CN113868801B - 一种基于全齿面搜索的轮齿接触分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于全齿面搜索的轮齿接触分析方法，属于齿轮接触分析技术领域。在建立齿轮真实齿面的基础上，将齿轮真实齿面进行网格划分，计算网格点处小齿轮齿面点与大齿轮齿面点的距离。给定小齿轮转角，调整大齿轮转角，找到小齿轮齿面和大齿轮齿面之间的最小值，将此时的齿面点作为瞬时接触点。给定不同的小齿轮转角，得到不同瞬时接触点，形成接触轨迹。根据齿轮转角和齿面间最小距离计算传动误差，两个齿面间距离值小于滚检实验涂层厚度的区域即为接触印痕。本方法不受特定齿面的限制，且该方法在进行轮齿接触分析时可考虑到齿面误差，及单对齿面同时存在多个啮合点的情况，并能求解同一时刻单对齿面的所有啮合点。

Description

一种基于全齿面搜索的轮齿接触分析方法

技术领域

本发明属于齿轮接触分析技术领域，具体涉及一种基于全齿面搜索的轮齿接触分析方法。

背景技术

轮齿接触分析方法(Tooth Contact Analysis)用于计算求解齿轮副的接触印痕与静态传动误差，是评价齿轮齿面设计质量、加工质量和啮合性能的重要手段。

Litvin教授提出的基于两刚性光滑齿面位矢和法矢相同的接触分析算法，是目前应用最广泛的传统分析方法，适应于两光滑齿面构成的点接触齿轮副。其核心是根据两齿轮齿面点处具有共同的法矢和位矢，构造出五个非线性方程(其中位矢相同决定3个方程，法矢相同决定2个方程)，联立求解确定啮合点位置及齿轮转角。这种方法在求解时，给定小齿轮的位置转角，只能求解一个瞬时接触点或者接触线(线接触情况)，无法考虑齿面局部存在干涉的情况，也不能考虑由于加工误差引起的齿面接触不连续等情况。

方宗德教授基于三坐标测量的齿面偏差，经过三次B样条拟合得到法向偏差曲面，通过理论齿面与偏差曲面叠加构造斜齿轮实际齿面，推导了齿面法矢、齿面接触条件与边缘接触条件，实现了对各种实际齿面进行接触分析仿真。该方法可用于各种加工误差和修形条件下的齿面接触分析仿真，为圆柱齿轮实际齿面接触分析提供了方法。但该方法仍然基于了两齿面法矢和位矢相等的原理进行求解，不能进行全齿面搜索。

孙殿柱教授考虑轮齿热变形和齿面加工误差，将曲面造型技术、CAGD理论和经典齿轮啮合原理交叉融合，针对螺旋圆柱齿轮提出了真实齿面瞬时啮合点的两种求解算法：零间隙法和相切法。相切法计算精度高、速度快，但是对非线性方程组的初值选取很敏感。零间隙法求解速度较慢，但对初值条件无要求，而且可检验啮合点之外是否有相交干涉。两种方法可互补使用。

发明内容

要解决的技术问题

为了避免现有技术的不足之处，本发明提出一种基于全齿面搜索的轮齿接触分析方法，以解决目前传统齿轮轮齿接触分析方法无法考虑单对齿面同时存在多个啮合点的问题。

技术方案

一种基于全齿面搜索的轮齿接触分析方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：建立随动坐标系S₁和S₂，所述坐标系S₁的坐标轴为x₁，y₁，z₁，所述坐标系S₂的坐标轴为x₂，y₂，z₂，；S₁与小齿轮刚性连接，其z₁轴与小齿轮轴线重合；同样，S₂与大齿轮刚性连接，其z₂轴与大齿轮轴重合；

由三坐标测量获得齿轮齿面偏差数据，经过三次B样条拟合得到法向偏差曲面

将理论齿面与法向偏差曲面叠加可构造出齿轮实际齿面；

小齿轮齿面Σ⁽¹⁾在随动坐标系S₁下的齿面方程为：

其中

是小齿轮齿面Σ⁽¹⁾的位置向量，p⁽¹⁾和q⁽¹⁾为表面参数；

同样，大齿轮齿面Σ⁽²⁾在随动坐标系S₂下的齿面方程为：

其中

是大齿轮齿面Σ⁽²⁾的位置向量，p⁽²⁾和q⁽²⁾为表面参数；

步骤2：选取初始位置：设定初始啮合位置为O_a和O_b重合时的位置，其中初始点O_a和O_b分别位于小齿轮和大齿轮齿宽中点且距离齿顶面为1倍模数处；小齿轮和大齿轮的转角

和

从初始位置记，取小齿轮初始转角为

大齿轮初始转角为

即默认两齿轮从初始位置开始求解接触点；

步骤3：划分网格：以初始位置小齿轮齿面Σ⁽¹⁾上初始点O_a为原点，建立与小齿轮刚性连接的随动坐标系S_a，坐标轴为x_a，y_a，z_a，坐标系平面x_ay_a与小齿轮齿面Σ⁽¹⁾相切于原点O_a，轴x_a的方向与小齿轮齿向方向相同；在坐标系平面x_ay_a上划分m行n列的网格T⁽¹⁾，网格横向与轴x_a平行，纵向与轴y_a平行；同理，以O_b为原点，建立与大齿轮刚性连接的随动坐标系S_b，坐标轴为x_b，y_b，z_b，划分网格T⁽²⁾；定义T⁽¹⁾或T⁽²⁾上位于每个网格几何中心的点为网格点，其余点为非网格点；由网格点或非网格点在齿轮齿面上投影获得的点为投影点；在后面的距离搜索时将以T⁽¹⁾上的网格点为索引；

为便于后续距离搜索时的坐标转换，在初始位置处，即

时，建立与坐标系S_a重合的固定坐标系S_p，坐标轴为x_p，y_p，z_p，同理建立与坐标系S_b重合的固定坐标系S_g，坐标轴为x_g，y_g，z_g；由于初始位置处O_a和O_b重合，由随动坐标系S_a、S_b各轴关系可知坐标系S_p绕轴x_p旋转180°即为坐标系S_g；

步骤4：计算齿面点Z坐标

计算小齿轮齿面Σ⁽¹⁾在坐标系S_a下的齿面方程为：

其中M_a1为坐标系S₁到坐标系S_a的坐标转换矩阵；

为坐标系S₁的原点O₁到初始点M⁽¹⁾的矢量；

求解在坐标系S_a下网格点

的坐标：

等式左边

和

为网格点

的横纵坐标；等式右边为在坐标系S_a下的矢量方程；

根据小齿轮齿面Σ⁽¹⁾在坐标系S_a下的齿面方程，可得到网格点

沿z_a向小齿轮齿面Σ⁽¹⁾投影点

的Z坐标，记为

同理，可求解出大齿轮齿面Σ⁽²⁾上点

在坐标系S_b下的Z坐标，记为

由此可计算两齿轮齿面Σ⁽¹⁾或Σ⁽²⁾上任意点P在相应随动坐标系S_a或S_b下的Z坐标，可通过任意点P在其周围投影点的Z坐标的插值获得；因此在距离搜索时，只有网格点在齿面上的投影点是通过齿面方程求其Z坐标的，非网格点在齿面上的投影点其Z坐标通过二维插值方法获得；

步骤5：齿面距离计算

设T⁽¹⁾上的某网格点

在小齿轮齿面Σ⁽¹⁾上的投影点为点

点

到T⁽²⁾平面的投影点记为M，此时点M在网格平面T⁽²⁾上通常为非网格点，因此在求点M到大齿轮齿面Σ⁽²⁾上的投影点

时需要用到前述的插值；为计算点

到点

的距离，需要将两齿面方程置于同一坐标系下；点

在坐标系S_b下的坐标向量可表示为：

其中

为坐标系S_a下的矢量方程；M_ba是S_a到S_b的坐标转换矩阵，转换方式为：S_a→S_p→S_g→S_b；H_a是小齿轮初始点M⁽¹⁾到大齿轮初始点M⁽²⁾的矢量；i_b，j_b，k_b分别为S_b下三个轴的单位向量；

设点

在坐标系S_b下的Z坐标为

点

在坐标系S_b下的Z坐标为

则点

到点

的距离记为

假设小齿轮初始转动角度为

按照传动比计算大齿轮初始旋转角度为

计算m行n列的网格T⁽¹⁾上所有网格点沿z_a向小齿轮齿面Σ⁽¹⁾的全部投影点；依据上述齿面距离计算方法，计算小轮齿面Σ⁽¹⁾上全部投影点到大轮齿面Σ⁽²⁾上对应点的距离；寻找其中最小距离，记为Δz_ba,min；

如果Δz_ba，min＞ε，则说明两齿轮齿面没有互相接触，需要迭代求解瞬时接触点；如果Δz_ba，min≤ε，则说明两齿轮齿面存在相互接触甚至相互嵌入的情况；ε为给定容差，用于判断两齿面的状态；

步骤6：迭代求解瞬时接触点

如果Δz_ba，min＞ε，则需要做下面调整，否则直接计算传动误差；最小距离处小轮齿面Σ⁽¹⁾上点为K，大轮齿面Σ⁽²⁾上点为Q，记点K和点Q为齿面接近点；

Δz_ba,min在Q点线速度V_Q上的投影设为Δ_V，则

式中，QC为点Q到大齿轮轴的最短距离；

之后，保持小齿轮转动角度

不变，使大齿轮转动角度为

继续搜索齿面接近点，计算新的

如此不断迭代调整大齿轮转动角度

求解齿面最小距离；当最小距离Δz_ba,min小于等于给定容差ε时，此时认为齿面已经接触，其对应的齿面接近点为接触点；

当齿面接触上时，根据传动误差的定义计算传动误差；

寻找全部瞬时接触点：为模拟滚检涂层厚度，T⁽¹⁾上每个网格点在小齿轮齿面Σ⁽¹⁾上的投影点沿外法线方向移动距离ξ；以新的投影点为索引，再次搜索两齿面间距离Δz_ba，此次搜索不再迭代调整大齿轮转角；齿面距离Δz_ba小于等于滚检实验涂层厚度ξ的齿面点都视为接触点；

步骤7：以增量

分别沿正向和负向改变小齿轮转角

再按照传动比计算大齿轮转角

按照步骤5和6所述的齿面距离计算方法和瞬时接触点求解方法，计算求解下一个啮合位置处的齿面接触点，并由此计算传动误差、瞬时接触线或接触区域；当小齿轮转角

经历[-2π/N₁，2π/N₁]后则停止计算，其中N₁是小齿轮齿数。

一种计算机***，其特征在于包括：一个或多个处理器，计算机可读存储介质，用于存储一个或多个程序，其中，当所述一个或多个程序被所述一个或多个处理器执行时，使得所述一个或多个处理器实现上述的方法。

有益效果

本发明提出了一种基于全齿面搜索的轮齿接触分析方法，在建立齿轮真实齿面的基础上，将齿轮真实齿面进行网格划分，计算网格点处小齿轮齿面点与大齿轮齿面点的距离。给定小齿轮转角，调整大齿轮转角，找到小齿轮齿面和大齿轮齿面之间的最小值，将此时的齿面点作为瞬时接触点。给定不同的小齿轮转角，得到不同瞬时接触点，形成接触轨迹。根据齿轮转角和齿面间最小距离计算传动误差，两个齿面间距离值小于滚检实验涂层厚度的区域即为接触印痕。

该方法可适用于不同类型齿轮齿面的接触分析，其算法不受特定齿面的限制。该方法提到的齿面是将齿轮加工时产生的齿面误差通过样条拟合后与理论齿面叠加构造而成。因此本方法在进行轮齿接触分析时可考虑到齿面误差，具有更接近实际的结果。此外，本方法可以考虑到单对齿面同时存在多个啮合点的情况，并能求解同一时刻单对齿面的所有啮合点，弥补了现有传统轮齿接触分析方法只能计算一个啮合点的不足。

附图说明

附图仅用于示出具体实施例的目的，而并不认为是对本发明的限制，在整个附图中，相同的参考符号表示相同的部件。

图1是本发明基于全齿面搜索接触分析方法的坐标系S₁、S₂及初始点O_a和O_b的示意图，图中为表示清楚将两齿轮齿间距增大；

图2是本发明基于全齿面搜索接触分析方法的小齿轮网格划分示意图；

图3是本发明基于全齿面搜索接触分析方法的随动坐标系S_a、S_b及固定坐标系S_p、S_g各轴关系示意图；

图4是本发明基于全齿面搜索接触分析方法的小齿轮齿面上投影点Z坐标计算方法示意图，为方便表示将小齿轮齿面Σ⁽¹⁾的曲率增大；

图5是本发明基于全齿面搜索接触分析方法由齿面接近点计算Δ_V的示意图；

图6是本发明基于全齿面搜索接触分析方法两齿面距离搜索的示意图；

图7是本发明基于全齿面搜索接触分析方法的流程图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图和实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

如图7所示为本发明的流程图，本发明的基于全齿面搜索轮齿接触分析方法主要包括以下步骤：(1)在两齿面参考点处建立局部坐标系，设定齿轮初始位置，对齿轮齿面进行网格划分，给定两齿轮转角分别为

和

(2)计算网格点在齿轮齿面上投影点的Z坐标，非网格点处齿轮齿面上投影点以二维插值方式可快速获得Z坐标；(3)沿着方向Z_b，求解小齿轮任意齿面点

到大齿轮齿面的最短距离

并以此寻找齿面接近点；(4)根据最短距离和齿面接近点，迭代调整大齿轮转角

使得齿面间最短距离小于给定容差ε，此时认为两齿面相切，并求得瞬时接触点；(5)根据瞬时接触点及两齿轮转角求解传动误差。考虑齿轮副滚动印痕检查时的涂层厚度，再对齿轮齿面网格点进行一次距离搜索，寻找接触区域。

上述步骤具体如下：

1、建立随动坐标系S₁(坐标轴为x₁，y₁，z₁)和S₂(坐标轴为x₂，y₂，z₂)。S₁与小齿轮刚性连接，其z₁轴与小齿轮轴线重合。同样，S₂与大齿轮刚性连接，其z₂轴与大齿轮轴重合。

由三坐标测量获得齿轮齿面偏差数据，经过三次B样条拟合得到法向偏差曲面s₁(1)(u⁽¹⁾,v⁽¹⁾)，将理论齿面与法向偏差曲面叠加可构造出齿轮实际齿面。

小齿轮齿面Σ⁽¹⁾在随动坐标系S₁下的齿面方程为：

其中

是小齿轮齿面Σ⁽¹⁾的位置向量，p⁽¹⁾和q⁽¹⁾为表面参数。

同样，大齿轮齿面Σ⁽²⁾在随动坐标系S₂下的齿面方程为：

其中

是大齿轮齿面Σ⁽²⁾的位置向量，p⁽²⁾和q⁽²⁾为表面参数。

2、选取初始位置。设定初始啮合位置为O_a和O_b重合时的位置，其中初始点O_a和O_b分别位于小齿轮和大齿轮齿宽中点且距离齿顶面为1倍模数处。小齿轮和大齿轮的转角

和

从初始位置记，取小齿轮初始转角为

大齿轮初始转角为

即默认两齿轮从初始位置开始求解接触点。坐标系S₁、S₂及初始点O_a和O_b如图1所示，图中为表示清楚将两齿轮齿间距增大。

3、划分网格。以初始位置小齿轮齿面Σ⁽¹⁾上初始点O_a为原点，建立与小齿轮刚性连接的随动坐标系S_a(坐标轴为x_a，y_a，z_a)，坐标系平面x_ay_a与小齿轮齿面Σ⁽¹⁾相切于原点O_a，轴x_a的方向与小齿轮齿向方向相同。在坐标系平面x_ay_a上划分m行n列的网格T⁽¹⁾，网格横向与轴x_a平行，纵向与轴y_a平行。同理，以O_b为原点，建立与大齿轮刚性连接的随动坐标系S_b(坐标轴为x_b，y_b，z_b)，划分网格T⁽²⁾。定义T⁽¹⁾或T⁽²⁾上位于每个网格几何中心的点为网格点，其余点为非网格点；由网格点或非网格点在齿轮齿面上投影获得的点为投影点。在后面的距离搜索时将以T⁽¹⁾上的网格点为索引。小齿轮网格划分示意图如图2所示。

为便于后续距离搜索时的坐标转换，在初始位置处，即

时，建立与坐标系S_a重合的固定坐标系S_p(坐标轴为x_p，y_p，z_p)，同理建立与坐标系S_b重合的固定坐标系S_g(坐标轴为x_g，y_g，z_g)。由于初始位置处O_a和O_b重合，由随动坐标系S_a、S_b各轴关系可知坐标系S_p绕轴x_p旋转180°即为坐标系S_g，如图3所示。

4、计算齿面点Z坐标。计算小齿轮齿面Σ⁽¹⁾在坐标系S_a下的齿面方程为：

其中M_a1为坐标系S₁到坐标系S_a的坐标转换矩阵；

为坐标系S₁的原点O₁到初始点M⁽¹⁾的矢量。

求解在坐标系S_a下网格点

的坐标：

等式左边

和

为网格点

的横纵坐标；等式右边为在坐标系S_a下的矢量方程。

根据小齿轮齿面Σ⁽¹⁾在坐标系S_a下的齿面方程，可得到网格点

沿z_a向小齿轮齿面Σ⁽¹⁾投影点

的Z坐标，记为

同理，可求解出大齿轮齿面Σ⁽²⁾上点

在坐标系S_b下的Z坐标，记为

由此可计算两齿轮齿面Σ⁽¹⁾或Σ⁽²⁾上任意点P在相应随动坐标系S_a或S_b下的Z坐标，可通过任意点P在其周围投影点的Z坐标的插值获得。因此在距离搜索时，只有网格点在齿面上的投影点是通过齿面方程求其Z坐标的，非网格点在齿面上的投影点其Z坐标通过二维插值方法获得。小齿轮齿面上投影点Z坐标的计算方法如图4所示，为方便表示将小齿轮齿面Σ⁽¹⁾的曲率增大。

5、齿面距离计算。设T⁽¹⁾上的某网格点

在小齿轮齿面Σ⁽¹⁾上的投影点为点

点

到T⁽²⁾平面的投影点记为M，此时点M在网格平面T⁽²⁾上通常为非网格点，因此在求点M到大齿轮齿面Σ⁽²⁾上的投影点

时需要用到前述的插值。为计算点

到点

的距离，需要将两齿面方程置于同一坐标系下。点

在坐标系S_b下的坐标向量可表示为：

其中

为坐标系S_a下的矢量方程；M_ba是S_a到S_b的坐标转换矩阵，转换方式为：S_a→S_p→S_g→S_b。H_a是小齿轮初始点M⁽¹⁾到大齿轮初始点M⁽²⁾的矢量。i_b，j_b，k_b分别为S_b下三个轴的单位向量。

设点

在坐标系S_b下的Z坐标为

点

在坐标系S_b下的Z坐标为

则点

到点

的距离记为

假设小齿轮初始转动角度为

按照传动比计算大齿轮初始旋转角度为

计算m行n列的网格T⁽¹⁾上所有网格点沿z_a向小齿轮齿面Σ⁽¹⁾的全部投影点。依据上述齿面距离计算方法，计算小轮齿面Σ⁽¹⁾上全部投影点到大轮齿面Σ⁽²⁾上对应点的距离。寻找其中最小距离，记为Δz_ba,min。

如果Δz_ba，min＞ε，则说明两齿轮齿面没有互相接触，需要迭代求解瞬时接触点；如果Δz_ba，min≤ε，则说明两齿轮齿面存在相互接触甚至相互嵌入的情况。ε为给定容差，用于判断两齿面的状态。

6、迭代求解瞬时接触点。如果Δz_ba，min＞ε，则需要做下面调整，否则直接计算传动误差。最小距离处小轮齿面Σ⁽¹⁾上点为K，大轮齿面Σ⁽²⁾上点为Q，记点K和点Q为齿面接近点，如图5所示。

Δz_ba,min在Q点线速度V_Q上的投影设为Δ_V,则

式中，QC为点Q到大齿轮轴的最短距离。

之后，保持小齿轮转动角度

不变，使大齿轮转动角度为

继续搜索齿面接近点，计算新的

如此不断迭代调整大齿轮转动角度

求解齿面最小距离。当最小距离Δz_ba,min小于等于给定容差ε时，此时认为齿面已经接触，其对应的齿面接近点为接触点。

当齿面接触上时，根据传动误差的定义计算传动误差。

寻找全部瞬时接触点：为模拟滚检涂层厚度，T⁽¹⁾上每个网格点在小齿轮齿面Σ⁽¹⁾上的投影点沿外法线方向移动距离ξ。以新的投影点为索引，再次搜索两齿面间距离Δz_ba，此次搜索不再迭代调整大齿轮转角。齿面距离Δz_ba小于等于滚检实验涂层厚度ξ的齿面点都视为接触点。

7、以增量

分别沿正向和负向改变小齿轮转角

再按照传动比计算大齿轮转角

按照步骤5)和6)所述的齿面距离计算方法和瞬时接触点求解方法，计算求解下一个啮合位置处的齿面接触点，并由此计算传动误差、瞬时接触线或接触区域。当小齿轮转角

经历[-2π/N₁，2π/N₁]后则停止计算，其中N₁是小齿轮齿数。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明公开的技术范围内，可轻易想到各种等效的修改或替换，这些修改或替换都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种基于全齿面搜索的轮齿接触分析方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：建立随动坐标系S₁和S₂，所述坐标系S₁的坐标轴为x₁，y₁，z₁，所述坐标系S₂的坐标轴为x₂，y₂，z₂，；S₁与小齿轮刚性连接，其z₁轴与小齿轮轴线重合；同样，S₂与大齿轮刚性连接，其z₂轴与大齿轮轴重合；

由三坐标测量获得齿轮齿面偏差数据，经过三次B样条拟合得到法向偏差曲面

将理论齿面与法向偏差曲面叠加可构造出齿轮实际齿面；

小齿轮齿面∑⁽¹⁾在随动坐标系S₁下的齿面方程为：

其中

是小齿轮齿面∑⁽¹⁾的位置向量，p⁽¹⁾和q⁽¹⁾为表面参数；

同样，大齿轮齿面∑⁽²⁾在随动坐标系S₂下的齿面方程为：

其中

是大齿轮齿面∑⁽²⁾的位置向量，p⁽²⁾和q⁽²⁾为表面参数；

步骤2：选取初始位置：设定初始啮合位置为O_a和O_b重合时的位置，其中初始点O_a和O_b分别位于小齿轮和大齿轮齿宽中点且距离齿顶面为1倍模数处；小齿轮和大齿轮的转角

和

从初始位置记，取小齿轮初始转角为

大齿轮初始转角为

即默认两齿轮从初始位置开始求解接触点；

步骤3：划分网格：以初始位置小齿轮齿面∑⁽¹⁾上初始点O_a为原点，建立与小齿轮刚性连接的随动坐标系S_a，坐标轴为x_a，y_a，z_a，坐标系平面x_ay_a与小齿轮齿面∑⁽¹⁾相切于原点O_a，轴x_a的方向与小齿轮齿向方向相同；在坐标系平面x_ay_a上划分m行n列的网格T⁽¹⁾，网格横向与轴x_a平行，纵向与轴y_a平行；同理，以O_b为原点，建立与大齿轮刚性连接的随动坐标系S_b，坐标轴为x_b，y_b，z_b，划分网格T⁽²⁾；定义T⁽¹⁾或T⁽²⁾上位于每个网格几何中心的点为网格点，其余点为非网格点；由网格点或非网格点在齿轮齿面上投影获得的点为投影点；在后面的距离搜索时将以T⁽¹⁾上的网格点为索引；

为便于后续距离搜索时的坐标转换，在初始位置处，即

时，建立与坐标系S_a重合的固定坐标系S_p，坐标轴为x_p，y_p，z_p，同理建立与坐标系S_b重合的固定坐标系S_g，坐标轴为x_g，y_g，z_g；由于初始位置处O_a和O_b重合，由随动坐标系S_a、S_b各轴关系可知坐标系S_p绕轴x_p旋转180°即为坐标系S_g；

步骤4：计算齿面点Z坐标

计算小齿轮齿面∑⁽¹⁾在坐标系S_a下的齿面方程为：

其中M_a1为坐标系S₁到坐标系S_a的坐标转换矩阵；

为坐标系S₁的原点O₁到初始点M⁽¹⁾的矢量；

求解在坐标系S_a下网格点

的坐标：

等式左边

和

为网格点

的横纵坐标；等式右边为在坐标系S_a下的矢量方程；

根据小齿轮齿面∑⁽¹⁾在坐标系S_a下的齿面方程，可得到网格点

沿z_a向小齿轮齿面∑⁽¹⁾投影点

的Z坐标，记为

同理，可求解出大齿轮齿面∑⁽²⁾上点

在坐标系S_b下的Z坐标，记为

由此可计算两齿轮齿面∑⁽¹⁾或∑⁽²⁾上任意点P在相应随动坐标系S_a或S_b下的Z坐标，可通过任意点P在其周围投影点的Z坐标的插值获得；因此在距离搜索时，只有网格点在齿面上的投影点是通过齿面方程求其Z坐标的，非网格点在齿面上的投影点其Z坐标通过二维插值方法获得；

步骤5：齿面距离计算

设T⁽¹⁾上的某网格点

在小齿轮齿面∑⁽¹⁾上的投影点为点

点

到T⁽²⁾平面的投影点记为M，此时点M在网格平面T⁽²⁾上通常为非网格点，因此在求点M到大齿轮齿面∑⁽²⁾上的投影点

时需要用到前述的插值；为计算点

到点

的距离，需要将两齿面方程置于同一坐标系下；点

在坐标系S_b下的坐标向量可表示为：

其中

为坐标系S_a下的矢量方程；M_ba是S_a到S_b的坐标转换矩阵，转换方式为：S_a→S_p→S_g→S_b；H_a是小齿轮初始点M⁽¹⁾到大齿轮初始点M⁽²⁾的矢量；i_b，j_b，k_b分别为S_b下三个轴的单位向量；

设点

在坐标系S_b下的Z坐标为

点

在坐标系S_b下的Z坐标为

则点

到点

的距离记为

假设小齿轮初始转动角度为

按照传动比计算大齿轮初始旋转角度为

计算m行n列的网格T⁽¹⁾上所有网格点沿z_a向小齿轮齿面∑⁽¹⁾的全部投影点；依据上述齿面距离计算方法，计算小轮齿面∑⁽¹⁾上全部投影点到大轮齿面∑⁽²⁾上对应点的距离；寻找其中最小距离，记为Δz_ba,min；

如果Δz_ba，min＞ε，则说明两齿轮齿面没有互相接触，需要迭代求解瞬时接触点；如果Δz_ba，min≤ε，则说明两齿轮齿面存在相互接触甚至相互嵌入的情况；ε为给定容差，用于判断两齿面的状态；

步骤6：迭代求解瞬时接触点

如果Δz_ba，min＞ε，则需要做下面调整，否则直接计算传动误差；最小距离处小轮齿面∑⁽¹⁾上点为K，大轮齿面∑⁽²⁾上点为Q，记点K和点Q为齿面接近点；

Δz_ba，min在Q点线速度V_Q上的投影设为Δ_V，则

式中，QC为点Q到大齿轮轴的最短距离；

之后，保持小齿轮转动角度

不变，使大齿轮转动角度为

继续搜索齿面接近点，计算新的

如此不断迭代调整大齿轮转动角度

求解齿面最小距离；当最小距离Δz_ba，min小于等于给定容差ε时，此时认为齿面已经接触，其对应的齿面接近点为接触点；

当齿面接触上时，根据传动误差的定义计算传动误差；

寻找全部瞬时接触点：为模拟滚检涂层厚度，T⁽¹⁾上每个网格点在小齿轮齿面∑⁽¹⁾上的投影点沿外法线方向移动距离ξ；以新的投影点为索引，再次搜索两齿面间距离Δz_ba，此次搜索不再迭代调整大齿轮转角；齿面距离Δz_ba小于等于滚检实验涂层厚度ξ的齿面点都视为接触点；

步骤7：以增量

分别沿正向和负向改变小齿轮转角

再按照传动比计算大齿轮转角

按照步骤5和6所述的齿面距离计算方法和瞬时接触点求解方法，计算求解下一个啮合位置处的齿面接触点，并由此计算传动误差、瞬时接触线或接触区域；当小齿轮转角

经历[-2π/N₁，2π/N₁]后则停止计算，其中N₁是小齿轮齿数。

2.一种计算机***，其特征在于包括：一个或多个处理器，计算机可读存储介质，用于存储一个或多个程序，其中，当所述一个或多个程序被所述一个或多个处理器执行时，使得所述一个或多个处理器实现权利要求1所述的方法。

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