CN107791773B - 一种基于规定性能函数的整车主动悬架***振动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于规定性能函数的整车主动悬架***振动控制方法，属于车辆工程领域。本发明首先根据汽车动力学理论及牛顿第二定律建立整车主动悬架的动力学模型；然后设计一个性能函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度收敛到性能函数的边界内；接着应用反函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度等价转化为转换误差；最后通过转换误差设计出垂直、侧倾和俯仰方向的控制律，对整车悬架进行主动振动控制。本发明更接近真实的车辆状况；保证了悬架***的暂态和稳态性能，提高了***的鲁棒性；对于整车悬架***这种复杂的非线性***来说，基于规定性能函数的控制策略避免了***精确建模过程和神经网络在线计算等比较复杂的操作，设计简单，计算量小。

Description

一种基于规定性能函数的整车主动悬架***振动控制方法

技术领域

本发明涉及一种基于规定性能函数的整车主动悬架***振动控制方法，属于车辆工程领域。

背景技术

随着车辆领域的迅速发展，人们对汽车乘坐舒适性和操纵稳定性等性能指标的要求越来越高，而悬架***作为车辆最重要的减振部件，其性能的好坏直接决定了车辆整体性能的好坏。因此，对车辆悬架***的研究具有重要的意义。由于整车模型的参数较多，多数学者在研究悬架振动时采用四分之一车辆模型和二分之一车辆模型，而四分之一车辆模型不存在耦合，二分之一车辆模型没有考虑车身的侧倾运动，这些模型无法反映车辆在垂直、侧倾、俯仰方向上的振动情况，与实际情况有一定的差距。因此，本专利建立了七自由度的整车主动悬架模型，并提出了一种基于规定性能函数的方法来控制车辆在垂直、俯仰、侧倾方向上的振动情况，使车辆始终保持良好的行驶状态。

对于整车主动悬架***这种存在复杂级联和耦合的非线性***来说，常用的一些控制策略设计复杂且计算量大，很难保证***的瞬态性能，故需要设计一种简单的、能规定性能的控制策略来保证***的稳定性。

发明内容

本发明提供了一种基于规定性能函数的整车主动悬架***振动控制方法，对悬架***的垂直、侧倾和俯仰方向进行控制器设计，使垂直位移、加速度、侧倾角和俯仰角在有限时间内收敛到规定性能边界内，提高***的稳定性。

本发明的技术方案是：一种基于规定性能函数的整车主动悬架***振动控制方法，首先根据汽车动力学理论及牛顿第二定律建立整车主动悬架的动力学模型；然后设计一个性能函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度收敛到性能函数的边界内；接着应用反函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度等价转化为转换误差；最后通过转换误差设计出垂直、侧倾和俯仰方向的控制律，对整车悬架进行主动振动控制。

所述根据汽车动力学理论以及牛顿第二定律，得到整车主动悬架的动力学模型如下：

车身质心垂直方向的动力学方程：

车身侧倾方向的动力学方程：

车身俯仰方向的动力学方程：

四个车轮垂直方向的动力学方程：

公式(1)-(4)中，M表示车身质量，m_i,i＝1,2,3,4表示四个车轮的非簧载质量；z_s表示车辆质心的垂直位移，

表示z_s对时间的二次导数；I_φ表示车身的侧倾转动惯量，φ为侧倾角度，

表示φ对时间的二次导数；I_θ表示车身的俯仰转动惯量，θ为俯仰角度，

表示θ对时间的二次导数；F_si,i＝1,2,3,4表示四个位置弹簧产生的弹力；F_di,i＝1,2,3,4表示四个位置阻尼器产生的阻尼力；z_ui,i＝1,2,3,4表示四个车轮的垂直形变量，

表示z_ui对时间的二次导数；y_i,i＝1,2,3,4表示路面激励对四个车轮的位移输入；k_ti,i＝1,2,3,4表示四个车轮的刚度系数；a和b分别表示车身质心到前轴和后轴的距离；c和d分别表示车身质心到前轮和后轮的轮距；V表示车辆行驶的速度；u_i,i＝1,2,3,4表示四个主动独立悬架***控制器输出力；

在式(1)、(2)和(3)中，u_z、u_φ和u_θ分别表示在垂直、侧倾和俯仰方向上的运动控制力，可计算为：

由于所设计的右后主动独立悬架***控制器输出力u₃和左后主动独立悬架***控制器输出力u₄并不会影响车身的俯仰运动，可得到如下表达式：

cu₃-du₄＝0(6)。

所述整车主动悬架的动力学模型通过定义状态变量为x₁＝z_s,

x₃＝φ,

x₅＝θ,

x₇＝z_u1,

x₉＝z_u2,

x₁₁＝z_u3,

x₁₃＝z_u4,

能再写为：

所述设计一个性能函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度收敛到性能函数的边界内，接着应用反函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度等价转化为转换误差，具体为：

①针对车辆的质心垂直位移z_s＝x₁设计性能函数；

针对车身质心垂直方向动力学方程(1)中的z_s＝x₁，选取性能函数ρ₁(t):R⁺→R^-为：

ρ₁(t)＝δ₁sech(τ₁t)+ρ_1∞(9)；

公式(9)中，ρ₁(t)在正实数区间R⁺到负实数区间R^-中为连续可微有界递减函数；δ₁为正常数，ρ_1∞为允许的稳态误差，sech(τ₁t)为双曲正割函数常量，τ₁＞0为函数收敛速度，t表示时间，δ₁与ρ_1∞数值的选取应满足δ₁＞ρ_1∞；车辆质心的垂直位移应满足如下边界条件：

②对控制目标车辆质心的垂直位移进行误差转化操作：

定义控制误差s₁如下：

公式(11)中，Λ₁＞0是正常量，T为矩阵转置运算符号，

为x₁对时间的导数；

定义另一个光滑严格单调递增函数

函数S(z₁)应满足如下条件：

公式(12)中，L_∞表示有界函数；

在得到性能函数ρ₁(t)和严格单调递增函数S(z₁)的基础上，控制误差s₁通过函数等价变换，可得到如下方程：

公式(13)中，ζ₁＝s₁/ρ₁(t)为等价变换变量；

③设计汽车在垂直方向上的运动控制力u_z表达式如下：

公式(14)中，k₁＞0是控制增益；

④重复上述①-③，可同理设计出整车主动悬架***在侧倾方向的运动控制力u_φ和俯仰方向上的运动控制力u_θ为：

公式(15)和(16)中，k₂＞0,k₃＞0是控制增益，ζ₂和ζ₃分别为整车主动悬架***在侧倾方向和俯仰方向上角度x₃＝φ和x₅＝θ的等价变换变量。

通过转换误差设计出垂直、侧倾和俯仰方向的控制律，对整车悬架进行主动振动控制，具体为：将所获得的垂直、侧倾和俯仰方向上的运动控制力u_z,u_φ和u_θ，按照整车主动独立悬架***力分配原则进行分配，联立公式(5)和(6)，可计算出四个主动独立悬架***控制器输出力u_i,i＝1...4的数学表达式：

将得到的四个主动独立悬架***控制器输出力u_i(i＝1,2,3,4)输入到整车主动悬架***动力学模型中对整个汽车运行状态进行控制。

本发明的有益效果是：

1、本发明采用整车主动悬架***作为研究对象，进行控制器设计，充分考虑了车身垂直、侧倾和俯仰方向的运动状况和耦合作用，更接近真实的车辆状况。

2、本发明采用一种基于规定性能函数的控制策略，使悬架***的垂直位移、侧倾角度和俯仰角度始终收敛到规定性能内，保证了悬架***的暂态和稳态性能，提高了***的鲁棒性。

3、对于整车悬架***这种复杂的非线性***来说，基于规定性能函数的控制策略避免了***精确建模过程和神经网络在线计算等比较复杂的操作，设计简单，计算量小。

附图说明

图1为本发明所提供的用于构建整车主动悬架动力学模型的***示意图；

图2为本发明所提供的随机粗糙路面输入；

图3为本发明中车身加速度响应曲线图；

图4为本发明中车身垂直、侧倾和俯仰方向在不同控制方法作用下的对比；

图5为本发明中垂直加速度、垂直位移、侧倾角度和俯仰角度的均方根植响应曲线图。

具体实施方式

实施例1：如图1-5所示，一种基于规定性能函数的整车主动悬架***振动控制方法，首先根据汽车动力学理论及牛顿第二定律建立整车主动悬架的动力学模型；然后设计一个性能函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度收敛到性能函数的边界内；接着应用反函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度等价转化为转换误差；最后通过转换误差设计出垂直、侧倾和俯仰方向的控制律，对整车悬架进行主动振动控制。

进一步地，可以设置，所述方法具体步骤可以按照如下步骤执行：

Step1、根据汽车动力学理论以及牛顿第二定律，得到整车主动悬架的动力学模型如下：

车身质心垂直方向的动力学方程：

车身侧倾方向的动力学方程：

车身俯仰方向的动力学方程：

四个车轮垂直方向的动力学方程：

公式(1)-(4)中，M表示车身质量，m_i,i＝1,2,3,4表示四个车轮的非簧载质量，m₁表示右前轮非簧载质量、m₂表示左前轮非簧载质量、m₃表示右后轮非簧载质量、m₄表示左后轮非簧载质量；z_s表示车辆质心的垂直位移，

表示z_s对时间的二次导数；I_φ表示车身的侧倾转动惯量，φ为侧倾角度，

表示φ对时间的二次导数；I_θ表示车身的俯仰转动惯量，θ为俯仰角度，

表示θ对时间的二次导数；F_si,i＝1,2,3,4表示四个位置弹簧产生的弹力，F_s1表示右前弹簧产生的弹簧力、F_s2表示左前弹簧产生的弹簧力、F_s3表示右后弹簧产生的弹簧力、F_s4表示左后弹簧产生的弹簧力；F_di,i＝1,2,3,4表示四个位置阻尼器产生的阻尼力，F_d1表示右前阻尼器产生的阻尼力、F_d2表示左前阻尼器产生的阻尼力、F_d3表示右后阻尼器产生的阻尼力、F_d4表示左后阻尼器产生的阻尼力；z_ui,i＝1,2,3,4表示四个车轮的垂直形变量，

表示z_ui对时间的二次导数，z_u1表示右前车轮的垂直形变量、z_u2左前车轮的垂直形变量、z_u3表示右后车轮的垂直形变量、z_u4表示左后车轮的垂直形变量；y_i,i＝1,2,3,4表示路面激励对四个车轮的位移输入，y₁表示路面激励对右前车轮的位移输入、y₂表示路面激励对左前车轮的位移输入、y₃表示路面激励对右后车轮的位移输入、y₄表示路面激励对左后车轮的位移输入；k_ti,i＝1,2,3,4表示四个车轮的刚度系数；a和b分别表示车身质心到前轴和后轴的距离，k_t1表示右前车轮的刚度系数、k_t2表示左边车轮的刚度系数，k_t3表示右后车轮的刚度系数，k_t4表示左后车轮的刚度系数；c和d分别表示车身质心到前轮和后轮的轮距；V表示车辆行驶的速度；u_i,i＝1,2,3,4表示四个主动独立悬架***控制器输出力，u₁表示右前主动独立悬架***控制器输出力、u₂表示左前主动独立悬架***控制器输出力、u₃表示右后主动独立悬架***控制器输出力、u₄表示左后主动独立悬架***控制器输出力；

在式(1)、(2)和(3)中，u_z、u_φ和u_θ分别表示在垂直、侧倾和俯仰方向上的运动控制力，可计算为：

由于所设计的右后主动独立悬架***控制器输出力u₃和左后主动独立悬架***控制器输出力u₄并不会影响车身的俯仰运动，可得到如下表达式：

cu₃-du₄＝0(6)。

进一步地，可以设置：

Step2、所述整车主动悬架的动力学模型通过定义状态变量为x₁＝z_s,

x₃＝φ,

x₅＝θ,

x₇＝z_u1,

x₉＝z_u2,

x₁₁＝z_u3,

x₁₃＝z_u4,

能再写为：

进一步地，可以设置：

Step3、针对车辆的质心垂直位移z_s＝x₁设计性能函数；

针对车身质心垂直方向动力学方程(1)中的z_s＝x₁，选取性能函数ρ₁(t):R⁺→R^-为：

ρ₁(t)＝δ₁sech(τ₁t)+ρ_1∞(9)；

公式(9)中，ρ₁(t)在正实数区间R⁺到负实数区间R^-中为连续可微有界递减函数；δ₁为正常数，ρ_1∞为允许的稳态误差，sech(τ₁t)为双曲正割函数常量，τ₁＞0为函数收敛速度，t表示时间，δ₁与ρ_1∞数值的选取应满足δ₁＞ρ_1∞；车辆质心的垂直位移应满足如下边界条件：

Step4、对控制目标车辆质心的垂直位移进行误差转化操作：

Step4.1、定义控制误差s₁如下：

公式(11)中，Λ₁＞0是正常量，T为矩阵转置运算符号，

为x₁对时间的导数；

Step4.2、定义另一个光滑严格单调递增函数

函数S(z₁)应满足如下条件：

公式(12)中，L_∞表示有界函数；

Step4.3、在得到性能函数ρ₁(t)和严格单调递增函数S(z₁)的基础上，控制误差s₁通过函数等价变换，可得到如下方程：

公式(13)中，ζ₁＝s₁/ρ₁(t)为等价变换变量；

Step5、设计汽车在垂直方向上的运动控制力u_z表达式如下：

公式(14)中，k₁＞0是控制增益；

Step6、重复上述Step3-Step5，可同理设计出整车主动悬架***在侧倾方向的运动控制力u_φ和俯仰方向上的运动控制力u_θ为：

公式(15)和(16)中，k₂＞0,k₃＞0是控制增益，ζ₂和ζ₃分别为整车主动悬架***在侧倾方向和俯仰方向上角度x₃＝φ和x₅＝θ的等价变换变量。

Step7、将Step3-Step6中所获得的垂直、侧倾和俯仰方向上的运动控制力u_z,u_φ和u_θ，按照整车主动独立悬架***力分配原则进行分配，联立公式(5)和(6)，可计算出四个主动独立悬架***控制器输出力u_i,i＝1...4的数学表达式：

将得到的四个主动独立悬架***控制器输出力u_i(i＝1,2,3,4)输入到整车主动悬架***动力学模型中对整个汽车运行状态进行控制。

实施例2：一种基于规定性能函数的整车主动悬架***联合控制方法，所述方法的具体步骤如下：

按照上述发明所述流程对一款E型SUV汽车进行了规定性能函数的运动控制，整车主动悬架的非线性简化图如图1所示，并通过Matlab/Simulink与Carsim软件的联合仿真进行了数值模拟。

Step1、建立整车主动悬架动力学模型：根据汽车动力学理论以及牛顿第二定律，得到整车主动悬架***动力学模型如下：

车身质心垂直方向的动力学方程：

车身侧倾方向的动力学方程：

车身俯仰方向的动力学方程：

四个车轮垂直方向的动力学方程：

公式(1)-(4)，M＝1590kg表示车身质量，m_i(i＝1,2,3,4)表示非簧载质量，其中m₁＝60kg表示右前轮非簧载质量、m₂＝60kg表示左前轮非簧载质量、m₃＝75kg表示右后轮非簧载质量、m₄＝75kg表示左后轮非簧载质量。z_s表示车辆质心的垂直位移；I_φ＝894.4kgm²表示车身的侧倾转动惯量，其中φ为侧倾角度；I_θ＝2687.1kgm²表示车身的俯仰转动惯量，其中θ为俯仰角度；F_si(i＝1,2,3,4)表示弹簧产生的弹力，其中F_s1表示右前弹簧产生的弹簧力、F_s2表示左前弹簧产生的弹簧力、F_s3表示右后弹簧产生的弹簧力、F_s4表示左后弹簧产生的弹簧力；F_di(i＝1,2,3,4)表示阻尼器产生的阻尼力，其中F_d1表示右前阻尼器产生的阻尼力、F_d2表示左前阻尼器产生的阻尼力、F_d3表示右后阻尼器产生的阻尼力、F_d4表示左后阻尼器产生的阻尼力；z_ui(i＝1,2,3,4)表示车轮的垂直形变量，其中z_u1表示右前车轮的垂直形变量、z_u2左前车轮的垂直形变量、z_u3表示右后车轮的垂直形变量、z_u4表示左后车轮的垂直形变量；y_i(i＝1,2,3,4)表示路面激励的位移输入，其中y₁表示路面激励对右前车轮的位移输入、y₂表示路面激励对左前车轮的位移输入、y₃表示路面激励对右后车轮的位移输入、y₄表示路面激励对左后车轮的位移输入；k_ti(i＝1,2,3,4)表示四个车轮的刚度系数，其中k_t1＝502000N/m表示右前车轮的刚度系数、k_t2＝502000N/m表示左边车轮的刚度系数，k_t3＝502000N/m表示右后车轮的刚度系数，k_t4＝502000N/m表示左后车轮的刚度系数；a＝1.18m和b＝1.77m分别表示车身质心到前轴和后轴的距离；c＝0.7875m和d＝0.7875m分别表示车身质心到前轮和后轮的轮距；V＝60km/h表示车辆行驶的速度；u_i(i＝1,2,3,4)表示四个主动独立悬架***控制器输出力，其中u₁表示右前主动独立悬架***控制器输出力、u₂表示左前主动独立悬架***控制器输出力、u₃表示右后主动独立悬架***控制器输出力、u₄表示左后主动独立悬架***控制器输出力。

在式(1)、(2)和(3)中，u_z、u_φ和u_θ分别表示在垂直、侧倾和俯仰方向上的运动控制力，可计算为：

由于所设计的右后主动独立悬架***控制器输出力u₃和左后主动独立悬架***控制器输出力u₄并不会影响车身的俯仰运动，可得到如下表达式：

cu₃-du₄＝0(6)；

Step2、定义状态变量为x₁＝z_s,

x₃＝φ,

x₅＝θ,

x₇＝z_u1,

x₉＝z_u2,

x₁₁＝z_u3,

x₁₃＝z_u4,

则整车主动悬架***动力学模型可再写为：

Step3、针对车辆的质心垂直位移z_s＝x₁设计性能函数；

针对车身质心垂直方向的动力学方程(1)中z_s＝x₁，选取性能函数ρ₁(t):R⁺→R^-为

ρ₁(t)＝δ₁sech(τ₁t)+ρ_1∞(9)；

公式(9)中，ρ₁(t)在正实数区间R⁺到负实数区间R^-中为连续可微有界递减函数；δ₁为正常数，ρ_1∞为允许的稳态误差，sech(τ₁t)为双曲正割函数常量，τ₁＞0为函数收敛速度，t表示时间，δ₁与ρ_1∞数值的选取应满足δ₁＞ρ_1∞；车辆质心的垂直位移应满足如下边界条件：

Step4、对控制目标车辆质心的垂直位移z_s＝x₁进行误差转化操作：

Step4.1、定义控制误差s₁如下：

公式(11)中，Λ₁＞0是正常量，T为矩阵转置运算符号，

为x₁对时间的导数；

Step4.2、定义另一个光滑严格单调递增函数

函数S(z₁)应满足如下条件：

公式(12)中，L_∞表示有界函数；

Step4.3、在得到性能函数ρ₁(t)和严格单调递增函数S(z₁)的基础上，控制误差s₁通过反函数运算变换，可得到如下方程：

公式(13)中，ζ₁＝s₁/ρ₁(t)为等价变换变量；

Step5、设计汽车在垂直方向上的运动控制力u_z表达式如下：

公式(14)中，k₁＞0是控制增益；

Step6、重复Step3-Step5，可同理设计出整车主动悬架***在侧倾方向的运动控制力u_φ和俯仰方向上的运动控制力u_θ为：

公式(15)和(16)中，k₂＞0,k₃＞0是控制增益，ζ₂和ζ₃分别为整车主动悬架***在侧倾方向和俯仰方向上角度x₃＝φ和x₅＝θ的等价变换变量；

Step7、将Step3-Step6中所获得的垂直、侧倾和俯仰方向上的运动控制力u_z,u_φ和u_θ，按照整车主动独立悬架***力分配原则进行分配，联立公式(5)和(6)，可计算出四个主动独立悬架***控制器输出力u_i,i＝1...4的数学表达式：

将得到的四个主动独立悬架***控制器输出力u_i(i＝1,2,3,4)输入到整车主动悬架***动力学模型中对整个汽车运行状态进行控制。

为验证整车主动悬架控制器的有效性，本发明在Carsim软件中建立了1200m长的随机粗糙路面作为路面位移输入，路面响应曲线如图2所示，车辆以60km/h的速度在该路面上行驶。

在仿真中，车身垂直方向的规定性能函数设置为ρ₁(t)＝0.1sech(12t)+0.002，侧倾方向的规定性能函数为ρ₂(t)＝0.3sech(7t)+0.03，俯仰方向的规定性能函数为ρ₃(t)＝0.4sech(6t)+0.13。整车主动悬架***仿真过程中其他的一些参数设置为Λ₁＝15，Λ₂＝9.43，Λ₃＝11.33,k₁＝1230,k₂＝2790,k₃＝5970。图3给出了不同控制方法下的车身加速度、即簧载质量加速度响应曲线。从图3中可以看出，本发明所提出的方法在可显著降低簧载质量加速度幅值，从而提升驾驶舒适度。图4为车身垂直、侧倾和俯仰方向在不同控制方法作用下的对比结果。可见相比于传统Backstepping控制方法，采用预设性能函数控制方法的主动悬架***，能够同时保证车辆的瞬态和稳态运动姿态均被约束在预规定误差边界范围内，即垂直位移z_s、侧倾角度φ和俯仰角度θ能够收敛至预规定边界内，有效的减低车身颠簸，保证车辆行驶的平稳性；而采用传统Backstepping控制方法的主动悬架***并不能满足这些要求。

汽车各个变量(加速度、位移、侧倾角度和俯仰角度)的均方根(RMS)值与乘坐舒适度有密切的联系，故均方根值通常可以作为一种指标来衡量乘坐舒适性和操作安全性。n维向量x的均方根值可计算为：

垂直加速度

垂直位移z_s、侧倾转动惯量I_φ和俯仰转动惯量I_θ的均方根值如图5所示，它可以更直观的观察出各对比方法下降的百分比。从图5中观察可知，相比于采用传统Backstepping控制方法的主动悬架***，采用预设性能函数控制方法的主动悬架***能够实现整车在簧载质量加速度

质心垂直位移z_s、侧倾转动惯量I_φ和俯仰转动惯I_θ量幅值上分别降低61.8％,86.3％,11.8％,47.9％。因此，采用本发明所提出控制器能够实现的主动悬架***对于路面激励的更好的抑制作用。

上面结合图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下作出各种变化。

Claims (1)

1.一种基于规定性能函数的整车主动悬架***振动控制方法，其特征在于：首先根据汽车动力学理论及牛顿第二定律建立整车主动悬架的动力学模型；然后设计一个性能函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度收敛到性能函数的边界内；接着应用反函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度等价转化为转换误差；最后通过转换误差设计出垂直、侧倾和俯仰方向的控制律，对整车悬架进行主动振动控制；

所述根据汽车动力学理论以及牛顿第二定律，得到整车主动悬架的动力学模型如下：

车身质心垂直方向的动力学方程：

车身侧倾方向的动力学方程：

车身俯仰方向的动力学方程：

四个车轮垂直方向的动力学方程：

公式(1)-(4)中，M表示车身质量，m_i,i＝1,2,3,4表示四个车轮的非簧载质量；z_s表示车辆质心的垂直位移，

表示z_s对时间的二次导数；I_φ表示车身的侧倾转动惯量，φ为侧倾角度，

表示φ对时间的二次导数；I_θ表示车身的俯仰转动惯量，θ为俯仰角度，

表示θ对时间的二次导数；F_si,i＝1,2,3,4表示四个位置弹簧产生的弹力；F_di,i＝1,2,3,4表示四个位置阻尼器产生的阻尼力；z_ui,i＝1,2,3,4表示四个车轮的垂直形变量，

i＝1,2,3,4表示z_ui对时间的二次导数；y_i,i＝1,2,3,4表示路面激励对四个车轮的位移输入；k_ti,i＝1,2,3,4表示四个车轮的刚度系数；a和b分别表示车身质心到前轴和后轴的距离；c和d分别表示车身质心到前轮和后轮的轮距；V表示车辆行驶的速度；u_i,i＝1,2,3,4表示四个主动独立悬架***控制器输出力；

在式(1)、(2)和(3)中，u_z、u_φ和u_θ分别表示在垂直、侧倾和俯仰方向上的运动控制力，可计算为：

由于所设计的右后主动独立悬架***控制器输出力u₃和左后主动独立悬架***控制器输出力u₄并不会影响车身的俯仰运动，可得到如下表达式：

cu₃-du₄＝0(6)；

所述整车主动悬架的动力学模型通过定义状态变量为x₁＝z_s,

x₃＝φ,

x₅＝θ,

x₇＝z_u1,

x₉＝z_u2,

x₁₁＝z_u3,

x₁₃＝z_u4,

能再写为：

所述设计一个性能函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度收敛到性能函数的边界内，接着应用反函数使垂直位移、侧倾角度和俯仰角度等价转化为转换误差，具体为：

①针对车辆的质心垂直位移z_s＝x₁设计性能函数；

针对车身质心垂直方向动力学方程(1)中的z_s＝x₁，选取性能函数ρ₁(t):R⁺→R^-为：

ρ₁(t)＝δ₁sech(τ₁t)+ρ_1∞(9)；

公式(9)中，ρ₁(t)在正实数区间R⁺到负实数区间R^-中为连续可微有界递减函数；δ₁为正常数，ρ_1∞为允许的稳态误差，sech(τ₁t)为双曲正割函数常量，τ₁＞0为函数收敛速度，t表示时间，δ₁与ρ_1∞数值的选取应满足δ₁＞ρ_1∞；车辆质心的垂直位移应满足如下边界条件：

②对控制目标车辆质心的垂直位移进行误差转化操作：

定义控制误差s₁如下：

公式(11)中，Λ₁＞0是正常量，T为矩阵转置运算符号，

为x₁对时间的导数；

定义另一个光滑严格单调递增函数

函数S(z₁)应满足如下条件：

公式(12)中，L_∞表示有界函数；

在得到性能函数ρ₁(t)和严格单调递增函数S(z₁)的基础上，控制误差s₁通过函数等价变换，可得到如下方程：

公式(13)中，ζ₁＝s₁/ρ₁(t)为等价变换变量；

③设计汽车在垂直方向上的运动控制力u_z表达式如下：

公式(14)中，k₁＞0是控制增益；

④重复上述①-③，可同理设计出整车主动悬架***在侧倾方向的运动控制力u_φ和俯仰方向上的运动控制力u_θ为：

公式(15)和(16)中，k₂＞0,k₃＞0是控制增益，ζ₂和ζ₃分别为整车主动悬架***在侧倾方向和俯仰方向上角度x₃＝φ和x₅＝θ的等价变换变量；

通过转换误差设计出垂直、侧倾和俯仰方向的控制律，对整车悬架进行主动振动控制，具体为：将所获得的垂直、侧倾和俯仰方向上的运动控制力u_z,u_φ和u_θ，按照整车主动独立悬架***力分配原则进行分配，联立公式(5)和(6)，可计算出四个主动独立悬架***控制器输出力u_i,i＝1…4的数学表达式：

将得到的四个主动独立悬架***控制器输出力u_i(i＝1,2,3,4)输入到整车主动悬架***动力学模型中对整个汽车运行状态进行控制。

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