JP4480927B2 - 連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム及びフィードバック制御システム - Google Patents
連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム及びフィードバック制御システム Download PDFInfo
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、その方法を使用した補償器及びフィードバック制御システムに関し、特に、ナイキスト周波数の近傍又はより高い周波数に連続時間系伝達関数の極、ゼロ点が位置する連続時間系伝達関数を離散化するのに好適な離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、補償器及びフィードバック制御システムに関する。
【０００２】
【従来の技術】
近年の機器のデジタル化に伴い、アナログ信号処理がデジタル信号処理に置き換わっている。アナログ信号処理は、連続時間系であり、デジタル信号処理は、離散時間系である。このため、連続時間系のアナログ信号処理を、デジタル信号処理するには、連続時間系を離散時間系に変換する必要がある。
【０００３】
一般に、対象システムは、数学モデルで定義された伝達関数で表現され、例えば、デジタルフィルタや、制御対象を制御するデジタル制御器を設計するには、元来、連続時間系である対象システムの伝達関数を、離散時間系の伝達関数に変換することが必要である。
【０００４】
このような連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する、所謂離散化の方法として、ｓ−ｚ変換法が知られている。ｓ−ｚ変換法は、書籍「デジタル信号処理のポイント」（石田善久、鎌田弘之共著、産業図書（株）発行）等に広く紹介されている。基本的に、ｓ−ｚ変換法は、ｓ平面をｚ平面に変換するものであり、ｓ平面では、縦軸がｊωからなる周波数軸であり、その範囲は、±∞（無限大）となる。一方、ｚ平面では、半径１の単位円上が、周波数軸に対応し、その範囲は有限である。
【０００５】
このため、ｓ−ｚ変換では、無限区間の周波数を、有限区間に変換する必要が生じ、これらを１対１に対応させるには、何らかの制約が生じ、連続時間系伝達関数の周波数特性、インパルス応答、ステップ応答など全てを完全に一致させる離散化は、難しい。
【０００６】
例えば、標準ｚ変換法（standard z-transformation）は、アナログ連続時間系伝達関数を、デジタル離散系伝達関数に、ステップ応答を一致させ、変換するものであり、ステップ応答不変法（又はインパルス応答不変法）と称されている。この標準ｚ変換法では、図２２（Ａ）に示すように、ｓ領域における無限区間の周波数領域は、ｚ領域の有限区間の周波数領域に対応させると、ｚ領域に変換された周波数軸は、再び無限の周波数領域に展開した時、一定周期毎に繰り返される。この繰り返しの周期は、サンプリング定理から規定されるナイキスト周波数ｆｎであり、サンプリング周波数ｆｓの半分で定義される。
【０００７】
この折り返しがなされる際に、図２２（Ｂ）に示すように、振幅特性の重複が生じると、重複歪（又は折り返し歪）が生じ、アナログの連続系の振幅特性は保存されない。このため、標準ｚ変換法は、図２２（Ｃ）に示すように、高周波数域に対し周波数制限されたフィルタへの適用に限られる。
【０００８】
例えば、図２４の標準ｚ変換法による周波数特性図に示すように、ナイキスト周波数ｆｎ（この例では、２５ｋＨｚ）以上の領域で、十分に振幅が制限されていない連続時間系伝達関数を変換する場合には、図の実線で示すように、標準ｚ変換法により変換された離散時間系は、高周波数領域で、連続時間系の特性（振幅、位相）と大きくずれる。
【０００９】
一方、双一次ｚ変換法（又は双線形ｚ変換法：bilinear z-transform）は、かかる折り返し歪の発生を防止するものであり、図２３に示すように、ｓ平面における無限長の領域（ωａ）を、有限長の領域（ｐ）に対応させ、この有限長の領域ｐについて、標準ｚ変換するものである。このように、ｓ−ｚ変換する際に、ｓ平面における±∞の範囲の周波数軸が、ｚ平面上の単位円上に射影されるため、折り返し歪は生じない。この時、ｓ領域における角周波数ωａと、ｚ領域における角周波数ωｄとの関係は、以下の関係式で表現される。
【００１０】
ωｄ = （２／Ｔ）・ａｔａｎ（ωａ・Ｔ／２） （１）
但し、Ｔは、離散化する際のサンプル周期であり、ａｔａｎは、アークタンゼントの略である。このように、三角関数ｔａｎθは、−π／２≦θ≦π／２の領域において、±∞の範囲の値をとることができるため、折り返し歪を防止できる。
【００１１】
【発明が解決しようとする課題】
この双１次ｚ変換法は、もとの連続時間系伝達関数の極やゼロ点が、ナイキスト周波数（離散時間系のサンプリング周波数の１／２の周波数）ｆｎよりも十分に低い位置にあれば、正確な離散化を行うことができる。
【００１２】
しかしながら、ナイキスト周波数近傍あるいはナイキスト周波数よりも高い周波数に、連続時間系伝達関数の極やゼロ点がある場合は、変換された離散系の高周波領域の特性が、連続時間系の特性と大きくずれることが多いという問題がある。
【００１３】
即ち、図２５の双１次ｚ変換法による周波数特性図に示すように、ナイキスト周波数ｆｎ（この例では、２５ｋＨｚ）近傍や高い位置に、図の点線で示す連続時間系伝達関数の極又はゼロ点がある場合には、図の実線で示すように、双１次ｚ変換法により変換された離散時間系は、高周波数領域で、連続時間系の特性（振幅、位相）と大きくずれる。即ち、前述の式（１）のｔａｎθにより、高周波領域の特性を低域にシフトさせて（ワーピングという）、変換を行っているため、高周波の特性のみが大きくずれることになる。
【００１４】
また、双一次ｚ変換のワーピングが、式（１）で定義されることを利用して、式（１）により、離散化する前の連続時間系伝達関数の極やゼロ点のみをシフトさせ、新たな連続時間系伝達関数を置き換える手法（周波数シフト）が提案されている（例えば、特開平５−２１０４１９号公報等）。しかし、この方法では、ナイキスト周波数よりも高い周波数に連続時間系の極やゼロ点がある場合には、式（１）のｔａｎθが、π／２より大きくなるため、シフト後の周波数が負の値をとり、変換できない。このため、この周波数シフト方法を使用できず、やはり特性を一致させることは難しい。
【００１５】
このため、従来技術では、連続時間系として設計あるいは同定した伝達関数を、離散化してデジタル処理を行う場合に、特性の一致しない不正確な伝達関数しか得られないという問題があった。
【００１６】
このような連続時間系システムを離散時間系システムで構築するため、例えば、連続系で設計されたフィードバック制御系の補償器を離散化してデジタル制御を行うような場合は、ナイキスト周波数近傍の極やゼロ点は、離散化せずに、アナログ制御回路で代用する方法や、サンプリング周波数を上げてナイキスト周波数を高くするといった方法が必要であった。
【００１７】
それらの対策により、連続時間系の特性に近づけることは可能であるが、アナログ制御回路は、デジタル制御と違い、電子部品のバラツキや経時変化によって特性が変化してしまうこと、大量生産品の制御回路に使用する場合には、余計なコストとなることなどの問題があった。また、サンプリング周波数を上げるためには高速のプロセッサが必要であるため、やはり大量生産品に使用する場合は、コスト的に不利となる。
【００１８】
従って、本発明の目的は、ナイキスト周波数の近傍やより高い周波数に極やゼロ点を有する連続時間系伝達関数を、その関数の特性に一致した離散化伝達関数に変換するための連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、それを利用した補償器及びフィードバック制御システムを提供することにある。
【００１９】
又、本発明の他の目的は、アナログ回路を使用せずに、ナイキスト周波数の近傍やより高い周波数に極やゼロ点を有する連続時間系伝達関数を離散系システムで実現するための連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、それを利用した補償器及びフィードバック制御システムを提供することにある。
【００２０】
更に、本発明の更に他の目的は、サンプリング周波数を上げることなく、ナイキスト周波数の近傍やより高い周波数に極やゼロ点を有する連続時間系伝達関数を、離散化システムで実現するための連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、それを利用した補償器及びフィードバック制御システムを提供することにある。
【００２１】
【課題を解決するための手段】
この目的の達成のため、本発明は、連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理方法であって、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算するステップと、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換するステップとを有し、前記計算ステップは、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算するステップと、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトするステップと、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算するステップを有する。
【００２２】
又、本発明の離散化処理システムは、入力装置と、データ処理装置とを有し、前記データ処理装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトし、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算し、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して、前記離散時間系伝達関数を求める。
【００２５】
更に、本発明のフィードバック制御システムは、前記制御対象の状態を観測する状態検出装置と、前記制御対象の特性を補償する連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換した新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して得た離散時間系伝達関数により、前記状態検出手段からの前記状態信号に応じて、前記制御対象を制御するデジタル装置とを有し、前記デジタル装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトしたシフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算して得た前記離散時間系伝達関数を実行する。
【００２６】
本発明では、双１次ｚ変換の角周波数変換特性が、式（１）で表されるため、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する離散化結果を得るために、離散化結果が、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する新たな連続時間系伝達関数を、元の連続時間系伝達関数から生成し、この新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換するものである。
【００２７】
このため、本発明では、元の連続時間系伝達関数の角周波数ωａを、双１次ｚ変換の逆特性により、角周波数ωｃに変換して、新たな連続時間系伝達関数を作成する。逆特性は、双１次ｚ変換の式（１）の変換特性の逆変換特性であるため、逆特性の角周波数変換を行った新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換することにより、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【００２８】
又、このような特性の一致した離散結果を実行する補償器及びフィードバック制御システムでは、連続時間系の特性に近づけるためのアナログ回路や、サンプリング周波数の高いプロセッサを必要としないため、これら補償器やフィードバック制御システムのコスト低減に寄与できる。
【００２９】
又、本発明では、好ましくは、前記計算ステップは、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算するステップと、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトするステップと、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算するステップからなる。
【００３０】
本発明のこの態様では、離散結果を元の連続時間系伝達関数と一致させるため、連続時間系伝達関数の周波数応答全体に対し、逆特性によるプリワープを行い、これに基づき近似した新たな連続時間系伝達関数を作成することにより、従来の双１次ｚ変換を利用して、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【００３１】
更に、本発明では、好ましくは、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似するステップからなることにより、より正確に離散結果を元の連続時間系伝達関数に一致させることができる。
【００３２】
更に、本発明では、好ましくは、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似するステップからなることにより、より処理量の少ない離散結果で元の連続時間系伝達関数を実現できる。
【００３３】
更に、本発明では、好ましくは、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似するステップからなることにより、近似が容易となる。
【００３４】
これにより、特にフィードバック制御系の補償器を離散化してデジタル制御を行う場合には、ナイキスト周波数近傍の極ゼロをアナログ制御回路によって代用したり、高速のプロセッサを使用してサンプリング周波数を上げたりする必要がなくなり、製品の生産コストを削減することができる。
【００３５】
また、近似が一致しにくい場合は、近似後の伝達関数の次数を増やすことによって特性を正確に再現することもできる。また、近似の際に次数を削減し、デジタル制御を行う際のプロセッサの負担を小さくすることもできる
【００３６】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態を、第１の実施の形態、第２の実施の形態、第３の実施の形態、フィードバック制御系及びその補償器への適用、他の実施の形態の順で説明する。
【００３７】
［第１の実施の形態］
図１は、本発明の離散化処理方法の一実施の形態の処理フロー図、図２は、本発明の離散化処理方法の原理の説明図、図３は、図１の方法を実行する処理システムのブロック図、図４は、図１のプリワープ処理の説明図、図５は、図１の実施例の極、ゼロ点の説明図、図６は、図５の実施例のプリワープ・近似関数生成動作の説明図、図７は、図５の実施例の変換前の連続時間系伝達関数と変換後の離散時間系伝達関数の周波数特性図である。
【００３８】
先ず、図５及び図６により、連続時間系伝達関数を説明する。連続伝達関数は、図５に示すような、伝達関数の極、ゼロ点で定義される。例えば、図５（Ａ）に示す、２つの極、２つのゼロ点を有する連続時間系伝達関数は、下記式（４）で表現される。
【００３９】
【数１】
図５（Ａ）の値の極、ゼロ点の伝達関数は、５ｋＨｚ〜３０ｋHzの１次位相進み補償器と、２３ｋＨｚ、ζ＝０．３のノッチフィルタである。式（４）においては、２つのゼロ点は、角周波数Wn11,Wn12で表現され、２つの極は、角周波数Ｗｄ１１，Ｗｄ１２で表現される。Ｋ１は、ゲインであり、Ｚｄ１２は、前述のζである。
【００４０】
従って、式（４）に，図５（Ａ）の極、ゼロ点の数値をあてはめると、Ｋ１=6.00、Wn11=3.14e3 rad/s、Wn12=1.45e5 rad/s、Wd11=1.89e5 rad/s、Wd12=1.45e5 rad/s、Zd12=0.30、である。この伝達関数の示す周波数特性は、図６の破線に示すように、周波数対振幅、周波数対位相の特性を示す。ここで、サンプリング周波数Ｔを、５０ｋＨｚとすると、ナイキスト周波数ｆｎは、２５ｋＨｚとなり、この伝達関数は、ナイキスト周波数のごく近傍に、極、ゼロ点が存在する。
【００４１】
次に、図１に従い、離散化処理を説明する。
【００４２】
（Ｓ１）先ず、前述の連続時間系伝達関数の式（４）の係数（極、ゼロ点及びゲインの値）を入力し、離散化処理を開始する。
【００４３】
（Ｓ２）次に、入力された連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算する。周波数応答データは、ＭＡＴＬＡＢ（商品名、MathWorks社製）などのＣＡＤソフトを使うことで、伝達関数から計算することができる。この例では、１ｋＨｚ〜２４．５ｋＨｚまでの特性（振幅、位相）を、データ点数５００点で、計算した。応答データの計算結果を、データとして、図４に示し、グラフとして、図６の破線に示す。
【００４４】
（Ｓ３）次に、この周波数応答データをプリワープ（周波数シフト）する。データのゲイン（振幅）と位相の値を変えずに、周波数だけを下記式（５）に従い、変更することで、プリワープを行う。
【００４５】
ωｃ＝（２／Ｔ）・ｔａｎ（ωa・Ｔ／２） （５）
尚、ωｃは、プリワープ後の角周波数、ωａは、プリワープ前の角周波数、Ｔは、離散化する際のサンプリング周期である。即ち、図２（Ｂ）に示すように，連続時間系伝達関数の周波数ωａを、プリワープして、周波数ωｃに変換する。
【００４６】
プリワープした周波数応答データを、図４に、その周波数特性を、図６の点線に示す。従来の周波数シフト方法では、極やゼロ点自体を、シフトするため、ナイキスト周波数(ここでは、２５ｋＨｚ)の点が＋∞Hzにシフトされるため、ナイキスト周波数以上の領域は、周波数シフトできない。したがって，この伝達関数のように，３０ｋHzに、極がある場合は、従来の方法では、極を周波数シフトできなかった。しかし、この発明では、極やゼロ点ではなく、伝達関数の周波数応答データをプリワープするため、極やゼロ点の位置に、プリワープされた周波数応答データは関係しない。
【００４７】
（Ｓ４）この周波数応答データから、新しい連続時間系伝達関数をこのデータに近似して求める。この例では、近似の方法には、最小二乗近似を用いた。最小二乗近似も前述のＭＡＴＬＡＢで行うことができる。最小二乗近似法については「ＭＡＴＬＡＢ数値解析」（G. J. Borse著、オーム社）のP.357〜380などの書籍に詳細が記述されている。近似した新たな連続時間系伝達関数の周波数応答を、図６の実線に示す。この時の極、ゼロ点は、図５（Ｂ）に示す。また、近似した伝達関数の式を下記式（６）に示す。
【００４８】
【数２】
ただし、K2=0.888、Wn21=3.24E4 rad/s、Wn22=7.72E5 rad/s、Zn22=0.0639、Wd21=7.01E5 rad/s、Wd22=1.59E5 rad/s、Zd22=0.943である。
【００４９】
（Ｓ５）最後に、近似した連続時間系伝達関数を，前述の双一次ｚ変換により離散化する。双一次ｚ変換の詳細については、前述のように「デジタル信号処理のポイント」（石田善久・鎌田弘之著、産業図書）のP.136〜151など、多くの制御関連書籍に記述されている。例えば、以下のｓ−ｚ変換式を使用する。
【００５０】
ｓ＝（２／Ｔ）・（１−Ｚ-1）／（１＋Ｚ-1）
離散化した結果の周波数応答を，図７の実線に示す。尚、図７において、点線は、前述の式（５）の元の連続時間系伝達関数の周波数応答である。また、離散化後の伝達関数を下記式（７）に、極、ゼロ点を図５（Ｃ）に示す。
【００５１】
【数３】
ただし、K3=1.386、Wn31=−0.5105、Wn32=0.9839、Zn32=0.9671、Wd31=0.7502、Wd32=0.2851、Zd32=0.8217である。
【００５２】
このように、本発明では、図２（Ａ）で示すように、双１次ｚ変換の角周波数変換特性が、式（１）で表されるため、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する離散化結果を得るために、離散化結果が、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する新たな連続時間系伝達関数を、元の連続時間系伝達関数から生成し、この新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換するものである。
【００５３】
このため、本発明では、図２（Ｂ）に示すように、元の連続時間系伝達関数の角周波数ωａを、前述の式（５）により、角周波数ωｃに変換して、新たな連続時間系伝達関数を作成する。図２（Ａ）及び図２（Ｂ）に示すように、図２（Ｂ）の式（５）は、図２（Ａ）の式（１）の変換特性の逆変換特性であるため、式（５）の角周波数変換を行った新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換することにより、図２（Ａ）の点線に示す元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【００５４】
このように離散結果を元の連続時間系伝達関数と一致させるには、連続時間系伝達関数の周波数応答全体に対し、式（５）のようなプリワープを行い、これに基づき新たな連続時間系伝達関数を作成することにより、従来の双１次ｚ変換を利用して、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【００５５】
この第１の実施の形態と同じ連続時間系伝達関数をz変換で離散化した例が、前述の図２４であり、双一次変換した例が、前述の図２５である。図２４、図２５の結果と比較して、図７の実線で示される本発明による離散化結果は、連続時間系伝達関数に非常に良く一致した特性を示している。
【００５６】
このように、ナイキスト周波数より高い位置にゼロ極がある場合でも、連続時間系に忠実な特性をもつ離散時間系伝達関数を得ることができるため、扱いが比較的簡単な連続時間系により伝達関数の設計または同定を行ったのちに、離散化を行っても、問題なくデジタル処理を行うことが可能となる。
【００５７】
図３は、この離散化処理を行うためのシステム構成図である。図３に示すように、システムは、データ処理ユニット１と、デイスプレイ１０と、入力装置（キーボード１１、マウス１２）と、出力装置（プリンタ）１８からなる。データ処理ユニット１は、ＣＰＵとメモリ等から構成される。ここでは、前述のＭＡＴＬＡＢ２で形成された前述の離散化を行うプログラム１３〜１６がインストールされている。即ち、前述のステップＳ２の周波数応答データを計算するプログラム１３と、ステップＳ３のプリワープデータを作成するプログラム１４と、ステップＳ４の最小二乗近似を行うプログラム１５と、双１次ｚ変換を行うプログラム１６である。
【００５８】
このシステムでは、入力装置１１、１２から、連続時間系伝達関数のゲイン、極、ゼロ点（図５（Ａ））を入力することにより、特性の一致した離散結果（図５（Ｃ））が出力される。
【００５９】
［第２の実施の形態］
図８は、本発明の離散化処理方法の第２の実施の形態の処理フロー図、図９は、離散化結果の極、ゼロ点の説明図、図１０は、図８の第２の実施の形態による近似連続時間系伝達関数の特性図、図１１は、図８の第２の実施の形態による離散化結果の周波数特性図である。
【００６０】
この実施の形態は、第１の実施の形態において、ステップＳ４の最小二乗法による近似の際に、連続時間系伝達関数と同じ次数ではなく、２次高い５次で近似したものである。即ち、図８において、ステップＳ１１，１２，１３，１５は、図１のステップＳ１，２，３，５と同一の処理であるが、ステップＳ１４は、ステップＳ４の最小二乗近似を、連続時間系伝達関数の次数（この例では、３次）より高い次数（この例では、５次）で行う。
【００６１】
このステップＳ１４で近似した連続時間系伝達関数の周波数応答データを図１０の実線に示し、元の連続時間系伝達関数の周波数応答特性、プリワープした伝達関数の周波数応答特性を、各々、鎖線、点線で示す。また、近似した伝達関数の式を、下記式（８）に示す。
【００６２】
【数４】
ただし、K4=0.8451、Wn41=3.322e6 rad/s、Wn42=4.858e5 rad/s、Wn43=3.121e4 rad/s、Wn44=8.0654e5 rad/s、Zn44=0.0226、Wd41=2.900e6 rad/s、Wd42=1.292e6 rad/s、Wd43=2.528e5 rad/s、Wd44=2.133e5 rad/s、Wd45=1.377e5 rad/sである。
【００６３】
さらに、この伝達関数を双一ｚ次変換で離散化した結果（実線）を、もとの連続時間系伝達関数（破線）および第１の実施の形態で計算した離散時間系の伝達関数（点線）と並べて、図１１に示す。この時の離散化後の伝達関数を下記式（９）に示す。
【００６４】
【数５】
ただし、K5=1.346、Wn51=−0.5243、Wn52=0.6586、Wn53=0.9416、Wn54=0.9945、Zn54=0.9698、Wd51=0.1587、Wd52=0.3615、Wd53=0.4331、Wd54=0.8563、Wd55=0.9333である。尚、離散結果の極、ゼロ点は、図９に示すようになる。
【００６５】
図１１において、破線の連続時間系伝達関数（３次）の特性、点線の第１の実施の形態の離散化結果（３次）の特性、実線の第２の実施の形態の離散化結果（５次）の特性からわかるように、次数の高い５次の結果の方がより連続時間系に伝達関数に近い特性をもっている。これは、近似の際に次数を増やすことで特性の自由度が増し、より正確な近似が可能となるためである。これにより、連続時間系で設計または同定した伝達関数を、より正確に離散時間系伝達関数で再現できる。
【００６６】
［第３の実施の形態］
図１２は、本発明の離散化処理方法の第３の実施の形態の処理フロー図、図１３は、離散化結果の極、ゼロ点の説明図、図１４は、図１２の第３の実施の形態による近似連続時間系伝達関数の特性図、図１５は、図１２の第３の実施の形態による離散化結果の周波数特性図である。
【００６７】
この実施の形態は、第１の実施の形態において、ステップＳ４の最小二乗法による近似の際に、連続時間系伝達関数と同じ次数ではなく、１次低い１次で近似したものである。即ち、図１２において、ステップＳ２１，２２，２３，２５は、図１のステップＳ１，２，３，５と同一の処理であるが、ステップＳ２４は、ステップＳ４の最小二乗近似を、連続時間系伝達関数の次数（この例では、２次）より低い次数（この例では、１次）で行う。
【００６８】
この第３の実施の形態として、ナイキスト周波数上にあるノッチフィルタを離散化する例を示す。ノッチフィルタの周波数は、２５kHz、ζ=０．３である。連続時間系伝達関数を下記式（１０）に示す。
【００６９】
【数６】
ただし、K6=1.000、Wn61=1.571e5 rad/s、Wd61=1.571e5 rad/s、Zd61=0.300である。
【００７０】
離散化の方法は、近似の際に連続時間系伝達関数と同じ２次ではなく、１次で近似しているほかは、第１の実施の形態と同じである。式（１０）のノッチフィルタの周波数応答データのプロットを図１４の破線に、プリワープしたデータを図１４の点線に、近似した連続時間系伝達関数の特性を図１４の実線に示す。また、近似した伝達関数を、下記（１１）式に示す。
【００７１】
【数７】
ただし、K7=5.715e-4、Wn7=4.253e8 rad/s、Wd7=2.431e5 rad/sである。
【００７２】
更に、離散化された伝達関数の特性を図１５の実線で、点線の連続時間系伝達関数の特性とともに示す。又、離散化された伝達関数を下記式（１２）に示す。
【００７３】
【数８】
ただし、図１３に示すように、K8=0.7086、Wn8=0.9995、Wd8=0.4170である。
【００７４】
図１５の破線の連続時間系伝達関数（２次）、実線の第３の実施の形態の離散化結果（1次）から、次数を1つ減らしたのにもかかわらず両者の特性がほぼ一致していることがわかる。このように、連続時間系伝達関数の特性によっては、近似の際に次数を減らしても、特性を忠実に再現できる場合がある。次数を減らして離散化することにより、離散時間系伝達関数をデジタル制御で実現するような場合に、プロセッサの計算回数を減らすことができる。
【００７５】
［フィードバック制御系及び補償器への適用］
前述の実施の形態の適用例として、図１７のような特性をもつ伝達関数を制御対象とした連続時間系フィードバック補償器を、第１の実施の形態の方法で離散化するものを説明する。例えば、このフィードバック補償器は、図１６に示すようなデイスク装置のトラッキング制御システム（フィードバック制御システム）に使用される。
【００７６】
図１６により、このデイスク装置のトラッキング制御システムを説明する。
【００７７】
図１６は、光磁気デイスク装置を示す。ここでは、本実施形態の説明に直接関係のない部分、例えば、再生信号の処理回路、ホストコンピュータとのインターフェイス回路、あるいはフォーカス制御回路といったものは省略している。
【００７８】
図１６に示すように、光ディスク装置は、情報を記録するための情報トラックが設けられた光ディスク１０１を装着し、光ディスク１０１を回転駆動するスピンドルモータ１０２を備える。又、光デイスク装置は、光ディスク１０１に対して情報の記録、再生を行うための光学ヘッドの構成要素として、光ディスク１０１の情報トラック上に光ビーム１０４を照射するための対物レンズ１０３と、対物レンズ１０３を光軸方向（図の上下方向、フォーカシング方向）に駆動するフォーカス可動手段としてのフォーカスアクチュエータ１０６と、対物レンズ１０３及びフォーカスアクチュエータ１０６等を搭載し、前記光デイスク１０１の半径方向に移動可能なキャリッジ（アクチュエータ）１０５と、光源となるレーザダイオードやフォトディテクタを含む光学系１０７とを備えている。
【００７９】
また、トラッキング制御回路１３０は、フォトディテクタの出力電流を増幅するヘッドアンプ８０と、フォトディテクタの出力よりトラッキングエラー信号を検出するトラッキングエラー信号検出回路（ＴＥＳ検出回路）９０と、トラッキング制御系を安定化するため、ＴＥＳの高周波数成分を除去するローパスフィルタ（アンチエイリアシングフィルタ）１００と、トラッキングエラー信号からサーボ制御信号を生成するデジタルサーボ制御装置（フィードバック補償器）５と、デジタルサーボ制御装置５の出力信号に基づき前記キャリッジ１０５を駆動するためのコイルに駆動電流を供給するトラッキングアクチュエータドライバ（アンプ）６とを有している。
【００８０】
このキャリッジ１０５は、トラッキングアクチュエータドライバ６から供給される駆動電流ＩＴＲにより、光ディスク１０１上の情報トラックを横切る方向（図の左右方向、トラッキング方向）に、光ビーム１０４がすべての情報トラックを照射可能なように対物レンズ１０３及びフォーカスアクチュエータ１０６と共に移動することができる。例えば、ボイスコイルモータを有する。
【００８１】
このキャリッジ１０５の構成では、例えば、フォーカスアクチュエータ１０６は、対物レンズ１０３を固定するためのホルダと、対物レンズ１０３をフォーカシング方向に可動に、かつトラッキング方向に略固定に支持する板バネと、対物レンズ１０３を駆動するためのフォーカスコイルとから構成される。そして、キャリッジ１０５は、前記フォーカスアクチュエータ１０６を上部に搭載し、両側部にキャリッジを駆動するためのキャリッジ駆動手段としてトラッキングコイルを設けている。
【００８２】
このような構成のキャリッジ１０５を、キャリッジ１０５に沿い、ガイド軸、磁気回路とともに組み付けて光学ヘッドを構成することにより、フォーカスコイルへの通電によりフォーカスアクチュエータ１０６をフォーカシング方向に駆動でき、また、トラッキングコイルへの通電によりキャリッジ１０５をトラッキング方向に駆動することができる。キャリッジ１０５の駆動により光ビーム１０４もトラッキング方向に駆動されるので、これらによりトラッキングアクチュエータが構成されることになる。
【００８３】
又、デジタルサーボ制御装置（フィードバック補償器）５は、観測信号（制御対象の観測信号）であるアナログのトラックエラー信号ＴＥＳをデジタル値に変換するＡＤコンバータと、このデジタル値を信号処理するＤＳＰ（デジタルシグナルプロセッサ）と、ＤＳＰのデジタル駆動電圧をアナログ駆動電圧に変換するＤＡコンバータとから構成されている。
【００８４】
次に、このように構成したトラッキング制御系の動作を説明する。まず、図示しないモータ制御回路によりスピンドルモータ１０２を所定の速度で回転させ、また図示しないレーザ制御回路の駆動制御により光学系１０７に含まれるレーザダイオードを所定出力で発光させる。
【００８５】
続いて、図示しないフォーカス制御回路によりフォーカスアクチュエータ１０６を駆動制御し、光ビーム１０４が光ディスク１０１の情報トラックに対して焦点を結ぶように対物レンズ１０３のフォーカシング方向の位置制御を行う。この光ビーム１０４の光ディスク１０１からの反射光は、光学系１０７のフォトディテクタで受光され、ヘッドアンプ８０により増幅されて、トラッキングエラー信号検出回路９０へ出力される。
【００８６】
この状態で、トラッキングエラー信号検出回路９０は、前記フォトディテクタの出力に基づき、光ビーム１０４が情報トラックの中心からどれだけずれた位置を照射しているかを示す、トラッキングエラー信号ＴＥＳを生成する。通常、トラッキングエラー信号は、情報トラックの中央とトラック間のほぼ中間点とでゼロレベルとなり、光ビームの変位に対して正弦波状に変化する信号となる。
【００８７】
トラッキングエラー信号検出回路９０の出力のトラッキングエラー信号は、ローパスフィルタ１００で高周波数成分（ノイズ成分）が除去された後、デジタルサーボ制御装置５でサーボ演算処理され、トラッキングアクチュエータドライバ６より駆動電流ＩＴＲとしてキャリッジ１０５に負帰還される。この駆動電流ＩＴＲにより、キャリッジ１０５はトラッキングエラー信号検出回路９０により検出された光ビーム１０４の位置ずれを補正する方向に駆動される。
【００８８】
このように、トラッキングエラー信号をキャリッジを駆動するトラッキングコイルに帰還することにより、トラッキングエラー信号が零となるように光ビーム１０４のトラッキング方向位置が駆動され、光ビーム１０４が情報トラック中央に追従するようにするトラッキング制御が行われる。このデイスク装置を、光デイスク（光磁気デイスクを含む）装置で説明したが、磁気デイスク装置等の他のデイスク装置にも適用できる。
【００８９】
次に、このフィードバック制御システムの補償器のための離散化処理を、図１７、図１８、図１９、図２０、図２１で説明する。図１６の制御対象（キャリッジ１０５）は、図１７のような制御モデルの周波数特性を有するものとする。この制御対象の連続時間系補償器の特性は、図１８の破線で示される。即ち、この補償器は、１次の積分器、２次の位相進み補償器および４つのノッチフィルタから成っている。連続時間系伝達関数を、下記式（１３）に示す。
【００９０】
【数９】
ただし、式（１３）において、図２１（Ａ）の極、ゼロ点データに示すように、K9=4.794e14、Wn91=2.902e4 rad/s、Wn92=5.002e3 rad/s、Wn93=3.142e3 rad/s、Wn94=1.162e5 rad/s、Zn94=0、Wn95=1.320e5 rad/s、Zn95=0、Wn96=1.728e5 rad/s、Zn96=0.03、Wn97=2.200e5 rad/s、Zn97=0、Wd91=2.595e5 rad/s、Wd92=8.706e4 rad/s、Wd93=7.103e4 rad/s、Wd94=1.162e5 rad/s、Zd94=0.3、Wd95=1.320e5 rad/s、Zd95=0.2、Wd96=1.376e5 rad/s、Zd96=0.33、Wd97=2.200e5 rad/s、Zd97=0.3である。
【００９１】
離散化処理は、サンプリング周波数を、７０．０２８kHzに設定し、周波数応答データを１００Ｈｚ〜３４．８４ｋHzの範囲で、５００点とした。これ以外の条件は、第１の実施の形態と同じである。この離散化による、（１３）式の補償器の周波数応答データのプロットを、図１９の破線に、プリワープしたデータを図１９の点線に、近似した連続時間系伝達関数の特性を図１９の実線に示す。また、近似した伝達関数を下記式（１４）に示す。
【００９２】
【数１０】
ただし、図２１（Ｂ）の極、ゼロ点データに示すように、K10=2.423e7、Wn101=5.977e6 rad/s、Wn102=1.035e6 rad/s、Wn103=3.050e4 rad/s、Wn104=4.868e3 rad/s、Wn105=3.219e3 rad/s、Wn106=1.528e5 rad/s、Zn106=1.070e-4、Wn107=1.925e5 rad/s、Zn107=0.0032、Wn108=3.943e5 rad/s、Zn108=0.125、Wd101=9.949e5 rad/s、Wd102=5.422e5 rad/s、Wd103=2.009 rad/s、Wd104=6.387e4 rad/s、Zd104=0.9246、Wd105=1.269e5 rad/s、Zd105=0.4892、Wd106=1.630e5 rad/s、Zd106=0.3261、Wd107=2.184e5 rad/s、Zd107=0.4183である。
【００９３】
この式（１４）を双一次ｚ変換で離散化した結果を，図１８の実線に示す。また、離散化した伝達関数を下記式（１５）に示す。
【００９４】
【数１１】
ただし、図２１（Ｃ）の極、ゼロ点データに示すように、K11=2.167e8、Wn111=0.9542、Wn112=0.7616、Wn113=−0.9551、Wn114=−0.9328、Wn115=−0.6424、Wn116=0.9241、Zn116=0.7786、Wn117=0.9969、Zn117=0.3077、Wn118=0.9999、Zn118=0.0872、Wd111=−1、Wd112=0.7532、Wd113=0.5894、Wd114=−0.4219、Zd114=0.9154、Wd115=−0.5875、Zd115=0.1129、Wd116=0.6701、Zd116=0.4510、Wd117=0.7158、Zd117=0.1589である。
【００９５】
図２０は、本発明による離散時間系補償器を用いた場合と連続時間系保証器を用いた場合の一巡伝達特性を比較したものである。両者の特性がナイキスト周波数（この場合は、３５kHz）まで一致していることがわかる。
【００９６】
従来の離散化方法では、ナイキスト周波数に近い２０kHz以上の周波数にあるノッチフィルタは正確に離散化できないため、アナログ制御回路によって実現するか、または高速なプロセッサによりサンプリング周波数を上げて実現するか、どちらかの方法を選択するほかなかった。
【００９７】
しかし、本発明によって、連続時間系の特性に忠実な離散時間系補償器を導くことで、アナログ制御回路や高速なプロセッサを導入する必要がなくなり、より低いコストでフィードバック制御系を構成することができる。
【００９８】
［他の実施の形態］
フィードバック制御システムとして、トラッキング制御システムで説明したが、フォーカス制御系等他のフィードバック制御システムにも適用でき、更に、補償器として、デジタルフィルタ等にも適用できる。
【００９９】
以上、本発明の実施の形態で説明したが、本発明の趣旨の範囲内において、種々の変形が可能であり、これらを本発明の範囲から排除するものではない。
【０１００】
（付記１）連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理方法において、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算するステップと、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換するステップとを有することを特徴とする離散化処理方法。
【０１０１】
（付記２）前記計算ステップは、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算するステップと、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトするステップと、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算するステップからなることを特徴とする付記１の離散化処理方法。
【０１０２】
（付記３）前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似するステップからなることを特徴とする付記２の離散化処理方法。
【０１０３】
（付記４）前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似するステップからなることを特徴とする付記２の離散化処理方法。
【０１０４】
（付記５）前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似するステップからなることを特徴とする付記２の離散化処理方法。
【０１０５】
（付記６）補償すべき連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数による離散処理で補償する補償器において、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換した新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して得た前記離散時間系伝達関数を実行するデジタル装置を有することを特徴とする補償器。
【０１０６】
（付記７）前記デジタル装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトしたシフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算して得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記６の補償器。
【０１０７】
（付記８）前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記７の補償器。
【０１０８】
（付記９）前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記７の補償器。
【０１０９】
（付記１０）前記デジタル装置は、前記シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記７の補償器。
【０１１０】
（付記１１）連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理システムにおいて、入力装置と、データ処理装置とを有し、前記データ処理装置は、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算し、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して、前記離散時間系伝達関数を求めることを特徴とする離散化処理システム。
【０１１１】
（付記１２）前記データ処理装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトし、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算することを特徴とする付記１１の離散化処理システム。
【０１１２】
（付記１３）前記データ処理装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似することを特徴とする付記１２の離散化処理システム。
【０１１３】
（付記１４）前記データ処理装置は、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するため、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似することを特徴とする付記１２の離散化処理システム。
【０１１４】
（付記１５）連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理ため、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算するプログラムと、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換するプログラムとを有することを特徴とするプログラム。
【０１１５】
（付記１６）制御対象の状態を観測し、前記制御対象を制御するフィードバック制御システムにおいて、前記制御対象の状態を観測する状態検出装置と、前記制御対象の特性を補償する連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換した新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して得た離散時間系伝達関数により、前記状態検出手段からの前記状態信号に応じて、前記制御対象を制御するデジタル装置とを有することを特徴とするフィードバック制御システム。
【０１１６】
（付記１７）前記デジタル装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトしたシフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算して得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記１６のフィードバック制御システム。
【０１１７】
（付記１８）前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記１７のフィードバック制御システム。
【０１１８】
（付記１９）前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記１７のフィードバック制御システム。
【０１１９】
（付記２０）前記デジタル装置は、前記シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記１６のフィードバック制御システム。
【０１２０】
【発明の効果】
本発明では、双１次ｚ変換の角周波数変換特性が、式（１）で表されるため、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する離散化結果を得るために、離散化結果が、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する新たな連続時間系伝達関数を、元の連続時間系伝達関数から生成し、この新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換するものである。
【０１２１】
このため、本発明では、元の連続時間系伝達関数の角周波数ωａを、双１次ｚ変換の逆特性により、角周波数ωｃに変換して、新たな連続時間系伝達関数を作成する。逆特性は、双１次ｚ変換の式（１）の変換特性の逆変換特性であるため、逆特性の角周波数変換を行った新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換することにより、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。更に、離散結果を元の連続時間系伝達関数と一致させるため、連続時間系伝達関数の周波数応答全体に対し、逆特性によるプリワープを行い、これに基づき近似した新たな連続時間系伝達関数を作成することにより、離散時間系伝達関数のナイキスト周波数よりも高い位置に極やゼロ点があっても、従来の双１次ｚ変換を利用して、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【０１２２】
又、このような特性の一致した離散結果を実行する補償器及びフィードバック制御システムでは、連続時間系の特性に近づけるためのアナログ回路や、サンプリング周波数の高いプロセッサを必要としないため、これら補償器やフィードバック制御システムのコスト低減に寄与できる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の第１の実施の形態の離散化処理フロー図である。
【図２】本発明の離散化処理の原理説明図である。
【図３】本発明の離散化処理システムの一実施の形態のブロック図である。
【図４】図１のプリワープ処理の動作説明図である。
【図５】図１の極、ゼロ点の一例の説明図である。
【図６】図４のプリワープされた周波数特性図である。
【図７】図１の実施の形態の離散化結果の周波数特性図である。
【図８】本発明の第２の実施の形態の離散化処理フロー図である。
【図９】図８の実施の形態の離散化処理結果の極、ゼロ点の説明図である。
【図１０】図８の本発明の第２の実施の形態のプリワープ、近似結果の周波数特性図である。
【図１１】図８の本発明の第２の実施の形態の離散化処理結果の周波数特性図である。
【図１２】本発明の第３の実施の形態の離散化処理フロー図である。
【図１３】図１２の実施の形態の離散化処理結果の極、ゼロ点の説明図である。
【図１４】図１２の本発明の第３の実施の形態のプリワープ、近似結果の周波数特性図である。
【図１５】図１２の本発明の第３の実施の形態の離散化処理結果の周波数特性図である。
【図１６】本発明の適用例のデイスク装置の説明図である。
【図１７】図１６の本発明の適用例の制御モデルの周波数特性図である。
【図１８】図１７の本発明の適用例の連続時間系及び離散時間系補償器の周波数特性図である。
【図１９】図１８の連続時間系伝達関数のプリワープ、近似結果の周波数特性図である。
【図２０】図１８の連続時間系及び離散時間系の一巡伝達関数の周波数特性図である。
【図２１】図１８の離散時間系補償器の極、ゼロ点データの説明図である。
【図２２】従来の標準ｓ−ｚ変換の説明図である。
【図２３】従来の双１次ｚ変換の説明図である。
【図２４】従来のｓ−ｚ変換の周波数特性図である。
【図２５】従来の双１次ｚ変換の周波数特性図である。
【符号の説明】
１ データ処理装置
５ フィードバック補償器
１３ 周波数応答計算プログラム
１４ プリワーププログラム
１５ 連続時間系伝達関数近似プログラム
１６ 双１次ｚ変換プログラム
１０５ トラックアクチュエータ
１０１ 光デイスク
１３０ トラック制御回路
９０ ＴＥＳ検出回路（観測手段）
【発明の属する技術分野】
本発明は、連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、その方法を使用した補償器及びフィードバック制御システムに関し、特に、ナイキスト周波数の近傍又はより高い周波数に連続時間系伝達関数の極、ゼロ点が位置する連続時間系伝達関数を離散化するのに好適な離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、補償器及びフィードバック制御システムに関する。
【０００２】
【従来の技術】
近年の機器のデジタル化に伴い、アナログ信号処理がデジタル信号処理に置き換わっている。アナログ信号処理は、連続時間系であり、デジタル信号処理は、離散時間系である。このため、連続時間系のアナログ信号処理を、デジタル信号処理するには、連続時間系を離散時間系に変換する必要がある。
【０００３】
一般に、対象システムは、数学モデルで定義された伝達関数で表現され、例えば、デジタルフィルタや、制御対象を制御するデジタル制御器を設計するには、元来、連続時間系である対象システムの伝達関数を、離散時間系の伝達関数に変換することが必要である。
【０００４】
このような連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する、所謂離散化の方法として、ｓ−ｚ変換法が知られている。ｓ−ｚ変換法は、書籍「デジタル信号処理のポイント」（石田善久、鎌田弘之共著、産業図書（株）発行）等に広く紹介されている。基本的に、ｓ−ｚ変換法は、ｓ平面をｚ平面に変換するものであり、ｓ平面では、縦軸がｊωからなる周波数軸であり、その範囲は、±∞（無限大）となる。一方、ｚ平面では、半径１の単位円上が、周波数軸に対応し、その範囲は有限である。
【０００５】
このため、ｓ−ｚ変換では、無限区間の周波数を、有限区間に変換する必要が生じ、これらを１対１に対応させるには、何らかの制約が生じ、連続時間系伝達関数の周波数特性、インパルス応答、ステップ応答など全てを完全に一致させる離散化は、難しい。
【０００６】
例えば、標準ｚ変換法（standard z-transformation）は、アナログ連続時間系伝達関数を、デジタル離散系伝達関数に、ステップ応答を一致させ、変換するものであり、ステップ応答不変法（又はインパルス応答不変法）と称されている。この標準ｚ変換法では、図２２（Ａ）に示すように、ｓ領域における無限区間の周波数領域は、ｚ領域の有限区間の周波数領域に対応させると、ｚ領域に変換された周波数軸は、再び無限の周波数領域に展開した時、一定周期毎に繰り返される。この繰り返しの周期は、サンプリング定理から規定されるナイキスト周波数ｆｎであり、サンプリング周波数ｆｓの半分で定義される。
【０００７】
この折り返しがなされる際に、図２２（Ｂ）に示すように、振幅特性の重複が生じると、重複歪（又は折り返し歪）が生じ、アナログの連続系の振幅特性は保存されない。このため、標準ｚ変換法は、図２２（Ｃ）に示すように、高周波数域に対し周波数制限されたフィルタへの適用に限られる。
【０００８】
例えば、図２４の標準ｚ変換法による周波数特性図に示すように、ナイキスト周波数ｆｎ（この例では、２５ｋＨｚ）以上の領域で、十分に振幅が制限されていない連続時間系伝達関数を変換する場合には、図の実線で示すように、標準ｚ変換法により変換された離散時間系は、高周波数領域で、連続時間系の特性（振幅、位相）と大きくずれる。
【０００９】
一方、双一次ｚ変換法（又は双線形ｚ変換法：bilinear z-transform）は、かかる折り返し歪の発生を防止するものであり、図２３に示すように、ｓ平面における無限長の領域（ωａ）を、有限長の領域（ｐ）に対応させ、この有限長の領域ｐについて、標準ｚ変換するものである。このように、ｓ−ｚ変換する際に、ｓ平面における±∞の範囲の周波数軸が、ｚ平面上の単位円上に射影されるため、折り返し歪は生じない。この時、ｓ領域における角周波数ωａと、ｚ領域における角周波数ωｄとの関係は、以下の関係式で表現される。
【００１０】
ωｄ = （２／Ｔ）・ａｔａｎ（ωａ・Ｔ／２） （１）
但し、Ｔは、離散化する際のサンプル周期であり、ａｔａｎは、アークタンゼントの略である。このように、三角関数ｔａｎθは、−π／２≦θ≦π／２の領域において、±∞の範囲の値をとることができるため、折り返し歪を防止できる。
【００１１】
【発明が解決しようとする課題】
この双１次ｚ変換法は、もとの連続時間系伝達関数の極やゼロ点が、ナイキスト周波数（離散時間系のサンプリング周波数の１／２の周波数）ｆｎよりも十分に低い位置にあれば、正確な離散化を行うことができる。
【００１２】
しかしながら、ナイキスト周波数近傍あるいはナイキスト周波数よりも高い周波数に、連続時間系伝達関数の極やゼロ点がある場合は、変換された離散系の高周波領域の特性が、連続時間系の特性と大きくずれることが多いという問題がある。
【００１３】
即ち、図２５の双１次ｚ変換法による周波数特性図に示すように、ナイキスト周波数ｆｎ（この例では、２５ｋＨｚ）近傍や高い位置に、図の点線で示す連続時間系伝達関数の極又はゼロ点がある場合には、図の実線で示すように、双１次ｚ変換法により変換された離散時間系は、高周波数領域で、連続時間系の特性（振幅、位相）と大きくずれる。即ち、前述の式（１）のｔａｎθにより、高周波領域の特性を低域にシフトさせて（ワーピングという）、変換を行っているため、高周波の特性のみが大きくずれることになる。
【００１４】
また、双一次ｚ変換のワーピングが、式（１）で定義されることを利用して、式（１）により、離散化する前の連続時間系伝達関数の極やゼロ点のみをシフトさせ、新たな連続時間系伝達関数を置き換える手法（周波数シフト）が提案されている（例えば、特開平５−２１０４１９号公報等）。しかし、この方法では、ナイキスト周波数よりも高い周波数に連続時間系の極やゼロ点がある場合には、式（１）のｔａｎθが、π／２より大きくなるため、シフト後の周波数が負の値をとり、変換できない。このため、この周波数シフト方法を使用できず、やはり特性を一致させることは難しい。
【００１５】
このため、従来技術では、連続時間系として設計あるいは同定した伝達関数を、離散化してデジタル処理を行う場合に、特性の一致しない不正確な伝達関数しか得られないという問題があった。
【００１６】
このような連続時間系システムを離散時間系システムで構築するため、例えば、連続系で設計されたフィードバック制御系の補償器を離散化してデジタル制御を行うような場合は、ナイキスト周波数近傍の極やゼロ点は、離散化せずに、アナログ制御回路で代用する方法や、サンプリング周波数を上げてナイキスト周波数を高くするといった方法が必要であった。
【００１７】
それらの対策により、連続時間系の特性に近づけることは可能であるが、アナログ制御回路は、デジタル制御と違い、電子部品のバラツキや経時変化によって特性が変化してしまうこと、大量生産品の制御回路に使用する場合には、余計なコストとなることなどの問題があった。また、サンプリング周波数を上げるためには高速のプロセッサが必要であるため、やはり大量生産品に使用する場合は、コスト的に不利となる。
【００１８】
従って、本発明の目的は、ナイキスト周波数の近傍やより高い周波数に極やゼロ点を有する連続時間系伝達関数を、その関数の特性に一致した離散化伝達関数に変換するための連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、それを利用した補償器及びフィードバック制御システムを提供することにある。
【００１９】
又、本発明の他の目的は、アナログ回路を使用せずに、ナイキスト周波数の近傍やより高い周波数に極やゼロ点を有する連続時間系伝達関数を離散系システムで実現するための連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、それを利用した補償器及びフィードバック制御システムを提供することにある。
【００２０】
更に、本発明の更に他の目的は、サンプリング周波数を上げることなく、ナイキスト周波数の近傍やより高い周波数に極やゼロ点を有する連続時間系伝達関数を、離散化システムで実現するための連続時間系伝達関数の離散化処理方法、そのシステム、そのプログラム、それを利用した補償器及びフィードバック制御システムを提供することにある。
【００２１】
【課題を解決するための手段】
この目的の達成のため、本発明は、連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理方法であって、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算するステップと、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換するステップとを有し、前記計算ステップは、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算するステップと、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトするステップと、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算するステップを有する。
【００２２】
又、本発明の離散化処理システムは、入力装置と、データ処理装置とを有し、前記データ処理装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトし、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算し、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して、前記離散時間系伝達関数を求める。
【００２５】
更に、本発明のフィードバック制御システムは、前記制御対象の状態を観測する状態検出装置と、前記制御対象の特性を補償する連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換した新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して得た離散時間系伝達関数により、前記状態検出手段からの前記状態信号に応じて、前記制御対象を制御するデジタル装置とを有し、前記デジタル装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトしたシフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算して得た前記離散時間系伝達関数を実行する。
【００２６】
本発明では、双１次ｚ変換の角周波数変換特性が、式（１）で表されるため、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する離散化結果を得るために、離散化結果が、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する新たな連続時間系伝達関数を、元の連続時間系伝達関数から生成し、この新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換するものである。
【００２７】
このため、本発明では、元の連続時間系伝達関数の角周波数ωａを、双１次ｚ変換の逆特性により、角周波数ωｃに変換して、新たな連続時間系伝達関数を作成する。逆特性は、双１次ｚ変換の式（１）の変換特性の逆変換特性であるため、逆特性の角周波数変換を行った新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換することにより、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【００２８】
又、このような特性の一致した離散結果を実行する補償器及びフィードバック制御システムでは、連続時間系の特性に近づけるためのアナログ回路や、サンプリング周波数の高いプロセッサを必要としないため、これら補償器やフィードバック制御システムのコスト低減に寄与できる。
【００２９】
又、本発明では、好ましくは、前記計算ステップは、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算するステップと、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトするステップと、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算するステップからなる。
【００３０】
本発明のこの態様では、離散結果を元の連続時間系伝達関数と一致させるため、連続時間系伝達関数の周波数応答全体に対し、逆特性によるプリワープを行い、これに基づき近似した新たな連続時間系伝達関数を作成することにより、従来の双１次ｚ変換を利用して、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【００３１】
更に、本発明では、好ましくは、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似するステップからなることにより、より正確に離散結果を元の連続時間系伝達関数に一致させることができる。
【００３２】
更に、本発明では、好ましくは、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似するステップからなることにより、より処理量の少ない離散結果で元の連続時間系伝達関数を実現できる。
【００３３】
更に、本発明では、好ましくは、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似するステップからなることにより、近似が容易となる。
【００３４】
これにより、特にフィードバック制御系の補償器を離散化してデジタル制御を行う場合には、ナイキスト周波数近傍の極ゼロをアナログ制御回路によって代用したり、高速のプロセッサを使用してサンプリング周波数を上げたりする必要がなくなり、製品の生産コストを削減することができる。
【００３５】
また、近似が一致しにくい場合は、近似後の伝達関数の次数を増やすことによって特性を正確に再現することもできる。また、近似の際に次数を削減し、デジタル制御を行う際のプロセッサの負担を小さくすることもできる
【００３６】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態を、第１の実施の形態、第２の実施の形態、第３の実施の形態、フィードバック制御系及びその補償器への適用、他の実施の形態の順で説明する。
【００３７】
［第１の実施の形態］
図１は、本発明の離散化処理方法の一実施の形態の処理フロー図、図２は、本発明の離散化処理方法の原理の説明図、図３は、図１の方法を実行する処理システムのブロック図、図４は、図１のプリワープ処理の説明図、図５は、図１の実施例の極、ゼロ点の説明図、図６は、図５の実施例のプリワープ・近似関数生成動作の説明図、図７は、図５の実施例の変換前の連続時間系伝達関数と変換後の離散時間系伝達関数の周波数特性図である。
【００３８】
先ず、図５及び図６により、連続時間系伝達関数を説明する。連続伝達関数は、図５に示すような、伝達関数の極、ゼロ点で定義される。例えば、図５（Ａ）に示す、２つの極、２つのゼロ点を有する連続時間系伝達関数は、下記式（４）で表現される。
【００３９】
【数１】
【００４０】
従って、式（４）に，図５（Ａ）の極、ゼロ点の数値をあてはめると、Ｋ１=6.00、Wn11=3.14e3 rad/s、Wn12=1.45e5 rad/s、Wd11=1.89e5 rad/s、Wd12=1.45e5 rad/s、Zd12=0.30、である。この伝達関数の示す周波数特性は、図６の破線に示すように、周波数対振幅、周波数対位相の特性を示す。ここで、サンプリング周波数Ｔを、５０ｋＨｚとすると、ナイキスト周波数ｆｎは、２５ｋＨｚとなり、この伝達関数は、ナイキスト周波数のごく近傍に、極、ゼロ点が存在する。
【００４１】
次に、図１に従い、離散化処理を説明する。
【００４２】
（Ｓ１）先ず、前述の連続時間系伝達関数の式（４）の係数（極、ゼロ点及びゲインの値）を入力し、離散化処理を開始する。
【００４３】
（Ｓ２）次に、入力された連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算する。周波数応答データは、ＭＡＴＬＡＢ（商品名、MathWorks社製）などのＣＡＤソフトを使うことで、伝達関数から計算することができる。この例では、１ｋＨｚ〜２４．５ｋＨｚまでの特性（振幅、位相）を、データ点数５００点で、計算した。応答データの計算結果を、データとして、図４に示し、グラフとして、図６の破線に示す。
【００４４】
（Ｓ３）次に、この周波数応答データをプリワープ（周波数シフト）する。データのゲイン（振幅）と位相の値を変えずに、周波数だけを下記式（５）に従い、変更することで、プリワープを行う。
【００４５】
ωｃ＝（２／Ｔ）・ｔａｎ（ωa・Ｔ／２） （５）
尚、ωｃは、プリワープ後の角周波数、ωａは、プリワープ前の角周波数、Ｔは、離散化する際のサンプリング周期である。即ち、図２（Ｂ）に示すように，連続時間系伝達関数の周波数ωａを、プリワープして、周波数ωｃに変換する。
【００４６】
プリワープした周波数応答データを、図４に、その周波数特性を、図６の点線に示す。従来の周波数シフト方法では、極やゼロ点自体を、シフトするため、ナイキスト周波数(ここでは、２５ｋＨｚ)の点が＋∞Hzにシフトされるため、ナイキスト周波数以上の領域は、周波数シフトできない。したがって，この伝達関数のように，３０ｋHzに、極がある場合は、従来の方法では、極を周波数シフトできなかった。しかし、この発明では、極やゼロ点ではなく、伝達関数の周波数応答データをプリワープするため、極やゼロ点の位置に、プリワープされた周波数応答データは関係しない。
【００４７】
（Ｓ４）この周波数応答データから、新しい連続時間系伝達関数をこのデータに近似して求める。この例では、近似の方法には、最小二乗近似を用いた。最小二乗近似も前述のＭＡＴＬＡＢで行うことができる。最小二乗近似法については「ＭＡＴＬＡＢ数値解析」（G. J. Borse著、オーム社）のP.357〜380などの書籍に詳細が記述されている。近似した新たな連続時間系伝達関数の周波数応答を、図６の実線に示す。この時の極、ゼロ点は、図５（Ｂ）に示す。また、近似した伝達関数の式を下記式（６）に示す。
【００４８】
【数２】
【００４９】
（Ｓ５）最後に、近似した連続時間系伝達関数を，前述の双一次ｚ変換により離散化する。双一次ｚ変換の詳細については、前述のように「デジタル信号処理のポイント」（石田善久・鎌田弘之著、産業図書）のP.136〜151など、多くの制御関連書籍に記述されている。例えば、以下のｓ−ｚ変換式を使用する。
【００５０】
ｓ＝（２／Ｔ）・（１−Ｚ-1）／（１＋Ｚ-1）
離散化した結果の周波数応答を，図７の実線に示す。尚、図７において、点線は、前述の式（５）の元の連続時間系伝達関数の周波数応答である。また、離散化後の伝達関数を下記式（７）に、極、ゼロ点を図５（Ｃ）に示す。
【００５１】
【数３】
【００５２】
このように、本発明では、図２（Ａ）で示すように、双１次ｚ変換の角周波数変換特性が、式（１）で表されるため、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する離散化結果を得るために、離散化結果が、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する新たな連続時間系伝達関数を、元の連続時間系伝達関数から生成し、この新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換するものである。
【００５３】
このため、本発明では、図２（Ｂ）に示すように、元の連続時間系伝達関数の角周波数ωａを、前述の式（５）により、角周波数ωｃに変換して、新たな連続時間系伝達関数を作成する。図２（Ａ）及び図２（Ｂ）に示すように、図２（Ｂ）の式（５）は、図２（Ａ）の式（１）の変換特性の逆変換特性であるため、式（５）の角周波数変換を行った新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換することにより、図２（Ａ）の点線に示す元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【００５４】
このように離散結果を元の連続時間系伝達関数と一致させるには、連続時間系伝達関数の周波数応答全体に対し、式（５）のようなプリワープを行い、これに基づき新たな連続時間系伝達関数を作成することにより、従来の双１次ｚ変換を利用して、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【００５５】
この第１の実施の形態と同じ連続時間系伝達関数をz変換で離散化した例が、前述の図２４であり、双一次変換した例が、前述の図２５である。図２４、図２５の結果と比較して、図７の実線で示される本発明による離散化結果は、連続時間系伝達関数に非常に良く一致した特性を示している。
【００５６】
このように、ナイキスト周波数より高い位置にゼロ極がある場合でも、連続時間系に忠実な特性をもつ離散時間系伝達関数を得ることができるため、扱いが比較的簡単な連続時間系により伝達関数の設計または同定を行ったのちに、離散化を行っても、問題なくデジタル処理を行うことが可能となる。
【００５７】
図３は、この離散化処理を行うためのシステム構成図である。図３に示すように、システムは、データ処理ユニット１と、デイスプレイ１０と、入力装置（キーボード１１、マウス１２）と、出力装置（プリンタ）１８からなる。データ処理ユニット１は、ＣＰＵとメモリ等から構成される。ここでは、前述のＭＡＴＬＡＢ２で形成された前述の離散化を行うプログラム１３〜１６がインストールされている。即ち、前述のステップＳ２の周波数応答データを計算するプログラム１３と、ステップＳ３のプリワープデータを作成するプログラム１４と、ステップＳ４の最小二乗近似を行うプログラム１５と、双１次ｚ変換を行うプログラム１６である。
【００５８】
このシステムでは、入力装置１１、１２から、連続時間系伝達関数のゲイン、極、ゼロ点（図５（Ａ））を入力することにより、特性の一致した離散結果（図５（Ｃ））が出力される。
【００５９】
［第２の実施の形態］
図８は、本発明の離散化処理方法の第２の実施の形態の処理フロー図、図９は、離散化結果の極、ゼロ点の説明図、図１０は、図８の第２の実施の形態による近似連続時間系伝達関数の特性図、図１１は、図８の第２の実施の形態による離散化結果の周波数特性図である。
【００６０】
この実施の形態は、第１の実施の形態において、ステップＳ４の最小二乗法による近似の際に、連続時間系伝達関数と同じ次数ではなく、２次高い５次で近似したものである。即ち、図８において、ステップＳ１１，１２，１３，１５は、図１のステップＳ１，２，３，５と同一の処理であるが、ステップＳ１４は、ステップＳ４の最小二乗近似を、連続時間系伝達関数の次数（この例では、３次）より高い次数（この例では、５次）で行う。
【００６１】
このステップＳ１４で近似した連続時間系伝達関数の周波数応答データを図１０の実線に示し、元の連続時間系伝達関数の周波数応答特性、プリワープした伝達関数の周波数応答特性を、各々、鎖線、点線で示す。また、近似した伝達関数の式を、下記式（８）に示す。
【００６２】
【数４】
【００６３】
さらに、この伝達関数を双一ｚ次変換で離散化した結果（実線）を、もとの連続時間系伝達関数（破線）および第１の実施の形態で計算した離散時間系の伝達関数（点線）と並べて、図１１に示す。この時の離散化後の伝達関数を下記式（９）に示す。
【００６４】
【数５】
【００６５】
図１１において、破線の連続時間系伝達関数（３次）の特性、点線の第１の実施の形態の離散化結果（３次）の特性、実線の第２の実施の形態の離散化結果（５次）の特性からわかるように、次数の高い５次の結果の方がより連続時間系に伝達関数に近い特性をもっている。これは、近似の際に次数を増やすことで特性の自由度が増し、より正確な近似が可能となるためである。これにより、連続時間系で設計または同定した伝達関数を、より正確に離散時間系伝達関数で再現できる。
【００６６】
［第３の実施の形態］
図１２は、本発明の離散化処理方法の第３の実施の形態の処理フロー図、図１３は、離散化結果の極、ゼロ点の説明図、図１４は、図１２の第３の実施の形態による近似連続時間系伝達関数の特性図、図１５は、図１２の第３の実施の形態による離散化結果の周波数特性図である。
【００６７】
この実施の形態は、第１の実施の形態において、ステップＳ４の最小二乗法による近似の際に、連続時間系伝達関数と同じ次数ではなく、１次低い１次で近似したものである。即ち、図１２において、ステップＳ２１，２２，２３，２５は、図１のステップＳ１，２，３，５と同一の処理であるが、ステップＳ２４は、ステップＳ４の最小二乗近似を、連続時間系伝達関数の次数（この例では、２次）より低い次数（この例では、１次）で行う。
【００６８】
この第３の実施の形態として、ナイキスト周波数上にあるノッチフィルタを離散化する例を示す。ノッチフィルタの周波数は、２５kHz、ζ=０．３である。連続時間系伝達関数を下記式（１０）に示す。
【００６９】
【数６】
【００７０】
離散化の方法は、近似の際に連続時間系伝達関数と同じ２次ではなく、１次で近似しているほかは、第１の実施の形態と同じである。式（１０）のノッチフィルタの周波数応答データのプロットを図１４の破線に、プリワープしたデータを図１４の点線に、近似した連続時間系伝達関数の特性を図１４の実線に示す。また、近似した伝達関数を、下記（１１）式に示す。
【００７１】
【数７】
【００７２】
更に、離散化された伝達関数の特性を図１５の実線で、点線の連続時間系伝達関数の特性とともに示す。又、離散化された伝達関数を下記式（１２）に示す。
【００７３】
【数８】
【００７４】
図１５の破線の連続時間系伝達関数（２次）、実線の第３の実施の形態の離散化結果（1次）から、次数を1つ減らしたのにもかかわらず両者の特性がほぼ一致していることがわかる。このように、連続時間系伝達関数の特性によっては、近似の際に次数を減らしても、特性を忠実に再現できる場合がある。次数を減らして離散化することにより、離散時間系伝達関数をデジタル制御で実現するような場合に、プロセッサの計算回数を減らすことができる。
【００７５】
［フィードバック制御系及び補償器への適用］
前述の実施の形態の適用例として、図１７のような特性をもつ伝達関数を制御対象とした連続時間系フィードバック補償器を、第１の実施の形態の方法で離散化するものを説明する。例えば、このフィードバック補償器は、図１６に示すようなデイスク装置のトラッキング制御システム（フィードバック制御システム）に使用される。
【００７６】
図１６により、このデイスク装置のトラッキング制御システムを説明する。
【００７７】
図１６は、光磁気デイスク装置を示す。ここでは、本実施形態の説明に直接関係のない部分、例えば、再生信号の処理回路、ホストコンピュータとのインターフェイス回路、あるいはフォーカス制御回路といったものは省略している。
【００７８】
図１６に示すように、光ディスク装置は、情報を記録するための情報トラックが設けられた光ディスク１０１を装着し、光ディスク１０１を回転駆動するスピンドルモータ１０２を備える。又、光デイスク装置は、光ディスク１０１に対して情報の記録、再生を行うための光学ヘッドの構成要素として、光ディスク１０１の情報トラック上に光ビーム１０４を照射するための対物レンズ１０３と、対物レンズ１０３を光軸方向（図の上下方向、フォーカシング方向）に駆動するフォーカス可動手段としてのフォーカスアクチュエータ１０６と、対物レンズ１０３及びフォーカスアクチュエータ１０６等を搭載し、前記光デイスク１０１の半径方向に移動可能なキャリッジ（アクチュエータ）１０５と、光源となるレーザダイオードやフォトディテクタを含む光学系１０７とを備えている。
【００７９】
また、トラッキング制御回路１３０は、フォトディテクタの出力電流を増幅するヘッドアンプ８０と、フォトディテクタの出力よりトラッキングエラー信号を検出するトラッキングエラー信号検出回路（ＴＥＳ検出回路）９０と、トラッキング制御系を安定化するため、ＴＥＳの高周波数成分を除去するローパスフィルタ（アンチエイリアシングフィルタ）１００と、トラッキングエラー信号からサーボ制御信号を生成するデジタルサーボ制御装置（フィードバック補償器）５と、デジタルサーボ制御装置５の出力信号に基づき前記キャリッジ１０５を駆動するためのコイルに駆動電流を供給するトラッキングアクチュエータドライバ（アンプ）６とを有している。
【００８０】
このキャリッジ１０５は、トラッキングアクチュエータドライバ６から供給される駆動電流ＩＴＲにより、光ディスク１０１上の情報トラックを横切る方向（図の左右方向、トラッキング方向）に、光ビーム１０４がすべての情報トラックを照射可能なように対物レンズ１０３及びフォーカスアクチュエータ１０６と共に移動することができる。例えば、ボイスコイルモータを有する。
【００８１】
このキャリッジ１０５の構成では、例えば、フォーカスアクチュエータ１０６は、対物レンズ１０３を固定するためのホルダと、対物レンズ１０３をフォーカシング方向に可動に、かつトラッキング方向に略固定に支持する板バネと、対物レンズ１０３を駆動するためのフォーカスコイルとから構成される。そして、キャリッジ１０５は、前記フォーカスアクチュエータ１０６を上部に搭載し、両側部にキャリッジを駆動するためのキャリッジ駆動手段としてトラッキングコイルを設けている。
【００８２】
このような構成のキャリッジ１０５を、キャリッジ１０５に沿い、ガイド軸、磁気回路とともに組み付けて光学ヘッドを構成することにより、フォーカスコイルへの通電によりフォーカスアクチュエータ１０６をフォーカシング方向に駆動でき、また、トラッキングコイルへの通電によりキャリッジ１０５をトラッキング方向に駆動することができる。キャリッジ１０５の駆動により光ビーム１０４もトラッキング方向に駆動されるので、これらによりトラッキングアクチュエータが構成されることになる。
【００８３】
又、デジタルサーボ制御装置（フィードバック補償器）５は、観測信号（制御対象の観測信号）であるアナログのトラックエラー信号ＴＥＳをデジタル値に変換するＡＤコンバータと、このデジタル値を信号処理するＤＳＰ（デジタルシグナルプロセッサ）と、ＤＳＰのデジタル駆動電圧をアナログ駆動電圧に変換するＤＡコンバータとから構成されている。
【００８４】
次に、このように構成したトラッキング制御系の動作を説明する。まず、図示しないモータ制御回路によりスピンドルモータ１０２を所定の速度で回転させ、また図示しないレーザ制御回路の駆動制御により光学系１０７に含まれるレーザダイオードを所定出力で発光させる。
【００８５】
続いて、図示しないフォーカス制御回路によりフォーカスアクチュエータ１０６を駆動制御し、光ビーム１０４が光ディスク１０１の情報トラックに対して焦点を結ぶように対物レンズ１０３のフォーカシング方向の位置制御を行う。この光ビーム１０４の光ディスク１０１からの反射光は、光学系１０７のフォトディテクタで受光され、ヘッドアンプ８０により増幅されて、トラッキングエラー信号検出回路９０へ出力される。
【００８６】
この状態で、トラッキングエラー信号検出回路９０は、前記フォトディテクタの出力に基づき、光ビーム１０４が情報トラックの中心からどれだけずれた位置を照射しているかを示す、トラッキングエラー信号ＴＥＳを生成する。通常、トラッキングエラー信号は、情報トラックの中央とトラック間のほぼ中間点とでゼロレベルとなり、光ビームの変位に対して正弦波状に変化する信号となる。
【００８７】
トラッキングエラー信号検出回路９０の出力のトラッキングエラー信号は、ローパスフィルタ１００で高周波数成分（ノイズ成分）が除去された後、デジタルサーボ制御装置５でサーボ演算処理され、トラッキングアクチュエータドライバ６より駆動電流ＩＴＲとしてキャリッジ１０５に負帰還される。この駆動電流ＩＴＲにより、キャリッジ１０５はトラッキングエラー信号検出回路９０により検出された光ビーム１０４の位置ずれを補正する方向に駆動される。
【００８８】
このように、トラッキングエラー信号をキャリッジを駆動するトラッキングコイルに帰還することにより、トラッキングエラー信号が零となるように光ビーム１０４のトラッキング方向位置が駆動され、光ビーム１０４が情報トラック中央に追従するようにするトラッキング制御が行われる。このデイスク装置を、光デイスク（光磁気デイスクを含む）装置で説明したが、磁気デイスク装置等の他のデイスク装置にも適用できる。
【００８９】
次に、このフィードバック制御システムの補償器のための離散化処理を、図１７、図１８、図１９、図２０、図２１で説明する。図１６の制御対象（キャリッジ１０５）は、図１７のような制御モデルの周波数特性を有するものとする。この制御対象の連続時間系補償器の特性は、図１８の破線で示される。即ち、この補償器は、１次の積分器、２次の位相進み補償器および４つのノッチフィルタから成っている。連続時間系伝達関数を、下記式（１３）に示す。
【００９０】
【数９】
【００９１】
離散化処理は、サンプリング周波数を、７０．０２８kHzに設定し、周波数応答データを１００Ｈｚ〜３４．８４ｋHzの範囲で、５００点とした。これ以外の条件は、第１の実施の形態と同じである。この離散化による、（１３）式の補償器の周波数応答データのプロットを、図１９の破線に、プリワープしたデータを図１９の点線に、近似した連続時間系伝達関数の特性を図１９の実線に示す。また、近似した伝達関数を下記式（１４）に示す。
【００９２】
【数１０】
【００９３】
この式（１４）を双一次ｚ変換で離散化した結果を，図１８の実線に示す。また、離散化した伝達関数を下記式（１５）に示す。
【００９４】
【数１１】
【００９５】
図２０は、本発明による離散時間系補償器を用いた場合と連続時間系保証器を用いた場合の一巡伝達特性を比較したものである。両者の特性がナイキスト周波数（この場合は、３５kHz）まで一致していることがわかる。
【００９６】
従来の離散化方法では、ナイキスト周波数に近い２０kHz以上の周波数にあるノッチフィルタは正確に離散化できないため、アナログ制御回路によって実現するか、または高速なプロセッサによりサンプリング周波数を上げて実現するか、どちらかの方法を選択するほかなかった。
【００９７】
しかし、本発明によって、連続時間系の特性に忠実な離散時間系補償器を導くことで、アナログ制御回路や高速なプロセッサを導入する必要がなくなり、より低いコストでフィードバック制御系を構成することができる。
【００９８】
［他の実施の形態］
フィードバック制御システムとして、トラッキング制御システムで説明したが、フォーカス制御系等他のフィードバック制御システムにも適用でき、更に、補償器として、デジタルフィルタ等にも適用できる。
【００９９】
以上、本発明の実施の形態で説明したが、本発明の趣旨の範囲内において、種々の変形が可能であり、これらを本発明の範囲から排除するものではない。
【０１００】
（付記１）連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理方法において、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算するステップと、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換するステップとを有することを特徴とする離散化処理方法。
【０１０１】
（付記２）前記計算ステップは、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算するステップと、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトするステップと、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算するステップからなることを特徴とする付記１の離散化処理方法。
【０１０２】
（付記３）前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似するステップからなることを特徴とする付記２の離散化処理方法。
【０１０３】
（付記４）前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似するステップからなることを特徴とする付記２の離散化処理方法。
【０１０４】
（付記５）前記新たな連続時間系伝達関数を計算するステップは、シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似するステップからなることを特徴とする付記２の離散化処理方法。
【０１０５】
（付記６）補償すべき連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数による離散処理で補償する補償器において、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換した新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して得た前記離散時間系伝達関数を実行するデジタル装置を有することを特徴とする補償器。
【０１０６】
（付記７）前記デジタル装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトしたシフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算して得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記６の補償器。
【０１０７】
（付記８）前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記７の補償器。
【０１０８】
（付記９）前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記７の補償器。
【０１０９】
（付記１０）前記デジタル装置は、前記シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記７の補償器。
【０１１０】
（付記１１）連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理システムにおいて、入力装置と、データ処理装置とを有し、前記データ処理装置は、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算し、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して、前記離散時間系伝達関数を求めることを特徴とする離散化処理システム。
【０１１１】
（付記１２）前記データ処理装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトし、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算することを特徴とする付記１１の離散化処理システム。
【０１１２】
（付記１３）前記データ処理装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似することを特徴とする付記１２の離散化処理システム。
【０１１３】
（付記１４）前記データ処理装置は、前記新たな連続時間系伝達関数を計算するため、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似することを特徴とする付記１２の離散化処理システム。
【０１１４】
（付記１５）連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理ため、前記連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算するプログラムと、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換するプログラムとを有することを特徴とするプログラム。
【０１１５】
（付記１６）制御対象の状態を観測し、前記制御対象を制御するフィードバック制御システムにおいて、前記制御対象の状態を観測する状態検出装置と、前記制御対象の特性を補償する連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換した新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して得た離散時間系伝達関数により、前記状態検出手段からの前記状態信号に応じて、前記制御対象を制御するデジタル装置とを有することを特徴とするフィードバック制御システム。
【０１１６】
（付記１７）前記デジタル装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトしたシフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算して得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記１６のフィードバック制御システム。
【０１１７】
（付記１８）前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも高い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記１７のフィードバック制御システム。
【０１１８】
（付記１９）前記デジタル装置は、元の前記連続時間系伝達関数よりも低い次数の伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記１７のフィードバック制御システム。
【０１１９】
（付記２０）前記デジタル装置は、前記シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行することを特徴とする付記１６のフィードバック制御システム。
【０１２０】
【発明の効果】
本発明では、双１次ｚ変換の角周波数変換特性が、式（１）で表されるため、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する離散化結果を得るために、離散化結果が、元の連続時間系伝達関数の特性と一致する新たな連続時間系伝達関数を、元の連続時間系伝達関数から生成し、この新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換するものである。
【０１２１】
このため、本発明では、元の連続時間系伝達関数の角周波数ωａを、双１次ｚ変換の逆特性により、角周波数ωｃに変換して、新たな連続時間系伝達関数を作成する。逆特性は、双１次ｚ変換の式（１）の変換特性の逆変換特性であるため、逆特性の角周波数変換を行った新たな連続時間系伝達関数を双１次ｚ変換することにより、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。更に、離散結果を元の連続時間系伝達関数と一致させるため、連続時間系伝達関数の周波数応答全体に対し、逆特性によるプリワープを行い、これに基づき近似した新たな連続時間系伝達関数を作成することにより、離散時間系伝達関数のナイキスト周波数よりも高い位置に極やゼロ点があっても、従来の双１次ｚ変換を利用して、元の連続時間系伝達関数の特性を持つ離散結果が得られる。
【０１２２】
又、このような特性の一致した離散結果を実行する補償器及びフィードバック制御システムでは、連続時間系の特性に近づけるためのアナログ回路や、サンプリング周波数の高いプロセッサを必要としないため、これら補償器やフィードバック制御システムのコスト低減に寄与できる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の第１の実施の形態の離散化処理フロー図である。
【図２】本発明の離散化処理の原理説明図である。
【図３】本発明の離散化処理システムの一実施の形態のブロック図である。
【図４】図１のプリワープ処理の動作説明図である。
【図５】図１の極、ゼロ点の一例の説明図である。
【図６】図４のプリワープされた周波数特性図である。
【図７】図１の実施の形態の離散化結果の周波数特性図である。
【図８】本発明の第２の実施の形態の離散化処理フロー図である。
【図９】図８の実施の形態の離散化処理結果の極、ゼロ点の説明図である。
【図１０】図８の本発明の第２の実施の形態のプリワープ、近似結果の周波数特性図である。
【図１１】図８の本発明の第２の実施の形態の離散化処理結果の周波数特性図である。
【図１２】本発明の第３の実施の形態の離散化処理フロー図である。
【図１３】図１２の実施の形態の離散化処理結果の極、ゼロ点の説明図である。
【図１４】図１２の本発明の第３の実施の形態のプリワープ、近似結果の周波数特性図である。
【図１５】図１２の本発明の第３の実施の形態の離散化処理結果の周波数特性図である。
【図１６】本発明の適用例のデイスク装置の説明図である。
【図１７】図１６の本発明の適用例の制御モデルの周波数特性図である。
【図１８】図１７の本発明の適用例の連続時間系及び離散時間系補償器の周波数特性図である。
【図１９】図１８の連続時間系伝達関数のプリワープ、近似結果の周波数特性図である。
【図２０】図１８の連続時間系及び離散時間系の一巡伝達関数の周波数特性図である。
【図２１】図１８の離散時間系補償器の極、ゼロ点データの説明図である。
【図２２】従来の標準ｓ−ｚ変換の説明図である。
【図２３】従来の双１次ｚ変換の説明図である。
【図２４】従来のｓ−ｚ変換の周波数特性図である。
【図２５】従来の双１次ｚ変換の周波数特性図である。
【符号の説明】
１ データ処理装置
５ フィードバック補償器
１３ 周波数応答計算プログラム
１４ プリワーププログラム
１５ 連続時間系伝達関数近似プログラム
１６ 双１次ｚ変換プログラム
１０５ トラックアクチュエータ
１０１ 光デイスク
１３０ トラック制御回路
９０ ＴＥＳ検出回路（観測手段）
Claims (5)
- 連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理方法において、
前記連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換して、新たな連続時間系伝達関数を計算するステップと、
前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換するステップとを有し、
前記計算ステップは、
前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算するステップと、
前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトするステップと、
シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算するステップを有する
ことを特徴とする離散化処理方法。 - 連続時間系伝達関数を離散時間系伝達関数に変換する離散化処理システムにおいて、
入力装置と、データ処理装置とを有し、
前記データ処理装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトし、シフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算し、前記新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して、前記離散時間系伝達関数を求める
ことを特徴とする離散化処理システム。 - 前記データ処理装置は、前記シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法により、前記新たな連続時間系伝達関数を計算する
ことを特徴とする請求項２の離散化処理システム。 - 制御対象の状態を観測し、前記制御対象を制御するフィードバック制御システムにおいて、
前記制御対象の状態を観測する状態検出装置と、
前記制御対象の特性を補償する連続時間系伝達関数の角周波数を双１次ｚ変換の角周波数変換特性と逆特性で角周波数に変換した新たな連続時間系伝達関数を前記角周波数変換特性の前記双１次ｚ変換して得た離散時間系伝達関数により、前記状態検出手段からの前記状態信号に応じて、前記制御対象を制御するデジタル装置とを有し、
前記デジタル装置は、前記連続時間系伝達関数の周波数応答データを計算し、前記周波数応答データの周波数ωａを、ωｃ＝２／Ｔ・ｔａｎ（ωａ・Ｔ／２）の式で、周波数ωｃにシフトしたシフト後の周波数応答データに近似させた新たな連続時間系伝達関数を計算して得た前記離散時間系伝達関数を実行する
ことを特徴とするフィードバック制御システム。 - 前記デジタル装置は、前記シフトされた前記周波数応答データから最小二乗法で伝達関数に近似した新たな連続時間系伝達関数から得た前記離散時間系伝達関数を実行する
ことを特徴とする請求項４のフィードバック制御システム。
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