ES2640824T3 - Utilización de la proyección sobre conjuntos convexos para limitar la inversión del campo de onda completa - Google Patents

Abstract

Un método implementado por ordenador para asegurar la estabilidad de la inversión iterativa de los datos sísmicos para inferir un modelo de al menos una propiedad física de una región del subsuelo, en donde se calcula una actualización del modelo, utilizando un ordenador programado, para una siguiente iteración mediante la optimización de un desajuste de medición de la función objetivo entre los datos sísmicos y los datos sísmicos simulados por el modelo, en donde dicho método comprende: determinar cuándo una actualización del modelo provocará una simulación inestable, y en respuesta a una determinación de este tipo, utilizar una proyección sobre conjuntos convexos para encontrar un modelo estable más próximo, en donde dicho método se caracteriza por que comprende, además: determinar una matriz de constantes elásticas de la región del subsuelo, correspondiendo dicha matriz a dicho modelo de la al menos una propiedad física de la región del subsuelo; determinar si un modelo actualizado provocará una simulación inestable en base a si la matriz de constantes elásticas correspondiente al modelo actualizado es o no es una matriz semi-definitiva positiva; en respuesta a una determinación de inestabilidad, definir un operador de proyección de estabilidad que convertirá la matriz correspondiente al modelo actualizado en una matriz semi-definitiva positiva, siendo dicho operador de proyección de estabilidad un operador de proyección sobre conjuntos convexos; aplicar el operador de proyección de estabilidad a la matriz correspondiente al modelo actualizado, generar una matriz proyectada y ajustar el modelo actualizado para que corresponda a la matriz proyectada; y utilizar el modelo ajustado para simular datos sísmicos sintéticos para una próxima iteración.

Description

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DESCRIPCION

Utilizacion de la proyeccion sobre conjuntos convexos para limitar la inversion del campo de onda completa.

Campo de la invencion

Esta invencion se refiere al campo de la prospeccion geoffsica y, mas particularmente, al procesamiento de datos sfsmicos. Espedficamente, la invencion es un metodo para asegurar la estabilidad de las simulaciones en la inversion del campo de onda completa.

Antecedentes de la invencion

Durante el examen sfsmico de una region subterranea, los datos sfsmicos se adquieren normalmente mediante la colocacion de una fuente sfsmica en una ubicacion objetivo elegida y la medicion de las reflexiones sfsmicas generadas por la fuente utilizando receptores colocados en las ubicaciones seleccionadas. Las reflexiones medidas se denominan como un unico "registro objetivo". Se miden muchos registros objetivo durante un examen moviendo la fuente y los receptores a diferentes ubicaciones y repitiendo el proceso antes mencionado. El examen se puede utilizar a continuacion para realizar la inversion del campo de onda completa, que utiliza la informacion contenida en los registros objetivo para determinar las propiedades ffsicas de la region subterranea (por ejemplo, la velocidad del sonido en el medio, la distribucion de densidades, etc...). La inversion del campo de onda completa es un proceso iterativo, comprendiendo cada iteracion los pasos del modelado de avance para crear los datos del modelo y el calculo de funcion objetivo para medir la similitud entre el modelo y datos de campo. Las propiedades ffsicas del subsuelo se ajustan en cada iteracion para asegurar un mejor acuerdo de forma progresiva entre el modelo y los datos de campo. La modificacion de las propiedades del subsuelo debe llevarse a cabo de tal manera que no se violen las relaciones conocidas entre diversas propiedades. El proceso de actualizacion normalmente genera varios modelos de prueba, que pueden volverse inestables, lo que lleva a un "fenomeno de explosion" (crecimiento ilimitado de la solucion, hasta que los numeros se vuelvan tan grandes que ya no puedan ser representados en una computadora) de las simulaciones numericas. Matematicamente, un modelo estable corresponde a una matriz semi- definitiva positiva de constantes elasticas (una matriz es semi-definida positiva cuando todos sus valores propios son no negativos), que entran como coeficientes en la ecuacion de onda. La ecuacion de onda se puede escribir de muchas formas diferentes, dependiendo del nivel de ffsica que deba incluirse en una simulacion. Por ejemplo, la propagacion elastica (un caso bastante general) se describe por:

/>(x)dx u(x,f) - V • T(x, t.) = g(x, t)

T(x, 0 = C(x): Vu(x, t) = cijkl (\)dkus(\, r) ’

donde T es el tensor de esfuerzos, x es un vector que representa las tres coordenadas espaciales, t es el tiempo, g es una funcion de fuente, y cp es un tensor de cuarto orden de constantes elasticas.

Por conveniencia, cp a menudo se aplica en una matriz de 6x6 utilizando la notacion de Voight (Tsvankin (2005), vease pg. 8.):

^ u = c,jki ’ donde

imagen1

imagen2

La matriz Cj (o una matriz equivalente que representa el tensor cp de cuarto orden) debe ser definida positiva (Helbig (1994), capffulo 5).

Tecnologfa actual

En una determinada iteracion n de inversion, una actualizacion del modelo por lo general implica calcular una direccion de busqueda sn (esto se logra por lo general mediante el calculo del gradiente de una funcion objetivo /; a menudo se utiliza sn = -V/) y la realizacion de una " busqueda lineal", es decir, la evaluacion de funciones objetivo para diversos modelos de prueba que se crean a traves de una combinacion lineal de un modelo actual y la direccion de busqueda:

m‘ ■ m' as:

La direccion de busqueda se escala por un "tamano de paso" a y se anade al modelo actual mn. El valor de los escalares a que produce el mejor valor de la funcion objetivo se selecciona y se forma un nuevo modelo actualizado

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utilizando este valor. A veces (por lo general, si se elige el tamano de paso a para ser demasiado grande) mn+1 puede llegar a ser ffsicamente inviable y conducir a un fenomeno de explosion en simulaciones numericas. El fenomeno de explosion puede ocurrir incluso si el modelo es inestable en solo unas pocas ubicaciones espaciales. Si esto sucede, uno se ve obligado a elegir un tamano de paso diferente (por lo general mas pequeno), ralentizando de este modo el proceso de inversion.

Ademas de las limitaciones de viabilidad (estabilidad) descritas anteriormente, puede ser apropiado imponer otras limitaciones, por ejemplo, requerir que todos los parametros del modelo se encuentren dentro de un intervalo predeterminado determinado ("limitaciones caja"). Tales limitaciones se incorporan normalmente en el proceso de inversion utilizando funciones de penalizacion, multiplicadores de Lagrange o proyeccion sobre conjuntos convexos (POCS). Los dos primeros metodos son apropiados cuando las limitaciones son "suaves", es decir, pueden ser violadas en pasos intermedios y deben ser satisfechas solamente en la convergencia. El ultimo metodo, POCS, es apropiado tanto para las limitaciones suaves como para las limitaciones "fuertes" (es decir, limitaciones que no pueden ser violadas y que deben satisfacerse para todos los modelos intermedios). Una forma convencional de aplicar POCS para imponer limitaciones suaves es realizar una proyeccion al final de la busqueda lineal:

donde P es un operador de proyeccion. Las limitaciones duras se pueden imponer de una manera similar:

imagen3

La fijacion de a, aplicando el operador de proyeccion P antes de que comience la busqueda lineal, y realizar a continuacion una busqueda lineal con 0 < <1 garantiza que todos los modelos intermedios satisfaran la limitacion

deseada. J. Korkealaakso describe un metodo de inversion e interpolacion para predecir y manejar sistematicamente la geoinformacion en "Aplicacion del metodo de inversion de POCS a la caracterizacion hidrogeologica", informe de trabajo del Centro de Investigacion Tecnica de las Comunidades e Infraestructuras de Finlandia publicado el 1 de mayo de 1997. A. Baumstein et al. describe una "Reconstruccion exacta de datos mediante la aplicacion simultanea de limitaciones estadfsticas y de base ffsica a multiples conjuntos de datos geoffsicos" en Geoffsica, vol. 75, n.° 6.1 de noviembre de 2010, paginas WB165-WB172.

Resumen de la invencion

Los problemas antes mencionados se resuelven de acuerdo con las caractensticas de la reivindicacion 1. En una forma de realizacion, la invencion es un metodo implementado por ordenador para asegurar la estabilidad de la inversion iterativa de los datos sfsmicos para inferir un modelo de al menos una propiedad ffsica de una region del subsuelo, en donde se calcula una actualizacion del modelo, utilizando un ordenador programado, para una siguiente iteracion mediante la optimizacion de un desajuste de medicion de la funcion objetivo entre los datos sfsmicos y los datos sfsmicos simulados por el modelo, comprendiendo dicho metodo:

determinar cuando una actualizacion del modelo provocara una simulacion inestable y, en respuesta a una determinacion de este tipo, utilizar una proyeccion sobre conjuntos convexos para encontrar un modelo estable mas proximo.

Breve descripcion de los dibujos

La presente invencion y sus ventajas se comprenderan mejor haciendo referencia a la siguiente descripcion detallada y los dibujos adjuntos en los que:

La Fig. 1 es un diagrama de flujo que muestra los pasos basicos en una forma de realizacion de la presente invencion; y

La Fig. 2 muestra los resultados de un ejemplo de prueba del presente metodo inventivo.

La invencion se describira en conexion con formas de realizacion de ejemplo. Sin embargo, en la medida en que la siguiente descripcion detallada es espedfica de una forma de realizacion particular o de un uso particular de la invencion, se pretende que sea solo ilustrativa y no debe interpretarse como limitativa del alcance de la invencion. Por el contrario, se pretende cubrir todas las alternativas, modificaciones y equivalentes que se puedan incluir dentro del alcance de la invencion, segun se define en las reivindicaciones adjuntas.

Descripcion detallada de formas de realizacion de ejemplo

Un concepto central de esta invencion es el reconocimiento de que es posible para asegurar la estabilidad de las simulaciones de avance mientras se realiza una busqueda lineal en inversion de campo de onda completa iterativa mediante la conversion de un modelo ffsico de rocas inestables en un uno estable a traves de la aplicacion de la proyeccion sobre conjuntos convexos ("POCS"). Dado que las matrices semi-definidas positivas que corresponden a modelos ffsicos de rocas estables forman un conjunto convexo, es posible definir un operador de proyeccion que

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convertira cualquier matriz en la matriz semi-definitiva positiva mas proxima. Sin embargo, este paso puede ser insuficiente, ya que la matriz puede necesitar satisfacer limitaciones adicionales que corresponden a relaciones ffsicas de rocas conocidas entre constantes elasticas, y que llegaran a violarse cuando la matriz se convierta en una semi-definitiva positiva. Para satisfacer estas limitaciones, se realiza una proyeccion adicional sobre el conjunto de tales limitaciones. Alternativamente, estas limitaciones podnan ser impuestas por una funcion de penalizacion o un multiplicador de Lagrange. El proceso itera a continuacion entre hacer la matriz positiva semi-definida y satisfacer las relaciones entre las constantes elasticas hasta que se encuentre una solucion factible. Si los operadores de proyeccion se derivan correctamente y existe un modelo factible que satisface todas las limitaciones, se garantiza que el metodo converja. El modelo resultante se puede utilizar para realizar simulaciones estables. La ventaja clave sobre las metodologfas convencionales es que, si las limitaciones de estabilidad se violan en solo unas pocas ubicaciones espaciales, la aplicacion del metodo propuesto resolvera el problema en esas ubicaciones sin afectar la longitud total del paso (como sena el caso con la tecnologfa actual descrita anteriormente), mejorando de este modo la velocidad de convergencia.

Una aplicacion practica del presente metodo inventivo puede proceder por primero comenzar con un conjunto disponible de constantes elasticas. Se forma a continuacion una matriz de constantes elasticas correspondiente al nivel de ffsica elegido:

C

X

ci2 c13 Cu C,5

Cu

c._ c,} c24 c25

Cr,

c23 Cu Cis

C, 4

Q 4 Qs c46

r,, C3S Q,

X

Q C*J

donde

1. Si el medio es isotropico:

C’ =C22 =C„ =(C’ +2CS5);

C

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Cp=C,

c.

6 6’

C'

2. Si el medio es transversalmente isotropico verticalmente (VTI):

r = r c =c c =r -

'-22 '-11?'“ 44 '-55?'-23 '“13 >

C =C -2 C ■

*“1 2 11 >

Un operador de proyeccion sobre el conjunto de matrices semi-definidas positivas se da a continuacion en la seccion "Ejemplo". Para demostrar como los operadores de proyeccion para las condiciones 1 y 2 anteriores se pueden derivar (este es un metodo bien conocido de derivar operadores de proyeccion, vease, por ejemplo, Simard y Malloux (2000)), que recogen la primera de las limitaciones anteriores: C11 = C22- Supongamos que en una matriz C esta limitacion no esta satisfecha y buscamos la matriz C "mas proxima" cuyas entradas la satisfanan. Definimos "mas proxima" para significar una matriz con elementos que minimizan la siguiente funcion objetivo (medida de distancia):

imagen5

La limitacion entonces se puede agregar utilizando un metodo bien conocido de multiplicadores de Lagrange:

imagen6

Diferenciando esta funcion objetivo con respecto a C11, C22 y -A, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

2(cil-C11)+/ = 0 2{C12-C21)-1 = 0 C»-Cn= 0

Resolviendo para A, obtenemos

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= cn-c22

y

C11=C11-^/2 = (Cu+C22)/2 C22 = C22 + a/2 = ((?,, + C;;)/2

que define el operador de proyeccion correcto.

La Figura 1 es un diagrama de flujo que muestra los pasos basicos en una forma de realizacion del presente metodo inventivo. En el paso 11, el diagrama de flujo recoge el proceso al principio de una iteracion, donde el modelo se ha actualizado en la iteracion anterior. En el paso 12, se calcula una direccion para la busqueda lineal. Esto implica utilizar el modelo para simular datos sfsmicos, calculando a continuacion una funcion objetivo que mida la diferencia entre los datos simulados y los datos medidos. A continuacion, se calcula el gradiente de la funcion objetivo con respecto a cada parametro del modelo y se determina una direccion para la busqueda lineal a partir del gradiente.

En el paso 13, el modelo se actualiza en la direccion de la busqueda utilizando uno de un conjunto de tamanos de paso seleccionados para una busqueda lineal. Normalmente, se prueba primero el tamano de paso mas grande. Desde el punto de vista de las formulas de actualizacion del modelo de busqueda lineal dadas al final de la seccion "Antecedentes", esto significa seleccionar un valor inicial de a y 5, o simplemente a si se debe utilizar una limitacion suave. Para una limitacion suave, se prueban diversos valores de a, comenzando por el mas grande. Para la limitacion fuerte, se selecciona un valor de a razonablemente grande, y a continuacion se vana 5 entre uno y cero, comenzando con el mayor valor de 5 seleccionado, normalmente 5 = 1. En el paso 14, se comprueba la estabilidad del modelo de acuerdo con si su correspondiente matriz de constantes elasticas es semi-definida positiva o no. Tambien se comprueba el modelo para determinar si satisface las limitaciones ffsicas fuertes, si se esta imponiendo alguna. Si el modelo falla cualquiera de las comprobaciones, el metodo pasa al paso 15. Aqrn, el modelo estable mas proximo que satisface todas las limitaciones duras se puede encontrar haciendo un bucle mediante la aplicacion secuencial del operador de proyeccion de estabilidad POCS y un operador de proyeccion para las limitaciones duras. Alternativamente, las limitaciones duras se pueden imponer mediante la funcion de penalizacion o el multiplicador de Lagrange. Esto se hace por lo general anadiendolos a la funcion objetivo, de modo que se impongan indirectamente, al afectar el valor de la funcion objetivo. No habna bucle segun se menciono anteriormente en este caso.

En el paso 16, utilizando el modelo estable, se realiza una simulacion de avance para generar datos sinteticos y se calcula la funcion objetivo. Esto se hace para cada uno de los valores seleccionados del tamano del paso. Esto implica un bucle interno, no mostrado en la Fig. 1, que vuelve desde el paso 16 al paso 13. El tamano del paso que produce el valor mas optimo de la funcion objetivo se selecciona y utiliza para actualizar el modelo, y el proceso vuelve a el paso 11 para iniciar el siguiente ciclo en el bucle exterior de la inversion iterativa. La invencion no requiere necesariamente una busqueda lineal. Por ejemplo, se podna calcular el Hessian, que permite obtener una estimacion del tamano de paso a, seguido del paso de proyeccion. La busqueda lineal de 5 podna entonces ser omitida.

Ejemplo

Considere un medio elastico isotropo 2D. En este caso, la siguiente matriz debe ser definida positiva en cada ubicacion espacial:

imagen7

0 0 2 N

C55 C,5 0

C55 CS5 0 ’

0 0 Cjj,

donde C33 = A + 2p y C55 = p son constantes elasticas; A y p son parametros de Lame. Tenga en cuenta que en realidad hay varias limitaciones no triviales que los elementos de la matriz M deben satisfacer:

1. M debe ser semi-definida positiva;

2. M14 = M41 = Mii-2 M22 (esto se desprende de C33 = A + 2p y C55 = p).

Tambien elegimos imponer dos limitaciones mas (como una ilustracion de como incorporar de registros de perforacion y otra informacion a priori):

3. M14 > Amin

4. CT<c„<q™

Arbitrariamente elegimos Amin = 10s; y

conCr=1500‘yCr=19002.

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Supongamos que empezamos con los siguientes valores de las constantes elasticas: C33 = 2.050.000 y C55 = 2.750.000, que violan varias de las condiciones anteriores. Una manera matematicamente rigurosa de convertir la matriz resultante en una estable es aplicar la siguiente secuencia de operadores de proyeccion:

1. M = P1 max(A,0)P,

donde A es una matriz diagonal de los valores propios de M; y P es una matriz que comprende sus vectores propios. (max (A, 0) establece todas las entradas negativas de la matriz diagonal A a cero y deja todos los valores positivos sin cambios.) Esto es conocido por ser un operador de proyeccion sobre un conjunto de matrices semi-definidas positivas.

imagen8

Se puede mostrar que este enumeradas anteriormente.

es un operador de proyeccion correspondiente a la segunda de las condiciones

3.

A = mnx(A,A.)

Este es un operador de proyeccion correspondiente a la tercera de las condiciones anteriores.

4. Q, =min(max(C33,Cr),Cr)

Este es un operador de proyeccion correspondiente a la cuarta limitacion.

Estos operadores de proyeccion se aplican en un bucle hasta que se alcanza la convergencia. La Figura 2 muestra la evolucion de los Vp y Vs correspondientes. El modelo ffsico de rocas resultante es estable y satisface todas las limitaciones.

La solicitud de patente anterior esta dirigida a formas de realizacion particulares de la presente invencion para el proposito de ilustrar la misma. Sera evidente, sin embargo, para un experto en la tecnica, que son posibles muchas modificaciones y variaciones a las formas de realizacion descritas en la presente memoria. Todas dichas modificaciones y variaciones estan destinadas a estar dentro del alcance de la presente invencion, segun se define en las reivindicaciones adjuntas.

Referencias

Helbig, K., Fundamentos de anisotropfa para exploracion sfsmica, capttulo 5, Pergamon, New York, 185-194 (1994).

Korkealaakso, J., "Aplicacion del metodo de inversion POCS a la caracterizacion hidrogeologica", Informe de trabajo POSIVA-97-05e (mayo, 1997).

Tsvankin, I., Marcas y analisis sfsmicos de datos de reflexion en medios anisotropicos, Elsevier Science, 8 (2001).

Simard, PY, y GE Mailloux, "Restauracion del campo de vectores por el metodo de las proyecciones convexas", Procesamiento de imagenes y graficos de vision por computadora 52, 360-385 (1990).

Claims (13)

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   REIVINDICACIONES

   1. Un metodo implementado por ordenador para asegurar la estabilidad de la inversion iterativa de los datos sfsmicos para inferir un modelo de al menos una propiedad ffsica de una region del subsuelo, en donde se calcula una actualizacion del modelo, utilizando un ordenador programado, para una siguiente iteracion mediante la optimizacion de un desajuste de medicion de la funcion objetivo entre los datos sfsmicos y los datos sfsmicos simulados por el modelo, en donde dicho metodo comprende:

   determinar cuando una actualizacion del modelo provocara una simulacion inestable, y en respuesta a una determinacion de este tipo, utilizar una proyeccion sobre conjuntos convexos para encontrar un modelo estable mas proximo, en donde dicho metodo se caracteriza por que comprende, ademas:

   determinar una matriz de constantes elasticas de la region del subsuelo, correspondiendo dicha matriz a dicho modelo de la al menos una propiedad ffsica de la region del subsuelo;

   determinar si un modelo actualizado provocara una simulacion inestable en base a si la matriz de constantes elasticas correspondiente al modelo actualizado es o no es una matriz semi-definitiva positiva;

   en respuesta a una determinacion de inestabilidad, definir un operador de proyeccion de estabilidad que convertira la matriz correspondiente al modelo actualizado en una matriz semi-definitiva positiva, siendo dicho operador de proyeccion de estabilidad un operador de proyeccion sobre conjuntos convexos;

   aplicar el operador de proyeccion de estabilidad a la matriz correspondiente al modelo actualizado, generar una matriz proyectada y ajustar el modelo actualizado para que corresponda a la matriz proyectada; y

   utilizar el modelo ajustado para simular datos sfsmicos sinteticos para una proxima iteracion.
2. 2. El metodo de la reivindicacion 1, que comprende ademas la determinacion de una o mas limitaciones ffsicas que las constantes elasticas en la matriz deben satisfacer, y para cada una de las una o mas limitaciones ffsicas, ya sea:

   (a) definir un operador de proyeccion de limitaciones que convertira la matriz en una que satisfara la limitacion ffsica, aplicando a continuacion cada operador de proyeccion de limitaciones secuencialmente con la aplicacion del operador de proyeccion de estabilidad a la matriz y haciendo un bucle a traves de las aplicaciones secuenciales hasta que se satisfaga un criterio de convergencia preseleccionado u otra condicion de parada; o

   (b) aplicar la limitacion ffsica mediante una funcion de penalizacion o un termino multiplicador de Lagrange anadido a la funcion objetivo.
3. 3. El metodo de la reivindicacion 2, en donde la una o mas limitaciones ffsicas son condiciones de simetna derivadas de supuestos isotropos o anisotropos sobre la region del subsuelo.
4. 4. El metodo de la reivindicacion 2, en done cada operador de proyeccion de limitacion proyecta la matriz en una matriz mas proxima en un conjunto de matrices que satisfacen todas la limitacion ffsica y el operador de proyeccion estabilidad proyecta la matriz en una matriz mas proxima en un conjunto de matrices semi-definidas, positivas.
5. 5. El metodo de la reivindicacion 2, en donde el operador de proyeccion de limitacion es un operador de proyeccion sobre conjuntos convexos.
6. 6. El metodo de la reivindicacion 1, en donde el operador de proyeccion de estabilidad implica los valores propios y los vectores propios de la matriz.
7. 7. El metodo de la reivindicacion 1, en donde los parametros del modelo se relacionan con las constantes elasticas mediante una o mas relaciones ffsicas de rocas.
8. 8. El metodo de la reivindicacion 1, en donde la al menos una propiedad ffsica se selecciona de un grupo que consiste en velocidad de la onda P, la velocidad de onda S, la densidad y la impedancia acustica; y las constantes elasticas comprenden combinaciones lineales de los parametros de Lame.
9. 9. El metodo de la reivindicacion 1, en donde la optimizacion de la funcion objetivo comprende realizar una busqueda lineal en el espacio modelo en una direccion indicada por un gradiente de la funcion objetivo.
10. 10. El metodo de la reivindicacion 9, en donde el operador de proyeccion de estabilidad P se aplica antes de comenzar la busqueda lineal o despues de que la busqueda lineal haya terminado.
11. 11. El metodo de la reivindicacion 10, en donde el operador de proyeccion de estabilidad se aplica antes de comenzar la busqueda lineal, determinando la busqueda ffnea una actualizacion para cada parametro del modelo m de la i-esima iteracion hasta la iteracion i+1 utilizando una relacion que puede ser expresado como

    imagen1

    con la busqueda siendo en /3, 0 < /3 <1, con a fijo.
12. 12. El metodo de la reivindicacion 10, en donde el operador de proyeccion de estabilidad P se aplica despues de que la busqueda lineal haya terminado, determinando la busqueda lmea una actualizacion para cada parametro del modelo m de la i-esima iteracion hasta la iteracion i+1 mediante la busqueda en a utilizando una relacion que se 5 puede expresar como

    imagen2
13. 13. El metodo de la reivindicacion 1, en donde la inversion iterativa de los datos sfsmicos es inversion del campo de onda completa.