CN114888808A - 一种用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法 - Google Patents

一种用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法 Download PDF

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CN114888808A CN202210592114.4A CN202210592114A CN114888808A CN 114888808 A CN114888808 A CN 114888808A CN 202210592114 A CN202210592114 A CN 202210592114A CN 114888808 A CN114888808 A CN 114888808A
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Abstract

本发明公开了一种用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法，本发明中的算法引入了负脉冲，相比只有正脉冲的算法，显著提升了***的响应速度，不需要求出脉冲序列参数的解析解，用计算机可以快速获得数值最优解，因此人工计算量小；可以选择在任何参数变化范围来抑制***输出振荡，并且可以不以标称参数为中心对称，可以根据***变量变化范围灵活设置约束条件，可以针对任何变量做振动抑制。

Description

一种用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法
技术领域
本发明涉及机器人手臂负载端的振动抑制技术领域，尤其涉及一种用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法。
背景技术
机器人手臂负载端的振动抑制是机器人制造业的一个技术难题，大大妨碍了机器人在生产应用中的精度和效率。工业界广泛应用的振动抑制的控制方法主要可分为反馈控制和输入整形两大类。反馈控制的设计，一方面大多数需要在机器手臂末端安装传感器来接收加速度或者位移信号，而末端带负载的机器人手臂从结构上限制了传感器的安装，这就需要设计观测器来估计负载端的振动。这种情况可以用卡尔曼滤波器、L观测器来估计***状态。另一方面，由于大多数机器人都要求能适应变负载的工况，通常需要通过设计自适应控制、扰动观测器等较为复杂的控制器来满足精度要求。即便能满足设计要求，如上两方面的工程需求会显著增加控制***的复杂性和控制器的设计难度。同时由于反馈控制算法的可移植性差，被控对象的改变往往要求控制器重新设计，甚至需要调整控制***的结构。
相比反馈控制，输入整形方法极大的减小了对计算、编程以及硬件的要求，缩短了设计的周期和成本。输入整形只需要估计***的模型参数，不需要任何在线参数估计、传感器及任何反馈、前馈信号，而且输入整形本身不会造成***的不稳定，同时其对参数不确定因素有较好的鲁棒性。输入整形的可移植性强，可应用于各种***的振动抑制，不同***只需调整整形曲线参数即可。
已发表的输入整形算法的工程应用大多数采用了ZV，ZVD等方法。此类方法有如下缺点。首先，此类方法不可任意设定对可变参数***的振动抑制的参数变化范，同时也不可设定对应区间的振动抑制效果要求，因此限制了***的鲁棒性、设计的灵活性和应用的广泛性。大多数已发表的方法只包含整形正脉冲序列激励，同时脉冲延时要以***振动半周期倍数增加，并不是连续的。这影响了***的响应速度。即使有些方法包含了负脉冲，由于算法固定了正脉冲幅值，造成了执行器设计成本的增加，并且容易激励高频模态，反而造成机器手臂振荡，同时，已发表的整形算法都通过求解解析解的方法得到整形脉冲序列，增加了人工的计算量。
鉴于此，实有必要提供一种新型的用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法以克服上述缺陷。
发明内容
本发明的目的是提供一种用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法，显著提升了***的响应速度，不需要求出脉冲序列参数的解析解，用计算机可以快速获得数值最优解，人工计算量小。
为了实现上述目的，本发明提供一种用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法，包括如下步骤：
S1：对单关节机器人的控制***建立模型；
S2：获得单关节机器人控制***的振荡模态的动态特性；
S3：列出求解整形曲线优化问题的约束方程和最小化目标函数min(tn)；
S4：根据机器人单关节负载时变***参数变化范围来计算对应的***自然频率和阻尼比范围；
S5：通过求解最优值问题来计算整形的脉冲序列；
S6：整形曲线。
优选的，将单关节机器人的电机、减速器和负载模块中的表达式对应相应部分的传递函数建立模型；输入U(s)为输入扭矩，输出Y(s)为实际负载端角位移，Jm为电机转动惯量；Bm为电机阻尼比系数；Bml为联轴器阻尼比系数；Kml为联轴器刚度；Jl为负载转动惯量；Bl为负载阻尼比系数；
应用梅森增益公式，从U到Y的传递函数为：
Figure BDA0003665799690000031
其中，Kt为转矩系数，s代表拉普拉斯变换算子，a0＝0；a1＝Bl*Kml+Bm*Kml；a2＝Bl*Bm+Bl*Bml+Bm*Bml+Jl*Kml+Jm*Kml；a3＝Bl*Jm+Bm*Jl+Bml*Jl+Bml*Jm；a4＝Jl*Jm，b0＝Kml，b1＝Bml；
外环控制器传递函数Go和内环控制器传递函数Gi分别为：
Go＝Kpo (1b)
Figure BDA0003665799690000032
其中，Kpo为外环比例控制器系数，Kpi为内环控制器比例系数，Kii为积分系数，由梅森增益公式得到闭环控制***的频域响应的传递函数为
Figure BDA0003665799690000033
求得对应传函系数值a1、a2、a3、a4、a5、b0、b1、b2；
其中，b2＝Bml*Kpo*Kt*Kpi，b1＝Bml*Kpo*Kt*Kii+Kml*Kpo*Kt*Kpi，b0＝Kml*Kpo*Kt*Kii，a5＝Jl*Jm，a4＝Bl*Jm+Bm*Jl+Bml*Jl+Bml*Jm+Jl*Kt*Kpi，a3＝Bl*Bm+Bl*Bml+Bm*Bml+Jl*Kml+Jm*Kml+Bl*Kt*Kpi+Bml*Kt*Kpi+Jl*Kt*Kii+Jl*Kpo*Kt*Kpi，a2＝Bl*Kml+Bm*Kml+Bl*Kt*Kii+Bml*Kt*Kii+Kml*Kt*Kpi+Bl*Kpo*Kt*Kpi+Bml*Kpo*Kt*Kpi+Jl*Kpo*Kt*Kii；
a1＝Kml*Kt*Kvii+Bl*Kpo*Kt*Kii+Bml*Kpo*Kt*Kii+Kml*Kpo*Kt*Kpi；
a0＝Kml*Kpo*Kt*Kii；输入R(s)为目标负载端角位移，输出Y(s)为实际负载端角位移。
优选的，根据单关节机器人的控制***的频域响应的传递函数求得对应传函系数值，获取振荡模态的动态特性，所属单关节机器人的控制***的频域响应的传递函数(2)中有5个根，5个根中包含1对共轭复根和3个实数负根；
单关节机器人的控制***负载端的振荡仅由共轭复根产生，将
Figure BDA0003665799690000041
分解成包含共轭复根的标准二阶振荡***部分G1和不包含共轭复根部分G2，
即：
Figure BDA0003665799690000042
ω是单关节机器人的控制***的自然频率，ζ是阻尼比。
优选的，步骤S3包括步骤S31：列出约束方程中的振动抑制比约束；振动抑制比为整形脉冲序列激励***产生的响应曲线幅值除以单位幅值脉冲在零时刻激励***产生的响应曲线幅值，
对应于闭环控制***的***特性为(ω，ζ)的振动抑制比为：
Figure BDA0003665799690000043
上式(4)中，
Figure BDA0003665799690000051
Figure BDA0003665799690000052
其中，Ai和ti是第i个脉冲的幅值和时间，按需约束的闭环控制***在***特性(ω，ζ)下的余振小于给定值，即，
Figure BDA0003665799690000053
S32：进行脉冲的幅值单项约束；采用正负脉冲混合叠加，具体为：
0＜Ai≤1,i为奇数 (8)
Ai＝-Amax,i为偶数 (9)；
S33：进行脉冲序列的幅值集体约束；整形脉冲序列幅值的和等于基准脉冲幅值1，即A1+A2+…+An＝1，累加约束条件为：
Figure BDA0003665799690000054
上式(10)中，Ai为第i个脉冲的幅值；k代表当前脉冲；n是序列中脉冲的总体个数，其中n＝5，通过上式(10)得到5个脉冲序列幅值集体约束，分别为：
Figure BDA0003665799690000055
S34：列出最小化目标函数min(tn)；
优选的，选取负载转动惯量标称值Jl附近5个点对应的闭环控制***作为振动抑制对象，该5个点分别为0.6*Jl，0.7*Jl，0.8*Jl，0.9*Jl和Jl；
根据步骤S2得到每个点相应的***特性参数(ω，ζ)的值；将该5个点的(ω，ζ)代入上式(7)中得到5个约束方程。
优选的，通过求解非线性条件下的最小化目标函数min(tn)得到整形的脉冲列的幅值和时间(Ai,ti)，将得到的每一条整形脉冲的幅值和时间(Ai,ti)与基准S曲线卷积叠加得到最终的整形曲线。
与现有技术相比，有益效果在于：1)本发明中的算法引入了负脉冲，相比只有正脉冲的算法，显著提升了***的响应速度，不需要求出脉冲序列参数的解析解，用计算机可以快速获得数值最优解，因此人工计算量小。
2)可以选择在任何参数变化范围来抑制***输出振荡，并且可以不以标称参数为中心对称，可以根据***变量变化范围灵活设置约束条件，可以针对任何变量做振动抑制。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，应当理解，以下附图仅示出了本发明的某些实施例，因此不应被看作是对范围的限定，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他相关的附图。
图1为本发明提供的用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法的流程图。
图2为闭环控制***的结构示意图。
图3为闭环控制***的电机、减速器以及负载的结构示意图。
图4为本发明实施例的单关节机器人手臂负载端角位移对整形曲线输入的响应曲线图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案和有益技术效果更加清晰明白，以下结合附图和具体实施方式，对本发明进行进一步详细说明。应当理解的是，本说明书中描述的具体实施方式仅仅是为了解释本发明，并不是为了限定本发明。
请参阅图1，本发明提供一种用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法，包括如下步骤：
S1：对单关节机器人的控制***建立模型；
如图2和3所示，具体的，将单关节机器人的电机、减速器和负载模块中的表达式对应相应部分的传递函数建立模型；输入U(s)为输入扭矩，输出Y(s)为实际负载端角位移，Jm为电机转动惯量；Bm为电机阻尼比系数；Bml为联轴器阻尼比系数；Kml为联轴器刚度；Jl为负载转动惯量；Bl为负载阻尼比系数；
应用梅森增益公式，从U到Y的传递函数为：
Figure BDA0003665799690000071
其中，Kt为转矩系数，s代表拉普拉斯变换算子，a0＝0；a1＝Bl*Kml+Bm*Kml；a2＝Bl*Bm+Bl*Bml+Bm*Bml+Jl*Kml+Jm*Kml；a3＝Bl*Jm+Bm*Jl+Bml*Jl+Bml*Jm；a4＝Jl*Jm，b0＝Kml，b1＝Bml。
以图2中的单关节机器人的闭环控制***为例进行说明，图2中的外环控制器传递函数Go和内环控制器传递函数Gi分别为：
Go＝Kpo (1b)
Figure BDA0003665799690000081
其中，Kpo为外环比例控制器系数，Kpi为内环控制器比例系数，Kii为积分系数，由梅森增益公式得到闭环控制***的频域响应的传递函数为
Figure BDA0003665799690000082
求得对应传函系数值a1、a2、a3、a4、a5、b0、b1、b2；其中，b2＝Bml*Kpo*Kt*Kpi，b1＝Bml*Kpo*Kt*Kii+Kml*Kpo*Kt*Kpi，b0＝Kml*Kpo*Kt*Kii，a5＝Jl*Jm，
a4＝Bl*Jm+Bm*Jl+Bml*Jl+Bml*Jm+Jl*Kt*Kpi，
a3＝Bl*Bm+Bl*Bml+Bm*Bml+Jl*Kml+Jm*Kml+Bl*Kt*Kpi+Bml*Kt*Kpi+Jl*Kt*Kii+Jl*Kpo*Kt*Kpi，
a2＝Bl*Kml+Bm*Kml+Bl*Kt*Kii+Bml*Kt*Kii+Kml*Kt*Kpi+Bl*Kpo*Kt*Kpi+Bml*Kpo*Kt*Kpi+Jl*Kpo*Kt*Kii；
a1＝Kml*Kt*Kvii+Bl*Kpo*Kt*Kii+Bml*Kpo*Kt*Kii+Kml*Kpo*Kt*Kpi；a0＝Kml*Kpo*Kt*Kii；输入R(s)为目标负载端角位移，输出Y(s)为实际负载端角位移。
S2：获得单关节机器人控制***的振荡模态的动态特性。
具体的，首先将闭环控制***的频域响应的传递函数求得对应传函系数值，获取振荡模态的动态特性，
闭环控制***的频域响应的传递函数中有5个根(也可称为模态)，5个根中包含1对共轭复根和3个实数负根。
单关节机器人的控制***负载端的振荡仅由共轭复根产生，因此只需消除共轭复根产生振荡即可，将
Figure BDA0003665799690000091
分解成包含共轭复根的标准二阶振荡***部分G1和不包含共轭复根部分G2，即：
Figure BDA0003665799690000092
ω是***的自然频率，ζ是阻尼比，上式(2)和(3)是同一闭环控制***的传递函数的不同表达。
需要说明的是，根据不同的模型参数值，可求得闭环控制***的频域响应的传递函数的系数值ai和bi，即G(s)的数值解，然后可求得G(s)的1对共轭复根对应的自然频率和阻尼比(ω，ζ)。
S3：列出求解整形曲线优化问题的约束方程和最小化目标函数min(tn)。
具体的，S31：列出约束方程中的振动抑制比(亦可称作余振)约束；振动抑制比为整形脉冲序列激励***产生的响应曲线幅值除以单位幅值脉冲在零时刻激励***产生的响应曲线幅值。
进一步的，对应于闭环控制***的***特性为(ω，ζ)的振动抑制比为：
Figure BDA0003665799690000093
上式(4)中，
Figure BDA0003665799690000101
Figure BDA0003665799690000102
其中，Ai和ti是第i个脉冲的幅值和时间，按需约束的闭环控制***在***特性(ω，ζ)下的余振小于给定值，即，
Figure BDA0003665799690000103
S32：进行脉冲的幅值单项约束；采用正负脉冲混合叠加，从而显著缩短单关节机器人的控制进入稳态的整定时间，具体为：
0＜Ai≤1,i为奇数 (8)
Ai＝-Amax,i为偶数 (9)；
此约束条件可以保证计算机在迭代优化计算中，脉冲幅值Ai不会出现无穷大的无实际物理意义的最优解，Amax的取值视执行器能承受的最大电流而定。
S33：进行脉冲序列的幅值集体约束；通常整形脉冲序列的幅值的和需要等于基准脉冲幅值1，即A1+A2+…+An＝1，这样能保证最终生成的整形曲线幅值等于基准整形曲线幅值，对应于本发明中的正负脉冲混合整形情况，需要满足累加约束条件：
Figure BDA0003665799690000104
上式(10)中，Ai为第i个脉冲的幅值；k代表当前脉冲；n是序列中脉冲的总体个数。本发明实施例中以设置n＝5为例，因此通过上式(10)得到5个脉冲序列幅值集体约束，分别为：
Figure BDA0003665799690000111
S34：列出最小化目标函数min(tn)；
S4：根据闭环控制***参数变化范围来计算对应的***自然频率和阻尼比范围。
具体的，选取负载转动惯量标称值Jl附近5个点对应的闭环控制***作为振动抑制对象，该5个点分别为0.6*Jl，0.7*Jl，0.8*Jl，0.9*Jl和Jl；
根据步骤S2得到每个点相应的***特性参数(ω，ζ)的值；将该5个点的(ω，ζ)代入上式(7)中得到5个约束方程。
需要说明的是，本专利申请中能够令振动抑制比Vtol＝5％，相比已发表的专利，本专利申请选取振动抑制对应Jl的一个范围(0.6*Jl～Jl)而不是只对应标称值Jl，因为所有***模型都有误差，选取一个范围能增强一条整形曲线对应***参数变化的鲁棒性。
S5：通过求解最优值问题来计算整形脉冲序列。
具体的，本专利申请的方案需要通过求解非线性条件(即方程7,8,9,10)和最小化目标函数min(tn)得到整形脉冲列的幅值和时间(Ai,ti)，脉冲个数i可根据***目标性能要求选取。本发明实施例中，选取i＝5，因此包含2个负脉冲，应用Matlab的fmincon函数求出最优解。
非单峰单谷的非线性约束条件的最优解依赖于初值的选取，在约束条件中增加了目标函数和约束条件的Gradient/Jacobian和Hessian(Lagrangian二阶导)，来帮助Matlab更快速、更容易找到最优解。
S6：整形曲线。
本发明实施例用S-shaped membership函数作为基准曲线调节a,b来实现调节此曲线的斜率。将S5中得到的每一条整形脉冲的幅值和时间(Ai,ti)与基准S曲线卷积叠加得到最终的整形曲线作为***输入。
本发明实施例用S-shaped membership函数作为基准曲线，相比于阶跃函数，可以降低***对峰值电流量的要求，同时此函数得到的曲线可以调节上升斜率，从而保证在电流可允许范围内***响应速度最快。
本发明实施例应用的S-shaped membership函数表达式为：
Figure BDA0003665799690000121
下面进一步举例说明，列出建立的模型的参数，
模型主要标称参数如下：外环比例控制器系数Kpo＝30；内环控制器比例系数Kpi＝0.25，积分系数Kii＝0.1；电机转动惯量Jm＝2.0×10-5Kg m2；电机阻尼比系数Bm＝2×10-4(N s)/m；联轴器阻尼比系数Bml＝2×10-3(N s)/m；联轴器刚度Kml＝0.82N/m；负载转动惯量Jl＝3×10-4Kg m2；负载阻尼比系数Bl＝6.1×10-4(N s)/m，转矩系数Kt＝0.4N m/Arms。
得到的闭环控制***从目标负载端角位移到实际负载端角位移的传递函数为：
Figure BDA0003665799690000131
从上式(14)计算得到***的标称自然频率为ω＝48rad/s，阻尼比ζ＝0.126；
选取负载转动惯量标称值Jl附近的5个点对应的***来作为振动抑制对象，这5个点分别为0.6*Jl，0.7*Jl，0.8*Jl，0.9*Jl和Jl，通过计算得到这5个点对应的***特征描述(ω，ζ)的参数值分别为(62.63，0.147)，(57.8，0.141)，(53.9，0.135)，(50.7，0.130)，(48，0.126)，所得抑制比Vtol＝5％；
选取整形脉冲个数为5，因此包含2个负脉冲，幅值为Amax＝0.75。将如上结果代入求解整形曲线化问题的约束方程(公式4，公式7,公式8,公式9,公式10)，和最小化目标函数，用Matlab的fmincon函数求解得到最优整形脉冲序列幅值为[0.8383 -0.7500 0.8212-0.7500 0.8406]，对应的时间为[0 0.0178 0.0473 0.0947 0.1009]，在保证电流在饱和范围内尽可能的达到最大峰值的前提下，通过迭代，得到的基准S曲线为：
Figure BDA0003665799690000132
本发明实施例中要求稳态角位移为45度，因此实际应用的S曲线为45f(x；0,0.242)，将每一条整形脉冲与45f(x；0,0.242)卷积并叠加得到最终整形曲线。
如图4所示，对比在基准曲线和整形曲线输入闭环控制***的响应，此整形曲线对应的是闭环控制***标称参数下的响应，即(ω，ζ)＝(48，0.126)，目标角位移为45度。相比基准曲线响应，整形曲线响应更快速的到达稳态并且肉眼观测不到超调。
闭环控制***在5组参数下的暂态响应如下表：
Figure BDA0003665799690000141
由表中可知，在整形曲线激励下，所有闭环控制***的实际角位移稳定在目标角位移0.01度之内的时间都不超过0.5秒，稳定在目标值0.003度的时间基本维持0.6秒之内，如上结果证明了本发明算法给***提供了很好的暂态和稳态响应速度以及对参数变化的鲁棒性。
本发明并不仅仅限于说明书和实施方式中所描述，因此对于熟悉领域的人员而言可容易地实现另外的优点和修改，故在不背离权利要求及等同范围所限定的一般概念的精神和范围的情况下，本发明并不限于特定的细节、代表性的设备和这里示出与描述的示例。

Claims (6)

1.一种用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1：对单关节机器人的控制***建立模型；
S2：获得单关节机器人控制***的振荡模态的动态特性；
S3：列出求解整形曲线优化问题的约束方程和最小化目标函数min(tn)；
S4：根据机器人单关节负载时变***参数变化范围来计算对应的***自然频率和阻尼比范围；
S5：通过求解最优值问题来计算整形的脉冲序列；
S6：整形曲线。
2.如权利要求1所述的用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法，其特征在于，将单关节机器人的电机、减速器和负载模块中的表达式对应相应部分的传递函数建立模型；输入U(s)为输入扭矩，输出Y(s)为实际负载端角位移，Jm为电机转动惯量；Bm为电机阻尼比系数；Bml为联轴器阻尼比系数；Kml为联轴器刚度；Jl为负载转动惯量；Bl为负载阻尼比系数；
应用梅森增益公式，从U到Y的传递函数为：
Figure FDA0003665799680000011
其中，Kt为转矩系数，s代表拉普拉斯变换算子，a0＝0；a1＝Bl*Kml+Bm*Kml；a2＝Bl*Bm+Bl*Bml+Bm*Bml+Jl*Kml+Jm*Kml；a3＝Bl*Jm+Bm*Jl+Bml*Jl+Bml*Jm；a4＝Jl*Jm，b0＝Kml，b1＝Bml；
外环控制器传递函数Go和内环控制器传递函数Gi分别为：
Go＝Kpo (1b)
Figure FDA0003665799680000021
其中，Kpo为外环比例控制器系数，Kpi为内环控制器比例系数，Kii为积分系数，由梅森增益公式得到闭环控制***的频域响应的传递函数为
Figure FDA0003665799680000022
求得对应传函系数值a1、a2、a3、a4、a5、b0、b1、b2；
其中，b2＝Bml*Kpo*Kt*Kpi，b1＝Bml*Kpo*Kt*Kii+Kml*Kpo*Kt*Kpi，b0＝Kml*Kpo*Kt*Kii，a5＝Jl*Jm，a4＝Bl*Jm+Bm*Jl+Bml*Jl+Bml*Jm+Jl*Kt*Kpi，a3＝Bl*Bm+Bl*Bml+Bm*Bml+Jl*Kml+Jm*Kml+Bl*Kt*Kpi+Bml*Kt*Kpi+Jl*Kt*Kii+Jl*Kpo*Kt*Kpi，a2＝Bl*Kml+Bm*Kml+Bl*Kt*Kii+Bml*Kt*Kii+Kml*Kt*Kpi+Bl*Kpo*Kt*Kpi+Bml*Kpo*Kt*Kpi+Jl*Kpo*Kt*Kii；
a1＝Kml*Kt*Kvii+Bl*Kpo*Kt*Kii+Bml*Kpo*Kt*Kii+Kml*Kpo*Kt*Kpi；
a0＝Kml*Kpo*Kt*Kii；输入R(s)为目标负载端角位移，输出Y(s)为实际负载端角位移。
3.如权利要求2所述的用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法，其特征在于，根据单关节机器人的控制***的频域响应的传递函数求得对应传函系数值，获取振荡模态的动态特性，所属单关节机器人的控制***的频域响应的传递函数(2)中有5个根，5个根中包含1对共轭复根和3个实数负根；
单关节机器人的控制***负载端的振荡仅由共轭复根产生，将
Figure FDA0003665799680000031
分解成包含共轭复根的标准二阶振荡***部分G1和不包含共轭复根部分G2，
即：
Figure FDA0003665799680000032
ω是单关节机器人的控制***的自然频率，ζ是阻尼比。
4.如权利要求1所述的用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法，其特征在于，步骤S3包括步骤S31：列出约束方程中的振动抑制比约束；振动抑制比为整形脉冲序列激励***产生的响应曲线幅值除以单位幅值脉冲在零时刻激励***产生的响应曲线幅值，
对应于闭环控制***的***特性为(ω，ζ)的振动抑制比为：
Figure FDA0003665799680000033
上式(4)中，
Figure FDA0003665799680000034
Figure FDA0003665799680000035
其中，Ai和ti是第i个脉冲的幅值和时间，按需约束的闭环控制***在***特性(ω，ζ)下的余振小于给定值，即，
Figure FDA0003665799680000036
S32：进行脉冲的幅值单项约束；采用正负脉冲混合叠加，具体为：
0＜Ai≤1,i为奇数 (8)
Ai＝-Amax,i为偶数 (9)；
S33：进行脉冲序列的幅值集体约束；整形脉冲序列幅值的和等于基准脉冲幅值1，即A1+A2+…+An＝1，累加约束条件为：
Figure FDA0003665799680000041
上式(10)中，Ai为第i个脉冲的幅值；k代表当前脉冲；n是序列中脉冲的总体个数，其中n＝5，通过上式(10)得到5个脉冲序列幅值集体约束，分别为：
Figure FDA0003665799680000042
S34：列出最小化目标函数min(tn)。
5.如权利要求4所述的用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法，其特征在于，选取负载转动惯量标称值Jl附近5个点对应的闭环控制***作为振动抑制对象，该5个点分别为0.6*Jl，0.7*Jl，0.8*Jl，0.9*Jl和Jl；
根据步骤S2得到每个点相应的***特性参数(ω，ζ)的值；将该5个点的(ω，ζ)代入上式(7)中得到5个约束方程。
6.如权利要求1所述的用于关节机器人振动抑制的输入整形的方法，其特征在于，通过求解非线性条件下的最小化目标函数min(tn)得到整形的脉冲列的幅值和时间(Ai,ti)，将得到的每一条整形脉冲的幅值和时间(Ai,ti)与基准S曲线卷积叠加得到最终的整形曲线。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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CN116512245A (zh) * 2023-03-13 2023-08-01 之江实验室 一种柔性关节机械臂残余振动抑制的轨迹优化方法及装置

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