CN111650835A - 一种随机跳变***的自适应事件触发异步滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种随机跳变***的自适应事件触发异步滑模控制方法，包括具有执行器故障的离散时间随机跳变***的建模和降阶处理、自适应事件触发方法的设计、基于自适应事件触发的异步滑模面的设计、滑模动态的稳定性分析、滑模参数的求解、异步滑模控制器的设计以及滑模面可达性分析。本发明考虑具有执行器故障的离散时间随机跳变***。针对其***模型特性，对该离散时间随机***模型进行建模和降阶处理。为了抑制执行器故障和节省网络资源，提出一种基于自适应事件触发的异步滑模控制方法，并对设计的方法进行稳定性分析。本发明能够有效解决离散时间随机跳变***在发生执行器故障时，通过自适应触发异步滑模控制方法对其进行稳定控制，并有效节省网络资源。

Description

一种随机跳变***的自适应事件触发异步滑模控制方法

技术领域

本发明属于跳变***技术领域，更为具体地讲，涉及一种随机跳变***的自适应事件触发异步滑模控制方法。

背景技术

随机跳变***由于能够很好地描述复杂***的非预期变化而引起了人们的广泛关注。随机跳变***一般由一系列离散时间或连续时间的子***组成，每个瞬间都有一个子***按照一定的跳变规则被激活。通常，跳变规律的特征是带有跳变信号的随机过程。在实际应用中，对于具有参数漂移、结构变化和部件失效的***，可以采用随机跳变***进行建模。因此，跳变***被广泛应用于各种工业领域，如容错和网络化控制***等。

在传统的控制***中，采样数据的传输采用时间触发方式，即控制***的各个单元周期性执行任务。这样极大地浪费了网络资源，增加了控制成本。因此，提出了事件触发机制，以减少数据传输，节约网络资源。近年来，事件触发控制策略成功地应用于工业控制的各个领域。文献[“Event-triggered sliding mode control of uncertain switchedsystems under denial-of-service attacks,”(H.Zhao,Y.Niu,and J.Zhao,Journal ofthe Franklin Institute,2019,356(18):11414-11433)]研究了具有不确定性的切换***，为了减少通信负载，设计了一种事件触发方法。文献[“Event-triggering dissipativecontrol of switched stochastic systems via sliding mode,”(J.Liu,L.Wu,C.Wu,W.Luo,L.Franquelo,Automatica,2019,103:261-273)]针对离散时间切换***，设计了一种事件触发策略，并分析了闭环***的稳定性。然而，上述文献中事件触发策略的阈值参数是恒定的，这太保守了，限制了它的应用。因此，阈值的设计需要进一步改进。在实际应用中，当***趋于稳定时，触发频率应相应降低。因此，阈值应根据***的动态性能进行自适应调整。这样可以在保证***的控制性能的同时，有效的节省网络资源。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种随机跳变***的自适应事件触发异步滑模控制方法，以解决具有执行器故障的离散时间随机跳变***的自适应事件触发异步滑模控制问题。

为实现上述发明目的，本发明随机跳变***的自适应事件触发异步滑模控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、具有执行器故障的离散时间随机***建模

定义

分别表示状态变量和***控制输入，

代表执行器故障，α(k)∈Ω＝{1,2,...,N}为跳变信号，A(α(k))和B(α(k))***矩阵。执行器故障项满足：

跳变信号α(k)的值由z(k)，k，或者其他的变量一起构成，子***的跳变序列是先验未知的，但其瞬时值可以实时获取到。***矩阵B(α(k))是列满秩的。对于跳变信号α(k)的随机跳变时序有：{j₀,j₁,j₂,...,j_l,...}，j₀＝0，且满足j_l＜j_l+1。跳变间隔[j_l,j_l+1]的驻留时间被称为当前时刻被激活子***的驻留时间。令α(k)＝i，表示第i个子***在k时刻被激活，则矩阵A(α(k))和B(α(k))可以表示为A_i和B_i；

(2)、离散时间随机***模型降阶处理

对于列满秩矩阵B_i，构造可逆矩阵M_i使得：

其中，B_i,2为可逆矩阵；

通过定义新的变量x(k)＝M_iz(k)，便可对***进行降阶处理；

(3)、自适应事件触发机制的设计

定义传感器的采样数据为

为了节约网络资源，采用一种自适应的事件触发方法，定义

其中x₁(k)表示传感器的当前采样数据，x₁(d_k)表示最近一次成功传输的采样数据，d_k为最近一次触发时刻；当满足事件触发条件时，采样数据包x(k)将被成功传输；

(4)、基于自适应事件触发的异步滑模面设计

针对网络化控制中存在的异步问题，引入隐马尔科夫模型来描述。定义一个随机变量β(k)来表示控制器节点的跳变状态，综合变量(α(k),β(k))一起构建一种具有条件概率λ_il的隐马尔科夫模型。进一步，设计一种基于事件触发的异步滑模面S(k)；

(5)、降阶滑模动态稳定性分析

结合自适应事件触发机制与离散时间随机跳变***模型，对滑模动态进行分析。通过Lyapunov函数理论，若存在实矩阵P_i＞0，Φ_i＞0和K_i,t，对于任意i∈Ω，

当满足一定的不得等式条件时，则离散时间降阶滑模动态是均方指数稳定的；

(6)、异步滑模控制器设计，为了补偿执行器故障项f_a(z,k)，设计一种基于自适应触发的滑模控制器，当条件

成立时，闭环***的运动轨迹可以收敛至给定的有界区域内。

本发明的目的是这样实现的。

本发明针对具有执行器故障的离散时间随机跳变***的自适应事件触发异步滑模控制。针对***模型特性，对该离散时间随机***模型进行建模以及降阶处理。为了抑制执行器故障和节省网络资源，提出一种基于自适应事件触发的异步滑模控制方法，并对该算法进行稳定性分析。本发明能够有效解决离散时间随机跳变***在发生执行器故障时，通过自适应触发异步控制方法对其进行稳定控制，并有效节省网络资源。

附图说明

图1为本发明随机跳变***的自适应事件触发异步滑模控制方法一种具体实施方式控制流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式进行描述，以便本领域的技术人员更好地理解本发明。需要特别提醒注意的是，在以下的描述中，当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时，这些描述在这里将被忽略。

下面以具有执行器故障的离散时间随机跳变***为例，详细描述本发明的技术方案。

1、离散时间随机跳变***的建模

在本发明中，考虑的离散时间随机跳变***如下所示：

z(k+1)＝A(α(k))z(k)+B(α(k))(u(k)+f_a(z,k)) (1)

其中，

分别表示状态变量和***控制输入，

代表执行器故障，并且满足条件：

α(k)∈Ω＝{1,2,...,N}为跳变信号，α(k)的值通常是由z(k)，k，或者其他的变量一起构成。假设跳变信号α(k)中子***的跳变序列是先验未知的，但其瞬时值可以实时获得到。在等式(1)中，A(α(k))和B(α(k))表示***矩阵，且满足如下假设。

假设1:矩阵B(α(k))是列满秩矩阵。

对于跳变信号α(k)的随机跳变时间序列有：{j₀,j₁,j₂,...,j_l,...}，j₀＝0，且满足j_l＜j_l+1。跳变间隔[j_l,j_l+1]的驻留时间被称为当前时刻被激活子***的驻留时间。

为了方便表述，令α(k)＝i，表示第i个子***在k时刻被激活。相应地，矩阵A(α(k))和B(α(k))可被表示为A_i和B_i。则***(1)可被重新描述为：

z(k+1)＝A_iz(k)+B_i(u(k)+f_a(z,k)) (2)

更进一步，定义{(i₀,j₀),(i₁,j₁),(i₂,j₂),...,(i_l,j_l),...}为跳变时间序列，其含义为：第i个子***在第k∈[j_l,j_l+1)时刻被激活。此外，对于任意的j₀＜j_l＜j_s，令N_α(k)(j_l,j_s)表示跳变信号α(k)在[j_l,j_s]间隔时的跳变数。若存在N₀≥0，Γ_α＞0，使得条件N_α(k)(j_l,j_s)≤N₀+(j_s-j_l)/Γ_α成立。则Γ_α可被称为平均驻留时间。

2、离散时间随机跳变***的降阶处理

根据假设1，矩阵B_i是列满秩的。因此存在可逆矩阵M_i使得：

其中，B_i,2是可逆矩阵。更进一步定义新的变量x(k)＝M_iz(k)，则***(2)可表述为：

其中

令

因此可以得到以下的降阶***：

3、自适应事件触发策略设计

基于***(4)，传感器的采样数据为

定义

其中x₁(k)表示传感器的当前采样数据，x₁(d_k)表示最近一次成功传输的采样数据，d_k为最近一次触发时刻。传统地，为了节约网络资源，设计如下的静态事件触发条件：

其中Φ_i表示权重矩阵，且Φ_i＞0，ρ_i0为表示事件触发阈值。

注释1：当不等式(5)满足时，采样数据x(k)会传输至控制器。其中，时序

表示触发时刻。通常，可以假设d₁＝1T(T表示采样周期)，即第一个采样数据x(1T)会成功传输。此外，在任一跳变间隔[j_l,j_l+1]，有

个事件发生。如

并且离散时间***可以自动消除Zeno现象。

注释2：虽然(5)式中所述的静态事件触发方法可以在一定程度上节省网络资源，但其阈值ρ_i0为常量。在实际应用中，当***趋于稳定时，触发频率应相应降低。因此，阈值应根据***的动态性能进行自适应调整。在本发明中，设计以下自适应事件触发条件：

其中ρ_i(d_k)表示自适应事件触发阈值，满足：

其中η是非负常数，

表示阈值的初始值，

表示双曲正切函数，

注释3：对于给定的初始阈值

从等式(7)中可以看出：当η＝0时，

此种情况表示(7)式设计的自适应事件触发策略包括了静态触发条件作为一种特殊情况。此外，(7)式中所设计的自适应阈值是有界的，即0≤ρ_i(d_k)≤ρ_i0。

注释4：在本发明中，结合双曲正切函数tanh(·)和权重因子

自适应地调整阈值ρ_i(d_k)。由于tanh(·)是递增且有界的，且tanh(·)∈(-1,1)。由此可知，较大的误差

便会生成较小的自适应阈值ρ_i(d_k)，并提高传输频率；相反地，较小的误差

会生成较大的自适应阈值ρ_i(d_k)，并降低传输频率。通过这种方法，可以更有效的节省网络资源。

通过分析(6)式，可计算得到下一触发时刻d_k+1：

因此，在k∈[d_k,d_k+1)时，采样数据x(k)不会被传输，并且x₁(k)满足：

4、基于事件触发的异步滑模面设计

在实际中，异步现象广泛地存在于网络化***的控制器和节点之间。因此，在本发明中，引入隐马尔科夫模型来描述异步问题。定义一个随机变量β(k)来表示控制器节点的跳变状态，并且

根据变量(α(k),β(k))构建一种具有条件概率λ_il的隐马尔科夫模型，定义如下：

Pr{β(k)＝t|α(k)＝i}＝λ_it (10)

其中0≤λ_it≤1，且

基于(10)所示的条件概率，本发明构造如下的异步滑模面：

其中

与

将在稍后求解。

更进一步地，考虑(6)式中所述的自适应事件触发策略，(11)式中所述的滑模面可重新表述为：

S(k)＝K_i,tx₁(d_k)+x₂(d_k) (12)

根据滑模控制理论，当到达滑模面时，有S(k)＝0，由(12)式可得：

x₂(k)＝-K_i,tx₁(d_k),k∈[d_k,d_k+1) (13)

将

代入(13)式，有：

将(14)代入(4)中第一个等式，可得离散时间降阶滑模动态：

其中

5、降阶滑模动态稳定性分析

定义1：若满足以下条件，则(15)式的离散时间降阶滑模动态是均方指数稳定的：

其中φ和

为常量，满足φ≥1，

定理1：给定标量

和

考虑(4)中的离散时间降阶***，结合(6)式中的自适应触发策略和(11)式中的异步滑模面，若存在实矩阵P_i＞0，Φ_i＞0和K_i,t对于任意i∈Ω，

使得：

其中

则(15)式中的离散时间降阶滑模动态是均方指数稳定的，且平均驻留时间满足

其中ceil(·)表示向上取整算子，且

则有：

证明:对于(15)式中的离散时间降阶滑模动态，选取如下的Lyapunov函数：

其中P(α(k))＞0。则可推断出：

更进一步地，考虑(9)中的事件触发条件，得：

其中

根据不等式(17)，可知：

由上述条件可知，对于

第i个子***被激活，根据(22)式，可得：

结合(18)、(19)式，有：

考虑(23)、(24)式，以及

有：

值得注意的是，(19)式说明存在两个正数λ和

使得：

其中

λ_min{·}和λ_max{·}表示取矩阵的最小和最大特征值算子。

根据(25)、(26)式，可得：

令

(显然φ≥1)并且

成立：

根据定义1，当

且

则(15)所示的离散时间降阶滑模动态是均方指数稳定的。

6、滑模参数求解

更进一步地，为了计算异步滑模面参数，给出如下结果。

定理2：若存在实矩阵

Y_i,t和K_i,t，

且标量满足

和

使得：

其中

和

则对于任何的

(15)中所示的离散时间降阶滑模动态是指数均方稳定的。其中μ≥1满足

此外，可求得异步滑模参数为：

证明:根据Shur补引理，由(17)式可得：

其中

定义矩阵

和

对不等式(28)左乘、右两端同时乘以

并且通过变量代换可得到不等式(27)，至此证毕。

7、滑模控制器设计及滑模面可达性分析

为了补偿执行器故障项f_a(z,k)，设计一种基于事件触发的滑模控制器，并对滑模面的可达性进行分析。

定理3：给定标量λ＞0，滑模参数K_i,t可由定理3求解得到，考虑(3)式所示的具有执行器故障f_a(z,k)的离散时间随机跳变***，若条件

满足，设计如下控制器：

其中

则闭环***的运动轨迹可以收敛至给定的有界区域内。

证明:构造如下的Lyapunov函数：

结合(4)，(11)和(13)，可得：

将控制输入

代入(31)可得：

因此有：

从(33)式可知，滑模面S(k)收敛于包含平衡点的有界区域。通过调整参数

可确保

因此，在(29)式所示的控制器下，闭环***的运动轨迹可以收敛至给定的有界区域，至此证毕。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (1)

1.一种随机跳变***的自适应事件触发异步滑模控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、具有执行器故障的离散时间随机***建模

定义

分别表示状态变量和***控制输入，

代表执行器故障，α(k)∈Ω＝{1,2,...,N}为跳变信号，A(α(k))和B(α(k))***矩阵；执行器故障项满足：

跳变信号α(k)的值由z(k)，k，或者其他的变量一起构成，子***的跳变序列是先验未知的，但其瞬时值可以实时获取到；***矩阵B(α(k))是列满秩的；对于跳变信号α(k)的随机跳变时序有：{j₀,j₁,j₂,...,j_l,...}，j₀＝0，且满足j_l＜j_l+1；跳变间隔[j_l,j_l+1]的驻留时间被称为当前时刻被激活子***的驻留时间；令α(k)＝i，表示第i个子***在k时刻被激活，则矩阵A(α(k))和B(α(k))可以表示为A_i和B_i；

(2)、离散时间随机***模型降阶处理

对于列满秩矩阵B_i，构造可逆矩阵M_i使得：

其中，B_i,2为可逆矩阵；

通过定义新的变量x(k)＝M_iz(k)，便可对***进行降阶处理；

(3)、自适应事件触发机制的设计

定义传感器的采样数据为

为了节约网络资源，采用一种自适应的事件触发方法，定义

其中x₁(k)表示传感器的当前采样数据，x₁(d_k)表示最近一次成功传输的采样数据，d_k为最近一次触发时刻；当满足事件触发条件时，采样数据包x(k)将被成功传输；

(4)、基于自适应事件触发的异步滑模面设计

针对网络化控制中存在的异步问题，引入隐马尔科夫模型来描述；定义一个随机变量β(k)来表示控制器节点的跳变状态，综合变量(α(k),β(k))一起构建一种具有条件概率λ_il的隐马尔科夫模型；进一步，设计一种基于事件触发的异步滑模面S(k)；

(5)、降阶滑模动态稳定性分析

结合自适应事件触发机制与离散时间随机跳变***模型，对滑模动态进行分析；通过Lyapunov函数理论，若存在实矩阵P_i＞0，Φ_i＞0和K_i,t，对于任意i∈Ω，

当满足一定的不得等式条件时，则离散时间降阶滑模动态是均方指数稳定的；

(6)、异步滑模控制器设计，为了补偿执行器故障项f_a(z,k)，设计一种基于自适应触发的滑模控制器，当条件

成立时，闭环***的运动轨迹可以收敛至给定的有界区域内。

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