CN112181002B - 微陀螺仪双递归扰动模糊神经网络分数阶滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

一种微陀螺仪双递归扰动模糊神经网络分数阶滑模控制方法，包括如下步骤：S1：建立微陀螺仪数学模型，并设计分数阶滑模面；S2：设计分数阶滑模控制律，将其作为控制输入对微陀螺仪进行滑模控制；S3：基于双递归扰动模糊神经网络和Lyapunov稳定性设计自适应控制算法，对神经网络未知参数进行实时更新，保证***运动点的轨迹稳定跟踪动力学模型的轨迹。本发明利用模糊***和神经网络的结合，在线实时对***未知部分进行估计，用估计值代替其自身的真值，用于解决实际***中含有未知参数的未知部分无法准确得到的问题。

Description

微陀螺仪双递归扰动模糊神经网络分数阶滑模控制方法

技术领域

本发明涉及微陀螺仪双递归扰动模糊神经网络分数阶滑模控制方法，属于微陀螺仪的控制技术领域。

背景技术

陀螺仪运用的原理主要是角动量守恒定律，是一种具备传感、维持方向稳定和角运动检测功能的装置，具有抗拒方向改变的趋势。与传统的陀螺仪相比，微陀螺具备众多优点，应用范围广泛，可用于航空、航天、航海、汽车安全、生物工程、大地测量、环境监控等领域，特别是在对尺寸和重量等要求很严格的领域，相比于传统陀螺仪而言，微陀螺有极其显著的优势。

然而，由于MEMS工艺本身加工精度的限制以及设计原理本身的局限性，使得目前的技术还没有取得一个质的飞跃，依然停留在速率级上难以进步，很难达到战术级和惯性级的要求。其结构尺寸通常为微米级，集成封装后，尺寸也仅在毫米量级，导致硅微陀螺仪的灵敏度、精度等与理想的状况有所出入，微陀螺仪主要解决的问题就是补偿加工过程中的误差和对角速度进行测量。

发明内容

为了解决现有的技术缺陷，本发明提供一种微陀螺仪双递归扰动模糊神经网络分数阶滑模控制方法，利用模糊***和神经网络的结合，在线实时对***未知部分进行估计，用估计值代替其自身的真值，用于解决实际***中含有未知参数的未知部分无法准确得到的问题。

一种微陀螺仪双递归扰动模糊神经网络分数阶滑模控制方法，包括如下步骤：

S1：建立微陀螺仪数学模型，并基于微陀螺仪数学模型设计分数阶滑模面；

S2：基于步骤S1建立的微陀螺仪数学模型和设计的分数阶滑模面设计分数阶滑模控制律，将其作为控制输入对微陀螺仪进行滑模控制，其中，所述控制律包括等效控制律和切换控制律；

S3：基于双递归扰动模糊神经网络和Lyapunov稳定性设计自适应控制算法，对神经网络未知参数进行实时更新，保证***运动点的轨迹稳定跟踪动力学模型的轨迹。

优选地，所述步骤S1中建立微陀螺仪数学模型具体步骤如下：

S1-1：建立动力学模型的转动坐标系，转动坐标系包括微陀螺仪驱动振动的方向、检测振动的方向和输入角速度的方向，基于转动坐标系建立微陀螺仪驱动模态和检测模态的基本动力学模型，其中，设定X轴为微陀螺仪驱动振动的方向，Y轴为微陀螺仪检测振动的方向，Z轴为输入角速度的方向，微陀螺仪驱动模态和检测模态的基本动力学模型如公式(1)所示：

式中，m为质量块的质量，x,y为质量块在驱动振动方向和检测振动方向的位置向量，

是x的一阶导数，

是x的二阶导数，

是y的一阶导数，

是y的二阶导数，d_x为驱动振动方向的阻尼系数，d_y为检测振动方向的阻尼系数，k_x为驱动振动方向的刚度系数，k_y为检测振动方向的刚度系数，u_x为驱动振动方向的控制输入，u_y检测振动方向的控制输入，Ω_z为z轴上输入的角速度，

是Ω_z的一阶导数；

S1-2：对基本动力学模型进行结构误差修正，如公式(2)所示：

式中，d_xx为修正后的驱动振动方向的阻尼系数，d_yy为修正后的检测振动方向的阻尼系数，d_xy为耦合阻尼系数，k_xx为修正后的驱动振动方向的刚度系数，k_yy为修正后的检测振动方向的刚度系数，k_xy为耦合刚度系数；

S1-3：对进行结构误差修正后的动力学模型进行无量纲化处理，将式(2)中两个等式的两边分别除以微陀螺仪质量块质量m，并参考长度q₀和自然共振频率ω₀，得到微陀螺仪无量纲化后的动力学模型，如式(3)所示：

式中，各个无量纲量的表达式为：

ω_x为k_xx无量纲化后的形式，ω_y为k_yy无量纲化后的形式，ω_xy为k_xy无量纲化后的形式；

S1-4：将进行无量纲化处理后的动力学模型改写为向量形式的动力学模型，如式(4)所示：

式中，

q为微陀螺仪***的输出轨迹，

是q的一阶导数，

是q的二阶导数，D为由修正后的驱动振动方向的阻尼系数、修正后的检测振动方向的阻尼系数和耦合阻尼系数组成的矩阵，K为由修正后的驱动振动方向的刚度系数的无量纲化形式、修正后的检测振动方向的刚度系数的无量纲形式和耦合刚度系数的无量纲形式组成的矩阵，Ω为由输入方向的角速度和输入方向的角速度的相反数组成的矩阵，u为***控制律，即分数阶滑模控制律；

S1-5：考虑到***中参数的不确定性和外界干扰，则在向量形式的动力学模型中引入若干变量，如式(5)所示：

式中，ΔD为未知参数D+2Ω的不确定性，ΔK为未知参数K的不确定性，d为外界干扰；

定义ψ(x)为***未知部分，令

并定义f_m为微陀螺***的集总参数不确定性，令

假设***集总不确定性f_m存在上界，且满足||f_m||≤F_d，将ψ(x)和f_m代入公式(5)并求导可得公式(6)：

优选地，所述步骤S1中分数阶滑模面设计如下：

式中，s为分数阶滑模面，c为正常数，e为跟踪误差，

是e的一阶导数，其中：

e＝q-q_r＝[x-q_r1,y-q_r2]^T (8)；

式中，

为微陀螺仪***的输出轨迹，

为微陀螺仪***的期望轨迹，

是q_r1的一阶导数，

是q_r2的一阶导数，q_r1为微陀螺仪***x轴期望轨迹，q_r2为微陀螺仪***y轴期望轨迹，T表示向量的转置。

优选地，所述步骤S2中基于微陀螺仪数学模型和分数阶滑模面设计分数阶滑模控制律u，具体如下：

S2-1：对分数阶滑模面模型进行求导，将滑摸控制到达条件引入进行求导后的分数阶滑模面模型，获取等效控制律u_eq，如公式(10)所示：

S2-2：利用外界干扰和***参数不确定性表征***运动点趋近切换面的速率，获取切换控制律，如公式(11)所示：

式中，a是切换项系数，有a＞F_d，||s||表示s的范数；

S2-3：采用等效滑模控制与切换控制相结合的方法，基于式(10)和式(11)设计分数阶滑模控制控制律u如式(12)所示：

优选地，所述步骤S3中双递归扰动模糊神经网络含有闭环动态反馈和模糊***的五层神经网络，依次包括输入层、隶属函数层、规则层、递归层和输出层，设置[e₁ e₂]^T为双递归扰动模糊神经网络的输入，输出为微陀螺***模型未知部分ψ(x)的估计值

具体设计如下：

第一层：输入层，双递归扰动模糊神经网络输入层的输出如式(13)所示：

μ_k＝x_k·W_rok·exY,for k＝1,2 (13)；

式中，μ_k为神经网络第一层的输出信号，x_k为神经网络的输入信号，W_rok为外层递归权值，exY为神经网络第五层反馈信号；

第二层：隶属函数层，双递归扰动模糊神经网络的隶属函数层利用正弦-余弦扰动函数处理规则不确定性，每个隶属函数由高斯函数和正弦-余弦扰动函数组成，如公式(14)所示：

式中，σ_kj为神经网络第二层的输出信号，c_kj为神经网络隶属函数的中心向量，b_kj为神经网络隶属函数的基宽，h_kj为神经网络隶属函数的扰动系数，v_kj为神经网络隶属函数的频率，exp为以自然常数e为底的指数函数，j为神经网络第一层的每个节点输出所对应的节点数；

第三层：规则层，双递归扰动模糊神经网络规则层的输出如式(15)所示：

该层的每个节点的输出为该节点所有输入信号的乘积，即：

式中，δ_i为神经网络第三层的输出信号，i神经网络第三层的节点数；

第四层：递归层，双递归扰动模糊神经网络递归层的输出如式(16)所示：

式中，θ_l为神经网络第四层的输出信号，r_i为内层递归权值；

第五层：输出层，双递归扰动模糊神经网络第五层输出层的输出如式(17)所示：

式中，Y为神经网络第五层的输出信号，即为***未知部分ψ(x)，W为神经网络权值，m₀为隶属函数层节点数。

优选地，所述步骤S3中自适应控制算法的具体设计步骤如下：

S3-1：利用双递归扰动模糊神经网络获取***未知部分的估计值

如公式(18)所示：

式中，

为神经网络权值的估计值，

是关于x,

的函数，

为b,c,h,v,r,W_ro的估计参数向量，

为ψ(x)的估计值；

S3-2：将***未知部分的估计值

代入滑模控制律，获取估计的滑模控制律u′，如公式(19)所示：

S3-3：设定***中未知部分估计值与真实值的差值

作为***未知部分的估计误差；

其中，通过双递归扰动模糊神经网络高斯函数的逼近性质，存在理想的递神经网络输出Y^*，则***的未知部分ψ(x)真实值为：

其中，ε为近似误差，b^*,c^*,h^*,v^*,r^*,

分别为b,c,h,v,r,W_ro的最优参数向量；则***中未知部分真实值ψ(x)与估计值的差值

为：

其中，

是关于x,

的函数，

对

进行泰勒展开可得：

其中，Δ为泰勒展开余项，

则将(22)代入(21)可得：

其中，

为集总逼近误差，存在上界|ε₀|≤E，E是一个正常数；

S3-4：将估计的向量形式的动力学模型化简后，代入预设Lyapunov函数关于时间的一阶导数，根据Lyapunov稳定性的原理设计***未知参数的自适应控制算法，具体如下：

选取Lyapunov函数V为：

式中，η₁,η₂,η₃,η₄,η₅,η₆,η₇为学习率，均为正常数；tr{·}表示矩阵的求迹运算。

对Lyapunov函数求关于时间的一阶导数：

为了保证***的稳定性，令

设计神经网络参数自适应律为：

式中，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数；

为未知参数W的估计值，

为未知参数b的估计值，

为未知参数c的估计值，

是未知参数h的估计值，

是未知参数v的估计值，

为未知参数r的估计值，

为未知参数W_ro的估计值，η₁,η₂,η₃,η₄,η₅,η₆,η₇为各个未知参数的学习率。

本发明中主要采用的技术方案为：

有益效果：本发明提供一种微陀螺仪双递归扰动模糊神经网络分数阶滑模控制方法，具有如下优点：

(1)分数阶滑模控制律增加了可以调节分数阶的阶数项，控制精度得到提高，其提高控制器灵活性；

(2)利用双递归扰动神经网络实现模型未知部分的自适应逼近，保证控制器不依赖于被控***精确的数学模型；

(3)利用李雅普诺夫稳定性理论，设计神经网络中高斯函数基宽、中心向量、扰动系数和权值等参数未知的自适应律，在存在模型不确定性和外部干扰的情况下，使***获得良好的跟踪性能，增加了***的鲁棒性和抗干扰性；

(4)自适应控制算法可处理***的不确定性，实现控制***参数的在线自动整定，并且提高***的稳定性和鲁棒性。

附图说明

图1为本发明微陀螺仪***的结构框图；

图2为本发明实例中双递归扰动模糊神经网络结构图；

图3为本发明实例中微陀螺x轴轨迹跟踪曲线；

图4为本发明实例中微陀螺y轴轨迹跟踪曲线；

图5为本发明实例中微陀螺仪扰动系数h自适应辨识曲线；

图6为本发明实例中微陀螺仪频率v自适应辨识曲线；

图7为本发明实例中神经网络估计未知部分x轴方向上的曲线；

图8为本发明实例中神经网络估计未知部分y轴方向上的曲线。

具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本申请中的技术方案，下面对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本申请保护的范围。

一种微陀螺仪自适应双递归扰动模糊神经网络分数阶滑模控制方法，包括：

步骤一，建立微陀螺仪的数学模型。

把微陀螺仪的驱动模态和检测模态，看作是一个“弹簧-质量-阻尼”的二阶***。首先，建立动力学模型的转动坐标系；然后，基于转动坐标系建立微陀螺仪驱动模态和检测模态的基本动力学模型。

本实施例中，x轴为微陀螺仪驱动振动的方向，y轴为微陀螺仪检测振动的方向，z轴为输入角速度的方向。微陀螺仪的基本动力学方程如式(1)、式(2)所示：

式中，m为质量块的质量，x和y为质量块在驱动方向和检测方向的位置向量，

是x的一阶导数，

是x的二阶导数，

是y的一阶导数，

是y的二阶导数，d_x为驱动方向的阻尼系数，d_y为检测方向的阻尼系数，k_x为驱动方向的刚度系数，k_y为检测方向的刚度系数，u_x为驱动方向的控制输入，u_y检测方向的控制输入，Ω_z为z轴上的角速度，即输入方向的角速度，

是Ω_z的一阶导数。

考虑到微陀螺仪的结构误差带来的影响，为提高控制精度，将式(1)修正为：

式中，d_xx为修正后的驱动方向的阻尼系数，d_yy为修正后的检测方向的阻尼系数，d_xy为耦合阻尼系数，k_xx为修正后的驱动方向的刚度系数，k_yy为修正后的检测方向的刚度系数，k_xy为耦合刚度系数。

为减小控制器设计的复杂度，对动力学模型进行无量纲化处理，将式(2)中两个等式的两边分别除以微陀螺仪质量块质量m，并参考长度q₀和自然共振频率ω₀，得到微陀螺仪无量纲化后的动力学模型，如式(3)所示：

式中，各个无量纲量的表达式为：

ω_x为k_xx无量纲化后的形式，ω_y为k_yy无量纲化后的形式，ω_xy为k_xy无量纲化后的形式。

将式(3)改写为向量形式，如式(4)所示：

式中，

q为微陀螺仪***的输出轨迹，

是q的一阶导数，

是q的二阶导数，D为由修正后的驱动振动方向的阻尼系数、修正后的检测振动方向的阻尼系数和耦合阻尼系数组成的矩阵，K为由修正后的驱动振动方向的刚度系数的无量纲化形式、修正后的检测振动方向的刚度系数的无量纲形式和耦合刚度系数的无量纲形式组成的矩阵，Ω为由输入方向的角速度和输入方向的角速度的相反数组成的矩阵，u为***控制律，即分数阶滑模控制律；

考虑到***中参数的不确定性和外界干扰，将微陀螺仪***动力学模型的向量形式(4)改写为：

式中，ΔD为未知参数D+2Ω的不确定性，ΔK为未知参数K的不确定性，d为外界干扰。

定义ψ(x)为***未知部分，令

并定义f_m为微陀螺***的集总参数不确定性，令

假设***集总不确定性f_m存在上界，且满足||f_m||≤F_d，将ψ(x)和f_m代入公式(5)并求导可得公式(6)：

步骤二，设计微陀螺分数阶滑模控制***。

如图1所示，是本发明实例中微陀螺仪***的结构框图；

首先，设计滑模控制的分数阶滑模面为：

式中，s为分数阶滑模面，c为正常数，e为跟踪误差，

是e的一阶导数，其中：

e＝q-q_r＝[x-q_r1,y-q_r2]^T (8)；

式中，

为微陀螺仪***的输出轨迹，

为微陀螺仪***的期望轨迹，

是q_r1的一阶导数，

是q_r2的一阶导数，q_r1为微陀螺仪***x轴期望轨迹，q_r2为微陀螺仪***y轴期望轨迹，T表示向量的转置。

然后，设计分数阶滑模控制的控制律u，具体如下：

由滑模控制到达条件可得分数阶等效控制律u_eq：

利用外界干扰和***参数不确定性表征***运动点趋近切换面的速率，获取切换控制律，本实施例中，设计切换控制律u_sw为：

式中，a是切换项系数，有a＞F_d，||s||表示s的范数。

采用等效滑模控制与切换控制相结合的方法，基于式(10)和式(11)设计分数阶滑模控制的控制律u为：

步骤三，设计双递归扰动模糊神经网络。

如图2所示，是本发明实例中双递归扰动模糊神经网络结构图；

在本实施例中，双递归扰动模糊神经网络含有闭环动态反馈和模糊***的五层神经网络，其主要包括输入层(Input Layer)、隶属函数层(Membership Function Layer)、规则层(Rule Layer)、递归层(Recurrent Layer)和输出层(Output Layer)，设置[e₁ e₂]^T为双递归扰动模糊神经网络的输入，输出为微陀螺***模型未知部分ψ(x)的估计值

具体设计如下：

第一层：输入层，双递归扰动模糊神经网络输入层的输出如式(13)所示：

μ_k＝x_k·W_rok·exY,for k＝1,2 (13)；

式中，μ_k为神经网络第一层的输出信号，x_k为神经网络的输入信号，W_rok为外层递归权值，exY为神经网络第五层反馈信号；

第二层：隶属函数层，双递归扰动模糊神经网络的隶属函数层利用正弦-余弦扰动函数处理规则不确定性，每个隶属函数由高斯函数和正弦-余弦扰动函数组成，如公式(14)所示：

式中，σ_kj为神经网络第二层的输出信号，c_kj为神经网络隶属函数的中心向量，b_kj为神经网络隶属函数的基宽，h_kj为神经网络隶属函数的扰动系数，v_kj为神经网络隶属函数的频率，exp为以自然常数e为底的指数函数，j为神经网络第一层的每个节点输出所对应的节点数；

第三层：规则层，双递归扰动模糊神经网络规则层的输出如式(15)所示：

该层的每个节点的输出为该节点所有输入信号的乘积，即：

式中，δ_i为神经网络第三层的输出信号，i神经网络第三层的节点数；

第四层：递归层，双递归扰动模糊神经网络递归层的输出如式(16)所示：

式中，θ_l为神经网络第四层的输出信号，r_i为内层递归权值；

第五层：输出层，双递归扰动模糊神经网络第五层输出层的输出如式(17)所示：

式中，Y为神经网络第五层的输出信号，即为***未知部分值ψ(x)，W为神经网络权值，m₀为隶属函数层节点数。

利用双递归扰动模糊神经网络估计***未知部分，如式(21)所示：

式中，

为神经网络权值的估计值，

是关于x,

的函数，

为b,c,h,v,r,W_ro的估计参数向量，

为ψ(x)的估计值；

因此式(12)的控制律u可调整为：

通过函数的逼近性质，存在理想的递神经网络输出Y^*，则***的未知部分ψ(x)即为：

其中，ε为近似误差，b^*,c^*,h^*,v^*,r^*,

分别为b,c,h,v,r,W_ro的最优参数向量。则***中未知部分真实值ψ(x)与估计值的差值

为：

其中，

是关于x,

的函数，

对

进行泰勒展开可得：

其中，Δ为泰勒展开余项，

则将(22)代入(21)可得：

其中，

为集总逼近误差，存在上界|ε₀|≤E，E是一个正常数；

步骤四，在线辨识微陀螺仪***中的未知参数。

本实施例中，设计微陀螺仪***的未知参数为b,c,h,v,r,W_ro和W；

用Lyapunov稳定性理论利用基宽、中心向量和权值等的估计值代替其未知真实值，高斯函数基宽的估计值

高斯函数中心向量的估计值

隶属度函数扰动系数的估计值

隶属度函数频率

内层递归权值的估计值

和外层递归权值的估计值

的自适应律，神经网络权值的估计值

实现在线实时更新，并用此理论来分析***稳定性，具体如下：

为设计

和

的自适应律，选取Lyapunov函数V为：

式中，η₁,η₂,η₃,η₄,η₅,η₆,η₇为学习率，均为正常数；tr{·}表示矩阵的求迹运算。

对设计的Lyapunov函数求关于时间的一阶导数：

为了保证***的稳定性，令

设计神经网络参数自适应律为：

则式(25)可以改写为：

由于ε₀和f_m存在上界E，F_d，所以当满足a≥E+F_d，即可保证

为半负定，***稳定性得证，即***跟踪轨迹能够到达所设计的分数阶滑模面，且停留在滑模面上。对不等式

积分，可得

因为V′(0)和V′(t)有界，V′(t)又是非增的，因此可以得知

是有界的。根据Barbalat引理及其推论，可知

因此***渐近稳定，跟踪误差和分数滑模面也渐近收敛于零。

为验证本发明的可行性和有效性，利用MATLAB/Simulink进行仿真。

m＝1.8×10^-7kg，d_xx＝1.8×10^-6N·s/m，d_xy＝3.6×10^-7N·s/m，

d_yy＝1.8×10^-6N·s/m，k_xx＝63.955N/m，k_xy＝12.779N/m，k_yy＝95.92N/m，

Ω_z＝100rad/s，q₀＝1μm，ω₀＝1kHz。

可得到微陀螺的无量刚化参数为：

d_xx＝0.01，d_xy＝0.002，d_yy＝0.01，

ω_xy＝70.99，

Ω_z＝0.1。

仿真实验中，仿真时间为60s，将***的初始条件设为：q₁(0)＝0.001，

q₂(0)＝0.001，

微陀螺两轴期望运行轨迹设为：

q_r1＝sin(4.17t)，q_r2＝1.2sin(5.11t)，分数阶滑模面参数设为：m＝3000，λ＝10，k＝10，分别将阶数设置为0.1，0.4，0.5，0.7，0.9，并分别比较所得的均方根误差，如表所示以确定分数阶的阶数为α＝0.9，双反馈模糊神经网络的权值、基宽、中心向量、扰动系数、频率、内层递归权值和外层递归权值的初值分别取

即神经网络结构中的参数m₀＝5，自适应律增益分别取η₁＝80000，η₂＝10⁷，η₃＝0.001，η₄＝0.01，η₅＝0.01，η₆＝10^-13，η₇＝10000。仿真结果详见图3至图6。

如图3所示，是本发明实例中微陀螺仪轨迹x轴跟踪曲线，输出信号可以很快跟踪上参考轨迹；

如图4所示，是本发明实例中微陀螺仪轨迹y轴跟踪曲线，输出信号可以很快跟踪上参考轨迹；

如图5所示，是本发明实例中微陀螺仪扰动系数h自适应辨识曲线，利用自适应分数阶滑模控制，参数h可以在有限时间内收敛并趋于稳定；

如图6所示，是本发明实例中微陀螺仪频率v自适应辨识曲线，利用自适应分数阶滑模控制，参数v可以在有限时间内收敛并趋于稳定；

如图7所示，是本发明实例中微陀螺仪神经网络估计未知部分x轴方向上的曲线，利用双递归扰动模糊神经网络可以很好地估计微陀螺***未知部分的值；

如图8所示，是本发明实例中微陀螺仪神经网络估计未知部分y轴方向上的曲线，利用双递归扰动模糊神经网络可以很好地估计微陀螺***未知部分的值；

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种微陀螺仪双递归扰动模糊神经网络分数阶滑模控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1：建立微陀螺仪数学模型，并基于微陀螺仪数学模型设计分数阶滑模面，所述微陀螺仪数学模型的具体建立步骤如下：

S1-1：建立动力学模型的转动坐标系，转动坐标系包括微陀螺仪驱动振动的方向、检测振动的方向和输入角速度的方向，基于转动坐标系建立微陀螺仪驱动模态和检测模态的基本动力学模型，其中，设定X轴为微陀螺仪驱动振动的方向，Y轴为微陀螺仪检测振动的方向，Z轴为输入角速度的方向，微陀螺仪驱动模态和检测模态的基本动力学模型如公式(1)所示：

式中，m为质量块的质量，x,y为质量块在驱动振动方向和检测振动方向的位置向量，

是x的一阶导数，

是x的二阶导数，

是y的一阶导数，

是y的二阶导数，d_x为驱动振动方向的阻尼系数，d_y为检测振动方向的阻尼系数，k_x为驱动振动方向的刚度系数，k_y为检测振动方向的刚度系数，u_x为驱动振动方向的控制输入，u_y检测振动方向的控制输入，Ω_z为z轴上输入的角速度，

是Ω_z的一阶导数；

S1-2：对基本动力学模型进行结构误差修正，如公式(2)所示：

式中，d_xx为修正后的驱动振动方向的阻尼系数，d_yy为修正后的检测振动方向的阻尼系数，d_xy为耦合阻尼系数，k_xx为修正后的驱动振动方向的刚度系数，k_yy为修正后的检测振动方向的刚度系数，k_xy为耦合刚度系数；

S1-3：对进行结构误差修正后的动力学模型进行无量纲化处理，将式(2)中两个等式的两边分别除以微陀螺仪质量块质量m，并参考长度q₀和自然共振频率ω₀，得到微陀螺仪无量纲化后的动力学模型，如式(3)所示：

式中，各个无量纲量的表达式为：

ω_x为k_xx无量纲化后的形式，ω_y为k_yy无量纲化后的形式，ω_xy为k_xy无量纲化后的形式；

S1-4：将进行无量纲化处理后的动力学模型改写为向量形式的动力学模型，如式(4)所示：

式中，

q为微陀螺仪***的输出轨迹，

是q的一阶导数，

是q的二阶导数，D为由修正后的驱动振动方向的阻尼系数、修正后的检测振动方向的阻尼系数和耦合阻尼系数组成的矩阵，K为由修正后的驱动振动方向的刚度系数的无量纲化形式、修正后的检测振动方向的刚度系数的无量纲形式和耦合刚度系数的无量纲形式组成的矩阵，Ω为由输入方向的角速度和输入方向的角速度的相反数组成的矩阵，u为***控制律，即分数阶滑模控制律；

S1-5：考虑到***中参数的不确定性和外界干扰，则在向量形式的动力学模型中引入若干变量，如式(5)所示：

式中，ΔD为未知参数D+2Ω的不确定性，ΔK为未知参数K的不确定性，d为外界干扰；

定义ψ(x)为***未知部分，令

并定义f_m为微陀螺***的集总参数不确定性，令

假设***集总不确定性f_m存在上界，且满足||f_m||≤F_d，将ψ(x)和f_m代入公式(5)并求导可得公式(6)：

所述分数阶滑模面设计如下：

式中，s为分数阶滑模面，c为正常数，e为跟踪误差，

是e的一阶导数，其中：

e＝q-q_r＝[x-q_r1,y-q_r2]^T (8)；

式中，

为微陀螺仪***的输出轨迹，

为微陀螺仪***的期望轨迹，

是q_r1的一阶导数，

是q_r2的一阶导数，q_r1为微陀螺仪***x轴期望轨迹，q_r2为微陀螺仪***y轴期望轨迹，T表示向量的转置；

S2：基于步骤S1建立的微陀螺仪数学模型和设计的分数阶滑模面设计分数阶滑模控制律u，将其作为控制输入对微陀螺仪进行滑模控制，其中，所述控制律包括等效控制律和切换控制律所述；

所述分数阶滑模控制律u的具体设计方法如下：

S2-1：对分数阶滑模面模型进行求导，将滑摸控制到达条件引入进行求导后的分数阶滑模面模型，获取等效控制律u_eq，如公式(10)所示：

S2-2：利用外界干扰和***参数不确定性表征***运动点趋近切换面的速率，获取切换控制律，如公式(11)所示：

式中，a是切换项系数，有a＞F_d，||s||表示s的范数；

S2-3：采用等效滑模控制与切换控制相结合的方法，基于式(10)和式(11)设计分数阶滑模控制控制律u如式(12)所示：

S3：基于双递归扰动模糊神经网络和Lyapunov稳定性设计自适应控制算法，对神经网络未知参数进行实时更新，保证***运动点的轨迹稳定跟踪动力学模型的轨迹；

所述双递归扰动模糊神经网络含有闭环动态反馈和模糊***的五层神经网络，依次包括输入层、隶属函数层、规则层、递归层和输出层，设置[e₁ e₂]^T为双递归扰动模糊神经网络的输入，输出为微陀螺***模型未知部分ψ(x)的估计值

具体设计如下：

第一层：输入层，双递归扰动模糊神经网络输入层的输出如式(13)所示：

μ_k＝x_k·W_rok·exY,for k＝1,2 (13)；

式中，μ_k为神经网络第一层的输出信号，x_k为神经网络的输入信号，W_rok为外层递归权值，exY为神经网络第五层反馈信号；

第二层：隶属函数层，双递归扰动模糊神经网络的隶属函数层利用正弦-余弦扰动函数处理规则不确定性，每个隶属函数由高斯函数和正弦-余弦扰动函数组成，如公式(14)所示：

式中，σ_kj为神经网络第二层的输出信号，c_kj为神经网络隶属函数的中心向量，b_kj为神经网络隶属函数的基宽，h_kj为神经网络隶属函数的扰动系数，v_kj为神经网络隶属函数的频率，exp为以自然常数e为底的指数函数，j为神经网络第一层的每个节点输出所对应的节点数；

第三层：规则层，双递归扰动模糊神经网络规则层的输出如式(15)所示：

该层的每个节点的输出为该节点所有输入信号的乘积，即：

式中，δ_i为神经网络第三层的输出信号，i神经网络第三层的节点数；

第四层：递归层，双递归扰动模糊神经网络递归层的输出如式(16)所示：

式中，θ_l为神经网络第四层的输出信号，r_i为内层递归权值；

第五层：输出层，双递归扰动模糊神经网络第五层输出层的输出如式(17)所示：

式中，Y为神经网络第五层的输出信号，即为***未知部分ψ(x)，W为神经网络权值，m₀为隶属函数层节点数；

所述自适应控制算法的具体设计步骤如下：

S3-1：利用双递归扰动模糊神经网络获取***未知部分的估计值

如公式(18)所示：

式中，

为神经网络权值的估计值，

是关于x,

的函数，

为b,c,h,v,r,W_ro的估计参数向量，

为ψ(x)的估计值；

S3-2：将***未知部分的估计值

代入滑模控制律，获取估计的滑模控制律u′，如公式(19)所示：

S3-3：设定***中未知部分估计值与真实值的差值

作为***未知部分的估计误差；

其中，通过双递归扰动模糊神经网络高斯函数的逼近性质，存在理想的递神经网络输出Y^*，则***的未知部分ψ(x)真实值为：

其中，ε为近似误差，b^*,c^*,h^*,v^*,r^*,

分别为b,c,h,v,r,W_ro的最优参数向量；则***中未知部分真实值ψ(x)与估计值的差值

为：

其中，

是关于x,

的函数，

对

进行泰勒展开可得：

其中，Δ为泰勒展开余项，

则将(22)代入(21)可得：

其中，

为集总逼近误差，存在上界|ε₀|≤E，E是一个正常数；

S3-4：将估计的向量形式的动力学模型化简后，代入预设Lyapunov函数关于时间的一阶导数，根据Lyapunov稳定性的原理设计***未知参数的自适应控制算法，具体如下：

选取Lyapunov函数V为：

式中，η₁,η₂,η₃,η₄,η₅,η₆,η₇为学习率，均为正常数；tr{·}表示矩阵的求迹运算；

对Lyapunov函数求关于时间的一阶导数：

为了保证***的稳定性，令

设计神经网络参数自适应律为：

式中，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数，

是

的一阶导数；

为未知参数W的估计值，

为未知参数b的估计值，

为未知参数c的估计值，

是未知参数h的估计值，

是未知参数v的估计值，

为未知参数r的估计值，

为未知参数W_ro的估计值，η₁,η₂,η₃,η₄,η₅,η₆,η₇为各个未知参数的学习率。

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