CN106296671A - 一种基于Gabor直方图熵的图像分割方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于Gabor直方图熵的图像分割方法，属于数字图像处理技术领域。本发明首先构建归一化的Gabor直方图；然后通过灰度图像归一化的Gabor直方图熵，求取最佳阈值；最后根据得到的最佳阈值将灰度图像分成目标部分和背景部分。本发明方法使用Gabor滤波器来引入像素的空间信息，Gabor滤波器同时在空域和时域上具有优良的响应特性。所以可以很薄的表征像素的方向和幅度的空间信息；对于已有同类算法分割较好的图像类型，我们的算法也可以获得同水平或更好的效果；对于已有同类算法存在的鲁棒性不够的问题，得到了有效改进。本算法具有更高的普适性。

Description

一种基于Gabor直方图熵的图像分割方法

技术邻域

本发明涉及一种基于Gabor直方图熵的图像分割方法，属于数字图像处理技术领域。

背景技术

阈值分割法在图像分割技术中是最简单最实用的技术之一。其中，全局阈值法又有诸多优点，如易实现、易扩展为多阈值等。其中又包含了熵分割方法、OTSU分割方法以及模糊集分割方法等。

在阈值方法中Pun在1981年首先引入熵来进行阈值分割，随后被Kapur等人进行改进增强，最后由Renyi和Tsallis固定下了熵分割的通用模式。众所周知，阈值分割是使用图像的灰度值对像素进行划分，我们称之为一维直方图方法，但是从Kapur等人开始，考虑到图像的空间信息对分割也是有作用的，随后经过Renyi使用二维直方图(2D直方图)，通过比较区域灰度均值的方式来引入像素的空间信息，但是效果并不理想。随后，在2008年，XiaoYang提出GLSC直方图来进行分割，这种直方图采用的是按照邻域相似像素个数来引入像素的空间信息，它克服了一些2D直方图的缺陷，但是依然不能有效区分边缘和噪声点，并且像素之间的灰度相似阈值这一关键参数不好调整。之后，在2013年，Yimit等人提出了二维方向直方图(2D-D直方图)，这种直方图采用的是像素梯度方向信息的方式来引入像素的空间信息。但是对于前景与背景、边缘与噪声点分别都有着相似的梯度方向，那么这样就影响了分割结果。到2014年，Xiao Yang提出了GLGM直方图，这种直方图采用的是梯度幅值的方式来引入像素的空间信息。GLGM直方图中，对于像素的分类采用了基于斐波那契数列的量化容器，虽然这是黄金比例，但是所需分割图像的像素分布并不一定都是很好的黄金比例，所以并不具有普适性，其结果也反映在分割结果上，对于一部分目标和背景分布比较均匀的，过滤比较平缓的，都可以分割的很好，但是对于一些过渡突然以及目标和背景分布面积相差较大的，就不能很好的分割。

发明内容

本发明提供了一种基于Gabor直方图熵的图像分割方法，使用了比原有算法更合理的空间信息引入方式，实现了有效性、鲁棒性更好的分割效果。

本发明的技术方案是：一种基于Gabor直方图熵的图像分割方法，首先构建归一化的Gabor直方图；然后通过灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵，求取最佳阈值t^*；最后根据得到的最佳阈值t^*将灰度图像I(x,y)分成目标部分和背景部分。

所述方法的具体步骤如下：

Step1、构建归一化的Gabor直方图：

Step1.1、将灰度图像I(x,y)与二维Gabor核函数G(x,y))进行卷积，得到卷积图像F(x,y)，经过公式(1)处理后，生成K个卷积图像卷积之后的K个卷积图像，按照方向和尺度大小依次分成量化容器，得到K个量化容器；其中，k₃∈{1,2...,K}；

F(x,y)＝I(x,y)*G(x,y) (1)

Step1.2、将每个量化容器中的每一个点(x,y)作为中心，按w×w邻域窗口大小计算卷积值h_Θ(x,y)，对每一个点的w×w个卷积值求和，取K个量化容器中同一个点的卷积值之和的最大值所对应的量化容器的编号作为Θ_max(x,y)；

$h_{\mathrm{\Θ}}(x,y)=\underset{j=-(w-1)/2}{\overset{(w-1)/2}{\Σ}}\underset{i=-(w-1)/2}{\overset{(w-1)/2}{\Σ}}{F}_{k_3}(x+i,y+j)---\left(2\right)$

其中，w取奇整数，Θ表示对应的量化容器编号，其取值范围为[1,K]；Θ_max(x,y)的取值范围为[1,K]；

Step1.3、根据公式(3)，使用灰度图像I(x,y)及Θ_max(x,y)来创建二维直方图，作为Gabor直方图h(s,q)，接着对Gabor直方图h(s,q)做归一化处理，得到归一化的Gabor直方图

h(s,q)＝prob(f(x,y)＝s andΘ_max(x,y)＝q)(3)

$\hat{h}(s,q)=\frac{Num(s,q)}{Q\×R}---\left(4\right)$

其中，f(x,y)表示灰度图像I(x,y)点(x,y)处的灰度值，q∈{1,2,...,K}；Num(s,q)表示满足条件“f(x,y)＝s与Θ_max(x,y)＝q”的像素点的数目，Q×R表示整幅图像的像素点总数，L表示灰度图像I(x,y)的最大灰度级；

Step2、通过灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵，求取最佳阈值t^*：

Step2.1、通过归一化的Gabor直方图计算灰度图像I(x,y)的概率函数p(s,q)：

$p(s,q)=\hat{h}(s,q)---\left(6\right)$

Step2.2、将灰度图像I(x,y)通过阈值t划分成目标部分L₁＝{0,1,2,...,t}和背景部分L₂＝{t+1,t+2,...,255}；划分后相关的目标部分和背景部分的概率函数分别为式(5)和式(6)；

$\[\frac{p(0,1)}{P_1\left(t\right)},\mathrm{...},\frac{p(0,K)}{P_1\left(t\right)},\frac{p(1,1)}{P_1\left(t\right)},\mathrm{...},\frac{p(t,K)}{P_1\left(t\right)}\]---\left(5\right)$

$\[\frac{p(t+1,1)}{P_2\left(t\right)},...,\frac{p(t+1,K)}{P_2\left(t\right)},\frac{p(t+2,1)}{P_2\left(t\right)},...,\frac{p(255,K)}{P_2\left(t\right)}\]---\left(6\right)$

其中，P₁(t)和P₂(t)分别为式(7)和式(8)：

$P_1\left(t\right)=\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)---\left(7\right)$

$P_2\left(t\right)=\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s2,q)---\left(8\right)$

P₁(t)+P₂(t)＝1 (9)

Step2.3、根据公式(10)、(11)分别求取目标部分所对应的熵H₁(t)和背景部分所对应的熵H₂(t)：

$H_1\left(t\right)=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}ln\left(\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}\right)---\left(10\right)$

$H_2\left(t\right)=-\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s2,q)}{P_2\left(t\right)}ln\left(\frac{p(s2,q)}{P_2\left(t\right)}\right)---\left(11\right)$

Step2.3、根据公式(12)，计算得到灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵φ(t)：

φ(t)＝H₁(t)+H₂(t) (12)

Step2.4、将t∈{0,1,2,...,255}的取值依次代入函数φ(t)，则maxφ(t)所对应的t值为最佳阈值t^*：

t^*＝argmaxφ(t) (13)

Step3、根据得到的最佳阈值t^*将灰度图像I(x,y)分成目标部分和背景部分。

还包括使用积分图思想降低寻找阈值的维度。

所述使用积分图思想降低寻找阈值的维度：

对目标部分所对应的熵H₁(t)和背景部分所对应的熵H₂(t)采用公式(14)、(15)进行变换：

$\begin{array}{c}{H}_1\left(t\right)=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}\ln \left(\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}\right)\\ =-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)\ln \left(p\right(s1,q))}{P_1\left(t\right)}+\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)\ln \left(P_1\right(t))}{P_1\left(t\right)}\\ =-\frac{1}{P_1\left(t\right)}\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)\ln \left(p\right(s1,q\left)\right)+\frac{\ln \left(P_1\right(t))}{P_1\left(t\right)}\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)\\ =\frac{H_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{\ln \left(P_1\right(t)){\mathrm{PW}}_t}{P_1\left(t\right)}\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}{H}_2\left(t\right)=-\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s2,t)\ln \left(p\right(s2,q))}{P_2\left(t\right)}+\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s2,t)\ln \left(P_2\right(t))}{P_2\left(t\right)}\\ =-\frac{1}{1-P_1\left(t\right)}\underset{s2-t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s2,t)\ln \left(p\right(s2,q\left)\right)+\frac{\ln (1-P_1(t))}{1-P_1\left(t\right)}\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s2,t)\\ =\frac{H_L-H_t}{1-P_1\left(t\right)}+\frac{\ln (1-P_1(t))({\mathrm{PW}}_L-{\mathrm{PW}}_t)}{1-P_1\left(t\right)}\end{array}---\left(15\right)$

其中，

$H_L=-\underset{s=0}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s,q)ln\left(p\right(s,q\left)\right)---\left(16\right)$

$H_t=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)ln\left(p\right(s1,q\left)\right)---\left(17\right)$

${\mathrm{PW}}_L=\underset{s=0}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s,q)---\left(18\right)$

${\mathrm{PW}}_t=\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)---\left(19\right)$

因此公式(12)熵函数可以重新定义为：

$\mathrm{\φ}\left(t\right)=\frac{H_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{ln\left(P_1\right(t)){\mathrm{PW}}_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{H_L-H_t}{1-P_1\left(t\right)}+\frac{ln(1-P_1(t))({\mathrm{PW}}_L-{\mathrm{PW}}_t)}{1-P_1\left(t\right)}---\left(20\right)$

根据公式(20)得，若需要计算熵函数φ(t)的值，必须计算P₁(t)、PW_L、PW_t、H_L及H_t的值；对于同一幅图像，PW_L和H_L是两个常量，若对每个阈值t都从s＝0，q＝1开始计算P₁(t)、PW_t及H_t，若像这样计算，会存在大量的重复计算。并且q值越大，计算φ(t)的计算量越大；如果大量的重复计算能够去掉，将会大大的降低算法的时间复杂度，因此引入积分图思想。

经过积分图思想引入P₁(t+1)，PW_t+1及H_t+1可以分别定义为：

$P_1(t+1)=P_1\left(t\right)+\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(t+1,q)---\left(21\right)$

${\mathrm{PW}}_{t+1}={\mathrm{PW}}_t+\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(t+1,q)---\left(22\right)$

$H_{t+1}=H_t-\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(t+1,q)ln\left(p\right(t+1,q\left)\right)---\left(23\right).$

对于从0到255逐渐递增取值的变量t，若上一次计算熵准则函数时，所得到P₁(t)，PW_t及H_t的值能够得到保存，根据公式(21)、(22)和(23)，φ(t)的值就能够避免通过重复循环计算得到。对P₁(t)，PW_t及H_t的计算代表了本发明所提算法的效率。经过积分图思想的引入，对于每个阈值t，在需要对p(s,q)的计算，就能够得到P₁(t)，PW_t及H_t。在本发明算法中总共需要对p(s,q)计算K×L次来得到所有的P₁(t)，PW_t及H_t的值。因此时间复杂度为O(K×L)，较未引入积分图思想时的时间复杂度O(K×L²)好。

本发明的有益效果是：

本方法使用Gabor滤波器来引入像素的空间信息，Gabor滤波器同时在空域和时域上具有优良的响应特性。所以可以很薄的表征像素的方向和幅度的空间信息；对于已有同类算法分割较好的图像类型，我们的算法也可以获得同水平或更好的效果；对于已有同类算法存在的鲁棒性不够的问题，得到了有效改进。本算法具有更高的普适性。

附图说明

图1是本发明方法步骤流程图；

图2是灰度lena图；

图3是lena图的Gabor直方图；

图4是各种同类方法对比结果1；

图5是各种同类方法对比结果2。

具体实施方式

实施例1：如图1-5所示，一种基于Gabor直方图熵的图像分割方法，首先构建归一化的Gabor直方图；然后通过灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵，求取最佳阈值t^*；最后根据得到的最佳阈值t^*将灰度图像I(x,y)分成目标部分和背景部分。

所述方法的具体步骤如下：

Step1、构建归一化的Gabor直方图：

Step1.1、将灰度图像I(x,y)与二维Gabor核函数G(x,y))进行卷积，得到卷积图像F(x,y)，经过公式(1)处理后，生成K个卷积图像卷积之后的K个卷积图像，按照方向和尺度大小依次分成量化容器，得到K个量化容器；其中，k₃∈{1,2...,K}；

F(x,y)＝I(x,y)*G(x,y) (1)

Step1.2、将每个量化容器中的每一个点(x,y)作为中心，按w×w邻域窗口大小计算卷积值h_Θ(x,y)，对每一个点的w×w个卷积值求和，取K个量化容器中同一个点的卷积值之和的最大值所对应的量化容器的编号作为Θ_max(x,y)；

$h_{\mathrm{\Θ}}(x,y)=\underset{j=-(w-1)/2}{\overset{(w-1)/2}{\Σ}}\underset{i=-(w-1)/2}{\overset{(w-1)/2}{\Σ}}{F}_{k_3}(x+i,y+j)---\left(2\right)$

其中，w取奇整数，Θ表示对应的量化容器编号，其取值范围为[1,K]；Θ_max(x,y)的取值范围为[1,K]；

Step1.3、根据公式(3)，使用灰度图像I(x,y)及Θmax(x,y)来创建二维直方图，作为Gabor直方图h(s,q)，接着对Gabor直方图h(s,q)做归一化处理，得到归一化的Gabor直方图

h(s,q)＝prob(f(x,y)＝s andΘ_max(x,y)＝q) (3)

$\hat{h}(s,q)=\frac{Num(s,q)}{Q\×R}---\left(4\right)$

其中，f(x,y)表示灰度图像I(x,y)点(x,y)处的灰度值，q∈{1,2,...,K}；Num(s,q)表示满足条件“f(x,y)＝s与Θ_max(x,y)＝q”的像素点的数目，Q×R表示整幅图像的像素点总数，L表示灰度图像I(x,y)的最大灰度级；

Step2、通过灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵，求取最佳阈值t^*：

Step2.1、通过归一化的Gabor直方图计算灰度图像I(x,y)的概率函数p(s,q)：

$p(s,q)=\hat{h}(s,q)---\left(6\right)$

Step2.2、将灰度图像I(x,y)通过阈值t划分成目标部分L₁＝{0,1,2,...,t}和背景部分L₂＝{t+1,t+2,...,255}；划分后相关的目标部分和背景部分的概率函数分别为式(5)和式(6)；

$\[\frac{p(0,1)}{P_1\left(t\right)},\mathrm{...},\frac{p(0,K)}{P_1\left(t\right)},\frac{p(1,1)}{P_1\left(t\right)},\mathrm{...},\frac{p(t,K)}{P_1\left(t\right)}\]---\left(5\right)$

$\[\frac{p(t+1,1)}{P_2\left(t\right)},\mathrm{...},\frac{p(t+1,K)}{P_2\left(t\right)},\frac{p(t+2,1)}{P_2\left(t\right)},\mathrm{...},\frac{p(255,K)}{P_2\left(t\right)}\]---\left(6\right)$

其中，P₁(t)和P₂(t)分别为式(7)和式(8)：

$P_1\left(t\right)=\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)---\left(7\right)$

$P_2\left(t\right)=\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s2,q)---\left(8\right)$

P₁(t)+P₂(t)＝1 (9)

Step2.3、根据公式(10)、(11)分别求取目标部分所对应的熵H₁(t)和背景部分所对应的熵H₂(t)：

$H_1\left(t\right)=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}ln\left(\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}\right)---\left(10\right)$

$H_2\left(t\right)=-\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s2,q)}{P_2\left(t\right)}ln\left(\frac{p(s2,q)}{P_2\left(t\right)}\right)---\left(11\right)$

Step2.3、根据公式(12)，计算得到灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵φ(t)：

φ(t)＝H₁(t)+H₂(t) (12)

Step2.4、将t∈{0,1,2,...,255}的取值依次代入函数φ(t)，则maxφ(t)所对应的t值为最佳阈值t^*：

t^*＝argmaxφ(t) (13)

Step3、根据得到的最佳阈值t^*将灰度图像I(x,y)分成目标部分和背景部分。

Step4、所述使用积分图思想降低寻找阈值的维度：

对目标部分所对应的熵H₁(t)和背景部分所对应的熵H₂(t)采用公式(14)、(15)进行变换：

$\begin{array}{c}{H}_1\left(t\right)=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}\ln \left(\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}\right)\\ =-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)\ln \left(p\right(s1,q))}{P_1\left(t\right)}+\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)\ln \left(P_1\right(t))}{P_1\left(t\right)}\\ =-\frac{1}{P_1\left(t\right)}\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)\ln \left(p\right(s1,q\left)\right)+\frac{\ln \left(P_1\right(t))}{P_1\left(t\right)}\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)\\ =\frac{H_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{\ln \left(P_1\right(t)){\mathrm{PW}}_t}{P_1\left(t\right)}\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}{H}_2\left(t\right)=-\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s2,t)\ln \left(p\right(s2,q))}{P_2\left(t\right)}+\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s2,t)\ln \left(P_2\right(t))}{P_2\left(t\right)}\\ =-\frac{1}{1-P_1\left(t\right)}\underset{s2-t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s2,t)\ln \left(p\right(s2,q\left)\right)+\frac{\ln (1-P_1(t))}{1-P_1\left(t\right)}\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s2,t)\\ =\frac{H_L-H_t}{1-P_1\left(t\right)}+\frac{\ln (1-P_1(t))({\mathrm{PW}}_L-{\mathrm{PW}}_t)}{1-P_1\left(t\right)}\end{array}---\left(15\right)$

其中，

$H_L=-\underset{s=0}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s,q)ln\left(p\right(s,q\left)\right)---\left(16\right)$

$H_t=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)ln\left(p\right(s1,q\left)\right)---\left(17\right)$

${\mathrm{PW}}_L=\underset{s=0}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s,q)---\left(18\right)$

${\mathrm{PW}}_t=\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)---\left(19\right)$

因此公式(12)熵函数可以重新定义为：

$\mathrm{\φ}\left(t\right)=\frac{H_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{ln\left(P_1\right(t)){\mathrm{PW}}_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{H_L-H_t}{1-P_1\left(t\right)}+\frac{ln(1-P_1(t))({\mathrm{PW}}_L-{\mathrm{PW}}_t)}{1-P_1\left(t\right)}---\left(20\right)$

经过积分图思想引入P₁(t+1)，PW_t+1及H_t+1可以分别定义为：

$P_1(t+1)=P_1\left(t\right)+\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(t+1,q)---\left(21\right)$

${\mathrm{PW}}_{t+1}={\mathrm{PW}}_t+\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(t+1,q)---\left(22\right)$

$H_{t+1}=H_t-\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(t+1,q)ln\left(p\right(t+1,q\left)\right)---\left(23\right).$

实施例2：如图1-5所示，一种基于Gabor直方图熵的图像分割方法，首先构建归一化的Gabor直方图；然后通过灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵，求取最佳阈值t^*；最后根据得到的最佳阈值t^*将灰度图像I(x,y)分成目标部分和背景部分。

还包括使用积分图思想降低寻找阈值的维度。

实施例3：如图1-5所示，一种基于Gabor直方图熵的图像分割方法，首先构建归一化的Gabor直方图；然后通过灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵，求取最佳阈值t^*；最后根据得到的最佳阈值t^*将灰度图像I(x,y)分成目标部分和背景部分。

实施例4：如图1-5所示，一种基于Gabor直方图熵的图像分割方法，所述方法的具体步骤如下：

Step1、首先，Gabor核函数的参数设置需要注意，在公式(1)Gabor核函数通式中，为正弦波的频率因子，一般取k₁＝{0,...,n-1}其中n表示尺度的个数，为包络旋转角度取k₂∈{0,...,m-1}其中m表示方向的个数，γ、η分别为沿X轴方向和y轴方向的标准差，φ为相位标准差，此处取0；按照方向和尺度大小依次分成m·n(为了方便描述下文中用K表示)个量化容器；取m＝4，n＝5得到共20个Gabor核函数(即K＝20个量化容器)。

$G(x,y)=\frac{{f_{k_1}}^2}{\mathrm{\π}\mathrm{\γ}\mathrm{\η}}\exp (-\frac{x^{\′2}}{{\mathrm{\γ}}^2}+\frac{y^{\′2}}{{\mathrm{\η}}^2})\exp (j2{\mathrm{\πf}}_{k_1}{x}^{\′}+\mathrm{\φ})---\left(1\right)$

Step2、将图像I(x,y)与二维Gabor核函数G(x,y))按照公式(1)进行卷积，得到卷积图像F(x,y)。经过公式(2)处理后，生成K个卷积图像卷积之后的K个卷积图像，按照方向和尺度大小依次分成量化容器，得到K个量化容器；其中，k₃∈{1,2...,K}；

F(x,y)＝I(x,y)*G(x,y) (2)

Step3、将每个量化容器中的每一个点(x,y)作为中心，按w×w邻域窗口大小计算卷积值h_Θ(x,y)，对每一个点的w×w个卷积值求和，如公式(3)所示。取K个量化容器中同一个点的卷积值之和的最大值所对应的量化容器的编号作为Θ_max(x,y)；

$h_{\mathrm{\Θ}}(x,y)=\underset{j=-(w-1)/2}{\overset{(w-1)/2}{\Σ}}\underset{i=-(w-1)/2}{\overset{(w-1)/2}{\Σ}}{F}_{k_3}(x+i,y+j)---\left(3\right)$

其中，w取奇整数，Θ表示对应的量化容器编号，其取值范围为[1,K]；Θ_max(x,y)的取值范围为[1,K]；

Step4、根据公式(4)，使用灰度图像I(x,y)及Θ_max(x,y)来创建二维直方图，作为Gabor直方图h(s,q)，图3所示为图2 lena灰度图像的Gabor直方图。接着按照公式(5)，对Gabor直方图h(s,q)做归一化处理，得到归一化的Gabor直方图

h(s,q)＝prob(f(x,y)＝s andΘ_max(x,y)＝q) (4)

$\hat{h}(s,q)=\frac{Num(s,q)}{Q\×R}---\left(5\right)$

其中，f(x,y)表示灰度图像I(x,y)点(x,y)处的灰度值，q∈{1,2,...,K}；Num(s,q)表示满足条件“f(x,y)＝s与Θ_max(x,y)＝q”的像素点的数目，Q×R表示整幅图像的像素点总数，L表示灰度图像I(x,y)的最大灰度级；

Step5、通过归一化的Gabor直方图计算灰度图像I(x,y)的概率函数p(s,q)：

$p(s,q)=\hat{h}(s,q)---\left(6\right)$

Step6、将灰度图像I(x,y)通过阈值t划分成目标部分L₁＝{0,1,2,...,t}和背景部分L₂＝{t+1,t+2,...,255}；划分后相关的目标部分和背景部分的概率函数分别为式(6)和式(7)；

$\[\frac{p(0,1)}{P_1\left(t\right)},\mathrm{...},\frac{p(0,K)}{P_1\left(t\right)},\frac{p(1,1)}{P_1\left(t\right)},\mathrm{...},\frac{p(t,K)}{P_1\left(t\right)}\]---\left(6\right)$

$\[\frac{p(t+1,1)}{P_2\left(t\right)},\mathrm{...},\frac{p(t+1,K)}{P_2\left(t\right)},\frac{p(t+2,1)}{P_2\left(t\right)},\mathrm{...},\frac{p(255,K)}{P_2\left(t\right)}\]---\left(7\right)$

其中，P₁(t)和P₂(t)分别为式(8)和式(9)：

$P_1\left(t\right)=\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)---\left(8\right)$

$P_2\left(t\right)=\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s2,q)---\left(9\right)$

P₁(t)+P₂(t)＝1 (10)

Step7、根据公式(11)、(12)分别求取目标部分所对应的熵H₁(t)和背景部分所对应的熵H₂(t)，根据公式(13)，计算得到灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵φ(t)。

$H_1\left(t\right)=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}ln\left(\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}\right)---\left(11\right)$

$H_2\left(t\right)=-\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s2,q)}{P_2\left(t\right)}ln\left(\frac{p(s2,q)}{P_2\left(t\right)}\right)---\left(12\right)$

φ(t)＝H₁(t)+H₂(t) (13)

Step8、将t∈{0,1,2,...,255}的取值依次代入函数φ(t)，则maxφ(t)所对应的t值为最佳阈值t^*：

t^*＝arg maxφ(t) (14)

Step9、根据得到的最佳阈值t^*将灰度图像I(x,y)分成目标部分和背景部分。经过实验，在图4和图5中分别为10幅图像在同类算法下的对比实验结果。

运用积分图的思想来降低寻找阈值的维度的具体步骤如下

Step10、对目标部分所对应的熵H₁(t)和背景部分所对应的熵H₂(t)采用公式(15)、(16)进行变换：

$\begin{array}{c}{H}_1\left(t\right)=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}\ln \left(\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}\right)\\ =-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)\ln \left(p\right(s1,q))}{P_1\left(t\right)}+\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)\ln \left(P_1\right(t))}{P_1\left(t\right)}\\ =-\frac{1}{P_1\left(t\right)}\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)\ln \left(p\right(s1,q\left)\right)+\frac{\ln \left(P_1\right(t))}{P_1\left(t\right)}\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)\\ =\frac{H_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{\ln \left(P_1\right(t)){\mathrm{PW}}_t}{P_1\left(t\right)}\end{array}---\left(15\right)$

$\begin{array}{c}{H}_2\left(t\right)=-\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s2,t)\ln \left(p\right(s2,q))}{P_2\left(t\right)}+\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s2,t)\ln \left(P_2\right(t))}{P_2\left(t\right)}\\ =-\frac{1}{1-P_1\left(t\right)}\underset{s2-t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s2,t)\ln \left(p\right(s2,q\left)\right)+\frac{\ln (1-P_1(t))}{1-P_1\left(t\right)}\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s2,t)\\ =\frac{H_L-H_t}{1-P_1\left(t\right)}+\frac{\ln (1-P_1(t))({\mathrm{PW}}_L-{\mathrm{PW}}_t)}{1-P_1\left(t\right)}\end{array}---\left(16\right)$

其中

$H_L=-\underset{s=0}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s,q)ln\left(p\right(s,q\left)\right)---\left(17\right)$

$H_t=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)ln\left(p\right(s1,q\left)\right)---\left(18\right)$

${\mathrm{PW}}_L=\underset{s=0}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s,q)---\left(19\right)$

${\mathrm{PW}}_t=\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)---\left(20\right)$

因此公式(13)熵函数可以重新定义为：

$\mathrm{\φ}\left(t\right)=\frac{H_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{ln\left(P_1\right(t)){\mathrm{PW}}_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{H_L-H_t}{1-P_1\left(t\right)}+\frac{ln(1-P_1(t))({\mathrm{PW}}_L-{\mathrm{PW}}_t)}{1-P_1\left(t\right)}---\left(21\right)$

根据公式(21)得，若需要计算熵函数φ(t)的值，必须计算P_O(t)、PW_L、PW_t、H_L及H_t的值。对于同一幅图像，PW_L和H_L是两个常量。若对每个阈值t都从s＝0，q＝1开始计算P_O(t)、PW_t及H_t，若像这样计算，会存在大量的重复计算。并且q值越大，计算φ(t)的计算量越大；如果大量的重复计算能够去掉，将会大大的降低算法的时间复杂度。

积分图公式的定义为：其中ii(x,y)表示积分图，i(x',y')表示原图。经过积分图思想引入P₁(t+1)，PW_t+1及H_t+1可以分别定义为：

$P_1(t+1)=P_1\left(t\right)+\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(t+1,q)---\left(22\right)$

${\mathrm{PW}}_{t+1}={\mathrm{PW}}_t+\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(t+1,q)---\left(23\right)$

$H_{t+1}=H_t-\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(t+1,q)ln\left(p\right(t+1,q\left)\right)---\left(24\right)$

对于从0到255逐渐递增取值的变量t，若上一次计算熵准则函数时，所得到P₁(t)，PW_t及H_t的值能够得到保存，根据公式(22)、(23)和(24)，φ(t)的值就能够避免通过重复循环计算得到。对P₁(t)，PW_t及H_t的计算代表了本发明所提算法的效率。经过积分图思想的引入，对于每个阈值t，在需要对p(s,q)的计算，就能够得到P₁(t)，PW_t及H_t。在本发明算法中总共需要对p(s,q)计算K×L次来得到所有的P₁(t)，PW_t及H_t的值。因此时间复杂度为O(K×L)，较未引入积分图思想时的时间复杂度O(K×L²)好。

为了更能直观清楚的表示本发明的效果，并避免主观评价，下面将通过均匀度测量和特征相似度来进一步量化评价以上各算法分割质量。均匀度测量在对于区域一致性而言的阈值图像的质量能够有较好的评判；很多文献都用到了这个评判标准；他的具体的公式如下所示：

$u=1-2*p*{\frac{{\mathrm{\Σ}}_{j=0}^p{\mathrm{\Σ}}_{j\∈R_j}(f_i-u_j)}{N*(f_{max}-f_{\min })}}^2---\left(25\right)$

其中，N代表原图像的总像素，p代表图像的分割的阈值个数，f_i表示所在阈值段内的像素值，u_j表示所在阈值段内的像素的平均值，f_max表示图像的最大值，f_min表示图像的最小值；均匀度测量u的值介于0到1之间，其值越接近于1，则说明阈值分割的图像效果越好。

特征相似度能够从纹理、形状和空间位置等视觉特征方面比较两幅图像的相似性；具体的公式如下所示：

$FSIM=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{X\∈\mathrm{\Ω}}{S}_L\left(X\right){\mathrm{PC}}_m\left(X\right)}{{\mathrm{\Σ}}_{X\∈\mathrm{\Ω}}{\mathrm{PC}}_m\left(X\right)}---\left(26\right)$

其中，

$\begin{array}{c}{S}_L\left(X\right)=S_{PC}\left(X\right)S_G\left(X\right);\\ S_{PC}\left(X\right)=\frac{2{\mathrm{PC}}_1\left(X\right){\mathrm{PC}}_2\left(X\right)+T_1}{{\mathrm{PC}}_1^2\left(X\right)+{\mathrm{PC}}_2^2\left(X\right)+T_1};\\ S_G=\frac{2G_1\left(X\right)G_2\left(X\right)+T_2}{G_1^2\left(X\right)+G_2^2\left(X\right)+T_2}\end{array}---\left(27\right)$

公式(27)中Ω表示图像的整个空域。T₁和T₂为常数；这里取T₁＝0.85，T₂＝160；式中的G代表一幅图像的梯度信息值，定义如下：

$G=\sqrt{G_X^2+G_y^2}---\left(28\right)$

PC表示相位一致性的值，定义如下：

$PC\left(X\right)=\frac{E\left(X\right)}{(\mathrm{\ϵ}+{\mathrm{\ΣnA}}_n(X\left)\right)}---\left(29\right)$

公式(29)中An(X)表示n阶振幅，E(X)表示n阶位置为X处的响应向量级。ε表示很小的正常量。特征相似度的值介于0到1之间，若该值越大则表明图像的质量越高。表1和表2分别呈现了所有测试图像的均匀度测量和特征相似度的值，和分别表示了针对不同算法所有测试图像的平均均匀度测量值和平均特征相似度值。根据表1和表2，我们可以观察到：

针对于milkdrop的分割，其他所有的分割都不能得到较好的分割效果，但是本发明算法(Gabor_ksw)仍能比较准确的分割出牛奶奶滴。这一现象也表明Gabor直方图阈值熵方法具有一些独特的属性。

针对于house图像，虽然均匀度测量的结果是，GLGM_ksw算法的分割效果最好，但是特征相似度评价结果是本发明算法的评价效果最好；出现这样的结果是合理的，因为均匀度测量和特征相似度的评价是针对不同的方面进行评判的；均匀度测量侧重的阈值所分成的一致性而言，而特征相似度针对纹理、形状和空间位置等视觉特征方面来评价图像的质量。

GLGM_ksw算法在分割brain和camera图像时有最好的分割效果，但是该算法过度的依赖于图像的轮廓信息，一旦轮廓信息不是非常明显，该算法的分割效果不是很好。例如milkdrop和woman图，根本不能将目标很好的分割出来；

2D-D_ksw方法在大多数情况下都能得到较差的分割结果，所有测试图像的平均度测量值(0.9508)和平均特征相似度值(0.5668)都最差的结果；这一原因可能是单纯的用梯度方向信息不能很好地区分出图像的不同信息。

本发明提出的Gabor直方图熵阈值分割方法在大多数情况下都能得到较好的分割结果。另外，本发明算法分割结果的平均均匀度测量值(0.9738)和平均特征相似度值(0.6693)在所有算法中都得到了最好的结果。这些结果证明我们的方法在分割不同的真实世界的图像具有较好有效性和鲁棒性。

表1.均匀度测量

表2.特征相似度

上面结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本邻域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下作出各种变化。

Claims (4)

1.一种基于Gabor直方图熵的图像分割方法，其特征在于：首先构建归一化的Gabor直方图；然后通过灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵，求取最佳阈值t^*；最后根据得到的最佳阈值t^*将灰度图像I(x,y)分成目标部分和背景部分。

2.根据权利要求1所述的基于Gabor直方图熵的图像分割方法，其特征在于：所述方法的具体步骤如下：

Step1、构建归一化的Gabor直方图：

Step1.1、将灰度图像I(x,y)与二维Gabor核函数G(x,y))进行卷积，得到卷积图像F(x,y)，经过公式(1)处理后，生成K个卷积图像卷积之后的K个卷积图像，按照方向和尺度大小依次分成量化容器，得到K个量化容器；其中，k₃∈{1,2...,K}；

F(x,y)＝I(x,y)*G(x,y) (1)

Step1.2、将每个量化容器中的每一个点(x,y)作为中心，按w×w邻域窗口大小计算卷积值h_Θ(x,y)，对每一个点的w×w个卷积值求和，取K个量化容器中同一个点的卷积值之和的最大值所对应的量化容器的编号作为Θ_max(x,y)；

$h_{\mathrm{\Θ}}(x,y)=\underset{j=-(w-1)/2}{\overset{(w-1)/2}{\Σ}}\underset{i=-(w-1)/2}{\overset{(w-1)/2}{\Σ}}{F}_{k_3}(x+i,y+j)---\left(2\right)$

其中，w取奇整数，Θ表示对应的量化容器编号，其取值范围为[1,K]；Θ_max(x,y)的取值范围为[1,K]；

Step1.3、根据公式(3)，使用灰度图像I(x,y)及Θ_max(x,y)来创建二维直方图，作为Gabor直方图h(s,q)，接着对Gabor直方图h(s,q)做归一化处理，得到归一化的Gabor直方图

h(s,q)＝prob(f(x,y)＝s andΘ_max(x,y)＝q)(3)

$\hat{h}(s,q)=\frac{Num(s,q)}{Q\×R}---\left(4\right)$

其中，f(x,y)表示灰度图像I(x,y)点(x,y)处的灰度值，q∈{1,2,...,K}；Num(s,q)表示满足条件“f(x,y)＝s与Θ_max(x,y)＝q”的像素点的数目，Q×R表示整幅图像的像素点总数，L表示灰度图像I(x,y)的最大灰度级；

Step2、通过灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵，求取最佳阈值t^*：

Step2.1、通过归一化的Gabor直方图计算灰度图像I(x,y)的概率函数p(s,q)：

$p(s,q)=\hat{h}(s,q)---\left(6\right)$

Step2.2、将灰度图像I(x,y)通过阈值t划分成目标部分L₁＝{0,1,2,...,t}和背景部分L₂＝{t+1,t+2,...,255}；划分后相关的目标部分和背景部分的概率函数分别为式(5)和式(6)；

$\[\frac{p(0,1)}{P_1\left(t\right)},...,\frac{p(0,K)}{P_1\left(t\right)},\frac{p(1,1)}{P_1\left(t\right)},...,\frac{p(t,K)}{P_1\left(t\right)}\]---\left(5\right)$

$\[\frac{p(t+1,1)}{P_2\left(t\right)},...,\frac{p(t+1,K)}{P_2\left(t\right)},\frac{p(t+2,1)}{P_2\left(t\right)},...,\frac{p(255,K)}{P_2\left(t\right)}\]---\left(6\right)$

其中，P₁(t)和P₂(t)分别为式(7)和式(8)：

$P_1\left(t\right)=\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)---\left(7\right)$

$P_2\left(t\right)=\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s2,q)---\left(8\right)$

P₁(t)+P₂(t)＝1 (9)

Step2.3、根据公式(10)、(11)分别求取目标部分所对应的熵H₁(t)和背景部分所对应的熵H₂(t)：

$H_1\left(t\right)=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}ln\left(\frac{p(s1,q)}{P_1\left(t\right)}\right)---\left(10\right)$

$H_2\left(t\right)=-\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}\frac{p(s2,q)}{P_2\left(t\right)}ln\left(\frac{p(s2,q)}{P_2\left(t\right)}\right)---\left(11\right)$

Step2.3、根据公式(12)，计算得到灰度图像I(x,y)归一化的Gabor直方图熵φ(t)：

φ(t)＝H₁(t)+H₂(t) (12)

Step2.4、将t∈{0,1,2,...,255}的取值依次代入函数φ(t)，则maxφ(t)所对应的t值为最佳阈值t^*：

t^*＝argmaxφ(t) (13)

Step3、根据得到的最佳阈值t^*将灰度图像I(x,y)分成目标部分和背景部分。

3.根据权利要求1或2所述的基于Gabor直方图熵的图像分割方法，其特征在于：还包括使用积分图思想降低寻找阈值的维度。

4.根据权利要求3所述的基于Gabor直方图熵的图像分割方法，其特征在于：所述使用积分图思想降低寻找阈值的维度：

对目标部分所对应的熵H₁(t)和背景部分所对应的熵H₂(t)采用公式(14)、(15)进行变换：

$\begin{array}{c}{H}_1\left(t\right)=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{p\left(s1,q\right)}{P_1\left(t\right)}\ln \left(\frac{p\left(s1,q\right)}{P_1\left(t\right)}\right)\\ =-\underset{s1=0}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{p\left(s1,q\right)\ln \left(p\left(s1,q\right)\right)}{P_1\left(t\right)}+\underset{s1=0}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{p\left(s1,q\right)\ln \left(P_1\left(t\right)\right)}{P_1\left(t\right)}\\ =-\frac{1}{P_1\left(t\right)}\underset{s1=0}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}p\left(s1,q\right)\ln \left(p\left(s1,q\right)\right)+\frac{\ln \left(P_1\left(t\right)\right)}{P_1\left(t\right)}\underset{s1=0}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}p\left(s1,q\right)\\ =\frac{H_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{\ln \left(P_1\left(t\right)\right){\mathrm{PW}}_t}{P_1\left(t\right)}\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}{H}_2\left(t\right)=-\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{p\left(s2,t\right)\ln \left(p\left(s2,q\right)\right)}{P_2\left(t\right)}+\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{p\left(s2,t\right)\ln \left(P_2\left(t\right)\right)}{P_2\left(t\right)}\\ =-\frac{1}{1-P_1\left(t\right)}\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}p\left(s2,t\right)\ln \left(p\left(s2,q\right)\right)+\frac{\ln \left(1-P_1\left(t\right)\right)}{1-P_1\left(t\right)}\underset{s2=t+1}{\overset{255}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}p\left(s2,t\right)\\ =\frac{H_L-H_t}{1-P_1\left(t\right)}+\frac{\ln \left(1-P_1\left(t\right)\right)\left({\mathrm{PW}}_L-{\mathrm{PW}}_t\right)}{1-P_1\left(t\right)}\end{array}---\left(15\right)$

其中，

$H_L=-\underset{s=0}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s,q)ln\left(p\right(s,q\left)\right)---\left(16\right)$

$H_t=-\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)ln\left(p\right(s1,q\left)\right)---\left(17\right)$

${\mathrm{PW}}_L=\underset{s=0}{\overset{255}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s,q)---\left(18\right)$

${\mathrm{PW}}_t=\underset{s1=0}{\overset{t}{\Σ}}\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(s1,q)---\left(19\right)$

因此公式(12)熵函数可以重新定义为：

$\mathrm{\φ}\left(t\right)=\frac{H_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{ln\left(P_1\right(t\left)\right){\mathrm{PW}}_t}{P_1\left(t\right)}+\frac{H_L-H_t}{1-P_1\left(t\right)}+\frac{ln(1-P_1(t\left)\right)({\mathrm{PW}}_L-{\mathrm{PW}}_t)}{1-P_1\left(t\right)}---\left(20\right)$

经过积分图思想引入P₁(t+1)，PW_t+1及H_t+1可以分别定义为：

$P_1(t+1)=P_1\left(t\right)+\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(t+1,q)---\left(21\right)$

${\mathrm{PW}}_{t+1}={\mathrm{PW}}_t+\underset{q=1}{\overset{K}{\Σ}}p(t+1,q)---\left(22\right)$

$H_{t+1}=H_t-\underset{q=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}p(t+1,q)ln\left(p\right(t+1,q\left)\right)---\left(23\right).$