CN106052568A - 丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法，包括以下步骤：步骤1、构建坐标系；步骤2、确定空间斜坐标系与床身的空间直角坐标系的关系；步骤3、采集钢球大圆轮廓数据；步骤4、分析光幕式位移传感器在水平面内的安装误差对测量钢球的影响；步骤5、求光幕式位移传感器在水平面内的安装误差；步骤6、分析光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差对测量钢球的影响；步骤7、求解光幕式位移传感器在竖直平面内安装误差。本发明的方法采用高精度钢球作为基准，不仅提高了精确性还避免了引入钢球的装夹误差；在使用牛顿迭代法求解非线性方程组时选择全局解附近的值作为迭代初值，进一步提高了收敛的速度和解的准确性。

Description

丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法

技术领域

本发明属于滚珠丝杠型面检测领域，特别是一种丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法。

背景技术

滚珠丝杠副是一种在机械传动和精确定位中经常会用到的功能部件。由于加工成型后的滚珠丝杠螺纹曲面几何参数误差对滚珠丝杠的定位精度、摩擦力矩、使用寿命等性能产生较大影响，所以对滚珠丝杠螺纹曲面几何参数的检测具有很大的实际意义。

滚珠丝杠滚道几何参数的测量方法有很多种。传统的检测方法多采用三针法，此方法不仅效率低，而且会引入人为误差。而现代测量过程中多采用位移传感器或光学元器件，例如工业上常用轮廓仪来测量滚道的接触角，此方法通过放大对比也能大概的估计滚道圆弧的半径，但是为定性测量，测量精度依赖测量人员的经验。或者使用接触式测量方法，此方法不仅测量效率低，而且接触应力必然会给测量结果带来一定的影响。基于CCD传感器的机器视觉、二维和三维投影主要受限于CCD的精度和图像处理算法，测量精度目前不能满足高精度要求。

近几年研究最多的是基于激光位移传感器的扫描测量法，此方法测量效率高，精度高，可测量多种几何参数，但加工装配好的测量***中传感器与传感器组成的坐标系往往不是理想的直角坐标系，导致测量的二维或三维图形失真，对测量精度的影响不容忽视。然而，通过研究国内外的技术资料发现，学者们对测量***补偿问题研究最多的是传感器与被测工件之间的偏角对测量结果的影响，没有人从事研究过传感器与传感器之间的角度误差对测量结果的影响，特别对型面检测***而言，传感器与传感器组成的坐标系为斜坐标时会导致图形失真，此影响比前者的影响更大。

专利号(200910029189.6)的中国专利公开了滚珠丝杠螺旋滚道综合误差自动检测方法及其装置。此装置中光栅尺和光幕式位移传感器对待测滚珠丝杠螺旋滚道的法向截形曲线上各点的轴向位置和径向位置进行采样，但光栅尺测量方向与光幕式位移传感器的测量方向不是直角关系，再者光幕式位移传感器的激光发射方向和光栅尺测量方向也不是直角关系，这样组成的平面坐标系不是直角坐标系而是斜坐标系，在斜坐标系下采集的数据直接放到直角坐标系下处理会导致采集的轮廓失真。

目前，上述滚珠丝杠螺旋滚道综合误差自动检测装置使用时由于传感器的安装误差所导致轮廓失真现象尚无很好的解决办法。针对此不足使用高精度钢球作为基准，通过滚珠丝杠螺旋滚道综合误差自动检测装置采集钢球的大圆轮廓数据，寻求大圆轮廓数据的失真度与安装误差之间的关系能准确的求取传感器的安装误差，但是现有技术中尚无相关研究。

发明内容

本发明的目的在于提供一种丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法。

本发明为解决上述问题采取的技术方案是：一种丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法，包括以下步骤：

步骤1、构建坐标系，具体是构建床身的空间直角坐标系和位移传感器***组成的空间斜坐标系；具体为：

步骤1-1、构建床身的空间直角坐标系，床身的空间直角坐标系为o-x₀y₀z₀，其中x₀轴沿床身的长度方向，与丝杠轴向平行，y₀轴在竖直平面内与x₀轴垂直，且方向向上，z₀轴在水平面内与平面ox₀y₀垂直，且与x₀轴和y₀轴组成的空间直角坐标系遵循右手法则；

步骤1-2、构建位移传感器***组成的空间斜坐标系，该斜坐标系o-x_sy_sz_s中，x_s轴为光栅尺的测量方向，y_s轴为光幕式位移传感器的测量方向，z_s轴沿光幕式激光位移传感器的激光发射方向，且z_s轴能绕y_s轴旋转。

步骤2、确定位移传感器***组成的空间斜坐标系与床身的空间直角坐标系的关系，并确定需要补偿的误差为：光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差和光幕式位移传感器在水平面内的安装误差；

确定位移传感器***组成的空间斜坐标系与床身的空间直角坐标系的关系为：

空间轴x_s与空间轴x₀的关系通过偏角α_y和α_z确定，即空间轴x_s绕y₀轴旋转角度α_y，再绕z₀轴旋转角度α_z就能变换到x₀轴，其中α_y为空间轴x_s与平面ox₀y₀之间的夹角，α_z为空间轴x_s与平面ox₀z₀之间的夹角；同样，空间轴y_s绕x₀轴旋转角度β_x，再绕z₀轴旋转角度β_z可变换到y₀轴，其中β_x为空间轴y_s与平面ox₀y₀之间的夹角，β_z为空间轴y_s与平面oy₀z₀之间的夹角；空间轴z_s绕x₀轴旋转角度γ_x，再绕y₀轴旋转角度γ_z可变换到z₀轴，其中γ_x为空间轴z_s与平面ox₀z₀之间的夹角，γ_z为空间轴z_s与平面oy₀z₀之间的夹角；

假设1：光栅尺的长度很长，安装精度能够保证，则x_s与x₀视为重合，即α_y＝0，α_z＝0；

假设2：光幕式激光位移传感器的测量方向与激光发射方向垂直，即β_x＝γ_x，又β_x和γ_x对测量轴类零件没有影响，所以认为β_x＝γ_x＝0；

根据假设1和假设2可知，位移传感器***组成的空间斜坐标系与床身的空间直角坐标系的关系可由2个偏角确定，即β_z和γ_z，β_z为光幕式位移传感器在竖直面内的安装误差，γ_z为光幕式位移传感器在水平面内的安装误差。

步骤3、使用丝杠型面检测***采集钢球大圆轮廓数据，构建圆的最小二乘拟合方程，并求解得出钢球大圆轮廓的圆心和半径；具体为：

步骤3-1、构建圆的最小二乘拟合方程为：

$f(x_c,y_c,r)={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\[{(x_{si}-x_c)}^2+{(y_{si}-y_c)}^2-r^2\]}^2$

式中(x_si,y_si)为目标***采集的钢球大圆轮廓数据，i＝1,2,…n，(x_c,y_c)为拟合圆心，r为拟合半径，n为采集的数量；

步骤3-2、对步骤3-1中的方程求偏导得方程组为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{x}_{si}\[{\left(x_{si}-x_c\right)}^2+{\left(y_{si}-y_c\right)}^2-r^2\]=0\\ {\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{y}_{si}\[{\left(x_{si}-x_c\right)}^2+{\left(y_{si}-y_c\right)}^2-r^2\]=0\\ {\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\left(x_{si}-x_c\right)}^2+{\left(y_{si}-y_c\right)}^2-r^2=0\end{array}\right.$

步骤3-3、对步骤3-2中的方程组求解，结果为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_c=\frac{m_1-m_2}{(2a_1^2/n-2a_2)(2b_1^2/n-2b_2)-{(2a_1{b}_1/n-2c_{11})}^2}\\ y_c=\frac{m_3-m_4}{(2a_1^2/n-2a_2)(2b_1^2/n-2b_2)-{(2a_1{b}_1/n-2c_{11})}^2}\\ r=\sqrt{|(a_2+b_2-2a_1{x}_c-2b_1{y}_c)/n+x_c^2+y_c^2|}\end{array}\right.$

式中，中间变量m₁、m₂、m₃和m₄的计算式如下所示：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1=(2a_1{b}_1/n-2c_{11})\[b_3+c_{21}-b_1(a_2+b_2)/n\]\\ m_2=(2b_1^2/n-2b_2)\[a_3+c_{12}-a_1(a_2+b_2)/n\]\\ m_3=(2a_1{b}_1/n-2c_{11})\[a_3+c_{12}-a_1(a_2+b_2)/n\]\\ m_4=(2a_1^2/n-2a_2)\[b_3+c_{21}-b_1(a_2+b_2)/n\]\end{array}\right.$

$a_1={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{x}_{si},a_2={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{x}_{si}^2,a_3={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{x}_{si}^3,$

$b_1={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{y}_{si},b_2={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{y}_{si}^2,b_3={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{y}_{si}^3,$

$c_{11}={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{x}_{si}{y}_{si},c_{12}={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{x}_{si}{y}_{si}^2,c_{21}={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{x}_{si}^2{y}_{si}.$

步骤4、分析光幕式位移传感器在水平面内的安装误差对测量钢球的影响；具体为：

步骤4-1、构建圆在直角坐标系ox₀y₀中的标准方程：

(x₀-x'_c)²+(y₀-y'_c)²＝r²

式中(x'_c,y'_c)为圆的圆心，r为半径；

步骤4-2、光幕式位移传感器的激光发射方向与光栅尺的测量轴组成的坐标系为斜坐标系，将斜坐标系下的采集的点转换到直角坐标系下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=x_s/cos{\mathrm{\γ}}_z\\ y_0=y_s\end{array}\right.$

则直角坐标系下的点转换到斜坐标下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_s=x_{0}cos{\mathrm{\γ}}_z\\ y_s=y_0\end{array}\right.$

γ_z＝(90°-∠x_soz_s)为光幕式位移传感器在水平面内的安装误差；

步骤4-3、将公式代入步骤4-1中构建圆的标准方程中会得到椭圆方程：

${\left(\frac{x_0-x_c^{\′}/{\mathrm{cos\γ}}_z}{r/{\mathrm{cos\γ}}_z}\right)}^2+{\left(\frac{y_0-y_c^{\′}}{r}\right)}^2=1$

由此可知，若将斜坐标系下采样的钢球大圆数据直接放到直角坐标系下圆则会变成椭圆，椭圆的长轴与x₀平行，若使用圆的拟合方程来拟合椭圆，则会导致拟合的半径偏大，且与γ_z的正负无关。

步骤5、根据步骤4的结论和步骤3的方法，利用对称作图法求光幕式位移传感器在水平面内的安装误差；具体为：

步骤5-1、以z_s轴的当前位置为零点位置；

步骤5-2、顺时针旋转z_s轴步长为λ大小的角度，此时顺时针为正，逆时针为负，角度λ的大小根据需要的精度来确定；

步骤5-3、选择直径为9.525mm的钢球，执行步骤3求取拟合半径值；

步骤5-4、重复步骤5-2和步骤5-3m次，m的大小根据λ确定，λ越小则m越大；

步骤5-5、让z_s轴回复到零点位置，以相同的步距逆时针旋转角λ，同样重复步骤5-2和步骤5-3m次，并做出钢球拟合直径值随旋转角度变化的曲线图，曲线关于实际的零点位置对称，则曲线的最低点的横坐标就为γ_z的值；

步骤5-6、求得γ_z后将z_s轴的零点位置设置为γ_z的位置，增大步距角λ并调整m重复步骤5-1—步骤5-6，之后判断使用对称作图法作出的曲线是否关于零点对称，若不对称则减少步距角λ且调整重复次数m重复步骤5-1—步骤5-6，若对称则结束。

步骤6、分析光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差对测量钢球的影响；具体为：

步骤6-1、构建圆在直角坐标系ox₀y₀中的标准方程：

(x₀-x'_c)²+(y₀-y'_c)²＝r²

式中(x'_c,y'_c)为圆的圆心，r为半径；

步骤6-2、光幕式位移传感器的测量轴与光栅尺的测量轴组成的坐标系为斜坐标系，将斜坐标下的点转换到直角坐标系下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=x_s+y_{s}sin{\mathrm{\β}}_z\\ y_0=y_s{\mathrm{cos\β}}_z\end{array}\right.$

则直角坐标系下的点转换到斜坐标下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_s=x_0-y_{0}tan{\mathrm{\β}}_z\\ y_s=y_0/{\mathrm{cos\β}}_z\end{array}\right.$

式中(x₀,y₀)为直角坐标系ox₀y₀中的点，(x_s,y_s)为斜坐标系ox_sy_s中的点，

β_z＝(90°-∠x_soy_s)为光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差，此时顺时针为正；

步骤6-3、将上述公式代入步骤6-1中构建圆的标准方程中，得到椭圆方程：

${(x_0-y_0{\mathrm{tan\β}}_z-x_c^{\′})}^2+{(\frac{y_0}{{\mathrm{cos\β}}_z}-y_c^{\′})}^2=r^2$

由此可知若将斜坐标系下采样的钢球大圆数据直接放到直角坐标系下圆则会变成椭圆，且式中含有x₀和y₀的交叉项，所以椭圆的长轴与x₀之间成一个非90°的夹角。

步骤7、根据步骤6中光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差对测量钢球的影响，来构建求解光幕式位移传感器在竖直平面内安装误差的最小二乘法拟合方程，结合步骤3采用牛顿迭代算法求解光幕式位移传感器在竖直平面内安装误差。求解光幕式位移传感器在竖直平面内安装误差具体为：

步骤7-1、结合步骤3-1中构建的圆的最小二乘拟合方程与步骤6-2中构建的斜坐标系到直角坐标系转换的公式，构建的最小二乘法拟合方程为：

$f(x_c,y_c,r,{\mathrm{\β}}_z)={\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\[{(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\β}}_z-x_c)}^2+{(y_{si}{\mathrm{cos\β}}_z-y_c)}^2-r^2\]}^2$

式中(x_si,y_si)为目标***采集的钢球大圆轮廓数据，i＝1,2,…n；

步骤7-2、对步骤7-1中的方程求偏导得方程组为：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{x_c}^{\′}={\Σ}_{i=1}^n(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\β}}_z)\[{(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\β}}_z-x_c)}^2+{(y_{si}{\mathrm{cos\β}}_z-y_c)}^2-r^2\]=0\\ f_{y_c}^{\′}={\Σ}_{i=1}^n\left(y_{si}{\mathrm{cos\β}}_z\right)\[{(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\β}}_z-x_c)}^2+{(y_{si}{\mathrm{cos\β}}_z-y_c)}^2-r^2\]=0\\ f_r^{\′}={\Σ}_{i=1}^n{(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\β}}_z-x_c)}^2+{(y_{si}{\mathrm{cos\β}}_z-y_c)}^2-r^2=0\\ f_{{\mathrm{\β}}_z}^{\′}={\Σ}_{i=1}^n(y_{si}{x}_{si}{\mathrm{cos\β}}_z-x_c{y}_{si}{\mathrm{cos\β}}_z+y_c{y}_{si}{\mathrm{sin\β}}_z)\[{(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\β}}_z-x_c)}^2+{(y_{si}{\mathrm{cos\β}}_z-y_c)}^2-r^2\]=0\end{array}\right.$

步骤7-3、执行步骤3，并将求解的圆心坐标和半径作为牛顿迭代算法的初值对步骤7-2的方程组进行求解，牛顿迭代算法的公式为：

Q_k＝Q_k-1-B^-1F

式中为第k次迭代的解，为雅可比矩阵，B^-1为B的逆矩阵，其中为步骤7-2中的方程组，使用步骤3中的解作为牛顿迭代法的初值：收敛条件为||Q_k-Q_k-1||₂<δ，δ取值依据所要求的精度来定，k∈(1,2,...t)当迭代次数k大于t时结束迭代，其中为光幕式位移传感器在竖直平面内安装误差。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：1)本发明的方法除了测量***自带传感器求取安装自身的安装误差，不需要额外的传感器；2)本发明的方法使用高精度钢球作为基准，来反求安装误差，不需要复杂辅助夹具，具有精度高、方便简单的特点；3)本发明的方法利用安装误差对测量钢球的影响，使用对称作图法不仅能有效的求取光幕式位移传感器在水平面内的安装误差，且还能人为的控制精度；4)本发明的方法使用牛顿迭代法求取光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差不仅效率高，精度也高。

下面结合附图对本发明做近一步详细的描述。

附图说明

图1为床身直角坐标系和位移传感器***组成的空间斜坐标系之间的关系图。

图2为本发明的实验装置简易结构图。

图3为本发明使用对称作图法求γ_z的曲线图。

图4为本发明多次补偿γ_z后在采用对称作图法求γ_z的曲线图。

图5为本发明补偿β_z之前丝杠滚道的测结果。

图6为本发明补偿β_z之后丝杠滚道的测量结果。

具体实施方式

本发明是针对专利号为200910029189.6中滚珠丝杠螺旋滚道综合误差自动检测方法的改进，其应用对象为滚珠丝杠螺旋滚道综合误差自动检测装置。本发明的一种丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法，包括以下步骤：

步骤1、构建坐标系，具体为床身的空间直角坐标系和位移传感器***组成的空间斜坐标系；

床身的空间直角坐标系为o-x₀y₀z₀，其中x₀轴沿床身的长度方向，与丝杠轴向平行，y₀轴在竖直平面内与x₀轴垂直，且方向向上。z₀轴在水平面内与平面ox₀y₀垂直，且与x₀轴和y₀轴组成的空间直角坐标系遵循右手法则。

位移传感器***的组成的坐标系为空间斜坐标系o-x_sy_sz_s。其中x_s轴为光栅尺的测量方向，y_s轴为光幕式位移传感器的测量方向，z_s轴沿光幕式激光位移传感器的激光发射方向，且z_s轴能绕y_s轴旋转，调整∠x_soz_s的大小。

光栅尺和光幕式位移传感器对待测滚珠丝杠螺旋滚道的法向截形曲线上各点的轴向位置和径向位置进行采样。但由于安装误差位移传感器***的组成的坐标系为空间斜坐标系，斜坐标系下采集的数据放到直角坐标系下会使采集的曲线失真，所以先要将斜坐标系下的数据转化到直角坐标系下才能进行后续的数据处理，这就需要寻求方法求取传感器的安装误差。

步骤2、构建位移传感器***组成的空间斜坐标系与床身的空间直角坐标系的关系，并确定需要补偿的误差为：光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差和光幕式位移传感器在水平面内的安装误差；

空间轴x_s与空间轴x₀的关系通过偏角α_y和α_z确定，即空间轴x_s绕y₀轴旋转角度α_y，再绕z₀轴旋转角度α_z就能变换到x₀轴，其中α_y为空间轴x_s与平面ox₀y₀之间的夹角，α_z为空间轴x_s与平面ox₀z₀之间的夹角；同样，空间轴y_s绕x₀轴旋转角度β_x，再绕z₀轴旋转角度β_z可变换到y₀轴，其中β_x为空间轴y_s与平面ox₀y₀之间的夹角，β_z为空间轴y_s与平面oy₀z₀之间的夹角；空间轴z_s绕x₀轴旋转角度γ_x，再绕y₀轴旋转角度γ_z可变换到z₀轴，其中γ_x为空间轴z_s与平面ox₀z₀之间的夹角，γ_z为空间轴z_s与平面oy₀z₀之间的夹角；

假设1：光栅尺的长度很长，安装精度能够保证，则x_s与x₀视为重合，即α_y＝0，α_z＝0。

假设2：光幕式激光位移传感器的测量方向与激光发射方向垂直，即β_x＝γ_x，又β_x和γ_x对测量轴类零件没有影响，所以认为β_x＝γ_x＝0。

根据假设1和假设2可知，位移传感器***组成的空间斜坐标系与床身的空间直角坐标系的关系可由2个偏角确定，即β_z和γ_z。β_z为光幕式位移传感器在竖直面内的安装误差，γ_z为光幕式位移传感器在水平面内的安装误差。

步骤3、使用丝杠型面检测***采集钢球大圆轮廓数据，构建圆的最小二乘拟合方程，并求解；

构建圆的最小二乘拟合方程为：

$f(x_c,y_c,r)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{\&lsqb;{(x_{si}-x_c)}^2+{(y_{si}-y_c)}^2-r^2\&rsqb;}^2---\left(1\right)$

式中(x_si,y_si)为目标***采集的钢球大圆轮廓数据，i＝1,2,…n，(x_c,y_c)为拟合圆心，r为拟合半径。

对式(1)中的方程求偏导得方程组为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}\&lsqb;{(x_{si}-x_c)}^2+{(y_{si}-y_c)}^2-r^2\&rsqb;=0\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{y}_{si}\&lsqb;{(x_{si}-x_c)}^2+{(y_{si}-y_c)}^2-r^2\&rsqb;=0\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{(x_{si}-x_c)}^2+{(y_{si}-y_c)}^2-r^2=0\end{array}\right.---\left(2\right)$

对公式(2)求解的结果为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_c=\frac{m_1-m_2}{(2a_1^2/n-2a_2)(2b_1^2/n-2b_2)-{(2a_1{b}_1/n-2c_{11})}^2}\\ y_c=\frac{m_3-m_4}{(2a_1^2/n-2a_2)(2b_1^2/n-2b_2)-{(2a_1{b}_1/n-2c_{11})}^2}\\ r=\sqrt{|(a_2+b_2-2a_1{x}_c-2b_1{y}_c)/n+x_c^2+y_c^2|}\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，n为采集数据点的个数，中间变量m₁、m₂、m₃和m₄的计算式如下所示：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1=(2a_1{b}_1/n-2c_{11})\&lsqb;b_3+c_{21}-b_1(a_2+b_2)/n\&rsqb;\\ m_2=(2b_1^2/n-2b_2)\&lsqb;a_3+c_{12}-a_1(a_2+b_2)/n\&rsqb;\\ m_3=(2a_1{b}_1/n-2c_{11})\&lsqb;a_3+c_{12}-a_1(a_2+b_2)/n\&rsqb;\\ m_4=(2a_1^2/n-2a_2)\&lsqb;b_3+c_{21}-b_1(a_2+b_2)/n\&rsqb;\end{array}\right.$

$a_1={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si},a_2={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}^2,a_3={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}^3,$

$b_1={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{y}_{si},b_2={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{y}_{si}^2,b_3={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{y}_{si}^3,$

$c_{11}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}{y}_{si},c_{12}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}{y}_{si}^2,c_{21}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}^2{y}_{si}$

因为补偿算法以钢球为基准，所以上述钢球一般采用高精度且直径较大的钢球，例如直径为9.525mm，圆度为0.2um的钢球。

步骤4、先分析光幕式位移传感器在水平面内的安装误差对测量钢球的影响；

由于补偿算法基于高精度钢球，所以先构建钢球在直角坐标系ox₀y₀中投影圆的标准方程：

(x₀-x'_c)²+(y₀-y'_c)²＝r² (4)

式中(x'_c,y'_c)为圆的圆心，r为半径；

由于光幕式位移传感器在水平面内存在安装误差，所以光幕式位移传感器的激光发射方向与光栅尺的测量轴组成的坐标系为斜坐标系，将斜坐标系下的采集的点转换到直角坐标系下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=x_s/{\mathrm{cos\&gamma;}}_z\\ y_0=y_s\end{array}\right.---\left(5\right)$

则直角坐标系下的点转换到斜坐标下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_s=x_0{\mathrm{cos\&gamma;}}_z\\ y_s=y_0\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中没有出现ox_sz_s坐标系下的点是因为z轴为光幕式位移传感器的激光发射方向，而不是测量轴，所以通过旋转x_s轴使x_s轴与z_s轴垂直，γ_z＝(90°-∠x_soz_s)为光幕式位移传感器在水平面内的安装误差。

将斜坐标系下采样的钢球大圆数据直接放到直角坐标系下相当于将公式(6)代入公式(4)中圆会变成到椭圆：

${\left(\frac{x_0-x_c^{\&prime;}/{\mathrm{cos\&gamma;}}_z}{r/{\mathrm{cos\&gamma;}}_z}\right)}^2+{\left(\frac{y_0-y_c^{\&prime;}}{r}\right)}^2=1---\left(7\right)$

根据公式可知，椭圆的长轴与x₀平行，若使用圆的拟合方程来拟合椭圆，则会导致拟合的半径偏大，拟合半径与1/cosγ_z成正比，且与γ_z的正负无关，根据此特性可以求出γ_z的大小。

步骤5、根据光幕式位移传感器在水平面内的安装误差对测量钢球的影响，结合步骤3利用对称作图法求光幕式位移传感器在水平面内的安装误差。

利用对称作图法求光幕式位移传感器在水平面内的安装误差具体为：

①以z_s轴的当前位置为零点位置；

②顺时针旋转z_s轴步长为λ大小的角度(顺时针为正，逆时针为负，角度的大小根据需要的精度来确定)；

③选择直径较大的钢球，获取钢球大圆轮廓数据使用公式(1)-(3)求取拟合的半径值；

④重复②和③m次，m的大小根据λ确定，λ越小m应越大；

⑤让z_s轴回复到零点位置，以相同的步距逆时针旋转角λ，同样重复②和③m次，并做出钢球拟合直径值随旋转角度变化的曲线图，曲线关于实际的零点位置对称，则曲线的最低点的横坐标就为γ_z的值；

⑥初求得γ_z后将z_s轴的零点位置调整为η的位置，若想确定是否结束，则增大步距角λ调整m重复试验①—⑥看作出的曲线是否对称，若不对称则减少步距角λ且调整重复次数m重复试验①—⑥，若对称则结束。

步骤6、再分析光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差对测量钢球的影响。

由于光幕式位移传感器在竖直平面内存在安装误差，所以光幕式位移传感器的测量轴与光栅尺的测量轴组成的坐标系为斜坐标系，将斜坐标下的点转换到直角坐标系下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=x_s+y_s{\mathrm{sin\&beta;}}_z\\ y_0=y_s{\mathrm{cos\&beta;}}_z\end{array}\right.---\left(8\right)$

则直角坐标系下的点转换到斜坐标下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_s=x_0-y_0{\mathrm{tan\&beta;}}_z\\ y_s=y_0/{\mathrm{cos\&beta;}}_z\end{array}\right.---\left(9\right)$

式中(x₀,y₀)为直角坐标系ox₀y₀中的点，(x_s,y_s)为斜坐标系ox_sy_s中的点，β_z＝(90°-∠x_soy_s)为光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差，此时顺时针为正。

将斜坐标系下采样的钢球大圆数据直接放到直角坐标系下相当于将公式(9)代入公式(4)中圆会变成到椭圆：

${(x_0-y_0{\mathrm{tan\&beta;}}_z-x_c^{\&prime;})}^2+{(\frac{y_0}{{\mathrm{cos\&beta;}}_z}-y_c^{\&prime;})}^2=r^2---\left(10\right)$

式中含有x₀和y₀的交叉项，所以椭圆的长轴与x₀之间成一个非90°的夹角。由此可知，如果将椭圆下半部分平分为左右圆弧，分别使用圆的最小二乘法拟合公式拟合左右圆弧，则拟合的半径一个偏大一个偏小，这就是在测量双圆弧丝杠时出现不对称现象的原因。

步骤7、根据步骤6中光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差对测量钢球的影响，来构建求解光幕式位移传感器在竖直平面内安装误差的最小二乘法拟合方程，结合步骤3采用牛顿迭代算法求解。

在对采集的钢球大圆轮廓数据进行拟合之前需要先将数据转换到直角坐标系下，所以将公式(8)代入公式(1)中得到的最小二乘法拟合方程为：

$f(x_c,y_c,r,{\mathrm{\&beta;}}_z)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{\&lsqb;{(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z-x_c)}^2+{(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-y_c)}^2-r^2\&rsqb;}^2---\left(11\right)$

式中(x_si,y_si)为目标***采集的钢球大圆轮廓数据，i＝1,2,…n，。

若钢球的圆度足够高，忽略传感器的随机误差则可以利用公式(11)来反求β_z，对公式(11)中的未知量分别求偏导得方程组为：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{x_c}^{\&prime;}={\&Sigma;}_{i=1}^n(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z)\&lsqb;{(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z-x_c)}^2+{(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-y_c)}^2-r^2\&rsqb;=0\\ f_{y_c}^{\&prime;}={\&Sigma;}_{i=1}^n\left(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z\right)\&lsqb;{(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z-x_c)}^2+{(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-y_c)}^2-r^2\&rsqb;=0\\ f_r^{\&prime;}={\&Sigma;}_{i=1}^n{(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z-x_c)}^2+{(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-y_c)}^2-r^2=0\\ f_{{\mathrm{\&beta;}}_z}^{\&prime;}={\&Sigma;}_{i=1}^n(y_{si}{x}_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-x_c{y}_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z+y_c{y}_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z)\&lsqb;{(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z-x_c)}^2+{(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-y_c)}^2-r^2\&rsqb;=0\end{array}\right.---\left(12\right)$

使用公式(1)-公式(3)求解的圆心坐标和半径作为牛顿迭代算法的初值对方程组(12)进行求解，牛顿迭代算法的公式为：

Q_k＝Q_k-1-B^-1F (13)

式中为第k此迭代的解，为雅可比矩阵，B^-1为B的逆矩阵，其中为方程组(12)。由于牛顿迭代法是局部收敛算法，要想收敛到全局解，需要选择适当的初值，所以使用公式(1)-公式(3)的解作为牛顿迭代法的初值：收敛条件为||Q_k-Q_k-1||₂<δ，δ取值依据所要求的精度来定，k∈(1,2,...t)当迭代次数k大于t时结束迭代。

本发明的方法采用高精度钢球作为基准，不仅提高了精确性还避免了引入钢球的装夹误差；在使用牛顿迭代法求解非线性方程组时选择全局解附近的值作为迭代初值，进一步提高了收敛的速度和解的准确性。

下面结合实施例对本发明做进一步详细的描述。

实施例

丝杠型面检测***对钢球实施测量的过程根据说明书附图中图2来进行说明,首先旋转手轮5调整手轮到零点位置，然后将钢球用小磁铁或其他简易辅助装置悬在光幕式位移传感器4的光幕面的右边，钢球与大理石床身1固连且静止不动，在驱动气浮平台3从左至右移动的过程中，每次光幕面与钢球的相交曲线的最低点则为采集的一个数据点，光幕式位移传感器4测量y坐标值，光栅尺6测量x坐标值，气浮平台3从左至右则会采集钢球大圆轮廓下半部分数据。

用于求取光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差β_z和光幕式位移传感器在水平面内的安装误差γ_z的钢球参数为：钢球直径：9.525mm，圆度为0.2um。

首先利用对称作图法求取光幕式位移传感器在水平面内的安装误差γ_z的方法如下：

①调整手轮5到零点位置；

②顺时针旋转说明书附图中图2中的手轮5，旋转的角度大小为10′；

③使用公式(1)-(3)求取钢球的半径值；

④重复②和③10次；

⑤旋转手轮5回复到零点位置，以相同的步距10′逆时针旋转手轮5，同样重复②和③10次，并做出钢球拟合直径值随旋转角度变化的曲线图，明书附图中图3所示，曲线关于γ_z位置对称，即曲线的最低点的横坐标就为γ_z的值，根据曲线图初步定位γ_z≈-0.75°；

⑥将手轮5的零点位置设置为γ_z≈-0.75°的位置，若想确定是否结束，则增大步距角重复试验①—⑥看作出的曲线是否对称，若不对称则减少步距角且调整重复次数重复试验①—⑥，若对称则结束。

说明书附图中图4是多次使用对称作图法重新设置零点位置后的结果图，为方便比较将逆时针旋转的测量结果关于零点位置对称到右边，可以看出，两条曲线基本重合。说明此时γ_z≈0°。

明书附图中图2中双圆弧滚珠丝杠2的滚道设计参数如下：

滚道圆弧半径r_L＝r_R＝3.429mm，滚珠与圆弧滚道的接触角α_L＝α_R＝45°，偏心距e_L＝e_R＝0.18mm，偏心高h_L＝h_R＝0.18mm。

同样的方式获取钢球的大圆轮廓数据，将其代入公式(11)-(13)中，求出偏角β_z＝0.147°，其中牛顿迭代法的收敛精度δ＝0.00000001，收敛时的迭代次数k＝3，迭代次数的限制为t＝10次。由收敛精度和迭代次数可知补偿算法不仅效率高，精度也高。

说明书附图中图2的气浮移动平台3沿丝杠2的轴向方向移动，光栅尺6获取丝杠法向截面上轮廓曲线的x坐标值，光幕式位移传感器获取丝杠法向截面轮廓曲线的y坐标值。获取丝杠滚道轮廓数据，分离左右圆弧数据，使用公式(1)～(3)拟合求出左右圆弧的圆心坐标和半径值。说明书附图中图5是补偿β_z之前使用滚珠丝杠型面测量装置检测丝杠所得的结果：

滚道圆弧半径r_L＝3.4520mm，r_R＝3.4282mm，滚珠与圆弧滚道的接触角α_L＝45°.28′，α_R＝47°.00′，偏心距e_L＝0.1974mm，e_R＝0.1852mm，偏心高h_L＝0.1942mm，h_R＝0.1726mm。

说明书附图中图6是补偿β_z之后使用滚珠丝杠型面测量装置测丝杠所得的结果：

滚道圆弧半径r_L＝3.4395mm，r_R＝3.4410mm，滚珠与圆弧滚道的接触角α_L＝45°.59′，α_R＝46°.25′，偏心距e_L＝0.1916mm，e_R＝0.1909mm，偏心高h_L＝0.1824mm，h_R＝0.185mm。

对比说明书附图中图5和图6可知，在误差补偿之前测得的丝杠滚道左半径值比右半径值偏大，这是由于β_z的影响，在补偿β_z后，测量丝杠相同滚道左右半径值的差不到2um，其测量结果能精确的反映加工误差。

由上可知，对比补偿前后的实验数据可知两种方法能高效且准确的求取安装误差，在补偿光幕式位移传感器的安装误差后，丝杠型面检测***能准确的测量丝杠滚道型面的参数。

Claims (8)

1.一种丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、构建坐标系，具体是构建床身的空间直角坐标系和位移传感器***组成的空间斜坐标系；

步骤2、确定位移传感器***组成的空间斜坐标系与床身的空间直角坐标系的关系，并确定需要补偿的误差为：光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差和光幕式位移传感器在水平面内的安装误差；

步骤3、使用丝杠型面检测***采集钢球大圆轮廓数据，构建圆的最小二乘拟合方程，并求解得出钢球大圆轮廓的圆心和半径；

步骤4、分析光幕式位移传感器在水平面内的安装误差对测量钢球的影响；

步骤5、根据步骤4的结论和步骤3的方法，利用对称作图法求光幕式位移传感器在水平面内的安装误差；

步骤6、分析光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差对测量钢球的影响；

步骤7、根据步骤6中光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差对测量钢球的影响，来构建求解光幕式位移传感器在竖直平面内安装误差的最小二乘法拟合方程，结合步骤3采用牛顿迭代算法求解光幕式位移传感器在竖直平面内安装误差。

2.根据权利要求1所述的丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法，其特征在于，步骤1中构建床身的空间直角坐标系和位移传感器***组成的空间斜坐标系具体为：

步骤1-1、构建床身的空间直角坐标系，床身的空间直角坐标系为o-x₀y₀z₀，其中x₀轴沿床身的长度方向，与丝杠轴向平行，y₀轴在竖直平面内与x₀轴垂直，且方向向上，z₀轴在水平面内与平面ox₀y₀垂直，且与x₀轴和y₀轴组成的空间直角坐标系遵循右手法则；

步骤1-2、构建位移传感器***组成的空间斜坐标系，该斜坐标系o-x_sy_sz_s中，x_s轴为光栅尺的测量方向，y_s轴为光幕式位移传感器的测量方向，z_s轴沿光幕式激光位移传感器的激光发射方向，且z_s轴能绕y_s轴旋转。

3.根据权利要求1所述的丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法，其特征在于，步骤2中确定位移传感器***组成的空间斜坐标系与床身的空间直角坐标系的关系为：

空间轴x_s与空间轴x₀的关系通过偏角α_y和α_z确定，即空间轴x_s绕y₀轴旋转角度α_y，再绕z₀轴旋转角度α_z就能变换到x₀轴，其中α_y为空间轴x_s与平面ox₀y₀之间的夹角，α_z为空间轴x_s与平面ox₀z₀之间的夹角；同样，空间轴y_s绕x₀轴旋转角度β_x，再绕z₀轴旋转角度β_z可变换到y₀轴，其中β_x为空间轴y_s与平面ox₀y₀之间的夹角，β_z为空间轴y_s与平面oy₀z₀之间的夹角；空间轴z_s绕x₀轴旋转角度γ_x，再绕y₀轴旋转角度γ_z可变换到z₀轴，其中γ_x为空间轴z_s与平面ox₀z₀之间的夹角，γ_z为空间轴z_s与平面oy₀z₀之间的夹角；

假设1：光栅尺的长度很长，安装精度能够保证，则x_s与x₀视为重合，即α_y＝0，α_z＝0；

假设2：光幕式激光位移传感器的测量方向与激光发射方向垂直，即β_x＝γ_x，又β_x和γ_x对测量轴类零件没有影响，所以认为β_x＝γ_x＝0；

根据假设1和假设2可知，位移传感器***组成的空间斜坐标系与床身的空间直角坐标系的关系可由2个偏角确定，即β_z和γ_z，β_z为光幕式位移传感器在竖直面内的安装误差，γ_z为光幕式位移传感器在水平面内的安装误差。

4.根据权利要求1所述的丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法，其特征在于，步骤3使用丝杠型面检测***采集钢球大圆轮廓数据，构建圆的最小二乘拟合方程，并求解得出钢球大圆轮廓的圆心和半径具体为：

步骤3-1、构建圆的最小二乘拟合方程为：

$f(x_c,y_c,r)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{\&lsqb;{(x_{si}-x_c)}^2+{(y_{si}-y_c)}^2-r^2\&rsqb;}^2$

式中(x_si,y_si)为目标***采集的钢球大圆轮廓数据，i＝1,2,…n，(x_c,y_c)为拟合圆心，r为拟合半径，n为采集的数量；

步骤3-2、对步骤3-1中的方程求偏导得方程组为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}\&lsqb;{(x_{si}-x_c)}^2+{(y_{si}-y_c)}^2-r^2\&rsqb;=0\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{y}_{si}\&lsqb;{(x_{si}-x_c)}^2+{(y_{si}-y_c)}^2-r^2\&rsqb;=0\\ {\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{(x_{si}-x_c)}^2+{(y_{si}-y_c)}^2-r^2=0\end{array}\right.$

步骤3-3、对步骤3-2中的方程组求解，结果为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_c=\frac{m_1-m_2}{(2a_1^2/n-2a_2)(2b_1^2/n-2b_2)-{(2a_1{b}_1/n-2c_{11})}^2}\\ y_c=\frac{m_3-m_4}{(2a_1^2/n-2a_2)(2b_1^2/n-2b_2)-{(2a_1{b}_1/n-2c_{11})}^2}\\ r=\sqrt{|(a_2+b_2-2a_1{x}_c-2b_1{y}_c)/n+x_c^2+y_c^2|}\end{array}\right.$

式中，中间变量m₁、m₂、m₃和m₄的计算式如下所示：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1=(2a_1{b}_1/n-2c_{11})\&lsqb;b_3+c_{21}-b_1(a_2+b_2)/n\&rsqb;\\ m_2=(2b_1^2/n-2b_2)\&lsqb;a_3+c_{12}-a_1(a_2+b_2)/n\&rsqb;\\ m_3=(2a_1{b}_1/n-2c_{11})\&lsqb;a_3+c_{12}-a_1(a_2+b_2)/n\&rsqb;\\ m_4=(2a_1^2/n-2a_2)\&lsqb;b_3+c_{21}-b_1(a_2+b_2)/n\&rsqb;\end{array}\right.$

$a_1={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si},a_2={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}^2,a_3={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}^3,$

$b_1={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{y}_{si},b_2={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{y}_{si}^2,b_3={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{y}_{si}^3,$

$c_{11}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}{y}_{si},c_{12}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}{y}_{si}^2,c_{21}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{x}_{si}^2{y}_{si}.$

5.根据权利要求1所述的丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法，其特征在于，步骤4分析光幕式位移传感器在水平面内的安装误差对测量钢球的影响，具体为：

步骤4-1、构建圆在直角坐标系ox₀y₀中的标准方程：

(x₀-x'_c)²+(y₀-y'_c)²＝r²

式中(x'_c,y'_c)为圆的圆心，r为半径；

步骤4-2、光幕式位移传感器的激光发射方向与光栅尺的测量轴组成的坐标系为斜坐标系，将斜坐标系下的采集的点转换到直角坐标系下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=x_s/{\mathrm{cos\&gamma;}}_z\\ y_0=y_s\end{array}\right.$

则直角坐标系下的点转换到斜坐标下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_s=x_0{\mathrm{cos\&gamma;}}_z\\ y_s=y_0\end{array}\right.$

γ_z＝(90°-∠x_soz_s)为光幕式位移传感器在水平面内的安装误差；

步骤4-3、将公式代入步骤4-1中构建圆的标准方程中会得到椭圆方程：

${\left(\frac{x_0-x_c^{\&prime;}/{\mathrm{cos\&gamma;}}_z}{r/{\mathrm{cos\&gamma;}}_z}\right)}^2+{\left(\frac{y_0-y_c^{\&prime;}}{r}\right)}^2=1$

由此可知，若将斜坐标系下采样的钢球大圆数据直接放到直角坐标系下圆则会变成椭圆，椭圆的长轴与x₀平行，若使用圆的拟合方程来拟合椭圆，则会导致拟合的半径偏大，且与γ_z的正负无关。

6.根据权利要求1所述的丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法，其特征在于，步骤5利用对称作图法求光幕式位移传感器在水平面内的安装误差具体为：

步骤5-1、以z_s轴的当前位置为零点位置；

步骤5-2、顺时针旋转z_s轴步长为λ大小的角度，此时顺时针为正，逆时针为负，角度λ的大小根据需要的精度来确定；

步骤5-3、选择直径为9.525mm的钢球，执行步骤3求取拟合半径值；

步骤5-4、重复步骤5-2和步骤5-3m次，m的大小根据λ确定，λ越小则m越大；

步骤5-5、让z_s轴回复到零点位置，以相同的步距逆时针旋转角λ，同样重复步骤5-2和步骤5-3m次，并做出钢球拟合直径值随旋转角度变化的曲线图，曲线关于实际的零点位置对称，则曲线的最低点的横坐标就为γ_z的值；

步骤5-6、求得γ_z后将z_s轴的零点位置设置为γ_z的位置，增大步距角λ并调整m重复步骤5-1—步骤5-6，之后判断使用对称作图法作出的曲线是否关于零点对称，若不对称则减少步距角λ且调整重复次数m重复步骤5-1—步骤5-6，若对称则结束。

7.根据权利要求1所述的丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法，其特征在于，步骤6分析光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差对测量钢球的影响具体为：

步骤6-1、构建圆在直角坐标系ox₀y₀中的标准方程：

(x₀-x'_c)²+(y₀-y'_c)²＝r²

式中(x'_c,y'_c)为圆的圆心，r为半径；

步骤6-2、光幕式位移传感器的测量轴与光栅尺的测量轴组成的坐标系为斜坐标系，将斜坐标下的点转换到直角坐标系下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_0=x_s+y_s{\mathrm{sin\&beta;}}_z\\ y_0=y_s{\mathrm{cos\&beta;}}_z\end{array}\right.$

则直角坐标系下的点转换到斜坐标下所用的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_s=x_0-y_0{\mathrm{tan\&beta;}}_z\\ y_s=y_0/{\mathrm{cos\&beta;}}_z\end{array}\right.$

式中(x₀,y₀)为直角坐标系ox₀y₀中的点，(x_s,y_s)为斜坐标系ox_sy_s中的点，β_z＝(90°-∠x_soy_s)为光幕式位移传感器在竖直平面内的安装误差，此时顺时针为正；

步骤6-3、将上述公式代入步骤6-1中构建圆的标准方程中，得到椭圆方程：

${(x_0-y_0{\mathrm{tan\&beta;}}_z-x_c^{\&prime;})}^2+{(\frac{y_0}{{\mathrm{cos\&beta;}}_z}-y_c^{\&prime;})}^2=r^2$

由此可知若将斜坐标系下采样的钢球大圆数据直接放到直角坐标系下圆则会变成椭圆，且式中含有x₀和y₀的交叉项，所以椭圆的长轴与x₀之间成一个非90°的夹角。

8.根据权利要求1所述的丝杠型面检测装置位移传感器***安装误差的补偿方法，其特征在于，步骤7求解光幕式位移传感器在竖直平面内安装误差具体为：

步骤7-1、结合步骤3-1中构建的圆的最小二乘拟合方程与步骤6-2中构建的斜坐标系到直角坐标系转换的公式，构建的最小二乘法拟合方程为：

$f(x_c,y_c,r,{\mathrm{\&beta;}}_z)={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{\&lsqb;{(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z-x_c)}^2+{(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-y_c)}^2-r^2\&rsqb;}^2$

式中(x_si,y_si)为目标***采集的钢球大圆轮廓数据，i＝1,2,…n；

步骤7-2、对步骤7-1中的方程求偏导得方程组为：

$\left\{\begin{array}{c}{f}_{x_c}^{\&prime;}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n\left(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z\right)\&lsqb;{\left(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z-x_c\right)}^2+{\left(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-y_c\right)}^2-r^2\&rsqb;=0\\ f_{y_c}^{\&prime;}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n\left(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z\right)\&lsqb;{\left(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z-x_c\right)}^2+{\left(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-y_c\right)}^2-r^2\&rsqb;=0\\ f_r^{\&prime;}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n{\left(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z-x_c\right)}^2+{\left(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-y_c\right)}^2-r^2=0\\ f_{{\mathrm{\&beta;}}_z}^{\&prime;}={\mathrm{\&Sigma;}}_{i=1}^n\left(y_{si}{x}_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-x_c{y}_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z+y_c{y}_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z\right)\&lsqb;{\left(x_{si}+y_{si}{\mathrm{sin\&beta;}}_z-x_c\right)}^2+{\left(y_{si}{\mathrm{cos\&beta;}}_z-y_c\right)}^2-r^2\&rsqb;=0\end{array}\right.$

步骤7-3、执行步骤3，并将求解的圆心坐标和半径作为牛顿迭代算法的初值对步骤7-2的方程组进行求解，牛顿迭代算法的公式为：

Q_k＝Q_k-1-B^-1F

式中为第k次迭代的解，为雅可比矩阵，B^-1为B的逆矩阵，其中为步骤7-2中的方程组，使用步骤3中的解作为牛顿迭代法的初值：收敛条件为||Q_k-Q_k-1||₂<δ，δ取值依据所要求的精度来定，k∈(1,2,...t)当迭代次数k大于t时结束迭代，其中为光幕式位移传感器在竖直平面内安装误差。