CN111896929A - 非均匀mimo雷达的dod/doa估计算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非均匀MIMO雷达的DOD/DOA估计算法，主要解决现有技术布阵不灵活，计算复杂度较高的问题。其实现过程是：首先将MIMO雷达收发阵列非均匀化，进行单次快拍采样，然后针对稀疏字典所带来的高维搜索问题进行降维，利用发射角和接收角的阵列流形矩阵关系，通过两个一维字典，降低算法的运算量，不仅实现了稀疏信号从高维到低维的映射，还通过信号稀疏重构过程完成了角度的自动配对。值得说明的是，本发明所提方法由于引进了稀疏重构算法，不仅能够实现多目标下的DOD和DOA联合估计，降低算法的复杂度，而且可以在不用考虑信号源相干的影响对空间相干目标源进行处理，易于工程实现，应用更为广泛。

Description

非均匀MIMO雷达的DOD/DOA估计算法

技术领域

本发明属于阵列信号处理技术领域，涉及一种非均匀阵列在双基地MIMO雷达中的应用的方法，能够实现对目标源的DOA/DOD联合估计。

背景技术

在一些雷达***中，既有接收阵列也有发射阵列，如多输入多输出(multiple-InputMultiple-Output,MIMO)雷达***。MIMO雷达根据其阵列位置在空间的分布可分为分布式MIMO雷达和集中式MIMO雷达，集中式MIMO雷达又分为单机地和双基地MIMO雷达，其主要是根据发射和接收阵列安装的位置进行区分的。传统的MIMO雷达主要是将其收发阵列配置为均匀阵进行目标参数估计，但为了进一步提高MIMO雷达的阵列自由度和估计精度，将非均匀阵用于MIMO雷达的多目标参数估计已成为研究重点。

随着波达方向(directionofarrival,DOA)和波离角(directionofdeparture,DOD)估计理论的发展，在相同阵元数下，非均匀阵相比均匀阵不仅增加了阵列的自由度、提高了角度分辨率，而且可以实现物理阵元数小于实际目标数的欠定DOA估计，因此成为当前阵列研究的热点方向。随着非均匀阵列的发展，目前仍存在一些需要改进的地方，本发明对非均匀阵营中的嵌套阵列进行了改进，并在此基础上提出了相应的DOA估计算法，本发明为进一步提高传统双基地MIMO雷达的阵列孔径，使其拥有更高的空间分辨力，将非均匀阵列配置为双基地MIMO雷达的的收发阵列，引入了稀疏重构方法够对相干、非相干目标源进行识别，但随着网格的划分，庞大的二维冗余字典给后期的搜索带来了巨大的运算量，为此，通过挖掘发射角和接收角的阵列流形矩阵关系，将原始字典分割为两个只与单个角度有关的子字典，且将稀疏信号由s∈C^PQ×1变为S∈C^P×Q大小，这不仅降低了重构算法的运算量，而且为后期实现DOD和DOA的自动匹配做了基础。

发明内容

本发明的目的是提供一种非均匀MIMO雷达的DOD/DOA估计算法。

一种非均匀MIMO雷达的DOD/DOA估计方法步骤如下：

步骤一、将非均匀阵列配置为双基地MIMO雷达收发阵列；

将满足二阶嵌套阵列自由度的阵元位置为Η＝[d₁,d₂,d₃,d₄,d₅,d₆]＝[0,d,4d,7d,9d,11d]的两个非均匀子阵分别作为双基地MIMO雷达收发阵列的发射阵列和接收阵列，发射阵列和接收阵列的阵元总数分别为M＝N＝6，该双基地MIMO雷达阵列的发射阵列和接收阵列产生的虚拟阵列均为W＝[-11d,-10d,-9d,-8d,-7d,-6d,-5d,-4d,-3d,-2d,-1d,0,d,2d,3d,4d,5d,6d,7d,8d,9d,10d,11d]，

λ为电磁波波长。构造非均匀阵列差合矩阵

将求得的差合矩阵

进行矢量化操作得到列向量

即

vec(·)表示对矩阵的矢量化操作,即将矩阵元素按列排成一个列矢量，例如设G矩阵大小为h×j维，则其内部经过矢量化操作vec(G)后，将原尺寸h×j维拉伸至hj×1维，矢量化后具体表现形式为vec(G)＝[g₁₁,…,g_h1,…g_1j,…g_hj]，[·]^T为矩阵的转置，将列向量

中满足

的元素取出从大到小排列构成一个新向量

当

中有多个元素与U(b)相同时，只取相同元素中的一个，其余的舍去，得

同时记录这23个元素在列向量

中的位置索引集Γ，

为取出矩阵中第6行和与第6行间隔6行的第12行的数据。

步骤二、根据所设计的非均匀MIMO阵列,得到阵列接收信号X(t)和发射信号Z(t)，进而得到发射信号和接收信号的数据协方差矩阵R_x＝E[X(t)X(t)^H]和R_z＝E[Z(t)Z(t)^H]。

由R_x＝E[X(t)X(t)^H]和R_z＝E[Z(t)Z(t)^H]得到发射信号和接收信号的数据协方差矩阵，E[·]为统计均值，[·]^H为复共轭转置，X(t)＝A_θS(t)+N_x(t)为雷达发射阵列端的输出信号，A_θ＝[a(θ₁),...,a(θ_k),...,a(θ_K)]为发射阵列流形矩阵，

为第k个发射信号导向矢量，θ_k∈[-90°,90°]为信号的DOD；Z(t)＝B_φS(t)+N_z(t)为接收阵列端的输出信号，B_φ＝[b(φ₁),...,b(φ_k),...,b(φ_K)]接收阵列流形矩阵，，

为第k个接收信号的导向矢量，φ_k∈[-90°,90°]为第k个接收信号DOA，S(t)＝[s₁(t),...,s_K(t)]^T为入射信号的幅度，N_x(t)，N_z(t)分别表示发射阵列和接收阵列的通道噪声，d_ζ表示第ζ个阵元的位置。

步骤三：对协方差矩阵R_x，R_z进行矢量化处理得到去冗余前数据矢量r_x和r_z，根据索引集Γ挑选出r_x和r_z中的有效数据，从而得到虚拟阵列接收数据

并由

得到最终的接收数据矩阵Y。

去冗余前发射阵列数据矢量r_x＝vec(R_x)，接收阵列数据矢量r_z＝vec(R_z)，根据步骤一中求得的位置索引集Γ找到r_x和r_z中对应位置的有效数据，得到最终的虚拟接收阵列接收数据

最终的虚拟发射阵列接收数据

由Y＝E[r_xr_z ^H]得到互相关数据矩阵

也被称之为最终的接收数据矩阵。

步骤四、采用单快拍下的多参数联合估计算法对双基地MIMO雷达DOD/DOA进行联合估计。其具体方法如下：

4a)根据发射域和接收域构造用于稀疏恢复的与DOA相关的一维字典Ξ和与DOD相关的一维字典Ω：

将发射域划分为P份，则对应的发射阵列一维字典为

为第P个潜在的发射信号对应的DOD，，

为第P个潜在发射信号导向矢量，将接收域划分为Q份，则对应的接收阵列一维字典中为

为第q个潜在接收信号导向矢量，

为第q个潜在接收信号的DOA，

那么可以用接收数据

4b)通过稀疏恢复算法对发射角和接收角进行联合估计：

其中Z为Q×(M²-2M-1)维的辅助变量，min(·)为取最小值，||·||₀为矩阵的0范数，稀疏信号S包含了发射角和接收角信息，通过贪婪算法对稀疏信号进行恢复重构，可以得到辅助变量Z的估计值

再次利用贪婪算法对

进行恢复重构，可以得到稀疏信号的估计值

横行非零元素位置对应发射角的索引值，纵行非零元素位置对应接收角的索引值，通过横纵坐标非零元素索引值，便可得到DOD和DOA的估计值，而且对于目标源发射角和接收角的估计是一起进行的，所以最后通过

的横纵坐标可唯一确定目标源位置，因此能够实现自动配对。

前述步骤中，K表示信号源数目，k＝1,2,...,K表示信号源的标号，

表示阵元的标号，a＝1,2,...,36表示差合矩阵中元素标号，b＝1,2,...,23表示虚拟阵列元素标号，p＝1,2,...,P表示发射域划分区域标号，q＝1,2,...,Q表示接收域划分区域标号。

本发明与现有阵列结构相比较有如下优点：

1.本发明使用非均匀阵列天线结构，同阵元数下，非均匀阵列扩大了阵列自由度、提高了空间分辨力、可以实现物理阵元数小于实际目标数的欠定估计，相比传统均匀阵列，布阵方式更灵活。

2.本发明针对非均匀MIMO雷达稀疏表示模型以及采用最小l₀泛数思想对目标DOD/DOA进行联合估计。由于其算法结构简单、不需要进行超参数选择、易于工程实现，可以被大量采用。

3.本发明进一步提高传统双基地MIMO雷达的阵列孔径，使其拥有更高的空间分辨力。能够对相干、非相干目标源进行识别，实现DOD和DOA的自动匹配，在单次快拍下，不仅可以实现多目标的DOD和DOA估计，而且不用考虑信号源相干的影响，应用更为广泛。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中需要使用的附图做简单介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明方法实现流程图；

图2为非均匀双基地MIMO雷达结构图；

图3为非均匀MIMO雷达DOD/DOA联合估计结果图；

图4为非均匀MIMO雷达相干信源DOD/DOA估计结果图；

图5为非相干源下几种算法的DOD/DOA成功概率图；

图6为非相干源下几种算法的总成功概率图；

图7为非相干源下几种算法的DOD/DOA均方根误差图；

图8为非相干源下几种算法的总均方根误差图；

具体实施方式

为了让本发明的上述和其它目的、特征及优点能更明显，下文特举本发明实施例，并配合所附图示，做详细说明如下：

本发明的目的是提供一种非均匀MIMO雷达的DOD/DOA估计算法。

为了实现上述目的，本发明采取如下的技术解决方案：

步骤一、将非均匀阵列配置为双基地MIMO雷达收发阵列；

将满足二阶嵌套阵列自由度的阵元位置为Η＝[d₁,d₂,d₃,d₄,d₅,d₆]＝[0,d,4d,7d,9d,11d]的两个非均匀子阵分别作为双基地MIMO雷达收发阵列的发射阵列和接收阵列，发射阵列和接收阵列的阵元总数分别为M＝N＝6，该双基地MIMO雷达阵列的发射阵列和接收阵列产生的虚拟阵列均为W＝[-11d,-10d,-9d,-8d,-7d,-6d,-5d,-4d,-3d,-2d,-1d,0,d,2d,3d,4d,5d,6d,7d,8d,9d,10d,11d]，

λ为电磁波波长。构造非均匀阵列差合矩阵

将求得的差合矩阵

进行矢量化操作得到列向量

即

vec(·)表示对矩阵的矢量化操作,即将矩阵元素按列排成一个列矢量，例如设G矩阵大小为h×j维，则其内部经过矢量化操作vec(G)后，将原尺寸h×j维拉伸至hj×1维，矢量化后具体表现形式为vec(G)＝[g₁₁,…,g_h1,…g_1j,…g_hj]，[·]^T为矩阵的转置，将列向量

中满足

的元素取出从大到小排列构成一个新向量

当

中有多个元素与U(b)相同时，只取相同元素中的一个，其余的舍去，得

同时记录这23个元素在列向量

中的位置索引集Γ，

为取出矩阵中第6行和与第6行间隔6行的第12行的数据。

步骤二、根据所设计的非均匀MIMO阵列,得到阵列接收信号X(t)和发射信号Z(t)，进而得到发射信号和接收信号的数据协方差矩阵R_x＝E[X(t)X(t)^H]和R_z＝E[Z(t)Z(t)^H]。

由R_x＝E[X(t)X(t)^H]和R_z＝E[Z(t)Z(t)^H]得到发射信号和接收信号的数据协方差矩阵，E[·]为统计均值，[·]^H为复共轭转置，X(t)＝A_θS(t)+N_x(t)为雷达发射阵列端的输出信号，A_θ＝[a(θ₁),...,a(θ_k),...,a(θ_K)]为发射阵列流形矩阵，

为第k个发射信号导向矢量，θ_k∈[-90°,90°]为信号的DOD；Z(t)＝B_φS(t)+N_z(t)为接收阵列端的输出信号，B_φ＝[b(φ₁),...,b(φ_k),...,b(φ_K)]接收阵列流形矩阵，，

为第k个接收信号的导向矢量，φ_k∈[-90°,90°]为第k个接收信号DOA，S(t)＝[s₁(t),...,s_K(t)]^T为入射信号的幅度，N_x(t)，N_z(t)分别表示发射阵列和接收阵列的通道噪声，d_ζ表示第ζ个阵元的位置。

步骤三：对协方差矩阵R_x，R_z进行矢量化处理得到去冗余前数据矢量r_x和r_z，根据索引集Γ挑选出r_x和r_z中的有效数据，从而得到虚拟阵列接收数据

并由

得到最终的接收数据矩阵Y。

去冗余前发射阵列数据矢量r_x＝vec(R_x)，接收阵列数据矢量r_z＝vec(R_z)，根据步骤一中求得的位置索引集Γ找到r_x和r_z中对应位置的有效数据，得到最终的虚拟接收阵列接收数据

最终的虚拟发射阵列接收数据

由Y＝E[r_xr_z ^H]得到互相关数据矩阵

也被称之为最终的接收数据矩阵。

步骤四、采用单快拍下的多参数联合估计算法对双基地MIMO雷达DOD/DOA进行联合估计。其具体方法如下：

4a)根据发射域和接收域构造用于稀疏恢复的与DOA相关的一维字典Ξ和与DOD相关的一维字典Ω：

将发射域划分为P份，则对应的发射阵列一维字典为

为第P个潜在的发射信号对应的DOD，，

为第P个潜在发射信号导向矢量，将接收域划分为Q份，则对应的接收阵列一维字典中为

为第q个潜在接收信号导向矢量，

为第q个潜在接收信号的DOA，

那么可以用接收数据

4b)通过稀疏恢复算法对发射角和接收角进行联合估计：

其中Z为Q×(M²-2M-1)的辅助变量，min(·)为取最小值，||·||₀为矩阵的0范数，稀疏信号S包含了发射角和接收角信息，通过贪婪算法对稀疏信号进行恢复重构，可以得到辅助变量Z的估计值

再次利用贪婪算法对

进行恢复重构，可以得到稀疏信号的估计值

横行非零元素位置对应发射角的索引值，纵行非零元素位置对应接收角的索引值，通过横纵坐标非零元素索引值，便可得到DOD和DOA的估计值，而且对于目标源发射角和接收角的估计是一起进行的，所以最后通过

的横纵坐标可唯一确定目标源位置，因此能够实现自动配对。

前述步骤中，K表示信号源数目，k＝1,2,...,K表示信号源的标号，

表示阵元的标号，a＝1,2,...,36表示差合矩阵中元素标号，b＝1,2,...,23表示虚拟阵列元素标号，p＝1,2,...,P表示发射域划分区域标号，q＝1,2,...,Q表示接收域划分区域标号。

本发明为进一步扩大非均匀阵下MIMO雷达的阵列自由度，将所提阵列配置为发射和接收阵列，并针对该信号模型提出了一种稀疏字典降维方法，将MIMO雷达收发阵列非均匀化，并对其阵列接收数据进行单次快拍采样，获得一个不包含冗余阵元信息的虚拟阵列接收数据，然后针对稀疏字典所带来的高维搜索问题进行降维，通过挖掘发射角和接收角的阵列流形矩阵关系，利用两个一维字典，降低算法的运算量，而且实现了稀疏信号从高维到低维的映射，通过对低维稀疏信号进行重构完成了角度的自动配对。本发明的效果可以通过以下的仿真结果进一步说明：

仿真1：对于总阵元数为12的非均匀双基地MIMO雷达，为验证本发明方法可估计更多的空域目标，假设空域中17个非相干远场窄带目标信源的DOD和DOA为{-80°,-70°,-60°,-50°,-40°,-30°,-20°,-10°,0°,10°,20°,30°,40°,50°,60°,70°,80°}和{-80°,-70°,-60°,-50°,-40°,-30°,-20°,-10°,0°,10°,20°,30°,40°,50°,60°,70°,80°}，在信噪比为5dB，快拍数为1的环境下，对-80°～80°发射角和-80°～80°接收角划分网格构成原始二维字典，其间隔为0.5°，进行仿真实验，17个空域目标的DOD和DOA估计结果如图3所示；由于本发明采用稀疏重构方法，可附带对相干目标源进行识别，为了验证本发明的有效性，假设相干目标源的发射角和接收角分别为(30°,50°)，(40°,60°)。为了进一步降低构造字典的运算量，仅对20°～60°发射角和30°～70°接收角划分网格构成原始二维字典，其间隔为0.5°，在信噪比5dB,单次快拍下，2个相干信源估计结果如图4所示。

从图3中我们可以看到，本发明将非均匀阵列应用到MIMO雷达估计中，在单次快拍下可正确实现对多个空域目标源的DOD和DOA估计，而且由于稀疏重构算法有天然的解相干能力，使得本发明方法不仅可以对非相干源进行估计，还可以对相干源进行估计，这从图4中可以得到验证。最后结合图3和图4可以看到，本章所提算法可实现MIMO雷达DOD和DOA的自动配对。

仿真2：根据前面所描述的均方根误差定义，将BCSS方法，C.JINli方法及本发明算法在不同的信噪比下进行性能对比。目标源与网格间隔划分与仿真2所述一致，本发明方法和BCSS的快拍数为L＝1，而设C.JINli方法快拍数L＝100，这是因为该方法是基于ESPRIT实现的，在单次快拍或快拍数较低时，采用子空间类算法无法对DOD和DOA进行正确估计，导致RMSE值很大，所以为有个更好的比较，我们使用不等快拍数，在信噪比从-15dB到15dB的环境下分别进行V＝100次实验估计均方根误差和成功概率，结果如图5和6以及7和8所示。

从图5和图6可以看到，在信噪比从-15dB～0dB之间变化时，三种算法的成功概率值都在随着信噪比的增大而升高，且本发明所提方法的成功概率最高，BCSS方法次之，C.JIli方法最差，当信噪比在0dB～15dB之间时，三种算法的成功概率基本一致达到最高。从图7和图8可以看到，在信噪比从-15dB～0dB之间变化时，本发明所提方法的均方根误差值最小，估计精度最高，BCSS方法次之，C.JIli方法最差，但在0dB～15dB之间，C.JIli方法估计精度超过BCSS方法，这是因为C.JIli属于子空间类方法，虽然实现了对DOD和DOA的自动配对，但其对信噪比很敏感，在信噪比较低时，精度较差，随着信噪比的增大，其估计误差迅速减小。从整个信噪比区间来看，本发明所提方法要好于BCSS方法和多次快拍下的C.JINLI方法，在实际工程应用中，当采样数不足和信噪比较低的情况下，使用本章方法仍可对DOD和DOA进行正确估计，而C.JINLI方法则不能正确估计。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明做任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容做出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (4)

1.一种非均匀MIMO雷达的DOD/DOA估计算法，包含以下步骤：

步骤一、将非均匀阵列配置为双基地MIMO雷达收发阵列；

将满足二阶嵌套阵列自由度的阵元位置为Η＝[d₁,d₂,d₃,d₄,d₅,d₆]＝[0,d,4d,7d,9d,11d]的两个非均匀子阵分别作为双基地MIMO雷达收发阵列的发射阵列和接收阵列，发射阵列和接收阵列的阵元总数分别为M＝N＝6，该双基地MIMO雷达阵列的发射阵列和接收阵列产生的虚拟阵列均为W＝[-11d,-10d,-9d,-8d,-7d,-6d,-5d,-4d,-3d,-2d,-1d,0,d,2d,3d,4d,5d,6d,7d,8d,9d,10d,11d]，

λ为电磁波波长，构造非均匀阵列差合矩阵

将求得的差合矩阵

进行矢量化操作得到列向量

即

vec(·)表示对矩阵的矢量化操作,即将矩阵元素按列排成一个列矢量，例如设G矩阵大小为h×j维，则其内部经过矢量化操作vec(G)后，将原尺寸h×j维拉伸至hj×1维，矢量化后具体表现形式为vec(G)＝[g₁₁,…,g_h1,…g_1j,…g_hj]，[·]^T为矩阵的转置，将列向量

中满足

的元素取出从大到小排列构成一个新向量

当

中有多个元素与U(b)相同时，只取相同元素中的一个，其余的舍去，得

同时记录这23个元素在列向量

中的位置索引集Γ，

为取出矩阵中第6行和与第6行间隔6行的第12行的数据；

步骤二、根据所设计的非均匀MIMO阵列,得到阵列接收数据X(t)和发射数据Z(t)，进而得到发射信号和接收信号的数据协方差矩阵R_x＝E[X(t)X(t)^H]和R_z＝E[Z(t)Z(t)^H]；

步骤三：对协方差矩阵R_x，R_z进行矢量化处理得到去冗余前数据矢量r_x和r_z，根据索引集Γ挑选出r_x和r_z中的有效数据，从而得到x轴和z轴子阵的虚拟阵列接收数据

并由

得到最终的接收数据矩阵Y；

步骤四、采用单快拍下的多参数联合估计算法对双基地MIMO雷达DOD/DOA进行联合估计。

2.根据权利要求1所述的一种非均匀MIMO雷达的DOD/DOA估计算法，其中步骤二中的根据所设计的非均匀MIMO阵列，得到阵列接收数据X(t)和发射数据Z(t)，进而得到发射信号和接收信号的数据协方差矩阵R_x＝E[X(t)X(t)^H]和R_z＝E[Z(t)Z(t)^H]，按如下步骤计算：

由R_x＝E[X(t)X(t)^H]和R_z＝E[Z(t)Z(t)^H]得到发射信号和接收信号的数据协方差矩阵，E[·]为统计均值，[·]^H为复共轭转置，X(t)＝A_θS(t)+N_x(t)为雷达发射阵列端的输出信号，A_θ＝[a(θ₁),...,a(θ_k),...,a(θ_K)]为发射阵列流形矩阵，

为第k个发射信号导向矢量，θ_k∈[-90°,90°]为信号的DOD；Z(t)＝B_φS(t)+N_z(t)为接收阵列端的输出信号，B_φ＝[b(φ₁),...,b(φ_k),...,b(φ_K)]接收阵列流形矩阵，

为第k个接收信号的导向矢量，φ_k∈[-90°,90°]为第k个接收信号DOA，S(t)＝[s₁(t),...,s_K(t)]^T为入射信号的幅度，N_x(t)，N_z(t)分别表示发射阵列和接收阵列的通道噪声，d_ζ表示第ζ个阵元的位置。

3.根据权利要求1所述的一种非均匀MIMO雷达的DOD/DOA估计算法，其中步骤三中的对协方差矩阵R_x，R_z进行矢量化处理得到去冗余前数据矢量r_x和r_z，根据索引集Γ挑选出r_x和r_z中的有效数据，从而得到x轴和z轴子阵的虚拟阵列接收数据

并由

得到最终的接收数据矩阵Y，按如下步骤计算：

去冗余前发射阵列数据矢量r_x＝vec(R_x)，接收阵列数据矢量r_z＝vec(R_z)，根据步骤一中求得的位置索引集Γ找到r_x和r_z中对应位置的有效数据，得到最终的虚拟接收阵列接收数据

最终的虚拟发射阵列接收数据

由Y＝E[r_xr_z ^H]得到互相关数据矩阵

也被称之为最终的接收数据矩阵。

4.根据权利要求1所述的一种非均匀MIMO雷达的DOD/DOA估计算法，其中步骤四中采用单快拍下的多参数联合估计算法对双基地MIMO雷达DOD/DOA进行联合估计，按如下步骤计算：

4.1)根据发射域和接收域构造用于稀疏恢复的与DOA相关的一维字典Ξ和与DOD相关的一维字典Ω：

将发射域划分为P份，则对应的发射阵列一维字典为

为第P个潜在的发射信号对应的DOD，

为第P个潜在发射信号导向矢量，将接收域划分为Q份，则对应的接收阵列一维字典中为

为第q个潜在接收信号导向矢量，

为第q个潜在接收信号的DOA，

那么可以用接收数据

4.2)通过稀疏恢复算法对发射角和接收角进行联合估计：

其中Z为Q×(M²-2M-1)的辅助变量，min(·)为取最小值，||·||₀为矩阵的0范数，稀疏信号S包含了发射角和接收角信息，通过贪婪算法对稀疏信号进行恢复重构，可以得到辅助变量Z的估计值

再次利用贪婪算法对

进行恢复重构，可以得到稀疏信号的估计值

横行非零元素位置对应发射角的索引值，纵行非零元素位置对应接收角的索引值，通过横纵坐标非零元素索引值，便可得到DOD和DOA的估计值，而且对于目标源发射角和接收角的估计是一起进行的，所以最后通过

的横纵坐标可唯一确定目标源位置，因此能够实现自动配对。

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