CN115186493A - 一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，该方法包括如下步骤：构建刀具—齿形映射方程、求解渐开线齿廓点坐标、求解齿根圆弧点坐标、求解齿顶圆弧点坐标以及几何模型的编程计算与软件生成。本发明的有益效果：有效提升了小模数渐开线圆柱齿轮几何模型的精度，由编程软件根据基本设计参数计算并生成目标齿面控制点的三维坐标，点云密度可控，适用各类CAD、CAE软件，写成配套插件后可进一步提高建模效率，直接发挥工业效用；使用本发明提供的小模数齿轮几何模型，可以用于小模数齿轮的动力学分析、接触分析、热力学分析等，也可以用于小模数传动***的三维建模与数值仿真，相关计算精度将有效提升，促进微小型精密传动领域技术的发展。

Description

一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法

技术领域

本发明涉及齿轮建模技术领域，尤其涉及一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法。

背景技术

小模数(法向模数小于1毫米)齿轮作为微小精密传动***的核心元件，在航空航天、仪器仪表、智能设备等领域应用广泛。工程技术人员在产品开发过程中，经常需要利用机械零部件的三维模型来辅助进一步的外形设计，或用于数值仿真中。因此，建立精确的小模数齿轮三维模型，对小模数传动装备的性能分析与优化设计影响关键。

目前国内很少有针对小模数渐开线圆柱齿轮的三维建模方法，大部分技术人员将小于1毫米的模数直接代入常模数齿轮程序中，生成所需的齿轮模型。事实上，常模数齿轮齿形遵循《GB/T 1356-2001通用机械和重型机械用圆柱齿轮标准基本齿条齿廓》，而小模数齿轮齿形遵循《GB/T 2362-1990小模数渐开线圆柱齿轮基本齿廓》，两种基本齿廓的齿根圆角系数和顶隙系数不同，因此，现有的建模方法忽略了小模数齿轮和常模数齿轮在齿形设计层面存在的原理性差异。

除此之外，现有的渐开线圆柱齿轮建模方法可分为基于理想齿廓的建模方法和基于展成加工原理的建模方法。其中前者的建模原理较为简单，多用于基础建模软件中的外形表示，后者更符合大部分金属材料齿轮的实际齿廓，多用于精确的使役性能评估或有限元仿真分析。在圆柱斜齿轮的三维建模中，这两种方法均会考虑法向齿廓到端面齿廓的映射变化，但是往往忽略了齿根圆弧在映射中拉伸为椭圆弧的情形。此外，在小模数齿轮的滚齿加工中，有时会使用全切式滚刀，即滚刀底刃会参与切削并形成齿顶轮廓，滚刀的齿根圆角也会相应地加工出齿轮的齿顶圆角。综上所述，现有的渐开线圆柱齿轮建模方法无法完全适用小模数渐开线圆柱齿轮，所得结果与真实齿形存在必然的误差。

发明内容

本发明公开了一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，其基于展成加工原理和坐标变换法构建了滚齿刀具与齿廓方程的映射关系，充分考虑小模数齿轮特有的顶隙、齿根、齿顶圆角特征，以及斜齿轮的端面齿根圆弧扁率变化，建立了小模数渐开线圆柱齿轮的精确几何模型，为小模数齿轮及微小型传动***后续的性能研究及优化设计提供了良好的分析基础，从而可以有效解决背景技术中涉及的技术问题。

为实现上述目的，本发明的技术方案为：

一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，该方法包括如下步骤：

步骤一、分析滚齿切削中刀具与被切削工件的相对位置及运动规律，构建刀具表面点对齿廓表面点的映射方程；

步骤二、求解滚刀侧刃对渐开线齿廓的映射方程，计算渐开线齿廓点坐标；

步骤三、求解滚刀顶刃对齿根圆弧的映射方程，计算齿根圆弧点坐标；

步骤四、求解滚刀底刃对齿顶圆弧的映射方程，计算齿顶圆弧点坐标；

步骤五、基于数学软件MATLAB建立包括渐开线齿廓、齿根圆弧、齿顶圆弧在内的完整端面齿廓曲线方程，将端面齿廓齿线沿螺旋角扫掠，得到小模数渐开线圆柱齿轮三维表面方程；

步骤六、基于得到的小模数渐开线圆柱齿轮三维表面方程，输入齿轮设计参数，计算得到齿轮表面点三维坐标，导入三维软件CATIA，生成齿面点云，经样条曲线扫掠、缝合操作，即得到小模数渐开线圆柱齿轮的三维几何模型。

作为本发明的一种优选改进，步骤一具体包括如下步骤：

根据展成加工原理，在被切削工件的端面视图中，滚齿刀具与被切削工件作齿条—齿轮强制啮合运动，即刀具节线相对于齿坯分度圆作纯滚动，构建工件坐标系XOY与刀具坐标系X₁PY₁，令纵轴OY与PY₁平行时为初始位置；

当刀具绕被切削工件转过

弧度时，刀具节线PY₁与齿坯分度圆的接触点N在刀具坐标系X₁PY₁中从原点P(0,0)移动至点

将刀具与目标齿廓的啮合点在工件坐标系XOY中记作M(x,y)，在刀具坐标系X₁PY₁中记作M’(x₁,y₁)，则点M(M’)在刀具坐标系X₁PY₁与工件坐标系XOY之间的映射方程：

其中，r为分度圆半径，x为刀具与目标齿廓的啮合点在工件坐标系XOY中X轴上的位置，y为刀具与目标齿廓的啮合点在工件坐标系XOY中Y轴上的位置，x₁为刀具与目标齿廓的啮合点在刀具坐标系X₁PY₁中X₁轴上的位置，y₁为为刀具与目标齿廓的啮合点在刀具坐标系X₁PY₁中Y₁轴上的位置，

为刀具绕被切削工件转过的弧度。

作为本发明的一种优选改进，步骤二具体包括：

分析滚刀刀齿单侧切削刃对齿轮单侧齿廓的成形作用，将切削刃分为顶刃、侧刃、底刃三部分，其中顶刃切削产生齿根圆弧，侧刃切削产生渐开线齿廓，底刃切削产生齿顶圆弧；

当滚刀侧刃切削、生成渐开线齿廓时，轴PY₁与刀齿节线重合，侧刃与节线的交点坐标为(0,y₀)，啮合点M’(x₁,y₁)在刀具坐标系X₁PY₁中的位置随转角

变化的坐标函数为：

其中，α为压力角，y₀为侧刃与节线的交点在刀具坐标系X₁PY₁中Y₁轴上的位置；

将啮合点M’的坐标参数x₁、y₁代入式(1)中，即得渐开线齿廓点M在静坐标系XOY中的坐标。

作为本发明的一种优选改进，步骤三具体包括：

当滚刀顶刃切削以生成齿根圆弧时，且当目标齿轮的螺旋角不为0时，滚刀刀齿在齿坯端面的投影沿节线拉长，刀尖圆角投影为椭圆弧，故用椭圆参数方程表示：

式中，x_top、y_top分别表示刀具坐标系X₁PY₁下点M’距椭圆中心C的横、纵距离，a、b分别为椭圆横、纵半轴长度，γ为椭圆角度参变量，设刀尖圆角半径为ρ₀，螺旋角为β，则a＝ρ₀，b＝ρ₀/cosβ；

设椭圆中心C在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为(x_c,y_c)，则啮合点M’(x₁,y₁)在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为：

考虑齿顶高、顶隙、变位，得椭圆中心C在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标：

式中，h_a ^*为齿顶高系数，c^*为顶隙系数，x为变位系数，m为端面模数，ρ₀ ^*为齿根圆角系数，m_n为法向模数，α_t为端面压力角；

过啮合点M’作齿根圆弧的法线，与轴PY₁交于点

由此将啮合点M’坐标与转角

相关联，将x₁、y₁代入式(1)，即得齿根圆弧点M在工件坐标系XOY中的坐标。

作为本发明的一种优选改进，根据GB/T 2362-1990的规定，令c^*＝0.35，ρ₀ ^*＝0.2，其余系数值与常模数齿轮标准相同。

作为本发明的一种优选改进，步骤四具体包括：

当滚刀底刃切削以生成齿顶圆弧时，且当目标齿轮的螺旋角不为0时，滚刀刀齿在齿坯端面的投影沿节线拉长，刀齿根部圆角投影为椭圆弧，故也用椭圆参数方程表示：

其中，x_root、y_root分别表示刀具坐标系X₁PY₁下的啮合点M’距椭圆中心C₁的横、纵距离，a、b分别为椭圆横、纵半轴长度，γ为椭圆角度参变量，设刀根圆角半径也为ρ₀，则a＝ρ₀，b＝ρ₀/cosβ；

设椭圆中心C₁在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为(x_c1,y_c1)，则啮合点M’(x₁,y₁)在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为：

考虑齿顶高与变位，得椭圆中心C₁在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标：

过啮合点M’作齿顶圆弧的法线，与轴PY₁交于点

由此将啮合点M’坐标与转角

相关联，将x₁、y₁代入式(1)，即得齿顶圆弧点M在工件坐标系XOY中的坐标。

作为本发明的一种优选改进，在步骤六中，齿轮设计参数包括齿数、模数、压力角、齿宽、螺旋角、变位系数、齿根圆角系数、齿顶高系数以及顶隙系数。

本发明的有益效果如下：

1、有效提升了小模数渐开线圆柱齿轮几何模型的精度，由编程软件根据基本设计参数计算并生成目标齿面控制点的三维坐标，点云密度可控，适用各类CAD、CAE软件，写成配套插件后可进一步提高建模效率，直接发挥工业效用；

2、使用本发明提供的小模数齿轮几何模型，可以用于小模数齿轮的动力学分析、接触分析、热力学分析等，也可以用于小模数传动***的三维建模与数值仿真，相关计算精度将有效提升，促进微小型精密传动领域技术的发展。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图，其中：

图1为本发明展成加工时刀具相对被切削工件的初始位姿图；

图2为本发明展成加工时刀具相对被切削工件转过φ弧度后的位姿图；

图3为本发明滚刀刀齿各段的区分图；

图4为本发明滚刀侧刃点坐标图；

图5为本发明滚刀顶刃点坐标图；

图6为本发明滚刀底刃点坐标图；

图7为本发明单侧二维端面齿廓图；

图8为本发明滚刀包络图；

图9为本发明提供的建模方法与已有方法的齿廓建模对比图；

图10为本发明变位系数分别为-0.5时的齿廓图；

图11为本发明变位系数分别为0时的齿廓图；

图12为本发明变位系数分别为0.5时的齿廓图；

图13为本发明数学软件MATLAB中的三维齿面图；

图14为本发明三维软件CATIA中的点云图；

图15为本发明三维软件CATIA中的小模数渐开线圆柱齿轮模型图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。

需要说明，本发明实施例中所有方向性指示(诸如上、下、左、右、前、后……)仅用于解释在某一特定姿态(如附图所示)下各部件之间的相对位置关系、运动情况等，如果该特定姿态发生改变时，则该方向性指示也相应地随之改变。

另外，在本发明中如涉及“第一”、“第二”等的描述仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示其相对重要性或者隐含指明所指示的技术特征的数量。由此，限定有“第一”、“第二”的特征可以明示或者隐含地包括至少一个该特征。在本发明的描述中，“多个”的含义是至少两个，例如两个，三个等，除非另有明确具体的限定。

在本发明中，除非另有明确的规定和限定，术语“连接”、“固定”等应做广义理解，例如，“固定”可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或成一体；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通或两个元件的相互作用关系，除非另有明确的限定。对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

另外，本发明各个实施例之间的技术方案可以相互结合，但是必须是以本领域普通技术人员能够实现为基础，当技术方案的结合出现相互矛盾或无法实现时应当认为这种技术方案的结合不存在，也不在本发明要求的保护范围之内。

本发明提供一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，该方法包括如下步骤：

步骤一、分析滚齿切削中刀具与被切削工件的相对位置及运动规律，构建刀具表面点对齿廓表面点的映射方程，具体包括：

根据展成加工原理，在被切削工件的端面视图中，滚齿刀具与被切削工件作齿条—齿轮强制啮合运动，即刀具节线相对于齿坯分度圆作纯滚动，构建工件坐标系XOY与刀具坐标系X₁PY₁，令纵轴OY与PY₁平行时为初始位置，具体参见图1所示，其中，z为齿数，m为端面模数，r为分度圆半径。

当刀具绕被切削工件转过

弧度时，刀具节线PY₁与齿坯分度圆的接触点N在刀具坐标系X₁PY₁中从原点P(0,0)移动至点

具体如图2所示。将刀具与目标齿廓的啮合点在工件坐标系XOY中记作M(x,y)，在刀具坐标系X₁PY₁中记作M’(x₁,y₁)，则点M(M’)在刀具坐标系X₁PY₁与工件坐标系XOY之间的映射方程：

其中，r为分度圆半径，x为刀具与目标齿廓的啮合点在工件坐标系XOY中X轴上的位置，y为刀具与目标齿廓的啮合点在工件坐标系XOY中Y轴上的位置，x₁为刀具与目标齿廓的啮合点在刀具坐标系X₁PY₁中X₁轴上的位置，y₁为为刀具与目标齿廓的啮合点在刀具坐标系X₁PY₁中Y₁轴上的位置，

为刀具绕被切削工件转过的弧度。

步骤二、求解滚刀侧刃对渐开线齿廓的映射方程，计算渐开线齿廓点坐标，具体包括：

分析滚刀刀齿单侧切削刃对齿轮单侧齿廓的成形作用，将切削刃分为顶刃、侧刃、底刃三部分，如图3所示，其中顶刃切削产生齿根圆弧，侧刃切削产生渐开线齿廓，底刃切削产生齿顶圆弧。其中渐开线齿廓是整个齿形的主体部分，故优先计算。

当滚刀侧刃切削、生成渐开线齿廓时，啮合点M’(x₁,y₁)在动坐标系X₁PY₁中的位置如图4所示，轴PY₁与刀齿节线重合，侧刃与节线的交点坐标为(0,y₀)，啮合点M’(x₁,y₁)在刀具坐标系X₁PY₁中的位置随转角

变化的坐标函数为：

其中，α为压力角，y₀为侧刃与节线的交点在刀具坐标系X₁PY₁中Y₁轴上的位置；

将啮合点M’的坐标参数x₁、y₁代入式(1)中，即得渐开线齿廓点M在静坐标系XOY中的坐标。

步骤三、求解滚刀顶刃对齿根圆弧的映射方程，计算齿根圆弧点坐标，具体包括：

当滚刀顶刃切削以生成齿根圆弧时，啮合点M’(x₁,y₁)在动坐标系X₁PY₁中的位置如图5所示，当目标齿轮的螺旋角不为0时，滚刀刀齿在齿坯端面的投影沿节线拉长，刀尖圆角投影为椭圆弧，故用椭圆参数方程表示：

式中，x_top、y_top分别表示刀具坐标系X₁PY₁下点M’距椭圆中心C的横、纵距离，a、b分别为椭圆横、纵半轴长度，γ为椭圆角度参变量，设刀尖圆角半径为ρ₀，螺旋角为β，则a＝ρ₀，b＝ρ₀/cosβ；

设椭圆中心C在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为(x_c,y_c)，则啮合点M’(x₁,y₁)在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为：

考虑齿顶高、顶隙、变位，得椭圆中心C在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标：

式中，h_a ^*为齿顶高系数，c^*为顶隙系数，x为变位系数，m为端面模数，ρ₀ ^*为齿根圆角系数，m_n为法向模数，α_t为端面压力角。根据GB/T 2362-1990的规定，令c^*＝0.35，ρ₀ ^*＝0.2，其余系数值与常模数齿轮标准相同。

过啮合点M’作齿根圆弧的法线，与轴PY₁交于点

由此将啮合点M’坐标与转角

相关联，将x₁、y₁代入式(1)，即得齿根圆弧点M在工件坐标系XOY中的坐标。

步骤四、求解滚刀底刃对齿顶圆弧的映射方程，计算齿顶圆弧点坐标，具体包括：

当滚刀底刃切削以生成齿顶圆弧时，啮合点M’(x₁,y₁)在动坐标系X₁PY₁中的位置如图6所示，当目标齿轮的螺旋角不为0时，滚刀刀齿在齿坯端面的投影沿节线拉长，刀根圆角投影为椭圆弧，故也用椭圆参数方程表示：

其中，x_root、y_root分别表示刀具坐标系X₁PY₁下的啮合点M’距椭圆中心C₁的横、纵距离，a、b分别为椭圆横、纵半轴长度，γ为椭圆角度参变量，设刀根圆角半径也为ρ₀，则a＝ρ₀，b＝ρ₀/cosβ；

设椭圆中心C₁在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为(x_c1,y_c1)，则啮合点M’(x₁,y₁)在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为：

考虑齿顶高与变位，得椭圆中心C₁在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标：

过啮合点M’作齿顶圆弧的法线，与轴PY₁交于点

由此将啮合点M’坐标与转角

相关联，将x₁、y₁代入式(1)，即得齿顶圆弧点M在工件坐标系XOY中的坐标。

步骤五、基于数学软件MATLAB建立包括渐开线齿廓、齿根圆弧、齿顶圆弧在内的完整端面齿廓曲线方程，将端面齿廓齿线沿螺旋角扫掠，得到小模数渐开线圆柱齿轮三维表面方程；

步骤六、基于得到的小模数渐开线圆柱齿轮三维表面方程，输入齿轮设计参数，计算得到齿轮表面点三维坐标，导入三维软件CATIA，生成齿面点云，经样条曲线扫掠、缝合操作，即得到小模数渐开线圆柱齿轮的三维几何模型。

具体的，齿轮设计参数包括齿数、模数、压力角、齿宽、螺旋角、变位系数、齿根圆角系数、齿顶高系数以及顶隙系数。

通过实施例1对本发明提供的小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法进行验证。

实施例1

根据表1中设计参数，使用本发明提供的方法建立小模数渐开线圆柱齿轮几何模型。

表1小模数渐开线圆柱齿轮实施例设计参数

在MATLAB中计算并生成单侧二维端面齿廓如图7所示。

计算并生成滚刀刀路，包络并验证所得齿廓的正确性如图8所示。

与现有的常模数齿轮建模方法所得齿廓对比如图9所示，在齿根与齿顶处有明显的区别。

主动轮变位系数分别为-0.5、0、0.5时的齿廓如图10-12所示，可见当变位足够大时，滚刀底刃不参与切削，齿顶圆弧消失。

在MATLAB中进一步生成三维齿面如图13所示。

将齿面点坐标导入CATIA生成点云如图14所示，最后获得三维模型如图15所示。

本发明的有益效果如下：在MATLAB中进一步生成三维齿面如图10所示。

将齿面点坐标导入CATIA生成点云如图11所示，最后获得三维模型如图12所示，可以看出，采用本发明提供的小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，实现了建立小模数渐开线圆柱齿轮的精确几何模型，为小模数齿轮及微小型传动***后续的性能研究及优化设计提供了良好的分析基础。

1、有效提升了小模数渐开线圆柱齿轮几何模型的精度，由编程软件根据基本设计参数计算并生成目标齿面控制点的三维坐标，点云密度可控，适用各类CAD、CAE软件，写成配套插件后可进一步提高建模效率，直接发挥工业效用；

2、使用本发明提供的小模数齿轮几何模型，可以用于小模数齿轮的动力学分析、接触分析、热力学分析等，也可以用于小模数传动***的三维建模与数值仿真，相关计算精度将有效提升，促进微小型精密传动领域技术的发展。

尽管本发明的实施方案已公开如上，但并不仅仅限于说明书和实施方案中所列运用，它完全可以被适用于各种适合本发明的领域，对于熟悉本领域的人员而言，可容易地实现另外的修改，因此在不背离权利要求及等同范围所限定的一般概念下，本发明并不限于特定的细节和这里所示出与描述的图例。

Claims (7)

1.一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

步骤一、分析滚齿切削中刀具与被切削工件的相对位置及运动规律，构建刀具表面点对齿廓表面点的映射方程；

步骤二、求解滚刀侧刃对渐开线齿廓的映射方程，计算渐开线齿廓点坐标；

步骤三、求解滚刀顶刃对齿根圆弧的映射方程，计算齿根圆弧点坐标；

步骤四、求解滚刀底刃对齿顶圆弧的映射方程，计算齿顶圆弧点坐标；

步骤五、基于数学软件MATLAB建立包括渐开线齿廓、齿根圆弧、齿顶圆弧在内的完整端面齿廓曲线方程，将端面齿廓齿线沿螺旋角扫掠，得到小模数渐开线圆柱齿轮三维表面方程；

步骤六、基于得到的小模数渐开线圆柱齿轮三维表面方程，输入齿轮设计参数，计算得到齿轮表面点三维坐标，导入三维软件CATIA，生成齿面点云，经样条曲线扫掠、缝合操作，即得到小模数渐开线圆柱齿轮的三维几何模型。

2.根据权利要求1所述的一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，其特征在于：步骤一具体包括如下步骤：

根据展成加工原理，在被切削工件的端面视图中，滚齿刀具与被切削工件作齿条—齿轮强制啮合运动，即刀具节线相对于齿坯分度圆作纯滚动，构建工件坐标系XOY与刀具坐标系X₁PY₁，令纵轴OY与PY₁平行时为初始位置；

当刀具绕被切削工件转过

弧度时，刀具节线PY₁与齿坯分度圆的接触点N在刀具坐标系X₁PY₁中从原点P(0,0)移动至点

将刀具与目标齿廓的啮合点在工件坐标系XOY中记作M(x,y)，在刀具坐标系X₁PY₁中记作M’(x₁,y₁)，则点M(M’)在刀具坐标系X₁PY₁与工件坐标系XOY之间的映射方程：

其中，r为分度圆半径，x为刀具与目标齿廓的啮合点在工件坐标系XOY中X轴上的位置，y为刀具与目标齿廓的啮合点在工件坐标系XOY中Y轴上的位置，x₁为刀具与目标齿廓的啮合点在刀具坐标系X₁PY₁中X₁轴上的位置，y₁为为刀具与目标齿廓的啮合点在刀具坐标系X₁PY₁中Y₁轴上的位置，

为刀具绕被切削工件转过的弧度。

3.根据权利要求2所述的一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，其特征在于：步骤二具体包括：

分析滚刀刀齿单侧切削刃对齿轮单侧齿廓的成形作用，将切削刃分为顶刃、侧刃、底刃三部分，其中顶刃切削产生齿根圆弧，侧刃切削产生渐开线齿廓，底刃切削产生齿顶圆弧；

当滚刀侧刃切削、生成渐开线齿廓时，轴PY₁与刀齿节线重合，侧刃与节线的交点坐标为(0,y₀)，啮合点M’(x₁,y₁)在刀具坐标系X₁PY₁中的位置随转角

变化的坐标函数为：

其中，α为压力角，y₀为侧刃与节线的交点在刀具坐标系X₁PY₁中Y₁轴上的位置；

将啮合点M’的坐标参数x₁、y₁代入式(1)中，即得渐开线齿廓点M在静坐标系XOY中的坐标。

4.根据权利要求3所述的一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，其特征在于：步骤三具体包括：

当滚刀顶刃切削以生成齿根圆弧时，且当目标齿轮的螺旋角不为0时，滚刀刀齿在齿坯端面的投影沿节线拉长，刀尖圆角投影为椭圆弧，故用椭圆参数方程表示：

式中，x_top、y_top分别表示刀具坐标系X₁PY₁下点M’距椭圆中心C的横、纵距离，a、b分别为椭圆横、纵半轴长度，γ为椭圆角度参变量，设刀尖圆角半径为ρ₀，螺旋角为β，则a＝ρ₀，b＝ρ₀/cosβ；

设椭圆中心C在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为(x_c,y_c)，则啮合点M’(x₁,y₁)在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为：

考虑齿顶高、顶隙、变位，得椭圆中心C在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标：

式中，h_a ^*为齿顶高系数，c^*为顶隙系数，x为变位系数，m为端面模数，ρ₀ ^*为齿根圆角系数，m_n为法向模数，α_t为端面压力角；

过啮合点M’作齿根圆弧的法线，与轴PY₁交于点

由此将啮合点M’坐标与转角

相关联，将x₁、y₁代入式(1)，即得齿根圆弧点M在工件坐标系XOY中的坐标。

5.根据权利要求4所述的一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，其特征在于：根据GB/T2362-1990的规定，令c^*＝0.35，ρ₀ ^*＝0.2，其余系数值与常模数齿轮标准相同。

6.根据权利要求4所述的一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，其特征在于：步骤四具体包括：

当滚刀底刃切削以生成齿顶圆弧时，且当目标齿轮的螺旋角不为0时，滚刀刀齿在齿坯端面的投影沿节线拉长，刀齿根部圆角投影为椭圆弧，故也用椭圆参数方程表示：

其中，x_root、y_root分别表示刀具坐标系X₁PY₁下的啮合点M’距椭圆中心C₁的横、纵距离，a、b分别为椭圆横、纵半轴长度，γ为椭圆角度参变量，设刀根圆角半径也为ρ₀，则a＝ρ₀，b＝ρ₀/cosβ；

设椭圆中心C₁在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为(x_c1,y_c1)，则啮合点M’(x₁,y₁)在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标为：

考虑齿顶高与变位，得椭圆中心C₁在刀具坐标系X₁PY₁中的坐标：

过啮合点M’作齿顶圆弧的法线，与轴PY₁交于点

由此将啮合点M’坐标与转角

相关联，将x₁、y₁代入式(1)，即得齿顶圆弧点M在工件坐标系XOY中的坐标。

7.根据权利要求1所述的一种小模数渐开线圆柱齿轮精确建模方法，其特征在于：在步骤六中，齿轮设计参数包括齿数、模数、压力角、齿宽、螺旋角、变位系数、齿根圆角系数、齿顶高系数以及顶隙系数。

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