CN105134907B - 一种基于圆弧啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于圆弧啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法，该方法设计的啮合线为一段连接内齿轮、外齿轮齿顶圆交点和节圆交点的圆弧，通过平面啮合原理，建立关于啮合线与内啮合齿轮共轭齿廓曲线之间对应关系的共轭方程；构造满足圆弧啮合线的共轭齿廓曲线，该共轭齿廓曲线为内齿轮齿顶齿廓曲线和外齿轮齿顶齿廓曲线；利用共轭原理构造与齿顶齿廓曲线共轭的齿根齿廓，并对内齿轮齿根齿廓进行修形；设计轮齿齿根齿廓与齿根圆之间的过渡曲线。本发明具有重合度大的优点，与渐开线齿形相比重合度大2倍以上，多个轮齿参与啮合，承载能力强，动态冲击小，同时相对滑动率低，润滑条件好；不会产生齿廓干涉的问题，齿轮参数设计更加自由。

Description

一种基于圆弧啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法

技术领域

本发明属于传动齿轮设计技术领域，涉及一种基于圆弧啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法。

背景技术

内啮合齿轮传动是齿轮传动的重要传动形式，传递相同方向的动力和运动，与外啮合齿轮相比，可降低由于共轭齿廓曲线相对滑动引起的动力损失，具有传动效率高、重合度大、承载能力强度等优点，广泛应用于车辆等传动***。内啮合齿轮的齿形主要为渐开线齿和摆线齿，其中渐开线齿以其容易制造及互换性，获得了最广泛的应用，形成了工业标准，但是渐开线在设计上受到齿形的限制，容易发生干涉，在设计中规定了最小齿数，有时不得不进行变位加工避免干涉，重合度也受齿数、设计压力角的限制。

随着新型传动结构的出现及对内啮合齿轮传动性能要求的提高，对内啮合齿轮的设计提出了更高的要求：更高的承载能力及设计自由性。提高齿轮的承载能力通过两方面实现：提高单齿强度或增加同时参与啮合的齿数，当采用渐开线齿或摆线齿时，通过轮齿修形来提高单齿强度或重合度已经达到了内啮合齿轮性能提升的极限，同时，受到现有的齿形的限制，在内啮合齿轮设计上，渐开线只能通过改变压力角和变位系数避免干涉，降低了内啮合齿轮设计的自由度。目前学者对外啮合齿轮设计进行了大量的研究，提出了许多新型齿形，但在内啮合齿轮设计方面，缺少相应的研究。

发明内容

本发明针对渐开线内啮合齿轮设计中齿数、变位系数限制，重合度小等问题，提供了一种基于圆弧啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法，该方法为实现内啮合齿轮大重合度，把连接内齿轮和外齿轮齿顶圆交点到节点的圆弧作为设计啮合线，根据平面齿轮啮合原理，建立了关于啮合线与内啮合齿轮共轭齿廓曲线对应关系的共轭方程，从而得到了满足圆弧啮合线的共轭齿廓曲线方程表达式，该表达式描述了内齿轮和外齿轮的齿顶齿廓曲线；然后，根据共轭原理，构造与齿顶齿廓曲线共轭的齿根齿廓曲线；为避免两点同时接触，对内齿轮齿根齿廓曲线进行了修形；最后，设计了内齿轮和外齿轮齿根齿廓与齿根圆的过渡圆弧。该方法得到的内啮合齿轮啮合线由两部分组成，一部分设计的圆弧啮合线，内齿轮齿顶齿廓曲线与外齿轮齿顶齿廓曲线在该啮合线上参与啮合，另一部分为内齿轮的齿顶齿廓与外齿轮齿根齿廓曲线参与啮合的啮合线，与渐开线内啮合齿廓相比，其重合度更大，同时由于内外齿轮齿顶齿廓共轭、外齿轮齿根齿廓与内齿轮齿顶齿廓共轭、内齿轮齿根齿廓经过了修形，不会产生轮齿齿廓干涉，在设计上自由度更大。

本发明采用的技术方案为：一种基于圆弧啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法，其特征在于：该方法把一段连接内齿轮、外齿轮齿顶圆交点和节圆交点的圆弧作为内啮合齿轮的设计啮合线，通过平面啮合原理，建立关于啮合线与内啮合齿轮共轭齿廓曲线之间对应关系的共轭方程；根据共轭方程，构造满足圆弧啮合线的共轭齿廓曲线，该共轭齿廓曲线为内齿轮齿顶齿廓曲线和外齿轮齿顶齿廓曲线；利用共轭原理构造与齿顶齿廓曲线共轭的齿根齿廓，并对内齿轮齿根齿廓进行修形；设计轮齿齿根齿廓与齿根圆之间的过渡曲线。该方法具体步骤如下：

步骤一、选择连接内齿轮、外齿轮齿顶圆交点与节圆交点的圆弧作为内啮合齿轮的设计啮合线，根据平面啮合原理，建立内啮合齿轮传动的共轭方程，该方程反应了啮合线上的点与内啮合齿轮共轭齿廓曲线上共轭点之间的对应关系；

步骤二、构造满足设计圆弧啮合线的内外齿轮共轭齿顶齿廓曲线。把啮合线方程带入共轭方程，得到圆弧啮合线与共轭齿廓曲线的对应关系式，通过坐标变换和计算，得到满足圆弧啮合线的共轭齿廓曲线，因为圆弧啮合线位于齿顶圆和节圆之间，只有齿顶齿廓参与啮合，因此得到的共轭齿廓曲线为内齿轮齿顶齿廓曲线和外齿轮齿顶齿廓曲线；

步骤三、构造内齿轮和外齿轮的齿根齿廓曲线。已知内齿轮和外齿轮的齿顶齿廓曲线和他们之间相对运动关系，根据共轭原理，分别构造与内齿轮齿顶齿廓曲线共轭的外齿轮的齿根齿廓曲线和与外齿轮齿顶齿廓共轭的内齿轮齿根齿廓；当内齿轮的齿顶齿廓和齿根齿廓同时与外齿轮的齿顶齿廓啮合，将发生两点同时接触，对内齿轮齿根齿廓进行修形，避免齿廓的啮合过程中两点接触；

步骤四、设计内外齿轮轮齿齿根与齿根圆之间的过渡曲线。确定轮齿齿根齿廓曲线在端点处的切向，构造与齿根圆和齿根齿廓曲线在端点相切的圆弧过渡曲线。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明所提出的是一种新型齿形，突出的特点是其中的一段啮合线为连接齿顶圆交点与节圆交点的圆弧，具有重合度大的优点，与渐开线齿形相比重合度大2倍以上，多个轮齿参与啮合，承载能力强，动态冲击小，同时相对滑动率低，润滑条件好；由于内齿轮齿顶齿廓与外齿轮齿顶齿廓共轭，内齿轮齿顶齿廓与外齿轮齿根齿廓共轭，内齿廓齿根齿廓经过修形，不会产生干涉的问题，齿轮参数设计更加自由。随着多轴联动数控铣削、磨削加工精度的提高，为新型齿形的加工制造提供了解决方案。

附图说明

图1为本发明一种新型大重合度内啮合齿轮齿形设计方法流程图；

图2为圆弧啮合线的设计示意图；

PP₀为连接齿顶圆交点和节圆交点的圆弧；

图3修行前内外齿轮的啮合线示意图；

PP₀为外齿轮齿顶齿廓与内齿轮齿顶齿廓啮合线，P₀P'为外齿轮齿根齿廓与内齿轮齿顶齿廓啮合线，P₀P”为修形前内齿轮齿根齿廓与外齿轮齿顶齿廓啮合线；

图4内齿轮齿根齿廓修形示意图；

Γ_a2为内齿轮齿顶齿廓，Γ_f2为修形前内齿轮齿根齿廓，Γ'_f2为修形后内齿轮齿根齿廓；

图5齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧构造示意图；

圆O₀为与齿根齿廓Γ_f和齿廓圆相切的圆，T₀、T_f分别为切点，t为在T₀处的切向；

图6外齿轮和内齿轮单齿形状；

图中附图标记含义：

1，6—齿顶圆；4，9—过渡圆弧曲线；5，10—齿根圆；2—外齿轮齿顶齿廓；3—外齿轮齿根齿廓；7—内齿轮齿顶齿廓；8—内齿轮齿根齿廓；

图7内外齿轮整体形状及啮合线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明方法的实施方式做详细说明。

本发明一种基于圆弧啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法的流程图如图1所示，包括(1)选择连接内齿轮、外齿轮齿顶圆交点与节圆交点的圆弧作为内啮合齿轮的设计啮合线，利用平面啮合原理，建立关于啮合线与内啮合齿轮共轭齿廓曲线对应关系的共轭方程；(2)构造满足圆弧啮合线的内齿轮齿顶齿廓曲线和外齿轮齿顶齿廓曲线；(3)构造与齿顶齿廓曲线共轭的齿根齿廓并对内齿轮齿根齿廓进行修形；(4)设计轮齿齿根齿廓与齿根圆的过渡曲线。该方法具体步骤如下：

步骤一、设计连接内齿轮、外齿轮齿顶圆交点与节圆交点的圆弧啮合线，建立共轭方程及关于啮合线与内啮合齿轮共轭齿廓曲线对应关系。

在齿轮传动过程中，随着接触点在啮合线上滑动时，在齿轮坐标系上划出的轨迹就是参与啮合的齿轮齿廓曲线。为提高内啮合齿轮的重合度，把连接内齿轮、外齿轮齿顶圆交点与节圆交点的圆弧作为内啮合齿轮的啮合线。如图2所示，P是内齿轮与外齿轮齿顶圆交点，P₀是内齿轮与外齿轮节圆交点，PP₀是圆心在Y_f轴上连接点P和P₀的一段圆弧，根据几何原理，可以方便的求解圆弧PP₀的半径R。得到的圆弧啮合线在坐标系S_f上的方程表达式为：

其中，x_f，y_f为啮合点P在直角坐标系S_f上的坐标值。因为圆弧啮合线位于内齿轮和外齿轮的齿顶圆与节圆之间，只有齿顶齿廓参与啮合，所以通过该圆弧啮合线构造的共轭齿廓是内齿轮和外齿轮的齿顶齿廓。该啮合线为外齿轮右侧齿廓与内齿轮左侧齿廓的啮合线，一般而言齿轮的轮齿是左右对称的，其啮合线关于坐标轴Y_f对称。

建立直角坐标系S₁:{O₁,X₁,Y₁}，S2:{O₂,X₂,Y₂}分别与外齿轮和内齿轮固连，坐标系S_f:{O_f,X_f,Y_f}为固定坐标系，且O_f为节点，则O_f在齿轮啮合作用线上。设分别为外齿轮和内齿轮的转动角度，传动比为z₂、z₁分别为外齿轮和内齿轮的齿数，R₁、R₂分别为外齿轮和内齿轮的节圆半径。

设啮合线在直角坐标系S_f上的向量表达式为：

在齿轮啮合过程中，接触点在啮合线上并沿着啮合线滑动，接触点在直角坐标系S₁和S₂上滑动的轨迹就是外齿轮和内齿轮的齿廓曲线。啮合线上的共轭点在直角坐标系S₁上的轨迹的向量表示为：

其中，M_1f为直角坐标系S_f到S₁的坐标变换矩阵。

啮合线上的共轭点在直角坐标系S₂上的轨迹的向量表示为：

其中，M_2f为直角坐标系S_f到S₁的坐标变换矩阵。

根据平面齿轮啮合理论，共轭齿形曲线在切触点处的公法线与回转中心线O₁O₂相交并将该线分为两段O₂P和O₁P，两线段之比值为齿轮传动比。则得到啮合线上点P的法向量在直角坐标系S_f上的向量表示为：

在直角坐标系S₁上的点P的法向量表示为：

根据式(7)、(8)得到的外齿轮的啮合方程为：

从上式得出：

对式(10)积分得到：

根据式(2)得到内齿轮的角位移的表达式为：

把圆弧啮合线方程式(1)带入式(11)和式(12)得到：

式(13)、(14)表示圆弧啮合线上的点与共轭齿廓曲线上接触点之间的对应关系。

步骤二、构造满足圆弧啮合线的内齿轮和外齿轮的共轭齿顶齿廓曲线

把式(13)、(14)带入式(3)、(5)得到了内齿轮和外齿轮齿顶齿廓曲线的表达式：

步骤三、构造与齿顶齿廓共轭的内外齿轮齿根齿廓并对内齿轮齿根齿廓进行修形

已知外齿轮和内齿轮的齿顶齿廓曲线分别为Γ_a1、Γ_a2，假设与内齿轮齿顶齿廓曲线Γ_a2共轭的外齿轮齿根齿廓曲线为Γ_f1，与外齿轮齿顶齿廓曲线Γ_a1共轭的外齿轮齿根齿廓曲线为Γ_f2，则外齿轮齿根齿廓曲线Γ_f1的方程可以表达为：

其中，M₁₂为坐标系S₁到坐标系S₂的坐标变换矩阵，式(18)为啮合方程，根据齿轮啮合原理，啮合方程可以表示为：

其中，N_f为在固定坐标系S_f中的单位法向量，为共轭齿廓在接触点处的相对速度，他们的方程表达式为：

把式(19)、(20)带入啮合方程式(18)并进行化简得到：

式(21)有两个解：

第一个解与式(14)相同，验证了内齿轮齿顶齿廓与外齿轮的齿顶齿廓曲线是共轭的；

第二个解提供了与内齿轮齿顶齿廓共轭的外齿轮的齿根齿廓曲线。将式(24)带入式(15)得到与内齿轮齿顶齿廓共轭的外齿轮齿根齿廓曲线的方程表达式为：

内齿轮齿顶齿廓与外齿轮齿根齿廓曲线的啮合线为：

则该啮合线是一段半径为R-R₂的圆弧，参数θ(0<θ<θ_max)，则该啮合线在节点处与设计的圆弧啮合线相切。

同样，与外齿轮齿顶齿廓曲线共轭的内齿轮齿根齿廓曲线方程表达式为：

外齿轮齿顶齿廓与内齿轮齿根齿廓曲线的啮合线为：

图3所示，PP₀是设计的连接齿顶圆交点和节圆交点的圆弧啮合线，内齿轮齿顶齿廓Γ_a2与外齿轮齿顶齿廓Γ_a1在啮合线PP₀上啮合，P₀P'为内齿轮齿顶齿廓Γ_a2与外齿轮齿根齿廓Γ_f1的啮合线，P₀P”为内齿轮齿根齿廓Γ_f2与外齿轮齿顶齿廓Γ_a1的啮合线，当内齿轮的齿根齿廓Γ_f2与外齿轮齿顶齿廓啮合Γ_a1在P₀P”上啮合时，内齿轮的齿顶齿廓Γ_a2与外齿轮的齿顶齿廓Γ_a1也在啮合线PP₀上啮合，为避免两点同时啮合，需要对内齿轮齿根齿廓Γ_f2进行修形。

内齿轮齿根齿廓修形是在Γ_f2基础上进行修形，如图4所示，设T(x_f2,y_f2)是内齿轮齿根齿廓曲线Γ_f2上一点，它到内齿轮中心O₂的连线与坐标轴Y_f的夹角为δ，则有关系式：

则对于内齿轮齿根齿廓曲线Γ_f2上的节点P₀有δ＝0，设点T绕内齿轮中心O₂逆时针旋转一个角度到点T'，T'到内齿轮中心O₂的连线与坐标轴Y_f的夹角δ'(δ)是关于δ的单调递增连续函数，且δ'(0)＝0，则由T'形成的齿根齿廓曲线Γ'_f2是连续的并且在节点P₀与齿顶齿廓曲线Γ_a2相切，为简单起见，可以取δ'(δ)＝δ/2。

步骤四、设计内外齿轮齿根齿廓与齿根圆之间的过渡曲线

确定轮齿齿根齿廓曲线在端点T₀处的切向t，构造与齿根圆和齿根齿廓曲线Γ_f在端点相切的圆弧过渡曲线T₀T_f。，如图5所示。

下面具体举例说明：

以齿数z1＝35，z2＝53，m＝4的内啮合齿轮为例，简要说明本方法的实施方式。其他参数为ha1＝4mm，hf1＝5mm，ha2＝4mm，hf2＝5mm。

步骤一、设计的圆弧啮合线为连接外齿轮和内齿轮齿顶圆交点和节圆交点的一段圆弧，根据几何原理得到圆弧的半径为R＝84.7273mm，弧度θ_max＝0.6932rad，其方程表达式为：

其中，参数θ的取值范围为0≤θ≤0.6932。

外齿轮和内齿轮的节圆半径为R₁＝z₁×m/2，R₂＝z₂×m/2，根据推导得到圆弧啮合线上的点与共轭齿廓曲线上接触点之间的对应关系：

其中，式(31)、(32)说明当外齿轮和内齿轮共轭齿廓从初始位置分别转动弧度，将在设计的圆弧啮合线上的点(x_f,y_f)啮合。

步骤二、内齿轮和外齿轮齿顶齿廓曲线的构造

根据式(15)和(16)，内齿轮和外齿轮的齿顶齿廓曲线方程为，

其中，θ的取值范围为0≤θ≤0.6932。上面的齿形点如表1所示。

表1 外齿轮齿顶齿廓的齿形点

表2 内齿轮齿顶齿廓的齿形点

步骤三、构造内齿轮和外齿轮的齿根齿廓曲线

根据式(25)，与内齿轮齿顶齿廓曲线共轭的外齿轮齿根齿廓曲线方程表示为：

内齿轮齿顶齿廓与外齿轮齿根齿廓曲线的啮合线为：

与外齿轮齿顶齿廓曲线共轭的内齿轮齿根齿廓曲线方程表达式为：

其中，θ的取值范围为0≤θ≤0.6932。内齿轮齿根齿廓上的点T(x_f2,y_f2)到内齿轮中心O₂的连线与坐标轴Y_f的夹角为δ：

点T到内齿轮中心O₂的距离r₀为：

当点T绕内齿轮中心O₂旋转一个角度到点T'，此时点T'和内齿轮中心O₂的连线与坐标轴X_f形成的夹角为δ'，δ'是δ的单调递增连续函数：

δ′(δ)＝5δ² (40)

则修形后内齿轮齿根齿廓曲线表示为：

修行后的内齿轮齿根齿廓将不与外齿轮齿顶齿廓啮合。得到的外齿轮齿根齿廓齿形点如表2所示，内齿轮齿根齿廓修形前后的齿形点如表3所示。

表3 外齿轮齿根齿廓齿形点

表4 内齿轮齿根齿廓修形前后齿形点

步骤四、设计轮齿齿根与齿根圆之间的过渡曲线

外齿轮齿根齿廓曲线的端点为T₁₀(0.3180,-66.4937)，在端点T₁₀的切线方向t，外齿轮的齿根圆中心O₁(0,0)，半径r_f1＝65mm，通过几何求解，得到在点T₁₀切线方向为t＝(0.1349,0.9909)且与外齿轮齿根圆外切于点T_f1的一段圆弧T₁₀T_f1的中心O₁₀(2.0653,-66.7315)，半径r₁₀＝1.7634mm，T₁₀和外齿轮中心O₁的连线与坐标轴X1的夹角φ_min＝1.5335rad，T_f1和外齿轮中心O₁的连线与坐标轴X1的夹角φ_maax＝3.0063rad，则外齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧方程表达式为：

内齿轮齿根齿廓曲线的端点为T₂₀(-1.092,-109.7977)，在端点T₂₀的切线方向t，外齿轮的齿根圆中心O₂(0,0)，半径r_f2＝111mm，通过几何求解，得到在点T₂₀切线方向为t＝(-0.3896,-0.9210)且与内齿轮齿根圆内切于点T_f2的一段圆弧T₂₀T_f2的中心O₂₀(-2.8503,-109.0541)，半径r₂₀＝1.9087mm，T₂₀和内齿轮中心O₂的连线与坐标轴X2的夹角φ_min＝-1.5969rad，T_f2和内齿轮中心O₂的连线与坐标轴X2的夹角φ_maax＝-0.4002rad，则内齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡圆弧方程表达式为：

外齿轮和内齿轮齿根齿廓到齿根圆的过渡曲线上的点如表5所示。

表5 外齿轮和内齿轮过渡曲线齿形点

得到的外齿轮和内齿轮轮齿如图6和图7所示，图6为外齿轮和内齿轮单齿形状，分别由齿顶圆、齿顶齿廓、齿根齿廓、过渡圆弧曲线及齿根圆组成，其中外齿轮齿顶齿廓与内齿轮吃顶齿廓啮合，其啮合线为设计的圆弧PP₀，外齿轮齿根齿廓和内齿轮齿顶齿轮啮合，啮合线为圆弧P₀P”，如图7所示外齿轮和内齿轮整体齿形及啮合线。

本发明未详细阐述部分属于本领域的公知技术。

以上所述，仅为本发明部分具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本领域的人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于圆弧啮合线的大重合度内啮合齿轮齿形设计方法，其特征在于：该方法把一段连接内齿轮、外齿轮齿顶圆交点和节圆交点的圆弧作为内啮合齿轮的设计啮合线，通过平面啮合原理，建立关于啮合线与内啮合齿轮共轭齿廓曲线之间对应关系的共轭方程；根据共轭方程，构造满足圆弧啮合线的共轭齿廓曲线，该共轭齿廓曲线为内齿轮齿顶齿廓曲线和外齿轮齿顶齿廓曲线；利用共轭原理构造与齿顶齿廓曲线共轭的齿根齿廓，并对内齿轮齿根齿廓进行修形；设计轮齿齿根齿廓与齿根圆之间的过渡曲线，该方法具体步骤如下：

步骤一、选择连接内齿轮、外齿轮齿顶圆交点与节圆交点的圆弧作为内啮合齿轮的设计啮合线，所述的圆弧的圆心在内齿轮与外齿轮节圆中心的连线上，根据平面啮合原理，建立内啮合齿轮传动的共轭方程，该方程反应了啮合线上的点与内啮合齿轮共轭齿廓曲线上共轭点之间的对应关系；

步骤二、构造满足设计圆弧啮合线的内外齿轮共轭齿顶齿廓曲线，把啮合线方程带入共轭方程，得到圆弧啮合线与共轭齿廓曲线的对应关系式，通过坐标变换和计算，得到满足圆弧啮合线的共轭齿廓曲线，因为圆弧啮合线位于齿顶圆和节圆之间，只有齿顶齿廓参与啮合，因此得到的共轭齿廓曲线为内齿轮齿顶齿廓曲线和外齿轮齿顶齿廓曲线；

步骤三、构造内齿轮和外齿轮的齿根齿廓曲线，已知内齿轮和外齿轮的齿顶齿廓曲线和他们之间相对运动关系，根据共轭原理，分别构造与内齿轮齿顶齿廓曲线共轭的外齿轮的齿根齿廓曲线和与外齿轮齿顶齿廓共轭的内齿轮齿根齿廓；当内齿轮的齿顶齿廓和齿根齿廓同时与外齿轮的齿顶齿廓啮合，将发生两点同时接触，对内齿轮齿根齿廓进行修形，避免齿廓的啮合过程中两点接触；

步骤四、设计内外齿轮轮齿齿根与齿根圆之间的过渡曲线，确定轮齿齿根齿廓曲线在端点处的切向，构造与齿根圆和齿根齿廓曲线在端点相切的圆弧过渡曲线。