DE1079865B - Elektrische Rechenvorrichtung zur Loesung von mathematischen Differentialgleichungen - Google Patents

Description

DEUTSCHES

kl. 42 m 36

INTERNAT. KL. G 06 f

PATENTAMT

S 35028 IX/42m

AHMEtDETAG: 28. A U G U S T 1953

BEKAWNTMACHUNG
DEKANMELDÜNG
UND AUSGABE DEB.
AUSLEGESCHRIFT: 14.APRIL196Q

Die Erfindung betrifft elektrische Rechenvorrichtungen zur Lösung physikalischer Probleme mit Hilfe analog aufgebauter elektrischer Stromkreise. Die Vorrichtungen, auf die sich die Erfindung bezieht, enthalten ein Widerstandsnetzwerk, welches eine zu lösende Differentialgleichung in Form endlicher Differenzen darstellt. Die Knotenpunkte des Netzwerks stellen Bezugspunkte eines Körpers dar, auf den sich das zu lösende Problem bezieht, und die Widerstände, welche die Knotenpunkte verbinden, stellen die Materialeigenschaften des Körpers an den verschiedenen Stellen dar.

Ein Beispiel für die Anwendung der Erfindung ist die Bestimmung der Resonanzfrequenzen einer mit hoher Geschwindigkeit umlaufenden Welle.

Bei der Lösung eines derartigen Problems werden Ströme dem Netzwerk an geeigneten Knotenpunkten zugeführt und die Spannungen an verschiedenen Knotenpunkten des Netzwerks gemessen. Die Ströme werden dann neu eingestellt und die Spannungen wieder gemessen. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis eine Verteilung der Spannungen und Ströme erhalten wird, die überall die zu lösenden Differentialgleichungen erfüllen. Daraus folgt, daß der Iterationsvorgang langwierig ist und daß die Ströme wieder- holt eingestellt werden müssen, bis die gewünschte Verteilung erreicht wird.

Das Hauptziel der Erfindung ist, diesen Iterationsvorgang zu vereinfachen. -

Gemäß der Erfindung ist die elektrische Rechenvorrichtung zur Lösung von mathematischen Differentialgleichungen in Verbindung mit einem Körper oder Stoff mit Hilfe von analogen elektrischen Netzwerken, die Knotenpunkte aufweisen, welche bestimmten Bezugspunkten des Körpers oder Stoffes entsprechen, und Verbindungswiderstände enthalten, welche die physikalischen Eigenschaften des Stoffes darstellen, dadurch gekennzeichnet, daß Einrichtungen vorgesehen sind, durch welche Ströme, die veränderliche Größen darstellen, den Knotenpunkten zugeführt werden können, und daß die resultierenden Spannungen und Ströme entsprechend einer vorbestimmten Beziehung verglichen werden, um Fehlersignale zu erzeugen, die gleichzeitig durch ein Wiedergabegerät sichtbar gemacht werden.

Gemäß einer Ausführungsform zur Lösung von Aufgaben an langgestreckten- Körpern, z. B. Wellen, enthält das Widerstandsnetzwerk zwei parallele Widerstandsstreifen mit Knotenpunkten, die Bezugspunkten entlang dem Körper entsprechen, sowie Vorrichtungen, welche den Knotenpunkten des ersten Streifens Strom zuführen und die sich an denKnotenpunkten des zweiten Streifens ergebenden Spannungen mit den. -dem ersten Streifen zugeführten Strömen Elektrische Rechenvorrichtung

zur Lösung von mathematischen

Differentialgleichungen

Anmelder:
Sunvic Controls Limited, London

Vertreter: Dr.-Ing. W. Reichel, Patentanwalt,
Frankfurt/M. I₁ Parkstr. 13

Beanspruchte Priorität:
Großbritannien vom 28. August 1952

Roy Bailey, Woolhampton, Berkshire,
und Gerhard Liebmann, Aldermaston, Berkshire

(Großbritannien),
sind als Erfinder genannt worden

entsprechend einer vorgegebenen Beziehung vergleichen.

Die Knotenpunkte können in wiederholter Folge mit einer Kathodenstrahlröhre verbunden werden, die einen genügend nachleuchtenden Schirm aufweist, um eine ständige Wiedergabe zu erzielen, wobei die Strahlspuren der von den einzelnen Knotenpunkten abgeleiteten Spannungen auf dem Schirm zum Zwecke des Vergleichs getrennt dargestellt werden.

Eine solche Vorrichtung beschleunigt den Iterationsvorgang beträchtlich, da alle Fehlersignale von den verschiedenen Knotenpunkten auf dem Schirm der Kathodenstrahlröhre dargestellt werden können, so daß die zur Erzielung der gewünschten Beziehungen zwischen den Spannungen und Strömen erforderlichen Abgleichungen leichter durchgeführt und die Einstellungen auf die Fehlersignale sofort beobachtet werden können.

Die Erfindung wird an Hand schematischer Zeichnungen an mehreren Ausführungsbeispielen näher erläutert.

Fig. 1 zeigt einen Abschnitt eines analogen Widerstandsnetzwerkes, bei dem die Erfindung angewendet wird;

Fig. 2 zeigt ein Verfahren zur Entnahme eines Fehlersignals;

909770/224

3 4

Fig. 3 ist ein schematisches Blockdiagramm der daß Qn-^O und a-^a₀, erreicht werden kann; jedoch

Vorrichtung; erweist sich dies oft als langwierig und mühsam.

Fig. 4 zeigt Einzelheiten einer Schaltung, die für Wenn man in geeigneter Weise gleichzeitig alle Reste

die in Fig. 3 dargestellten Differenzeinheiten geeig- Qn (oder einen erheblichen Teil ihrer Gesamtzahl)

net ist. 5 gemäß ihrem Vorzeichen und ihrer Größe sichtbar

Die weitere Erläuterung der Erfindung erfolgt an macht, ist es nicht nur stets möglich, den größten Hand einer Widerstandsnetzwerkanordnung zur Lö- Wert von Qn auszuwählen und diesen herabzusetzen, sung der Differentialgleichung vierten Grades, die sondern man kann auch beobachten, in welchem Ausdie kritischen Drehzahlen einer schnell umlaufenden maß ein bestimmter Wert von Qn in jedem Falle verWelle angibt: i° kleinert werden kann, ohne andere Reste über Gebühr i² / d²v\ ^{zu ver}S^rößern. Auf diese Weise kann man die Vor-——- [EI- j = tnaP· y. (1) teile der automatischen Merkmale der Stromvertei- dx ^ ax J j_ung j_n Widerstandsnetzwerken- und der mathe-

Hierin ist χ der gewählte Punkt längs der Welle, matischen Relaxationsmethoden gleichzeitig aus-

y die Auslenkung der Welle, E der Elastizitätsmodul, 15 nutzen und dabei erhebliche Einsparungen an Zeit

I das Trägheitsmoment um die Achse, m das Gewicht und Mühe erreichen.

der Welle je Längeneinheit und ω die kritische Dreh- Zur Illustration dieses Prinzips ist in Fig. 2 eine zahl. Ein Abschnitt des Netzwerks ist in Fig. 1 dar- einfache Schaltungsanordnung dargestellt, mit der gestellt. Dieses Netzwerk umfaßt zwei Widerstands- sich die Beziehungsgleichung (4) wiedergeben läßt, ketten N₁ und N₂, die aus Widerständen R₁ und R₂ 20 Der Abschnitt des Netzwerks ist der gleiche wie der bestehen, wobei die beiden Widerstandsketten durch in Fig. 1 dargestellte. Die Ströme In werden von Widerstände R₃ miteinander verbunden sind. Die einer Wechselspannungsquelle X mit dem »Null-Werte der Widerstände R₁, R₂ und R₃ sind durch die punkt« 0 zugeführt und mittels eines einstellbaren örtlichen Werte von EI und m sowie durch ent- Widerstandes Rx eingestellt. Der Punkt An ist mit sprechend gewählte Maßstabskonstanten bestimmt. 25 dem »-ten Kontaktbolzen eines Vielpolschalters S₃ Die Punkte An und Bn in den Netzwerken N₁ und N₂ verbunden, dessen gemeinsamer Pol an das Potenentsprechen dem n-ttn Punkt, der längs der Welle tiometer α angeschlossen ist, so daß das Potential gemessen wird. Die Auslenkung y der Welle an die- »α Un« am Gleitkontakt dieses Potentiometers ersem η-ten Punkt wird dargestellt durch die Span- scheint. Ferner ist jeder Punkt An mit der Klemme nung Un am Punkt An, die in bezug auf den Span- 30 eines Potentiometers b_n verbunden, wobei der Gleitnungsnullpunkt gemessen wird, der den Netzwerken kontakt dieses Potentiometers an den »-ten Kontakt- und einer Spannungsquelle (in Fig. 1 nicht dar- bolzen eines Vielpolschalters S₁ angeschlossen ist, so gestellt) gemeinsam ist. Dann muß der in den Punkt daß die Potentiale »b_n Un« an dem gemeinsamen Pol Bn des Netzwerks JV₁ eingeleitete Strom In dann, des Schalters S_t erscheinen. Dann wird die Potentialwenn die Lösung der Gleichung (1) erreicht ist, fol- 35 differenz b_n-Un—a-Un an die erste Primärwicklung genden Wert annehmen: des Meßtransformators Tv angelegt. An die zweite

In= [am AsS AsS'a^-ßn] UnIR₁. (2) ^^m™^c^^un& ^d« Transformators-.Tv wird die

^r Potentialdifrerenz Pn angelegt; an den Ausgangs-

Hierin ist α eine bekannte Maßstabskonstante, Δ χ' klemmen des Transformators erscheinen dann die

und A x" sind die Intervalle links und rechts von den 40 Fehlerpotentiale Qn. Diese Fehlersignale Qn werden

Punkten An (und Bn), und β η ist eine durch die gleichzeitig in geeigneter Weise sichtbar gemacht; zu

Lagerreaktion an den Punkten An bestimmte Kon- diesem Zweck könnte z. B. eine Anzahl η von Vibra-

stante. Wenn nun der Strom In als Spannungsabfall tionsgalvanometern vorgesehen sein. Ein vorzugs-

Pn über einen Widerstand vom Wert R_t gemessen weise anzuwendendes Verfahren zur gleichzeitigen

wird, wobei dieser Widerstand zwischen dem Netz- 45 Sichtbarmachung der Fehlersignale besteht darin,

werkpunkt Bn und dem Zuführungspunkt Cn liegt, daß man das Fehlersignal Qn über einen phasen-

kann man Gleichung (2) in folgende Form bringen: empfindlichen Verstärker den y-Ablenkplatten eines

_σ ,„ -u \ τ r„, — η n\ Kathodenstrahloszillographen mit lange nachleuchten-

Fn—(ß„—O_n) Un = V. (ό) ° .? » .

" dem Schirm zufuhrt, wahrend die Lage des jeweils

Die Glieder Un und Pn stellen gemessene Span- 50 sichtbar gemachten Qn-Wertes synchron mit dem

nungen dar, die Glieder b_n sind bekannte positive Betrieb der miteinander gekuppelten Schalter S₁.. .S_i

oder negative Konstanten, und »a₀« ist der Wert verändert wird, so daß sich eine eindeutig bestimmte

einer durch die Lösung bestimmten Konstante. Ab- räumliche Beziehung zwischen der Lage des Signals

gesehen von bekannten Maßstabskonstanten ist »a_a« Qn auf dem Schirm des Kathodenstrahloszillographen

identisch mit ω², dem Quadrat der gesuchten »kri- 55 und der Lage (An, Bn, Cn) in dem Netzwerk ergibt,

tischen« Drehzahl. Während die Gleichung (3) den Natürlich müssen die Wechselstromwiderstände der

Endzustand darstellt, der gegeben sein soll, wenn das Potentiometer »α« und »&„« sowie der Primärwick-

Problem vollständig gelöst ist, ist der in dem Netz- lungen des Transformators Tv gegenüber den Werten

werk an den Punkten An und Bn tatsächlich am Be- der Widerstände R₁.. . R^ hoch sein,

ginn und im Verlauf des Iterationsvorganges herr- 60 Im folgenden wird die praktisch angewandte Schal-

schende Zustand durch folgende Formel gegeben: tungsanordming beschrieben.

_Pn _ r_a _ _b ) ij_n = Q_n (4) Aus Zweckmäßigkeitsgründen wird Gleichung (4)

in folgende Form gebracht:

Hierin ist a = a₀ und Qn=O. k² E — E — E=Q CS)

Der Ausdruck Qn stellt das obenerwähnte »Fehler- 65 321·

signal« bzw. den »Rest« dar, und es ist bekannt, daß Hierin ist E₁ = Pn, E₂ = b„ Un, E₃= — Un und

der Zustand Qn = 0 für alle Werte von η nur zu- k² = a₀.

sammen mit dem Zustand a = a_Q erreicht werden Fig. 3 zeigt ein schematisches Blockdiagramm der kann. Man hat zwar nachgewiesen, daß eine Lösung Einrichtung. Die erforderlichen Spannungen werden

durch ein systematisches Iterationsverfahren derart, 70 durch einen Vielpolschalter mit 25 Stromwegen ge-

wählt. Die Spannungen E₁ und -E₂ werden in einen ersten Subtraktionskreis eingeleitet, an dessen Ausgang die Größe —I—±-γ——J erscheint. Die Spannung

— E₃ wird durch ein geeichtes einstellbares Potentiometer mit dem Verhältnis k² :2 geleitet, und die reft² E
sultierende Spannung ~- wird zusammen mit

der Spannung —(—±-γ——1 in einen zweiten Subtraktiomskreis eingeleitet, an dessen Ausgang die Größe

A (E₁ + E₂- VE₃) = —|-

erscheint. Dieser Rest —^- wird verstärkt und durch eine Kathodenstrahlröhre mit lange nachleuchtendem Schirm sichtbar gemacht, wobei die .ar-Ablenkung durch den gleichen Schalter gesteuert wird, der die ao Vermaschungspunkte wählt.

Es ist zweckmäßig, das Netzwerk mit Wechselstrom von 50 Hertz zu erregen. Die Subtraktionskreise können dann mittels Kupplungskondensatoren in Kaskadenschaltung geschaltet werden, wodurch Komplikationen infolge von Gleichstrompegelschwankungen vermieden werden. Die Verwendung einer Frequenz von 50 Perioden in der Sekunde ermöglicht es, das Schaltgeräusch zu unterdrücken und die Vorzeichen der Reste unter Zuhilfenahme von nur sehr wenigen zusätzlichen Einrichtungen sichtbar zu machen.

Ein brauchbarer fertig erhältlicher Schalter ist ein Drehwähler der für Postzwecke verwendeten Bauart, der grundsätzlich einen vielpoligen Drehschalter darstellt, der durch einen Sperradmotor angetrieben wird und Reihen zu je 25 Kontakten aufweist, die halbkreisförmig angeordnet sind. Die Kontaktfinger haben doppelte Enden, so daß bei jeder Umdrehung des Schalters jede Stellung zweimal durchlaufen wird. Durch Beschicken der Motorspule mit durch Einweggleichrichter gleichgerichtetem Wechselstrom ist es möglich, die Kontaktfinger zweimal in der Sekunde umlaufen zu lassen, so daß die Schaltgeschwindigkeit 50 Stellungen in der Sekunde beträgt. Unter diesen Umständen ist die Übergangszeit zwischen den Schalterstellungen sehr kurz (etwa 1 Millisekunde). Störimpulse von recht erheblicher Größe entwickeln sich infolge von Änderungen des Kontaktpotentials und infolge thermischer Effekte. Da diese Störsignale unregelmäßig auftreten, heben sie sich nicht gegenseitig auf, sondern tragen zu dem Ausgangswert —

bei; sie würden Fehler verursachen, wenn sie nicht unterdrückt würden. Da sie während jeder Periode einmal auftreten und nicht länger als 5 Millisekunden andauern, kann man sie unterdrücken, indem man die Spur des Kathodenstrahls während derjenigen Halbwelle löscht, während welcher sie auftreten. Durch Einstellen der Phasenbeziehung zwischen den dem Drehwähler und dem Netzwerk zugeführten Spannungen kann dafür gesorgt werden, daß die Löschimpulse das Signal gerade dann unterdrücken, wenn dieses durch Null geht.

Beim Fehlen der Unterdrückung und der Störimpulse würde das Schirmbild aus einer Reihe senkrechter Linien verschiedener Länge bestehen, und diese Linien würden sich zu beiden Seiten des mittleren Pegels symmetrisch erstrecken. Je nach der Phase des Signals, d. h. je nach dem Vorzeichen des Restfehlers Q, beseitigt der Unterdrückungsimpuls entweder die obere oder die untere Hälfte jeder dieser Linien; das Schirmbild gibt somit unmittelbare Auskunft sowohl über das Vorzeichen als auch über die Größe des Restfehlers. Die Differenzeinheit 1 (Fig. 3) ist in Fig. 4 in Einzelheiten dargestellt. Wenn r_al, r_a2, μ_± und μ₂ die Anodenimpedanzen bzw. Verstärkungsfaktoren der beiden Trioden sind und wenn

R₁=R₂=R₃=R^R₅=R₆,

bewirken die Röhren VIA und VlB eine Phasentrennung mit einer Verstärkung von

1 -

2R

Somit beträgt das Potential der Anode der einen Röhre — E₁ (1 —-Zi₁) und das der Kathode der anderen Röhre +E₂(I-Zl₂). Somit beträgt das Potential des Mittelpunktes von R₅

E₂(I-A₂) -E₁(I -Zl₁)
2

Die Wirkung der endlichen Werte von R₅ und R₆ besteht in der Einführung einer Störung des Gleichgewichts. Die Anodenbelastung der einen Röhre ist der Widerstand R₁, der zu R₅ parallel liegt, wobei beide Widerstände mit der Ausgangsimpedanz der im Kathodenkreis einen Nutzwiderstand aufweisenden Röhre in Reihe liegen, während die Kathodenbelastung durch den Widerstand R₆ überbrückt wird, der mit R₃ in Reihe geschaltet ist, während die Anodenimpedanz der zweiten Röhre als Nutzwiderstaud parallel geschaltet ist. Dieser Abgleichfehler sowie der durch Unterschiede bezüglich r_a und μ verursachte Abgleichfehler kann durch entsprechende Einstellung des Schiebers von R₅ ausgeglichen werden, so daß dann

am Ausgang die GrOBe-(E₂-E₁) (1 — Zl₀) erscheint,

wobei A₀ in der Größenordnung von —.— — liegt. Bei den verwendeten Röhren und Belastungen beträgt der Wert von A₀ annähernd 0,04. Die zweite Differenzeinheit ist ähnlich aufgebaut, abgesehen davon, daß dem zweiten Gitter der zweiten Röhre über ein Potentiometer ein bekannter Bruchteil der Eingangsspannung E₃ zugeführt wird. Die Eichung trägt dem obenerwähnten Faktor (1 —A₀) Rechnung, so daß das Instrument unmittelbare Ablesungen ermöglicht. Der Ausgang der zweiten Differenzeinheit ist über ein Dämpfungsglied mit dem Hauptverstärker verbunden. Letzterer besteht aus einer rauscharmen Pentode, die unmittelbar an eine symmetrische Sägezahnschaltung mit zwei Trioden angeschlossen ist, der seinerseits die ^/-Ablenkplatten der Kathodenstrahlröhre speist. Es wird mit direkter Kopplung gearbeitet. Die Kathodenstrahlröhre besitzt einen doppelten Schirmüberzug, der eine helle blaue Spur mit einem langen, mehrere Sekunden anhaltenden gelben Nachleuchten erzeugt. Die x-Ablenkspannungen werden unmittelbar zwei Kontaktreihen des Drehwählers entnommen, der einen Teil der Hochspannungszuführung überbrückt. Zur Unterdrückung der unerwünschten Halbperiode wird dem Gitter der Kathodenstrahlröhre eine Rechteckwelle von 50 Hertz aufgedrückt. Die den Drehwähler speisende Spannung aus dem Transformator wird durch ein zur Phasenverschiebung dienendes Netzwerk geschickt und durch eine Doppeltriode, deren eine Hälfte als Diode verwendet wird, verstärkt und beschnitten. Eine die Gitterableitung

I 079

der Kathodenstrahlröhre überbrückende Diode dient zur Wiedereinführung der Gleichstromkomponenten.

In manchen Anwendungsfällen wird mit Gleichstromspeisung des Netzwerks gearbeitet. In diesem Falle dient der umlaufende Schalter als Zerhacker, und die mittels Widerständen und Kapazitäten gekoppelten Spannungssubtraktionskreise und Verstärker können ohne Veränderung verwendet werden, wenn in der gesamten Verstärkerkette eine geeignete Zeitkonstante verwendet wird. Das Bild auf dem ίο Schirm der Kathodenstrahlröhre besteht dann aus einer Anzahl heller Punkte, deren Lage gegenüber einer dem Fehler Null entsprechenden waagerechten Linie den Wert und das Vorzeichen des Fehlers angibt.

Diese Einrichtung läßt sich auf jedes Netzwerkproblem anwenden, dessen Lösung erleichtert wird, wenn man die Summe oder die Differenz von bis zu drei Spannungen gleichzeitig sichtbar macht. Wenn die Art des Problems es erforderlich macht, können ao somit außer »Resten« auch Grenzwerte und Gradienten sichtbar gemacht werden.

Claims (5)

Patentansprüche:

1. Elektrische Rechenvorrichtung zur Lösung as von mathematischen Differentialgleichungen in Verbindung mit einem Körper oder Stoff mit Hilfe von analogen elektrischen Widerstandsnetzwerken, die Knotenpunkte aufweisen, welche bestimmten Bezugspunkten des Körpers oder Stoffes entsprechen, und Verbindungswiderstände enthalten, welche die physikalischen Eigenschaften des Stoffes darstellen, dadurch gekennzeichnet, daß Einrichtungen vorgesehen sind, durch welche Ströme (In), die veränderliche Größen darstellen, den Knotenpunkten zugeführt werden können, und daß die resultierenden Spannungen (Kn) und Ströme (In) entsprechend einer vorbestimmten Beziehung verglichen werden, um Fehlersignale zu erzeugen, die gleichzeitig durch ein Wiedergabegerät sichtbar gemacht werden.

2. Rechenvorrichtung nach Anspruch 1, die zur Lösung von Aufgaben an langgestreckten Körpern, z. B. Wellen, benutzt wird, dadurch gekennzeichnet, daß das Widerstandsnetzwerk zwei parallele Widerstandsstreifen (N₁, N₂) mit Knotenpunkten (Bn₁ An), die Bezugspunkten entlang dem Körper entsprechen, enthält, sowie Vorrichtungen, welcheden Knotenpunkten des ersten Streifens Strom zuführen und die die sich an den Knotenpunkten des zweiten Streifens ergebenden Spannungen mit den dem ersten Streifen zugeführten Strömen entsprechend einer vorgegebenen Beziehung vergleichen.

3. Rechenvorrichtung nach Anspruch 2, in der die Strom- und Spannungsbeziehungen durch Subtraktionsschaltungen verglichen werden, dadurch gekennzeichnet, daß ein erster Subtraktionskreis

die Beziehung

und ein zweiter Subtraktionskreis die Beziehung — (E₁ + E₂ — Jk-E₃)

ableitet, wobei E eine Spannung darstellt, die einem Knotenpunkt des ersten Streifens (N₁) zugeführt wird, E₂ die resultierende Spannung des gleichen Knotenpunktes, und E₃ die resultierende Spannung an den entsprechenden Knotenpunkt des zweiten Streifens ist.

4. Rechenvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Knotenpunkte (An, Bn) mit einer Anzeigevorrichtung in wiederholter Folge mittels einer Schaltvorrichtung (S₁, S₂, S₃, S^) verbunden werden.

5. Rechenvorrichtung nach Anspruch 4, in der als Schaltvorrichtung umlaufende Schalter verwendet und als Anzeigevorrichtung eine Kathodenstrahlröhre mit langer Nachleuchtzeit benutzt werden, dadurch gekennzeichnet, daß die Schaltvorrichtung gleichzeitig die Wiedergabe auf der Kathodenstrahlröhre ablenkt, so daß die Strahlspuren, welche die Fehlergrößen von den einzelnen Knotenpunkten darstellen, nebeneinander auf dem Schirm der Kathodenstrahlröhre dargestellt werden.

In Betracht gezogene Druckschriften: Britische Patentschriften Nr. 684 989, 605 822; USA.-Patentschrift Nr. 2 569 646.

Hierzu 1 Blatt Zeichnungen

© 909 770/224 4.60