DE3406833C2 - - Google Patents

Description

Die Erfindung geht aus von einem Digitalfilter nach dem Oberbegriff des Patentanspruchs 1.

In der Zeitschrift "Frequenz" 37 (1983), Heft 7, Seiten 166 bis 173 sind Anweisungen zur Dimensionierung phasenlinearer digitaler Filter beschrieben. Als Grundfilter wird ein Tiefpaß betrachtet. Von diesem Filter können die entsprechenden Hochpaßfilter oder Bandpaßfilter nach bekannten Methoden entwickelt werden. Ein idealer Tiefpaß mit der Grundfrequenz fg weist als Impulsantwort bekanntlich

mit Nulldurchgängen zu Zeitabständen τ₀ = 1 : 2 fg (fg = Grenzfrequenz) auf. Da diese Funktionen, bekannt als Impuls, bekannterweise schlecht konvergiert, werden viele Filterglieder mit Speichern und Multiplikatoren benötigt, um den Abbruchfehler klein zu halten und das gewünschte Filterverhalten zu erzielen.

Bisher wurden durch die Anwendung einer geeigneten Fensterfunktion die Filterkoeffizienten bewertet, um eine raschere Konvergenz zu erreichen. Dies war allerdings nur auf Kosten der Flankensteilheit möglich.

Bei vielen Filteranwendungen wird außerdem strenge Phasenlinearität gefordert. Diese Bedingung wird von einem Transversalfilter mit zum Mittelabgriff der Laufzeitkette symmetrischen Koeffizienten erfüllt.

In der oben angegebenen Zeitschrift "Frequenz" ist die Roll-off-Approximation beschrieben, bei der die Übertragungsfunktion des idealen Tiefpasses durch Addition eines zur Grenzfrequenz punktsymmetrischen Anteils erweitert wird. Insbesondere ein kosinusförmiger Abfall der Übertragungsfunktion ist vorteilhaft, da ein stetiger Übergang zwischen Durchlaß- und Sperrbereich gegeben ist, der einen gute Konvergenz der zugehörigen Impulsantwort erwarten läßt.

Aus dem Buch "The Theory of Splines and Their Applications" von Ahlberg, Nilson und Walsh, 1967, ACADEMIC PRESS, New York and London, ist ein wirksames Approximationsverfahren bekannt. Es verwendet die sogenannten Splines, die ursprünglich eine besondere Art von Kurvenlineal darstellten. Zwischen zwei benachbarten Stützpunkten wird hierbei der Kurvenverlauf mit Hilfe weiterer Stützpunkte berechnet. Die Berechnung des Kurvenverlaufs zwischen zwei Stützpunkten im nächsten Abschnitt erfolgt hierbei im allgemeinen wieder neu. Zur weiteren Theorie über die Splines wird auf das angegebene Buch verwiesen.

Aus IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol. CAS-22, No. 3, March 1975, Seite 204-207 ist bekannt, die Berechnung von digitalen Filtern mit endlicher Impulsantwort unter Verwendung von kubischen Splines durchzuführen. Außerdem wird ein Vergleich mit nach einer herkömmlichen Methode berechneten Filtern durchgeführt.

Aufgabe der Erfindung ist es, Filteranordnungen mit möglichst geringem Aufwand und rascher Konvergenz im Zeitbereich bei geringem zeitlich begrenzten Nachschwingen anzugeben.

Erfindungsgemäß wird die Aufgabe bei einem Digitalfilter der eingangs genannten Art durch die im kennzeichnenden Teil des Patentanspruchs 1 angegebenen Merkmale gelöst.

Bei der Erfindung wird nicht, wie es bisher üblich war, von der Durchlaßkurve eines Filters ausgegangen, sondern von einer geeigneten Impulsantwort.

Die Erfindung beruht auf der Erkenntnis, daß die ideale Impulsantwort eines Tiefpaßfilters durch ein Spline-System ersetzt wird.

Durch Kompensation der Nebenwerte einer Spline-Grundfunktion m-ter Ordnung mit Spline-Funktionen geringerer Ordnung wird ein Filter mit einer Impuls-Antwort entwickelt, die zeitlich eng begrenzt (endlich) ist. Ein solches Filter ist ideal für Anwendungsfälle, bei denen ein Nachschwingen weitgehend verhindert werden muß, da es sich beispielsweise bei der Übertragung von Bildsignalen - besonders bei Transformationsverfahren - optisch störend bemerkbar macht.

Wegen der begrenzten Länge der Impulsantwort ist für die Realisierung des Filters auch nur ein geringer Schaltungsaufwand erforderlich. Das Filter kann hierbei sowohl unter Verwendung rekursiver Verfahren oder auch vorzugsweise als Transversalfilter realisiert werden.

Vorteilhafte Ausbildungen der Erfindung sind in den Unteransprüchen angegeben.

Die Erfindung wird anhand von Ausführungsbeispielen näher erläutert. Es zeigt

Fig. 1 Spline-Grundfunktionen,

Fig. 2 die Impulsantwort eines erfindungsgemäßen Filters, durch das ein heterogenes Spline-System der Ordnung m 3 realisiert,

Fig. 3 die Impulsantwort für m 2,

Fig. 4 das Prinzip-Schaltbild eines Filters für m 3,

Fig. 5 die Realisation als Transversalfilter und

Fig. 6 die Realisation unter Verwendung rekursiver Verfahren.

Um ein Spline-Signal der Ordnung m zu beschreiben, sind m + 1 Koeffizienten für jedes Intervall der Dauer

τ₀ = 1 : 2 fg

notwendig. Die Schreibweise wird einfacher, wenn Intervallvariable τ _i eingeführt werden. Innerhalb jedes Intervalls wird eine Zeitskala

0 τ _i 1

benutzt, wobei τ _i = 0 jeweils mit dem Intervall-Beginn zusammenfällt. In jedem Intervall k gilt für die gesuchte Spline-Funktion "s".

Zweckmäßigerweise mit Hilfe der Matrizenrechnung werden die Spline-Grundfunktionen ermittelt.

In Fig. 1 sind Spline-Grundfunktionen _m der Ordnung m = 2 bis m = 7 dargestellt. Die Dauer einer Spline-Grundfunktion beträgt m + 1 Intervalle τ₀. In Fig. 1 ist jeweils nur eine Hälfte einer Spline-Grundfunktion _m dargestellt. Die gesamte Spline-Grundfunktion ergibt sich jeweils durch Spiegelung an der Zeitachse t = 0.

Die Spline-Funktionen _m können durch Faltung von Spline-Funktionen niedrigerer Ordnung - ausgehend von einer Spline-Funktion der Ordnung n = 0, dies ist ein Rechteckimpuls mit der Amplitude 1 und der Dauer - bis + - errechnet werden. Der Flächeninhalt der Spline-Funktionen bleibt für jede Ordnung m konstant.

Aus der Definition der Faltung

mit s₁(t) und s₂(t) als Polynome der Ordnung m₁ und m₂ folgt nämlich, daß bei jeder Multiplikation und Integralbildung ein Polynom der Ordnung

m₁ + m₂ + 1

auftritt. Die Faltung zweier Spline-Funktionen der Ordnung m₁ und m₂ führt - es handelt sich ja ebenfalls um Polynome - auch zu einer Spline-Funktion (m₁ + m₂ + 1)-ter Ordnung. Die Faltung zweier Rechteck-Funktionen (Ordnung 0) führt also zu einer Dreiecksfunktion (Ordnung 1). Die Faltung zweier Dreiecks-Funktionen führt zu einer Spline-Grundfunktion dritter Ordnung. Auf diese Weise können alle Spline-Funktionen einfach errechnet werden, deren Angabe in analytischer Form hier nur für wenige Beispiele erfolgen kann.

In Fig. 2 ist ein Spline-System aus drei gegeneinander verschobenen Spline-Funktionen dargestellt. Die zentrale Spline-Funktion 3 ₃ (t) entspricht der mit dem Faktor 3 multiplizierten Spline-Grundfunktion ₃. Das Hilfsfunktionspaar entspricht jeweils einer Spline-Grundfunktion zweiter Ordnung; jede Hilfsfunktion ist um -τ₀/2 bzw. + τ₀/2 verschoben. Das Hilfsfunktionspaar wird von der zentralen Spline-Funktion subtrahiert und ergibt die resultierende Funktion g _3,2 (t), die Nulldurchgänge zu den Zeitpunkten -τ₀ und +τ₀ aufweist, und ebenfalls auf die Dauer von m + 1 Intervallen τ₀ der Spline-Funktion der höchsten Ordnung m beschränkt ist.

Allgemein gilt, daß versucht wird, die Nebenwerte (Funktionswerte zu den Zeitpunkten τ₀, 2 τ₀, 3 t₀, . . .) der zentralen Spline-Funktion der Ordnung m durch eine zusätzliche Anregung von Spline-Grundfunktionen der Ordnung n m auszulöschen. Die auszulöschende Funktion ist hierbei im allgemeinen selbst ein Faltungsprodukt. Der Lösungsansatz hat die Form

_m + ( _{* n}) = ρ ^-1₀ δ (t) (3)

( δ (t)-Dirac-Impuls).

Für das erste Beispiel (Fig. 2) ergibt sich als Hilfsvektor

Die Spline-Grundfunktion ₃ kann mit Hilfe der Intervall-Variablen τ _i einfach dargestellt werden (0 τ _i 1).

Unter Verwendung der später analytisch angegebenen Spline-Funktion der Ordnung m = 2 ergibt sich für die resultierende Funktion

mit der zugehörigen Übertragungsfunktion

Da eine Spline-Funktion der Ordnung m stets m + 1 Intervalle τ₀ umfaßt, müssen bei ungerader Ordnung m exakt m - 1 Nebenwerte zu Null reduziert werden. Für jeden der m - 1 Nebenwerte wird eine Spline-Funktion benötigt, bzw. für jeweils zwei Nebenwerte ein Spline-Funktionspaar.

Wird von einer Spline-Grundfunktion der Ordnung m = 5 ausgegangen, so erfolgt die Kompensation der unerwünschten Nebenwerte durch Spline-Funktionspaare, hier zwei Spline-Funktionspaare der Ordnung 4 bzw. 3, wobei die Spline-Funktionspaare der Ordnung 4 an den Impulsgrenzen der zentralen Spline-Funktion beginnen bzw. enden. Eine Kompensation mit Spline-Funktionen geringerer Ordnung ist im allgemeinen nicht zweckmäßig.

In Fig. 3 ist ein System aus drei Spline-Funktionen mit einer maximalen Ordnung m = 2 dargestellt.

Hier müssen ebenfalls zwei Nebenwerte zu den Zeitpunkten -τ₀ und +τ₀ kompensiert werden. Wird also von einer geraden Spline-Funktion ausgegangen, so sind m/2 Spline-Funktionspaare notwendig.

Wie aus Fig. 3 entnehmbar ist, ergibt sich die zentrale Spline-Funktion 2 ₂ durch Multiplikation der Spline-Grundfunktion zweiter Ordnung mit dem Faktor 2. Die Nebenwerte werden durch zwei Spline-Funktionen -0,5 ₁ kompensiert. Diese Hilfsfunktionen sind jeweils um τ₀/2 gegenüber der Zeitachse t = 0 verschoben. Die Kompensation der Nebenwerte zu den Zeitpunkten -τ₀, +τ₀ erfolgt wieder auf den Funktionswert Null. Als resultierende Spline-Funktion ergibt sich g _2,1.

Unter Verwendung von Intervall-Vektoren ergibt sich für die Spline-Grundfunktionen der Ordnung m = 2 und n = 1:

Durch Spiegelung an der Zeitachse t = 0 erhält man die vollständige Funktion (0 τ _i 1).

In Fig. 4 ist das Prinzip-Schaltbild eines Tiefpaßfilters dargestellt. Es enthält drei Funktions-Generatoren 1, 2 und 2*. Dem Eingang des dritten Funktions-Generators ist ein Laufzeitglied 3 vorgeschaltet, dessen Verzögerungszeit der Zeitdauer τ₀ entspricht.

Die Eingänge des ersten und zweiten Funktions-Generators 1 und 2 sowie der Eingang des Laufzeitgliedes 3 sind mit dem Filtereingang 4 verbunden. Die Ausgänge der Funktions-Generatoren sind mit Eingängen eines Addierers 6 verbunden, dessen Ausgang dem Filterausgang 5 entspricht.

Durch die Funktions-Generatoren 1, 2 und 2* werden die in Fig. 2 dargestellten Spline-Funktionen 3 ₃ und -0,5 ₂ als Impulsantwort erzeugt. Am Ausgang 5 des Addierers ergibt sich die gewünschte Impulsantwort g _3,2.

Die Übertragungs-Funktion des Filters entspricht einem Tiefpaß (Formel 6). Die dem Eingang des Filters zugeführten digitalisierten Signalwerte D 1 erscheinen am Ausgang des Tiefpasses bandbegrenzt.

Durch Verwendung eines weiteren Addierers, dessen Eingänge an den Filtereingang 4 und den Ausgang des Laufzeitgliedes angeschlossen sind und dessen Ausgang an den Eingang des Funktions-Generators 2 angeschlossen ist, kann der Funktions-Generator 2* eingespart werden.

Werden die Funktions-Generatoren durch Transversalfilterstrukturen realisiert, können die Laufzeitglieder für alle Funktions-Generatoren gemeinsam verwendet werden. Ebenso ist es möglich, die verschiedenen Multiplikations-Vorgänge zusammenzufassen.

In Fig. 5 ist das Prinzip eines Transversal-Filters dargestellt. An den Filtereingang 4 ist eine Kette von Laufzeitgliedern L 1, L 2 bis L(z-1) angeschlossen. An den Filtereingang 4 und an die Ausgänge der Laufzeitglieder sind Multiplikatoren M angeschlossen, deren Ausgänge über Addierer ad zusammengefaßt sind. Die in Fig. 2 dargestellte Impulsantwort g _3,2 wird direkt durch die Wahl der Filter-Koeffizienten h₀ bis h _k realisiert, die den Werten der Funktion g _3,2 direkt entsprechen. Die Laufzeitglieder sind entsprechend der Abtastfrequenz f _a = zu wählen.

Da Transversal-Filter gewöhnlich symmetrisch aufgebaut sind, können jeweils die Ausgänge zweier Laufzeitglieder über einen Addierer zusammengefaßt werden, um jeweils einen Multiplizierer einzusparen.

In Fig. 6 ist eine weitere Realisierungsmöglichkeit für ein Digitalfilter dargestellt, das als Impulsantwort ein Spline-System der Ordnung m = 3 erzeugt.

An den Filtereingang 4 ist die Kettenschaltung dreier Subtrahierer S 11, S 12 und S 13 angeschaltet, deren Subtraktionseingänge ihr Eingangssignal über Laufzeitglieder L 11, L 12, L 13, die jeweils die Zeitverzögerung τ₀ aufweisen, zugeführt wird. An den Ausgang des Subtrahierers S 3 ist ein oberer Verarbeitungszweig und ein unterer Verarbeitungszweig angeschlossen, deren Ausgänge über einen Addierer A 17 zusammengefaßt sind. Der Ausgang des Addierers A 17 stellt wieder den Filterausgang 5 dar. Der obere Verarbeitungszweig besteht aus einem weiteren Subtrahierer S 14 mit einem weiteren Laufzeitglied L 14, das zwischen dem ersten Eingang des Subtrahierers und seinem Subtraktionseingang liegt. Der Ausgang des Subtrahierers ist über einen Multiplizierer M 1 an den Eingang eines Addierers A 14 angeschaltet, dessen Ausgang über einen Funktionsblock Z 3 und ein Laufzeitglied L 17 auf den zweiten Eingang des Addierers A 14 zurückgeführt ist. Der Ausgang des Funktionsblockes F 1 ist mit einem Eingang des Addierers A 17 verbunden. Der untere Verarbeitungszweig enthält einen weiteren Addierer A 16, dessen zweiten Eingang ein Laufzeitglied L 15 vorgeschaltet ist. Der Ausgang dieses Addierers ist über einen Inverter M 2 mit dem ersten Eingang eines Addierers A 15 verbunden, dessen Ausgang über einen zweiten Funktionsblock F 2 und ein Laufzeitglied L 18 auf den zweiten Eingang des Addierers A 15 rückgekoppelt ist. Der Ausgang des zweiten Funktionsblockes F 2 ist mit dem zweiten Eingang des Addierers A 17 verbunden.

Die Realisierung der Filterfunktion erfolgt über Faltungsoperationen. Die Funktionsblöcke F 1 und F 2 sorgen über die in die Rückführungen eingebauten Laufzeitglieder L 17, L 18 für einen zeitlich fortschreitenden Prozeßverlauf.

In jedem Funktionsblock F 1, F 2 erfolgt, mathematisch ausgedrückt, die Multiplikation einer Matrix Z _m mit einem Vektor ₁ bzw. ₂, der durch die am Eingang des Addierers A 14 bzw. A 15 in zeitlicher Reihenfolge anliegenden Werte gebildet wird. Hierbei entspricht

m gibt wiederum die Ordnung der Spline-Funktion an.

Am Ausgang des oberen Verarbeitungszweiges liegt als Impulsantwort die zentrale Spline-Funktion 3 ₃ an. Im unteren Verarbeitungszweig wird bereits die Summe des Hilfsfunktionspaares -₂ als Impulsantwort erzeugt.

Durch die Verwendung rekursiver Prozesse kann der Filteraufwand nochmals herabgemindert werden.

Die nach heterogenen Spline-Systemen entwickelten Filter weisen insbesondere für die Übertragung von Bildsignalen sehr günstiges Einschwing- und Ausschwingverhalten auf. Bereits die Verwendung einer Spline-Funktion zweiter Ordnung ist in vielen Fällen ausreichend.

Claims (11)

1. Digitalfilter mit Laufzeitgliedern, Multiplikatoren und Addierern, dadurch gekennzeichnet,
daß Spline-Funktion-Generatoren (1, 2, 2*) vorgesehen sind, deren Impulsantwort eine Spline-Funktion ist, deren Eingängen ein digitales Eingangssignal (D 1) zugeführt wird und deren Ausgangssignale zusammengefaßt werden,
daß der erste Spline-Funktion-Generator (1) eine zentrale Spline-Funktion p₀ _m (3 ₃) m-ter Ordnung (m 2, 3, 4, 5 . . .) als Impulsantwort erzeugt, die einer mit einem Faktor p₀ multiplizierten Spline-Funktion _m (₃) entspricht, und
daß weitere Spline-Funktion-Generatoren (2, 2*) mindestens zwei weitere Spline-Funktionen p₀ ( _{* n}) (₂) geringerer Ordnung n < m erzeugen, deren zeitliche Mitten gegenüber der zentralen Spline-Funktion p₀ _m verschoben sind und die der Faltung eines Vektors mit einer Spline-Funktion _n multipliziert mit dem Faktor p₀ entsprechen, wobei der Vektor so gewählt ist, daß die Subtraktion der weiteren Spline-Funktionen von der zentralen Spline-Funktion p₀ _m eine resultierende Spline-Funktion (g _3,2) als Impulsantwort ergibt, die zu allen Zeitpunkten Nebenwerte von Null und zu einem Zeitpunkt t = 0 eine Dirac-Anregung (g _3,2 (t = 0) =1) aufweist (Fig. 1, Fig. 2).

2. Digitalfilter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß jeweils zwei der von den weiteren Spline-Funktion-Generatoren (2, 2*) erzeugten Spline-Funktionen (₂) gleich, jedoch zeitlich gegeneinander verschoben sind.

3. Digitalfilter nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß jeweils ein weiterer Spline-Funktion-Generator zwei zeitlich gegeneinander verschobene Spline-Funktionen oder deren resultierende Spline-Funktion erzeugt.

4. Digitalfilter nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß das bisherige Eingangssignal (D 1) des weiteren Spline-Funktion-Generators (2) und das um die Laufzeit t₀ verzögerte Eingangssignal (D 1) über einen Addierer zusammengefaßt werden, dessen Ausgang mit dem Eingang des Spline-Funktion-Generators (2) verbunden ist.

5. Digitalfilter nach einem der vorherigen Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die Spline-Funktion-Generatoren (1, 2, 2*) als Transversalfilter, die Laufzeitglieder (L), Multiplizierer (M) und Addierer (AD) enthalten, realisiert sind.

6. Digitalfilter nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet,
daß die Laufzeitglieder (2), Multiplikatoren (M) und Addierer (AD) der Spline-Funktion-Generatoren (1, 2, 2*) zu einem Transversalfilter zusammengefaßt werden und
daß die Filterkoeffizienten (h₀ bis h _k ) der Multiplikatoren (M) den Werten der resultierenden Spline-Funktion (g _3,2 ) entsprechen.

7. Digitalfilter nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet,
daß der erste Spline-Funktion-Generator (1) aus einer Reihenschaltung mehrerer Subtrahierer (S 11, S 12, S 13), deren Subtraktionseingängen (-) jeweils ihr Eingangssignal über jeweils ein Laufzeitglied (L 11, L 12, L 13) mit der Laufzeit τ₀ zur Faltung der jeweiligen Eingangssignale zugeführt wird, und einem ersten Verarbeitungszweig gebildet wird, der an die Reihenschaltung der Subtrahierer (S 11 bis S 13) angeschlossen ist,
daß der erste Verarbeitungszweig mindestens einen weiteren Subtrahierer (S 14) enthält, dessen Subtraktionseingang (-) sein Eingangssignal über ein weiteres Laufzeitglied (L 14) zugeführt ist,
daß der erste Verarbeitungszweig einen hieran angeschalteten Addierer (A 14) enthält, dessen Ausgang über einen ersten Funktionsblock (F 1) zur Multiplikation und ein Laufzeitglied (L 17) auf seinen zweiten Eingang rückgeführt ist,
daß die weiteren Spline-Funktion-Generatoren (2, 2*) ebenfalls aus der Reihenschaltung der Subtrahierer (S 11 bis S 13) und mindestens einem zweiten Verarbeitungszweig gebildet werden, der ebenfalls einen Addierer (A 15) enthält, dessen Ausgang über einen zweiten Funktionsblock (F 2) zur Multiplikation und ein Laufzeitglied (L 18) auf seinen zweiten Eingang rückgeführt ist, daß mindestens ein Multiplizierer (M 1) in einen Verarbeitungszweig eingeschaltet ist und
daß die Ausgänge der Verarbeitungszweige zusammengefaßt sind.

8. Digitalfilter nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, daß in den zweiten Verarbeitungszweig ein Addierer (A 16) eingeschaltet ist, dessen Eingang über ein Laufzeitglied (L 15) mit seinem zweiten Eingang verbunden ist.

9. Digitalfilter nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die zentrale Spline-Funktion (2 ₂) die Ordnung m = 2 aufweist und die zeitlich verschobenen Spline-Funktionen die Ordnung n = 1 aufweisen (Fig. 3).

10. Digitalfilter nach einem der Ansprüche 1 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß die zentrale Spline-Funktion (3 ₃) die Ordnung m = 3 aufweist und die zeitlich verschobenen Spline-Funktionen die Ordnung n = 2 aufweisen (Fig. 2).

11. Digitalfilter nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß es bei der Übertragung von Bildsignalen vorgesehen ist.