CN110262242B - 一种微陀螺仪自适应分数阶滑模控制方法 - Google Patents

一种微陀螺仪自适应分数阶滑模控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了微陀螺仪控制技术领域的一种微陀螺仪自适应分数阶滑模控制方法，旨在解决现有技术中微陀螺仪因加工精度要求高，导致灵敏度和精度等与预期性能指标有所出入的技术问题。所述方法包括如下步骤：建立微陀螺仪的动力学模型，设计分数阶滑模面模型；基于动力学模型和分数阶滑模面模型设计分数阶滑模控制律，作为控制输入对微陀螺仪进行滑摸控制，所述控制律包括等效控制律和切换控制律；基于Lyapunov稳定性设计自适应控制算法，对控制律的***未知参数进行实时更新，促使***运动点的轨迹稳定跟踪动力学模型的轨迹。

Description

一种微陀螺仪自适应分数阶滑模控制方法
技术领域
本发明涉及一种微陀螺仪自适应分数阶滑模控制方法，属于微陀螺仪控制技术领域。
背景技术
陀螺仪是一种具备传感、维持方向稳定和角运动检测功能的装置，其运行主要是基于角动量守恒定律，在角动量作用下，能够抗拒方向改变趋势，常被用作角速度计，作为惯性导航***的基本测量元件，应用于军事、航空、航天等领域。与传统陀螺仪相比，微陀螺仪具备体积小、重量轻等诸多优势，在对尺寸和重量等要求严格的技术领域得到了更为广泛的应用。以硅微陀螺仪为例，由于其运用微机械加工工艺制成，结构尺寸通常为微米级，集成封装后，尺寸也仅在毫米量级，因而对加工精度要求极高，由于加工工艺等现实问题，导致硅微陀螺仪的灵敏度、精度等与预期性能指标有所出入，进而导致微陀螺仪技术发展缓慢。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提供了一种微陀螺仪自适应分数阶滑模控制方法，包括如下步骤：
建立微陀螺仪的动力学模型，设计分数阶滑模面模型；
基于动力学模型和分数阶滑模面模型设计分数阶滑模控制律，作为控制输入对微陀螺仪进行滑摸控制，所述控制律包括等效控制律和切换控制律；
基于Lyapunov稳定性设计自适应控制算法，对控制律的***未知参数进行实时更新，促使***运动点的轨迹稳定跟踪动力学模型的轨迹。
进一步地，建立微陀螺仪的动力学模型，包括：
建立动力学模型的转动坐标系，所述转动坐标系包括对微陀螺仪驱动振动的方向、检测振动的方向、输入角速度的方向分别进行设定；
基于转动坐标系建立微陀螺仪驱动模态和检测模态的基本动力学模型；
对基本动力学模型进行结构误差修正；
对进行结构误差修正后的动力学模型进行无量纲化处理；
将进行无量纲化处理后的动力学模型改写为其向量形式；
在改写为向量形式的动力学模型中引入若干变量，所述变量包括外界干扰、***参数不确定性。
进一步地，基于动力学模型和分数阶滑模面模型设计分数阶滑模控制律，包括：
利用动力学模型中外界干扰和***参数不确定性表征***运动点趋近切换面的速率，获取切换控制律；
对分数阶滑模面模型进行求导，将滑摸控制到达条件引入进行求导后的分数阶滑模面模型，获取等效控制律。
进一步地，基于Lyapunov稳定性设计自适应控制算法，包括：
利用自适应控制算法获取***未知参数的估计值；
将***未知参数的估计值代入滑模控制律，获取估计的滑模控制律；
设定***未知参数估计值与真实值的差值，作为***未知参数的估计误差；
将估计误差和估计的滑模控制律代入引入若干变量的向量形式的动力学模型，获取估计的向量形式的动力学模型；
将估计的向量形式的动力学模型化简后，代入预设Lyapunov函数关于时间的一阶导数，根据Lyapunov稳定性的原理设计***未知参数的自适应控制算法。
进一步地，对控制律的***未知参数进行实时更新，促使***运动点的轨迹稳定跟踪动力学模型的轨迹，包括：
利用自适应控制算法获取***未知参数的估计值；
将***未知参数的估计值代入滑模控制律，获取估计的滑模控制律；
以估计的滑模控制律作为控制输入对微陀螺仪进行滑摸控制。
进一步地，设定X轴为微陀螺仪驱动振动的方向、Y轴为微陀螺仪检测振动的方向、Z轴为输入角速度的方向，微陀螺仪驱动模态和检测模态的基本动力学模型，包括如下公式：
Figure BDA0002113770500000031
Figure BDA0002113770500000032
式中，m为微陀螺仪质量块的质量，x为质量块在驱动方向的位置向量，y为质量块在检测方向的位置向量，
Figure BDA0002113770500000033
是x的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000034
是x的二阶导数，
Figure BDA0002113770500000035
是y的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000036
是y的二阶导数，dx为驱动方向的阻尼系数，dy为检测方向的阻尼系数，kx为驱动方向的刚度系数，ky为检测方向的刚度系数，ux为驱动方向的控制输入，uy为检测方向的控制输入，Ωz为输入方向的角速度，
Figure BDA0002113770500000037
是Ωz的一阶导数。
进一步地，引入若干变量的向量形式的动力学模型，包括如下公式：
Figure BDA0002113770500000038
其中，
Figure BDA0002113770500000039
式中，q是微陀螺仪***的输出轨迹，
Figure BDA00021137705000000310
是q的一阶导数，
Figure BDA00021137705000000311
是q的二阶导数，D、Ω、K均为***未知参数，其中D为由修正后的驱动方向的阻尼系数dxx、修正后的检测方向的阻尼系数dyy和耦合阻尼系数dxy组成的矩阵，K为由修正后的驱动方向的刚度系数kxx的无量纲化形式ωx、修正后的检测方向的刚度系数kyy的无量纲形式ωy和耦合刚度系数kxy的无量纲形式ωxy组成的矩阵，Ω为由输入方向的角速度Ωz和输入方向的角速度的相反数-Ωz组成的矩阵，ΔD为D+2Ω的不确定性，u为分数阶滑模控制律，ΔK为K的不确定性，d为外界干扰。
进一步地，分数阶滑模面模型，包括如下公式：
Figure BDA0002113770500000041
其中，
e＝q-qr＝[x-qr1,y-qr2]T，
Figure BDA0002113770500000042
0＜α＜1，
式中，s为非奇异滑模面，c、λ为正常数，e为跟踪误差，
Figure BDA0002113770500000043
是e的一阶导数，α为分数阶阶数，T表示向量的转置，qr是微陀螺仪***的期望轨迹，
Figure BDA0002113770500000044
是qr的一阶导数，qr1为微陀螺仪***x轴期望轨迹，qr2为微陀螺仪***y轴期望轨迹，
Figure BDA0002113770500000045
是qr1的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000046
是qr2的一阶导数。
进一步地，预设Lyapunov函数，包括如下公式：
Figure BDA0002113770500000047
其中，
M＝MT＞0，N＝NT＞0，P＝PT＞0，
式中，V为Lyapunov函数，tr{·}表示矩阵的求迹运算，M为正定对称矩阵1，N为正定对称矩阵2，P为正定对称矩阵3，
Figure BDA0002113770500000048
为D的估计误差，
Figure BDA0002113770500000049
为K的估计误差，
Figure BDA00021137705000000410
为Ω的估计误差。
进一步地，自适应控制算法，包括如下公式：
Figure BDA0002113770500000051
式中，
Figure BDA0002113770500000052
是
Figure BDA0002113770500000053
的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000054
是
Figure BDA0002113770500000055
的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000056
是
Figure BDA0002113770500000057
的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000058
为未知参数D的估计值，
Figure BDA0002113770500000059
为未知参数K的估计值，
Figure BDA00021137705000000510
为未知参数Ω的估计值。
与现有技术相比，本发明所达到的有益效果：分数阶滑模面增加了可以调节分数阶的阶数项，控制性能和控制精度得到提高；自适应控制算法可处理***的不确定性，实现控制***参数的在线自动整定。
附图说明
图1是本发明微陀螺仪***的结构框图；
图2是本发明实例中微陀螺仪dxx、dxy、dyy自适应辨识曲线；
图3是本发明实例中微陀螺仪
Figure BDA00021137705000000511
ωxy、
Figure BDA00021137705000000512
自适应辨识曲线；
图4是本发明实例中微陀螺仪Ωz自适应辨识曲线。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
一种微陀螺仪自适应分数阶滑模控制方法，包括如下步骤：
步骤一，建立微陀螺仪的动力学模型。
把微陀螺仪的驱动模态和检测模态，看作是一个“弹簧-质量-阻尼”的二阶***。首先，建立动力学模型的转动坐标系；然后，基于转动坐标系建立微陀螺仪驱动模态和检测模态的基本动力学模型。
本实施例中，X轴为微陀螺仪驱动振动的方向，Y轴为微陀螺仪检测振动的方向，Z轴为输入角速度的方向，微陀螺仪的基本动力学模型如式(1)、式(2)所示：
Figure BDA0002113770500000061
Figure BDA0002113770500000062
式中，m为质量块的质量，x和y为质量块在驱动方向和检测方向的位置向量，
Figure BDA0002113770500000063
是x的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000064
是x的二阶导数，
Figure BDA0002113770500000065
是y的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000066
是y的二阶导数，dx为驱动方向的阻尼系数，dy为检测方向的阻尼系数，kx为驱动方向的刚度系数，ky为检测方向的刚度系数，ux为驱动方向的控制输入，uy为检测方向的控制输入，Ωz为z轴上的角速度，即输入方向的角速度，
Figure BDA0002113770500000067
是Ωz的一阶导数。
考虑到微陀螺仪的结构误差带来的影响，为提高控制精度，将式(1)、式(2)修正为：
Figure BDA0002113770500000068
Figure BDA0002113770500000069
式中，dxx为修正后的驱动方向的阻尼系数，dyy为修正后的检测方向的阻尼系数，dxy为耦合阻尼系数，kxx为修正后的驱动方向的刚度系数，kyy为修正后的检测方向的刚度系数，kxy为耦合刚度系数。
为减小控制器设计的复杂度，对动力学模型进行无量纲化处理，将式(3)、式(4)的两边除以微陀螺仪质量块质量m，并参考长度q0和自然共振频率ω0，得到微陀螺仪无量纲化后的动力学模型，如式(5)、式(6)所示：
Figure BDA00021137705000000610
Figure BDA00021137705000000611
各个无量纲量的表达式为：
Figure BDA00021137705000000612
Figure BDA0002113770500000071
式中，ωx为kxx无量纲化后的形式，ωy为kyy无量纲化后的形式，ωxy为kxy无量纲化后的形式。
将式(5)、式(6)改写为向量形式，如式(7)所示：
Figure BDA0002113770500000072
式中，
Figure BDA0002113770500000073
q为微陀螺仪***的输出轨迹，
Figure BDA0002113770500000074
是q的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000075
是q的二阶导数，D为由修正后的驱动方向的阻尼系数、修正后的检测方向的阻尼系数和耦合阻尼系数组成的矩阵，K为由修正后的驱动方向的刚度系数的无量纲化形式、修正后的检测方向的刚度系数的无量纲形式和耦合刚度系数的无量纲形式组成的矩阵，Ω为由输入方向的角速度和输入方向的角速度的相反数组成的矩阵，u为分数阶滑模控制律。
考虑到***中参数的不确定性和外界干扰，将微陀螺仪***动力学模型的向量形式式(7)改写为：
Figure BDA0002113770500000076
式中，ΔD为未知参数D+2Ω的不确定性，ΔK为未知参数K的不确定性，d为外界干扰。
定义f为微陀螺***的集总参数不确定性和外界干扰，
Figure BDA0002113770500000077
代入微陀螺仪***的向量形式中，可得：
Figure BDA0002113770500000078
假设f满足||f||≤ρ(t)，ρ(t)为未知的正常数，||f||表示f的范数。
步骤二，设计微陀螺仪自适应分数阶滑模控制***。
如图1所示，是本发明微陀螺仪***的结构框图；
首先，设计滑模控制的分数阶滑模面为：
Figure BDA0002113770500000081
式中，s为非奇异滑模面，c、λ为正常数，α为分数阶阶数，0＜α＜1，e为跟踪误差，
Figure BDA0002113770500000082
是e的一阶导数，其中：
e＝q-qr＝[x-qr1,y-qr2]T (11)
Figure BDA0002113770500000083
式中，
Figure BDA0002113770500000084
为微陀螺仪***的输出轨迹，
Figure BDA0002113770500000085
为微陀螺仪***的期望轨迹，
Figure BDA0002113770500000086
是qr1的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000087
是qr2的一阶导数，qr1为微陀螺仪***x轴期望轨迹，qr2为微陀螺仪***y轴期望轨迹。T表示向量的转置。
然后，设计分数阶滑模控制的控制律u，具体如下：
对式(10)分数阶滑模面进行求导，得：
Figure BDA0002113770500000088
式中，
Figure BDA0002113770500000089
是s的一阶导数，
Figure BDA00021137705000000810
是e的二阶导数，
Figure BDA00021137705000000811
是qr的二阶导数；
由滑模控制到达条件
Figure BDA00021137705000000812
得：
Figure BDA00021137705000000813
由到达条件可得分数阶滑模等效控制律ueq为：
Figure BDA00021137705000000814
利用外界干扰和***参数不确定性表征***运动点趋近切换面的速率，获取切换控制律，本实施例中，设计切换控制律usw为：
Figure BDA0002113770500000091
式中，||s||表示s的范数。
采用等效滑模控制与切换控制相结合的方法，基于式(15)和式(16)设计分数阶滑模控制的控制律u为：
Figure BDA0002113770500000092
步骤三，在线辨识微陀螺仪***中的未知参数。
本实施例中，设计微陀螺仪***的未知参数为D、K和Ω；
依据自适应控制的一般思想，利用自适应控制算法获取***未知参数的估计值
Figure BDA0002113770500000093
和
Figure BDA0002113770500000094
利用
Figure BDA0002113770500000095
代替D的未知真实值，利用
Figure BDA0002113770500000096
代替K的未知真实值，利用
Figure BDA0002113770500000097
代替Ω的未知真实值，达到实时更新***估计值的目的，以确保***的稳定性，具体如下：
由
Figure BDA0002113770500000098
和
Figure BDA0002113770500000099
代替D、K和Ω，并代入式(17)，得到估计的控制律u′：
Figure BDA00021137705000000910
定义参数D、K和Ω的估计误差分别为
Figure BDA00021137705000000911
和
Figure BDA00021137705000000912
即：
Figure BDA00021137705000000913
将式(18)、式(19)代入微陀螺仪动力学模型的向量形式式(8)，得：
Figure BDA00021137705000000914
将式(13)代入式(20)得：
Figure BDA0002113770500000101
代入微陀螺***的集总参数不确定性和外界干扰
Figure BDA0002113770500000102
对式(21)化简，得：
Figure BDA0002113770500000103
为设计
Figure BDA0002113770500000104
和
Figure BDA0002113770500000105
的自适应律，选取Lyapunov函数V为：
Figure BDA0002113770500000106
式中，M＝MT＞0，N＝NT＞0，P＝PT＞0，M、N和P均为正定对称矩阵，M为正定对称矩阵1，N为正定对称矩阵2，P为正定对称矩阵3；tr{·}表示矩阵的求迹运算。
对Lyapunov函数求关于时间的一阶导数
Figure BDA0002113770500000107
为：
Figure BDA0002113770500000108
式中，
Figure BDA0002113770500000109
是
Figure BDA00021137705000001010
的一阶导数，
Figure BDA00021137705000001020
是
Figure BDA00021137705000001021
的一阶导数，
Figure BDA00021137705000001022
是
Figure BDA00021137705000001023
的一阶导数；
将式(22)代入式(24)，得：
Figure BDA00021137705000001015
因为D、K和Ω为对称矩阵，则有D＝DT，K＝KT，Ω＝-ΩT，且对于矩阵D有标量
Figure BDA00021137705000001016
即：
Figure BDA00021137705000001017
同理，对于矩阵K和Ω有：
Figure BDA00021137705000001018
Figure BDA00021137705000001019
将式(26)和式(27)代入式(25)得：
Figure BDA0002113770500000111
又存在
Figure BDA0002113770500000112
对式(28)进行化简得：
Figure BDA0002113770500000113
式中，
Figure BDA0002113770500000114
是
Figure BDA0002113770500000115
的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000116
是
Figure BDA0002113770500000117
的一阶导数，
Figure BDA0002113770500000118
是
Figure BDA0002113770500000119
的一阶导数；
为保证
Figure BDA00021137705000001110
因此
Figure BDA00021137705000001111
和
Figure BDA00021137705000001112
的自适应律可设计为：
Figure BDA00021137705000001113
对***进行稳定性分析：
将
Figure BDA00021137705000001114
和
Figure BDA00021137705000001115
的自适应律式(30)代入式(28)中，得：
Figure BDA00021137705000001116
将||f||≤ρ(t)代入式(31)，得：
Figure BDA00021137705000001117
由式(32)可得，
Figure BDA00021137705000001118
是半负定的，***具有稳定性，即在有限时间内，***轨迹可到达设计的分数阶滑模面。
为验证本发明的可行性和有效性，利用MATLAB/Simulink进行仿真。
微陀螺仪中的各个参数分别选择为：
m＝1.8×10-7kg，dxx＝1.8×10-6N·s/m，dxy＝3.6×10-7N·s/m，dyy＝1.8×10-6N·s/m，kxx＝63.955N/m，kxy＝12.779N/m，kyy＝95.92N/m，Ωz＝100rad/s，q0＝1μm，ω0＝1kHz。
由以上数据可得，微陀螺的无量纲化参数为：dxx＝0.01，dxy＝0.002，dyy＝0.01，
Figure BDA0002113770500000129
ωxy＝70.99，
Figure BDA00021137705000001210
Ωz＝0.1。
仿真实验中，将***的初始条件设为：q1(0)＝0，
Figure BDA0002113770500000121
q2(0)＝0，
Figure BDA0002113770500000122
微陀螺两轴期望运行轨迹设为：qr1＝sin(4.17t)，qr2＝1.2sin(5.11t)，分数阶滑模面参数设为：c＝25，λ＝7，α＝0.99，自适应固定增益设为：M＝diag(150,150)，N＝diag(915,915),P＝diag(120,120)，三个参数矩阵的估计初值设为：
Figure BDA0002113770500000123
Figure BDA0002113770500000124
***不确定性和外界干扰的上界值取为ρ(t)＝25，集总不确定性为随机信号取d＝[0.5*randn(1,1)；0.5*randn(1,1)]。将仿真时间设置为60s，仿真结果详见图2至图4。
更具体地，如图2所示，是本发明实例中微陀螺仪dxx,dxy,dyy自适应辨识曲线，利用自适应分数阶滑模控制，参数dxx,dxy,dyy可以在有限时间内快速收敛为零，收敛速度较快；如图3所示，是本发明实例中微陀螺仪
Figure BDA0002113770500000125
ωxy,
Figure BDA0002113770500000126
自适应辨识曲线，利用自适应分数阶滑模控制，参数
Figure BDA0002113770500000127
ωxy,
Figure BDA0002113770500000128
可以在有限时间内快速收敛为零，收敛速度较快；如图4所示，是本发明实例中微陀螺仪Ωz自适应辨识曲线，利用自适应分数阶滑模控制，参数Ωz可以在有限时间内快速收敛为零，收敛速度较快。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种微陀螺仪自适应分数阶滑模控制方法，其特征是，包括如下步骤：
建立微陀螺仪的动力学模型，设计分数阶滑模面模型；
基于动力学模型和分数阶滑模面模型设计分数阶滑模控制律，作为控制输入对微陀螺仪进行滑摸控制，所述控制律包括等效控制律和切换控制律；
基于Lyapunov稳定性设计自适应控制算法，对控制律的***未知参数进行实时更新，促使***运动点的轨迹稳定跟踪动力学模型的轨迹；
建立微陀螺仪的动力学模型，包括：
建立动力学模型的转动坐标系，所述转动坐标系包括对微陀螺仪驱动振动的方向、检测振动的方向、输入角速度的方向分别进行设定；
基于转动坐标系建立微陀螺仪驱动模态和检测模态的基本动力学模型；
对基本动力学模型进行结构误差修正；
对进行结构误差修正后的动力学模型进行无量纲化处理；
将进行无量纲化处理后的动力学模型改写为其向量形式；
在改写为向量形式的动力学模型中引入若干变量，所述变量包括外界干扰、***参数不确定性；
基于动力学模型和分数阶滑模面模型设计分数阶滑模控制律，包括：
利用动力学模型中外界干扰和***参数不确定性表征***运动点趋近切换面的速率，获取切换控制律；
对分数阶滑模面模型进行求导，将滑摸控制到达条件引入进行求导后的分数阶滑模面模型，获取等效控制律；
基于Lyapunov稳定性设计自适应控制算法，包括：
利用自适应控制算法获取***未知参数的估计值；
将***未知参数的估计值代入滑模控制律，获取估计的滑模控制律；
设定***未知参数估计值与真实值的差值，作为***未知参数的估计误差；
将估计误差和估计的滑模控制律代入引入若干变量的向量形式的动力学模型，获取估计的向量形式的动力学模型；
将估计的向量形式的动力学模型化简后，代入预设Lyapunov函数关于时间的一阶导数，根据Lyapunov稳定性的原理设计***未知参数的自适应控制算法；
对控制律的***未知参数进行实时更新，促使***运动点的轨迹稳定跟踪动力学模型的轨迹，包括：
利用自适应控制算法获取***未知参数的估计值；
将***未知参数的估计值代入滑模控制律，获取估计的滑模控制律；
以估计的滑模控制律作为控制输入对微陀螺仪进行滑摸控制；
设定X轴为微陀螺仪驱动振动的方向、Y轴为微陀螺仪检测振动的方向、Z轴为输入角速度的方向，微陀螺仪驱动模态和检测模态的基本动力学模型，包括如下公式：
Figure FDA0003492312070000021
Figure FDA0003492312070000022
式中，m为微陀螺仪质量块的质量，x为质量块在驱动方向的位置向量，y为质量块在检测方向的位置向量，
Figure FDA0003492312070000023
是x的一阶导数，
Figure FDA0003492312070000024
是x的二阶导数，
Figure FDA0003492312070000025
是y的一阶导数，
Figure FDA0003492312070000026
是y的二阶导数，dx为驱动方向的阻尼系数，dy为检测方向的阻尼系数，kx为驱动方向的刚度系数，ky为检测方向的刚度系数，ux为驱动方向的控制输入，uy为检测方向的控制输入，Ωz为输入方向的角速度，
Figure FDA0003492312070000031
是Ωz的一阶导数；
引入若干变量的向量形式的动力学模型，包括如下公式：
Figure FDA0003492312070000032
其中，
Figure FDA0003492312070000033
式中，q是微陀螺仪***的输出轨迹，
Figure FDA0003492312070000034
是q的一阶导数，
Figure FDA0003492312070000035
是q的二阶导数，D、Ω、K均为***未知参数，其中D为由修正后的驱动方向的阻尼系数dxx、修正后的检测方向的阻尼系数dyy和耦合阻尼系数dxy组成的矩阵，K为由修正后的驱动方向的刚度系数kxx的无量纲化形式ωx、修正后的检测方向的刚度系数kyy的无量纲形式ωy和耦合刚度系数kxy的无量纲形式ωxy组成的矩阵，Ω为由输入方向的角速度Ωz和输入方向的角速度的相反数-Ωz组成的矩阵，△D为D+2Ω的不确定性，u为分数阶滑模控制律，△K为K的不确定性，d为外界干扰；
分数阶滑模面模型，包括如下公式：
Figure FDA0003492312070000036
其中，
e＝q-qr＝[x-qr1,y-qr2]T，
Figure FDA0003492312070000037
0<α<1，
式中，s为非奇异滑模面，c、λ为正常数，e为跟踪误差，
Figure FDA0003492312070000038
是e的一阶导数，α为分数阶阶数，T表示向量的转置，qr是微陀螺仪***的期望轨迹，
Figure FDA0003492312070000039
是qr的一阶导数，qr1为微陀螺仪***x轴期望轨迹，qr2为微陀螺仪***y轴期望轨迹，
Figure FDA00034923120700000310
是qr1的一阶导数，
Figure FDA00034923120700000311
是qr2的一阶导数；
预设Lyapunov函数，包括如下公式：
Figure FDA0003492312070000041
其中，
M＝MT>0，N＝NT>0，P＝PT>0，
式中，V为Lyapunov函数，tr{·}表示矩阵的求迹运算，M为正定对称矩阵1，N为正定对称矩阵2，P为正定对称矩阵3，
Figure FDA0003492312070000042
为D的估计误差，
Figure FDA0003492312070000043
为K的估计误差，
Figure FDA0003492312070000044
为Ω的估计误差；
自适应控制算法，包括如下公式：
Figure FDA0003492312070000045
式中，
Figure FDA0003492312070000046
是
Figure FDA0003492312070000047
的一阶导数，
Figure FDA0003492312070000048
是
Figure FDA0003492312070000049
的一阶导数，
Figure FDA00034923120700000410
是
Figure FDA00034923120700000411
的一阶导数，
Figure FDA00034923120700000412
为未知参数D的估计值，
Figure FDA00034923120700000413
为未知参数K的估计值，
Figure FDA00034923120700000414
为未知参数Ω的估计值。
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