DE69727505T2

DE69727505T2 - Erzeugung von prototypsignalen für mehrträgerübertragung

Info

Publication number: DE69727505T2
Application number: DE69727505T
Authority: DE
Inventors: Michel Alard
Original assignee: MICHEL ALARD PARIS SOC CIV; Society Civile Michel Alard; Telediffusion de France ets Public de Diffusion; France Telecom SA
Current assignee: MICHEL ALARD PARIS SOC CIV; Society Civile Michel Alard; Telediffusion de France ets Public de Diffusion; Orange SA
Priority date: 1996-11-08
Filing date: 1997-11-07
Publication date: 2004-12-16
Anticipated expiration: 2017-11-08
Also published as: EP1013042A1; JP2001503591A; EP1013042B1; WO1998021861A1; US6584068B1; ES2216133T3; ATE259129T1; DE69727505D1; JP4042161B2

Description

1. Erfindungsbereich
1.1 Allgemeiner Bereich
Der Erfindungsbereich ist der des Sendens oder der Übertragung von digitalen Daten oder analoger und abgetasteter Daten, die insbesondere durch mobile Stationen empfangen werden sollen. Genauer gesagt betrifft die Erfindung Signale, die mit Hilfe neuer Modulationen sowie mit den entsprechenden Modulations- und Demodulationstechniken erzeugt werden.
Seit vielen Jahren versucht man, Modulationen zu konstruieren, die stark unstationären Kanälen angepasst sind, beispielsweise Sendekanäle zu mobilen Stationen. In solchen Kanälen ist das gesendete Signal von Fading und Mehrwegeausbreitungen betroffen. Die von der CCETT im Rahmen des europäischen Projektes EUREKA 147 durchgeführten Arbeiten (DAB: Digital Audio Broadcasting oder Audiodigitales Senden) haben gezeigt, dass für diese Art von Kanälen, Mehrträger-Modulationen von Interesse sind und insbesondere das OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing, Orthogonales Frequenz-Multiplex).
Das OFDM wurde im Rahmen dieses europäischen Projektes als Basis der DAB-Norm gewählt. Diese Technik wurde ebenfalls als Modulation für das Senden von Fernsehprogrammen (DVB) gewählt. Man stellt jedoch fest, dass es eine Reihe von Beschränkungen gibt (die weiter vorne genauer erläutert werden), wenn man das Problem von mit hoher spektralen Leistungsfähigkeit kodierten Modulationen angeht, wie beispielsweise von digitalen Fernsehanwendungen verlangt.
1.2 Mögliche Anwendungen
Die Erfindung findet Anwendungen in sehr verschiedenen Bereichen, insbesondere dann, wenn eine hohe spektrale Leistungsfähigkeit gewünscht wird und der Kanal stark unstationär ist.
Eine erste Kategorie von Anwendungen betrifft terrestrische digitale Funkverbindungen, sowohl für Bilder als auch für Ton und/oder Daten. Insbesondere kann die Erfindung das synchrone Senden betreffen, das in inhärenter Weise lang andauernde Mehrwegeausbreitungen erzeugt. Sie betrifft ebenfalls vorteilhafterweise das Senden zu mobilen Stationen.
Eine andere Kategorie von Anwendungen betrifft digitale Funkkommunikationen. Die Erfindung kann insbesondere in digitalen Kommunikationssystemen zu mobilen Stationen mit hohem Durchsatz, beispielsweise im Rahmen von UMTS, zur Anwendung kommen. Sie kann ebenfalls für lokale Funknetze mit hohem Durchsatz (vom Typ HIPERLAN) ins Auge gefasst werden.
Eine dritte Kategorie von Anwendungen sind Unterwasserverbindungen. Bei der Unterwasserakustik ist der Sendekanal stark gestört, aufgrund der geringen Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Schallwellen im Wasser. Dies bewirkt eine starke Ausbreitung der Mehrwegeausbreitungen und des Doppler-Spektrums. Mehrfachträger-Modulationstechniken sind demnach diesem Bereich gut angepasst und insbesondere die Techniken, die Gegenstand dieser Erfindung sind.
2. Stand der Technik
2.1 Theoretische Bemerkungen zur Darstellung von Signalen
Bevor man die Signale nach der Erfindung vorstellt, werden nachfolgend die bekannten Signale beschrieben. Diese Beschreibung beruht auf einem allgemeinen Ansatz bezüglich der von den Erfindern definierten Mehrfachträgersignalen, der an sich neu ist. Diese Verallgemeinerung hat nämlich kein Gegenstück im Stand der Technik und ist für den Fachmann keineswegs selbstverständlich. Sie muss demnach als Teil der Erfindung betrachtet werden und nicht als Teil des Standes der Technik.
Man interessiert sich für reelle Signale (beispielsweise eine elektrische Größe), mit endlicher Energie, die Funktion der Zeit sind. Die Signale lassen sich demnach durch reelle Funktionen von L²(R) darstellen. Ferner weisen diese Signale ein begrenztes Band auf und ihr Spektrum ist in
wobei f_c die „Trägerfrequenz" des Signals ist. Man kann demnach in gleichwertiger Weise ein reelles Signal a(t) durch seine komplexe Einhüllende s(t) darstellen, wobei:
wobei F_A das analytische Filter bezeichnet.
Das Signal s(t) gehört einem vektoriellen Teilraum an (charakterisiert durch die Bandbeschränkung auf ±w/2) des Raumes der komplexen Funktionen einer reellen Variable mit summierbarem Quadrat L²(R). Dieser vektorielle Raum kann in zwei verschiedenen Weisen definiert werden, je nachdem ob man auf dem Körper der komplexen oder der reellen Zahlen aufbaut. Jedem Raum kann man ein Skalarprodukt mit einem Wert in C oder R zuordnen und einen Hilbert-Raum konstruieren. Man nennt H den auf dem Körper der komplexen Zahlen aufgebauten Hilbert-Raum und H_R den auf dem Körper der komplexen Zahlen aufgebauten Hilbert-Raum.
Die entsprechenden Skalarprodukte schreibt man:
Die damit zusammenhängenden Normen sind offensichtlich in beiden Fällen identisch:
2.2 Allgemeine Prinzipien des OFDM
Die allgemeinen Prinzipien des OFDM werden beispielsweise in dem am 2. Juli 1986 eingereichten französischen Patent FR-86 09622 vorgestellt. Die Grundidee dieser Technik besteht darin, kodierte Symbole als Formkoeffizienten elementarer Wellen zu senden, die so weit wie möglich im Zeit-Frequenz-Raum eingeschränkt sind und für welche der Sendekanal als örtlich stationär angesehen werden kann. Der Kanal erscheint dann als einfacher multiplikativer Kanal, gekennzeichnet durch die Verteilung des Koeffizientenmoduls, der einem Rice- bzw. ein Rayleigh-Gesetz folgt.
Der Schutz gegen Fading wird dann mit Hilfe eines Codes sichergestellt, der unter gewichteter Entscheidung einsetzbar ist, durch Assoziierung mit einer Zeit- und Frequenzverschachtelung, die garantiert, dass die im Minimalgitter des Codes intervenierenden Symbole so weit wie möglich von unabhängigen Fadingvorgängen betroffen sind.
Diese Technik mit Verschachtelung im Zeit-Frequenz-Raum ist unter dem Namen COFDM bekannt. Sie ist beispielsweise im Dokument [22] beschrieben (s. Anhang 1 (um das Lesen zu erleichtern sind die meisten Referenzen zum Stand der Technik in diesem Anhang 1 aufgelistet. Dieser Anhang sowie die Anhänge 2 und 3 müssen selbstverständlich als vollwertige Teile dieser Beschreibung angesehen werden)).
Es gibt im wesentlichen zwei Arten bekannter OFDM-Modulationen. Da die in der Literatur verwendeten Bezeichnungen des öfteren nicht eindeutig sind, führen wir hier neue und genauere Bezeichnungen ein, wobei wir auf die Zusammenhänge mit der vorhandenen Literatur hinweisen. Die Grundbezeichnung OFDM benutzen wir gefolgt von einem Suffix, der die Art der Modulation innerhalb dieser Familie präzisiert.
2.3 OFDM/QAM
2.3.1 Theoretische Prinzipien
Eine erste Kategorie von Modulationen besteht aus einem Multiplex von QAM-Trägerwellen (Quadrature Amplitude Modulation) bzw. eventuell von Modulationen nach QPSK (Quadrature Phase Shift Keying) für den besonderen Fall von binären Daten. Im Nachfolgenden werden wir dieses System unter dem Namen OFDM/QAM bezeichnen. Die Trägerwellen sind alle synchronisiert und die Entfernungen zwischen Trägerfrequenzen betragen den Umkehrwert der Symbolzeit. Obwohl sich die Spektren dieser Trägerwellen überlappen, erlaubt es die Systemsynchronisierung, die Orthogonalität zwischen den von den verschiedenen Trägerwellen gesendeten Symbolen zu gewährleisten.
Die Referenzen [1] bis [7] geben eine gute Übersicht der diesbezüglich verfügbaren Literatur.
Für mehr Einfachheit beim Schreiben und dem neuen Ansatz der Erfindung entsprechend werden die Signale in ihrer oben beschriebenen analytischen Form dargestellt. Unter diesen Bedingungen wird die allgemeine Gleichung eines OFDM/QAM Signals wie folgt geschrieben:
Die Koeffizienten a_m,n nehmen komplexe Werte an, welche die gesendeten Daten beschreiben. Die Funktionen x_m,n(t) sind im Zeit-Frequenz-Raum verschobene Werte einer selben Prototypfunktion x(t):
wobei φ eine beliebige Phase ist, die man in beliebiger weise auf 0 setzen kann. Die Funktion x(t) ist zentriert, d. h., ihre Momente der Ordnung 1 sind null, oder: ∫t|x(t)|2dt = ∫f|X(f)|2df = 0 (8)wobei X(f) die Fouriertransformierte von x(t) bezeichnet.
Unter diesen Bedingungen stellt man folgendes fest: ∫t|xm,n(t)|2dt = nτ0 ∫f|Xm,n(f)|2df = mν0 (9)
Die Baryzentren der Grundfunktionen bilden somit ein Gitter der Zeit-Frequenz-Ebene, das von den Vektoren (τ₀, 0) und (0, ν₀) erzeugt wird. Dieses Gitter weist Einheitsdichte auf, d. h., ν₀τ₀ = 1. Eine mehr ins Detail gehende Diskussion dieses Themas ist im Artikel [9] zu finden.
Die Prototypfunktion x(t) hat die Besonderheit, dass die Funktionen {x_m,n} untereinander orthogonal sind. Genauer bilden sie eine Hilbert'sche Basis von L²(R), oder:
Das Projizieren eines Signals unter dieser Basis entspricht einfach dem Zerlegen des Signals in Folgen der Dauer τ₀ und im Darstellen aller dieser Folgen durch die entsprechende Entwicklung nach einer Fourier-Reihe. Diese Art der Zerlegung bildet einen ersten Schritt in Richtung auf eine gleichzeitige Lokalisierung nach Zeit und Frequenz, im Gegensatz zur klassischen Fourier- Analyse, die eine perfekte Frequenz-Lokalisierung gewährleistet, bei vollkommenem Verlust der Zeitinformation.
Ist die zeitliche Lokalisierung perfekt, so ist leider die Frequenz-Lokalisierung viel schlechter, aufgrund der langsamen Abnahme von X(f). Der Satz von Balian-Low-Coifman-Semmes (s. [9], S. 976) zeigt außerdem, dass wenn man X als die Fouriertransformierte von x bezeichnet, so können tx(t) und fX(f) nicht gleichzeitig quadratisch summierbar sein.
2.3.2 Das OFDM/QAM mit Schutzintervall
Allgemein kann man die Toleranz einer OFDM-Modulation gegenüber Mehrwegeausbreitung und Doppler-Ausweitung durch einen Parameter charakterisieren, der in globaler Weise die Variation des Interferenzniveaus zwischen Symbolen (IES) als Funktion einer Zeit- oder Frequenzverschiebung misst. Die Begründung dieses Konzeptes findet man im Anhang 2. Dieser Toleranzparameter wird ξ genannt und wird durch die folgende Beziehung definiert: ξ = 1/4πΔtΔf (11)wobei Δt2∫|x(t)|2dt = ∫t2|x(t)|2dt (12) Δf2∫|X(f)|2df = ∫f2|X(f)|2df (13)
Aufgrund der Heisenberg'schen Unschärferelation, kann ξ nicht größer als die Einheit sein.
Aufgrund des oben erwähnten Satzes von Balian-Low-Coifman-Semmes, nimmt der Parameter ξ den Wert 0 für das OFDM/QAM an. Das ist ein schwerwiegender Fehler der OFDM/QAM-Modulation in der oben beschriebenen Form. Dies macht sich in der Praxis durch eine starke Empfindlichkeit gegenüber Zeitfehlern und somit den Mehrwegeausbreitungen bemerkbar.
Dieser Fehler lässt sich durch Anwendung eines beispielsweise in [5] beschriebenen Schutzintervalls umgehen. Es handelt sich dabei um einen Kunstgriff, bei dem das rechteckige Fenster der Prototypfunktion verlängert wird. Die Dichte des Basissymbolgitters ist dann streng kleiner als die Einheit.
Diese Technik ist möglich, weil man im Inneren eines durch ein Schutzintervall verlängerten Symbols eine unendliche Zahl von verschobenen Versionen des Ausgangssymbols findet. Dies funktioniert selbstverständlich nur deshalb, weil die Prototypfunktion ein rechteckiges Fenster ist. In diesem Sinne bildet das OFDM/QAM mit Schutzintervall einen einzigen Sonderpunkt.
Die OFDM/QAM-Modulation mit Schutzintervall bildet die Basis des DAB-Systems. Dieses Schutzintervall ermöglicht es, die Interferenz zwischen Symbolen um den Preis eines Leistungsverlustes zu begrenzen, da ein Teil der gesendeten Information nicht wirklich vom Empfänger genutzt wird, sondern nur zum Aufnehmen der Mehrwegeausbreitungen dient.
So beträgt im Falle des DAB-Systems, bei dem das Schutzintervall 25% des nützlichen Symbols beträgt, der Verlust 1 dB. Es gibt darüber hinaus einen zusätzlichen Verlust aufgrund der Tatsache, dass, um einen gegebenen gesamten spektralen Wirkungsgrad zu erzielen, der vom Schutzintervall verursachte Verlust durch einen besseren Wirkungsgrad des verwendeten Codes ausgeglichen werden muss.
Dieser Verlust ist im Falle des DAB-Systems nebensächlich, aufgrund des schwachen spektralen Wirkungsgrades. Peilt man dagegen einen gesamten spektralen Wirkungsgrad von 4 Bits/Hz an, so muss man einen Code mit 5 Bits/Hz verwenden, was nach dem Satz von Shannon, einen Verlust in der Größenordnung von 3 dB bedeutet. Der Gesamtverlust liegt in diesem Falle in etwa bei 4 dB.
2.3.3 Andere OFDM/QAM-Systeme
Es sind andere Systeme vom Typ OFDM/QAM denkbar. Leider erfüllt keine gefilterte QAM-Modulation (d. h., eine Modulation, die eine konventionelle Formgebung des Typs Halb-Nyquist (oder genauer gesagt, „Quadratwurzel von Nyquist") verwendet) die erforderlichen Orthogonalitäts-Zwänge. Die bekannten Prototypfunktionen, welche die erforderlichen Orthogonalitätskriterien erfüllen, sind:

– das rechteckige Fenster;
– der Cardinalsinus.

Diese zwei Beispiele sind trivial und erscheinen gegenseitig dual durch Fouriertransformierte. Der Fall des rechteckigen Fensters entspricht dem OFDM/QAM ohne Schutzintervall. Der Fall des Cardinalsinus entspricht einem klassischen Frequenzmultiplex (d. h., bei dem die Trägerfrequenzen voneinander getrennte Spektren aufweisen), mit einem Roll-off von 0%, was einen in der Praxis schwer zu verwirklichenden asymptotischen Fall darstellt.
In jedem dieser Fälle stellt man fest, dass die Prototypfunktion entweder in der Zeit oder nach der Frequenz perfekt begrenzt ist, wobei sie jedoch eine mäßige Abnahme (in 1/t bzw. 1/f) im dualen Bereich aufweist.
Der Satz von Balian-Low-Coifman-Semmes lässt außerdem wenig Hoffnung bezüglich der Möglichkeit der Existenz befriedigender Lösungen offen. Wie bereits erläutert zeigt dieser Satz, dass tx(t) und fX(f) nicht gleichzeitig summierbare Quadrate aufweisen können. Man kann demnach nicht hoffen, eine derartige Funktion x(t) zu finden, dass x(t) und X(f) gleichzeitig abnehmen, mit einem Exponenten, der kleiner als –3/2 ist.
Dies schließt andererseits die Existenz von Funktionen, die in den Augen eines Ingenieurs befriedigend sind, nicht aus. Ein vor kurzer Zeit veröffentlichter Artikel [10], der dieses Thema behandelt, weist dagegen ein anderes Beispiel einer Prototypfunktion mit den erforderlichen Eigenschaften auf. Der Verlauf der in diesem Artikel vorgeschlagenen Prototypfunktion liegt sehr fern von dem, was bezüglich Zeitkonzentration wünschenswert wäre. Möglicherweise gibt es demnach keine befriedigende Lösung des Typs OFDM/QAM.
Als Schlussfolgerung gilt, dass das OFDM/QAM, welches der Anwendung eines Gitters mit der Dichte 1 und komplexen Koeffizienten a_m,n entspricht, nur im Falle eines rechteckigen Zeitfensters und bei Anwendung eines Schutzintervalls einsetzbar ist. Der Fachmann, der andere Modulationen sucht, muss sich demnach den unten unter dem Namen OFDM/OQAM beschriebenen Techniken zuwenden.
2.4 OFDM/OQAM
Eine zweite Modulationskategorie benutzt in der Tat einen OQAM-Trägermultiplex (Offset Quadrature Amplitude Modulation). Nachfolgend bezeichnen wir dieses System unter dem Namen OFDM/OQAM. Die Trägerwellen sind alle synchronisiert und der Abstand zwischen den Trägerfrequenzen beträgt die Hälfte des Umkehrwertes der Symbolzeit. Obwohl sich die Spektren dieser Trägerwellen überlappen, ermöglicht es die Synchronisierung des Systems und die Wahl der Phasen der Trägerwellen, die Orthogonalität zwischen den von verschiedenen Trägerwellen gesendeten Symbolen zu gewährleisten. Die Referenzen [11–18] geben eine gute Übersicht der diesbezüglich verfügbaren Literatur.
Um die Schreibweise zu vereinfachen, werden die Signale in ihrer analytischen Form dargestellt. Unter diesen Bedingungen wird die allgemeine Gleichung eines OFDM/OQAM-Signals wie folgt geschrieben:
Die Koeffizienten a_m,n nehmen reelle Werte an, welche die gesendeten Daten darstellen. Alle Funktionen x_m,n(t) sind Verschiebungen einer selben Prototypfunktion x(t) im Zeit-Frequenz-Raum:
wobei ν₀τ₀ = ½ und
wobei φ eine beliebige Phase ist, die man in beliebiger Weise auf Null festlegen kann.
Die Baryzentren der Grundfunktionen bilden somit ein Gitter der Zeit-Frequenz-Ebene, das von den Vektoren (τ₀, 0) und (0, ν₀) erzeugt wird, wie in 2 dargestellt.
Dieses Gitter weist die Dichte 2 auf. Die Funktionen x_m,n(t) sind orthogonal im Sinne des Skalarproduktes in R. Bei den bekannten Ansätzen ist die Prototypfunktion nach der Frequenz begrenzt, so dass das Spektrum einer jeden Trägerwelle nur das der benachbarten Trägerwellen überlappt. In der Praxis sind die betrachteten Prototypfunktionen gerade (reelle oder eventuell komplexe) Funktionen, welche die folgende Beziehung erfüllen:
Eine mögliche Auswahl für x(t) ist die Impulsreaktion eines 100% „roll-off" Halb-Nyquist-Filters, angenommen:
Beobachtet man x(t) und seine Fouriertransformierte, merkt man, dass X(f) eine beschränkte Stütze hat und, dass x(t) gemäß t^–2 abnimmt, d. h., man hat ein wesentlich besseres Ergebnis als die theoretische Grenze, die sich aus dem Satz von Balian-Low-Coifman-Semmes ergibt. Die elementaren Wellenformen sind besser in der Zeit-Frequenz-Ebene lokalisiert, als dies der Fall beim OFDM/QAM ist, was dieser Modulation ein besseres Verhalten in Gegenwart von Mehrwegeausbreitungen und von Doppler verleiht. Wie vorher kann man den Parameter ξ definieren, welcher die Toleranz der Modulation gegenüber der Verzögerung und dem Doppler misst. Dieser Parameter ξ hat den Wert 0.865.
2.5 OFDM/MSK
Eine andere Lösung, die im Dokument WO-A-9635278 von denselben Anmeldern wie im Falle der vorliegenden Patentanmeldung beschrieben wird, besteht in der Verwendung einer anderen Prototypfunktion. Diese Prototypfunktion x(t) ist eine gerade Funktion, die außerhalb des Intervalls [–τ₀, τ₀] null ist, und die folgende Beziehung erfüllt:
Vorteilhafterweise wird die Prototypfunktion x(t) definiert durch:
Diese Funktion kann als dual durch Fouriertransformation der im Fall des OFDM/OQAM benutzten eingesetzten Prototypfunktion angesehen werden. Dieser Sonderfall wird OFDM/MSK genannt. Die Leistungen bezüglich Widerstand gegenüber Doppler und Mehrwegeausbreitungen sind dem OFDM/OQAM gleichwertig, wobei die Ausführung des Empfängers einfacher ist.
2.6 OFDM/IOTA
Eine andere Lösung, die ebenfalls in der bereits erwähnten Patentanmeldung FR-95 05455 beschrieben wird, besteht in der Anwendung einer weder in der Zeit noch nach der Frequenz begrenzten Prototypfunktion, die jedoch schnelle Abnahmeeigenschaften, sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich, aufweist. Diese Prototypfunktion wird durch die folgende Gleichung charakterisiert:
wobei die Funktion y(t) durch ihre Fouriertransformierte Y(f) definiert wird:
wobei G(f) eine normalisierte Gauss'sche Funktion vom Typ: G(f) = (2α)^1/4e^–πaf2 ist.
Im Falle der OFDM/IOTA-Modulierung wird der Parameter a auf den Wert 1 festgelegt. In diesem Falle ist die mit
gekennzeichnete entsprechende Prototypfunktion ihrer Fouriertransformierten identisch.
Die Ausführung des Empfängers ist einfacher als im Falle des OFDM/OQAM, obwohl sie etwas komplexer ist als im vorherigen Fall, wobei jedoch die Leistungen deutlich höher sind.
3. Nachteile der bekannten Systeme
Die bekannten Systeme weisen einige Nachteile und Einschränkungen auf, insbesondere in sehr gestörten Kanälen und/oder wenn eine hohe Leistungsfähigkeit erforderlich ist.
3.1. OFDM/QAM
Hauptproblem des OFDM/QAM-Systems ist, dass es unbedingt die Anwendung eines Schutzintervalls erfordert. Wie oben angegeben, verursacht dies einen merklichen Verlust an Leistungsfähigkeit, wenn hohe spektrale Leistungen angepeilt werden.
Ferner sind die gesendeten Symbole im Frequenzbereich schlecht konzentriert, was ebenfalls die Leistung in stark nicht stationären Kanälen einschränkt. Insbesondere erschwert diese Ausbreitung die Verwendung von Entzerrern.
3.2. OFDM/OQAM
Umgekehrt sind die Leistungen des OFDM/OQAM bezüglich der Frequenz eher zufrieden stellend, und das mit dem Schutzintervall zusammenhängende Verlustproblem stellt sich nicht. Dafür weist die Impulsantwort der Prototypfunktion eine relativ langsame zeitliche Abnahme auf, nämlich nach 1/x².
Dies impliziert zweierlei Schwierigkeiten. Zuerst, lässt sich die Wellenform schwierig über einen kurzen Zeitabschnitt abschneiden, was eine komplexe Verarbeitung auf der Ebene des Empfängers bedeutet. Ferner kompliziert dies auch mögliche Entzerrungssysteme.
Anders ausgedrückt, ist die Leistungsfähigkeit der OFDM/OQAM-Technik besser als die der OFDM/QAM-Technik, aber diese Techniken erweisen sich als schwieriger zu realisieren und sind somit kostspielig, insbesondere bei den Empfängern.
3.3. OFDM/MSK
Die OFDM/MSK-Modulation ist im Vergleich zu OFDM/OQAM leistungsfähig mit Bezug auf den Widerstand gegen Doppler und Mehrwegeausbreitungen. Diese Leistungsfähigkeit ist geringer als die von OFDM/IOTA. Dagegen vereinfacht die zeitliche Begrenzung der Prototypfunktion den Empfänger.
3.4. OFDM/IOTA
Die OFDM/IOTA-Modulation weist eine optimale Leistungsfähigkeit mit Bezug auf den Widerstand gegen Doppler und Mehrwegeausbreitungen auf. Dafür ist die Ausführung des Empfängers komplexer als für OFDM/MSK.
4. Vorstellung der Erfindung
4.1. Ziele der Erfindung
Hauptzweck der Erfindung ist es, diesen verschiedenen Nachteilen und Einschränkungen des Standes der Technik entgegenzuwirken.
So besteht ein Zweck der Erfindung im Bereitstellen eines digitalen Signals, das zu Empfängern gesendet oder übertragen werden soll, mit dem vergleichbare Leistungen wie im Falle der besten bekannten Lösungen, d. h. OFDM/IOTA, erzielt werden können, wobei die Konzentration der zeitlichen Antwort der Prototypfunktion verbessert wird, um insbesondere die Verarbeitung im Empfänger zu vereinfachen.
Ferner bezweckt die Erfindung das Bereitstellen eines Signals, mit dem die Verwirklichung von Empfängern begrenzter Komplexität bei mäßigen Kosten ermöglicht wird, insbesondere bezüglich Demodulation und Entzerrung.
Ein weiterer Zweck der Erfindung ist die Bereitstellung von Sendern, Empfängern und Übertragungs- bzw. Sendeverfahren, Empfangsverfahren und Konstruktionsverfahren, d. h. Definitionsverfahren, einer einem solchen Signal entsprechenden Modulation.
4.2. Hauptmerkmale der Erfindung
Diese Ziele sowie andere, die im Nachhinein ersichtlich werden, werden nach der Erfidung mittels eines Mehrträgersignals erreicht, das zu digitalen Empfängern gesendet werden soll, insbesondere in einem nicht stationären Sendekanal, welcher dem Frequenzmultiplexieren mehrerer, jeweils einer Symbolreihe entsprechender, elementarer Trägerfrequenzen entspricht, aufgebaut auf einem nicht orthogonalen Zeit-Frequenz-Gitter der Dichte 2.
Vorteilhafterweise handelt es sich dabei um ein Quincunxgitter, in dem, weil der Abstand zwischen zwei benachbarten Trägern ν₀ ist,

– die Symbolzeit τ₀ dem Viertel des Umkehrwertes des Abstandes ν₀ zwischen zwei benachbarten Trägern ist,
– die über derselben Trägerfrequenz gesendeten Symbole untereinander einen Abstand aufweisen, der 2 mal die Symbolzeit τ₀ beträgt,
– Symbole, die über benachbarte Trägerfrequenzen gesendet werden, um die Symbolzeit τ₀ versetzt sind.

Bevorzugterweise unterliegt jede Trägerfrequenz eine Filterung zum Formen ihres Spektrums.
Diese Filterung wird so ausgewählt, dass die weittestmögliche Konzentration eines jeden Symbolelementes sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich erreicht wird.
Insbesondere kann ein derartiges Signal der folgenden Gleichung genügen:
wobei:
a_m,n ein reeller, für das Quellensignal repräsentativer Koeffizient ist, der in einem vorgegebenen Modulationsalphabet gewählt wurde;
m eine die Frequenzdimension darstellende ganze Zahl ist;
n eine die Zeitdimension darstellende ganze Zahl ist;
t die Zeit darstellt;
x_m,n(t) eine in den Zeit-Frequenzraum einer selben Prototypfunktion x(t) versetzte Grundfunktion ist, wobei die Funktion x(t) reelle oder komplexe Werte annimmt, d. h.:
wobei ν₀τ₀ = 1/4 mit φm,n = (m + n + mn + (n2 – m2)/2)π/2wobei φ ein beliebiger Phasenparameter ist und
wobei die erwähnten Grundfunktionen {x_m,n} untereinander orthogonal sind,
wobei der reelle Teil des Skalarproduktes zweier verschiedener Grundfunktionen null ist.
Somit basiert die Erfindung auf einem Modulationssystem, das so weit wie möglich in der Zeit-Frequenz-Ebene konzentrierte Prototypfunktionen verwendet. Das Interessante an diesem Ansatz ist, das man über eine Modulation verfügt, deren Leistung identisch zu derjenigen der OFDM/IOTA-Modulation ist, wobei man über eine Impulsantwort mit schnellerer Abnahme verfügt.
Anders gesagt hat die Erfindung neue Modulationssysteme zum Ziel, die wie das OFDM/IOTA-System auf einem Gitter der Dichte 2 aufgebaut sind. Der wesentliche Unterschied im Vergleich zu den bereits bekannten Systemen ist, dass es sich beim Grundgitter um ein Quincunxgitter der Dichte 1/2 handelt.
Unter den vorgeschlagenen Modulationen findet man solche, die Prototypfunktionen verwenden, die weder bezüglich der Zeit noch der Frequenz begrenzt sind, die dafür Eigenschaften schneller Abnahme sowohl bezüglich der Zeit als auch der Frequenz sowie eine nahezu optimale Konzentration in der Zeit-Frequenz-Ebene aufweisen.
Nach dem Stand der Technik sind derartige Signale für den Fachmann auf keinen Fall selbstverständlich. Wie bereits oben erwähnt, gibt es grundsätzlich zwei Konstruktionsarten für Modulationen des OFDM-Typs.
Die erste bekannte Konstruktionsart verwendet ein orthogonales Gitter der Dichte 1.
Diese erste Lösung verwendet eine Zerlegungsbasis der Signale, bei der jedes Signal in Intervalle zerschnitten wird, wobei jedes Intervall dann als Fourier-Reihe zerlegt wird. Dies ist die OFDM/QAM-Lösung. Die Literatur gibt wenige Beispiele von auf demselben Gitter aufgebauten alternativen Lösungen und die erzielten Ergebnisse sind praktisch eher uninteressant [10].
Ferner ist die OFDM/QAM-Technik die einzige, die einen Vorteil aus der Methode des Schutzintervalls zieht. Somit stellt die OFDM/QAM-Lösung eine Singularität dar, die keine Erweiterungen ermöglicht.
Die zweite bekannte Konstruktionsmethode verwendet ein orthogonales Gitter der Dichte 2. Sie vereint eine Gruppe von Modulationtechniken, wie OFDM/OQAM, OFDM/MSK und OFDM/IOTA. Diese Modulationen unterscheiden sich untereinander durch die Wahl der Prototypfunktion, die entweder nach der Frequenz (OFDM/OQAM) oder nach der Zeit (OFDM/MSK) begrenzt ist oder weder nach Zeit noch nach Frequenz begrenzt ist, dafür aber eine schnelle Abnahme für beide Dimensionen (OFDM/IOTA) aufweist.
Demnach ist die Konstruktion neuer Modulationen, die nicht auf der Grundlage solcher orthogonaler Gitter beruht, nicht selbstverständlich.
Alle weiter unten beschriebenen Varianten der Erfindung haben den Vorteil, dass sie eine Prototypfunktion mit schneller Abnahme verwenden, so dass die Funktion einfach abzuschneiden ist.
Das Grundprinzip besteht in der Konstruktion einer Prototypfunktion mit den gewünschten Orthogonalitätseigenschaften auf einem Qincunxgitter. Die in Anhang 3 im Detail erläuterte Konstruktionsmethode besteht darin, von einer Prototypfunktion mit den gewünschten Orthogonalitätseigenschaften über ein orthogonales Gitter auszugehen und eine Drehung um 45° in der Zeit-Frequenz-Ebene auszuführen. Der Operator, der eine solche Umdrehung ermöglicht, ist kein klassischer Operator. Er kann mit der Quadratwurzel einer Fouriertransformierten gleichgestellt werden und wird F^1/2 geschrieben. Die mathematische Rechtfertigung dieser Schreibweise ist in Anhang 3 gegeben.
Im Prinzip lässt sich die Methode auf jede beliebige Prototypfunktion anwenden, mit der sich eine Hilbert'sche Basis über ein orthogonales Gitter der Dichte 1/2 konstruieren lässt. In diesem Sinne sind die Prototypfunktionen des OFDM/OQAM und des OFDM/MSK verwendbar.
Sie führen jedoch zu Ergebnissen, die komplexe Funktionen sind. Daher sind die erzielten Ergebnisse praktisch eher uninteressant.
Betrachten wir die notwendigen Bedingungen, damit diese Konstruktionsmethode zu einer reellen Funktion führt. Man nehme eine gerade, reelle Prototypfunktion x(t), die das Erzeugen einer Hilbert'schen Basis über ein orthogonales Gitter der Dichte 2 ermöglicht sowie die Funktion y(t) an, welche definiert wird durch: y = F1/2xwobei F^1/2 der Quadratwurzeloperator der Fouriertransformierten ist, wie oben definiert. Auf der Ebene der Mehrdeutigkeitsfunktionen (wie in Anhang 2 definiert), verwirklicht dieser Operator eine Winkelumdrehung im –π/4 in der Zeit-Frequenz-Ebene. Damit die Funktion y(t) reell und gerade ist, muss ihre Mehrdeutigkeitsfunktion eine Symmetrie gegenüber den Zeit- und Frequenzachsen aufweisen. Dies impliziert demnach, dass die Funktion x(t) zusätzlich zur Symmetrie im Verhältnis zu den Zeit- und Frequenzachsen, eine Symmetrie im Verhältnis zu den Diagonalen der Zeit-Frequenz-Ebene aufweist. Eine derartige Eigenschaft lässt sich nur dann nachweisen, wenn die Funktion x(t) identisch mit ihrer Fouriertransformierten ist. Derzeit ist nur eine Funktion mit dieser Eigenschaft bekannt, nämlich die Prototypfunktion des OFDM/IOTA, oder
Die Funktion IOTA π/4 wird demnach durch die Beziehung definiert:
Diese Funktion ist durch ihre Konstruktion reell und gerade. Die Mehrdeutigkeitsfunktion dieser Funktion annulliert sich demnach über ein Quincunxgitter.
Die Menge der Funktionen {
}, welche definiert werden durch:
mit φm,n = (m + n + mn + (n2 – m2)/2)π/2bildet eine Hilbert'sche Basis.
Wenn man die Indizes neu definiert, lässt sich die Definition dieser Menge wie folgt erneut schreiben:
mit φm,n = (n – mn/2 + (n2 – m2)/4)π/2
Die Erfindung betrifft ebenfalls ein Sendeverfahren eines digitalen Signals, insbesondere in einem nicht stationären Sendekanal, das die folgenden Schritte umfasst:

– Kanalkodierung eines zu sendenden Digitalsignals, das reelle digitale Koeffizienten a_m,n liefert, die aus einem vorgegebenen Alphabet gewählt wurden;
– Konstruktion eines Signals s(t), das der oben definierten Gleichung genügt;
– Senden eines Signals, dessen komplexe Umhüllende das erwähnte Signal s(t) zu mindestens einem Empfänger ist.

Vorteilhafterweise umfasst ein solches Verfahren ferner einen Verschachtelungsschritt nach Frequenz und/oder Zeit, der auf die das zu sendende digitale Signal bildende binären Elemente oder auf die numerischen Koeffizienten a_m,n angewandt wird.
Dies sichert optimale Leistung in nicht stationären Kanälen.
Die Erfindung betrifft ebenfalls die Sender eines derartigen Signals.
Die Erfindung betrifft noch ein Empfangsverfahren eines Signals von der oben beschriebenen Art, das die folgenden Schritte umfasst:

– Empfang eines Signals, dessen komplexe Umhüllende ein dem Signal s(t) beim Senden entsprechendes Signal r(t) ist;
– Abschätzen der Antwort des Sendekanals, die eine Abschätzung der gleichphasigen Antwort mit der Phase θ_m,n und der Antwortamplitude ρ_m,n umfasst;
– Demodulierung des Signals r(t), das die folgenden Schritte umfasst:
– Multiplikation des Signals r(t) durch die Prototypfunktion x(t);
– Aliasing der gefilterten Wellenform Modulo 2τ₀;
– Anwendung einer Fouriertransformierten (FFT);
– Auswahl der Muster, für die m + n gerade ist;
– Korrektur der vom Sendekanal induzierten Phase θ_m,n;
– Korrektur der dem Term
entsprechenden Phase;
– Auswahl des reellen Teils des erhaltenen Koeffizienten a ~_m,n, der dem gesendeten Koeffizienten a_m,n entspricht, welcher von der Antwortamplitude ρ_m,n des Sendekanals gewichtet wird.

Bevorzugterweise umfasst dieses Empfangsverfahren einen Schritt der Entschachtelung nach der Frequenz und/oder nach der Zeit der digitalen reellen Koeffizienten a ~_m,n und, möglicherweise, der entsprechenden Werte ρ_m,n der Antwort der Kanalamplitude, wobei die Entschachtelung die Umkehrung einer beim Senden angewandten Verschachtelung ist, und/oder einen Dekodierungsschritt nach einer gewichteten Entscheidung, die der beim Senden eingesetzten Kanalkodierung angepasst ist.
Die Erfindung betrifft ebenfalls die entsprechenden Sender.
Zuletzt betrifft die Erfindung ein bevorzugtes Konstruktionsverfahren einer Prototypfunktion x(t) eines Signals von der oben beschriebenen Art. Dieses Verfahren wird in den beigefügten Anlagen erläutert.
5. Beschreibung besonderer Ausführungen der Erfindung
5.1. Liste der Figuren
1 zeigt ein Gitter der Dichte 1/2, das dem im Falle der Erfindung eingesetzten entspricht;
die 2A bis 2E zeigen die Modulation IOTA-π/4 der Erfindung, nach den folgenden Aspekten:
A: die Prototypfunktion x(t);
B: die lineare Fouriertransformierte der Prototypfunktion;
C: das lineare Modul der Mehrdeutigkeitsfunktion (wie in Anhang 2 definiert);
D: die Zwischensymbolfunktion (wie in Anhang 2 definiert);
E: die Signalabnahme, in algorithmischer Skala;
3 zeigt die Mehrdeutigkeitsfunktion einer Gauss'schen Funktion;
4 zeigt eine Übersicht eines nach der Erfindung einsetzbaren Senders (und des entsprechenden Sendeverfahrens);
5 zeigt eine Übersicht eines nach der Erfindung einsetzbaren Empfängers (und des entsprechenden Empfangverfahrens);
6 zeigt genauer das im Empfänger der 5 eingesetzte Demodulationsverfahren.
5.2. Allgemeine Prinzipien der Erfindung
Die Erfindung beruht auf einem völlig neuen Ansatz für die Mehrträgersignale des Typs OFDM/OQAM, die auf nicht orthogonalen Zeit-Frequenz-Gittern der Dichte 2 aufgebaut sind. Insbesondere schlägt die Erfindung die Verwendung eines Quincunxgitters wie in 1 dargestellt vor, in dem nur die Gitterstellen (die von den Indizes m (Frequenzdimension) und n (Zeitdimension) definiert sind) verwendet werden, für die m + n gerade ist.
Anders gesagt, entspricht die komplexe Umhüllende eines Signals nach der Erfindung bei Verwendung dieser Verteilung im Zeit-Frequenz-Raum, der folgenden Gleichung:
wobei:
a_m,n ein für das Quellensignal repräsentativer reeller Koeffizient ist, gewählt in einem vorgegebenen Modulationsalphabet;
t die Zeit darstellt;
x_m,n(t) eine in den Zeit-Frequenzraum einer selben Prototypfunktion x(t) versetzte Grundfunktion ist, wobei die Funktion x(t) reelle oder komplexe Werte annimmt, d. h.:
wobei ν₀τ₀ = 1/4 mit φm,n = (m + n + mn + (n2 – m2)/2)π/2wobei φ ein beliebiger Phasenparameter ist und wobei die erwähnten Grundfunktionen {x_m,n} untereinander orthogonal sind, wobei der reelle Teil des Skalarproduktes zweier verschiedener Grundfunktionen null ist.
Die Erfindung betrifft ebenfalls Modulationen, die solchen Gittern gut angepasst sind, insbesondere die Modulation IOTA-π/4.
5.3. Die Modulation IOTA-π/4
Die OFDM/IOTA Modulation ergibt sich aus einem vollkommen originalen Ansatz auf dem Gebiet der Signalverarbeitung, die wir IOTA-Transformiert benennen (für „Isotropic Orthogonal Transform Algorithm") und im Anhang 3 der bereits erwähnten Patentanmeldung FR-95 05455 beschrieben ist.
Die Modulation IOTA-π/4 kann durch Drehung dieser OFDM/IOTA-Modulation um –π/4 erhalten werden, wie im Anhang 3 erläutert.
5.3.1. Gleichung des Signals
Die Gleichung des Signals und die Art, wie man sie erhält, werden in den Anhängen 3 und 4 erläutert.
5.3.2. Kommentar der Figuren und mit der schnellen Abnahme zusammenhängende Vorteile
Um die Vorteile der Erfindung visuell besser hervorzuheben, werden für die Modulation IOTA-π/4 (2A bis 2E) vorgestellt:
A: die Prototyfunktion x(t);
B: die lineare Fouriertransformierte der Prototypfunktion;
C: das lineare Modul der Mehrdeutigkeitsfunktion (wie in Anhang 2 definiert);
D: die Zwischensymbolfunktion (wie in Anhang 2 definiert).
2C ermöglicht die Bewertung der Einschränkung der Prototypfunktion in der Zeit-Frequenz-Ebene. Die 2D der Zwischensymbolfunktion ermöglicht das Abschätzen der Empfindlichkeit einer Modulation gegenüber Mehrwegausbreitungen und Doppler. Phasenfehler werden nicht berücksichtigt, da alle Modulationen auf dieser Ebene gleichwertig sind.
Für die anderen in dieser Patentanmeldung diskutierten Modulationen, kann man diese Figuren mit denen in der bereits erwähnten Patenanmeldung vorgestellten und kommentierten Figuren vergleichen.
Die Modulation IOTA-π/4. Diese weist eine schnelle Abnahme (im mathematischen Sinne des Wortes) nach Zeit und Frequenz auf, was eine Entzerrung unter den bestmöglichen Bedingungen in Aussicht stellt. Sie weist darüber hinaus eine perfekte Symmetrie im Verhältnis zu den zwei Achsen auf. Ihre Zwischensymbolfunktion ist nahezu ideal. Allgemein nähert sich ihr Verhalten dem der Gauss'schen Funktion. Der Wert des Parameters f beträgt 0.9769.
Man kann die Mehrdeutigkeitsfunktion der Funktion
(2C) mit der einer Gauss'schen Funktion vergleichen, wie in 3 dargestellt. Der allgemeine Verlauf dieser zwei Funktionen ist in der Umgebung des Gipfels sehr ähnlich. Sie unterscheiden sich dafür an der Basis.
2E zeigt die zeitliche Abnahme des Signals IOTA-π/4 im logarithmischen Maßstab. Man beobachtet, dass die Amplitude des Signals linear im logarithmischen Maßstab linear abnimmt (selbstverständlich nach Zeit und Frequenz, da beide Aspekte identisch sind), oder exponentiell im linearen Maßstab. In einer praktischen Ausführung ermöglicht diese Eigenschaft demnach das Abschneiden der Wellenform, wodurch die Komplexität des Empfängers eingeschränkt wird.
Es sei ebenfalls darauf hingewiesen, dass die Abnahme dieser Modulation sehr schnell ist (linear im logarithmischen Maßstab), mit einem Koeffizienten, der um mehr als √2 größer ist, als die OFDM/IOTA-Modulation.
5.4. Prinzip des Senders
4 zeigt eine vereinfachte Übersicht eines Senders für ein Signal nach der Erfindung. Das Sendeverfahren wird direkt daraus abgeleitet.
Es wird eine binäre Quelle mit hohem Durchsatz betrachtet (typischerweise einige Megabits/s oder einige zehn Megabits/s). Unter binärer Quelle versteht man eine Reihe von Datenelementen, die einem Quellensignal oder mehreren Quellensignalen 91 aller Arten entsprechen (Ton, Bilder, Daten), abgetasteter digitaler oder analoger Art. Diese binären Daten werden einer Kanalkodierung 92 von der Art binär nach binär unterworfen, die dem Fading unterworfenen Kanälen angepasst ist. Man kann beispielsweise ein Trelliscode benutzen (Trellis Coded Modulation), der eventuell mit einem Reed-Solomon-Code verkettet ist. Genauer gesagt, wenn man eine spektrale Leistung von 4 Bits/Hertz wünscht, so kann man einen 8 Amplitudenebenen einnehmenden, mit einer 8AM-Modulation assoziierten Code der Leistung 2/3 benutzen.
Danach kann man, entsprechend des im Patent FR-88 15216 dargestellten Prinzips, diese kodierten Daten im Zeit-Frequenz-Raum verteilen (93), um die erforderliche Diversität einzuführen und das Rayleigh-Fading zu dekorrelieren, das die gesendeten Symbole betrifft.
Allgemeiner wird eine erste Kodierung der Art binär nach binär, eine Verschachtelung nach Zeit und Frequenz und eine binäre Koeffizientenkodierung durchgeführt, die allgemein „Mapping" genannt wird. Es ist ersichtlich, dass die Verschachtelung gleichgültig vor oder nach dem Mapping erfolgen kann, nach Bedarf und nach den verwendeten Codes.
Am Ausgang dieses Kodierungsvorgangs besitzt man die zu sendenden reellen Symbole a_m,n. Das Ausführungsprinzip des Modulators 94 OFDM/IOTA-π/4 ist ähnlich zu dem eines OFDM/OQAM-Senders. Eine detaillierte Beschreibung des Modulationssystems ist in [15] zu finden. Um das zu sendende Signal zu konstruieren, werden die Symbole gleichen Rangs n zusammengefügt, und man berechnet:
Diese Operation lässt sich vorteilhafterweise in digitaler Form mittels einer schnellen Fouriertransformation (FFT) realisieren, die alle Symbole gleichen Rangs n betrifft (man kann die Zahl der Punkte der FFT auf die Hälfte reduzieren, aufgrund der auf dem Gitter der Erfindung erfolgenden Dezimierung), gefolgt von einer Multiplikation der sich ergebenden Wellenform mit der Prototypfunktion IOTA-π/4 und zuletzt einer Addition der Symbole verschiedenen Ranges (Summierung nach dem Index n).
Das somit erzeugte komplexe Signal wird dann in analoger Form konvertiert 98 und dann mittels eines Zweiwegemodulators mit 90°-Phasenverschiebung 99 (I&Q-Modulator) auf die Endfrequenz transponiert und endlich verstärkt 910, ehe es gesendet wird 911.
5.5. Prinzip eines Empfängers
5 ist eine schematische Darstellung eines Empfängers für ein Signal nach der Erfindung (und das entsprechende Empfangsverfahren).
Der OFDM/IOTA-π/4 Empfänger ist in etwa ähnlich zu dem für die OFDM/OQAM-Modulation verwendeten. Die Eingangsstufen sind konventionell. Das Signal wird vorverstärkt 101 und nach Zwischenfrequenz konvertiert 102, um die Kanalfilterung 103 durchzuführen. Das Zwischenfrequenzsignal wird dann in das Basisband konvertiert, über zwei Wege mit 90° Phasenverschiebung 105. Ferner werden die automatischen Korrekturfunktionen für den Gewinn (CAG) durchgeführt 104, welche die Vorverstärkung 101 steuern.
Eine andere Lösung besteht im Transponieren des Signals in Zwischenfrequenz auf eine tiefe Trägerfrequenz, um die Abtastung des Signals auf einem einzigen Wege zu bewerkstelligen, wobei die komplexe Darstellung durch numerisches Filtern erreicht wird. Alternativ kann das RF-Signal direkt in das Basisband transponiert werden (direkte Konversion), wobei die Kanalfilterung dann über jedes der zwei I&Q-Wege durchgeführt wird. Man kann in allen Fällen auf eine diskrete Darstellung des dem empfangenen Signals entsprechenden analytischen Signals übergehen.
Um die digitale Verarbeitung im Basisband detailliert zu erläutern, betrachten wir eine Modulation des Mehrträgertyps, die durch die Gleichung der komplexen Umhüllenden des gesendeten Signals gekennzeichnet ist:
Man betrachte ein von seiner variablen Transferfunktion T(f, t) charakterisierten Sendekanal (s. Anhang 2). Die komplexe Umhüllende des empfangenen Signals r(t) wird folgendermaßen geschrieben: r(t) = ∫S(f)T(f, t)e2iπftdf (32)
Der Demodulator schätzt (106) die Transferfunktion T(f,t) mit klassischen Mitteln, die beispielsweise ein Gitter von Trägerfrequenzen verwenden können, wie im Patent FR-90 01491 erläutert. Um das Signal an sich zu demodulieren (107) assimiliert man örtlich den Kanal mit einem multiplikativen Kanal, der durch eine Amplitude und eine Phase charakterisiert wird, die dem Wert von an dem betrachteten Zeitpunkt und bei der betrachteten Frequenz T(f, t) entsprechen. Um a_m,n(t) zu schätzen, wird das empfangene Signal demnach mit dem folgenden Signal assimiliert: r ~(t) = ∫S(f)T(mν0, nτ0)e2iπftdf = T(mν0, nτ0)s(t) (33)
Es werde angenommen, dass:
Der Demodulator führt demnach die folgende Bearbeitung durch:
Für den Fall eines stationären Kanals mit der Transferfunktion ρe^Iθ findet man selbstverständlich: a ~m,n = ρam,n (36)
In der Praxis erfolgt die Bearbeitung 107 in digitaler Form nach dem in 6 dargestellten Verfahren. Der Empfänger funktioniert in ähnlicher Weise wie ein OFDM/OQAM-Empfänger [13–16]. Er führt die folgenden Verarbeitungsschritte aus:

– Multiplikation 111 des empfangenen Signals r(t) durch die Prototypfunktion x(t) 112;
– „Aliasing" 113 der gefilterten Wellenform Modulo 2τ₀;
– Anwendung 114 einer Fouriertransformierten (FFT);
– Auswahl der Muster, für die m + n gerade ist (eventuell bei der Anwendung der FFT durchgeführt);
– Korrektur 115 der vom Sendekanal induzierten Phase θ_m,n als Funktion der Schätzung des Kanals 116, die beispielsweise eine Schätzung ρ_m,n der Amplitudenantwort und eine Schätzung θ_m,n der Phasenantwort des Sendekanals umfasst;
– Korrektur 117 der Phase
– Auswahl 118 des von der Antwortamplitude ρ_m,n gewichteten reellen Teils.

Dieser Algorithmus ermöglicht somit das globale Berechnen aller Koeffizienten eines gegebenen Indexes n. Die Größenordnung der entsprechenden Komplexität ist in etwa doppelt so groß wie die des beim OFDM/QAM verwendeten Algorithmus.
Die so erhaltenen Koeffizienten werden dann entschachtelt 108, in symmetrischer Weise zu der beim Senden eingesetzten Verschachtelung und dekodiert 109, vorteilhafterweise nach einer rauscharmen Dekodiertechnik, die beispielsweise ein Algorithmus von der Art des Viterbialgorithmus anwendet. Berücksichtigt die Kanaldekodierung die Schätzung der Amplitudenantwort des Kanals ρ_m,n, dann sind die entsprechenden Werte ebenfalls entschachtelt 110. Andernfalls erfolgt die Entschachtelung selbstverständlich vor oder nach dem Mapping, abhängig vom Verschachtelungszeitpunkt beim Senden.
Die durchgeführten Operationen sind mit mehr Detail in Anhang 4 beschrieben.
ANHANG 1: LITERATURREFERENZEN

[1] M. L. Doeltz, E. T. Heald und D. L. Martin, "Binary data transmission techniques for linear systems" Proceedings of the IRE, Seiten 656–661, Mai 1957.
[2] R. R. Mosier, „A data transmission system using pulse phase modulation" IRE Conv. Rec. Ist Nat'l Conv. Military Electronics (Washington, D. C., 17.–19. Juni 1957), Seiten 233–238.
[3] G. A. Franco und G. Lachs, "An orthogonal coding technique for communications" 1961 IRE Internat'I Conv. Rec., Band 9, Seiten 126–133.
[4] H. F. Hartmuth, „On the transmission of information by orthogonal time functions" AIEE Trans. (Communications and Electronics) Band 79, Seiten 248–255, Juli 1960.
[5] S. B. Weinstein und Paul M. Ebert, „Data transmission frequency by frequency division multiplexing using the discrete Fourier transform" IEEE Trans. Commun., Band COM-19, Seiten 628–634, Oktober 1971.
[6] L. J. Cimini, „Analysis and simulation of a digital mobile channel using orthogonal frequency division mutliplexing", IEEE Trans. Communi., Band COM-33, Seiten 665–675, Juli 1985.
[7] E. F. Casas und C. Leung, „OFDM for data communication over mobile radio FM channels – Part 1: Analysis and experimental results", IEEE Trans. Commun., Band 39, Seiten 783–793, Mai 1991.
[8] E. F. Casas und C. Leung, „OFDM for data communication over mobile radio FM channels – Part II: Performance improvement", IEEE Trans. Commun., Band 40, Seiten 680–683, April 1992.
[9] Daubechies, „The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis" IEEE Trans. Inform. Theory, Band IT 36, Seiten 961–1005, September 1990.
[10] H. E. Jensen, T. Hohldt und J. Justesen, „Double series representation of bounded signals", IEEE Trans. Inform. Theory, Band IT 34, Seiten 613–624, Juli 1988.
[11] R. W: Chang, "Synthesis of band-limited orthogonal signals for multi-channel data transmissions", Bell Syst. tech. J., Band 45, Seiten 1775–1796, Dezember 1966.
[12] B. R. Saltzberg, „Performance of an efficient parallel data transmission system", IEEE Trans. Commun. Technol., Band COM-15, Seiten 805–811, Dezember 1967.
[13] R. W. Chang, „A theoretical study of performance of an orthogonal multiplexing data transmission scheme", IEEE Trans. Commun. Technol., Band COM-16, Seiten 529–540, August 1968.
[14] B. Hirosaki, „An analysis of automatic equalizers for orthogonally multiplexed QAM systems", IEEE Trans. Commun, Band COM-28, Seiten 73–83, Januar 1980.
[15] B. Hirosaki, „An orthogonally multiplexed QAM system using the discrete Fourier transform", IEEE Trans. Commun, Band COM-29, Seiten 982–989, Juli 1981.
[16] B. Hirosaki, „A maximum likehood receiver for an orthogonally multiplexed QAM system", IEEE Journal on Selected Areas in Commun, Band SAC-22, Seiten 757–764, September 1984.
[17] B. Hirosaki, S. Hasegawa und A. Sabato, „Advanced group-band modem using orthogonally multiplexed QAM technique", IEEE Trans. Commun, Band COM-34, Seiten 587–592, Juni 1986.
[18] John A. C. Bingham, „Multicarrier modulation for data transmission: An idea whose time has come", IEEE Communications Magazine, Seiten 5–14, Mai 1990.
[19] P. M. WOODWARD, „Probability and information theory with application to radar", Pergamon Press, London 1953.
[20] F. Amoroso und K. A. Kivett, "Simplified MSK signalling technique", IEEE Trans. Commun., Band COM-25, Seiten 433–441, April 1977.
[21] P. A. Bello, „Characterization of randomly time-variant linear channels", IEEE Trans. Commun. Systems, Seiten 360–393, Dezember 1964.
[22] P. M. WOODWARD, „Probability and information theory with application to Radar", Pergamon Press, London 1953.
[23] M. ALARD und R. LASSALLE, „Principes de modulation et de codage canal en radiodiffusion numérique vers les mobiles" Revue de I'U. E. R, Nr. 224, August 1987, Seiten 168–190.

ANHANG 2
1. Modellierung des Kanals
1.1 Allgemeines Modell
Einen dispergierenden Kanal kann man als lineares System mit einer in der Zeit variablen Impulsantwort betrachten. Diese Impulsantwort lässt sich nach zwei Arten definieren. Es werden im allgemeinen die in [21] vorgeschlagenen Annahmen befolgt:

– die Impulsantwort am Eingang (Input Delay Spread Function) g(t, τ), definiert durch: r(t) = ∫s(t – τ)g(t, τ)dτwobei s(t) und r(t) jeweils die gesendeten und empfangenen Signale darstellen;
– die Impulsantwort am Ausgang (Output Delay Spread Function) h(t, τ), definiert durch: r(t) = ∫s(t – τ)h(t – τ, τ)dτ

Eindeutig gilt h(t, τ) = g(t + τ, τ). Dabei stellt h(t, τ) die Impulsantwort des Kanals zum Zeitpunkt t dar. Mit diesen Annahmen lassen sich die folgenden charakteristischen Funktionen definieren:

– die Verzögerungs-Doppler-Ausbreitungsfunktion U(τ, ν) (Delay-Doppler Spread Function), charakterisiert durch:
wobei
– die Doppler-Verzögerungs-Ausbreitungsfunktion V(ν, τ) (Doppler-Delay Spread Function), charakterisiert durch:
wobei

Es gilt ganz einfach:

– die variable Transferfunktion (Time-Variant Transfer Function) T(f, t), charakterisiert durch:
wobei

Man findet somit dieselbe Gleichung wie im Falle eines stationären Kanals wieder, wobei der Unterschied lediglich darin besteht, dass die Transferfunktion zeitlich variabel wird. Diese Transferfunktion T(f, t) ist die zweidimensionale Fouriertransformierte von U(τ, ν), nämlich:
In allen Fällen wird angenommen, dass U(τ, ν) einen begrenzten Träger hat, wodurch die Transferfunktion T(f, t) aufgrund des Abtastungssatzes durch ein Gitter diskreter Werte darstellbar ist.
1.2. Das Modell Verzögerungs-Doppler statisch
Das Modell Verzögerungs-Doppler wird durch die folgende Gleichung definiert:
Diese Gleichung lässt den Kanal als Summe elementarer Kanäle erscheinen, gekennzeichnet durch eine Amplitude, eine Phase, eine Zeit- und eine Frequenzverschiebung. Somit ist es zulässig, sich für das Verhalten der verschiedenen Modulationen in Gegenwart dieser Kanalart, die wir Verzögerungs-Doppler statisch benennen, zu interessieren.
Die Kanalgleichung kann man dann in der folgenden vereinfachten Form schreiben:
2. Leistungen des OFDM in nicht stationären Kanälen
2.1. Allgemeiner Fall
Sei eine OFDM-Mehrfachträgermodulation beliebiger Art (OFDM/QAM, OFDM/OQAM oder OFDM/IOTA), charakterisiert durch die allgemeine Gleichung:
wobei a_k reelle Variablen sind, E ein zweidimensionales Gitter der Dichte 2 im Zeit-Frequenz-Raum ist, die Funktionen x_k(t) im Zeit-Frequenz-Raum verschobene Werte einer selben Prototypfunktion x(t) sind, die eine Hilbert'sche Basis L²(R) bilden.
Es sei darauf hingewiesen, dass keine Annahme bezüglich der Struktur des Gitters E gemacht wird. Im besonderen Falle des OFDM/QAM zerteilt sich dieses Gitter in zwei co-lokalisierte Untergitter mit um 90° verschobenen Phasen.
Die Demodulationsoperation wird geschrieben:
wobei ϕ eine vom Demodulator geschätzte Phase und r(t) das empfangene Signal ist. Man kann demnach schreiben:
Es gilt:
Daraus folgt:
Der optimale Wert von ϕ ist derjenige, der â_n maximiert, oder:
Obwohl von allgemeiner Art, lassen sich die obigen Gleichungen nicht manipulieren. Sie zeigen jedoch, dass das nützliche Signal und das Zwischensymbol als Integrationen der von der Verzögerungs-Doppler Ausbreitungsfunktion gewichteten Mehrdeutigkeitsfunktion erscheinen.
2.2. Fall des statischen Kanals
Interessiert man sich für einen Kanal des Typs Verzögerungs-Doppler statisch, gekennzeichnet durch eine Phase θ, eine Verzögerung ξ und eine Verschiebung ν (wobei die Amplitude A auf 1 normiert wird), so erfolgt die Demodulation in ähnlicher Weise, durch Einfügen eines Phasenparameters ϕ in den Schätzer. Das Ergebnis dieser Operation wird folgendermaßen geschrieben:
Das demodulierte Signal wird demnach endlich wie folgt geschrieben:
Der zweite Term stellt dabei die Interferenz zwischen den Symbolen (IES) dar. Betrachtet man die Daten a_k als unabhängige aleatorische Variablen der Varianz σ², so lautet die Varianz I der IES:
Die Koeffizienten c_k sind aber die Koeffizienten der Zerlegung der Einheitsnorm-Funktion e^i(ϕ–θ)e^{–2iπν(l+τ)}x_a(l + τ) über die Hilbert'sche Basis der Funktionen x_k(t). Es gilt demnach:
Anders ausgedrückt, ist die Varianz des empfangenen Signals konstant und verteilt sich zwischen dem „nützlichen" Signal c_na_n und dem Zwischensymbol mit der Varianz I = (l – c_a ²)². Die Berechnung des Koeffizienten c_n ergibt:
wobei A_x,n(τ,ν) die Mehrdeutigkeitsfunktion von x_n darstellt (s. ebenfalls Anhang 3), oder:
Es gilt zuletzt:
Es wird angenommen, dass die Demodulationsphase ϕ in der Form ϕ_opt + Δϕ dargestellt wird, wobei ϕ_opt die Demodulationsphase ist, die das IES minimiert, d. h., die c_n maximiert, oder: ϕast = θ + πντ + 2π(τnν – νnτ)
Die Varianz der IES ist dann einfach gegeben durch:
Wenn die Prototypfunktion gerade ist (was dem Falle der im Haupttext beschriebenen Methode der Konstruktion Hilbert'scher Basen entspricht), so ist die Mehrdeutigkeitsfunktion reell und es gilt: l = (l – Ar 2(τ, ν)cos2Δϕ))σ2
Dies ist ein bemerkenswertes Ergebnis, da es zeigt, dass die Empfindlichkeit einer jeden Mehrfachträgermodulation gegenüber Verzögerung und Doppler nur von der Mehrdeutigkeitsfunktion ihrer Prototypfunktion abhängig ist. Es wird im Nachhinein als genormte Zwischensymbolfunktion (wobei dieser Ausdruck in vereinfachender Form zur Bezeichnung der Zwischensymbol Interferenzfunktion genutzt wird), die Funktion
im Allgemeinfall, die den quadratischen Mittelwert des Zwischensymbols darstellt, normiert durch den quadratischen Mittelwert der Daten für den Fall einer Schätzung optimaler Phase.
3. Vergleichende Analyse verschiedener Arten von OFDM
3.1. Theoretische Grenzen
Es werden nun die Eigenschaften der normierten Zwischensymbolfunktion betrachtet. Es wird bemerkt, dass die Empfindlichkeit einer Mehrfachträgermodulation direkt mit dem Verhalten der Mehrdeutigkeitsfunktion der entsprechenden Prototypfunktion in der Nähe von (0, 0) zusammenhängt. Das sich ergebende Problem weist eine große Ähnlichkeit mit den Unsicherheitsproblemen auf, die auf dem Gebiet der Radartechnik auftreten. Man kann demnach auf die vielfache entsprechende Fachliteratur Bezug nehmen (s. zum Beispiel [22]). Man kann, ohne Verlust an Allgemeinheit, die Funktion x(t) durch eine geeignete Verschiebung nach Zeit und Frequenz wählen, so dass die Zeitpunkte der Ordnung eins den Wert Null haben, oder: ∫t|x(t)|2dt = ∫f|(f)|2df = 0
Unter diesen Bedingungen ist es leicht nachzuweisen, dass die partiellen Ableitungen erster Ordnung null werden:
Das Verhalten der Mehrdeutigkeitsfunktion um (0, 0) lässt sich aus den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung charakterisieren:
Es wird angenommen, dass:
Betrachten wir nun die Taylor-Young-Entwicklung der Mehrdeutigkeitsfunktion bei (0, 0): Ar(dτ, dν) = l – 2π2(Δt2dν2 + Δf2dr2)+ μdνdτ + o(dν2I + dτ2)
Daraus leitet sich die Taylor-Young-Entwicklung der Varianz des Zwischensymbols ab l = (l – (Re[A,(τ, ν)])2cos2Δϕ)σ2, oder: l(dτ, dν, dϕ) = σ2[4π2(Δτ2dν2 + Δf2dτ2) – 2μdνdτ + dϕ2 + o(dν2 + dτ2 + dϕ2)
Daraus ergibt sich, dass die Zwischensymbolfunktion ls am Ursprung einen tangierenden Kegel mit der folgenden Gleichung annimmt:
Der Schnitt dieses Kegels mit der Ebene z = 1 (maximales Zwischensymbol) begrenzt eine Oberfläche mit elliptischem Umfang, dessen Fläche ξ als ein Maß der Empfindlichkeit gegenüber Verzögerung und Doppler gelten kann. Wenn μ_x null ist, so sind die Symmetrieachsen der Ellipse jeweils die Zeit- und Frequenzachse. Die Ellipse erstreckt sich zwischen ±1/2πΔf auf der Zeitachse und ±1/2πΔf auf der Frequenzachse. Es gilt demnach: ξ = 1/4πΔtΔf
Aufgrund der Heisenberg'schen Unschärferelation, kann ξ nicht größer als die Einheit sein. Dieses Ergebnis wird verallgemeinert, wenn μ_x nicht Null ist. Betrachten wir nun die Funktion y(t), die durch Multiplikation der Funktion x(t) mit einem Wobbeln erhalten wird:
Man kann demnach schreiben:
Es ist demnach immer möglich, μ_y durch geeignete Wahl von β zu annullieren. Dabei verursacht die Multiplikation durch ein Wobbeln lediglich einen Wechsel der Achsen der assoziierten Mehrdeutigkeitsfunktion, mit Erhaltung der Flächen. Daraus ergibt sich, dass der Parameter ξ stets zwischen 0 und 1 liegt.
Dieses Ergebnis ist von außerordentlicher Wichtigkeit, da es den Vergleich der Leistungen aller MCM in dispergierenden Kanälen, ausgehend von einem einzigen Parameter, ermöglicht. Man stellt demnach fest, dass diese Leistungen nur von der Konzentration der assoziierten Prototypfunktion abhängig sind. Das Optimum wird virtuell durch die Gauss'sche Funktion erzielt, aber dieses Optimum ist unerreichbar, da die Gauss'schen Funktionen die Konstruktion einer Hilbert'schen Basis nicht ermöglichen.
3.2. Sonderfall der OFDM mit Schutzintervall
Die auf der Grundlage eines Gitters der Dichte 1 konstruierten OFDM-Modulationen bilden einen entarteten Fall: aufgrund des Satzes von Balian-Low-Coifman-Semmes, ist der Parameter ξ in diesem Fall Null. Dieses Ergebnis ist allerdings vollkommen allgemein und gilt unabhängig von der Struktur des Baryzentrumgitters der Basisfunktionen. Man kann nämlich immer, ausgehend von den zeitlichen Wobbeloperatoren, von den Fouriertransformierten und von den Ähnlichkeitstransformationen, bei einer beliebigen orthogonalen Struktur ankommen, für welche der Satz von Balian-Low-Coifman-Semmes gilt. Diese drei Operatoren bewirken aber lediglich Achsenwechsel der Mehrdeutigkeitsfunktion, wobei die Flächen erhalten werden. Daraus folgt, dass der Parameter ξ für alle Modulationen dieser Art null ist.
Die OFDM/QAM-Modulation entgeht dieser Regel nicht. In diesem Falle ist der Parameter Δf unendlich, was eine starke Empfindlichkeit gegenüber zeitlicher Verschiebungen zur Folge hat (die Zwischensymbolfunktion weist eine vertikale Tangente nach der Zeitachse auf). Dafür verfügt die OFDM/QAM über einen „Joker", über den keine andere Art von OFDM verfügt, und der darin besteht, dass man im Inneren eines durch ein Schutzintervall verlängerten Symbols eine unendliche Menge von verschobenen Versionen des Ausgangssymbols findet. Diese einzigartige Eigenschaft macht die OFDM/QAM zu einer echten Singularität innerhalb der Menge der komplexen MCM.
Das Schutzintervall bildet einen Nicht-Zwischensymbol-Bereich, welches die künstliche Umwandlung des der Zwischensymbolfunktion tangentialen Kegels (der in diesem Falle vollkommen zeitlich abgeflacht ist) in einem Prisma, deren Schnitt mit der Ebene z = 1 ein nicht entartetes Rechteck ist, d. h., dessen Fläche nicht null ist. Um die Wirkung des Schutzintervalls besser zu verstehen, wird auf 3 verwiesen. Selbstverständlich führt die Verwendung eines Schutzintervalls dazu, dass wir den Rahmen der vorhergehenden Nachweise verlassen sowie dazu, dass die Begrenzung dieser Fläche auf die Einheit nicht mehr gilt. Dagegen ist die OFDM mit Schutzintervall mit einer optimalen virtuellen MCM (mit ξ = 1) vergleichbar und man kann fragen, welches Schutzintervall das Finden eines scheinbaren, identischen ξ ermöglicht. Betrachten wir eine auf der Grundlage der Prototypfunktion x(t) konstruierten OFDM-Modulation:
Es wird sofort nachgewiesen, dass Δt² = τ₀ ²/12 ist. Demzufolge ist der Schnitt des die Zwischensymbolfunktion tangierenden Prismas mit der Ebene z = 1 in Frequenzrichtung auf ±√3/πτ₀ begrenzt. Nehmen wir an, dass der Zwischensymbolpegel auf –10 dB beschränkt werden soll. Für eine optimale Modulation mit ξ = 1, liegt die Fläche des Zwischensymbolbereiches, die kleiner als –10 dB ist, in der Größenordnung von 0.1. Um ein gleichwertiges Ergebnis mit einer OFDM-Modulation mit Schutzintervall zu erzielen, muss das Schutzintervall Δτ so sein, dass Δτ × (2,√3/πτ₀)/√10 ≈ 0.1, oder Δτ ≈ 0.287 τ₀. Dieser Wert ist sehr hoch und zeigt gut den erforderlichen Preis, um ein OFDM-System unter ungünstigen Verzögerungs- und Dopplerbedingungen zu betreiben.
ANHANG 3
1. Einleitung
In diesem Anhang findet man alle Nachweise für die Existenz von Zeit-Frequenz-Transformierten, die symmetrisch gegenüber den Zeit-Frequenz-Achsen sind. In diesem Sinne zeigen diese Transformierten eine starke Ähnlichkeit zur Gabortransformierten, die durch perfekte Isotropie in alle Richtungen der Zeit-Frequenz-Ebene gekennzeichnet ist. Obwohl die Isotropie dieser neuen Transformierten nur annähernd ist, nennen wir sie isotrop, der Einfachheit halber. Der wesentliche Unterschied im Vergleich zur Gabortransformierten ist, dass diese Transformierten streng orthogonal sind, so dass man ihre Anwendung auf den Bereich des digitalen Sendens ins Auge fassen kann. In der Tat garantiert die Orthogonalität der Transformierten die Erhaltung der euklidischen Metriken, was eine wesentliche Eigenschaft in einem Kanal mit additivem Gauss'schen Rauschen ist.
Die sich aus diesem Ansatz ergebenden Modulationssysteme verwenden isotrope orthogonale Transformationsalgorithmen (Isotropic Orthogonal Transform Algorithms), so dass wir sie „IOTA" Modulationssysteme genannt haben.
2. Mehrdeutigkeitsfunktion
Die Untersuchungen der Mehrdeutigkeitsfunktion wurden in der Vergangenheit im Wesentlichen durch die Entwicklung der Radartechnik bedingt. In diesem Kapitel werden die Haupteigenschaften dieser Funktion wieder aufgerufen. Es werden außerdem verschiedene Operatoren beschrieben, die auf diese Funktion wirken.
2.1 Erinnerungen an die Mehrdeutigkeitsfunktion
2.1.1 Definitionen
Sei eine Funktion x(t) und ihre Fouriertransformierte X(f). Man kann dieser Funktion ihre Zeit- und Frequenzprodukte zuordnen, die jeweils definiert sind durch:
Die Wigner-Ville-Transformierte und die Mehrdeutigkeitsfunktion von x sind dann gegeben von:
2.1.2. Symmetrieeigenschaften der Mehrdeutigkeitsfunktion
Sei eine Funktion x(t). Es werden jeweils mit x^– und x die folgendermaßen definierten Funktionen bezeichnet:
Es gelten dann die Beziehungen:
oder, wenn man u = –t annimmt:
Daraus folgt insbesondere, dass wenn eine Funktion x gerade ist, d. h., x = x^–, ihre Mehrdeutigkeitsfunktion reell ist. Andererseits wird auf die folgende Beziehung hingewiesen:
Durch Kombination dieser zwei Beziehungen erhält man: Aτ(τ, ν) = Aτ(τ, –ν)
2.1.3. Mehrdeutigkeitsfunktion und Fouriertransformierte
Die Definition der Mehrdeutigkeitsfunktion kann folgendermaßen neu geschrieben werden:
oder auch A_x(τ, ν) = A_x(–ν, τ)
2.1.4. Mehrdeutigkeitsfunktion und Zeit-Frequenz-Verschiebung
Betrachten wir eine verschobene Funktion einer beliebigen Prototypfunktion x(t), nämlich:
Die assoziierte Mehrdeutigkeitsfunktion lässt sich folgendermaßen darstellen:
oder, wenn man u = t – τ_k setzt:
2.2. Orthogonalität und Mehrdeutigkeitsfunktion
2.2.1. Allgemeiner Fall
Es werden zwei verschobene Funktionen einer selben Funktion x(t) betrachtet, nämlich:
Das Skalarprodukt dieser zwei Funktionen lautet dann:
oder, wenn man u = t – (τ_k + τ_k,)/2 setzt:
3. Hilbert'sche Basen über orthogonale Gitter
3.1. Allgemeine Konstruktionsprinzipien
Es wird eine Menge von Funktionen {x_m,n} betrachtet, die folgendermaßen definiert sind:
Es werden die Bedingungen über x(t) gesucht, damit die Menge {x_m,n} eine Hilbert'sche Basis von _R bildet. Es wird verlangt, dass x(t) eine gerade Funktion ist, deren Mehrdeutigkeitsfunktion A_x demnach reell ist.
Das Skalarprodukt von x_m,n und x_m',n' in R lässt sich demnach folgendermaßen ausdrücken:
Es sei auf die Kongruenzbeziehung Modulo 2 hingewiesen: (m – m') + (n – n') + (m – m')(n + n') ≡ l – (m – m' + l)(n – n' + l)
Ist demnach (m, n) ≠ (m', n') Modulo 2, so ist das Skalarprodukt null. Das Gitter {x_m,n} lässt sich demnach in 4 Untergitter aufteilen, die durch folgende Beziehung charakterisiert sind:
{m gerade, n gerade}, {m gerade, n ungerade}, {m ungerade, n gerade}, {m ungerade, n ungerade}.
Die Orthogonalität zwischen Funktionen aus verschiedenen Untergitter ist demnach automatisch und hängt nicht von den Eigenschaften der Prototypfunktion ab, wenn diese gerade ist.
Es muss nur noch garantiert werden, dass die Funktionen eines selben Gitters untereinander orthogonal sind. Dazu muss die Mehrdeutigkeitsfunktion A_x nur der folgenden Beziehung genügen: Ax(2πτ0, 2mν0) = 0 ∀(m, n) ≠ (0, 0)
Es wird demnach ersichtlich, dass das Problem der Konstruktion Hilbert'scher Basen in H_R über ein orthogonales Gitter der Dichte 2 sich auf das Problem der Konstruktion einer geraden Prototypfunktion zurückführen lässt, deren Mehrdeutigkeitsfunktion über ein Gitter der Dichte 1/2 null wird.
3.2. Orthogonalisierungsmethoden
3.2.1. Orthogonalisierung nach der Zeit
Definition:
Sei x(t) eine Funktion einer Fouriertransformierten X(f). Man nennt O_t den Operator der zeitlichen Orthogonalisierung, der x(t) eine Funktion y(t) assoziiert, die durch ihre Fouriertransformierte Y(f) definiert ist:
Durch Konstruktion hat man:
oder, durch umgekehrte Fouriertransformierte:
oder auch: Ay(2ητ0, 0) = 0 ∀n = 0 und Ay(0, 0) = l
Die Orthogonalisierung erfolgt demnach tatsächlich auf der Zeitachse.
Sei x eine Gauss'sche Funktion und y = O_tx. Man betrachte den Ausdruck:
Da X eine Gauss'sche Funktion ist, kann man schreiben: X(f + mν0)X'(f – mν0) = cn|X(f)|2 wobei c_m eine Konstante ist. Daraus folgt: Γy(f, 2mν0) = cmΓy(f, 0)
Durch umgekehrte Fouriertransformierte erhält man: Ay(τ, 2mν0) = cmAy(τ, 0)
Demnach: ∀m, ∀n ≠ 0 Ay(2nτ0, 2mν0) = 0
Der Operator der zeitlichen Orthogonalisierung O_t orthogonalisiert demnach das gesamte Gitter, mit Ausnahme der Frequenzachse.
Theorem 1
Sei x eine Gauss'sche Funktion und y = O_tx, dann gilt: ∀m, ∀n ≠ 0 Ay(2nτ0, 2mν0) = 0
3.2.2. Orthogonalisierung nach der Frequenz
Definition
Sei eine Funktion x(t). Man nennt O_f den Orthogonalisierungsoperator nach der Frequenz, der x(t) eine Funktion y(t) assoziiert, welche definiert wird durch:
Durch Konstruktion hat man:
oder, nach Fouriertransformierte:
oder auch: Ay(0, 2mν0) = 0 ∀ m ≠ 0 und Ay(0, 0) =
Die Orthogonalisierung erfolgt demnach tatsächlich auf der Achse der Frequenzen.
Sei x eine Gauss'sche Funktion und z = O_ty, wobei y = O_tx. Man betrachte den Ausdruck:
Demnach kann man schreiben: γ2(t, 2nτ0) = γy(t, 2nτ0)P(t)wobei P(t) eine periodische Funktion mit Periode τ₀ ist, welche die folgende Entwicklung nach einer Fourier-Reihe zulässt:
Durch Fouriertransformierte erhält man:
Es gilt aber: ∀m, ∀n ≠ 0, Ay(2nτ0, 2mν0) = 0 ⇒ ∀m, ∀n ≠ 0, A2(2nτ0, 2mν0) = 0und, nach Konstruktion, gilt ferner: ∀m ≠ 0 A2(0, 2mν0) = 0so dass man endlich erhält: ∀(m, n) ≠ (0, 0), A2(2nτ0, 2mν0) = 0
So annulliert sich die Mehrdeutigkeitsfunktion von z außerhalb (0, 0) für alle Mehrfache von 2τ₀ und von 2ν₀, d. h., man erhält ein Gitter der Dichte 1/2.
Theorem 2
Sei x eine Gauss'sche Funktion und z = O_fO_tx, dann gilt: ∀(m, n) ≠ (0, 0), A2(2nτ0, 2mν0) = 0
3.3. Der Orthogonalisierungsoperator O
Anbetracht dessen, was oben erläutert wurde, wird eindeutig, dass es eine Zeit-Frequenz-Skala gibt, welche die Schrift der Gleichungen symmetrisiert: dazu muss lediglich τ₀ = ν₀ = 1/√2 gewählt werden. Die Skalen werden demnach entsprechend erneut normiert, ohne dass dies der Allgemeinheit der Beweise schadet.
3.3.1. Definition
Sei O der Orthogonalisierungsoperator, der einer Funktion x die Funktion y assoziiert, die durch den folgenden Ausdruck definiert ist:
Ferner wird nachfolgend der Operator der Fouriertransformierten F genannt.
3.3.2. Idempotenz des Operators O
Sei z = Oy und y = Ox. Man kann schreiben:
Es gilt demnach OOx = Ox, was die Idempotenz des Operators O beweist.
In derselben Weise ist der duale Operator F^–1OF ebenfalls idempotent, da F^–1OFF^–1OF = F^–1OOF = F^–1OF.
3.3.3. Lemma 1
Sei P eine periodische Funktion mit der Periode 1/√2 und D eine Verteilung der Form:
Sei x eine beliebige Funktion:
Lemma 1
Sei P eine periodische Funktion mit der Periode 1/√2 und D eine Verteilung der Form:
Sei x eine beliebigeFunktion. Es gilt: D*(Px) = P(D*x)
3.3.4. Lemma 2
Sei die Funktion y_α, definiert durch y_α = D*x_α, wobei
und D eine Verteilung der Form
ist.
Sei z_α = Oy_α. Es gilt:
Die Summe unter der Wurzel kann man folgendermaßen schreiben:
Oder, durch Anwendung des im Anhang angegebenen Ergebnisses:
und, durch erneutes Organisieren der Indizes definieren von k als k + k' + k'':
Man kann auch schreiben:
wobei
Demnach gilt:
wobei:
Sei
. Es gilt: zα = c0Pαyα = c0Pα(D*xα) oder durch Anwendung von Lemma 1: zα = c0D*(Pαxα)
Zuletzt kann man schreiben: O[D*xα] = c0D*Oxα
Lemma 2
Sei x eine Gauss'sche Funktion und D eine Verteilung der Art
dann gilt: O[D*x] = c0D*Ox, wobei c0 eine positive Konstante ist.
3.3.5. Kommutativität der Operatoren O und F^–1OF
Es soll nun bewiesen werden, dass die Operatoren O und F^–1OF kommutativ sind, wenn sie auf eine Gauss'sche Funktion angewandt werden: Sei
Dann gilt: Fxα = xl/α und Oxα = Pαxα
In anbetracht der periodischen Eigenschaft von P_α, kann man seine Fouriertransformierte D_α wie folgt schreiben:
Betrachten wir nun die Funktion z_α, die das Ergebnis der Orthogonalisierung von y_α durch 0 ist, wobei y_α das Ergebnis der Orthogonalisierung von x_α durch F^–1OF ist. Dann gilt: zα = OF–1OFxα
Ferner bemerkt man, dass:

– für jede gerade reelle Funktion x, gilt F^–1x = Fx
– ist c eine positive Konstante, so gilt O[cx] = Ox
– für jede gerade reelle Funktion x(u) sind Ox, Fx und F^–1x gerade reelle Funktionen

In anbetracht dieser Bemerkungen kann man schreiben: OF–1OFxα = OF–1Ox1/α = OF–1[P1/αx1/α] = O[D1/α*Xα]
Die Anwendung des Lemmas 2 ergibt: O[D1/α*xα] = c1D1/α*Oxα = c1D1/α*(Pαxα)wobei c₁ eine positive Konstante ist. Daraus folgt: OF–1OFxα = c1D1/α*(Pαxα)
In gleicher Weise kann man schreiben: F–1OFOxα = F–1OF[Pαxα] = F–1O[Dα*x1/α]
Die Anwendung des Lemmas 2 ergibt: O[Dα*x1/α] = c2DαOx1/α = c2Dα(P1/αx1/α)wobei c₂ eine positive Konstante ist. Daraus folgt: F–1OFOxα = c2F–1[Dα*(P1/αx1/α)] = c2Pα(D1/α*xα)
Jedoch ergibt die Anwendung des Lemmas 1: D1/α*(Pαxα) = Pα(D1/α*xα)
Demnach ergibt sich: c2OF–1OFxα = c1F–1OFOxα
Jedoch besitzen OF^–1OFx_α und F^–1OFOx_α beide Einheitsnormen und sind somit gleich.
Theorem 3
Für jede Gauss'sche Funktion x sind die Operatoren O und F^–1OF kommutativ, oder: OF–1OFx = F–1OFOx
Korollar 1
Beweis: Fzα = FF–1OFOxα = OF–1Oxα = OF–1OFxα = z1/α
Bemerkenswerter Sonderfall

Fz1 = z1

Diese besondere Funktion verleiht der Zeit- sowie der Frequenzachse eine perfekte Symmetrie und bildet somit die Prototypfunktion der IOTA-Transformierten (Isotropic Orthogonal Transform Algorithm). Diese besondere Funktion wird mit
notiert.
Korollar 2
Sei x eine Gauss'sche Funktion und z = OF^–1OFx, dann gilt Oz = z
Beweis: Oz = OOF–1OFx = OF–1OFx = z
Korollar 3
Sei x eine Gauss'sche Funktion und z = OF^–1OFx, dann gilt F^–1OFz = z
Beweis: F–1OFz = F–1OFF–1OFOx = F–1OOFOx = F–1OFOx = z
3.3.6. Mehrdeutigkeitsfunktion der Funktionen z_α
Betrachtet man den Theorem 2 mit der Normierung τ₀ = τ₀ = 1/√2. Es gilt: Of = O und Ot = F–1OF
Theorem 2 kann demnach in folgender Weise neu ausgedrückt werden:
Theorem 4
Sei x eine Gauss'sche Funktion und z = F^–1FOx. Dann gilt: ∀(m, n) ≠ (0, 0), A2(n√2, m√2) = 0
4. Verallgemeinerung auf beliebige Gitter
Bisher wurden auf einem orthogonalen Gitter der Dichte 2 aufgebaute Hilbert'sche Basen betrachtet. In diesem Kapitel werden Hilbert'sche Basen betrachtet, die auf einem beliebigen Gitter der Dichte 2 aufgebaut sind.
4.1. Allgemeine Konstruktionsprinzipien
In ähnlicher Weise wie für orthogonale Gitter bewiesen, wird in diesem Absatz die Konstruktion einer Hilbert'schen Basis über einem beliebigen Gitter der Dichte 2 bewiesen, ausgehend von einer Prototypfunktion, deren Mehrdeutigkeitsfunktion über einem Gitter der Dichte 1/2 null wird.
Sei ein allgemeines Gitter der Dichte 2, das auf der Grundlage von Basisvektoren (τ₁, ν₁) und (τ₂, ν₂) erzeugt wird, mit |ν₁τ₂ – ν₂τ₁| = 1/2. Es wird als Konvention die Reihenfolge der Basisvektoren so gewählt, dass ν₂τ₁ – ν₁τ₂ = 1/2. Es wird eine Funktion x(t) betrachtet, so dass: A2(2nτ1 + 2mτ2, 2nν1 + 2mν2) = 0deren Mehrdeutigkeitsfunktion demnach über einem Gitter der Dichte 1/2 null wird. Sei die Menge der Funktionen {x_m,n}, definiert durch:
Es werde das Skalarprodukt <x_m,n|x_m,n> berechnet, d. h.:
wobei: θ = π((n – n')ν1 + (m – m')ν2)((n + n')τ1 + (m + m')τ2) = π((n2 – n2)ν1τ1 +(m2 – m2)ν2τ2 + 2(mn – m'n')ν1τ2 + (m – m')(n + n')(ν2τ1 –
Es gilt aber: ν₂τ₁ – ν₁τ₂ = 1/2
Setzt man:
so erhält man: θ = ψm,n – ψm',n' + (m – m')(n + n')π/2
Sei: φ_m,n = (m + n)π/2 – ψ_m,n Dann wird das Skalarprodukt <x_m,n|x_m',n'>_R endlich:
Da die Mehrdeutigkeitsfunktion von x reell ist, ist ihr Koeffizient von Interesse. Man findet denselben Phasenterm wie im Falle eines orthogonalen Gitters wieder. Demnach, wenn (m, n) ≠ (m', n') Modulo 2, ist das Skalarprodukt null. Andernfalls ist es ebenfalls null aufgrund der bezüglich der Mehrdeutigkeitsfunktion von x getroffenen Annahme.
Somit verfügt man über eine allgemeine Methode zum Konstruieren von Hilbert'schen Basen über beliebige Gitter in der Zeit-Frequenz-Ebene. Es bleiben somit Prototypfunktionen zu konstruieren, deren Mehrdeutigkeitsfunktion die geforderten Eigenschaften aufweist.
4.2. Koordinatenwechsel in der Zeit-Frequenz-Ebene
Wir haben bisher Operatoren angetroffen, deren Aktion ohne Schwierigkeiten in der Zeit-Frequenz-Ebene gedeutet werden konnte, so beispielsweise die Orthogonalisierungsoperatoren, die Annullierungspunkte der Mehrdeutigkeitsfunktion über ein orthogonales Gitter der Dichte 1/2 erzeugen. Nachfolgend werden neue Operatoren betrachtet, die Koordinatenwechsel in der Zeit-Frequenz-Ebene verursachen. Mit diesen Operatoren lässt sich eine Prototypfunktion, deren Mehrdeutigkeitsfunktion über ein orthogonales Gitter der Dichte 1/2 null wird, in eine Prototypfunktion umwandeln, deren Mehrdeutigkeitsfunktion über ein beliebiges Gitter der Dichte 1/2 null wird.
Sei ein Operator T, der einer Funktion die Funktion y = Tx assoziiert, so dass: Ay((τ, ν)2MT) = A2(τ, ν) wobei M_T eine Matrize mit Determinante gleich 1 ist.
Der Operator T bewirkt demnach einen Koordinatenwechsel in der durch die Matrix M_T charakterisierten Zeit-Frequenz-Ebene.
4.3. Basisoperatoren
4.3.1. Fouriertransformierten-Operator
Es wurde oben gezeigt, dass wenn X die Transformierte von x ist, d. h., X = Fx, die folgende Beziehung gilt: Ax(ν2 – τ) = Ax(τ, ν).
Die entsprechende charakteristische Matrix ist demnach:
Diese Matrix entspricht einer Drehung um –π/2 in der Zeit-Frequenz-Ebene.
4.3.2. Phasenverschiebungsoperator
Angenommen P^θ sei der Phasenverschiebungsoperator, der einer Funktion x die Funktion y assoziiert, so dass: y(t) = eiθx(t)
Es gilt eindeutig: Ay(τ, ν) = Ax(τ, ν)und somit M_p' = I, wobei I die Identitätsmatrix ist.
4.3.3. Ähnlichkeits-Transformationsoperator
Der Ähnlichkeits-Transformationsoperator H_γ ist der Operator, der einer Funktion x(t) die Funktion y(t) assoziiert, die folgendermaßen definiert ist:
wobei y der betrachtete Ähnlichkeitstransformationsfaktor ist.
Es gilt somit:
Sei u = t/γ. Wenn γ positiv ist, so gilt:
Wenn γ negativ ist, so gilt:
In beiden Fällen gilt A_γ = (τ, ν) = A_x(τ/γ, γν) oder: Aγ(γτ, ν/γ) = Ax(τ, ν)
Demnach gilt:
4.3.4. Wobbeloperatoren
Eine einfache Methode zum Ändern der Mehrdeutigkeitsfunktion einer Funktion besteht darin, sie mit einem Wobbelsignal zu multiplizieren. Man nennt W^β den zeitlichen Wobbeloperator, der einer Funktion x(t) die Funktion y(t) assoziiert, die folgendermaßen definiert ist:
Es gilt dann:
oder, durch Fouriertransformation:
oder auch: Ay(τ, ν + βτ) = Ax(τ, ν)und somit
4.4. Gruppe der Zeit-Frequenz-Operatoren
Es werden alle Operatoren betrachtet, die durch eine endliche Vereinigung der oben beschriebenen Basisoperatoren erzeugt werden können. Es sei zuerst darauf hingewiesen, dass wenn y = Tx = T₁ T₂ ... T_n x, dann gilt ebenfalls: MT = MT1MT1 ... MTn
Es ist eindeutig, dass diese Menge, versehen mit dem als Vereinigung der Operatoren definierten Produkt, eine Gruppenstruktur aufweist.
4.4.1. Grundregeln für das Multiplizieren von Operatoren
Das Multiplizieren von Operatoren richtet sich nach den folgenden Regeln: F1 = I F1 = H–1, PθPθ = Pθ+θ HγHγ' = Hγγ. WβWβ = Wβ+β.
Andererseits können F² und P^θ mit allen anderen Operatoren kommutieren. Es werden die folgenden Beziehungen notiert:
Sei u' = u/γ. Wenn γ positiv ist:
Wenn γ negativ ist:
In beiden Fällen gilt demnach H_γF = FH_1/γ.
In gleicher Weise hat man:
und es gilt demnach:
4.4.2. Ausweitung des „Chirp Transform Algorithm"
Die oben beschriebenen Regeln ermöglichen das Kommutieren aller Operatoren untereinander, mit Ausnahme der Fouriertransformierten und des Wobbeloperators. Die Regeln zum Kommutieren dieser Operatoren sind komplexer und lassen sich auf der Grundalge des „Chirp Transform" Algorithmus extrapolieren.
Es wird hier eine Beziehung betrachtet, welche die Operatoren F, W und H verbindet. Sei δ_t(u)= δ(u – t). Da die betrachteten Operatoren linear sind, lassen sich ihre Eigenschaften analysieren, indem man ihre Wirkung auf die Verteilungen δ_t auf der Grundlage der folgenden Beziehung analysiert: x(4) = ∫x(u)δt(u)du
Es gilt:
und zuletzt hat man:
4.4.3. Kanonische Zerlegung
Sei ein Element der Menge der oben definierten Operatoren. Wenn dieses Element keinen Operator F umfasst, so kann man unter Verwendung der in 4.4.1. gegebenen Regeln diesen Operator auf die Form reduzieren: T = PθHγWα
Umfasst dieses Element nur einen einzigen Operator F, so lässt er sich, unter Anwendung derselben Regeln, auf die Form reduzieren: T = PθHγWαFWβ
Umfasst dieses Element mindestens zwei Operatoren F, so lässt es sich auf die Form reduzieren: T = PθHγWαFWβ
Durch Anwendung der in 4.4.2. gegebenen Regel, lassen sich die Operatoren F iterativ eliminieren, und man erhält zuletzt eine Darstellung, die nur einen einzigen Operator aufweist. Zusammenfassend, lassen sich alle Elemente der Gruppe unter einer der oben angegebenen Formen darstellen.
Sei T ein Element der Gruppe, die unter der ersten Art von Darstellung geschrieben wird. Ihre charakteristische Matrix ist:
Sei T ein Element der Gruppe, die unter der zweiten Darstellungsform geschrieben wird. So ist ihre charakteristische Matrix:
Sei umgekehrt eine beliebige Matrix M_T mit Einheitsdeterminante. Man kann ihr einen Operator assoziieren, der unter seiner kanonischen Darstellung beschrieben wird:
Wenn c = 0, so kann man dieser Matrix einen Operator der ersten Art zuordnen, wobei:
Wenn c ≠ 0, so kann man dieser Matrix einen Operator der zweiten Art zuordnen, wobei:
Es sei darauf hingewiesen, dass eine vollkommene Ungewissheit bezüglich θ bleibt.
4.5. Konstruktion einer Hilbert'schen Basis über ein beliebiges Gitter
Die oben beschriebenen Methoden geben eine allgemeine Methode zum Konstruieren einer Hilbert'schen Basis über ein beliebiges Gitter. Sei ein beliebiges Gitter der Dichte 2, erzeugt aus Basisvektoren (τ₁, ν₁) und (τ₂, ν₂), wobei ν₂τ₁ – ν₁τ₂ = 1/2. Man betrachtet eine Funktion x(t), für welche gilt: ∀(m, n) ≠ (0, 0), Ax(n√2, m,√2) = 0
In der Praxis, kann die Funktion x die Prototypfunktion der OQAM, OMSK oder einer beliebigen Funktion sein, die durch Orthogonalisieren von Gauss'schen Funktionen erzeugt wurden, wie in Kapitel 3 angegeben, und insbesondere die IOTA-Funktion.
Sei T ein Operator mit der charakteristischen Matrix M_T, definiert durch:
und y = Tx. Dann gilt ∀(m, n) ≠ (0, 0): Ay(2nτ1 +2mτ2, 2nν1 + 2mν2) = Ay((n√2, m√2)tMT) = Ax((n√2, m√2) = (0, 0)
Sei die Menge der Funktionen {y_m,n}, die folgendermaßen definiert sind:
Gemäß dem, was in 4.1 nachgewiesen wurde, bildet die Menge der Funktionen {y_m,n} eine Hilbert'sche Basis. Man verfügt demnach über eine allgemeine Methode zum Konstruieren von Hilbert'schen Basen über beliebige Gitter in der Zeit-Frequenz-Ebene.
5. Konstruktion von Hilbert'schen Basen in Quincunx
Obwohl die oben beschriebene allgemeine Methode von eindeutigem akademischen Interesse ist, haften ihrer praktischen Anwendung bestimmte Schwierigkeiten an. Einerseits sind, im Allgemeinfall, die Demodulationsalgorithmen hochgradig kompliziert aufgrund der schrägen Struktur des Gitters der Basisfunktionen. Andererseits ist die erhaltene Prototypfunktion ebenfalls komplex, was die Komplexität noch erhöht.
Man kann demnach die berechtigte Frage stellen, ob diese Verallgemeinerung in irgendeiner Weise von praktischem Interesse ist. Zweck dieses Absatzes ist es, eine vollständige Antwort auf diese Frage zu geben.
Sei die Menge der nach der oben beschriebenen Methode erzeugten Hilbert'schen Basen. Man sucht innerhalb dieser Menge die Hilbert'schen Basen, deren Prototypfunktion reell und gerade ist. Die Mehrdeutigkeitsfunktion weist dann die folgenden Symmetrien auf:
und
Es gilt demnach A_x(τ, ν) = A_x(–τ, ν) = A_x(τ–, –ν) = A_x(–τ, ν). Diese Symmetrien der Mehrdeutigkeitsfunktion werden nur dann erzielt, wenn das Annullierungsgitter dieser Funktion dieselben Symmetrien aufweist. Diese Bedingungen gelten jedoch nachweislich nur für zwei Arten von Gittern: das orthogonale Gitter, auf dem alle bisher betrachteten Modulationen beruhen, und das Quincunxgitter.
Das orthogonale Gitter wird von den Basisvektoren (τ₁, ν₁) = (1/√2,0) und (τ₂, ν₂) = (0,1/√2) erzeugt. Das Quincunxgitter wird von den Vektoren (τ₁, ν₁) = (1/2, –1/2) und (τ₂, ν₂) = (1/2, 1/2) erzeugt. Man wechselt von einem Gitter zum anderen durch eine Umdrehung um den Winkel –π/4. Deshalb interessieren wir uns nachfolgend ganz besonders für die Operatoren, die eine Drehung in der Zeit-Frequenz-Ebene durchführen.
5.1. Untergruppe der Zeit-Frequenz-Drehungsoperatoren
Es sei die Gruppe der Operatoren, deren charakteristische Matrix eine Drehung in der Zeit-Frequenz-Ebene ist:
Wir haben bereits gezeigt, dass der Operator der Fouriertransformierten F einer Drehung um den Winkel φ = –π/2, während der Operator F³ = F^–1 einer Drehung um den Winkel φ = π/2 entspricht.
Sei ein Operator der Form: PθFWαHγFWβ
Seine charakteristische Matrix ist:
Mit den Annahmen γ = –cos φ und α = β = tgφ, erhält man die Matrix einer Drehung mit dem Winkel φ. Der Parameter θ bleibt unbestimmt. Um diese Unbestimmtheit aufzuheben, wird die Forderung gestellt, dass der Operator die Gauss'sche Funktion
invariant lässt d. h.:
wobei der Term φ_{mod x} den Wert zwischen –π/2 und π/2 bezeichnet, der als Kongruent zu φ Modulo n genannt wird. Es gilt demnach:
Zuletzt kann man schreiben:
Definition:
Man bezeichnet als R^φ den Operator für Drehungen um den Winkel φ in der Zeit-Frequenz-Ebene, der folgendermaßen definiert wird:
Sei eine reelle Zahl α. Man definiert ebenfalls die Bruchpotenz des Operators F mit Hilfe der Gleichung: Fα = R–απ/2
Die so definierte Operatorenmenge besitzt eine kommutative Gruppenstruktur, die zur Gruppe der Drehungen der Ebene isomorph ist. Die Exponentennotierung des Operators F erfüllt alle „üblichen" Eigenschaften eines Exponenten.
5.2. IOTA π/4
Sei eine reelle gerade Prototypfunktion x(t), mit der man eine Hilbert'sche Basis auf dem orthogonalen Gitter erzeugen kann, und die Funktion y(t), die folgendermaßen definiert wird: y = F1/2xwobei F^1/2 der Quadratwurzeloperator der Fouriertransformierten ist, wie oben definiert. Auf der Ebene der Mehrdeutigkeitsfunktionen führt dieser Operator eine Drehung um den Winkel –π/4 in der Zeit-Frequenz-Ebene aus. Damit die Funktion y(t) reell und gerade ist, muss ihre Mehrdeutigkeitsfunktion eine Symmetrie im Verhältnis zu der Zeit- und Frequenzachse aufweisen. Demnach folgt, dass die Funktion x(t) neben der Symmetrie gegenüber der Zeit- und Frequenzachse, auch eine Symmetrie gegenüber den Diagonalen der Zeit-Frequenz-Ebene aufweisen muss. Eine derartige Eigenschaft lässt sich nur dann nachweisen, wenn die Funktion x(t) mit ihrer Fouriertransformierten identisch ist. Es ist aber nur eine Funktion mit dieser Eigenschaft bekannt, nämlich die IOTA-Funktion.
Die Funktion IOTA π/4 wird definiert durch die Beziehung:
Diese Funktion ist gemäß Konstruktion reell und gerade. Die Mehrdeutigkeitsfunktion dieser Funktion wird demnach null über ein Quincunxgitter, dass von den Vektoren (τ₁, ν₁) = (1/2, –1/2) und (τ₂, ν₂) = (1/2, 1/2) erzeugt wird. In Übereinstimmung mit 4.1. ergibt sich, dass die Menge der Funktionen {
}, definiert durch:
wobei φm,n = (m + n – mn – (m2 – n2)π/2eine Hilbert'sche Basis bildet.
Durch Neudefinition der Indizes lässt sich die Definition dieser Menge folgendermaßen darstellen:
, m + n gerade wobei φm,n(m – mn/2 + (n2 – m2)π/2
6. Anhang
Es sei auf die folgende Identität hingewiesen:
Sei x eine normierte Gauss'sche Funktion, definiert durch:
Das Produkt x(u – a)×(u – b) kann somit wie folgt geschrieben werden:
Man kann zuletzt schreiben:
ANHANG 4
1. Vom Kontinuierlichen zum Diskreten
In den zwei vorangegangenen Kapiteln wurden Funktionen aus L²(R) betrachtet.
In der Praxis setzt die digitale Verarbeitung den Übergang in den Bereich des Diskreten voraus.
1.1 Allgemeines
Die in der Praxis verwendeten Signale werden stets als beschränkt angesehen, sowohl in der Zeit als auch nach der Frequenz, obwohl diese Annahme eine bekanntlich theoretische Unmöglichkeit darstellt. Dieses Hindernis lässt sich dennoch umgehen und die Signale können durch eine endliche Menge diskreter Werte durch Anwendung der nachfolgenden Methode dargestellt werden.
Es werde angenommen, dass ein beliebiges komplexes Signal x(t) in einem auf [0, T] zeitlich begrenzten und auf [–W/2, W/2] bezüglich der Frequenzen begrenzten Raum betrachtet wird. Man beschränkt sich auf den Fall, in dem das Produkt WT ganz ist. Diesem Signal kann man einen Vektor x mit den Koordinaten x_p zuordnen, wobei:
Die Summierung nach dem Index q bewirkt ein zeitliches „Aliasing" und „periodisiert" somit das Signal in der Zeit, während die Abtastung das Signal bezüglich der Frequenzen „periodisiert". Sei y(t) = x(t) e2ipmt/T
So kann man schreiben:
Es sei darauf hingewiesen, dass dieses eindeutig „natürliche" Ergebnis nur um den Preis einer besonderen Auswahl der Modulationsfrequenz erzielt wird, die alle „Aliasing"-Probleme eliminiert. Betrachtet man in ähnlicher Weise eine Verschiebung vom Typ y(t) = x(t – n/W), so kann man schreiben:
Ganz allgemein garantiert die Wahl von Abtastungsstrukturen nach Zeit und Frequenz, die jeweils Vielfache von 1/W und von 1/T sind, ein harmonisches „Aliasing" der Signale sowie ein Schreiben im diskreten Bereich, das dem Schreiben im kontinuierlichen Bereich gleichwertig ist.
Sei zuletzt das Skalarprodukt zweier Vektoren x und y. Es gilt:

Sei p = n ÷ q'WT und q = q' – q''

Es gilt jedoch
1.2. Die IOTA Transformierte
Es wird hier eine erste Transformierte betrachtet, die sich aus den im Kapitel „der theoretische Ansatz" erzielten Ergebnissen ableitet und auf der IOTA-Funktion basiert.
1.2.1. Die IOTA-Transformierte im kontinuierlichen Bereich
Es wird hier eine „normierte" Transformierte betrachtet, d. h., eine Transformierte, die auf der Grundlage eines Gitters des vorher beschriebenen Typs (n/√2, m/√2) konstruiert wurde. Man kann immer zu dieser Situation zurückkehren, durch vorherige Einwirkung des geeigneten Ähnlichkeitsoperators. Sei die Hilbert'sche Basis {
}, definiert durch:
wobei φ_m,n = (m + n)π/2
Es sei darauf hingewiesen, dass man alternativ die nachfolgende Formulierung wählen kann:
Diese Änderung entspricht einer möglichen Vorzeichenumkehr der Basisfunktionen. Die IOTA-Transformierte eines Signals s(t) der Fouriertransformierten S(f) wird dann durch die folgenden Beziehungen definiert:
wobei die Umkehrtransformierten gegeben sind durch:
1.2.2. Die diskrete IOTA-Transformierte
Es wird T gleich M√2 und W gleich M√2 gewählt. Diese Wahl garantiert das Fehlen von „Aliasing"-Problemen. Sei eine Basisfunktion
. Man kann ihr den Vektor
mit den Koordinaten
assoziieren, mit:
Sei ein Skalarprodukt der Art
. Anbetracht der Orthogonalitätseigenschaften der nach Zeit und Frequenz verschobenen Funktionen der Funktion IOTA, ist dieses Skalarprodukt null, wenn (m, n) ≠ (m', n') Mod. (2M, 2N). Was die Norm der Vektoren
betrifft, so gilt:
In anbetracht dieser Bemerkungen, lässt sich die IOTA-Transformierte wie folgt definieren:
Definition der IOTA-Transformierten
Seien M und N zwei beliebige ganze Zahlen. Man betrachtet 4MN Vektoren mit den Dimensionen 2MN, die im Sinne des reellen Skalarprodukts orthogonal sind und folgendermaßen definiert werden:
wobei m von 0 bis 2M-1, n von 0 bis 2N-1 und p von 0 bis 2MN-1 variieren.
Sei s ein komplexer Vektor der Dimensionen 2MN. Er lässt sich wie folgt zerlegen:
wobei p zwischen 0 und 2MN-1 variiert, mit:
Die Matrix {a_m,n} ist die IOTA-Transformierte des Vektors s.
1.3. Die IOTA p/4 Transformierte
1.3.1 Die IOTA p/4 Transformierte im kontinuierlichen Bereich
Es wird hier eine „normierte" Transformierte betrachtet, d. h., eine Transformierte, die auf der Grundlage des vorher beschriebenen normalisierten Gitters des Quincunxtyps konstruiert wurde. Man kann immer zu dieser Situation zurückkehren, durch vorherige Einwirkung des geeigneten Ähnlichkeitsoperators.
Sei die Hilbert'sche Basis
definiert durch:
wobei φm,n = (n – mn/2 + (n2 – m2)/4)π/2.
Es lässt sich leicht nachweisen, dass die folgende Formulierung alternativ anwendbar ist:
wobei diese Änderung einer möglichen Vorzeichenumkehrung der Basisfunktionen entspricht. Die IOTA π/4 Transformierte eines Signals s(t) mit der Fouriertransformierten S(f) wird dann durch die folgenden Beziehungen definiert:
wobei die Umkehrtransformierten gegeben sind durch:
1.3.2. Die diskrete IOTA π/4 Transformierte
Es wird T gleich 2N und W gleich 2M gewählt. Diese Wahl garantiert das Fehlen von Aliasing"-Problemen. Sei eine Basisfunktion
. Man kann ihr den Vektor
mit den Koordinaten
assoziieren, wobei:
Sei ein Skalarprodukt von der Art
. In anbetracht der Orthogonalitätseigenschaften der nach Zeit und Frequenz verschobenen Funktionen der IOTA-Funktion, ist das Skalarprodukt null, wenn (m, n) ≠ (m', n') Mod. (2M 2N). Bezüglich der Norm der Vektoren
, so gilt:
In anbetracht dieser Bemerkungen, kann man die diskrete IOTA π/4 Transformierte folgendermaßen definieren:
Definition
Seien M und N zwei beliebige ganze Zahlen. Man betrachtet 8MN Vektoren mit den Dimensionen 4MN; die im Sinne des Skalarproduktes orthogonal sind und folgendermaßen definiert sind:
wobei m von 0 bis 4M – 1, n von 0 bis 4N – 1 variieren, mit m + n gerade, und wobei p von 0 bis 4MN – 1 variiert.
Sei s ein komplexer Vektor mit den Dimensionen 4MN. Er lässt sich folgendermaßen zerlegen:
wobei von 0 bis 4MN – 1 variiert mit:
Die Matrix {a_m,n} ist die IOTA π/4 Transformierte des Vektors s.
2. Die schnellen Demodulationsalgorithmen
2.1. Demodulation durch schnelle IOTA-Transformierte
Es wird eine Modulation des Typs Mehrträger IOTA betrachtet, charakterisiert durch das gesendete Signal:
Sei ein Sendekanal, charakterisiert durch seine variable Transferfunktion T(f, t). Das empfangene Signal wird folgendermaßen geschrieben:
Der optimale Demodulator schätzt die Transferfunktion T(f, t) mit Hilfe von Mitteln, die auf dieser Höhe nicht beschrieben sind. Um das eigentliche Signal zu demodulieren, wird örtlich der Kanal mit einem multiplikativen Kanal assimiliert, der durch eine Amplitude und eine Phase charakterisiert wird, die dem Wert von T(f, t) zu dem betrachteten Zeitpunkt und zu der betrachteten Frequenz entsprechen. Um a_m,n zu schätzen, wird das empfangene Signal demnach dem folgenden Signal assimiliert:
Sei:
Der Demodulator verrichtet demnach die folgende Verarbeitung:
Im Falle eines stationären Kanals mit der Transferfunktion pe^iθ findet man offensichtlich: a m,n = pam,n
In der Praxis erfolgt die Verarbeitung digital. Man erhält:
Sei dann p = k + 2Mr, wobei k von 0 bis 2M – 1 und r von 0 bis N – 1 variiert:
Diese Gleichung zeigt, dass man einen schnellen Demodulationsalgorithmus verwenden kann, der die folgenden Verarbeitungsschritte umfasst:

– Vorfilterung des empfangenen Signals durch die Prototypfunktion,
– „Aliasing" der gefilterten Wellenform Modulo 2M,
– FFT mit Dimensionen von 2M komplexen Punkten,
– Korrektur der Phase θ_m,n + φ_m,n,
– Wahl des reellen Teils.

Dieser Algorithmus ermöglicht somit das globale Berechnen aller Koeffizienten eines gegebenen Indexes n. Die Größenordnung der entsprechenden Komplexität beträgt in etwa das Doppelte derjenigen des für die OFDM verwendeten Algorithmus.
2.2. Demodulation durch schnelle IOTA π/4 Transformierte
Es wird eine Modulation des Typs Mehrträger IOTA π/4 betrachtet, charakterisiert durch die Gleichung des gesendeten Signals:
m + n gerade
Wie vorher gesehen, führt der Demodulator die folgende Verarbeitung aus:
In der Praxis erfolgt die Verarbeitung digital. Man erhält:
Mit der Annahme p = k + 4Mr, wobei k von 0 bis 4M – 1 und r von 0 bis N – 1 variieren, ergibt sich:
Diese Gleichung zeigt, dass man einen schnellen Demodulationsalgorithmus verwenden kann, der die folgenden Verarbeitungsschritte umfasst:

– Vorfilterung des empfangenen Signals durch die Prototypfunktion
– „Aliasing" der gefilterten Wellenform Modulo 4M,
– FFT mit Dimensionen von 4M komplexen Punkten. In der Praxis, ist es ausreichend, die geraden oder ungeraden Punkte nach der Parität von n zu berechnen. Diese teilweise FFT erfolgt durch Dezimieren der Abtastwerte nach dem Verhältnis 2, nach dem ersten Schmetterlings-Strahlerfeld, was einer einfachen zusätzlichen Vorfilterung entspricht (Summe oder Differenz von Abtastwerten). Man kommt dann auf eine FFT mit den Dimensionen 2M Punkte zurück,
– Korrektur der Phase θ_m,n + φ_m,n,
– Wahl des reellen Teils.

Dieser Algorithmus ermöglicht somit das globale Berechnen aller Koeffizienten eines gegebenen Indexes n. Die Größenordnung der entsprechenden Komplexität beträgt in etwa das Doppelte derjenigen des für die OFDM verwendeten Algorithmus.

Claims

Mehrträger-Signal s(t), das zu digitalen Empfängern gesendet werden soll, insbesondere in einem nicht stationären Sendekanal, welches dem Frequenzmultiplexieren mehrerer, jeweils einer Symbolreihe entsprechender, elementarer Trägerfrequenzen entspricht, wobei jedes Symbol einer Trägerfrequenz während einer Symboldauer τ₀ zugeordnet ist und wobei der Abstand zwischen zwei benachbarten Trägerfrequenzen ν₀ beträgt, dadurch gekennzeichnet, dass das verwendete Zeit-Frequenz-Gitter ein versetztes Gitter ist, wobei: – die erwähnte Symboldauer τ₀ gleich einem Viertel des Abstandes ν₀ zwischen zwei benachbarten Trägerfrequenzen ist; – der Abstand zweier aufeinander folgender Symbole, die über die selbe Trägerfrequenz gesendet werden, zwei Symboldauernτ₀ beträgt; und – die über zwei benachbarte Trägerfrequenzen gesendeten Symbole um die Symboldauer τ₀ gegeneinander verschoben sind.
Signal nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass jede der erwähnten Trägerfrequenzen eine Filterung zum Formen des jeweils gewählten Spektrums unterzogen wird, so dass ein jedes Symbol stark konzentriert ist, im Zeit- wie im Frequenzbereich.
Signal nach einem der Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass seine komplexe Einhüllende der folgenden Gleichung entspricht:
wobei: a_m,n ein reeller, für das Quellensignal repräsentativer Koeffizient ist, der in einem vorgegebenen Modulationsalphabet gewählt wurde; m eine die Frequenzdimension darstellende ganze Zahl ist; n eine die Zeitdimension darstellende ganze Zahl ist; t die Zeit darstellt; x_m,n(t) eine in den Zeit-Frequenzraum einer selben Prototypfunktion x(t) versetzte Grundfunktion ist, wobei die Funktion x(t) reelle oder komplexe Werte annimmt, d. h.:
wobei ν₀τ₀ = 1/4 mit φm,n = (m + n + mn + (n2 – m2)/2)π/2wobei φ ein beliebiger Phasenparameter ist und wobei die erwähnten Grundfunktionen {x_m,n} untereinander orthogonal sind, wobei der reelle Teil des Skalarproduktes zweier verschiedener Grundfunktionen null ist.
Signal nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass die einer 45°-Drehung in der Zeit-Frequenz-Ebene einer Prototypfunktion entsprechende Prototypfunktion x(t) das Definieren einer Hilbert'schen Basis über ein orthogonales Zeit-Frequenz-Gitter mit der Dichte 1/2 ermöglicht.
Signal nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass die erwähnte Prototypfunktion x(t) durch Anwendung des der Quadratwurzel einer Fouriertransformierten entsprechenden Operators F^1/2 auf die Prototypfunktion erhalten wird, welche das Definieren einer Hilbert'schen Basis über ein orthogonales Zeit-Frequenz-Gitter mit der Dichte 1/2 ermöglicht.
Signal nach einem der Ansprüche 4 oder 5, dadurch gekennzeichnet, dass die Prototypfunktion x(t) eine Funktion ist, die ihrer Fouriertransformierten identisch ist.
Signal nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, dass die Prototypfunktion x(t) die Prototypfunktion J ist.
Sendeverfahren eines digitalen Signals, insbesondere über einen nicht stationären Sendekanal, dadurch gekennzeichnet, dass es die folgenden Schritte umfasst: – Kanalkodierung (92) eines zu sendenden Digitalsignals, das reelle digitale Koeffizienten a_m,n liefert, die aus einem vorgegebenen Alphabet gewählt wurden; – Konstruktion (94) eines Signals s(t) nach der folgenden Gleichung:
wobei: – m eine die Frequenzdimension darstellende ganze Zahl ist; – n eine die Zeitdimension darstellende ganze Zahl ist; – t die Zeit darstellt; – x_m,„(t) eine in den Zeit-Frequenzraum einer selben Prototypfunktion x(t) versetzte Grundfunktion ist, wobei die Funktion x(t) reelle oder komplexe Werte annimmt, d. h.:
wobei ν₀τ₀ = 1/4 wo φ ein beliebiger Phasenparameter ist, wo die erwähnten Grundfunktionen {x_m,n} untereinander orthogonal sind, wobei der reelle Teil des Skalarproduktes zweier verschiedener Grundfunktionen null ist; – Senden (911) eines Signals, dessen komplexe Umhüllende das erwähnte Signal s(t) zu mindestens einem Empfänger ist.
Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, dass es einen Verschachtelungsschritt nach Frequenz und/oder Zeit (93) umfasst, angewandt auf die Binärelemente, die das zu sendende Digitalsignal bilden und/oder auf die digitalen Koeffizienten a_m,n.
Empfangsverfahren eines Mehrträgersignals s(t), das zu digitalen Empfängern gesendet werden soll, insbesondere in einem nicht stationären Sendekanal, welches dem Frequenzmultiplexieren mehrerer, jeweils einer Symbolreihe entsprechender, elementarer Trägerfrequenzen entspricht, wobei jedes Symbol einer Trägerfrequenz während einer Symboldauer τ₀ zugeordnet ist und wobei der Abstand zwischen zwei benachbarten Trägerfrequenzen ν₀ beträgt, dadurch gekennzeichnet, dass das verwendete Zeit-Frequenz-Gitter von der versetzten Art ist, wobei: – die erwähnte Symboldauer τ₀ gleich einem Viertel des Abstandes ν₀ zwischen zwei benachbarten Trägerfrequenzen ist; – der Abstand zweier aufeinander folgender Symbole, die über die selbe Trägerfrequenz gesendet werden, zwei Symboldauern τ₀ beträgt; – die über zwei benachbarte Trägerfrequenzen gesendeten Symbole um die Symboldauer τ₀ gegeneinander verschoben sind, und dadurch, dass es die folgenden Schritte umfasst: – Empfang eines Signals, dessen komplexe Einhüllende ein dem Signal s(t) beim Senden entsprechendes Signal r(t) ist; – Abschätzen (106) der Antwort des Sendekanals, die eine Abschätzung der gleichphasigen Antwort mit der Phase θ_m,n und der Antwortamplitude ρ_m,n umfasst; – Demodulierung des Signals r(t), das die folgenden Schritte umfasst: – Multiplikation (111) des Signals r(t) durch die Prototypfunktion x(t); – Aliasing (113) der gefilterten Wellenform Modulo 2τ₀; – Anwendung (114) einer Fouriertransformierten (FFT); – Auswahl der Muster, für die m + n gerade ist; – Korrektur (115) der vom Sendekanal induzierten Phase θ_m,n; – Korrektur (117) der dem Term
entsprechenden Phase; – Auswahl (118) des reellen Teils des erhaltenen Koeffizienten a ~_m,n, der dem gesendeten Koeffizienten a_m,n entspricht, welcher von der Antwortamplitude ρ_m,n des Sendekanals gewichtet wird.
Verfahren nach Anspruch 10, dadurch gekennzeichnet, dass es mindestens eins der folgenden Schritte umfasst: – Entschachtelung (108) nach der Frequenz und/oder der Zeit der reellen digitalen Koeffizienten a ~_m,n und, eventuell, der entsprechenden Werte ρ_m,n der Antwort der Kanalamplitude, wobei die Entschachtelung symmetrisch zu einer beim Senden angewendeten Verschachtelung ist; – Dekodieren (109) nach einer gewichteten Entscheidung, die der beim Senden eingesetzten Kanalkodierung angepasst ist.