JP4480927B2 - 連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム及びフィードバック制御システム - Google Patents
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Description
【発明の属する技術分野】
本発明は、連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、その方法を使用した補償器及びフィードバック制御システムに関し、特に、ナイキスト周波数の近傍又はより高い周波数に連続時間系伝達関数の極、ゼロ点が位置する連続時間系伝達関数を離散化するのに好適な離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、補償器及びフィードバック制御システムに関する。
【0002】
【従来の技術】
近年の機器のデジタル化に伴い、アナログ信号処理がデジタル信号処理に置き換わっている。アナログ信号処理は、連続時間系であり、デジタル信号処理は、離散時間系である。このため、連続時間系のアナログ信号処理を、デジタル信号処理するには、連続時間系を離散時間系に変換する必要がある。
【0003】
一般に、対象システムは、数学モデルで定義された伝達関数で表現され、例えば、デジタルフィルタや、制御対象を制御するデジタル制御器を設計するには、元来、連続時間系である対象システムの伝達関数を、離散時間系の伝達関数に変換することが必要である。
【0004】
このような連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する、所謂離散化の方法として、s−z変換法が知られている。s−z変換法は、書籍「デジタル信号処理のポイント」(石田善久、鎌田弘之共著、産業図書(株)発行)等に広く紹介されている。基本的に、s−z変換法は、s平面をz平面に変換するものであり、s平面では、縦軸がjωからなる周波数軸であり、その範囲は、±∞(無限大)となる。一方、z平面では、半径1の単位円上が、周波数軸に対応し、その範囲は有限である。
【0005】
このため、s−z変換では、無限区間の周波数を、有限区間に変換する必要が生じ、これらを1対1に対応させるには、何らかの制約が生じ、連続時間系伝達関数の周波数特性、インパルス応答、ステップ応答など全てを完全に一致させる離散化は、難しい。
【0006】
例えば、標準z変換法(standard z-transformation)は、アナログ連続時間系伝達関数を、デジタル離散系伝達関数に、ステップ応答を一致させ、変換するものであり、ステップ応答不変法(又はインパルス応答不変法)と称されている。この標準z変換法では、図22(A)に示すように、s領域における無限区間の周波数領域は、z領域の有限区間の周波数領域に対応させると、z領域に変換された周波数軸は、再び無限の周波数領域に展開した時、一定周期毎に繰り返される。この繰り返しの周期は、サンプリング定理から規定されるナイキスト周波数fnであり、サンプリング周波数fsの半分で定義される。
【0007】
この折り返しがなされる際に、図22(B)に示すように、振幅特性の重複が生じると、重複歪(又は折り返し歪)が生じ、アナログの連続系の振幅特性は保存されない。このため、標準z変換法は、図22(C)に示すように、高周波数域に対し周波数制限されたフィルタへの適用に限られる。
【0008】
例えば、図24の標準z変換法による周波数特性図に示すように、ナイキスト周波数fn(この例では、25kHz)以上の領域で、十分に振幅が制限されていない連続時間系伝達関数を変換する場合には、図の実線で示すように、標準z変換法により変換された離散時間系は、高周波数領域で、連続時間系の特性(振幅、位相)と大きくずれる。
【0009】
一方、双一次z変換法(又は双線形z変換法:bilinear z-transform)は、かかる折り返し歪の発生を防止するものであり、図23に示すように、s平面における無限長の領域(ωa)を、有限長の領域(p)に対応させ、この有限長の領域pについて、標準z変換するものである。このように、s−z変換する際に、s平面における±∞の範囲の周波数軸が、z平面上の単位円上に射影されるため、折り返し歪は生じない。この時、s領域における角周波数ωaと、z領域における角周波数ωdとの関係は、以下の関係式で表現される。
【0010】
ωd = (2/T)・atan(ωa・T/2) (1)
但し、Tは、離散化する際のサンプル周期であり、atanは、アークタンゼントの略である。このように、三角関数tanθは、−π/2≦θ≦π/2の領域において、±∞の範囲の値をとることができるため、折り返し歪を防止できる。
【0011】
【発明が解決しようとする課題】
この双1次z変換法は、もとの連続時間系伝達関数の極やゼロ点が、ナイキスト周波数(離散時間系のサンプリング周波数の1/2の周波数)fnよりも十分に低い位置にあれば、正確な離散化を行うことができる。
【0012】
しかしながら、ナイキスト周波数近傍あるいはナイキスト周波数よりも高い周波数に、連続時間系伝達関数の極やゼロ点がある場合は、変換された離散系の高周波領域の特性が、連続時間系の特性と大きくずれることが多いという問題がある。
【0013】
即ち、図25の双1次z変換法による周波数特性図に示すように、ナイキスト周波数fn(この例では、25kHz)近傍や高い位置に、図の点線で示す連続時間系伝達関数の極又はゼロ点がある場合には、図の実線で示すように、双1次z変換法により変換された離散時間系は、高周波数領域で、連続時間系の特性(振幅、位相)と大きくずれる。即ち、前述の式(1)のtanθにより、高周波領域の特性を低域にシフトさせて(ワーピングという)、変換を行っているため、高周波の特性のみが大きくずれることになる。
【0014】
また、双一次z変換のワーピングが、式(1)で定義されることを利用して、式(1)により、離散化する前の連続時間系伝達関数の極やゼロ点のみをシフトさせ、新たな連続時間系伝達関数を置き換える手法(周波数シフト)が提案されている(例えば、特開平5−210419号公報等)。しかし、この方法では、ナイキスト周波数よりも高い周波数に連続時間系の極やゼロ点がある場合には、式(1)のtanθが、π/2より大きくなるため、シフト後の周波数が負の値をとり、変換できない。このため、この周波数シフト方法を使用できず、やはり特性を一致させることは難しい。
【0015】
このため、従来技術では、連続時間系として設計あるいは同定した伝達関数を、離散化してデジタル処理を行う場合に、特性の一致しない不正確な伝達関数しか得られないという問題があった。
【0016】
このような連続時間系システムを離散時間系システムで構築するため、例えば、連続系で設計されたフィードバック制御系の補償器を離散化してデジタル制御を行うような場合は、ナイキスト周波数近傍の極やゼロ点は、離散化せずに、アナログ制御回路で代用する方法や、サンプリング周波数を上げてナイキスト周波数を高くするといった方法が必要であった。
【0017】
それらの対策により、連続時間系の特性に近づけることは可能であるが、アナログ制御回路は、デジタル制御と違い、電子部品のバラツキや経時変化によって特性が変化してしまうこと、大量生産品の制御回路に使用する場合には、余計なコストとなることなどの問題があった。また、サンプリング周波数を上げるためには高速のプロセッサが必要であるため、やはり大量生産品に使用する場合は、コスト的に不利となる。
【0018】
従って、本発明の目的は、ナイキスト周波数の近傍やより高い周波数に極やゼロ点を有する連続時間系伝達関数を、その関数の特性に一致した離散化伝達関数に変換するための連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、それを利用した補償器及びフィードバック制御システムを提供することにある。
【0019】
又、本発明の他の目的は、アナログ回路を使用せずに、ナイキスト周波数の近傍やより高い周波数に極やゼロ点を有する連続時間系伝達関数を離散系システムで実現するための連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、それを利用した補償器及びフィードバック制御システムを提供することにある。
【0020】
更に、本発明の更に他の目的は、サンプリング周波数を上げることなく、ナイキスト周波数の近傍やより高い周波数に極やゼロ点を有する連続時間系伝達関数を、離散化システムで実現するための連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、それを利用した補償器及びフィードバック制御システムを提供することにある。
【0021】
【課題を解決するための手段】
この目的の達成のため、本発明は、連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理方法であって、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双1次z変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算するステップと、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双1次z変換するステップとを有し、前記計算ステップは、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算するステップと、前記周波数応答データの周波数ωaを、ωc=2/T・tan(ωa・T/2)の式で、周波数ωcにシフトするステップと、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算するステップを有する。
【0022】
又、本発明の離散化処理システムは、入力装置と、データ処理装置とを有し、前記データ処理装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωaを、ωc=2/T・tan(ωa・T/2)の式で、周波数ωcにシフトし、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算し、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双1次z変換して、前記離散時間系伝達関数を求める。
【0025】
更に、本発明のフィードバック制御システムは、前記制御対象の状態を観測する状態検出装置と、前記制御対象の特性を補償する連続時間系伝達関数の角周波数を双1次z変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換した新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双1次z変換して得た離散時間系伝達関数により、前記状態検出手段からの前記状態信号に応じて、前記制御対象を制御するデジタル装置とを有し、前記デジタル装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωaを、ωc=2/T・tan(ωa・T/2)の式で、周波数ωcにシフトしたシフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算して得た前記離散時間系伝達関数を実行する。
【0026】
本発明では、双1次z変換の角周波数変換特性が、式(1)で表されるため、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する離散化結果を得るために、離散化結果が、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する新たな連続時間系伝達関数を、元の連続時間系伝達関数から生成し、この新たな連続時間系伝達関数を双1次z変換するものである。
【0027】
このため、本発明では、元の連続時間系伝達関数の角周波数ωaを、双1次z変換の逆特性により、角周波数ωcに変換して、新たな連続時間系伝達関数を作成する。逆特性は、双1次z変換の式(1)の変換特性の逆変換特性であるため、逆特性の角周波数変換を行った新たな連続時間系伝達関数を双1次z変換することにより、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【0028】
又、このような特性の一致した離散結果を実行する補償器及びフィードバック制御システムでは、連続時間系の特性に近づけるためのアナログ回路や、サンプリング周波数の高いプロセッサを必要としないため、これら補償器やフィードバック制御システムのコスト低減に寄与できる。
【0029】
又、本発明では、好ましくは、前記計算ステップは、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算するステップと、前記周波数応答データの周波数ωaを、ωc=2/T・tan(ωa・T/2)の式で、周波数ωcにシフトするステップと、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算するステップからなる。
【0030】
本発明のこの態様では、離散結果を元の連続時間系伝達関数と一致させるため、連続時間系伝達関数の周波数応答全体に対し、逆特性によるプリワープを行い、これに基づき近似した新たな連続時間系伝達関数を作成することにより、従来の双1次z変換を利用して、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【0031】
更に、本発明では、好ましくは、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似するステップからなることにより、より正確に離散結果を元の連続時間系伝達関数に一致させることができる。
【0032】
更に、本発明では、好ましくは、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似するステップからなることにより、より処理量の少ない離散結果で元の連続時間系伝達関数を実現できる。
【0033】
更に、本発明では、好ましくは、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似するステップからなることにより、近似が容易となる。
【0034】
これにより、特にフィードバック制御系の補償器を離散化してデジタル制御を行う場合には、ナイキスト周波数近傍の極ゼロをアナログ制御回路によって代用したり、高速のプロセッサを使用してサンプリング周波数を上げたりする必要がなくなり、製品の生産コストを削減することができる。
【0035】
また、近似が一致しにくい場合は、近似後の伝達関数の次数を増やすことによって特性を正確に再現することもできる。また、近似の際に次数を削減し、デジタル制御を行う際のプロセッサの負担を小さくすることもできる
【0036】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態を、第1の実施の形態、第2の実施の形態、第3の実施の形態、フィードバック制御系及びその補償器への適用、他の実施の形態の順で説明する。
【0037】
[第1の実施の形態]
図1は、本発明の離散化処理方法の一実施の形態の処理フロー図、図2は、本発明の離散化処理方法の原理の説明図、図3は、図1の方法を実行する処理システムのブロック図、図4は、図1のプリワープ処理の説明図、図5は、図1の実施例の極、ゼロ点の説明図、図6は、図5の実施例のプリワープ・近似関数生成動作の説明図、図7は、図5の実施例の変換前の連続時間系伝達関数と変換後の離散時間系伝達関数の周波数特性図である。
【0038】
先ず、図5及び図6により、連続時間系伝達関数を説明する。連続伝達関数は、図5に示すような、伝達関数の極、ゼロ点で定義される。例えば、図5(A)に示す、2つの極、2つのゼロ点を有する連続時間系伝達関数は、下記式(4)で表現される。
【0039】
【数1】
図5(A)の値の極、ゼロ点の伝達関数は、5kHz〜30kHzの1次位相進み補償器と、23kHz、ζ=0.3のノッチフィルタである。式(4)においては、2つのゼロ点は、角周波数Wn11,Wn12で表現され、2つの極は、角周波数Wd11,Wd12で表現される。K1は、ゲインであり、Zd12は、前述のζである。
【0040】
従って、式(4)に,図5(A)の極、ゼロ点の数値をあてはめると、K1=6.00、Wn11=3.14e3 rad/s、Wn12=1.45e5 rad/s、Wd11=1.89e5 rad/s、Wd12=1.45e5 rad/s、Zd12=0.30、である。この伝達関数の示す周波数特性は、図6の破線に示すように、周波数対振幅、周波数対位相の特性を示す。ここで、サンプリング周波数Tを、50kHzとすると、ナイキスト周波数fnは、25kHzとなり、この伝達関数は、ナイキスト周波数のごく近傍に、極、ゼロ点が存在する。
【0041】
次に、図1に従い、離散化処理を説明する。
【0042】
(S1)先ず、前述の連続時間系伝達関数の式(4)の係数(極、ゼロ点及びゲインの値)を入力し、離散化処理を開始する。
【0043】
(S2)次に、入力された連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算する。周波数応答データは、MATLAB(商品名、MathWorks社製)などのCADソフトを使うことで、伝達関数から計算することができる。この例では、1kHz〜24.5kHzまでの特性(振幅、位相)を、データ点数500点で、計算した。応答データの計算結果を、データとして、図4に示し、グラフとして、図6の破線に示す。
【0044】
(S3)次に、この周波数応答データをプリワープ(周波数シフト)する。データのゲイン(振幅)と位相の値を変えずに、周波数だけを下記式(5)に従い、変更することで、プリワープを行う。
【0045】
ωc=(2/T)・tan(ωa・T/2) (5)
尚、ωcは、プリワープ後の角周波数、ωaは、プリワープ前の角周波数、Tは、離散化する際のサンプリング周期である。即ち、図2(B)に示すように,連続時間系伝達関数の周波数ωaを、プリワープして、周波数ωcに変換する。
【0046】
プリワープした周波数応答データを、図4に、その周波数特性を、図6の点線に示す。従来の周波数シフト方法では、極やゼロ点自体を、シフトするため、ナイキスト周波数(ここでは、25kHz)の点が+∞Hzにシフトされるため、ナイキスト周波数以上の領域は、周波数シフトできない。したがって,この伝達関数のように,30kHzに、極がある場合は、従来の方法では、極を周波数シフトできなかった。しかし、この発明では、極やゼロ点ではなく、伝達関数の周波数応答データをプリワープするため、極やゼロ点の位置に、プリワープされた周波数応答データは関係しない。
【0047】
(S4)この周波数応答データから、新しい連続時間系伝達関数をこのデータに近似して求める。この例では、近似の方法には、最小二乗近似を用いた。最小二乗近似も前述のMATLABで行うことができる。最小二乗近似法については「MATLAB数値解析」(G. J. Borse著、オーム社)のP.357〜380などの書籍に詳細が記述されている。近似した新たな連続時間系伝達関数の周波数応答を、図6の実線に示す。この時の極、ゼロ点は、図5(B)に示す。また、近似した伝達関数の式を下記式(6)に示す。
【0048】
【数2】
ただし、K2=0.888、Wn21=3.24E4 rad/s、Wn22=7.72E5 rad/s、Zn22=0.0639、Wd21=7.01E5 rad/s、Wd22=1.59E5 rad/s、Zd22=0.943である。
【0049】
(S5)最後に、近似した連続時間系伝達関数を,前述の双一次z変換により離散化する。双一次z変換の詳細については、前述のように「デジタル信号処理のポイント」(石田善久・鎌田弘之著、産業図書)のP.136〜151など、多くの制御関連書籍に記述されている。例えば、以下のs−z変換式を使用する。
【0050】
s=(2/T)・(1−Z-1)/(1+Z-1)
離散化した結果の周波数応答を,図7の実線に示す。尚、図7において、点線は、前述の式(5)の元の連続時間系伝達関数の周波数応答である。また、離散化後の伝達関数を下記式(7)に、極、ゼロ点を図5(C)に示す。
【0051】
【数3】
ただし、K3=1.386、Wn31=−0.5105、Wn32=0.9839、Zn32=0.9671、Wd31=0.7502、Wd32=0.2851、Zd32=0.8217である。
【0052】
このように、本発明では、図2(A)で示すように、双1次z変換の角周波数変換特性が、式(1)で表されるため、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する離散化結果を得るために、離散化結果が、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する新たな連続時間系伝達関数を、元の連続時間系伝達関数から生成し、この新たな連続時間系伝達関数を双1次z変換するものである。
【0053】
このため、本発明では、図2(B)に示すように、元の連続時間系伝達関数の角周波数ωaを、前述の式(5)により、角周波数ωcに変換して、新たな連続時間系伝達関数を作成する。図2(A)及び図2(B)に示すように、図2(B)の式(5)は、図2(A)の式(1)の変換特性の逆変換特性であるため、式(5)の角周波数変換を行った新たな連続時間系伝達関数を双1次z変換することにより、図2(A)の点線に示す元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【0054】
このように離散結果を元の連続時間系伝達関数と一致させるには、連続時間系伝達関数の周波数応答全体に対し、式(5)のようなプリワープを行い、これに基づき新たな連続時間系伝達関数を作成することにより、従来の双1次z変換を利用して、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【0055】
この第1の実施の形態と同じ連続時間系伝達関数をz変換で離散化した例が、前述の図24であり、双一次変換した例が、前述の図25である。図24、図25の結果と比較して、図7の実線で示される本発明による離散化結果は、連続時間系伝達関数に非常に良く一致した特性を示している。
【0056】
このように、ナイキスト周波数より高い位置にゼロ極がある場合でも、連続時間系に忠実な特性をもつ離散時間系伝達関数を得ることができるため、扱いが比較的簡単な連続時間系により伝達関数の設計または同定を行ったのちに、離散化を行っても、問題なくデジタル処理を行うことが可能となる。
【0057】
図3は、この離散化処理を行うためのシステム構成図である。図3に示すように、システムは、データ処理ユニット1と、デイスプレイ10と、入力装置(キーボード11、マウス12)と、出力装置(プリンタ)18からなる。データ処理ユニット1は、CPUとメモリ等から構成される。ここでは、前述のMATLAB2で形成された前述の離散化を行うプログラム13〜16がインストールされている。即ち、前述のステップS2の周波数応答データを計算するプログラム13と、ステップS3のプリワープデータを作成するプログラム14と、ステップS4の最小二乗近似を行うプログラム15と、双1次z変換を行うプログラム16である。
【0058】
このシステムでは、入力装置11、12から、連続時間系伝達関数のゲイン、極、ゼロ点(図5(A))を入力することにより、特性の一致した離散結果(図5(C))が出力される。
【0059】
[第2の実施の形態]
図8は、本発明の離散化処理方法の第2の実施の形態の処理フロー図、図9は、離散化結果の極、ゼロ点の説明図、図10は、図8の第2の実施の形態による近似連続時間系伝達関数の特性図、図11は、図8の第2の実施の形態による離散化結果の周波数特性図である。
【0060】
この実施の形態は、第1の実施の形態において、ステップS4の最小二乗法による近似の際に、連続時間系伝達関数と同じ次数ではなく、2次高い5次で近似したものである。即ち、図8において、ステップS11,12,13,15は、図1のステップS1,2,3,5と同一の処理であるが、ステップS14は、ステップS4の最小二乗近似を、連続時間系伝達関数の次数(この例では、3次)より高い次数(この例では、5次)で行う。
【0061】
このステップS14で近似した連続時間系伝達関数の周波数応答データを図10の実線に示し、元の連続時間系伝達関数の周波数応答特性、プリワープした伝達関数の周波数応答特性を、各々、鎖線、点線で示す。また、近似した伝達関数の式を、下記式(8)に示す。
【0062】
【数4】
ただし、K4=0.8451、Wn41=3.322e6 rad/s、Wn42=4.858e5 rad/s、Wn43=3.121e4 rad/s、Wn44=8.0654e5 rad/s、Zn44=0.0226、Wd41=2.900e6 rad/s、Wd42=1.292e6 rad/s、Wd43=2.528e5 rad/s、Wd44=2.133e5 rad/s、Wd45=1.377e5 rad/sである。
【0063】
さらに、この伝達関数を双一z次変換で離散化した結果(実線)を、もとの連続時間系伝達関数(破線)および第1の実施の形態で計算した離散時間系の伝達関数(点線)と並べて、図11に示す。この時の離散化後の伝達関数を下記式(9)に示す。
【0064】
【数5】
ただし、K5=1.346、Wn51=−0.5243、Wn52=0.6586、Wn53=0.9416、Wn54=0.9945、Zn54=0.9698、Wd51=0.1587、Wd52=0.3615、Wd53=0.4331、Wd54=0.8563、Wd55=0.9333である。尚、離散結果の極、ゼロ点は、図9に示すようになる。
【0065】
図11において、破線の連続時間系伝達関数(3次)の特性、点線の第1の実施の形態の離散化結果(3次)の特性、実線の第2の実施の形態の離散化結果(5次)の特性からわかるように、次数の高い5次の結果の方がより連続時間系に伝達関数に近い特性をもっている。これは、近似の際に次数を増やすことで特性の自由度が増し、より正確な近似が可能となるためである。これにより、連続時間系で設計または同定した伝達関数を、より正確に離散時間系伝達関数で再現できる。
【0066】
[第3の実施の形態]
図12は、本発明の離散化処理方法の第3の実施の形態の処理フロー図、図13は、離散化結果の極、ゼロ点の説明図、図14は、図12の第3の実施の形態による近似連続時間系伝達関数の特性図、図15は、図12の第3の実施の形態による離散化結果の周波数特性図である。
【0067】
この実施の形態は、第1の実施の形態において、ステップS4の最小二乗法による近似の際に、連続時間系伝達関数と同じ次数ではなく、1次低い1次で近似したものである。即ち、図12において、ステップS21,22,23,25は、図1のステップS1,2,3,5と同一の処理であるが、ステップS24は、ステップS4の最小二乗近似を、連続時間系伝達関数の次数(この例では、2次)より低い次数(この例では、1次)で行う。
【0068】
この第3の実施の形態として、ナイキスト周波数上にあるノッチフィルタを離散化する例を示す。ノッチフィルタの周波数は、25kHz、ζ=0.3である。連続時間系伝達関数を下記式(10)に示す。
【0069】
【数6】
ただし、K6=1.000、Wn61=1.571e5 rad/s、Wd61=1.571e5 rad/s、Zd61=0.300である。
【0070】
離散化の方法は、近似の際に連続時間系伝達関数と同じ2次ではなく、1次で近似しているほかは、第1の実施の形態と同じである。式(10)のノッチフィルタの周波数応答データのプロットを図14の破線に、プリワープしたデータを図14の点線に、近似した連続時間系伝達関数の特性を図14の実線に示す。また、近似した伝達関数を、下記(11)式に示す。
【0071】
【数7】
ただし、K7=5.715e-4、Wn7=4.253e8 rad/s、Wd7=2.431e5 rad/sである。
【0072】
更に、離散化された伝達関数の特性を図15の実線で、点線の連続時間系伝達関数の特性とともに示す。又、離散化された伝達関数を下記式(12)に示す。
【0073】
【数8】
ただし、図13に示すように、K8=0.7086、Wn8=0.9995、Wd8=0.4170である。
【0074】
図15の破線の連続時間系伝達関数(2次)、実線の第3の実施の形態の離散化結果(1次)から、次数を1つ減らしたのにもかかわらず両者の特性がほぼ一致していることがわかる。このように、連続時間系伝達関数の特性によっては、近似の際に次数を減らしても、特性を忠実に再現できる場合がある。次数を減らして離散化することにより、離散時間系伝達関数をデジタル制御で実現するような場合に、プロセッサの計算回数を減らすことができる。
【0075】
[フィードバック制御系及び補償器への適用]
前述の実施の形態の適用例として、図17のような特性をもつ伝達関数を制御対象とした連続時間系フィードバック補償器を、第1の実施の形態の方法で離散化するものを説明する。例えば、このフィードバック補償器は、図16に示すようなデイスク装置のトラッキング制御システム(フィードバック制御システム)に使用される。
【0076】
図16により、このデイスク装置のトラッキング制御システムを説明する。
【0077】
図16は、光磁気デイスク装置を示す。ここでは、本実施形態の説明に直接関係のない部分、例えば、再生信号の処理回路、ホストコンピュータとのインターフェイス回路、あるいはフォーカス制御回路といったものは省略している。
【0078】
図16に示すように、光ディスク装置は、情報を記録するための情報トラックが設けられた光ディスク101を装着し、光ディスク101を回転駆動するスピンドルモータ102を備える。又、光デイスク装置は、光ディスク101に対して情報の記録、再生を行うための光学ヘッドの構成要素として、光ディスク101の情報トラック上に光ビーム104を照射するための対物レンズ103と、対物レンズ103を光軸方向(図の上下方向、フォーカシング方向)に駆動するフォーカス可動手段としてのフォーカスアクチュエータ106と、対物レンズ103及びフォーカスアクチュエータ106等を搭載し、前記光デイスク101の半径方向に移動可能なキャリッジ(アクチュエータ)105と、光源となるレーザダイオードやフォトディテクタを含む光学系107とを備えている。
【0079】
また、トラッキング制御回路130は、フォトディテクタの出力電流を増幅するヘッドアンプ80と、フォトディテクタの出力よりトラッキングエラー信号を検出するトラッキングエラー信号検出回路(TES検出回路)90と、トラッキング制御系を安定化するため、TESの高周波数成分を除去するローパスフィルタ(アンチエイリアシングフィルタ)100と、トラッキングエラー信号からサーボ制御信号を生成するデジタルサーボ制御装置(フィードバック補償器)5と、デジタルサーボ制御装置5の出力信号に基づき前記キャリッジ105を駆動するためのコイルに駆動電流を供給するトラッキングアクチュエータドライバ(アンプ)6とを有している。
【0080】
このキャリッジ105は、トラッキングアクチュエータドライバ6から供給される駆動電流ITRにより、光ディスク101上の情報トラックを横切る方向(図の左右方向、トラッキング方向)に、光ビーム104がすべての情報トラックを照射可能なように対物レンズ103及びフォーカスアクチュエータ106と共に移動することができる。例えば、ボイスコイルモータを有する。
【0081】
このキャリッジ105の構成では、例えば、フォーカスアクチュエータ106は、対物レンズ103を固定するためのホルダと、対物レンズ103をフォーカシング方向に可動に、かつトラッキング方向に略固定に支持する板バネと、対物レンズ103を駆動するためのフォーカスコイルとから構成される。そして、キャリッジ105は、前記フォーカスアクチュエータ106を上部に搭載し、両側部にキャリッジを駆動するためのキャリッジ駆動手段としてトラッキングコイルを設けている。
【0082】
このような構成のキャリッジ105を、キャリッジ105に沿い、ガイド軸、磁気回路とともに組み付けて光学ヘッドを構成することにより、フォーカスコイルへの通電によりフォーカスアクチュエータ106をフォーカシング方向に駆動でき、また、トラッキングコイルへの通電によりキャリッジ105をトラッキング方向に駆動することができる。キャリッジ105の駆動により光ビーム104もトラッキング方向に駆動されるので、これらによりトラッキングアクチュエータが構成されることになる。
【0083】
又、デジタルサーボ制御装置(フィードバック補償器)5は、観測信号(制御対象の観測信号)であるアナログのトラックエラー信号TESをデジタル値に変換するADコンバータと、このデジタル値を信号処理するDSP(デジタルシグナルプロセッサ)と、DSPのデジタル駆動電圧をアナログ駆動電圧に変換するDAコンバータとから構成されている。
【0084】
次に、このように構成したトラッキング制御系の動作を説明する。まず、図示しないモータ制御回路によりスピンドルモータ102を所定の速度で回転させ、また図示しないレーザ制御回路の駆動制御により光学系107に含まれるレーザダイオードを所定出力で発光させる。
【0085】
続いて、図示しないフォーカス制御回路によりフォーカスアクチュエータ106を駆動制御し、光ビーム104が光ディスク101の情報トラックに対して焦点を結ぶように対物レンズ103のフォーカシング方向の位置制御を行う。この光ビーム104の光ディスク101からの反射光は、光学系107のフォトディテクタで受光され、ヘッドアンプ80により増幅されて、トラッキングエラー信号検出回路90へ出力される。
【0086】
この状態で、トラッキングエラー信号検出回路90は、前記フォトディテクタの出力に基づき、光ビーム104が情報トラックの中心からどれだけずれた位置を照射しているかを示す、トラッキングエラー信号TESを生成する。通常、トラッキングエラー信号は、情報トラックの中央とトラック間のほぼ中間点とでゼロレベルとなり、光ビームの変位に対して正弦波状に変化する信号となる。
【0087】
トラッキングエラー信号検出回路90の出力のトラッキングエラー信号は、ローパスフィルタ100で高周波数成分(ノイズ成分)が除去された後、デジタルサーボ制御装置5でサーボ演算処理され、トラッキングアクチュエータドライバ6より駆動電流ITRとしてキャリッジ105に負帰還される。この駆動電流ITRにより、キャリッジ105はトラッキングエラー信号検出回路90により検出された光ビーム104の位置ずれを補正する方向に駆動される。
【0088】
このように、トラッキングエラー信号をキャリッジを駆動するトラッキングコイルに帰還することにより、トラッキングエラー信号が零となるように光ビーム104のトラッキング方向位置が駆動され、光ビーム104が情報トラック中央に追従するようにするトラッキング制御が行われる。このデイスク装置を、光デイスク(光磁気デイスクを含む)装置で説明したが、磁気デイスク装置等の他のデイスク装置にも適用できる。
【0089】
次に、このフィードバック制御システムの補償器のための離散化処理を、図17、図18、図19、図20、図21で説明する。図16の制御対象(キャリッジ105)は、図17のような制御モデルの周波数特性を有するものとする。この制御対象の連続時間系補償器の特性は、図18の破線で示される。即ち、この補償器は、1次の積分器、2次の位相進み補償器および4つのノッチフィルタから成っている。連続時間系伝達関数を、下記式(13)に示す。
【0090】
【数9】
ただし、式(13)において、図21(A)の極、ゼロ点データに示すように、K9=4.794e14、Wn91=2.902e4 rad/s、Wn92=5.002e3 rad/s、Wn93=3.142e3 rad/s、Wn94=1.162e5 rad/s、Zn94=0、Wn95=1.320e5 rad/s、Zn95=0、Wn96=1.728e5 rad/s、Zn96=0.03、Wn97=2.200e5 rad/s、Zn97=0、Wd91=2.595e5 rad/s、Wd92=8.706e4 rad/s、Wd93=7.103e4 rad/s、Wd94=1.162e5 rad/s、Zd94=0.3、Wd95=1.320e5 rad/s、Zd95=0.2、Wd96=1.376e5 rad/s、Zd96=0.33、Wd97=2.200e5 rad/s、Zd97=0.3である。
【0091】
離散化処理は、サンプリング周波数を、70.028kHzに設定し、周波数応答データを100Hz〜34.84kHzの範囲で、500点とした。これ以外の条件は、第1の実施の形態と同じである。この離散化による、(13)式の補償器の周波数応答データのプロットを、図19の破線に、プリワープしたデータを図19の点線に、近似した連続時間系伝達関数の特性を図19の実線に示す。また、近似した伝達関数を下記式(14)に示す。
【0092】
【数10】
ただし、図21(B)の極、ゼロ点データに示すように、K10=2.423e7、Wn101=5.977e6 rad/s、Wn102=1.035e6 rad/s、Wn103=3.050e4 rad/s、Wn104=4.868e3 rad/s、Wn105=3.219e3 rad/s、Wn106=1.528e5 rad/s、Zn106=1.070e-4、Wn107=1.925e5 rad/s、Zn107=0.0032、Wn108=3.943e5 rad/s、Zn108=0.125、Wd101=9.949e5 rad/s、Wd102=5.422e5 rad/s、Wd103=2.009 rad/s、Wd104=6.387e4 rad/s、Zd104=0.9246、Wd105=1.269e5 rad/s、Zd105=0.4892、Wd106=1.630e5 rad/s、Zd106=0.3261、Wd107=2.184e5 rad/s、Zd107=0.4183である。
【0093】
この式(14)を双一次z変換で離散化した結果を,図18の実線に示す。また、離散化した伝達関数を下記式(15)に示す。
【0094】
【数11】
ただし、図21(C)の極、ゼロ点データに示すように、K11=2.167e8、Wn111=0.9542、Wn112=0.7616、Wn113=−0.9551、Wn114=−0.9328、Wn115=−0.6424、Wn116=0.9241、Zn116=0.7786、Wn117=0.9969、Zn117=0.3077、Wn118=0.9999、Zn118=0.0872、Wd111=−1、Wd112=0.7532、Wd113=0.5894、Wd114=−0.4219、Zd114=0.9154、Wd115=−0.5875、Zd115=0.1129、Wd116=0.6701、Zd116=0.4510、Wd117=0.7158、Zd117=0.1589である。
【0095】
図20は、本発明による離散時間系補償器を用いた場合と連続時間系保証器を用いた場合の一巡伝達特性を比較したものである。両者の特性がナイキスト周波数(この場合は、35kHz)まで一致していることがわかる。
【0096】
従来の離散化方法では、ナイキスト周波数に近い20kHz以上の周波数にあるノッチフィルタは正確に離散化できないため、アナログ制御回路によって実現するか、または高速なプロセッサによりサンプリング周波数を上げて実現するか、どちらかの方法を選択するほかなかった。
【0097】
しかし、本発明によって、連続時間系の特性に忠実な離散時間系補償器を導くことで、アナログ制御回路や高速なプロセッサを導入する必要がなくなり、より低いコストでフィードバック制御系を構成することができる。
【0098】
[他の実施の形態]
フィードバック制御システムとして、トラッキング制御システムで説明したが、フォーカス制御系等他のフィードバック制御システムにも適用でき、更に、補償器として、デジタルフィルタ等にも適用できる。
【0099】
以上、本発明の実施の形態で説明したが、本発明の趣旨の範囲内において、種々の変形が可能であり、これらを本発明の範囲から排除するものではない。
【0100】
(付記1)連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理方法において、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双1次z変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算するステップと、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双1次z変換するステップとを有することを特徴とする離散化処理方法。
【0101】
(付記2)前記計算ステップは、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算するステップと、前記周波数応答データの周波数ωaを、ωc=2/T・tan(ωa・T/2)の式で、周波数ωcにシフトするステップと、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算するステップからなることを特徴とする付記1の離散化処理方法。
【0102】
(付記3)前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似するステップからなることを特徴とする付記2の離散化処理方法。
【0103】
(付記4)前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似するステップからなることを特徴とする付記2の離散化処理方法。
【0104】
(付記5)前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似するステップからなることを特徴とする付記2の離散化処理方法。
【0105】
(付記6)補償すべき連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数による離散処理で補償する補償器において、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双1次z変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換した新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双1次z変換して得た前記離散時間系伝達関数を実行するデジタル装置を有することを特徴とする補償器。
【0106】
(付記7)前記デジタル装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωaを、ωc=2/T・tan(ωa・T/2)の式で、周波数ωcにシフトしたシフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算して得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記6の補償器。
【0107】
(付記8)前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記7の補償器。
【0108】
(付記9)前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記7の補償器。
【0109】
(付記10)前記デジタル装置は、前記シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記7の補償器。
【0110】
(付記11)連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理システムにおいて、入力装置と、データ処理装置とを有し、前記データ処理装置は、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双1次z変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算し、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双1次z変換して、前記離散時間系伝達関数を求めることを特徴とする離散化処理システム。
【0111】
(付記12)前記データ処理装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωaを、ωc=2/T・tan(ωa・T/2)の式で、周波数ωcにシフトし、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算することを特徴とする付記11の離散化処理システム。
【0112】
(付記13)前記データ処理装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似することを特徴とする付記12の離散化処理システム。
【0113】
(付記14)前記データ処理装置は、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するため、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似することを特徴とする付記12の離散化処理システム。
【0114】
(付記15)連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理ため、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双1次z変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算するプログラムと、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双1次z変換するプログラムとを有することを特徴とするプログラム。
【0115】
(付記16)制御対象の状態を観測し、前記制御対象を制御するフィードバック制御システムにおいて、前記制御対象の状態を観測する状態検出装置と、前記制御対象の特性を補償する連続時間系伝達関数の角周波数を双1次z変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換した新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双1次z変換して得た離散時間系伝達関数により、前記状態検出手段からの前記状態信号に応じて、前記制御対象を制御するデジタル装置とを有することを特徴とするフィードバック制御システム。
【0116】
(付記17)前記デジタル装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωaを、ωc=2/T・tan(ωa・T/2)の式で、周波数ωcにシフトしたシフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算して得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記16のフィードバック制御システム。
【0117】
(付記18)前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記17のフィードバック制御システム。
【0118】
(付記19)前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記17のフィードバック制御システム。
【0119】
(付記20)前記デジタル装置は、前記シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記16のフィードバック制御システム。
【0120】
【発明の効果】
本発明では、双1次z変換の角周波数変換特性が、式(1)で表されるため、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する離散化結果を得るために、離散化結果が、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する新たな連続時間系伝達関数を、元の連続時間系伝達関数から生成し、この新たな連続時間系伝達関数を双1次z変換するものである。
【0121】
このため、本発明では、元の連続時間系伝達関数の角周波数ωaを、双1次z変換の逆特性により、角周波数ωcに変換して、新たな連続時間系伝達関数を作成する。逆特性は、双1次z変換の式(1)の変換特性の逆変換特性であるため、逆特性の角周波数変換を行った新たな連続時間系伝達関数を双1次z変換することにより、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。更に、離散結果を元の連続時間系伝達関数と一致させるため、連続時間系伝達関数の周波数応答全体に対し、逆特性によるプリワープを行い、これに基づき近似した新たな連続時間系伝達関数を作成することにより、離散時間系伝達関数のナイキスト周波数よりも高い位置に極やゼロ点があっても、従来の双1次z変換を利用して、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【0122】
又、このような特性の一致した離散結果を実行する補償器及びフィードバック制御システムでは、連続時間系の特性に近づけるためのアナログ回路や、サンプリング周波数の高いプロセッサを必要としないため、これら補償器やフィードバック制御システムのコスト低減に寄与できる。
【図面の簡単な説明】
【図1】本発明の第1の実施の形態の離散化処理フロー図である。
【図2】本発明の離散化処理の原理説明図である。
【図3】本発明の離散化処理システムの一実施の形態のブロック図である。
【図4】図1のプリワープ処理の動作説明図である。
【図5】図1の極、ゼロ点の一例の説明図である。
【図6】図4のプリワープされた周波数特性図である。
【図7】図1の実施の形態の離散化結果の周波数特性図である。
【図8】本発明の第2の実施の形態の離散化処理フロー図である。
【図9】図8の実施の形態の離散化処理結果の極、ゼロ点の説明図である。
【図10】図8の本発明の第2の実施の形態のプリワープ、近似結果の周波数特性図である。
【図11】図8の本発明の第2の実施の形態の離散化処理結果の周波数特性図である。
【図12】本発明の第3の実施の形態の離散化処理フロー図である。
【図13】図12の実施の形態の離散化処理結果の極、ゼロ点の説明図である。
【図14】図12の本発明の第3の実施の形態のプリワープ、近似結果の周波数特性図である。
【図15】図12の本発明の第3の実施の形態の離散化処理結果の周波数特性図である。
【図16】本発明の適用例のデイスク装置の説明図である。
【図17】図16の本発明の適用例の制御モデルの周波数特性図である。
【図18】図17の本発明の適用例の連続時間系及び離散時間系補償器の周波数特性図である。
【図19】図18の連続時間系伝達関数のプリワープ、近似結果の周波数特性図である。
【図20】図18の連続時間系及び離散時間系の一巡伝達関数の周波数特性図である。
【図21】図18の離散時間系補償器の極、ゼロ点データの説明図である。
【図22】従来の標準s−z変換の説明図である。
【図23】従来の双1次z変換の説明図である。
【図24】従来のs−z変換の周波数特性図である。
【図25】従来の双1次z変換の周波数特性図である。
【符号の説明】
1 データ処理装置
5 フィードバック補償器
13 周波数応答計算プログラム
14 プリワーププログラム
15 連続時間系伝達関数近似プログラム
16 双1次z変換プログラム
105 トラックアクチュエータ
101 光デイスク
130 トラック制御回路
90 TES検出回路(観測手段)
Claims (5)
- 連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理方法において、
前記連続時間系伝達関数の角周波数を双1次z変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算するステップと、
前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双1次z変換するステップとを有し、
前記計算ステップは、
前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算するステップと、
前記周波数応答データの周波数ωaを、ωc=2/T・tan(ωa・T/2)の式で、周波数ωcにシフトするステップと、
シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算するステップを有する
ことを特徴とする離散化処理方法。 - 連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理システムにおいて、
入力装置と、データ処理装置とを有し、
前記データ処理装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωaを、ωc=2/T・tan(ωa・T/2)の式で、周波数ωcにシフトし、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算し、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双1次z変換して、前記離散時間系伝達関数を求める
ことを特徴とする離散化処理システム。 - 前記データ処理装置は、前記シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法により、前記新たな連続時間系伝達関数を計算する
ことを特徴とする請求項2の離散化処理システム。 - 制御対象の状態を観測し、前記制御対象を制御するフィードバック制御システムにおいて、
前記制御対象の状態を観測する状態検出装置と、
前記制御対象の特性を補償する連続時間系伝達関数の角周波数を双1次z変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換した新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双1次z変換して得た離散時間系伝達関数により、前記状態検出手段からの前記状態信号に応じて、前記制御対象を制御するデジタル装置とを有し、
前記デジタル装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωaを、ωc=2/T・tan(ωa・T/2)の式で、周波数ωcにシフトしたシフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算して得た前記離散時間系伝達関数を実行する
ことを特徴とするフィードバック制御システム。 - 前記デジタル装置は、前記シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行する
ことを特徴とする請求項4のフィードバック制御システム。
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