CN109992877A - 一种齿轮副几何接触分析的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种齿轮副几何接触分析的方法。该方法根据齿轮副的几何参数和加工参数，推导出工作齿面方程，划分齿面网格点，获得大、小轮的齿面坐标。建立大轮节点参考坐标系，推导两啮合齿面间最小距离和大轮附加转角的计算公式，采用遍历搜索迭代法求得满足一定精度的齿面接触点和传动误差。给定小轮初始啮合转角和啮合周期，计算三齿对同时啮合的齿面接触印痕和传动误差曲线，最终得到所有小轮转角下的接触椭圆形成了齿面印痕。该方法的精度取决于齿面网格离散点的数量，数量越多，精度越高，能够满足工程设计要求。接触椭圆则是采用数值搜索的方法获得，更为直观，更接近实际情况。

Description

一种齿轮副几何接触分析的方法

技术领域

本发明属于齿轮传动技术领域，特别涉及一种齿轮副几何接触分析的方法。

背景技术

齿轮副齿面几何接触分析是借助计算机程序模拟齿轮副在啮合过程中形成的接触区和传动误差，它能够对齿面的啮合性能进行全面评估，及时发现齿面设计中存在的问题，对于提高产品设计质量具有重要的价值。传统的齿面几何接触分析是通过两啮合齿面的连续相切条件，求解非线性方程组，获得齿面接触点的位置，再借助复杂的微分几何公式推导出接触椭圆的参数。该方法存在以下问题：1)求解非线性方程组的初始值选择要求高。初始值的选取恰当与否，决定能否正确求解，若选择不当，则方程不收敛或者所求的解没有几何意义。2)接触椭圆参数求解复杂。接触椭圆长轴和短轴的大小和方向是通过复杂的微分几何公式来确定的，不易掌握。针对不同类型的齿轮副1)和2)需要分别推导；3)传统的齿面几何接触分析仅能适用于点接触齿轮副，不能用于线接触齿轮副，通常要对齿面进行微小修形后才能适用。对于齿轮设计者而言，重点是在齿面的几何设计，而齿面几何接触分析方法只是一种分析手段。因此，若能撇开求解大量非线性方程组和推导繁琐的微分几何公式，因此采用数值方法进行齿面几何接触分析，实现对齿轮副啮合性能进行准确预估，具有重要的工程意义。

发明专利CN106958643A中，基于共轭齿面展成原理，根据齿面接触的弹性变形量，以接触线代替实际接触椭圆，分别计算正常接触和边缘接触的齿面接触分析。该方法以接触线代替接触椭圆仍有较大的近似，且共轭齿面与假想产形大轮的初始转角关系较大，若选择不当，该方法可能无法进行。

发明内容

为了解决齿轮副在进行齿面几何接触分析中存在的问题，本发明提供一种齿轮副几何接触分析的方法，该方法基于大、小轮齿面的离散网格点坐标，采用数值搜索和迭代逼近的方法，对两啮合齿面间的有效接触区和传动误差进行准确预估，该方法可以考虑小轮初始啮合转角和多齿对接触的影响。

为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种齿轮副几何接触分析的方法，包括以下步骤：

(1)根据齿轮副的几何参数和加工参数，建立大、小轮的工作齿面方程，计算出大轮节锥中点的位矢和法矢，建立大轮参考坐标系S_g；在旋转投影面上对工作齿面进行离散化，获得齿面位置参数，联立齿面方程求解非线性方程组，获得大、小轮的齿面坐标；

(2)建立齿轮副的啮合坐标系，确定大、小轮在固定坐标系的相对位置关系；给定某一小轮啮合转角，将小轮的齿面坐标变换到S_g坐标系下，获得小轮齿面网格点到S_g平面x_gz_g的距离和位置，再利用插值法求出该位置参数所对应的大轮齿面点到S_g平面x_gz_g的距离，并将其沿着牵连速度方向进行投影，获得该点的法向距离；

(3)遍历所有的小轮齿面网格点，求出当前小轮啮合转角下的最小距离点K和所对应的大轮附加转角重新计算小轮齿面网格点到S_g平面x_gz_g的距离，直至找到满足精度的小轮网格点和大轮附加转角；

(4)给定小轮初始啮合转角和啮合周期，将啮合周期均分为n个离散位置，得到n个小轮啮合转角，重复步骤(2)-(3)，获得该小轮啮合转角的齿面接触点和传动误差幅值，所有的接触点组成了接触路径，所有的传动误差幅值形成传动误差曲线；

(5)由步骤(2)得到大、小轮到S_g平面x_gz_g的距离，采用每个网格顺序搜索和线性插值的方法，求出当前啮合状态下，满足弹性变形量的所有离散点，由其构成接触椭圆，所有小轮转角下的接触椭圆形成了齿面印痕。

优选地，步骤(1)的具体包括：

借助齐次坐标变换和啮合方程推导出大、小轮工作齿面的位矢和法矢：

大轮为和小轮为和上标1，2表示小轮和大轮，下标1，2表示所在的坐标系，和分别为大轮和小轮的齿面参数；

建立大轮节点处的参考坐标系S_g，x_g为节点沿着节线的切矢，y_g为节点的法矢，z_g与x_g、y_g垂直，为大轮节锥中点的位置矢量，S₂(o₂,x₂,y₂,z₂)为大轮动坐标系；在大、小轮各自旋转投影面上，对大、小轮工作齿面进行离散化，获得齿面位置参数，通过联立齿面方程和位置参数，建立非线性方程组，分别求解出大轮和小轮网格点处的齿面坐标。

优选地，步骤(2)的具体包括：

以S₁为小轮动坐标系，S₂为大轮动坐标系，S_f为小轮固定参考坐标系，S_h为大轮固定参考坐标系，S₁相对于S_f的小轮转角为S₂相对于S_h的大轮转角为

对于不同类型齿轮副，明确S_f和S_h两者之间的关联：给定小轮转角大轮的名义转角z₁和z₂分别为小轮和大轮的齿数；将小轮齿面所有网格点的坐标通过坐标变换关系S₁→S_f→S_h→S₂→S_g，表示在坐标系S_g上，则沿着y_g的坐标分量即为小轮网格点到S_g平面x_gz_g的距离；

假设小轮齿面网格点A在S_g下的投影点B坐标为x_g1和z_g1，采用插值法获得投影点到大轮齿面点C的距离y_g2，则在S_g平面上小轮网格点到大轮的距离为y_g＝y_g2-y_g1；将其投影到该点的牵连速度方向上，得到该点进入啮合时所需要的法向距离Δv＝(y_g2-y_g1)cosμ，式中：μ为大轮齿面点C的牵连速度和节点M⁽²⁾法矢的夹角。

优选地，步骤(3)的具体包括：

对所有的小轮网格节点，通过步骤(2)求出最小距离点，并将法向距离转换为大轮的附加转角附加转角Δv_min为最接近接触点的距离，KD为最小距离点到旋转轴的半径，D为接触点向旋转轴作垂直的交点；

将大轮齿面坐标旋转后，再次转换到S_g坐标系中，同样小轮齿面网格点坐标需要再次转换到S_g坐标系上，计算距离最小点的距离和传动误差幅值，重复上述过程直至求解出满足误差精度的距离最小点，将该点作为两齿面的几何接触点，附加转角的累积形成传动误差幅值。

优选地，步骤(4)的具体包括：

以中间齿对为基准，将分别将大、小轮顺时针和逆时针旋转绕各自轴线旋转一个齿距角，得到啮合齿对，根据步骤(2)-(3)计算各齿对的最小距离和附加转角；给定小轮初始啮合转角和啮合周期T，将T划分为n等份，则小轮啮合转角为对每个小轮转角分别计算三个齿对的最小距离，将其作为三齿对的啮合点，同时计算该接触点的大轮附加转角，遍历所有的小轮转角，获得齿面印痕和传动误差。

优选地，步骤(5)的具体包括：

得到小轮齿面网格点在S_g平面x_gz_g的投影点及两啮合齿面的法向距离，在S_g平面x_gz_g中，某一个网格上的四个节点分别为P₁、P₂、P₃和P₄，所对应的两齿面法向距离分别为d₁、d₂、d₃和d₄，若距离大于弹性变形量δ＝0.00635mm，则将其剔除；若两点之间均小于δ，则该两点都在接触椭圆内，不予考虑；若出现一个点大于δ，另一点小于δ，则采用线性插值的方法求出两点之间等于δ的点坐标，最后连接所有点的坐标，得到接触椭圆。

与现有技术相比，本发明具有以下技术效果：

本发明是齿轮副齿面几何接触分析的数值方法，先根据齿轮副的几何参数和加工参数，推导出工作齿面方程，划分齿面网格点，获得大、小轮的齿面坐标。建立大轮节点参考坐标系，推导两啮合齿面间最小距离和大轮附加转角的计算公式，采用遍历搜索迭代法求得满足一定精度的齿面接触点和传动误差。给定小轮初始啮合转角和啮合周期，计算三齿对同时啮合的齿面接触印痕和传动误差曲线，最终得到所有小轮转角下的接触椭圆形成了齿面印痕。借助数值搜索和迭代逼近的方法就能够获得整个啮合过程中有效的齿面印痕和传动误差，实现齿轮副啮合性能的预估，避免了由于初值选择不当引起的非线性方程组收敛不稳定和推导复杂的微分几何公式，齿轮设计者只需要输入齿轮副工作齿面的坐标和啮合坐标系关系，该方法的精度取决于齿面网格离散点的数量，数量越多，精度越高，能够满足工程设计要求。接触椭圆则是采用数值搜索的方法获得，更为直观，更接近实际情况。

附图说明

图1为一种齿轮副几何接触分析的方法流程图；

图2是本发明的大轮节点参考坐标系；

图3是本发明的齿面间最小距离示意图；

图4是本发明的齿面间最小法向距离示意图；

图5是本发明的大轮附加转角示意图；

图6是本发明的接触椭圆搜索示意图；

图7是本发明的斜齿轮副的齿面印痕示意图；

图8是本发明的弧齿锥齿轮副的齿面印痕示意图；

图9是本发明的弧齿锥齿轮副的传动误差示意图。

具体实施方式

为使本发明的特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

如图1所示，本发明一种齿轮副几何接触分析的方法，包括以下步骤：

(1)推导大、小轮的工作齿面方程，计算出大轮节锥中点的位矢和法矢，建立大轮参考坐标系S_g。在旋转投影面上对工作齿面进行离散化，获得齿面位置参数，联立齿面方程求解非线性方程组，获得大、小轮的齿面坐标。

(2)建立齿轮副的啮合坐标系，确定大、小轮在固定坐标系的相对位置关系。给定某一小轮啮合转角，将小轮的齿面坐标变换到S_g坐标系下，获得小轮齿面网格点到S_g平面x_gz_g的距离和位置，再利用插值法求出该位置参数所对应的大轮齿面点到S_g平面x_gz_g的距离，并将其沿着牵连速度方向进行投影，获得该点的法向距离。

(3)遍历所有的小轮齿面网格点，求出当前小轮啮合转角下的最小距离点K和所对应的大轮附加转角重新计算小轮齿面网格点到S_g平面x_gz_g的距离，直至找到满足精度的小轮网格点和大轮附加转角。

(4)给定小轮初始啮合转角和啮合周期，将啮合周期均分为n个离散位置，得到n个小轮啮合转角，重复(2)-(3)的过程，获得该小轮啮合转角的齿面接触点和传动误差幅值，所有的接触点组成了接触路径，所有的传动误差幅值形成传动误差曲线。

(5)由步骤(2)得到大、小轮到S_g平面x_gz_g的距离，采用每个网格顺序搜索和线性插值的方法，求出当前啮合状态下，满足弹性变形量的所有离散点，由其构成接触椭圆，所有小轮转角下的接触椭圆形成了齿面印痕。

以下结合具体实施例对本发明的具体步骤进行说明：

(1)根据齿轮副的几何参数和加工参数，借助齐次坐标变换和啮合方程推导出大、小轮工作齿面的位矢和法矢：大轮为和小轮为和上标1，2表示小轮和大轮，下标1，2表示所在的坐标系，和分别为大轮和小轮的齿面参数。由于齿面几何接触区的有效边界可以通过大轮齿顶和小轮齿顶确定，因而无需推导过渡曲面的方程。图2为大轮节点处的参考坐标系S_g，x_g为节点沿着节线的切矢，y_g为节点的法矢，z_g与x_g、y_g垂直，为大轮节锥中点的位置矢量，S₂(o₂,x₂,y₂,z₂)为大轮动坐标系。在大、小轮各自旋转投影面上，对大、小轮工作齿面进行离散化，获得齿面位置参数，通过联立齿面方程和位置参数，建立非线性方程组，分别求解出大轮和小轮网格点处的齿面坐标。

(2)S₁为小轮动坐标系，S₂为大轮动坐标系，S_f为小轮固定参考坐标系，S_h为大轮固定参考坐标系，S₁相对于S_f的小轮转角为S₂相对于S_h的大轮转角为对于不同类型齿轮副，S_f和S_h两者之间的关联需要确定，必须有设计者提供。给定小轮转角大轮的名义转角z₁和z₂分别为小轮和大轮的齿数。将小轮齿面所有网格点的坐标通过坐标变换关系S₁→S_f→S_h→S₂→S_g，表示在坐标系S_g上，则沿着y_g的坐标分量即为小轮网格点到S_g平面x_gz_g的距离，如图3所示。假设小轮齿面网格点A在S_g下的投影点B坐标为x_g1和z_g1，该点一般不在大轮齿面的网格点，因此采用插值法获得投影点到大轮齿面点C的距离y_g2，则在S_g平面上小轮网格点到大轮的距离为y_g＝y_g2-y_g1。将其投影到该点的牵连速度方向上，如图4所示，得到该点进入啮合时所需要的法向距离Δv＝(y_g2-y_g1)cosμ，式中：μ为大轮齿面点C的牵连速度和节点M⁽²⁾法矢的夹角。

(3)对所有的小轮网格节点，通过步骤(2)求出最小距离点，并将法向距离转换为大轮的附加转角如图5所示，附加转角Δv_min为最接近接触点的距离，KD为最小距离点到旋转轴的半径，D为接触点向旋转轴作垂直的交点。将大轮齿面坐标旋转后，再次转换到S_g坐标系中，同样小轮齿面网格点坐标需要再次转换到S_g坐标系上，计算距离最小点的距离和传动误差幅值，重复上述过程直至求解出满足一定误差精度的距离最小点，将该点作为两齿面的几何接触点，附加转角的累积形成传动误差幅值。

(4)考虑三齿对I、II和III的啮合情况，以中间齿对为基准，将分别将大、小轮顺时针和逆时针旋转绕各自轴线旋转一个齿距角，得到啮合齿对I和III，根据步骤(2)-(3)计算各齿对的最小距离和附加转角。给定小轮初始啮合转角和啮合周期T，将T划分为20等份，则小轮啮合转角为对每个小轮转角分别计算三个齿对的最小距离，将其作为三齿对的啮合点，同时计算该接触点的大轮附加转角，遍历所有的小轮转角，获得齿面印痕和传动误差。

(5)从上述步骤中得到小轮齿面网格点在S_g平面x_gz_g的投影点及两啮合齿面的法向距离，如图6所示，S_g平面x_gz_g中，某一个网格上的四个节点分别P₁、P₂、P₃和P₄，所对应的两齿面法向距离分别为d₁、d₂、d₃和d₄，若距离大于弹性变形量δ＝0.00635mm，则将其剔除；若两点之间均小于δ，则该两点都在接触椭圆内，不予考虑；若出现一个点大于δ，另一点小于δ，则采用线性插值的方法求出两点之间等于δ的点坐标，最后连接所有点的坐标，得到接触椭圆。

以下对本发明进行参数算例模拟：

实施例1：

斜齿轮副的基本参数：模数1.0mm，压力角25°，螺旋角15°，齿宽10mm，小轮齿数20，大轮齿数34，齿顶高系数1.0，齿根高系数1.25,中心距27.952mm。啮合周期T＝2×2π/20，啮合点数为21点，考虑三个齿对啮合情况。

图7为小轮轮齿上的齿面接触印痕，由于齿轮副是线接触，接触椭圆退化为接触线，平行于螺旋线方向，接触线上的任意点都有可能是啮合点，传动误差为0(不显示)。

实施例2:

弧齿锥齿轮副基本参数：小轮齿数19，大轮齿数62，模数4.169mm，轴交角95°，螺旋角35°，齿宽36.83mm；小轮旋向：左旋，小轮齿顶高4.928mm，小轮齿根高2.794mm，节锥角17.415°，面锥角19.547°，根锥角16.205°；大轮旋向：右旋，大轮齿顶高1.905mm，大轮齿根高5.817mm，大轮节锥角77.585°，面锥角78.41°，根锥角75.068°。

小轮凸面加工参数：内刀齿形角19.1428°，内刀刀尖半径98.91365mm，轴向轮位5.7671mm，水平床位-2.4793mm，垂直轮位-12.5989mm，径向刀位113.5423mm，摇台转角53.2378°，轮坯安装角16.5666°，滚比3.824851，二阶变性系数0.04413，三阶变性-0.10855.

大轮凹面加工参数:外刀齿形角19.93°，内刀刀尖半径96.52mm，轴向轮位0.2965mm，水平床位-1.0328mm,垂直轮位0.0mm，径向刀位97.9653mm，摇台转角53.6655°，轮坯安装角75.4333°，滚比1.0238。啮合周期T＝2×2π/19，啮合点数为21点，考虑三个齿对啮合情况。图8为小轮轮齿上的齿面印痕，接触椭圆清晰可见，图9为齿轮副的传动误差。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于本发明所提交的权利要求书确定的专利保护范围。

Claims (6)

1.一种齿轮副几何接触分析的方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)根据齿轮副的几何参数和加工参数，建立大、小轮的工作齿面方程，计算出大轮节锥中点的位矢和法矢，建立大轮参考坐标系S_g；在旋转投影面上对工作齿面进行离散化，获得齿面位置参数，联立齿面方程求解非线性方程组，获得大、小轮的齿面坐标；

(2)建立齿轮副的啮合坐标系，确定大、小轮在固定坐标系的相对位置关系；给定某一小轮啮合转角，将小轮的齿面坐标变换到S_g坐标系下，获得小轮齿面网格点到S_g平面x_gz_g的距离和位置，再利用插值法求出该位置参数所对应的大轮齿面点到S_g平面x_gz_g的距离，并将其沿着牵连速度方向进行投影，获得该点的法向距离；

(3)遍历所有的小轮齿面网格点，求出当前小轮啮合转角下的最小距离点K和所对应的大轮附加转角重新计算小轮齿面网格点到S_g平面x_gz_g的距离，直至找到满足精度的小轮网格点和大轮附加转角；

(4)给定小轮初始啮合转角和啮合周期，将啮合周期均分为n个离散位置，得到n个小轮啮合转角，重复步骤(2)-(3)，获得该小轮啮合转角的齿面接触点和传动误差幅值，所有的接触点组成了接触路径，所有的传动误差幅值形成传动误差曲线；

(5)由步骤(2)得到大、小轮到S_g平面x_gz_g的距离，采用每个网格顺序搜索和线性插值的方法，求出当前啮合状态下，满足弹性变形量的所有离散点，由其构成接触椭圆，所有小轮转角下的接触椭圆形成了齿面印痕。

2.如权利要求1所述的一种齿轮副几何接触分析的方法，其特征在于，步骤(1)的具体包括：

借助齐次坐标变换和啮合方程推导出大、小轮工作齿面的位矢和法矢：

大轮为和小轮为和上标1，2表示小轮和大轮，下标1，2表示所在的坐标系，和分别为大轮和小轮的齿面参数；

建立大轮节点处的参考坐标系S_g，x_g为节点沿着节线的切矢，y_g为节点的法矢，z_g与x_g、y_g垂直，为大轮节锥中点的位置矢量，S₂(o₂,x₂,y₂,z₂)为大轮动坐标系；在大、小轮各自旋转投影面上，对大、小轮工作齿面进行离散化，获得齿面位置参数，通过联立齿面方程和位置参数，建立非线性方程组，分别求解出大轮和小轮网格点处的齿面坐标。

3.如权利要求1所述的一种齿轮副几何接触分析的方法，其特征在于，步骤(2)的具体包括：

以S₁为小轮动坐标系，S₂为大轮动坐标系，S_f为小轮固定参考坐标系，S_h为大轮固定参考坐标系，S₁相对于S_f的小轮转角为S₂相对于S_h的大轮转角为

对于不同类型齿轮副，明确S_f和S_h两者之间的关联：给定小轮转角大轮的名义转角z₁和z₂分别为小轮和大轮的齿数；将小轮齿面所有网格点的坐标通过坐标变换关系S₁→S_f→S_h→S₂→S_g，表示在坐标系S_g上，则沿着y_g的坐标分量即为小轮网格点到S_g平面x_gz_g的距离；

假设小轮齿面网格点A在S_g下的投影点B坐标为x_g1和z_g1，采用插值法获得投影点到大轮齿面点C的距离y_g2，则在S_g平面上小轮网格点到大轮的距离为y_g＝y_g2-y_g1；将其投影到该点的牵连速度方向上，得到该点进入啮合时所需要的法向距离Δv＝(y_g2-y_g1)cosμ，式中：μ为大轮齿面点C的牵连速度和节点M⁽²⁾法矢的夹角。

4.如权利要求1所述的一种齿轮副几何接触分析的方法，其特征在于，步骤(3)的具体包括：

对所有的小轮网格节点，通过步骤(2)求出最小距离点，并将法向距离转换为大轮的附加转角附加转角Δv_min为最接近接触点的距离，KD为最小距离点到旋转轴的半径，D为接触点向旋转轴作垂直的交点；

将大轮齿面坐标旋转后，再次转换到S_g坐标系中，同样小轮齿面网格点坐标需要再次转换到S_g坐标系上，计算距离最小点的距离和传动误差幅值，重复上述过程直至求解出满足误差精度的距离最小点，将该点作为两齿面的几何接触点，附加转角的累积形成传动误差幅值。

5.如权利要求1所述的一种齿轮副几何接触分析的方法，其特征在于，步骤(4)的具体包括：

以中间齿对为基准，将分别将大、小轮顺时针和逆时针旋转绕各自轴线旋转一个齿距角，得到啮合齿对，根据步骤(2)-(3)计算各齿对的最小距离和附加转角；给定小轮初始啮合转角和啮合周期T，将T划分为n等份，则小轮啮合转角为对每个小轮转角分别计算三个齿对的最小距离，将其作为三齿对的啮合点，同时计算该接触点的大轮附加转角，遍历所有的小轮转角，获得齿面印痕和传动误差。

6.如权利要求1所述的一种齿轮副几何接触分析的方法，其特征在于，步骤(5)的具体包括：

得到小轮齿面网格点在S_g平面x_gz_g的投影点及两啮合齿面的法向距离，在S_g平面x_gz_g中，某一个网格上的四个节点分别为P₁、P₂、P₃和P₄，所对应的两齿面法向距离分别为d₁、d₂、d₃和d₄，若距离大于弹性变形量δ＝0.00635mm，则将其剔除；若两点之间均小于δ，则该两点都在接触椭圆内，不予考虑；若出现一个点大于δ，另一点小于δ，则采用线性插值的方法求出两点之间等于δ的点坐标，最后连接所有点的坐标，得到接触椭圆。