CN106907435B - 圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动设计方法 - Google Patents

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CN106907435B CN201710191357.6A CN201710191357A CN106907435B CN 106907435 B CN106907435 B CN 106907435B CN 201710191357 A CN201710191357 A CN 201710191357A CN 106907435 B CN106907435 B CN 106907435B
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Abstract

本发明公开了圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动设计方法。本发明首先利用切极坐标理论计算，根据给定主从动轮传动比，建立同步带主从动轮的节曲线方程；然后计算同步带的周长，根据同步带周长松弛量变化通过迭代算法得到非圆张紧同步带轮节曲线。本发明的张紧轮为自由节曲线的非圆同步带轮，可以实时补偿圆型主动同步带轮和自由非圆从动同步带轮传动过程中产生的带松弛变化量，克服传统两轮式非圆带传动不能同时满足非匀速传动和实时张紧问题。本发明从动轮节曲线为自由非圆节曲线，不受特定曲线形式的约束，设计灵活，可以满足传动比变化更自由的大中心距非匀速传动。

Description

圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动设计方法
技术领域
本发明涉及一种非圆同步带传动的设计方法，具体涉及一种变松弛量自补偿的圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动设计方法。
背景技术
传动机构改变了输入输出构件的运动形式和速度，以满足不同工作环境要求，其中非匀速传动机构占据非常重要地位，常见的有连杆机构、凸轮机构、非圆齿轮机构等。相对于连杆机构和凸轮机构，非圆齿轮机构具有结构紧凑、传动平稳、传递功率较大、容易实现动平衡等优点，因此已成功应用于加工机床、自动机械、运输、仪器仪表、泵类、流量计、纺织机械和农业机械上。但是非圆齿轮传动只适合用于中心距较小、润滑方便的非匀速传动场合，因此适合于大中心距、润滑不方便和低制造成本场合的非圆挠性件(带/链)传动应运而生。其中非圆链传动的多边形效应明显，因此在对非匀速传动比变化规律有严格要求时就受到限制；同时普通的摩擦式带传动由于弹性滑动而不能保证准确的传动比规律。
目前的非圆带(链)传动，都只有2个非圆的带(链)轮——主动轮和从动轮，在传动过程中由于其节曲线是非圆，带(链)的松弛量是实时变化的，因此就不能同时保证工作所要求的非匀速传动比变化规律和带(链)的实时张紧。实际应用中为了补偿在传动中带(链)的松弛量变化，通过附加弹簧以实现张紧，由于在一个运动周期中其张紧力是变化的，而且随着非匀速特性的加剧张紧力的变化幅度越大，这样反过来会影响非匀速传动的精度，并且动力学特性变差；因此在实际工程中，非圆带(链)传动很少应用于精确的负载高速传动场合。
发明内容
本发明的目的是针对以上问题，提出一种变松弛量自补偿的圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动设计方法，为非圆同步带轮在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，实现大中心距之间的非匀速直接精确传动。该设计方法首先利用切极坐标理论计算，根据给定主从动轮传动比，建立同步带主从动轮的节曲线方程；然后计算同步带的周长，根据同步带周长松弛量变化通过迭代方法计算非圆张紧同步带轮节曲线的各项参数。
为解决上述技术问题，本发明的技术方案是：
本发明的具体步骤如下：
步骤一、圆型主动同步带轮为匀速转动的输入构件，切极坐标方程为：
p1＝r (1)
s＝2π×r (2)
式中，p1为圆型主动同步带轮节曲线的切径，r为圆型主动同步带轮节曲线的半径，s为圆型主动同步带轮节曲线的周长。
步骤二、计算自由非圆从动同步带轮节曲线方程；
确定圆型主动同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线转角关系：
式中，为圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角，为自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角，i12为给定的圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮传动比；
圆型主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的切角与转角存在以下关系
式中，θ1为p1到动坐标系x1o1y1中x1轴的转角，θ2为自由非圆从动同步带轮节曲线切径p2到动坐标系x2o2y2中x2轴的转角；
式中，L1为圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮中心距。
p2＝i12×p1 (6)
步骤三、计算圆型主动同步带轮、自由非圆从动同步带轮和非圆张紧同步带轮每两轮之间的公切线段长度。
初始时刻，圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角根据切极坐标理论得：
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为圆型主动同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C1、C2对应的切径，p1(θ13)和p3(θ31)分别为圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C6、C5对应的切径，p2(θ23)和p3(θ32)分别为自由非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C3、C4对应的切径，θ120为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与自由非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ130为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ13)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ31)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ230为自由非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ23)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ32)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ12、θ13分别为圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的转角，θ21、θ23分别为自由非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的转角，θ31、θ32分别为非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的转角，L1为圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮中心距，L2为自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距，L3为圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距；
初始时刻，设定非圆张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T0、自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T1以及圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T2分别为：
式中，p′1(θ120)、p′1(θ130)分别为p1(θ120)、p1(θ130)的一阶微分，p'2(θ120)、p'2(θ230)分别为p2(θ120)、p2(θ230)的一阶微分，p'3(θ130)、p'3(θ230)分别为p3(θ130)、p3(θ230)的一阶微分。
当圆型主动同步带轮转过角度自由非圆从动同步带轮相应转过角度圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应的弧长变化量为s1、s6，自由非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应的弧长变化量为s2、s3，非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应的弧长变化量为s4、s5。则有：
式中，p″1(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p″2(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p″3(θ3)为p3(θ3)的二阶微分，θ3为非圆张紧同步带轮切径p3到动坐标系x3o3y3中x3轴的转角。
任意时刻，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T12、自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T23以及圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T13分别为：
式中，p′1(θ12)、p′1(θ13)分别为p1(θ12)、p1(θ13)的一阶微分，p′2(θ21)、p'2(θ23)分别为p2(θ21)、p2(θ23)的一阶微分，p'3(θ32)、p'3(θ31)分别为p3(θ32)、p3(θ31)的一阶微分，为非圆张紧同步带轮节曲线动坐标系x3o3y3中x3轴到静坐标系xo1y中x轴的转角。
步骤四、计算任意时刻同步带周长；
圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C6，任意时刻C1与C6间的弧长为c11，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C2，自由非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C3，任意时刻C2与C3间的弧长为c22，非圆张紧同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C4，非圆张紧同步带轮节曲线与圆型主动同步带轮节曲线公切线上切点记为C5，任意时刻C4与C5间的弧长为c33。
任意时刻，同步带周长为：
C＝T12+T13+T23+c11+c22+c33 (12)
步骤五、非圆张紧同步带轮自由节曲线计算；
迭代算法如下：
(a)设定非圆张紧同步带轮转动中心，非圆张紧同步带轮的半径设置为变量，非圆张紧同步带轮半径初始值给定，记为r3-0，根据式(12)计算带长初始值记为C0。
(b)圆型主动同步带轮转过1°，根据传动比要求计算自由非圆从动同步带轮转过相应的角度，非圆张紧同步带轮的转角与圆型主动同步带轮相同。在保证C不变的前提下，根据式(12)反求圆型主动同步带轮转过1°时对应的非圆张紧同步带轮半径r3-1，即对应时刻的p3。
(c)重复(b)358次，得到圆型主动同步带轮转过2°，3°，…，359°时对应的非圆张紧同步带轮半径分别为r3-2，r3-3，……，r3-359。
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的非圆张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定非圆张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。
(e)将(d)中得到的非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等。
(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(12)计算各个时刻的带长。
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆非圆张紧同步带轮。
(i)将经(h)后的非圆非圆张紧同步带轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等。
(j)将经(i)后的非圆非圆张紧同步带轮向径代入式(12)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。
(k)建立非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为非圆张紧同步带轮节曲线方程。
本发明具有的有益效果：
1、本发明为变松弛量自补偿的圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，能够应用于所有圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动机构，促进了圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动的推广使用。
2、本发明中主动轮节曲线为圆，传动比计算简单，从动轮节曲线为自由非圆节曲线，不受特定曲线形式的约束，设计灵活，可以满足传动比变化更自由的大中心距非匀速传动。
3、本发明采用切极坐标理论，易于编程实现，求解精度高，方便快捷。
4、本发明中的非圆张紧同步带轮为自由节曲线的非圆同步带轮，可以实时补偿圆型主动同步带轮和自由非圆从动同步带轮传动过程中产生的带松弛变化量。
附图说明
图1是本发明的传动示意图；
图2是本发明实施例中圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮的传动比与圆型主动同步带轮转角关系曲线图；
图3是采用本发明实施例中的非圆张紧同步带轮的节曲线时同步带带长变化曲线图；
图4是本发明实施例中自由非圆从动同步带轮节曲线图；
图5是本发明实施例中非圆张紧同步带轮自由节曲线图。
具体实施方式
下面结合附图及实施例对本发明作进一步说明。
圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动设计方法，具体步骤如下：
步骤一、给定圆型主动同步带轮节曲线半径r＝30mm，三轮中心距L1＝L2＝L3＝100mm，三轮为等周长封闭凸曲线，根据下面公式计算圆型主动同步带轮节曲线的周长s＝188.4956mm：
s＝2π×r (1)
圆型主动同步带轮节曲线的切径p1＝r。
步骤二、计算自由非圆从动同步带轮节曲线方程；
确定圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮转角关系：
式中，为圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角，为自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角，如图2，为给定的圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮传动比；
由图1可知，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮切角与转角存在以下关系
式中，θ1为圆型主动同步带轮节曲线的切角，θ2为自由非圆从动同步带轮节曲线切角；
p2＝i12×p1 (5)
式中，p2为自由非圆从动同步带轮节曲线的切径，L1为圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮的中心距；自由非圆从动同步带轮节曲线如图4。
步骤三、计算圆型主动同步带轮、自由非圆从动同步带轮和非圆张紧同步带轮每两轮之间的公切线段长度。
初始时刻，圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角根据切极坐标理论得：
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为圆型主动同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C1、C2对应的切径，p1(θ13)和p3(θ31)分别为圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C6、C5对应的切径，p2(θ23)和p3(θ32)分别为自由非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C3、C4对应的切径，θ120为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与自由非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ130为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ13)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ31)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ230为自由非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ23)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ32)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ12、θ13分别为圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的转角，θ21、θ23分别为自由非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的转角，θ31、θ32分别为非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的转角，L1为圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮中心距，L2为自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距，L3为圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距；
初始时刻，设定非圆张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T0、自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T1、圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T2分别为：
式中，p′1(θ120)、p′1(θ130)分别为p1(θ120)、p1(θ130)的一阶微分，p'2(θ120)、p'2(θ230)分别为p2(θ120)、p2(θ230)的一阶微分，p'3(θ130)、p'3(θ230)分别为p3(θ130)、p3(θ230)的一阶微分。
计算得T0＝102.3570mm，T1＝100.8972mm，T2＝103.7259mm。
当圆型主动同步带轮转过角度自由非圆从动同步带轮相应转过角度圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应的弧长变化量为s1、s6，自由非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应的弧长变化量为s2、s3，非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应的弧长变化量为s4、s5。则有：
式中，p″1(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p″2(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p″3(θ3)为p3(θ3)的二阶微分，θ3为非圆张紧同步带轮切径p3到动坐标系x3o3y3中x3轴的转角。
任意时刻，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T12、自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T23、圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T13分别为：
式中，p′1(θ12)、p′1(θ13)分别为p1(θ12)、p1(θ13)的一阶微分，p'2(θ21)、p'2(θ23)分别为p2(θ21)、p2(θ23)的一阶微分，p'3(θ32)、p'3(θ31)分别为p3(θ32)、p3(θ31)的一阶微分，为非圆张紧同步带轮节曲线动坐标系x3o3y3中x3轴到静坐标系xo1y中x轴的转角。
步骤四、计算同步带周长；
圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C6，任意时刻C1与C6间的弧长为c11，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C2，自由非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C3，任意时刻C2与C3间的弧长为c22，非圆张紧同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C4，非圆张紧同步带轮节曲线与圆型主动同步带轮节曲线公切线上切点记为C5，任意时刻C4与C5间的弧长为c33。
任意时刻，同步带周长为：
C＝T12+T13+T23+c11+c22+c33 (11)
初始时刻，根据公式(10)计算同步带初始周长C0＝611.8580mm；
依据上面的方法顺次计算主动轮转动一周时各个时刻同步带带长，各个时刻同步带带长变化曲线如图3。
步骤五、非圆张紧同步带轮自由节曲线计算；
迭代算法如下：
(a)已知非圆张紧同步带轮转动中心，非圆张紧同步带轮的半径设置为变量r3，非圆张紧同步带轮半径初始值记为r3-0＝30mm，同步带初始周长记为C0＝611.8580mm。
(b)圆型主动同步带轮转过1°，根据传动比要求计算自由非圆从动同步带轮转过相应的角度，非圆张紧同步带轮的转角与自由非圆型主动同步带轮相同。在保证C不变的前提下，根据式(11)反求圆型主动同步带轮转过1°时对应的非圆张紧同步带轮半径r3-1＝24.9687mm。
(c)重复(b)358次，得到r3-2，r3-3，……，r3-359。
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的非圆张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定非圆张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。
(e)将(d)中得到的非圆非圆张紧同步带轮的各点的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等。
(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(11)计算各个时刻的带长。
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的3％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的3％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆非圆张紧同步带轮。
(i)将经(h)后的非圆非圆张紧同步带轮各点的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等。
(j)将经(i)后的非圆非圆张紧同步带轮向径代入式(11)计算得到各点对应同步带带长，若各点对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。
(k)建立非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为非圆张紧同步带轮节曲线方程。三个轮的节曲线及相位角、转动中心都确定，计算非圆张紧同步带轮和圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮对应的转角关系。
计算后的非圆张紧同步带轮节曲线如图5。
该实施例中同步带理论带长变化量为17.3mm，为同步带总长度的2.83％，因为带需要张紧，可以满足实际使用要求。

Claims (1)

1.圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动设计方法，其特征在于：该方法具体如下：
步骤一、圆型主动同步带轮为匀速转动的输入构件，切极坐标方程为：
p1＝r (1)
s＝2π×r (2)
式中，p1为圆型主动同步带轮节曲线的切径，r为圆型主动同步带轮节曲线的半径，s为圆型主动同步带轮节曲线的周长；
步骤二、计算自由非圆从动同步带轮节曲线方程；
确定圆型主动同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线转角关系：
式中，为圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角，为自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角，i12为给定的圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮传动比；
圆型主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的切角与转角存在以下关系
式中，θ1为p1到动坐标系x1o1y1中x1轴的转角，θ2为自由非圆从动同步带轮节曲线切径p2到动坐标系x2o2y2中x2轴的转角；
式中，L1为圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮中心距；
p2＝i12×p1 (6)
步骤三、计算圆型主动同步带轮、自由非圆从动同步带轮和非圆张紧同步带轮每两轮之间的公切线段长度；
初始时刻，圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角根据切极坐标理论得：
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为圆型主动同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C1、C2对应的切径，p1(θ13)和p3(θ31)分别为圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C6、C5对应的切径，p2(θ23)和p3(θ32)分别为自由非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C3、C4对应的切径，θ120为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与自由非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ130为圆型主动同步带轮节曲线切径p1(θ13)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ31)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ230为自由非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ23)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ32)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ12、θ13分别为圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的转角，θ21、θ23分别为自由非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的转角，θ31、θ32分别为非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的转角，L1为圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮中心距，L2为自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距，L3为圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距；
初始时刻，设定非圆张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T0、自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T1以及圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T2分别为：
式中，p′1(θ120)、p′1(θ130)分别为p1(θ120)、p1(θ130)的一阶微分，p'2(θ120)、p'2(θ230)分别为p2(θ120)、p2(θ230)的一阶微分，p'3(θ130)、p'3(θ230)分别为p3(θ130)、p3(θ230)的一阶微分；
当圆型主动同步带轮转过角度自由非圆从动同步带轮相应转过角度圆型主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应的弧长变化量为s1、s6，自由非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应的弧长变化量为s2、s3，非圆张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应的弧长变化量为s4、s5；则有：
式中，p″1(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p"2(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p″3(θ3)为p3(θ3)的二阶微分，θ3为非圆张紧同步带轮切径p3到动坐标系x3o3y3中x3轴的转角；
任意时刻，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T12、自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T23以及圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T13分别为：
式中，p′1(θ12)、p′1(θ13)分别为p1(θ12)、p1(θ13)的一阶微分，p'2(θ21)、p'2(θ23)分别为p2(θ21)、p2(θ23)的一阶微分，p'3(θ32)、p'3(θ31)分别为p3(θ32)、p3(θ31)的一阶微分，为非圆张紧同步带轮节曲线动坐标系x3o3y3中x3轴到静坐标系xo1y中x轴的转角；
步骤四、计算任意时刻同步带周长；
圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C6，任意时刻C1与C6间的弧长为c11，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C2，自由非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C3，任意时刻C2与C3间的弧长为c22，非圆张紧同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C4，非圆张紧同步带轮节曲线与圆型主动同步带轮节曲线公切线上切点记为C5，任意时刻C4与C5间的弧长为c33；
任意时刻，同步带周长为：
C＝T12+T13+T23+c11+c22+c33 (12)
步骤五、非圆张紧同步带轮自由节曲线计算；
迭代算法如下：
(a)设定非圆张紧同步带轮转动中心，非圆张紧同步带轮的半径设置为变量，非圆张紧同步带轮半径初始值给定，记为r3-0，根据式(12)计算带长初始值记为C0；
(b)圆型主动同步带轮转过1°，根据传动比要求计算自由非圆从动同步带轮转过相应的角度，非圆张紧同步带轮的转角与圆型主动同步带轮相同；在保证C不变的前提下，根据式(12)反求圆型主动同步带轮转过1°时对应的非圆张紧同步带轮半径r3-1，即对应时刻的p3；
(c)重复(b)358次，得到圆型主动同步带轮转过2°，3°，…，359°时对应的非圆张紧同步带轮半径分别为r3-2，r3-3，……，r3-359；
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的非圆张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定非圆张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆；
(e)将(d)中得到的非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等；
(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(12)计算各个时刻的带长；
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)；
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆非圆张紧同步带轮；
(i)将经(h)后的非圆非圆张紧同步带轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等；
(j)将经(i)后的非圆非圆张紧同步带轮向径代入式(12)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)；
(k)建立非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为非圆张紧同步带轮节曲线方程。
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