JP5795095B2 - 重み付けを用いた格子画像の位相解析方法 - Google Patents

Description

本発明は、２次元格子画像の位相解析方法に関する。

従来、２台のカメラを用いて２次元格子模様のゴムシートを貼り付けた物体を撮影し、その撮影された２次元格子シートの画像を位相解析して、物体表面の三次元形状とひずみ分布の変化を高精度に測定する測定システムの開発されている。２次元格子の画像を解析する位相解析手法として、高精度かつ高速な位相解析手法であるサンプリングモアレ法（Ｓａｍｐｌｉｎｇ ｍｏｉｒｅ ｍｅｔｈｏｄ）が用いられてきた。

特許文献１には、物体の表面に存在する格子模様の所定の領域を光学式カメラで撮影し、撮影された画像に対して、等間隔の画素ごとのサンプリングを、起点の画素を変えながら３回以上の複数回実行し、このサンプリング処理によって得られた間引き画像を補間処理することによってモアレ縞画像を生成し、位相シフト法によって得られるモアレ縞の位相分布を求める格子画像の位相解析方法が開示されている。

特開平２００９−２６４８５２号公報

しかし、サンプリングモアレ法は、等間隔な格子を対象とした位相解析手法であるため、間引き間隔と格子ピッチが大きく異なる場合、位相解析精度が低下するという問題がある。つまり、カメラの配置や格子を貼付する表面が曲面である場合が要因で、撮影された２次元格子が変形して格子のピッチが変化してしまうため、サンプリングモアレ法では計測精度が大幅に低下してしまう問題が発生する。

そこで、本発明の目的は、新たな２次元格子の位相解析手法として、重み付け位相解析法（Ｗｅｉｇｈｔｉｎｇ ｐｈａｓｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ）を提供することである。

本発明は、求めたい画素の周辺画素に重み付けを行い、位相シフト法の原理を用いて位相解析することで、高精度に格子の位相分布を求めることができる方法である。この位相解析方法の一番の特徴は、容易に重み付けを変化させることができることであり、重み付けを適切に行うことで高精度に２次元格子画像の位相分布を求めることができる。
よって、格子ピッチが大きく変化するような大変形している格子に対しても、重み付け位相解析法を用いた位相解析は、サンプリングモアレ法に比べて位相解析誤差が小さくなるので、精度よく位相解析が可能となる。
本願の請求項１に係る発明は、注目点を起点にして、注目点とその周辺の微小領域に含まれる各画素の画素値から求められる注目点の位相値を、解析領域を微小領域内で複数回変化させることにより、注目点の複素数値を複数個の解析領域でそれぞれ求め、得られた複数個の複素数値に対し、微小領域に含まれる各画素の位置に応じた重みを前記複数個の複素数値の実部と虚部にかけて積算し、さらに得られた複素数値の偏角を求めることで注目点の位相値を求める方法である。
請求項２に係る発明は、注目点を起点として、注目点の周辺の微小領域に含まれる各画素の画素値に、それぞれの画素の位置に応じた重みと、それぞれの画素の位置に応じた複素数値を掛け合わせ、それらを積算して得られた複素数値の偏角として注目点の位相値を求める方法である。
請求項３に係る発明は、２次元格子画像において、縦方向と横方向の位相値を複数個求め、請求項１または請求項２に係る位相値を求める方法を適用して、注目点の縦方向と横方向の位相値を求める、２次元格子の位相分布を求める方法である。

本発明により、格子画像の位相解析に要する時間が短縮される、格子画像の位相解析の解析精度が向上し、格子画像を用いた三次元計測、変位計測、ひずみ計測の計測精度が向上する。

座標（ｘ，ｙ）付近におけるｘ方向格子（４画素ピッチ）の輝度分布の例を示す図である。 位相シフト法（数２式，Ｎ＝４）を用いた場合の位相解析方法を説明する図である。 位相シフト法（数６式，Ｎ＝４）を用いた場合の位相解析方法を説明する図である。 均等に重み付けを行った場合の重み付け位相解析法を説明する図である（Ｎ＝４）。 位相シフト法に矩形波の重み付けを行った場合の重み付け関数Ｗ_x（ｋ）（Ｎ＝１０）を説明する図である。 三角波の重み付けを行った場合の重み付け位相解析法を説明する図である（Ｎ＝４）。 位相シフト法に三角波の重み付けを行った場合の重み付け関数Ｗ_x（ｋ）（Ｎ＝１０）を説明する図である。 余弦波の重み付けを行った場合の重み付け位相解析法を説明する図である（Ｎ＝４）。 位相シフト法に余弦波の重み付けを行った場合の重み付け関数Ｗ_x（ｋ）（Ｎ＝１０）を説明する図である。 （ａ）２次元矩形波格子，（ｂ）ｘ方向格子（平滑化処理後），（ｃ）ｘ方向格子の位相分布［ｒａｄ］，（ｄ）ｘ方向格子の位相分布（位相接続後）［ｒａｄ］を示す図である。 解析格子ピッチの違いによる位相解析誤差の表である。 解析格子ピッチの違いによる位相解析誤差の格子１周期の標準偏差を示す図である。 解析格子ピッチの違いによるサンプリングモアレ法の位相解析誤差を示す図である。 解析格子ピッチの違いによる重み付け位相解析法の位相解析誤差を示す図である。 （ａ）実験環境と（ｂ）各装置の配置を示す図である。 （ａ）撮影画像，（ｂ）ｘ方向格子の位相分布［ｒａｄ］を示す図である。 変位計測結果（重み付け位相解析法）を示す図である。 変位計測結果（サンプリングモアレ法）を示す図である。 変位計測結果の標準偏差（ｄ＝０．５［ｍｍ］）を示す図である。 ｘ方向格子のピッチ計測結果を示す図である。

以下、本発明の実施形態を図面とともに説明する。
１．位相シフト法による格子の位相解析
位相シフト法とは、格子１周期の輝度情報から、その格子の位相を求めることができる手法である。格子画像が撮影された場合、位相シフト法を用いて位相解析することで、その格子の位相分布を求めることができる。

ここで、ｘ軸方向に周期的に輝度が変化する格子の位相解析について説明する。図１にｘ軸方向に周期的に輝度が変化する格子が撮影された場合の、撮影画像の座標（ｘ，ｙ）付近における格子の輝度と位相の関係について示す。ｘ軸方向に周期的に輝度が変化する格子が撮影された場合、ｘ軸方向にその格子の位相が変化していると考えることができる。よって、撮影された格子画像の輝度を位相が変化している方向に１画素ごとにサンプリングした場合、格子１周期の輝度情報を得ることができ、位相シフト法を適用することが可能となる。

ここで、撮影された格子１周期の画素数がＮ画素であった場合について考える。位相シフト法を適用するためには、求めたい格子のピッチＮをあらかじめ決定する必要がある。数１式に、離散フーリエ変換を用いた位相シフト法による座標（ｘ，ｙ）のｘ方向の格子の位相算出式を示す。

数１式は、位相シフト法において、座標（ｘ，ｙ）における位相、つまり初期位相を求める位相算出式である。Ｉ（ｘ，ｙ）は座標（ｘ，ｙ）における輝度値であり、Ｎは求めたいｘ方向格子の１周期の画素数である。
ここで、ｘ軸方向に１画素ごと変化すると位相が１回位相シフトすると考えると、ｓはｘ軸方向の座標の変化と対応して変化しているため、ｓは座標（ｘ，ｙ）からのｘ方向への位相シフト回数と考えることができる。つまり、座標（ｘ，ｙ）からｘ軸方向に位相シフトしていると考えたとき、座標（ｘ，ｙ）の位相シフト回数ｎは０回となり、座標（ｘ＋ｓ，ｙ）における位相シフト回数ｎはｓ回となる。

次に、座標（ｘ，ｙ）における位相シフト回数ｎが０≦ｎ≦Ｎ−１である場合の位相シフト法による位相解析について考える。そのときの座標（ｘ，ｙ）の位相は、数２式で求めることができる。また、数２式に０≦ｎ≦３，Ｎ＝４の場合の数１式による位相解析について示す。数２式における＋２・ｓ／Ｎは、ｎ回の位相シフト回数における位相の変化量を表している。

また、数２式の左辺は位相であり、右辺の＋２πｎ／Ｎも位相であるため、数２式においては、右辺の＋２πｎ／Ｎは、数３式に示す複素平面での回転の座標変換と考えることができる。

ゆえに、数３式によって数２式は数４式，数５式と変形することができる。

ここで、ｋ＝ｓ−ｎと定義する。ｋを用いることで、数５式は、さらに数６式に変形することができる。また、ｋは座標（ｘ，ｙ）の位相シフト回数を０と考えた場合のそれぞれの座標の位相シフト回数と考えることができる。

図３に０≦ｎ≦３，Ｎ＝４の場合における数６式を用いた位相解析について示す。ｎが変化した場合、位相シフト法の計算式が変化する。つまり、数６式は、ｎの数の分だけ、位相解析パターンが考えられることを示している。

２．重み付け位相解析法による格子の位相解析
重み付け位相解析法とは、注目画素の周辺画素に対して重み付けを行い、位相シフト法の原理を利用した計算式から、高精度に位相解析することができる手法である。

まず、重み付け位相解析法の原理について述べる。重み付け位相解析法の原理は、数６式で得られる複数の位相算出式に対して重み付けを行い、位相解析することである。位相シフト法による位相解析は、誤差やばらつきの影響を受けやすく、位相解析精度はあまり良くないが、それぞれの位相解析結果に対して適切な重み付けを行うことで、誤差やばらつきの影響を低減させることができる。

次に、数６式の位相シフト法を用いた重み付け位相解析法によるｘ方向格子の位相解析について説明する。数７式に、数６式の位相シフト法に対して重み付けを行う重み付け関数Ｗ．（ｎ，ｋ）について示す。ｗ（ｎ）は０以上の任意の実数の重みである。Ｗ．（ｎ，ｋ）を用いて数６式の位相シフト法の位相解析結果に対して重み付けを行うことで、重み付け位相解析法の位相算出式が得られる。数８式に、ｎが任意の整数の範囲内の値である場合の重み付け位相解析法による位相算出式について示す。また、数８式のｎとｋは、数８式の位相シフト法のｎとｋとそれぞれ対応している。

数８式において、Ｗ．（ｎ，ｋ）は座標（ｘ，ｙ）の輝度Ｉ（ｘ，ｙ）にかかる重みである。数８式における、それぞれの位相シフト法が座標に掛ける重み付けの総和をＷ_x（ｋ）とすると、Ｗ_x（ｋ）は数９式で表される。また、ｋは注目座標（ｘ，ｙ）からの距離となる。

つまり、数９式のＷ_x（ｋ）を用いると、数８式は数１０式で表すことができる。ただし、数１０式のＷ_x（ｋ）は数９式で表される重み付け関数でなければならない。また、ｋは任意の整数の範囲内の値である。

２次元格子の位相解析の場合、ｙ方向の画素に対しても重み付けを行うことで２次元格子のｘ方向の格子の位相解析が可能となる。ｙ方向の画素に対しても重み付けを行ったｘ方向の格子の位相解析は、ｙ方向への重み付け関数をＷ_y（ｌ）と定義すると、数８式より数１１式で表される。また、ｌは任意の整数の範囲内の値である。また、数１１式は数９式より数１２式として表される。

ｘ方向への重み付け関数Ｗ_x（ｋ）とｙ方向への重み付け関数Ｗ_y（ｌ）は、２次元方向への重み付け関数Ｗ_xy（ｋ，ｌ）として表すことができる。Ｗ_xy（ｋ，ｌ）を数１３式として定義した場合、数１２式は数１４式として表される。

また、ｙ方向格子の位相解析は前述の位相算出式のｘとｙを入れ替えると位相解析できる。よって、ｙ方向格子の位相解析における２次元方向への重み付け関数Ｗ_yx（ｋ，ｌ）を数１５式として定義すると、数１６式を用いることで位相解析することができる。

３．重み付け位相解析法における重み付け関数について
数８式のｎの範囲を０≦ｎ≦Ｎ−１と定義した場合における位相解析について説明する。ｎの範囲が０≦ｎ≦Ｎ−１の場合は、数８式の位相算出パターンはＮ通り考えることができ、その場合の数８式は数１７式で表される。

まず、複数の位相算出式に均等の重み付けを行う場合の重み付け位相解析法による格子の位相解析について述べる。均等に重み付けを行う場合の重み付け関数Ｗ．（ｎ，ｋ）は、数８式より数１８式で表すことができる。

また、数１８式の重み付け関数を用いた場合の数１７式は数１９式で表される。

数１９式を用いた場合の、座標（ｘ，ｙ）のｘ方向格子の位相の位相解析について説明する。位相シフト法に掛ける重み付け関数を数１８式とした場合の、それぞれの位相シフト法が座標に掛ける重み付けについて図に説明したものを図４に示す。また、位相シフト法に均等に重み付けを行った場合の重み付け位相解析法の画素にかける重み付け関数Ｗ_x（ｋ）は、１画素における最大の重みの比率を１とした場合、数２０式となる。また、数２０式の重み付け関数Ｗ_x（ｋ）は、三角波状の重み付け関数となる。図５にＮ＝１０の場合の重み付け関数について示す。

数２１式に数２０式のＷ_x（ｋ）を用いた場合の位相算出式について示す。数２１式は、線形補間を利用したサンプリングモアレ法による格子の位相算出式と同じ計算式となる。

次に、位相シフト法に掛ける重み付けを複数の位相シフト法の中心画素の重みが大きくなるように三角波状の重み付け関数、余弦波状の重み付け関数を用いた場合を考える。三角波状の重み付け関数を数２２式に、余弦波状の重み付け関数を数２３式に示す。

数２２式の三角波状の重み付けを用いた場合の重み付け位相解析法の説明図を図６に示し、最大の重みの比率を１とした場合の数２２式の重み付け関数Ｗ_x（ｋ），Ｎ＝１０を図７に示す。また、数２３式の余弦波状の重み付けを用いた場合の重み付け位相解析法の説明図を図８に示し、最大の重みの比率を１とした場合の数２３式の重み付け関数Ｗ_x（ｋ），Ｎ＝１０を図９に示す。
ｎの範囲が０≦ｎ≦Ｎ−１の場合における、図７と図９の画素への重み付け関数は、余弦波状に似た分布になることから、重み付け位相解析法では一般的に、数２４式に示す余弦波の重み付け関数を用いて位相解析を行う。また、数２５式に数２４式の重み付け関数を用いた重み付け位相解析法による位相算出式を示す。数２５式はハニング窓を用いた窓関数付フーリエ変換の周波数２の位相算出式と同じ計算式となる。

また、ｎの範囲が０≦ｎ≦Ｎ−１の範囲における重み付け関数の例について述べる。放物線を利用した重み付け関数の例を数２６式と数２７式に、三角関数を利用した重み付け関数の例を数２８式，数２９式に示す。数２６式〜数２９式は、任意のパラメータｐ（＞０）を変化させることで用意に重みを変化させることができ、これらの式で得られる重みは組み合わせて使用することが可能である。また、ｐ＝１のとき、数２６式と数２７式は三角波状の重み付け関数に、数２８式と数２９式は余弦波状の重み付け関数となる。

４．シミュレーションによる位相解析精度の数値解析
数２５式を用いた重み付け位相解析法の位相解析精度のシミュレーションをおこなった。位相解析精度の精度評価の方法について説明する。まず、図１０（ａ）に示すコンピュータで作成した２００×２００［ｐｉｘｅｌ］、格子間ピッチ１０［ｐｉｘｅｌ］の理想的な２次元矩形波格子画像に対して、縦方向に２０［ｐｉｘｅｌ］の領域の平滑化処理を行い、図１０（ｂ）に示す、ｘ方向格子画像の作成を行った。その後、ｘ方向格子画像に対して、重み付け位相解析法（数２５式）と線形補間を用いたサンプリングモアレ法（数２１式）それぞれで位相解析を行った。位相解析は、解析パラメータである格子１ピッチの間隔Ｎ（サンプリングモアレ法の場合は間引き間隔）を６〜１９［ｐｉｘｅｌ］に変化させて、ｘ方向格子の位相解析を重み付け位相解析法とサンプリングモアレ法を用いて行った。

その後、図１０（ｃ）に示す、ｘ方向格子の位相分布に対して位相接続を行い、Ｆｉｇ．４．４に示す、位相接続されたｘ方向格子の位相を１周期分ラインで抜き出し、理論値との誤差を計算し、位相解析精度の評価を行った。
図１０（ｄ）の座標（９５，１００）〜（１０４，１００）のサンプリングモアレ法と重み付け位相解析法の位相解析結果の位相解析誤差と解析格子ピッチの関係を表にまとめたものを図１１に示し、位相解析誤差の標準偏差と解析格子ピッチの関係をグラフにしたものを図１２に示す。また、解析格子ピッチＮが８〜１２［ｐｉｘｅｌ］であった場合のサンプリングモアレ法の位相解析誤差のグラフを図１３に示し、重み付け位相解析法の位相解析誤差のグラフを図１４に示す。

５．変位量計測実験による計測精度評価
２次元格子シートを貼付した移動ステージを用いた変位量計測実験をおこなった。実験環境の風景と装置の位置関係を図１５に示す。移動ステージに変位を与える際に、Ｍｉｔｕｔｏｙｏ社製のマイクロメーターを、カメラは、画像サイズ６４０×４８０［ｐｉｘｅｌ］のＤｒａｇｏｎｆｌｙＥｘｐｒｅｓｓを使用した。また、２次元格子シートには４．０［ｍｍ］ピッチの２次元矩形波格子を使用した。

変位量計測実験の実験方法について説明する。図１５（ｂ）に示すように、カメラの光軸を基準面の表面に対してｚ軸方向に３０度傾けて配置し、撮影画像の格子のピッチが変化するようにした。その後、移動ステージを用いて、ｘ方向に０．１［ｍｍ］ずつ、最大０．５［ｍｍ］の変位を与え、変位を与えた位置でそれぞれ撮影を行い、その後、重み付け位相解析法とサンプリングモアレ法それぞれで位相解析を行い、得られた格子のｘ方向の位相分布から変位量の計測結果を算出し、その計測結果の精度評価を行った。

また、画像に対する縦方向の平滑化画素数を７０［ｐｉｘｅｌ］、解析格子ピッチＮを２０［ｐｉｘｅｌ］に設定して位相解析を行った。撮影におけるランダムノイズは今回の精度評価には不必要であるため、１００回撮影を行って平均化した画像を撮影画像として用いることで、ランダムノイズの低減を行った。２次元格子を撮影した画像を図１６（ａ）に、図１６（ａ）の撮影画像のｘ方向格子の位相解析を行った画像を図１６（ｂ）にそれぞれ示す。

変位量の計測は、変位前と変位後の位相と２次元格子のピッチｐ［ｍｍ］を用いて計測することができる。変位量をｄ［ｍｍ］、格子ピッチをｐ［ｍｍ］、変位前後の位相の変化量を・・、・・・≦・・・≦・とすると、変位量は数３０式で求められる。

サンプリングモアレ法と重み付け位相解析法、それぞれの手法で解析した変位量計測結果の座標（１００，２４０）〜（６００，２４０）の１ラインの計測結果を抜き出して、計測精度の評価を行った。
計測結果をグラフにしたもので、重み付け位相解析法を用いた場合を図１７に、サンプリングモアレ法を用いた場合を図１８に示す。また、図１９に、移動ステージに０．５［ｍｍ］の変位を与えた場合の変位量計測結果に対して、計測結果のｘ方向２１［ｐｉｘｅｌ］の標準偏差の計算を行い、グラフにしたものを示す。
また、格子ピッチは位相分布から数３１式を用いて計算することができる。撮影されたｘ方向格子のピッチを位相分布から計算した結果をグラフにしたものを図２０に示す。

６．まとめ
重み付け位相解析法は従来手法であるサンプリングモアレ法に比べ、解析格子ピッチと実際のピッチが大きく異なる場合でも、位相解析誤差が少ない手法であることが、シミュレーションによる解析結果と変位量計測実験の計測結果から確認できた。

シミュレーションによる解析結果から、解析格子ピッチが実際の格子ピッチより大きい場合と小さい場合では、大きい場合のほうが、計測精度の低下が少ないことが確認できた。つまり、格子ピッチが急激に変化する格子に対して位相解析を行う場合、解析格子ピッチを実際のピッチより大きく設定するほうがよいと考えられる。

変位量計測実験の結果から、シミュレーションの解析結果の傾向が実計測においても同様の傾向が確認できた。また、移動ステージに与える変位量が大きくなるにつれ、変位計測の計測誤差が大きくなることが確認できた。これは、位相解析によって得られる位相に解析格子ピッチと実際の格子ピッチの違いから発生するランダムではない系統的な位相解析誤差が原因だと考えられる。重み付け位相解析法を用いて解析を行うことで、サンプリングモアレ法に比べ、計測結果のばらつきが低減されていることから、実計測における重み付け位相解析法の有用性が確認できた。
上述したように、本願発明により、格子画像の位相解析に要する時間が短縮される、格子画像の位相解析の解析精度が向上する、ＦＰＧＡで解析する場合に、容量が小さくて済むために、安価なものを利用することができる。格子画像を用いた三次元計測、変位計測、ひずみ計測の計測精度が向上する。

Claims (3)

1. 注目点を起点にして、注目点とその周辺の微小領域に含まれる各画素の画素値から求められる注目点の位相値を、解析領域を微小領域内で複数回変化させることにより、注目点の複素数値を複数個の解析領域でそれぞれ求め、得られた複数個の複素数値に対し、微小領域に含まれる各画素の位置に応じた重みを前記複数個の複素数値の実部と虚部にかけて積算し、さらに得られた複素数値の偏角を求めることで注目点の位相値を求める方法。
2. 注目点を起点として、注目点の周辺の微小領域に含まれる各画素の画素値に、それぞれの画素の位置に応じた重みと、それぞれの画素の位置に応じた複素数値を掛け合わせ、それらを積算して得られた複素数値の偏角として注目点の位相値を求める方法。
3. ２次元格子画像において、縦方向と横方向の位相値を複数個求め、請求項１または請求項２に係る位相値を求める方法を適用して、注目点の縦方向と横方向の位相値を求める、２次元格子の位相分布を求める方法。