記載されており、ＩＯＴＡ（等方性直交変換アルゴリズム）変換 とわれわれが呼んでいる信号処理の分野に対する全体的にオリジナルなアプロー チの結果として得られる。 ＩＯＴＡ−π／４変調は、付録３に記載されているように、このＯＦＤＭ／Ｉ ＯＴＡ変調を−π／４回転することによって得られるかもしれない。５．３．１ 信号の式 信号の式及びこれを得るための方法は、付録３及び４に記載されている。５．３．２ 図に関するコメント及び急速な減少に関する効果 前述のＩＯＴＡ−π／４変調について、目に見える形で本発明の効果を強調す るために、図２Ａ〜図２Ｅが示されている。 図２Ａ：プロトタイプ関数ｘ（ｔ）； 図２Ｂ：プロトタイプ関数のリニアフーリエ変換； 図２Ｃ：リニア曖昧性関数のモジュラス（付録２に定義されているもの） ； 図２Ｄ：シンボル間関数(付録２に定義されているもの)。 図２Ｃは、時間−周波数平面におけるプロトタイプ関数の制限について判断す ることを可能にしている。シンボル間関数を示す図２ Ｄは、遅延及びドップラー現象に対する変調の感度の評価を可能にしている。位 相エラーは、変調の全てがこの時間−周波数平面上で等しいため、考慮されない 。 これらの図は、本発明における他の変調に関して、既に述べた先行のフランス 特許出願中に記載されコメントされた図と比較されるかもしれない。 ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ−π／４変調は、従って、時間及び周波数において高速の 減少（用語の数学的観点から）を示し、その結果、起こり得る最大の効率で均等 化することが可能となる。さらに、この変調は、これら２つの軸に関して完全な 対称性を有している。そのシンボル間関数は、ほぼ理想的である。一般に、その 動作は、ガウス関数の場合に近い。パラメータξは０．９７６９に等しい。 関数のそれと比較することができる。これら２つの関数の一般的な形状は、ピー ク部で非常に似ているが、ベース部では異なっている。 図２ＥはＩＯＴＡ−π／４信号の時間における減少を対数スケールで図である 。この信号の振幅が対数スケールでリニアに、即ちリニアスケールでは指数関数 的に、減少することが判る(時間及び周波数において、もちろんこれら２つの様 相は同一である)。この特性は、従って、実際の実施形態では、波形を打ち切り することを可能にし、受信機の複雑性を制限することを可能とする。 この変調の減少が非常に速く(対数スケールでリニアである)、ＯＦＤＭ／ＩＯ ＴＡ変調の場合より√２だけ大きな係数を有していることに注目すべきである。５．４ 送信機の原理 図４は本発明による信号の送信機の簡易化したブロック図を示している。送信 方法はこの図から直接的に導き出される。 ビットレートの高い（典型的には数１０メガビット／ｓ）のバイナリソースに ついて考える。“バイナリソース”なる用語は、あらゆるタイプ（音、画像、デ ータ）の１つ又はそれ以上の標本化された、デジタルの、又はアナログのソース 信号９１に対応した一連のデータ要素を意味すると理解される。これらのバイナ リデータ要素はフェージングチャネルに適応したバイナリーバイナリチャネル符 号化９２を受ける。例えば、多分、リード−ソロモン符号に結合された格子符号 化（ｔｒｅｌｌｉｓ ｃｏｄｅｄ）変調を使用することができる。より特定的に は、４ビット／Ｈｚのスペクトル効率が必要ならば、８つの振幅レベルを有する ８ＡＭ変調で効率が２／３の符号を使用することが可能である。 次に、フランス特許第ＦＲ−８８１５２１６号に説明されている原理に基づき 、必要なダイバーシティを与えるべくかつ送信されるシンボルに影響を与えるレ イリーフェージングを非相関（ｄｅｃｏｒｒｅｌａｔｅ）とすべく、これらの符 号化されたデータ要素は時間−周波数空間に分散される(９３)。 より一般的には、第１のバイナリーバイナリ符号化と、時間及び周波数インタ ーレースと、マッピング操作とが行われる。インターレースは、必要性及び使用 される符号に応じて、マッピングの前又は後に無差別に行われることは明らかで ある。 この符号化操作が終わると、送信されるべき実シンボルａ_m,nが存在すること となる。ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ−π／４変調器９４を構築する原理は、ＯＦＤＭ／ ＯＱＡＭ送信機の場合と同様である。変 調システムの詳細な記載は参考文献［１５］に記載されている。送信されるべき 信号を構築するため、同じ次数ｎのシンボルが一緒にされ、次式が計算される： この操作は、有利には、同じ次数ｎの全てのシンボルに関して高速フーリエ変 換（ＦＦＴ）によりデジタル的に行われる(本発明の格子上で行われる十進に基 づいて、ＦＥＴの複数の点を平等に分けることが可能である)。その後、プロト タイプ関数ＩＯＴＡ−π／４による形成された波形との乗算が行われ、最後に、 異なるランクのシンボルの付加（指数ｎに基づく加算）が行われる。 このようにして発生した複素信号は次にアナログの形態に変換９８され、２チ ャネル相互直交変調器９９（Ｉ／Ｑ変調器）により最終の周波数に置き換えられ 、送信９９１される前に最終的に増幅９１０される。５．５ 受信機の原理 図５は本発明による信号の受信機（及び対応する受信方法）を該略的に示して いる。 ＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ−π／４受信機は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ変調に適合した受 信機と実質的に同様である。入力段の部分は従来通りである。信号は前置増幅１ ０１され、中間周波数に変換１０２され、チャネルフィルタリング１０３が行わ れる。中間周波数信号は次の１０５で相互に直交した２つのチャネルのベースバ ンドに変換される。さらに、自動利得修正（ＡＧＣ）機能１０４が行われる。こ のＡＧＣは、前置増幅１０１を制御している。 他の方法は、単一のチャネルに信号を標本化するようにその中間周波数信号を 低いキャリア周波数に置き換えることにあり、これによって複素部分はデジタル フィルタリングにより得られる。または、ＲＦ信号がベースバンドに直接置き換 えられ(直接変換)、チャネルフィルタリングは２つのチャネルＩ及びＱの各々に ついて行われるかもしれない。いずれの場合も、受信信号に対応した複素包絡の 信号を分離した形に戻すことができる。 ベースバンドでのデジタル処理の詳細を表わすため、次の送信信号の複素包絡 の式により特徴づけられるマルチキャリアタイプの変調について考察する： その可変伝達関数Ｔ（ｆ，ｔ）により特徴づけられる伝送チャネルを取りあげ る(付録２を参照)。受信信号ｒ（ｔ）の複素包絡は次のように表すことができる ： 復調器は、フランス特許第ＦＲ−９００１４９１号に基づいた明示キャリアの 基準格子を例えば使用するかもしれない従来手段により、伝達関数Ｔ（ｆ，ｔ） を推定する(１０６)。信号を適切に復調（１０７）するため、このチャネルは、 考慮されている時間及び周波数についてのＴ（ｆ，ｔ）の値に対応した振幅及び 位相によって特徴づけられる乗数チャネルに局所的に見たてられる。ａ_m,n（ｔ ）を推定するため、受信信号は次の信号と見なされる： 次のことが仮定されている： 従って。復調器は次の処理操作を行う： 伝達関数ρｅ^{i θ}を有する定常チャネルの場合、次のことが明らかに判る： 実際には、復調処理１０７は、図６に示す方法に基づいてデジタルの形態で行 われる。受信機は、ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ受信機の場合と同様に動作する［１３− １６］。即ち、受信機は次の処理操作を行う： 受信信号ｒ（ｔ）にプロトタイプ関数ｘ（ｔ）１１２を乗算１１１する； モジュロ２τ₀のフィルタした波形を“エィリアシングする”１１３； フーリエ変換（ＦＦＴ）を適用１１４する； ｍ＋ｎが偶数パリティ値であるサンプルを選択する（この選択は、多分、 ＦＥＴを適用している間に行われる）； 例えば振幅応答の推定ρ_m,n及び伝送チャネルの位相応答の推定θ_m,nを含 む、チャネル１１６の推定の関数として、位相Θ_m,nを修正１１５する； 位相ｅ^{i φ}m,nを修正１１７する； 振幅応答ρ_m,nによって重み付けされた、実数部分を選択１１８する。 従って、このアルゴリズムは、与えられた指数ｎの全ての係数の総合的な計算 を可能としている。対応する複雑性の程度、ＯＦＤＭ／ＱＡＭに対し使用された アルゴリズムの複雑性のほぼ２倍である。 このように得られた係数は、送信時に行われたインターレース(インターリー ブ)と対称的にデインターレース（デインターリーブ）１０８され、次に、有利 には、例えばビタビアルゴリズムタイプのアルゴリズムを実施するソフト決定復 号化技術に基づき復号１０９される。チャネルの復号がチャネルρ_m,nの振幅応 答の推定を考慮する場合は、対応する値もデインターレース（デインターリーブ ）１１０される。さらに、デインターレース（デインターリーブ）はもちろんイ ンターレース（インターリーブ）が送信で行われた時の時間上の点に応じたマッ ピングの前又は後で行われる。 付録４は、実施される処理をより詳しく説明している。 付録２１．チャネルのモデル化 １．１ 一般的モデル 分散性チャネルは、時間的に変化するパルス応答を有する線形システムである と考えられる。このパルス応答を定義するには２つの方法がある。この方法は[2 1]で提案された規則に広く基づいている： ・入力でのパルス応答即ち入力遅延広がり関数ｇ（ｔ,τ)は次式により定義され る： ここにｓ(ｔ)とｒ(ｔ)とは、それぞれ送信信号と受信信号とを表している、 ・出力でのパルス応答、即ち出力遅延広がり関数ｈ(ｔ,τ)は次式により定義 される： 明らかにｈ(ｔ，τ)＝ｇ(ｔ＋τ，τ)を有し、ｈ(ｔ，τ)は時点ｔでチャネル のパルス応答を表す。これらの規則が成立し、次の特徴関数を定義することがで きる： ・遅延−ドップラー広がり関数Ｕ(τ,ν)の特徴は次式により定められる： 及び ・ドップラー−遅延広がり関数Ｖ(ν,τ)の特徴は次式により定められる： 及び 又は全く簡単に： Ｖ(ν,τ)＝ｅ^{i2 πνγ}U(τ，ν) ・時間変化伝達関数Ｔ(ｆ，ｔ)の特徴は次の通りである： 及び それゆえ、定常チャネルの場合と同じ式が再び得られるが、伝達関数が時間で 変わることが単に異なる。この伝達関数Ｔ(ｆ,ｔ)は、（τ,ν）の２Ｄフーリエ 変換であり、即ち以下の通りである。 いかなる場合も、Ｕ(τ,ν)は制限されたサポートを有していると仮定してい る。これは、伝達関数Ｔ(ｆ,ｔ)が、標本化定理による別々の値の格子により表 されることを意味している。１．２ 静的な遅延−ドップラーモデル 遅延−ドップラーモデルは次式により定義される： この式は、振幅、位相、時間オフセット及び周波数オフセットにより特徴付け られる基本チャネルの和としてのチャネルを示している。それゆえ、静的な遅延 −ドップラーモデルと称されるこのタイプのチャネルの種々の既存の変調の動作 に関心を持つことは正しいことである。 チャネルの式は次の簡略化した形で書かれる： ｒ(ｔ)＝Ａｅ^{i θ}ｓ(ｔ−τ)ｅ^{i2 πν} ２．非定常チャネル内でのＯＦＤＭの動作特徴 ２．１ 一般の場合 次の一般式により特徴付けられるあらゆるタイプのＯＦＤＭ多重搬送波変調( ＯＦＤＭ／ＱＡＭ,ＯＦＤＭ／ＯＱＡＭ又はＯＦＤＭ／ＩＯＴＡ)を検討する： ａ_kは実変数であり、Ｅは時間−周波数空間での密度２の２Ｄ格子であり、関数 ｘ_k(ｔ)は、Ｌ²(Ｒ)のヒルベルト基底を構成する、同一のプロトタイプ関数ｘ( ｔ)の時間と周波数とで変換される。 格子Ｅの構造の上にはいかなる仮定も無いことに注意する必要がある。ＯＦＤ Ｍ／ＱＡＭの特別な場合、この格子は、位相が直交する２つの共にローカライズ された副格子に分けられる。 復調動作は次のように書くことができる：φは復調器により推定された位相であり、ｒ(ｔ)は受信された信号の複素エンベ ロープである。それゆえ、次のように書くことができる： ところで： これにより次式が導き出される： れる： これらは一般的であるが、前述の式は殆ど利用されない。しかし、これらは有 効な信号及びシンボル間が遅延−ドップラー広がり関数により重み付けられた曖 昧性関数の積分として表されることを示している。２．２ 静的チャネルの場合 位相θ、遅延τ及びオフセットν(振幅Ａは１で正規化されている)により特徴 付けられる静的な遅延−ドップラータイプのチャネルの場合、復調は推定量に位 相パラメータφを導入することにより同ように行われる。この操作の結果は次の ように書ける： それゆえ、復調された信号は最終的に次のように書ける： ２番目の項は、シンボル間干渉(ISI)を表している。データの要素ａ_kが分散量 σを有する独立したランダム変数であるとすれば、ISIの分散量Ｉは次のように 書ける： ここで、係数ｃ_kは関数ｘ_k(ｔ)のヒルベルト基底の上で１に等しい平均値で関 数ｅ^{i( φ-θ)}ｅ^{2i πν(t+τ)}ｘ_n(ｔ＋τ)のブレイクダウンの係数である。それ ゆえ、次式のようになる： 言い換えれば、受信信号の分散量は一定であり、分散量Ｉ＝(１−ｃ_n ²)σ²を 有して、“有効な”信号ｃ_nａ_nとISIとの間で分散される。係数ｃ_nの計算結果は 次式による。 ここで、Ａｘ_n(τ,ν)は、ｘ_nの曖昧性関数(付録３も参照)を表す。 従って、次のように書くことができる： 復調の位相φは、φ_opt＋Δφの形で書くことを仮定しており、ここに、φ_opt はISIを最小にする、即ちｃ_nを最大にする復調の位相で次式のように与えられる ： φ_opi＝θ＋πντ＋２π（τ_nν−ν_nτ） 次に、ISIの分散量は簡単に次のように書くことができる： プロトタイプ関数が偶数次関数であるとき(これは、この文書の主な部分に記 載されたヒルベルト基底を構成する方法の場合に対応している)、曖昧性関数は 実数であり、それゆえ次式を得る： Ｉ＝(1−Ａｘ²(τ，ν)cos²Δφ))σ² この結果は非常に注目すべきことである。これは、あらゆる多重搬送波変調の 遅延とドップラー現象に対する感度が、プロトタイプ関数の曖昧性関数にしか依 存しないからである。以下では、用語“シンボル間関数”（厳密な意味で無く、 シンボル間干渉の関数を示 ために用いられ、最適な位相が推定される場合、データの要素の平均の二次の値 により正規化されたシンボル間の平均の二次の値を示している。３．異なるタイプのＯＦＤＭの比較分析 ３．１ 理論的限界 以下の記載は、シンボル間関数の特徴を論じている。多重搬送波変調の感度が (０，０)の近くで、対応するプロトタイプ関数の曖昧性関数の動作に直接関係し ていることが知られている。生ずる問題は、レーダの分野で生ずる不確定性の問 題と全く同じであり、この課題における豊富な文献が参考文献としてある(例え ば[22]を参照)。一般性を少しも損なうことなく、その１次モーメントが零とな るように、適切な時間及び周波数変換によって、即ち次式によって、関数ｘ(ｔ) を選ぶことができる： このような条件のもとでは、１次の部分導関数が次のように互いに相殺される ことが、容易に証明される： ２次部分導関数をもとに(０，０)の周りの曖昧性関数の動作を次のように特徴 付けることができる： 次に(０，０)における曖昧性関数のテーラーヤングの展開を検討する： シンボル間の分散量をテーラーヤングの展開から次のように推測される： 即ち： シンボル間関数Ｉｓは最初に次式を有した接線円錐を受け入れることが推測で きる： この円錐と平面ｚ＝１との交差(最大シンボル間)は、楕円の外形の表面の限界 を定める。その面積ξは、遅延及びドップラー現象に対する感度の測定値と考え られる。μ_xが零のとき、この楕円は対称な軸として時間と周波数軸を有してお り、該時間軸に沿って±1／2πΔｆから広がり、該周波数軸に沿って±1／2πΔ ｔから広がっている。それゆえ、次式を得る： ξ＝1／4πΔｔΔｆ ハイセンベルクの不等式を考慮すると、ξは１を越えることができない。μ_x が０と異なるならば、この結果は一般化される。関数ｘ(ｔ)にウォブレーション (wobbulation)を乗じることにより得られる関数ｙ(ｔ)を検討する： それゆえ、のように書くことができる： それゆえ、適切にβを選択することによりμ_yを削除することが常に可能であ る。ところで、ウォブレーションとの乗算の操作により、面積を保った関連する 曖昧性関数の軸を簡単に変えられる。これにより、パラメータξが０と１との間 に常にあることが推測される。 この結果が極めて重要であるのは、１つのパラメータを基に分散チャネル内で のＭＣＭのパフォーマンス特性を比較することができるからである。それゆえ、 これらのパフォーマンス特性は関連するプロトタイプ関数の集中のみに依存する ことがわかる。実質的にはガウス関数により最適化が行なわれるが、ガウス関数 によりヒルベルトの基底が作られないので、この最適化得ることは難しい。３．２ ガード区間(guard interval)を有するＯＦＤＭの特別な場合 １の密度を有する格子から組み立てられたＯＦＤＭ変調は、パラ メータξが零である、バリアン−ロー−コイフマン−セメス定理に起因する縮重 (degenerate)場合を構成する。更に、この結果は、全体的に一般的であり、基底 関数の重心(barycenters)の格子の構造には何にでも応用できる。実際に、時間 ウォブレーションに基づいて、指定されていない直交構造に達するために、フー リエ変換及び相似拡大演算子(homothetic operator)が常に可能となり、それに 対してバリアン−ロー−コイフマン−セメス定理が応用できる。ここで、これら ３つの演算子は、面積の保護を伴う曖昧性関数の軸の変化でしか達成されない。 それゆえ、パラメータξがこのタイプの全ての変調に対して零となることが推測 される。 ＯＦＤＭ／ＱＡＭ変調は、この規則から免除されない。この場合、パラメータ Δｆは無限である。これは、時間シフトに対して非常に高感度にもたらされる( シンボル間関数は、時間軸に対して垂直となる接線を有する)。しかし、ＯＦＤ Ｍ／ＱＡＭは、他のタイプのＯＦＤＭに利用できないという切り札を有する。そ れは、ガード区間によって拡張されたシンボル内で、初期シンボルの変換バージ ョン(translated versions)の無限大となる。このユニークな特徴は、ＯＦＤＭ ／ＱＡＭが複素数ＭＣＭの集合内で実に単一点であることを意味する。 ガード区間は、プリズムに変換すべきシンボル間関数(時間感度において全体 的に平坦なこの場合)に円錐接線を有効にする非シンボル間領域を生成する。該 プリズムの平面ｚ＝１の交点は、非縮重長方形であり、即ちその面積が零でない 。ガード区間の効果を明確に理解するために、図３が参照できる。本来、ガード 区間の使用は、前述の証明の文から離れることを意味し、１にこの面積を限定す ることもはや適用されないことを意味する。しかし、ガード区間を有するＯＦＤ Ｍは、最適な虚数のＭＣＭ変調(ξ＝１を有する)と比較される。問題は、ガード 区間が明らかに同じξを見つけることが可能となることについてである。そこで 、プロトタイプ関数を構成するＯＦＤＭ変調を検討する。 Δｔ²＝τ₀ ²／12が直ぐに確かめられる。その結果、平面ｚ＝１を有するシン ボル間関数に対して接線方向のプリズムの交点は、 ボル間レベルを限定するために捜されると仮定する。ξ＝１を有する最適な変調 について、−１０ｄＢよりも小さいシンボル間領域の面積が、範囲０．１内にあ る。ガード区間を有するＯＦＤＭ変調の のようになるべきガード区間Δτが必要とされる。この値は、完全に検討でき、 遅延及びドップラー現象の不利な条件の下でＯＦＤＭシステムの動作を得るため に支払われるべき価格を明確に説明する。 付録３ １．はじめに この付録は、時間及び周波数軸に対して対称となる時間−周波数変換の存在を 証明する全ての証明を与える。この意味において、これら変換は、時間−周波数 平面の全ての方向に完全な等方性によって特徴付けられたガバー(Gabor)変換に 非常に類似している。これら新しい変換の等方性はわずかに近似しているけれど も、ここではこれをアイソトープと称する。ガバー変換との主な違いは、これら 変換が厳密に直交しており、デジタル送信の地域にこれらアプリケーションを予 見することが可能となる。実際に、変換の直交性は、更なるガウスノイズを含む チャネルの本質的な特徴であるユークリッドメートル法の保護を保証する。 このアプローチに起因する変調システムが、等方性直交変換アルゴリズムを用 いるために、それらをＩＯＴＡ変調システムと命名する。 ２．曖昧性関数 前述した曖昧性関数は、レーダ技術の発展によって動機付けされて研究されて きた。この章では、この関数の主な特徴を再度示し、この関数で動作する種々の 演算子を説明する。 ２．１ 曖昧性関数に関する再認識 ２．１．１ 定義 関数ｘ(ｔ)とそのフーリエ変換Ｘ(ｆ)とを考える。この関数を用いて、次式で 規定されるそれぞれのその時間及び周波数積とを関係付けることができる： 従って、ウィグナー−ビレ(Wigner-Ville)変換及びｘの曖昧性関数は、次のよ うに与えられる： ２．１．２ 曖昧性関数の対称な特徴 関数ｘ(ｔ)を考える。表記ｘ-及びｘは、次のように規定される関数にそれぞ れ用いられている： 従って次の関係式が得られる： 即ち、ｕ＝−ｔであるとすると次式のようになる。 これにより、特に、関数ｘが偶数パリティ関数、即ちｘ＝ｘ^-であるならば、 その曖昧性関数は実数であると結論付けられる。更に、次の関係式に注目すべき である： これら二つの関係式を結合することにより、次式を得る： ２．１．３ 曖昧性関数及びフーリエ変換 次のように曖昧性関数の定義を書き直すことができる： 即ち、また Ａｘ(τ，ν)＝Ａｘ(−τ，ν) ２．１．４ 曖昧性関数及び時間−周波数変換 あらゆるプロトタイプ関数の変換関数ｘ(ｔ)、即ち次式を検討する： 関連した曖昧性関数は、次のように書ける： 即ち、ｕ＝ｔ−τ_kと仮定すると、次のようになる。２．２ 直交的で曖昧な関数 ２．２．１ 一般の場合 同一関数ｘ(ｔ)の２つの変換関数を検討する、即ち： これら２つの関数のスカラ積は次のように書ける： 即ち、ｕ＝ｔ−(τ_k＋τ_k)／2であると仮定すると、次のようになる： ３．直交格子におけるヒルベルト基底 ３．１ 構成の一般的原理 次式により規定される関数の集合｛ｘ_m,n｝を検討する： この集合｛ｘ_m,n｝がＨ_Rのヒルベルト基底を構成するように、ｘ(ｔ)における 条件を捜す。ｘ(ｔ)が偶数パリティ関数であり、それゆえ、その曖昧性関数Ａｘ が実数であると規定する。 ｘ_m,nとｘ_m,n'のＲ内のスカラ積は次のように書ける： 合同式モジュロ２の関係を次のように書くことができる。 (ｍ−ｍ')＋(ｎ−ｎ')＋(ｍ−ｍ')＋(ｎ＋ｎ')≡ １−(ｍ−ｍ’＋1)(ｎ−ｎ’＋1) 従って、(ｍ，ｎ)≠(ｍ'，ｎ'）のモジュロ2ならば、スカラ積は零となる。そ れゆえ、格子｛ｘ_m,n｝は次式により特徴付けられた４つの副格子に分解される ： ｛ｍが偶数、ｎが偶数｝、｛ｍが偶数、ｎが奇数｝、 ｛ｍが奇数、ｎが偶数｝、｛ｍが奇数、ｎが奇数｝ それゆえ、異なる副格子に属する関数の間の直交性は、自動的であり、一度この プロトタイプ関数が偶数値になれば、プロトタイプ関数の特徴に依存しない。 従って、行うべき残りのことは、同一の副格子の関数が相互に直交となること を保証することである。このために、曖昧性関数Ａ_xが次のようになることを確 認することで十分である。 Ａ^x(2ｎτ₀，2ｍν₀)＝０ ∀(ｍ，ｎ)≠(０，０) それゆえ、密度が2の直交格子におけるＨ_Rのヒルベルト基底を構成する問題は 、その曖昧性関数が1／2の密度の格子上で打ち消される偶数パリティのプロトタ イプ関数を構成するということになることに注目すべきである。 ３．２ 直交性の方法 ３．２．１ 時間直交性 定義 フーリエ変換Ｘ(ｆ)の関数ｘ(ｔ)を検討する。Ｏ_tは、関数ｙ(ｔ)とｘ(ｔ)を 関係付ける時間的直交性演算子を示している。この関数ｙ(ｔ)はそのフーリエ変 換Ｙ(ｆ)によって定義される：： 解釈により次式を得る： 即ち逆フーリエ変換により： 即ち、また： Ａｙ(２ｎτ₀,０)＝０ ∀ｎ≠０ 及び Ａｙ(０，０)＝１ それゆえ、時間軸における直交性が達成される。 ｘはガウス関数であり、ｙ＝Ｏ_tｘである。次の式を検討する： Ｘがガウス関数なので、次のように書くことができる： ここでｃ_mは一定である。これから次のように推測できる： Γ_y(ｆ,２ｍν₀)=ｃ_mΓ_y(ｆ，０) 逆フーリエ関数により次式を得る： Ａｙ(τ,２ｍν₀)＝ｃ_mＡｙ(τ,０) 従って： ∀ｍ,∀ｎ≠０ Ａｙ(２ｎτ₀，２ｍν₀)＝０ それゆえ、時間的な直交演算子Ｏ_tは、周波数軸の場合を除いて全格子を直交 にする。定理１ ｘがガウス関数であり、ｙ＝Ｏ_tｘであるとすると、次式を得る： ∀ｍ,Ｖｎ≠０ Ａｙ(２ｎτ₀,２ｍν₀)=０３．２．２ 周波数の直交性 定義 関数ｘ(ｔ)を考える。Ｏ_tは関数ｙ(ｔ)とｘ(ｔ)とを関係付ける周波数の直交 演算子を示す。この関数ｙ(ｔ)は次式により定義される 解釈により次式を得る： フーリエ変換により次式が与えられる： 及び ν₀τ₀＝1／2 即ち、また： Ａｙ(０,２ｍν₀) ∀ｍ≠０ 及び Ａｙ(０，０)＝１ それゆえ、周波数軸の直交性は正確に達成される。 ｘは、ガウス関数であり、ｚ＝Ｏ_fｙ及びｙ＝Ｏ_tｘとする。そこで、次式を検 討する： それゆえ、次のように書くことができる： γ_z(ｔ,２ｎτ₀)＝γ_y(ｔ,２ｎτ₀)Ｐ（t） ここでＰ(ｔ)は、以下のタイプのフーリエ級数展開を可能にする周期τ₀の周 期関数である。 フーリエ変換により、次式を得る： ここで、 ∀ｍ，∀ｎ≠０， Ａｙ(２ｎτ₀,２ｍν₀)＝０ → ∀ｍ,∀ｎ≠０， Ａｚ(２ｎτ₀,２ｍν₀)＝０ 更に、解釈により、 ∀ｍ≠０，Ａｚ(０,２ｍｖ₀)＝０ 最後に次式を得る： ∀（ｍ,ｎ)≠(０,０)，Ａｚ(２ｎτ₀,２ｍν₀)＝０ 従って、ｚの曖昧性関数は、(０、０)以外で２τ₀及び２ν₀の倍数の全てに対 して打ち消され、格子は密度が1／2になる。 定理２ ｘをガウス関数とし、ｚ＝Ｏ_fＯ_tｘとすると次のようになる： ∀(ｍ,ｎ)≠(０,０),Ａｚ(２ｎτ₀,２ｍν₀)＝０ ３．３ 直交演算子Ｏ 前述の点から、式の記載を対称にする時間−周波数スケールがあ めに十分である。従って、スケールは、証明の一般的用途を損なうことなく再正 規化できる。 ３．３．１ 定義 用語Ｏは、関数ｘと関数ｙとを関係付ける直交演算子を示す。この関数ｙは次 のように規定される。 更に、以下では、用語Ｆは、フーリエ変換の演算子を示す。 ３．３．２ 演算子Ｏのべき等 ｚ＝Ｏｙ及びｙ＝Ｏｘとする。これにより次のように書くことができる： それゆえ、演算予Ｏのべき等を示すＯＯｘ＝Ｏｘを表す。 同様に、Ｆ^-1ＯＦＦ^-1ＯＦ＝Ｆ^-1ＯＯＦ＝Ｆ^-1ＯＦのために、二重演算子Ｆ^-1 ＯＦもべき等である： ３．３．３ 補題１ ｘを任意の関数とする： 補題１ ｘを任意の関数とする。それにより次式を得る： Ｄ＊(Ｐｘ)＝Ｐ(Ｄ＊ｘ) ３．３．４ 補題２ のような超関数となる。 それゆえ、次のように書くことができる。 ｚ_α＝Ｏｙ_αとする。これにより、次式が得られる。 ルート符号の下で和を取ると次のようになる： 即ち、また、付録内で与えられた結果の適用によって次のようになる。： 更に、指数を組み替え、ｋをｋ＋ｋ’＋ｋ”と再規定すると次のようになる。 ： 従って、次のように書くことができる： 及び 従って、 及び ｚ_α＝ｃ₀Ｐ_αｙ_α＝ｃ₀Ｐ_α（Ｄ＊ｘ_α） 即ち補題１の適用によって ｚ_α＝ｃ₀Ｄ＊（Ｐ_αｘ_α） それゆえ、最終的に次のようになる： Ｏ［Ｄ＊ｘ_a］＝ｃ₀Ｄ＊Ｏｘ_α 補題２ ｘをガウス曲線とし、Ｄを次式のような超関数とすると、 そのとき、 Ｏ［Ｄ＊ｘ］＝ｃ₀Ｄ＊Ｏｘとなり、ｃ₀は正の定数となる。 ３．３．５ 演算子Ｏ及びＦ^-1ＯＦの可換特徴 演算子Ｏ及びＦ^-1ＯＦは、ガウス関数に適用できる際にこれらを可換されるこ とを示す。 そのとき Ｆｘ_α＝ｘ_{1/ α} 及び Ｏｘ_α＝Ｐ_αｘ_α Ｐ_αが周期特性ならば、そのフーリエ変換Ｄ_αは以下のように書くことができ る。 Ｏによるｙ_αの直交性の結果となる関数ｚ_αと、Ｆ^-1ＯＦによるｘ_αの直交性 の結果となる関数ｙ_αとを検討する。これにより、次式を得る。 ｚ_α＝ＯＦ^-1ＯＦｘ_α 以下の点にも注意すべきである。 ・いずれの実偶数パリティ関数ｘに対して、Ｆ^-1ｘ=Ｆｘとなる。 ・ｃが正で一定ならば、Ｏ[ｃｘ]＝Ｏｘとなる。 ・いずれの実偶数パリティ関数ｘ(ｕ)に対して、Ｏｘ、Ｆｘ及びＦ^-1が偶数パ リティ実関数となる。 これらの結果により、次のように書くことができる。 ＯＦ^-1ＯＦx_α＝ＯＦ^-1ＯＦｘ_{1/ α}＝ ＯＦ^-1[Ｐ_{1/ α}Ｘ_{1/ α}]＝Ｏ[Ｄ_{1/ α}＊ｘ_α] 補題２の適用によって次式を得る。 Ｏ[Ｄ_{1/ α}＊ｘ_α]＝Ｃ₁Ｄ_{1/ α}＊Ｏｘ_α＝ｃ₁Ｄ_{1/ α}＊(Ｐ_αｘ_α) ｃ₁は正定数である。これらから次式が推測できる。 ＯＦ^-1ＯＦｘ_α＝ｃ₁Ｄ_{1/ α}＊(Ｐ_αｘ_α) 同様に、次式のように書くことができる。 Ｆ^-1ＯＦｘ_α＝ＯＦ^-1ＯＦ[Ｐ_αｘ_α]＝Ｆ^-1Ｏ[Ｄ_α＊ｘ_{1/ α}] 補題２の適用によって次式を得る。 Ｏ[Ｄ_α＊1ｘ_{1/ α}]＝Ｃ₂Ｄ_α＊Ｏｘ_{1/ α}＝Ｃ₂Ｄ_α＊(Ｐ_{1/ α}ｘ_{1/ α}) ｃ₂は正定数である。これらから次式が推測できる。 Ｆ^-1ＯＦＯｘ_α＝ｃ₂Ｆ^-1[Ｄ_α＊(Ｐ_{1/ α}ｘ_{1/ α})]＝ ｃ₂Ｐ_α(Ｄ_{1/ α}＊ｘ_α) ここで、補題１の適用によって次式を得る。 Ｄ_{1/ α}＊(Ｐ_αｘ_α）＝Ｐ_α(Ｄ_{1/ α}＊ｘ_α) 従って、次式を得る。 ｃ₂ＯＦ^-1ＯＦｘ４^α＝ｃ₁Ｆ^-10ＦＯｘ_α ここで、ＯＦ^-1ＯＦｘ_α及びＦ^-1ＯＦＯｘ_αの両方は、１に対応するノルムを 有し、それゆえ等しくなる。 定理３ あらゆるガウス関数ｘに対して、演算子Ｏ及びＦ^-1ＯＦが、次式のように組み 替えられる： ＯＦ^-1ＯＦｘ＝Ｆ^-1ＯＦＯｘ 系１ であるならば、Ｆｚ_α＝ｚ_{1/ α}となる。 証明： Ｆｚ_α＝ＦＦ^-1ＯＦＯｘ_α＝ＯＦ^-1Ｏｘ_α＝ＯＦ^-1ＯＦｘ_{1/ α}＝ｚ_{1/ α} 注目すべき特別な場合 Ｆｚ₁＝ｚ₁ この特別な関数により、時間及び周波数軸に対し完全な対称が与えられ、それ ゆえＩＯＴＡ(等方性直交変換アルゴリズム)変換のプ 系２ ｘをガウス関数とし、ｚ＝ＯＦ^-1ＯＦｘとすると、Ｏｚ＝Ｚとなる。 証明： Ｏｚ＝ＯＯＦ^-1ＯＦｘ＝ＯＦ^-1ＯＦｘ＝ｚ 系３ ｘをガウス関数とし、ｚ＝ＯＦ^-1ＯＦｘとすると、Ｆ^-1ＯＦｚ＝ｚとなる。 証明： Ｆ^-1ＯＦｚ＝Ｆ^-1ＯＦＦ^-1ＯＦＯｘ＝Ｆ^-1ＯＯＦＯｘ＝Ｆ^-1ＯＦＯｘ＝ｚ ３．３．６ 関数ｚ_αの曖昧性関数 のようになる： Ｏ_f＝Ｏ及びＯ_f＝Ｆ^-1ＯＦ 従って、定理２は次のように書き直すことができる： 定理４ ｘをガウス関数として、ｚ＝Ｆ^-1ＯＦＯｘとすると、次のようになる。 ∀(ｍ，ｎ)≠(０，０) ４．任意の格子に対する一般化 ここまでは、密度が２の直交格子上に構成されたヒルベルト基底を検討してき た。この章は、密度が２であれば何れの格子上に構成されたヒルベルト基底を見 ることになる。 ４．１ 構成の一般的原理 直交格子に対して証明されたものと同じ方法で、この節は、プロトタイプ関数 の基底上に密度が２である任意の格子上にヒルベルト基底を構成する方法を表し ており、該プロトタイプ関数の曖昧性関数は密度が1／2である格子上で打ち消さ れる。 ｜ν₂τ₂−ν₂τ₁｜1／2を伴う基底ベクトル(τ₁，ν₁)及び（τ₂，ν₂）から 生じる、密度が２である任意の格子を検討する。従来から基底ベクトルのオーダ は、ν₂τ₁−ν₁τ₂＝1／2のように選択されることになる。従って、次のような 関数x(t)を検討する。 Ａｘ(２ｎτ₁+２ｍτ₂，２ｎτ₁＋２ｍν₂)＝０ それゆえ、その曖昧性関数は、密度が1／2である格子上で打ち消される。次式に よって規定された関数｛ｘ_m,n｝の集合を検討する。 スカラ積〈ｘ_m,n｜ｘ_m',n'〉を計算する。それゆえ、次式のようになる。 及び ここで、ν₂τ₁−ν₁τ₂＝1／2とならば、次式を得る。 Ψ_m,n＝π(ｎ²ν₁τ₁＋ｍ²ν₂τ₂＋２ｍｎν₁τ₂) それゆえ、次式を得る。 θ＝Ψ_m,n−Ψ_m,'n'＋(ｍ−ｍ')(ｎ＋ｎ')π／2 ψ_m,n＝(ｍ＋ｎ)π／2−Ψ_m,nとする。このときスカラ積<ｘ_m,n｜ｘ_m',n'〉Ｒ は、最後に次のように書かれる。 ｘの曖昧性関数は実数であり、その係数を見る。同じ位相用語は、直交格子の 場合に再度見られる。従って、(ｍ,ｎ)≠(ｍ',ｎ')のモジュロ２であるならば、 スカラ積は零となる。そうでなければ、ｘの曖昧性関数で作られた仮設に起因し て零となる。 それゆえ、時間−周波数平面の任意の格子上のヒルベルト基底を構成するため に利用できる一般的方法を有する。それゆえ、実行すべき残りのものは、プロト タイプ関数を構成することであり、該関数の曖昧性関数は、必要とされる特性を 有する。 ４．２ 時間−周波数平面の座標の変化 今までに演算子を説明しており、その動作は、時間−周波数平面内で簡単に説 明される。これは、密度が1／2である直交格子における曖昧性関数の打ち消しの 点を作る直交演算子のようなものである。以下では、説明は、時間−周波数平面 の座標の変化を作る新しい演算子に関係する。これら演算子は、プロトタイプ関 数の変換を可能にし、その曖昧性関数は、密度が1／2である直交格子上で打ち消 される。その曖昧性関数は、プロトタイプ関数に対して密度が1／2である任意の 格子上で打ち消される。 関数ｘと次式のような関数ｙ＝Ｔｘとを関係付ける演算子Ｔを考 える。 Ａｙ((τ,ν)'Ｍ_T）＝Ａｘ(τ,ν) Ｍ_Tは行列であり、その行列式は１に等しい。 それゆえ、演算子Ｔは、行列Ｍ_Tによって特徴付けられた時間−周波数平面の 座標の変化を達成する。 ４．３ 基底演算子 ４．３．１ フーリエ変換演算子 Ｘがｘの変換であるならば、即ちＸ＝Ｆｘであるならば、前述したように以下 の関係式を得る。 Ａｘ(ν₂−τ)＝Ａｘ(τ,ν) それゆえ、次に、対応する特有の行列が、以下のように書かれる。 この行列は、時間−周波数平面の−π／2の回転に対応する。 ４．３．２ 位相シフト演算子 関数ｘと次式のような関数ｙとに関係付けられた位相シフト演算子Ｐ^θを検討 する。 ｙ(ｔ)＝ｅ^{i θ}ｘ(ｔ) 明らかに次式を得る。 Ａｙ(τ,ν)＝Ａｘ(τ,ν) ４．３．３ 相似拡大変換演算子 相似拡大変換演算子Ｈ_γは、関数ｘ(ｔ)を有する関数ｙ(ｔ)に関係する演算子 であり、関数ｙ(ｔ)は次式によって定義される。 γは、検討された相似拡大変換の要素である。 それゆえ、次式を得る。 ｕ＝ｔ／γとする。γが正ならば、次式を得る。 γが負ならば、次式を得る。 両方の場合に、Ａ_γ(τ,ν)＝Ａｘ(τ／γ,γν)ならば、次式を得る。 Ａｙ(γτ,ν／γ)＝Ａｘ(τ,ν) 従って、次のようになる。 ４．３．４ ウォブレーション演算子 関数の曖昧性関数を修正するための簡単な方法は、ウォブレーション信号によ ってそれを乗算することからなる。Ｗβは、関数ｙ(ｔ)と関数ｘ(ｔ)とに関係す る時間ウォブレーション演算子を示しており、関数ｙ(ｔ)が次式によって定義さ れる。 次に、次式のように書くことが可能となる。 フーリエ変換によるならば、 即ち、また、 Ａｙ(τ,ν＋βτ)＝Ａｘ(τ,ν) 従って、次のようになる。４．４ 時間−周波数演算子の群 前述された基底演算子の有限共役(finite conjugation)によって生じる全ての 演算子を検討する。最初に、ｙ＝Ｔｘ＝Ｔ₁Ｔ₂...Ｔ_nｘならば、次式となること に注目すべきである。 明らかに、演算子の共役として規定された積を提供するこの集合は、群構造を 有する。 ４．４．１ 演算子の乗算のための基本規則 演算子の乗算は、以下の規則によって管理される。 Ｆ⁴＝Ｉ Ｆ²＝Ｈ_-1 Ｐ^θＰ^θ'＝Ｐ^θ+θ' Ｈ_γＨ_γ'＝Ｈ_γγ Ｗ^βＷ^β'＝Ｗ^β+β' 更に、Ｆ²及びＰ^θは、他の全ての演算子と可換される。最後に、以下の関係 式に注目すべきである。 ｕ'＝ｙ／γとする。γが正ならば、 γが負ならば、 両方の場合に、それゆえＨ_γＦ＝ＦＨ_{1/ γ}となる。 同様に、次式を得る。 ４．４．２ チャープ(chirp)変換アルゴリズムの拡張 前述の規則は、フーリエ変換及びウォブレーション演算子を除いて、互いに全 ての演算子の伝達を可能とする。これら演算子の伝達を可能にする規則は、より 複雑であり、チャープ変換アルゴリズムから推定できる。 ここで、演算子Ｆ、Ｗ及びＨを結合する関係式を検討する。δ_t(ｕ)＝δ(ｕ− ｔ)とする。検討される演算子が線形であるために、これらの特性は、以下の関 係式を用いて超関数δ_tにおける動作を 検討することによって分析される。 従って、次式を得る。 それゆえ、最後に次式を得る。 ＦＷ^{1/ β}Ｆ＝Ｐ^π/4Ｗ^{- β}ＦＷ^{-1/ β}Ｈ_β ４．４．３ 標準的な分解 ここで前述に定義された演算子の集合の要素をとる。この要素が演算子Ｆを有 さないならば、４．４．１章に与えられた規則を用いることによって、次式のよ うにそれを簡単に整理することが可能となる。 Ｔ＝Ｐ^θＨ_γＷ^α この要素が１つの演算子Ｆしか有さないならば、同じ規則を適用することによ って、次式のようにそれを簡単に整理することが可能となる。 Ｔ＝Ｐ^θＨ_γＷ^αＦＷ^β この要素が少なくとも２つの演算子Ｆを含むならば、次式のよう にそれを簡単に整理することが可能となる。 ４．４．２章の規則を適用することによって、演算子Ｆを反復的に取り除くこ とができ、最後に１つの演算子しか含まない表現式を得る。簡単に言えば、群の 要素は、前述の表現式の２つの式の一方に従って全て書かれる。 第１のタイプの表現式に従って書かれた群の要素をＴとする。その特徴ある行 列が次に書かれている。 第２のタイプの表現式に従って書かれた群の要素をＴとする。その特徴ある行 列が次に書かれている。 逆に、１に等しい行列式を有する行列Ｍ_Tをとる。それと、その標準的表現に 従って記載された演算子とを関係付けることができる。 及びａｄ−ｂｃ＝１ ｃ＝０ならば、第１のタイプの演算子と次のようなこの行列とを関係付けるこ とができる。 ｃ≠０ならば、第２のタイプの演算子と次のようなこの行列とを 関係付けることができる。 θとみなす全体的曖昧さを残すことが明らかであることに注目すべきである。４．５ 任意の格子におけるヒルベルト基底の構成 前述した方法は、任意の格子におけるヒルベルト基底の構成の一般的方法を与 える。基底ベクトル(τ₁,ν₁)及び(τ₂,ν₂)並びにν₂τ₁−ν₁τ₂＝1／2から生 じる密度が２である任意の格子を検討する。次式のような関数ｘ(ｔ)を検討する 。 実際問題として、関数ｘは、ＯＱＡＭ、ＯＭＳＫ、又は第３章に示され且つ特 にＩＯＴＡ関数のようなガウス関数の直交性によって得られた関数のいずれか１ つの、プロトタイプ関数となる。 Ｔは、次式によって規定された特徴行列Ｍ_Tを有する演算子とＳる。 そしてｙ＝Ｔｘである。そのとき、次式を得る。 ∀(ｍ，ｎ)≠(０，０) 次式によって定義された関数｛ｙ_m,n｝の集合を検討する。 及び Ψ_m,n＝(ｍ＋ｎ)π／２ −π(ｎ²ν₁τ₁＋ｍ²ν₂τ₂＋２ｍｎν₁τ₂) ４．１章で証明されたものに従って、関数｛ｙ_m,n｝の集合は、ヒルベルト基 底を構成する。それゆえ、時間−周波数平面の任意の格子におけるヒルベルト基 底を構成するために利用できる一般的な方法を有する。 ５．５点形ヒルベルト基底 前述の一般的方法が学術的関心事を明らかにしたけれども、その実際の適用は 、難しいことを明らかにする。一方で、一般の場合、復調アルゴリズムは、基底 関数の格子の斜交構造によってひどく複雑にされる。それゆえ、得られたプロト タイプ関数は一般的に複雑である。更に、これは複雑さを増加する。 それゆえ、この一般化が任意の実際の値を有するならば、問題が生じる。この プログラムの目的は、この問題に対する完全な解答を提供することである。 前述された方法に従って一般化されたヒルベルト基底の集合を検討する。その プロトタイプ関数が実偶数パリティ関数であるヒルベルト基底に対して、この集 合内で検索される。そのとき、曖昧性関数は、次式のように対称性を有する。 及び それゆえ、Ａｘ(τ,ν)＝Ａｘ(-τ,ν)＝Ａｘ(-τ,-ν)＝Ａｘ(-τ,ν)となる 。この関数の可約(cancellation)格子が同じ対称性を有しない限り、曖昧性関数 のこれら対称性は得ることができない。ここでこれら条件は、2つのタイプの格 子を除いて確認されない：その上の直交格子は、今まで検討された全ての変調と 、５点形格子とに基底される。 ＝(1／2,-1／2)及び(τ₂,ν₂)＝(1／2,1／2)によって生じる。角度-π／４の回 転で一方の格子から他方の格子へ移動する。これは、なぜ特別な値が、時間−周 波数平面の回転を達成する演算子より下に取り付けられるかということである。 ５．１ 時間−周波数回転演算子の副群 その特徴行列が次のような時間−周波数平面の回転となる演算子の全てを検討 する。 フーリエ変換Ｆの演算子が、角度ψ＝−π／2の回転に対応し、同時に演算子 Ｆ³＝Ｆ^-1が角度ψ＝π／2の回転に対応することは、既に分かっている。 次式の演算子を検討する。 Ｐ^θＦＷ^αＨ_γＦＷ^β その特徴行列は、以下のように書かれる。 γ＝−ｃｏｓψ及びα＝β＝tanψならば、角度ψの回転の行列を得る。パラ メータθは曖昧さを残す。この曖昧さを取り除くために、この演算子がガウス関 数ｘ(ｕ)＝ｅ^{- αu2}の不変式を残すことを規定することになる。 ここで次式を得る。 用語ψ_modxは、ψのモジュロπに合致すべき−π／２からπ／２の間の値を示 す。それゆえ、次のように書くことができる。 最後に、次のように書くことができる。 定義 用語Ｒ^ψは、次のように規定された角度ψで時間−周波数平面の回転の演算子 を意味する。 実数αをとる。演算子Ｆの分数のべき乗もまた、次の関係式によって規定され る。 Ｆ^α＝Ｒ^{- απ/2} 従って、規定された演算子の集合は、平面の回転の群を有する伝 達群構造同形(commutative group structure isomorphous)を有する。演算子Ｆ のべき指数表記は、べき指数の"通常"の特性の全てを確認する。 ５．２ ＩＯＴＡ π／４ 直交格子におけるヒルベルト基底の発生を可能にする偶数パリティで実数のプ ロトタイプ関数ｘ(ｔ)と、次のように規定された関数ｙ(ｔ)とする。 ｙ＝Ｆ^1/2ｘ Ｆ^1/2は、前述で規定されたようなフーリエ変換の平方根演算子である。曖昧性 関数のレベルで、この演算子は、時間−周波数平面の角度π／４の回転を行う。 関数ｙ(ｘ)が実偶数パリティ関数にできるために、その曖昧性関数は、時間及び 周波数軸に対して対称となるべきである。それゆえ、これは、時間及び周波数軸 に対する対称性に加えて、関数ｘ(ｔ)が、時間−周波数軸の対角線に対して対称 となることを意味する。関数ｘ(ｔ)がそのフーリエ変換と同じであるならば、こ れが確認できるような特性は、そのフーリエ変換と同じとなる。ここでは、この 特性を有する１つの関数のみが公知である。これが、ＩＯＴＡ関数である。 ＩＯＴＡ関数π／４は、次の関係式によって規定される。 この関数は、構成によって実数及び偶数パリティ関数である。それゆえ、この関 数の曖昧性関数は、ベクトル(τ₁,ν₁)＝(1/2,-1/2)及び(τ₂,ν₂)＝(1／2,1／2 )によって生じる５点形格子において打ち消される。４．１章に従って、次式に よって規定された関数 及び ψ_m,n＝(ｍ＋ｎ−ｍｎ−(ｍ²−ｎ²)／2)π／２ 指数の再規定において、次のようなこの集合の定義を再び書くことができる。 及び ψ_m,n＝(ｍ−ｍｎ/2＋(ｎ²−ｍ²)／4)π／２ ６．付録 以下の恒等関数は、次のように認められる。 正規化されたガウス関数ｘが次のように規定されるとする。 それゆえ、積ｘ(ｕ−ａ)ｘ(ｕ−ｂ)が、以下のように書くことができる。 最後に、次のように書くことができる。 付録 ４ １．連続から離散へ 前述した２つの章において、Ｌ²[Ｒ]の関数を検討してきた。実際に、信号の デジタル処理は、離散域に移動すると仮定する。 １．１ 一般的ポイント この仮定が周知である理論的に重要なことであるけれども、実際に用いられた 信号は、時間域と周波数域との両方で限定されることを常に検討する。しかし、 以下の方法を適用する離散値の有限集合によって、この問題及び表された信号を 回避することを可能にする。 時間域の[０，Ｔ]及び周波数域の[-Ｗ／2,Ｗ／2]に限定された空間の、明らか にされていない複素数信号ｘ(ｔ)を見ると仮定する。考察は、積ＷＴが整数とな る場合に限定されるべきである。ベクト能となる。 指数ｑに従う和は、エイリアシングを達成し、それゆえ、サンプリングが周波 数の信号を「周期的(periodize)」に行う間、時間の信号を「周期的」に行う。 ｙ(ｔ)＝ｘ(ｔ)ｅ^{2i πmt/T}とする。 次のように書くことができる。 この完全に《自然の》結果が変調周波数の特別な選択によるコストで得られ、 エイリアシングの全ての問題を取り除く。同様に、タイプｙ(ｔ)＝ｘ(ｔ−ｎ／ Ｗ)の変換を検討するならば、次のように書くことができる。 一般的に、ｌ／Ｗ及びｌ／Ｔのそれぞれの乗算である時間及び周波数サンプリ ング構造の選択は、信号の調和エイリアシングを保証し、連続域のそれと直接等 しい離散域への書き込みを可能にする。 、次のように書くことができる。 ｐ＝ｎ÷ｑ'ＷＴ及びｑ＝ｑ’−ｑ”とする。ここで、 １．２ ＩＯＴＡ変換 ここで、「理論的アプローチ」の章で、ＩＯＴＡ関数に基づいて得られた結果 を引き出す第１の変換を見る。 １．２．１ 連続域のＩＯＴＡ変換 相似拡大演算子の事前動作によってこの状態に戻ることが可能とな 及びψ_m,n＝(ｍ＋ｎ)π／2 以下の公式を選択することが交互に可能となることが注目される。 この修正は、基底関数の起こりうる逆符号に対応する。フーリエ変換Ｓ(ｆ)の 信号ｓ(ｔ)のＩＯＴＡ変換は、次の関係式によって規定される。 逆変換は、次式によって得られる。 １．２．２ 離散ＩＯＴＡ変換 この選択は、エイリアシングの問題が無くなることを保証する。基 とを関係付けることが可能となる。 関数ＩＯＴＡの時間−周波数変換関数の直交性の特性があるならば、(ｍ，ｎ)≠ (ｍ'，ｎ')mod(２Ｍ,２Ｎ)ならば、このスカラ積は零と る。 これらの結果、離散ＩＯＴＡ変換は以下のように規定できる。 ＩＯＴＡ変換の定義 Ｍ及びＮは任意の２つの積分とする。実スカラ積の感度の直交となる次元２Ｍ Ｎを有する４ＭＮベクトルとし、次のように規定される。 ｍは０から２Ｍ−１の間で変化し、ｎは０から２Ｎ−１の間で変 化し、ｐは０から２ＭＮ−１の間で変化する。 レイクダウンできる。 ｐは０から２ＭＮ−１までの間で変化する。 １．３ ＩＯＴＡ変換π／４ １．３．１ 連続域のＩＯＴＡ変換π／４ ここで検討された変換は、《正規化》変換であり、即ち前述された格子を正規 化した５点形タイプの基底に構成されるものである。適する相似拡大演算子の事 前動作によってこの状態に戻すことが常する。 ,ｍ＋ｎ偶数パリティ 及びψ_m,n＝(ｎ−ｍｎ/2＋(ｎ²−ｍ²)/4)π／２ 以下の公式を選択するために、交互に起こりうることに注目すべきである。 ψ_m,n＝０ ｍ+ｎ≡０モジュロ４、ｍ及びｎは偶数パリティ ψ_m,n＝π/4 ｍ+ｎ≡２モジュロ４、ｍ及びｎは奇数パリティ ψ_m,n＝π/2 ｍ+ｎ≡２モジュロ４、ｍ及びｎは偶数パリティ ψ_m,n＝3π/4 ｍ+ｎ≡２モジュロ４、ｍ及びｎは偶数パリティ この修正は、基底関数の起こりうる逆符号に対応する。このとき 、フーリエ変換Ｓ(ｆ)の信号ｓ(ｔ)のＩＯＴＡ変換π／４は、次の関係式によっ て規定される。 逆変換は、次式によって得られる。 １．３．２ 離散ＩＯＴＡ変換 Ｔは２Ｎに等しく、Ｗは２Ｍに等しくなるように選択する。この選択は、エイ リアシングの問題が無くなることを保証する。基底関 関数ＩＯＴＡの時間−周波数変換関数の直交性の特性ならば、(ｍ，ｎ)≠(ｍ' ，ｎ')mod(２Ｍ,２Ｎ)ならば、このスカラ積は零とな る。 これらの結果、離散π／４のＩＯＴＡ変換は、次のように規定できる。 定義 Ｍ及びＮを２つの明確でない整数とする。実数スカラ積の感度の直交となる次 元４ＭＮを有する８ＭＮベクトルとし、次のように規定される。 ｍは０から４Ｍ−１の間で変化し、ｎは０から４Ｎ−１の間で偶数パリティ値 としてｍ＋ｎで変化し、ｐは０から４ＭＮ−１の間で変化する。 レイクダウンできる。 ｐは０から４ＭＮ−１の間で変化する。及び ２．高速復調アルゴリズム ２．１ 高速ＩＯＴＡ変換による復調 送られた信号の等式によって特徴付けられたＩＯＴＡマルチキャリア型変調を 検討する。 送信チャネルは、その可変伝達関数Ｔ(ｆ,ｔ)よって特徴付けられるとする。 受信された信号ｒ(ｔ)は、次のように書かれる。 最適な復調器は、この段に記載されていないものを用いて伝達関数Ｔ(ｆ,ｔ) を推定する。真の信号を復調するために、チャネルは、瞬間のＴ(ｆ,ｔ)の値と 、検討される周波数とに対応する振幅及び位相によって特徴付けられた多重チャ ネルに局所的に等しい。それゆえ、ａ_m,nを推定するために、受信された信号は 、次の信号に等しくなる。 次のように仮定する。 それゆえ、復調器は、以下の処理動作を行う。 伝達関数ρｅ^{- θ}を有する定常チャネルの場合、次のように明らか にされる。 実際に、処理は、デジタル形式で実行される。次式を得る。 次に、ｐ＝ｋ＋２Ｍｒで、ｋは０から２Ｍ-1の間で変化し、ｒは０からＮ-1の 間で変化すると仮定する。 この等式は、以下の処理動作を含む高速復調アルゴリズムを用いることができ ることを表している。 ・プロトタイプ関数によって受信された信号の前フィルタリング ・フィルタされた波形モジュロ２Ｍのエイリアシング ・２Ｍの複素点の次元を有するＦＦＴ ・位相θ_m,n＋ψ_m,nの修正 ・実部の選択 それゆえ、このアルゴリズムは、与えられた指数ｎの全ての係数の全体的計算 を可能とする。対応する複素数の大きさは、ＯＦＤＭに用いられるアルゴリズム のもののおよそ２倍になる。 ２．２ 高速π／４ＩＯＴＡ変換による復調 送られた信号の等式によって特徴付けられるπ／４ＩＯＴＡマルチキャリア型 変調を検討する。，ｍ＋ｎ偶数パリティ 前述のように、復調器は、以下の処理動作を行う。 実際に、処理はデジタル形式で行われる。次式を得る。 次に、ｐ＝ｋ＋４Ｍｒで、ｋは０から４Ｍ−１の間で変化し、ｒは０からＮ− １の間で変化すると仮定する。 この等式は、以下の処理動作を含む高速復調アルゴリズムを用いることができ ることを表している。 ング ・フィルタされた波形モジュロ４Ｍのエイリアシング ・４Ｍの複素点の次元を有するＦＦＴ 実際にパリティのｎに従って、偶数パリティと奇数パリティとの点を計算するこ とは十分である。この部分ＦＦＴは、バタフライ(butterfly)の第１のバンク(ba nk)の後で、比率２でサンプルを分割することによって実行される。これは、１ つの完全な前フィルタリングと等しくなる(サンプルの和又は差)。このとき、動 作は、２Ｍ点の次元を有するＦＦＴに減少される。 ・位相θ_m,n＋ψ_m,nの修正 ・実部の選択 それゆえ、このアルゴリズムは、与えられた指数ｎの全ての係数の全体の形成 を可能とする。対応する複素数のスケールは、ＯＦＤＭに用いられるアルゴリズ ムのもののおよそ２倍になる。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 アラール ミシェル フランス国，75004 パリ，リュ デ フ ラン―ブウルジュワ，23番地

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １．各々が一連のシンボルに対応するいくつかの基本キャリアを周波数多重化す ることに対応して、特に非定常的な伝送チャネル内で、デジタル受信機に送信さ れるように設計されたマルチキャリア信号であって、 密度が２の非直交時間−周波数格子上に構築されることを特徴とするマルチキ ャリア信号。 ２．各シンボルがシンボル時間τ₀の間キャリアに割り付けられており、かつ２ つの隣り合うキャリア間の間隔がν₀に等しく、 前記時間−周波数格子が５点形格子であり、 前記シンボル時間τ₀が、２つの隣り合うキャリア間の前記間隔ν₀の逆数の１ ／４に等しく、 １つのかつ同一のキャリアで送られる２つの連続シンボルが、前記シンボル時 間τ₀の２倍だけ離れており、 隣接するキャリアで送られる前記シンボルが、前記シンボル時間τ₀だけオフ セットされていることを特徴とする請求項１に記載の信号。 ３．前記キャリアの各々が、そのスペクトルの波形成形のためのフィルタリング 処理を受け、このフィルタリングは各シンボル要素が時間領域及び周波数領域の 両方で高度に集中されるように選択されることを特徴とする請求項１又は２に記 載の信号。 ４．その複素包絡が以下の式に適合しており、 ここで、ａ_m,nは所定のアルファベットの変調から選択された、ソース信号を表 す実数係数であり； ｍは周波数の次元を示す整数であり； ｎは時間の次元を示す整数であり； ｔは時間を示しており； ｘ_m,n（ｔ）は実数又は複素数をとる１つのかつ同一の偶数パリティの プロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数空間に変換された基本関数、即ち： ここに であり、φは任意の位相パラメータであり、 前記基本関数｛ｘ_m,n｝は相互に直交しており、２つの異なる基本関数のスカ ラ積の実数部分はゼロであることを特徴とする請求項２又は３に記載の信号。 ５．プロトタイプ関数の時間−周波数平面内で４５°回転したものに対応する前 記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）が、密度１／２の直交時間−周波数格子上における ヒルベルト基底の定義を可能とすることを特徴とする請求項４に記載の信号。 ６．前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）が、密度１／２の直交時間−周波数格子上に おけるヒルベルト基底の定義を可能とする該プロトタイプ関数上におけるフーリ エ変換の平方根に対応する、処理Ｆ^1/2の適用によって得られることを特徴とす る請求項４に記載の信号。 ７．前記プロトタイプ関数ｘ（ｔ）が、そのフーリエ変換と同一の関数であるこ とを特徴とする請求項５又は６に記載の信号。 ることを特徴とする請求項７に記載の信号。 ９．特に非定常的な伝送チャネル内で、デジタル信号を送信する方法であって、 送信すべきデジタル信号のチャネル符号化を行い、所定のアルファベットから 選択された実数のデジタル係数ａ_m,nは引き渡すステップと、 以下の式に適合した信号ｓ（ｔ）を構築するステップと、 ここで、ｍは周波数の次元を示す整数であり； ｎは時間の次元を示す整数であり； ｔは時間を示しており； ｘ_m,n（ｔ）は実数又は複素数をとる１つのかつ同一の偶数パリティの プロトタイプ関数ｘ（ｔ）の時間−周波数空間に変換された基本関数、即ち： であり、φは任意の位相パラメータであり、前記基本関数｛ｘ_m,n｝は相互に直 交しており、２つの異なる基本関数のスカラ積の実数部分はゼロである、 その複素包絡として前記信号ｓ（ｔ）を有する信号を少なくとも１つの受信機 へ送信するステップと を備えたことを特徴とする方法。 １０．送信すべき前記デジタル信号を形成するバイナリ要素に又はデジタル係数 ａ_m,nについて周波数及び／又は時間インターレースするステップをさらに備え たことを特徴とする請求項９に記載の方法。 １１．請求項１から８のいずれか１項に記載の信号ｓ（ｔ）を受信する方法であ って、 送信側における前記信号ｓ（ｔ）に対応する信号ｒ（ｔ）をその複素包絡とし て有する信号を受信するステップと； 位相応答θ_m,nの推定及び振幅応答ρ_m,nの推定を含む、伝送チャネルの応答を 推定するステップと； 前記信号ｒ（ｔ）を復調するべく以下の段階： 前記信号ｒ（ｔ）にプロトタイプ関数ｘ（ｔ）を乗算する段階、 モジュロ２τ₀のフィルタした波形をエィリアシングする段階、 フーリエ変換（ＦＦＴ）を適用する段階； ｍ＋ｎが偶数パリティ値であるサンプルを選択する段階； 伝送チャネルによって生じる位相θ_m,nを修正する段階； e^{i φm,n}に対応する位相を修正する段階；及び 伝送チャネルの振幅応答ρ_m,nによって重み付けされ、送信さ する段階 を含むステップと を備えたことを特徴とする方法。 の対応する値ρ_m,nの周波数及び／又は時間のデインターレースであり、伝送時 に行なわれたインターレースに対称であるデインターレースを行うステップと、 伝送時に行なわれたチャネル符号化に適合した重み付け決定復号を行うステッ プとの少なくとも１つをさらに備えたことを特徴とする請求項１１に記載の方法 。