CN103226820A - 改进的二维最大熵分割夜视图像融合目标检测算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种改进的二维最大熵分割夜视图像融合目标检测算法。首先通过对二维直方图的改进，即灰度级-加权的区域灰度最大值的灰度级建立二维直方图，选取权值利用该直方图计算最大熵对红外和微光图像分割，较传统最大熵分割算法在目标检测方面效果明显，具有抑制背景和提取目标的作用。然后验证多维特征的相与运算的有效性，对分割后的红外和微光图像特征级融合检测出目标。本发明的检测算法对于复杂背景下的目标检测及多目标检测方面都具有较好的效果和适用性。

Description

改进的二维最大熵分割夜视图像融合目标检测算法

技术领域

本发明属于红外和微光图像处理领域，特别是一种改进的二维最大熵分割夜视图像融合目标检测算法。

背景技术

夜视图像目标检测技术在军事领域和民用领域发展都比较迅速。在夜视成像方面，单一波段图像如红外波段的图像主要反应的是目标物体和场景的热辐射差异，其场景元素不够丰富，成像不够清晰且不利于人眼辨别；微光图像对比度比较低，灰度动态范围不够大，信噪比低，噪声比较严重。现阶段，一般通过图像分割和目标提取实现目标的检测，具体分割算法主要有边缘检测和区。域生长两类。其中阈值分割，是用途比较广的图像分割方法，如常见的迭代式阈值选择、Otsu法阈值选择，最小误差阈值选择法等。由于红外和微光的图像特性，采用常见的分割算法检测目标，分割得到二值图像往往目标被淹没在背景中且分割算法不具有通用性，同时得到的背景区域比较多，不能够准确的提取出目标。

一般情况下的目标如“人”，在红外夜视图像中所占的部分是亮度比较大的。加上复杂背景如相近的热辐射背景，传统的二维直方图选取最大熵分割得到的结果往往使得目标被相近辐射的背景所掩盖。对于微光图像，目标一般是较暗区域或者较亮区域，由于微光图像中的场景元素比较丰富与目标灰度级接近的背景和噪声比较多，使得分割结果中虚假目标比较多，较难提取出目标。

发明内容

本发明的目的在于提供一种分割效果好，对夜视图像具有较好的目标检测功能的改进的二维最大熵分割夜视图像融合目标检测算法。

实现本发明目的的技术解决方案为：

一种改进的二维最大熵分割夜视图像融合目标检测算法，包括以下步骤：

步骤一：在二维直方图的建立方法上进行改进，选择不同的权值λ，λ的取值在（0.01，3）之间改进算法有效，权值λ相当于纵坐标的灰度级伸缩因子，即原图像与区域灰度增强图像构造二维直方图，根据红外和微光图像中目标的灰度特性，如果是对红外图像分割则λ取小于1的值，如果是对微光图像分割则λ取大于1的值；

步骤二：对直方图进行划分，用像素灰度等于t和邻域平均灰度等于s的两个门限来划分图像的二维直方图，直方图划分出的区域以最靠近坐标原点的区域为起始，顺时针方向依次为分别表示背景、噪声、目标信息和边缘信息的区域，图像的灰度级f(m,n)和g(m,n)组成灰度级对，其中g(m,n)是一个像素点为(m,n)的灰度值，用二维直方图区域划分中定义的二元组(i，j)表示，图像中点灰度值为i、邻域灰度均值为j，k(i,j)为在二维直方图中对应的灰度级对的像素点总数，M×N为图像大小，M为行，N为列，L为一幅图像的灰度级数，于是可得图像的联合概率密度为：

$p(i,j)=\frac{k(i,j)}{M\×N}i,j=\mathrm{1,2},...,L---\left(1\right)$

定义背景和目标两个区域的二维熵为：

$H_1=\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}(p(i,j)/p_1(t,s))\log (p(i,j)/p_1(t,s))=\log (p_1(t,s)+h_1(t,s)/p_1(t,s)---\left(2\right)$

$H_2=\underset{i=t+1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=s+1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}(p(i,j)/p_2(t,s))\log (p(i,j)/p_2(t,s))=\log (p_2(t,s)+h_2(t,s)/p_2(t,s)---\left(3\right)$

式中 $p_1(t,s)=\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}p(i,j)$ 为背景区域的概率分布， $p_2(t,s)=\underset{i=t+1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=s+1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}p(i,j)$ 为目标区域的概率分布，将噪声和边缘信息区域忽略，于是p₁(t,s)+p₂(t,s)＝1，则目标和背景区域的熵为：

$h_1(t,s)=-\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\Σ}}}p(i,j)\log \left(p(i,j)\right)---\left(4\right)$

$h_2(t,s)=-\underset{i=t+1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=s+1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}p(i,j)\log \left(p(i,j)\right)---\left(5\right)$

总的信息熵为目标和背景区域的相加，即

$H(t,s)=\log \left(p_1(t,s)p_2\right(t,s)+\frac{h_1(t,s)}{p_1(t,s)}+\frac{h_2(t,s)}{p_2(t,s)}$

$=\log \left\{p_1(t,s)\right[1-p_1(t,s)\left]\right\}+\frac{h_1(t,s)}{p_1(t,s)}+\frac{h_2(t,s)}{1-p_1(t,s)}---\left(6\right)$

使得H(t,s)获得最大值时的(t^*,s^*)值即为二维最大熵法求得的最佳阈值，(t^*,s^*)分别为最佳阈值对应的像素灰度和邻域平均灰度，最佳阈值向量如下式表示：

${(t^{*},s^{*})}^T=\mathrm{Arg}\underset{1<t<L}{\max }\underset{1<s<L}{\max }\left(H(t,s)\right)---\left(7\right)$

步骤三：对分割后的图像进行提取工作，利用图像之间的相与运算，使得处理结果中比较清楚的目标被提取出来；

步骤四：最后，验证对分割后的二值图像采用相与运算的可行性，设微光图像经过改进的最大熵分割后的图像为I_a(x₁,y₁)，红外图像经过同样方法分割后的图像为I_b(x₂,y₂)，按照下式对它们进行特征级信息融合，提取目标得到最终的检测结果T(x,y)，其中，：x₁为微光图像的行变量y₁为微光图像的列变量x₂为红外图像的行变量y₂为红外图像的列变量x为最终检测结果的行变量y为最终检测结果的列变量，

T(x,y)＝I_a(x₁,y₁)∧I_b(x₂,y₂)                     （8）。

本发明与现有技术相比，其显著优点：

本发明提出了一种改进的二维最大熵分割夜视图像融合目标检测算法。由于红外和微光的图像特性，采用常见的分割算法检测目标，分割得到二值图像往往目标被淹没在背景中且分割算法不具有通用性，同时得到的背景区域比较多，不能够准确的提取出目标。本发明针对红外和微光图像目标检测的这一难点提出了灰度级-加权的区域灰度最大值灰度级建立二维直方图的改进二维最大熵分割方法，可以通过设定不同权值，对红外和微光图像分割，能较好的在各自图像中提取出目标，并且对背景和噪声做到了很大程度上的抑制，使得算法在目标检测方面具有一定的实用性，对目标分割的效果比传统方法要好。然后对分割后的图像信息融合，结合了红外图像对热辐射敏感和微光图像细节丰富的特点，提高目标检测的准确性并且进一步抑制噪声达到目标检测的目的。

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

附图说明

图1是本发明的算法流程图。

图2是现有的信息融合目标检测的步骤图。

图3是本发明改进的二维直方图的划分示意图。

图4是本发明改进的二维最大熵分割示意图；其中图(a)、(b)、(c)分别对应于红外图像原像，经传统的二维最大熵处理后的图像以及经本文算法处理后的图像，(d)、(e)、(f)分别对应于对应于微光图像原像，经传统的二维最大熵处理后的图像以及经本文算法处理后的图像。

图5是本发明最终检测结果示意图。

图6是本发明多目标检测示意图；其中图(a)、(b)、(c)、(d)、(e)分别对应于微光图像原像，红外图像原像，微光图像分割，红外图像分割以及经相与运算后的图像。

具体实施方式

如图1所示：本发明一种改进的二维最大熵分割夜视图像融合目标检测算法，包括以下步骤：

步骤一：在二维直方图的建立方法上进行改进，选择不同的权值λ，λ的取值在（0.01，3）之间改进算法有效，权值λ相当于纵坐标的灰度级伸缩因子，即原图像与区域灰度增强图像构造二维直方图，根据红外和微光图像中目标的灰度特性，如果是对红外图像分割则λ取小于1的值，如果是对微光图像分割则λ取大于1的值；

步骤二：对直方图进行划分，用像素灰度等于t和邻域平均灰度等于s的两个门限来划分图像的二维直方图，直方图划分出的区域以最靠近坐标原点的区域为起始，顺时针方向依次为分别表示背景、噪声、目标信息和边缘信息的区域，图像的灰度级f(m,n)和g(m,n)组成灰度级对，其中g(m,n)是一个像素点为(m,n)的灰度值，用二维直方图区域划分中定义的二元组(i，j)表示，图像中点灰度值为i、邻域灰度均值为j，k(i,j)为在二维直方图中对应的灰度级对的像素点总数，M×N为图像大小，M为行，N为列，L为一幅图像的灰度级数，于是可得图像的联合概率密度为：

$p(i,j)=\frac{k(i,j)}{M\&times;N}i,j=\mathrm{1,2},...,L---\left(1\right)$

定义背景和目标两个区域的二维熵为：

$H_1=\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\&Sigma;}}}(p(i,j)/p_1(t,s))\log (p(i,j)/p_1(t,s))=\log (p_1(t,s)+h_1(t,s)/p_1(t,s)---\left(2\right)$

$H_2=\underset{i=t+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=s+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}(p(i,j)/p_2(t,s))\log (p(i,j)/p_2(t,s))=\log (p_2(t,s)+h_2(t,s)/p_2(t,s)---\left(3\right)$

式中 $p_1(t,s)=\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\&Sigma;}}}p(i,j)$ 为背景区域的概率分布， $p_2(t,s)=\underset{i=t+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=s+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}p(i,j)$ 为目标区域的概率分布，将噪声和边缘信息区域忽略，于是p₁(t,s)+p₂(t,s)＝1，则目标和背景区域的熵为：

$h_1(t,s)=-\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\&Sigma;}}}p(i,j)\log \left(p(i,j)\right)---\left(4\right)$

$h_2(t,s)=-\underset{i=t+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=s+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}p(i,j)\log \left(p(i,j)\right)---\left(5\right)$

总的信息熵为目标和背景区域的相加，即

$H(t,s)=\log \left(p_1(t,s)p_2\right(t,s)+\frac{h_1(t,s)}{p_1(t,s)}+\frac{h_2(t,s)}{p_2(t,s)}$

$=\log \left\{p_1(t,s)\right[1-p_1(t,s)\left]\right\}+\frac{h_1(t,s)}{p_1(t,s)}+\frac{h_2(t,s)}{1-p_1(t,s)}---\left(6\right)$

使得H(t,s)获得最大值时的(t^*,s^*)值即为二维最大熵法求得的最佳阈值，(t^*,s^*)分别为最佳阈值对应的像素灰度和邻域平均灰度，最佳阈值向量如下式表示：

${(t^{*},s^{*})}^T=\mathrm{Arg}\underset{1<t<L}{\max }\underset{1<s<L}{\max }\left(H(t,s)\right)---\left(7\right)$

步骤三：对分割后的图像进行提取工作，利用图像之间的相与运算，使得处理结果中比较清楚的目标被提取出来；

步骤四：最后，验证对分割后的二值图像采用相与运算的可行性，设微光图像经过改进的最大熵分割后的图像为I_a(x₁,y₁)，红外图像经过同样方法分割后的图像为I_b(x₂,y₂)，按照下式对它们进行特征级信息融合，提取目标得到最终的检测结果T(x,y)，其中，：x₁为微光图像的行变量y₁为微光图像的列变量x₂为红外图像的行变量y₂为红外图像的列变量x为最终检测结果的行变量y为最终检测结果的列变量，

T(x,y)＝I_a(x₁,y₁)∧I_b(x₂,y₂)                     （8）。

具体步骤如下：

一、改进的二维直方图：

本发明在二维最大熵分割算法当中进行了改进，提出了灰度级-加权的区域灰度最大值的灰度级建立二维直方图的方法进行最大熵分割，通过选取适当的权值使得其能够比较好的在红外和微光图像中提取需要的亮（暗）目标，同时对噪声和背景进行了抑制，这是传统的二维最大熵分割算法所不具有的。

二、改进的二维最大熵分割：

首先在大小为M×N的图像中选取以像素点(m,n)为中心的3×3区域G(p,q)中的最大值，相当于提取图像中的细节部分，其中M，N分别为图像的行和列，m和n为像素点的坐标值，G(p,q)表示中心为(m,n)的3×3区域。然后对其加权（权值用λ表示），即加权的3×3区域G(p,q)内最大值的灰度级取代邻域平均值的灰度级作为纵坐标，像素点(m,n)的灰度值用g(m,n)表示，则

g(m,n)＝λmax(G(p,q))                       （10）

f(m,n)表示像素点(m,n)的灰度值与g(m,n)构成新的二维直方图，从上式可以看出，权值λ相当于纵坐标的灰度级伸缩因子，即原图像与“区域灰度增强图像”构造二维直方图。选择不同的权值，实现不同的分割目的，增加了算法适用性。

通过多次对红外和微光图像分割实验得到，λ的取值在(0.01,3)之间该算法有效。根据红外和微光图像中目标的灰度特性，一般情况如果是对红外图像分割则式（10）中的λ取小于1的值，如果是对微光图像分割则λ取大于1的值。

对红外图像采用本发明中建立直方图的新方法建立二维直方图，采用与横坐标和纵坐标平行的十字线对直方图划分如图3。图像的灰度级f(m,n)和g(m,n)组成灰度级对，即式（1）中的i和j，再通过式（1）到（7）的计算步骤计算最大熵求得相应的阈值(t^*,s^*)，将图像中g(m,n)小于s^*和f(m,n)小于t^*的部分赋0，其余部分赋255，建立二值图像得到分割结果，具体效果见图4，图5为最终检测结果。

三、多维特征的相与运算

在图像的信息融合中两图像的相与运算运用的比较多。在粗糙集理论当中有个比较重要的知识是属性约简，其定义从数学的角度出发，将n维数据x＝(x₁,x₂…x_n)，通过一定手段降维，得到的新数据达到简化计算，消除冗余信息，提高准确性的目的。多维特征矩阵相与运算就是将多维特征矩阵按位相与（文中主要是两维特征矩阵），定义两个m×n矩阵A_m×n和B_m×n如下式表示：

$A_{m\&times;n}=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& ...& ...& ...& a_{2n}\\ a_{31}& ...& ...& ...& a_{3n}\\ .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .\\ a_{\mathrm{ml}}& ...& ...& ...& a_{\mathrm{mn}}\end{array}\right]$ $B_{m\&times;n}=\left[\begin{array}{ccccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}& ...& b_{1n}\\ b_{21}& ...& ...& ...& b_{2n}\\ b_{31}& ...& ...& ...& b_{3n}\\ .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .\\ b_{\mathrm{ml}}& ...& ...& ...& b_{\mathrm{mn}}\end{array}\right]$

则两个矩阵按位与运算如下式：

一幅分割后的二值图像可以看成是一个M×N的矩阵，矩阵的元素是由0和255组成。对上式举例分析，假设两个3×3二值图像矩阵A_3×3，B_3×3分别为：

$A_{3\&times;3}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 255\\ 0& 255& 255\\ 0& 255& 255\end{array}\right]$ $B_{3\&times;3}=\left[\begin{array}{ccc}255& 0& 0\\ 0& 255& 255\\ 0& 255& 255\end{array}\right]$

求取C＝A_3×3∧B_3×3，则C为：

$C=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 255& 255\\ 0& 255& 255\end{array}\right]$

对于二值图A_3×3来说相当于一维特征信息，a₁₃是噪点，a₂₂、a₂₃、a₃₂、a₃₃四个灰度值组成目标区域；而对于B_3×3来说相当于另一维特征信息，b₁₁是噪点，b₂₂、b₂₃、b₃₂、b₃₃四个灰度值组成目标区域，从相与运算结果C中可以看出最后滤除了噪点，保留了目标区域。化两维特征为一维特征，完成了属性约简理论的功能也就是去除冗余提高准确度，证明了多维特征矩阵的相与运算可以实现特征级融合检测功能。

四、多维目标检测

为了从理论上验证了对分割后的二值图像采用相与运算的可行性，本发明针对所要检测的目标特性以及背景的特点，结合信息融合的概念，将本发明分割算法得到的红外和微光二值图像相与，滤除各自二值图像中的剩余噪声、背景和虚假目标、提高目标检测的准确性。

如步骤图2，假设微光图像经过改进的最大熵分割后的图像为I_a(x,y)，红外图像经过同样方法分割后的图像为I_b(x,y)，按照下式对它们进行特征级信息融合，提取目标得到最终的检测结果T(x,y)：

T(x,y)＝I_a(x,y)∧I_b(x,y)                       （8）

最后得到的检测结果结合了融合技术的优点，滤除了红外波段图像和微光图像在各自分割当中的一些背景和噪声，提取出目标，如图6所示，提高了再复杂背景和多目标检测中的检测的准确性。

Claims (2)

1.一种改进的二维最大熵分割夜视图像融合目标检测算法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一：在二维直方图的建立方法上进行改进，选择不同的权值λ，λ的取值在（0.01，3）之间改进算法有效，权值λ相当于纵坐标的灰度级伸缩因子，即原图像与区域灰度增强图像构造二维直方图，根据红外和微光图像中目标的灰度特性，如果是对红外图像分割则λ取小于1的值，如果是对微光图像分割则λ取大于1的值；

步骤二：对直方图进行划分，用像素灰度等于t和邻域平均灰度等于s的两个门限来划分图像的二维直方图，直方图划分出的区域以最靠近坐标原点的区域为起始，顺时针方向依次为分别表示背景、噪声、目标信息和边缘信息的区域，图像的灰度级f(m,n)和g(m,n)组成灰度级对，其中g(m,n)是一个像素点为(m,n)的灰度值，用二维直方图区域划分中定义的二元组(i，j)表示，图像中点灰度值为i、邻域灰度均值为j，k(i,j)为在二维直方图中对应的灰度级对的像素点总数，M×N为图像大小，M为行，N为列，L为一幅图像的灰度级数，于是可得图像的联合概率密度为：

$p(i,j)=\frac{k(i,j)}{M\&times;N}i,j=\mathrm{1,2},...,L---\left(1\right)$

定义背景和目标两个区域的二维熵为：

$H_1=\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\&Sigma;}}}(p(i,j)/p_1(t,s))\log (p(i,j)/p_1(t,s))=\log (p_1(t,s)+h_1(t,s)/p_1(t,s)---\left(2\right)$

$H_2=\underset{i=t+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=s+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}(p(i,j)/p_2(t,s))\log (p(i,j)/p_2(t,s))=\log (p_2(t,s)+h_2(t,s)/p_2(t,s)---\left(3\right)$

式中 $p_1(t,s)=\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\&Sigma;}}}p(i,j)$ 为背景区域的概率分布， $p_2(t,s)=\underset{i=t+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=s+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}p(i,j)$ 为目标区域的概率分布，将噪声和边缘信息区域忽略，于是p₁(t,s)+p₂(t,s)＝1，则目标和背景区域的熵为：

$h_1(t,s)=-\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{s}{\mathrm{\&Sigma;}}}p(i,j)\log \left(p(i,j)\right)---\left(4\right)$

$h_2(t,s)=-\underset{i=t+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=s+1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}p(i,j)\log \left(p(i,j)\right)---\left(5\right)$

总的信息熵为目标和背景区域的相加，即

$H(t,s)=\log \left(p_1(t,s)p_2\right(t,s)+\frac{h_1(t,s)}{p_1(t,s)}+\frac{h_2(t,s)}{p_2(t,s)}$

$=\log \left\{p_1(t,s)\right[1-p_1(t,s)\left]\right\}+\frac{h_1(t,s)}{p_1(t,s)}+\frac{h_2(t,s)}{1-p_1(t,s)}---\left(6\right)$

使得H(t,s)获得最大值时的(t^*,s^*)值即为二维最大熵法求得的最佳阈值，(t^*,s^*)分别为最佳阈值对应的像素灰度和邻域平均灰度，最佳阈值向量如下式表示：

${(t^{*},s^{*})}^T=\mathrm{Arg}\underset{1<t<L}{\max }\underset{1<s<L}{\max }\left(H(t,s)\right)---\left(7\right)$

步骤三：对分割后的图像进行提取工作，利用图像之间的相与运算，使得处理结果中比较清楚的目标被提取出来；

步骤四：最后，验证对分割后的二值图像采用相与运算的可行性，设微光图像经过改进的最大熵分割后的图像为I_a(x₁,y₁)，红外图像经过同样方法分割后的图像为I_b(x₂,y₂)，按照下式对它们进行特征级信息融合，提取目标得到最终的检测结果T(x,y)，其中，：x₁为微光图像的行变量y₁为微光图像的列变量x₂为红外图像的行变量y₂为红外图像的列变量x为最终检测结果的行变量y为最终检测结果的列变量，

T(x,y)＝I_a(x₁,y₁)∧I_b(x₂,y₂)                     （8）。

2.根据权利要求1所述的一种改进的二维最大熵分割夜视图像融合目标检测算法，其特征在于：步骤三的具体步骤为：多维特征矩阵相与运算就是将多维特征矩阵按位相与（文中主要是两维特征矩阵），定义两个m×n矩阵A_m×n和B_m×n如下式表示：

$A_{m\&times;n}=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& ...& ...& ...& a_{2n}\\ a_{31}& ...& ...& ...& a_{3n}\\ .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .\\ a_{\mathrm{ml}}& ...& ...& ...& a_{\mathrm{mn}}\end{array}\right]$ $B_{m\&times;n}=\left[\begin{array}{ccccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}& ...& b_{1n}\\ b_{21}& ...& ...& ...& b_{2n}\\ b_{31}& ...& ...& ...& b_{3n}\\ .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .\\ b_{\mathrm{ml}}& ...& ...& ...& b_{\mathrm{mn}}\end{array}\right]$

则两个矩阵按位与运算如下式：

一幅分割后的二值图像可以看成是一个M×N的矩阵，矩阵的元素是由0和255组成。对上式举例分析，假设两个3×3二值图像矩阵A_3×3，B_3×3分别为：

$A_{3\&times;3}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 255\\ 0& 255& 255\\ 0& 255& 255\end{array}\right]$ $B_{3\&times;3}=\left[\begin{array}{ccc}255& 0& 0\\ 0& 255& 255\\ 0& 255& 255\end{array}\right]$

求取C＝A_3×3∧B_3×3，则C为：

$C=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 255& 255\\ 0& 255& 255\end{array}\right]$

对于二值图A_3×3来说相当于一维特征信息，a₁₃是噪点，a₂₂、a₂₃、a₃₂、a₃₃四个灰度值组成目标区域；而对于B_3×3来说相当于另一维特征信息，b₁₁是噪点，b₂₂、b₂₃、b₃₂、b₃₃四个灰度值组成目标区域，从相与运算结果C中可以看出最后滤除了噪点，保留了目标区域。

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