CN106907436B - 圆—偏心圆—非圆三轮同步带传动设计方法 - Google Patents

圆—偏心圆—非圆三轮同步带传动设计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了圆—偏心圆—非圆三轮同步带传动设计方法。本发明首先建立同步带主从动轮的节曲线方程，并利用切极坐标理论计算主从动轮传动比；然后计算同步带的周长，根据同步带周长松弛量变化通过迭代算法得到非圆张紧同步带轮节曲线，并公开了非圆同步带轮齿廓生成方法；张紧轮为自由节曲线的非圆同步带轮，可以实时补偿传动过程中产生的同步带松弛变化量，克服传统两轮式非圆带传动不能同时满足非匀速传动和实时张紧问题；圆主动轮节曲线的半径、偏心圆从动轮节曲线的半径和偏心距为可调量，通过三个量的调节可以改变主动轮和从动轮节曲线的形状，满足大中心距的特定非匀速传动要求。

Description

圆—偏心圆—非圆三轮同步带传动设计方法
技术领域
本发明涉及一种非圆同步带传动的设计方法，具体涉及一种变松弛量自补偿的圆—偏心圆—非圆三轮同步带传动设计方法。
背景技术
传动机构改变了输入输出构件的运动形式和速度，以满足不同工作环境要求，其中非匀速传动机构占据非常重要地位，常见的有连杆机构、凸轮机构、非圆齿轮机构等。相对于连杆机构和凸轮机构，非圆齿轮机构具有结构紧凑、传动平稳、传递功率较大、容易实现动平衡等优点，因此已成功应用于加工机床、自动机械、运输、仪器仪表、泵类、流量计、纺织机械和农业机械上。但是非圆齿轮传动只适合用于中心距较小、润滑方便的非匀速传动场合，因此适合于大中心距、润滑不方便和低制造成本场合的非圆挠性件(带/链)传动应运而生。其中非圆链传动的多边形效应明显，因此在对非匀速传动比变化规律有严格要求时就受到限制；同时普通的摩擦式带传动由于弹性滑动而不能保证准确的传动比规律。
目前的非圆带(链)传动，都只有2个非圆的带(链)轮——主动轮和从动轮，在传动过程中由于其节曲线是非圆，带(链)的松弛量是实时变化的，因此就不能同时保证工作所要求的非匀速传动比变化规律和带(链)的实时张紧。实际应用中为了补偿在传动中带(链)的松弛量变化，通过附加弹簧以实现张紧，由于在一个运动周期中其张紧力是变化的，而且随着非匀速特性的加剧张紧力的变化幅度越大，这样反过来会影响非匀速传动的精度，并且动力学特性变差；因此在实际工程中，非圆带(链)传动很少应用于精确的负载高速传动场合。
发明内容
本发明的目的是针对现有技术的不足，提出一种变松弛量自补偿的圆—偏心圆—非圆三轮同步带传动设计方法，为非圆同步带轮在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，实现大中心距之间的非匀速直接精确传动。该设计方法首先建立同步带主从动轮的节曲线方程，并利用切极坐标理论计算主从动同步带轮传动比；然后计算同步带的周长，根据同步带周长松弛量变化通过迭代方法计算非圆张紧同步带轮节曲线的各项参数。
为解决上述技术问题，本发明的技术方案是：
本发明的具体步骤如下：
步骤一、根据传动规律确定圆型主动同步带轮节曲线与偏心圆从动同步带轮节曲线方程；
圆型主动同步带轮为匀速转动的输入构件，为圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角，θ1为p1到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，圆型主动同步带轮切极坐标方程：
p1＝r1 (1)
s＝2π×r1 (2)
式中，p1为圆型主动同步带轮节曲线的切径，r1为圆型主动同步带轮节曲线的半径，s为圆型主动同步带轮节曲线的周长。
偏心圆从动同步带轮为输出构件，其节曲线切极坐标方程：
p2＝r2+e2×cos(θ2) (3)
式中，p2为偏心圆从动同步带轮节曲线切径，θ2为切径p2到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，e2为偏心圆从动同步带轮的偏心距，r2为偏心圆半径。
步骤二、计算圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮初始位置的传动比：
初始位置，圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角偏心圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角根据切极坐标理论得：
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为圆型主动同步带轮节曲线与偏心圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C1、C2的切径值，p1(θ13)和p3(θ31)分别为圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C6、C5的切径值，p2(θ23)和p3(θ32)分别为偏心圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C3、C4的切径值，θ120为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与偏心圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ130为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ13)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ31)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ230为偏心圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ23)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ32)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ12、θ13分别为圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，θ21、θ23分别为偏心圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，θ31、θ32分别为非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的切角，L1为圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮中心距，L2为偏心圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距，L3为圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距；
初始位置圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮瞬时传动比为：
步骤三、计算任意时刻圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮之间的公切线段长度T12、偏心圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T23、圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T13。
初始时刻，设定非圆张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮之间的公切线段长度T0、偏心圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T1、圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T2分别为：
式中，p1'、p'2、p'3分别为p1、p2、p3的一阶微分。
当圆型主动同步带轮转过角度偏心圆从动同步带轮相应转过角度圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应的弧长变化量为s1、s6，偏心圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应的弧长变化量为s2、s3，非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应的弧长变化量为s4、s5。则有：
式中，p"1(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p"2(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p"3(θ3)为p3(θ3)的二阶微分，θ3为非圆张紧同步带轮切径p3到动坐标系x3o3y3中x3轴的转角。
任意时刻圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮之间的公切线段长度T12、偏心圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T23、圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T13分别为：
式中，p'1(θ12)、p'1(θ13)分别为p1(θ12)、p1(θ13)的一阶微分，p'2(θ21)、p'2(θ23)分别为p2(θ21)、p2(θ23)的一阶微分，p'3(θ32)、p'3(θ31)分别为p3(θ32)、p3(θ31)的一阶微分；为偏心圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角，为偏心圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x3o3y3中x3轴到静坐标系xo1y中x轴的转角。
步骤四、计算任意时刻圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮的传动比；
圆型主动同步带轮匀速转动，根据式(1)、(3)、(9)、(10)解得p1，p2，则圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮的瞬时传动比为：
步骤五、计算任意时刻同步带周长；
圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C6，C1与C6间的弧长为c11，偏心圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C3，C2与C3间的弧长为c22，非圆张紧同步带轮节曲线与偏心圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C4，非圆张紧同步带轮节曲线与圆型主动同步带轮节曲线公切线上切点记为C5，C4与C5间的弧长为c33。
任意时刻，同步带周长为：
C＝T12+T13+T23+c11+c22+c33 (13)
步骤六、非圆张紧同步带轮节曲线算法。
迭代算法如下：
(a)设定非圆张紧同步带轮转动中心，非圆张紧同步带轮的半径设置为变量，非圆张紧同步带轮半径初始值给定，记为r3-0，根据式(13)计算带长初始值记为C0。
(b)圆型主动同步带轮转过1°，根据传动比要求计算偏心圆从动同步带轮转过相应的角度，非圆张紧同步带轮的转角与圆型主动同步带轮相同。在保证同步带周长C不变的前提下，根据式(13)反求圆型主动同步带轮转过1°时对应的非圆张紧同步带轮半径r3-1，即对应时刻的p3。
(c)重复(b)358次，得到圆型主动同步带轮转过2°，3°，…，359°时对应的非圆张紧同步带轮半径分别为r3-2，r3-3，……，r3-359。
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的非圆张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定非圆张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。
(e)将(d)中得到的非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及偏心圆从动同步带轮的周长均相等。
(f)将(e)所求得的非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径代入式(13)计算各个时刻的带长。
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆非圆张紧同步带轮。
(i)将经(h)后的非圆非圆张紧同步带轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及偏心圆从动同步带轮的周长均相等。
(j)将经(i)后的非圆非圆张紧同步带轮向径代入式(13)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。
(k)建立非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为非圆张紧同步带轮节曲线方程。
步骤七、计算非圆张紧同步带轮的齿廓；
1)非圆张紧同步带轮齿廓包络过程中刀具位置的算法
首先将建好的齿条刀具模型放置在初始位置，此时刀具节线切非圆张紧同步带轮节曲线于点D0，连接O3D0交非圆张紧同步带轮节曲线于点G0，点G0与D0重合。保持非圆张紧同步带轮节曲线不动，若刀具绕圆心O3旋转至切非圆张紧同步带轮节曲线于D1，连接O3D1交非圆张紧同步带轮节曲线于点G1，若Pb为刀具节线上相邻刀齿齿距，为保证两者转过距离相等，则每切好一个完整齿，刀具D0点就平移Pb到当前齿廓包络点，若刀具沿同一方向继续绕圆心O3旋转至切非圆张紧同步带轮节曲线于D2，连接O3D2交非圆张紧同步带轮节曲线于点G2，若此时则其中N1为已经切好的完整齿数。
2)非圆张紧同步带轮齿廓包络过程中刀具角度的算法
在计算前先确定点G0、点D0以及刀具在点D0对应的齿形状态，通过三次非均匀B样条对非圆张紧同步带轮节曲线上的点进行拟合细化。包络点需均匀分布在整个非圆张紧同步带轮节曲线上，包络点的个数N2则根据实际精度需求确定，且N2＝k1×360，k1＞3，求取某包络点的切线的斜率就用该包络点与相邻包络点所确定的直线的斜率代替，从而确定该包络点的切线方程。
3)点G0到非圆张紧同步带轮节曲线上除G0外的任意一个包络点E对应的刀具旋转半径r及齿廓包络角θ的求解步骤：
过G0做非圆张紧同步带轮节曲线的切线t0，过转动中心O3做t0的垂线交t0于点F0。同理，过包络点E做非圆张紧同步带轮节曲线的切线t，过转动中心O3做t的垂线交t于点F。
分别计算切线t0与t的方程，继而求解得到转动中心O3到切线t0和t的距离r0和r，以及点F0与F的坐标值。
利用两点间距离公式求得F0与F间的距离l，则在△F0O3F中利用余弦公式求得∠F0O3F＝α，若沿逆时针方向包络，则齿廓包络角θ＝α。若沿顺时针方向包络，则齿廓包络角为θ＝π-α。
本发明具有的有益效果：
1、本发明为变松弛量自补偿的圆—偏心圆—非圆三轮同步带传动在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，能够应用于所有圆—偏心圆—非圆三轮同步带传动机构，促进了圆—偏心圆—非圆三轮同步带传动的推广使用。
2、本发明中主动轮节曲线为圆，从动轮节曲线为偏心圆的同步带传动***，传动比设计简单；圆型主动同步带轮节曲线的半径、偏心圆从动同步带轮节曲线的半径和偏心距为可调量，通过三个量的调节可以改变主动轮和从动轮节曲线的形状，满足特定非匀速要求的传动。
3、本发明中的非圆张紧同步带轮为自由节曲线的非圆同步带轮，可以实时补偿圆型主动同步带轮和偏心圆从动同步带轮传动过程中产生的带松弛变化量，实现大中心距之间的非匀速直接精确传动。
4、本发明采用切极坐标理论计算传动比的精确值，易于编程实现，求解精度高，方便快捷。
附图说明
图1是本发明的传动原理图；
图2是本发明实施例中圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮的传动比变化曲线图；
图3是采用本发明实施例中的非圆张紧同步带轮的节曲线时同步带带长变化曲线图；
图4是本发明实施例中偏心圆从动同步带轮的节曲线示意图；
图5是本发明实施例中非圆张紧同步带轮的节曲线示意图。
图6(a)、6(b)、6(c)分别是本发明实施例中非圆张紧同步带轮齿廓加工刀具的三个位置图；
图7是本发明实施例中非圆张紧同步带轮齿廓图；
图8是本发明实施例中非圆张紧同步带轮齿廓包络角及旋转半径图。
具体实施方式
下面结合附图及实施案例对本发明作进一步说明。
圆—偏心圆—非圆三轮同步带传动设计方法，具体步骤如下：
步骤一、如图1所示，给定圆型主动同步带轮1节曲线半径r1＝30mm，圆型主动同步带轮节曲线切径p1＝r1，非圆张紧同步带轮3为根据同步带周长松弛量变化拟合的非圆带轮；三个轮中每两个轮的中心距均为100mm，三个轮为等周长封闭凸曲线，根据下面公式计算圆型主动同步带轮节曲线的周长：
s＝2π×r1＝188.4956mm (1)
给定偏心圆从动同步带轮2节曲线半径r2＝30mm，偏心距e2＝15mm，根据圆型主动同步带轮节曲线与偏心圆从动同步带轮节曲线周长相等的原则确定偏心圆从动同步带轮节曲线的切极坐标方程为：
p2＝30+e2×cos(θ2) (2)
偏心圆从动同步带轮节曲线如图4所示。
步骤二、计算圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮初始位置的传动比：
初始位置，圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角偏心圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角根据切极坐标理论得：
式中，θ120为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与偏心圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的切角初值，θ130为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ13)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ31)到各自动坐标系水平轴的切角初值，θ230为偏心圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ23)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ32)到各自动坐标系水平轴的切角初值，p1(θ12)和p2(θ21)分别为圆型主动同步带轮节曲线与偏心圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C1、C2的切径值，p1(θ13)和p3(θ31)分别为圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C6、C5的切径值，p2(θ23)和p3(θ32)分别为偏心圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C3、C4的切径值，θ12、θ13分别为圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，θ21、θ23分别为偏心圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，θ31、θ32分别为非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应时刻切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的切角，L1为圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮中心距，L2为圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮中心距，L3为圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮中心距；
根据式(4)，初始位置圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮瞬时传动比i120＝1。
步骤三、计算圆型主动同步带轮、偏心圆从动同步带轮和非圆张紧同步带轮每两轮之间的公切线段长度。
初始时刻，设定非圆张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T0、偏心圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T1与圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T2分别为：
代入数据解得T0＝110mm，T1＝109mm，T2＝116mm。
圆型主动同步带轮转过1°时，圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应的弧长变化量为s1、s6，偏心圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应的弧长变化量为s2、s3，非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应的弧长变化量为s4、s5。则有：
式中，p"1(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p"2(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p"3(θ3)为p3(θ3)的二阶微分，θ3为非圆张紧同步带轮切径p3到动坐标系x3o3y3中x3轴的角。
任意时刻三段公切线段长度分别为：
式中，p'1(θ12)、p'1(θ13)分别为p1(θ12)、p1(θ13)的一阶微分，p'2(θ21)、p'2(θ23)分别为p2(θ21)、p2(θ23)的一阶微分，p'3(θ32)、p'3(θ31)分别为p3(θ32)、p3(θ31)的一阶微分；为偏心圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角，为偏心圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x3o3y3中x3轴到静坐标系xo1y中x轴的转角。
步骤四、计算任意时刻圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮的传动比；
圆型主动同步带轮匀速转动，根据式(1)，(2)得p1，p2，则瞬时传动比为：
根据式(8)、(9)、(10)，计算圆型主动同步带轮旋转一周时，圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮传动比变化如图2。
步骤五、计算任意时刻同步带周长；
圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C6，C1与C6间的弧长为c11，偏心圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线切点记为C3，C2与C3间的弧长为c22，非圆张紧同步带轮节曲线与从动轮节曲线公切线上切点记为C4，非圆张紧同步带轮节曲线与主动轮节曲线公切线上切点记为C5，C4与C5间的弧长为c33。
任意时刻，同步带周长为：
C＝T12+T13+T23+c11+c22+c33 (12)
初始时刻，根据公式(12)计算同步带初始周长C0＝662.8301mm；
依据上面的方法顺次计算圆型主动同步带轮转动一周时各个时刻同步带带长，各个时刻同步带带长变化曲线如图3。
步骤六、非圆张紧同步带轮节曲线算法。
迭代算法如下：
(a)已知非圆张紧同步带轮转动中心，非圆张紧同步带轮的半径设置为变量r3＝p3，非圆张紧同步带轮半径初始值记为r3-0＝30mm，同步带初始周长记为C0＝662.8301mm。
(b)圆型主动同步带轮转过根据图2中圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮传动比关系，偏心圆从动同步带轮转过相应的角度非圆张紧同步带轮的转角与圆型主动同步带轮相同在保证同步带周长不变的前提下，计算r3-1＝30.6729mm。
(c)重复(b)358次，得到r3-2，r3-3，……，r3-359。
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的非圆张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定非圆张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。
(e)将(d)中得到的非圆非圆张紧同步带轮的各点的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及偏心圆从动同步带轮的周长均相等。
(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(12)计算各个时刻的带长。
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的3％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的3％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆非圆张紧同步带轮。
(i)将经(h)后的非圆非圆张紧同步带轮各点的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及偏心圆从动同步带轮的周长均相等。
(j)将经(i)后的非圆非圆张紧同步带轮向径代入式(12)计算得到各点对应同步带带长，若各点对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。
(k)三个轮的节曲线及相位角、转动中心都确定，建立非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为非圆张紧同步带轮节曲线方程。计算后的非圆张紧同步带轮节曲线如图5。
步骤七、计算非圆张紧同步带轮的齿廓；
1)非圆张紧同步带轮齿廓包络过程中刀具位置的算法
如图6(a)、(b)、(c)所示，首先将建好的齿条刀具模型放置在初始位置，此时刀具节线切非圆张紧同步带轮节曲线于点D0，连接O3D0交非圆张紧同步带轮节曲线于点G0，点G0与D0重合。保持非圆张紧同步带轮节曲线不动，若刀具绕圆心O3旋转至切非圆张紧同步带轮节曲线于D1，连接O3D1交非圆张紧同步带轮节曲线于点G1，若Pb为刀具节线上相邻刀齿齿距，为保证两者转过距离相等，则每切好一个完整齿，刀具D0点就平移Pb到当前齿廓包络点，若刀具沿同一方向继续绕圆心O3旋转至切非圆张紧同步带轮节曲线于D2，连接O3D2交非圆张紧同步带轮节曲线于点G2，若此时则其中N1为已经切好的完整齿数。
2)非圆张紧同步带轮齿廓包络过程中刀具角度的算法
在计算前先确定点G0、点D0以及刀具在点D0对应的齿形状态，通过三次非均匀B样条对非圆张紧同步带轮节曲线上的点进行拟合细化。包络点需均匀分布在整个非圆张紧同步带轮节曲线上，包络点的个数N2则根据实际精度需求确定，且N2＝k1×360，k1＞3，求取某包络点的切线的斜率就用该包络点与相邻包络点所确定的直线的斜率代替，从而确定该包络点的切线方程。
3)点G0到非圆张紧同步带轮节曲线上除G0外的任意一个包络点E对应的刀具旋转半径r及齿廓包络角θ的求解步骤：
如图8所示，过G0做节曲线的切线t0，过转动中心O3做t0的垂线交t0于点F0。同理，过包络点E做非圆张紧同步带轮节曲线的切线t，过转动中心O3做t的垂线交t于点F。
分别计算切线t0与t的方程，继而求解得到转动中心O3到切线t0和t的距离r0和r，以及点F0与F的坐标值。
利用两点间距离公式求得F0与F间的距离l，则在△F0O3F中利用余弦公式求得∠F0O3F＝α，若沿逆时针方向包络，则齿廓包络角θ＝α。若沿顺时针方向包络，则齿廓包络角为θ＝π-α。
非圆同步带轮齿廓如图7所示。
该实施例中同步带理论带长变化量为12.7085mm，为同步带总长度的1.92％，因为带需要张紧，可以满足实际使用要求。

Claims (1)

1.圆—偏心圆—非圆三轮同步带传动设计方法，其特征在于：该方法具体如下：
步骤一、根据传动规律确定圆型主动同步带轮节曲线与偏心圆从动同步带轮节曲线方程；
圆型主动同步带轮为匀速转动的输入构件，为圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角，θ1为p1到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，圆型主动同步带轮切极坐标方程：
p1＝r1 (1)
s＝2π×r1 (2)
式中，p1为圆型主动同步带轮节曲线的切径，r1为圆型主动同步带轮节曲线的半径，s为圆型主动同步带轮节曲线的周长；
偏心圆从动同步带轮为输出构件，其节曲线切极坐标方程：
p2＝r2+e2×cos(θ2) (3)
式中，p2为偏心圆从动同步带轮节曲线切径，θ2为切径p2到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，e2为偏心圆从动同步带轮的偏心距，r2为偏心圆半径；
步骤二、计算圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮初始位置的传动比：
初始位置，圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角偏心圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角根据切极坐标理论得：
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为圆型主动同步带轮节曲线与偏心圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C1、C2的切径值，p1(θ13)和p3(θ31)分别为圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C6、C5的切径值，p2(θ23)和p3(θ32)分别为偏心圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C3、C4的切径值，θ120为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与偏心圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ130为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ13)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ31)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ230为偏心圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ23)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ32)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ12、θ13分别为圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，θ21、θ23分别为偏心圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，θ31、θ32分别为非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的切角，L1为圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮中心距，L2为偏心圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距，L3为圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距；
初始位置圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮瞬时传动比为：
步骤三、计算任意时刻圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮之间的公切线段长度T12、偏心圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T23、圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T13；
初始时刻，设定非圆张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮之间的公切线段长度T0、偏心圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T1、圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T2分别为：
式中，p′1、p'2、p'3分别为p1、p2、p3的一阶微分；
当圆型主动同步带轮转过角度偏心圆从动同步带轮相应转过角度圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应的弧长变化量为s1、s6，偏心圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应的弧长变化量为s2、s3，非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应的弧长变化量为s4、s5；则有：
式中，p"1(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p"2(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p"3(θ3)为p3(θ3)的二阶微分，θ3为非圆张紧同步带轮切径p3到动坐标系x3o3y3中x3轴的转角；
任意时刻圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮之间的公切线段长度T12、偏心圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T23、圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮之间的公切线段长度T13分别为：
式中，p′1(θ12)、p′1(θ13)分别为p1(θ12)、p1(θ13)的一阶微分，p'2(θ21)、p'2(θ23)分别为p2(θ21)、p2(θ23)的一阶微分，p'3(θ32)、p'3(θ31)分别为p3(θ32)、p3(θ31)的一阶微分；为偏心圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角，为偏心圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x3o3y3中x3轴到静坐标系xo1y中x轴的转角；
步骤四、计算任意时刻圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮的传动比；
圆型主动同步带轮匀速转动，根据式(1)、(3)、(9)、(10)解得p1，p2，则圆型主动同步带轮与偏心圆从动同步带轮的瞬时传动比为：
步骤五、计算任意时刻同步带周长；
圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C6，C1与C6间的弧长为c11，偏心圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C3，C2与C3间的弧长为c22，非圆张紧同步带轮节曲线与偏心圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C4，非圆张紧同步带轮节曲线与圆型主动同步带轮节曲线公切线上切点记为C5，C4与C5间的弧长为c33；
任意时刻，同步带周长为：
C＝T12+T13+T23+c11+c22+c33 (13)
步骤六、非圆张紧同步带轮节曲线算法；
迭代算法如下：
(a)设定非圆张紧同步带轮转动中心，非圆张紧同步带轮的半径设置为变量，非圆张紧同步带轮半径初始值给定，记为r3-0，根据式(13)计算带长初始值记为C0；
(b)圆型主动同步带轮转过1°，根据传动比要求计算偏心圆从动同步带轮转过相应的角度，非圆张紧同步带轮的转角与圆型主动同步带轮相同；在保证同步带周长C不变的前提下，根据式(13)反求圆型主动同步带轮转过1°时对应的非圆张紧同步带轮半径r3-1，即对应时刻的p3；
(c)重复(b)358次，得到圆型主动同步带轮转过2°，3°，…，359°时对应的非圆张紧同步带轮半径分别为r3-2，r3-3，……，r3-359；
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的非圆张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定非圆张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆；
(e)将(d)中得到的非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及偏心圆从动同步带轮的周长均相等；
(f)将(e)所求得的非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径代入式(13)计算各个时刻的带长；
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)；
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆非圆张紧同步带轮；
(i)将经(h)后的非圆非圆张紧同步带轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及偏心圆从动同步带轮的周长均相等；
(j)将经(i)后的非圆非圆张紧同步带轮向径代入式(13)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)；
(k)建立非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为非圆张紧同步带轮节曲线方程；
步骤七、计算非圆张紧同步带轮的齿廓；
1)非圆张紧同步带轮齿廓包络过程中刀具位置的算法
首先将建好的齿条刀具模型放置在初始位置，此时刀具节线切非圆张紧同步带轮节曲线于点D0，连接O3D0交非圆张紧同步带轮节曲线于点G0，点G0与D0重合；保持非圆张紧同步带轮节曲线不动，若刀具绕圆心O3旋转至切非圆张紧同步带轮节曲线于D1，连接O3D1交非圆张紧同步带轮节曲线于点G1，若Pb为刀具节线上相邻刀齿齿距，为保证两者转过距离相等，则每切好一个完整齿，刀具D0点就平移Pb到当前齿廓包络点，若刀具沿同一方向继续绕圆心O3旋转至切非圆张紧同步带轮节曲线于D2，连接O3D2交非圆张紧同步带轮节曲线于点G2，若此时则其中N1为已经切好的完整齿数；
2)非圆张紧同步带轮齿廓包络过程中刀具角度的算法
在计算前先确定点G0、点D0以及刀具在点D0对应的齿形状态，通过三次非均匀B样条对非圆张紧同步带轮节曲线上的点进行拟合细化；包络点需均匀分布在整个非圆张紧同步带轮节曲线上，包络点的个数N2则根据实际精度需求确定，且N2＝k1×360，k1＞3，求取某包络点的切线的斜率就用该包络点与相邻包络点所确定的直线的斜率代替，从而确定该包络点的切线方程；
3)点G0到非圆张紧同步带轮节曲线上除G0外的任意一个包络点E对应的刀具旋转半径r及齿廓包络角θ的求解步骤：
过G0做非圆张紧同步带轮节曲线的切线t0，过转动中心O3做t0的垂线交t0于点F0；同理，过包络点E做非圆张紧同步带轮节曲线的切线t，过转动中心O3做t的垂线交t于点F；
分别计算切线t0与t的方程，继而求解得到转动中心O3到切线t0和t的距离r0和r，以及点F0与F的坐标值；
利用两点间距离公式求得F0与F间的距离l，则在△F0O3F中利用余弦公式求得∠F0O3F＝α，若沿逆时针方向包络，则齿廓包络角θ＝α；若沿顺时针方向包络，则齿廓包络角为θ＝π-α。
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