CN107061643B - 椭圆—正弦非圆—非圆三轮同步带传动设计方法 - Google Patents

椭圆—正弦非圆—非圆三轮同步带传动设计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了椭圆—正弦非圆—非圆三轮同步带传动设计方法。本发明首先建立椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮节曲线方程，并利用切极坐标理论计算椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮传动比；然后计算同步带的周长，根据同步带周长松弛量变化通过迭代算法计算非圆张紧同步带轮节曲线。张紧轮为自由节曲线的非圆同步带轮，可以实时补偿传动过程中产生的同步带松弛变化量，克服了传统两轮式非圆带传动不能同时满足非匀速传动和实时张紧的问题；椭圆主动轮节曲线的长轴和离心率，正弦非圆从动轮节曲线的振幅等四个参数均为可调量，通过调节这些参数的变化，改变主动轮和从动轮节曲线的形状，满足大中心距的特定非匀速传动要求。

Description

椭圆—正弦非圆—非圆三轮同步带传动设计方法
技术领域
本发明涉及一种非圆同步带传动的设计方法，具体涉及一种变松弛量自补偿的椭圆—正弦非圆—非圆三轮同步带传动设计方法。
背景技术
传动机构改变了输入输出构件的运动形式和速度，以满足不同工作环境要求，其中非匀速传动机构占据非常重要地位，常见的有连杆机构、凸轮机构、非圆齿轮机构等。相对于连杆机构和凸轮机构，非圆齿轮机构具有结构紧凑、传动平稳、传递功率较大、容易实现动平衡等优点，因此已成功应用于加工机床、自动机械、运输、仪器仪表、泵类、流量计、纺织机械和农业机械上。但是非圆齿轮传动只适合用于中心距较小、润滑方便的非匀速传动场合，因此适合于大中心距、润滑不方便和低制造成本场合的非圆挠性件(带/链)传动应运而生。其中非圆链传动的多边形效应明显，因此在对非匀速传动比变化规律有严格要求时就受到限制；同时普通的摩擦式带传动由于弹性滑动而不能保证准确的传动比规律。
目前的非圆带(链)传动，都只有2个非圆的带(链)轮——主动轮和从动轮，在传动过程中由于其节曲线是非圆，带(链)的松弛量是实时变化的，因此就不能同时保证工作所要求的非匀速传动比变化规律和带(链)的实时张紧。实际应用中为了补偿在传动中带(链)的松弛量变化，通过附加弹簧以实现张紧，由于在一个运动周期中其张紧力是变化的，而且随着非匀速特性的加剧张紧力的变化幅度越大，这样反过来会影响非匀速传动的精度，并且动力学特性变差；因此在实际工程中，非圆带(链)传动很少应用于精确的负载高速传动场合。
发明内容
本发明的目的是针对以上问题，提出一种变松弛量自补偿的椭圆—正弦非圆—非圆三轮同步带传动设计方法，为非圆同步带轮在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，实现大中心距之间的非匀速直接精确传动。该设计方法首先建立同步带椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮节曲线从动轮的节曲线方程，并利用切极坐标理论计算椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮节曲线传动比；然后计算同步带的周长，根据同步带周长松弛量变化通过迭代方法计算非圆张紧同步带轮自由节曲线的各项参数。
为解决上述技术问题，本发明的技术方案是：
本发明的具体步骤如下：
步骤一、根据传动规律确定椭圆主动同步带轮节曲线与正弦非圆从动同步带轮节曲线方程；
椭圆主动同步带轮为匀速转动的输入构件，其切极坐标方程
p1＝a1(1-e1)-a1e1 cos(θ1) (1)
式中，p1为椭圆主动同步带轮节曲线的切径，θ1为p1到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，e1为椭圆主动同步带轮节曲线的离心率，a1为椭圆主动同步带轮节曲线的长轴。
式中，s为椭圆主动同步带轮节曲线的周长。
式中，b1为椭圆主动同步带轮节曲线的短轴，c1为椭圆主动同步带轮节曲线的焦距。
c1＝a1×e1 (4)
正弦非圆从动同步带轮节曲线的切极坐标方程为：
式中，r21为正弦非圆从动同步带轮节曲线的极径，α为正弦非圆从动同步带轮节曲线参数，A为正弦曲线的振幅，γ为正弦非圆从动同步带轮节曲线参数，取γ＝π/6，b为比例系数，a为椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮的中心距，β为椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮的相对转角，β＝[0～2π]。
式中，p2为正弦非圆从动同步带轮节曲线的切径，θ2为p2到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，为动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角。
步骤二、计算椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮初始位置的传动比：
初始位置，椭圆主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角正弦非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角根据切极坐标理论得：
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为椭圆主动同步带轮节曲线与正弦非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C1、C2对应的切径，p1(θ13)和p3(θ31)分别为椭圆主动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点C6、C5对应的切径，p2(θ23)和p3(θ32)分别为正弦非圆从动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点C3、C4对应的切径，θ120为椭圆主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与正弦非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的切角初值，θ130为椭圆主动同步带轮节曲线切径p1(θ13)与张紧同步带轮节曲线切径p3(θ31)到各自动坐标系水平轴的切角初值，θ230为正弦非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ23)与张紧同步带轮节曲线切径p3(θ32)到各自动坐标系水平轴的切角初值，θ12、θ13分别为椭圆主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，θ21、θ23分别为正弦非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，θ31、θ32分别为张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的切角，L1为椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮中心距，L2为正弦非圆从动同步带轮与张紧同步带轮中心距，L3为椭圆主动同步带轮与张紧同步带轮中心距；
初始位置椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮瞬时传动比为：
步骤三、计算椭圆主动同步带轮、正弦非圆从动同步带轮和张紧同步带轮每两轮之间的公切线段长度。
初始时刻，设定张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T0、正弦非圆从动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T1以及椭圆主动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T2分别为:
式中，p1'(θ120)、p1'(θ130)分别为p1(θ120)、p1(θ130)的一阶微分，p'2(θ120)、p'2(θ230)分别为p2(θ120)、p2(θ230)的一阶微分，p'3(θ130)、p'3(θ230)分别为p3(θ130)、p3(θ230)的一阶微分。
当椭圆主动同步带轮转过角度正弦非圆从动同步带轮相应转过角度椭圆主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应的弧长变化量为s1、s6，正弦非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应的弧长变化量为s2、s3，张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应的弧长变化量为s4、s5。则有：
式中，p1"(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p2"(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p3"(θ3)为p3(θ3)的二阶微分，θ3为张紧同步带轮切径p3到动坐标系x3o3y3中x3轴的切角。
任意时刻，椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T12、正弦非圆从动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T23以及椭圆主动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T13分别为：
式中，p1'(θ12)、p1'(θ13)分别为p1(θ12)、p1(θ13)的一阶微分，p'2(θ21)、p'2(θ23)分别为p2(θ21)、p2(θ23)的一阶微分，p'3(θ32)、p'3(θ31)分别为p3(θ32)、p3(θ31)的一阶微分，为张紧同步带轮节曲线动坐标系x3o3y3中x3轴到静坐标系xo1y中x轴的转角。
步骤四、计算任意时刻椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮的传动比；
椭圆主动同步带轮匀速转动，根据式(1)，(6)解得p1，p2，则瞬时传动比为：
步骤五、计算任意时刻同步带周长；
椭圆主动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C6，任意时刻C1与C6间的弧长为c11，正弦非圆从动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C3，任意时刻C2与C3间的弧长为c22，张紧同步带轮节曲线与正弦非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C4，张紧同步带轮节曲线与椭圆主动同步带轮节曲线公切线上切点记为C5，任意时刻C4与C5间的弧长为c33。
任意时刻，同步带周长为：
C＝T12+T13+T23+c11+c22+c33 (16)
步骤六、张紧同步带轮自由节曲线计算；
迭代算法如下：
(a)设定张紧同步带轮转动中心，张紧同步带轮的半径设置为变量，张紧同步带轮半径初始值给定，记为r3-0，根据式(16)计算带长初始值记为C0。
(b)椭圆主动同步带轮转过1°，根据传动比要求计算正弦非圆从动同步带轮转过相应的角度，张紧同步带轮的转角与椭圆主动同步带轮相同。在保证同步带周长C不变的前提下，根据式(16)反求椭圆主动同步带轮转过1°时对应的张紧同步带轮半径r3-1，即对应时刻的p3。
(c)重复(b)358次，得到椭圆主动同步带轮转过2°，3°，…，359°时对应的张紧同步带轮半径分别为r3-2，r3-3，……，r3-359。
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。
(e)将(d)中得到的非圆张紧同步带轮的各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与椭圆主动同步带轮及正弦非圆从动同步带轮的周长均相等。
(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(16)计算各个时刻的带长。
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆张紧同步带轮。
(i)将经(h)后的非圆张紧同步带轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与椭圆主动同步带轮及正弦非圆从动同步带轮的周长均相等。
(j)将经(i)后的非圆张紧同步带轮向径代入式(16)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。
(k)建立非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为张紧同步带轮节曲线方程。
本发明具有的有益效果：
1、本发明为变松弛量自补偿的椭圆—正弦型非圆—非圆三轮同步带传动在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，能够应用于所有椭圆—正弦型非圆—非圆三轮同步带传动机构，促进了椭圆—正弦型非圆—非圆三轮同步带传动的推广使用。
2、本发明中主动轮节曲线为椭圆，从动轮节曲线为正弦型曲线，椭圆主动同步带轮节曲线的长轴和离心率，正弦非圆从动同步带轮节曲线的振幅及α、b和β均为可调量，通过这些量的调节可以改变主动轮和从动轮节曲线的形状，满足特定非匀速要求的传动。
3、本发明采用切极坐标理论计算传动比的精确值，易于编程实现，求解精度高，方便快捷。
4、本发明中的非圆张紧同步带轮为自由节曲线的非圆同步带轮，可以实时补偿椭圆主动同步带轮和自由非圆从动同步带轮传动过程中产生的带松弛变化量，实现大中心距之间的非匀速直接精确传动。
附图说明
图1是本发明的传动原理图；
图2是本发明中椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮的传动比对应椭圆主动同步带轮转角的关系曲线图；
图3是采用本发明实施例中的非圆张紧同步带轮的节曲线时同步带带长变化曲线图；
图4是本发明实施例中椭圆主动同步带轮的节曲线示意图；
图5是本发明实施例中正弦非圆从动同步带轮的节曲线示意图；
图6是本发明实施例中张紧同步带轮自由节曲线拟合示意图。
具体实施方式
下面结合附图及实施案例对本发明作进一步说明。
椭圆—正弦非圆—非圆三轮同步带传动设计方法，具体步骤如下：
步骤一、如图1所示，给定椭圆主动同步带轮节曲线长轴a1＝30mm及偏心率e1＝0.8，张紧同步带轮为根据同步带周长松弛量变化拟合的非圆带轮；三个轮中每两个轮间的中心距均为100mm，三个轮为等周长封闭凸曲线，根据下面公式计算椭圆主动同步带轮节曲线的周长s＝188.4956mm。
椭圆主动同步带轮节曲线的切极坐标方程为：
p1＝6-24×cos(θ1) (2)
椭圆主动同步带轮节曲线如图4所示。
步骤二、根据椭圆主动同步带轮节曲线与正弦非圆从动同步带轮节曲线周长相等的原则，给定参数a＝100mm，b＝0.7071，得从而得：
r21＝50[1+0.5773cos(0.7071×β)] (3)
确定正弦非圆从动同步带轮节曲线的切极坐标方程为：
正弦非圆从动同步带轮节曲线如图5所示。
步骤三、计算椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮初始位置的传动比：
初始位置，椭圆主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角正弦非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角根据切极坐标理论得：
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为椭圆主动同步带轮节曲线与正弦非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C1、C2对应的切径，p1(θ13)和p3(θ31)分别为椭圆主动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点C6、C5对应的切径，p2(θ23)和p3(θ32)分别为正弦非圆从动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点C3、C4对应的切径，θ120为椭圆主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与正弦非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的切角初值，θ130为椭圆主动同步带轮节曲线切径p1(θ13)与张紧同步带轮节曲线切径p3(θ31)到各自动坐标系水平轴的切角初值，θ230为正弦非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ23)与张紧同步带轮节曲线切径p3(θ32)到各自动坐标系水平轴的切角初值，θ12、θ13分别为椭圆主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，θ21、θ23分别为正弦非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，θ31、θ32分别为张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的切角，L1为椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮中心距，L2为正弦非圆从动同步带轮与张紧同步带轮中心距，L3为椭圆主动同步带轮与张紧同步带轮中心距；
根据公式(6)计算初始位置的瞬时传动比为i120＝2.6289：
步骤四、计算椭圆主动同步带轮、正弦非圆从动同步带轮和张紧同步带轮每两轮之间的公切线段长度。
初始时刻，设定张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T0、正弦非圆从动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T1以及椭圆主动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T2分别为:
根据公式(7)计算得T0＝102.6370mm，T1＝105.4651mm，T2＝101.5862mm。
当椭圆主动同步带轮转过角度正弦非圆从动同步带轮相应转过角度椭圆主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应的弧长变化量为s1、s6，正弦非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应的弧长变化量为s2、s3，张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应的弧长变化量为s4、s5。则有：
式中，p1"(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p2"(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p3"(θ3)为p3(θ3)的二阶微分，θ3为张紧同步带轮切径p3到动坐标系x3o3y3中x3轴的角。
任意时刻，椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T12、正弦非圆从动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T23以及椭圆主动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T13分别为：
式中，p1'(θ12)、p1'(θ13)分别为p1(θ12)、p1(θ13)的一阶微分，p'2(θ21)、p'2(θ23)分别为p2(θ21)、p2(θ23)的一阶微分，p'3(θ32)、p'3(θ31)分别为p3(θ32)、p3(θ31)的一阶微分，为张紧同步带轮节曲线动坐标系x3o3y3中x3轴到静坐标系xo1y中x轴的转角。
步骤五、计算任意时刻椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮的传动比；
进而根据式(2)，(4)解得p1，p2，则计算得椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮瞬时传动比：
根据式(10)、(11)、(12)，计算圆主动轮旋转一周时，椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮瞬时传动比曲线如图2所示。
步骤六、计算同步带周长；
椭圆主动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C6，任意时刻C1与C6间的弧长为c11，正弦非圆从动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C3，任意时刻C2与C3间的弧长为c22，张紧同步带轮节曲线与正弦非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C4，张紧同步带轮节曲线与椭圆主动同步带轮节曲线公切线上切点记为C5，任意时刻C4与C5间的弧长为c33。
任意时刻，同步带周长为：
C＝T12+T13+T23+c11+c22+c33 (14)
初始时刻，根据公式(14)计算同步带初始周长C0＝683.98mm；
依据上面的方法顺次计算主动轮转动一周时各个时刻同步带带长，各个时刻同步带带长变化曲线如图3。
步骤七、张紧同步带轮自由节曲线计算。
迭代算法如下：
(a)已知张紧同步带轮转动中心，张紧同步带轮的半径设置为变量r3，张紧同步带轮半径初始值记为r3-0＝30mm，同步带初始周长记为C0＝683.98mm。
(b)椭圆主动同步带轮转过根据椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮节曲线从动轮传动比关系，计算正弦非圆从动同步带轮转过相应的角度张紧同步带轮的转角与椭圆主动同步带轮相同在保证同步带周长C不变的前提下，计算r3-1＝30.1263mm。
(c)重复(b)358次，得到r3-2，r3-3，……，r3-359。
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。
(e)将(d)中得到的非圆张紧同步带轮的各点的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与椭圆主动同步带轮及正弦非圆从动同步带轮的周长均相等。
(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(14)计算各个时刻的带长。
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆张紧同步带轮各自向径值的3％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆张紧同步带轮各自向径值的3％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆张紧同步带轮。
(i)将经(h)后的非圆张紧同步带轮各点的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与椭圆主动同步带轮及正弦非圆从动同步带轮的周长均相等。
(j)将经(i)后的非圆张紧同步带轮向径代入式(14)计算得到各点对应同步带带长，若各点对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。
(k)三个轮的节曲线及相位角、转动中心都确定，建立非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为张紧同步带轮节曲线方程。计算后的张紧同步带轮自由节曲线如图6。
该实施例中同步带理论带长变化量为25.76mm，为同步带总长度的3.72％，因为带需要张紧，可以满足实际使用要求。

Claims (1)

1.椭圆—正弦非圆—非圆三轮同步带传动设计方法，其特征在于：该方法具体如下：
步骤一、根据传动规律确定椭圆主动同步带轮节曲线与正弦非圆从动同步带轮节曲线方程；
椭圆主动同步带轮为匀速转动的输入构件，其切极坐标方程
p1＝a1(1-e1)-a1e1cos(θ1) (1)
式中，p1为椭圆主动同步带轮节曲线的切径，θ1为p1到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，e1为椭圆主动同步带轮节曲线的离心率，a1为椭圆主动同步带轮节曲线的长轴；
式中，s为椭圆主动同步带轮节曲线的周长；
式中，b1为椭圆主动同步带轮节曲线的短轴，c1为椭圆主动同步带轮节曲线的焦距；
c1＝a1×e1 (4)
正弦非圆从动同步带轮节曲线的切极坐标方程为：
式中，r21为正弦非圆从动同步带轮节曲线的极径，α为正弦非圆从动同步带轮节曲线参数，A为正弦曲线的振幅，γ为正弦非圆从动同步带轮节曲线参数，取γ＝π/6，b为比例系数，a为椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮的中心距，β为椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮的相对转角，β＝[0～2π]；
式中，p2为正弦非圆从动同步带轮节曲线的切径，θ2为p2到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，为动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角；
步骤二、计算椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮初始位置的传动比：
初始位置，椭圆主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角正弦非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角根据切极坐标理论得：
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为椭圆主动同步带轮节曲线与正弦非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C1、C2对应的切径，p1(θ13)和p3(θ31)分别为椭圆主动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点C6、C5对应的切径，p2(θ23)和p3(θ32)分别为正弦非圆从动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点C3、C4对应的切径，θ120为椭圆主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与正弦非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的切角初值，θ130为椭圆主动同步带轮节曲线切径p1(θ13)与张紧同步带轮节曲线切径p3(θ31)到各自动坐标系水平轴的切角初值，θ230为正弦非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ23)与张紧同步带轮节曲线切径p3(θ32)到各自动坐标系水平轴的切角初值，θ12、θ13分别为椭圆主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，θ21、θ23分别为正弦非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，θ31、θ32分别为张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的切角，L1为椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮中心距，L2为正弦非圆从动同步带轮与张紧同步带轮中心距，L3为椭圆主动同步带轮与张紧同步带轮中心距；
初始位置椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮瞬时传动比为：
步骤三、计算椭圆主动同步带轮、正弦非圆从动同步带轮和张紧同步带轮每两轮之间的公切线段长度；
初始时刻，设定张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T0、正弦非圆从动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T1以及椭圆主动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T2分别为:
式中，p′1(θ120)、p′1(θ130)分别为p1(θ120)、p1(θ130)的一阶微分，p′2(θ120)、p′2(θ230)分别为p2(θ120)、p2(θ230)的一阶微分，p′3(θ130)、p′3(θ230)分别为p3(θ130)、p3(θ230)的一阶微分；
当椭圆主动同步带轮转过角度正弦非圆从动同步带轮相应转过角度椭圆主动同步带轮节曲线上切点C1、C6对应的弧长变化量为s1、s6，正弦非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应的弧长变化量为s2、s3，张紧同步带轮节曲线上切点C4、C5对应的弧长变化量为s4、s5；则有：
式中，p"1(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p"2(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p"3(θ3)为p3(θ3)的二阶微分，θ3为张紧同步带轮切径p3到动坐标系x3o3y3中x3轴的切角；
任意时刻，椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T12、正弦非圆从动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T23以及椭圆主动同步带轮与张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T13分别为：
式中，p′1(θ12)、p′1(θ13)分别为p1(θ12)、p1(θ13)的一阶微分，p′2(θ21)、p′2(θ23)分别为p2(θ21)、p2(θ23)的一阶微分，p′3(θ32)、p′3(θ31)分别为p3(θ32)、p3(θ31)的一阶微分，为张紧同步带轮节曲线动坐标系x3o3y3中x3轴到静坐标系xo1y中x轴的转角；
步骤四、计算任意时刻椭圆主动同步带轮与正弦非圆从动同步带轮的传动比；
椭圆主动同步带轮匀速转动，根据式(1)，(6)解得p1，p2，则瞬时传动比为：
步骤五、计算任意时刻同步带周长；
椭圆主动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C6，任意时刻C1与C6间的弧长为c11，正弦非圆从动同步带轮节曲线与张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C3，任意时刻C2与C3间的弧长为c22，张紧同步带轮节曲线与正弦非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C4，张紧同步带轮节曲线与椭圆主动同步带轮节曲线公切线上切点记为C5，任意时刻C4与C5间的弧长为c33；
任意时刻，同步带周长为：
C＝T12+T13+T23+c11+c22+c33 (16)
步骤六、张紧同步带轮自由节曲线计算；
迭代算法如下：
(a)设定张紧同步带轮转动中心，张紧同步带轮的半径设置为变量，张紧同步带轮半径初始值给定，记为r3-0，根据式(16)计算带长初始值记为C0；
(b)椭圆主动同步带轮转过1°，根据传动比要求计算正弦非圆从动同步带轮转过相应的角度，张紧同步带轮的转角与椭圆主动同步带轮相同；在保证同步带周长C不变的前提下，根据式(16)反求椭圆主动同步带轮转过1°时对应的张紧同步带轮半径r3-1，即对应时刻的p3；
(c)重复(b)358次，得到椭圆主动同步带轮转过2°，3°，…，359°时对应的张紧同步带轮半径分别为r3-2，r3-3，……，r3-359；
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆；
(e)将(d)中得到的非圆张紧同步带轮的各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与椭圆主动同步带轮及正弦非圆从动同步带轮的周长均相等；
(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(16)计算各个时刻的带长；
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)；
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆张紧同步带轮；
(i)将经(h)后的非圆张紧同步带轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与椭圆主动同步带轮及正弦非圆从动同步带轮的周长均相等；
(j)将经(i)后的非圆张紧同步带轮向径代入式(16)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)；
(k)建立非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为张紧同步带轮节曲线方程。
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