CN111505613B - 基于虚拟天线Kuhn-Munkres算法的MIMO雷达发射天线布置方法 - Google Patents
基于虚拟天线Kuhn-Munkres算法的MIMO雷达发射天线布置方法 Download PDFInfo
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Abstract
该发明公开了一种基于虚拟天线Kuhn‑Munkres算法的MIMO雷达发射天线布置方法,属于信号处理领域。提供了一种在Neyman‑Pearson准则下,以检测器的输出信噪比为检测性能评价指标的MIMO雷达发射天线布置方法。在该方法中,结合二部图中的匹配理论,我们将发射天线和可选网格点看作二部图中的顶点,将天线布置产生的性能影响看作图中带有权值的边。由于发射天线和网格点的数量不同,因此,原始的天线布置问题被转化为一个非对称二部图中的MWM问题。接下来,通过添加虚拟天线来构造对称二部图,即可应用Kuhn‑Munkres算法选出发射天线的最优位置。我们称该基于虚拟天线的KM算法为VKM方法。通过我们提出的VKM方法,可以在允许区域内选择最优的位置来放置发射天线,并且复杂度较低。
Description
技术领域
本发明属于信号处理领域,它涉及关于MIMO雷达目标检测技术领域中的发射天线布置 问题,适用于MIMO雷达发射天线布局设计。
背景技术
MIMO(Multiple Input Multiple Out)雷达的概念最初是由通信中的多输入多输出技术引出 的,分为共置MIMO雷达和分置MIMO雷达两大类。对于分置天线MIMO雷达***来说,由 于其可以从各个角度对目标同时进行探测,从而实现空间分集的增益,具有更高的目标检测性 能。天线的位置选择对于雷达***的性能有重要影响,在电磁环境日趋复杂的情况下,如何进 行天线布局以更好地提高雷达***性能成为国内外学者广泛关注的一项内容。
根据雷达信号处理理论可知,天线的数量越多,***的性能越好。对于接收端来说,发射 端的天线数量越多,接收端要处理的匹配滤波信号就越多,计算复杂度也越高。因此,在实际 应用中,出于节省***软硬件资源且保证***性能的考虑,如何利用有限的发射天线资源进行 布局设计就成为了一个重要的研究问题。目前关于MIMO雷达***天线布置的研究有很多, 对于此类优化问题,一般常采用穷举搜索来得到一个最优的天线位置设计方案。然而,穷举搜 索方法的计算量很大,并不适合对计算成本有要求的***。所以,大家会设计一些计算较快的 次优方法,如贪心算法,它是优化问题中常用的一种解决手段。虽然贪心算法在计算速度方面 表现优秀,但它并不能保证得到全局最优解。
考虑到利用图论(Graph Theory)建模直观简单,且其中的相关算法具有计算复杂度低、 可以得到问题最优解等优点,通信领域中常用它来解决资源分配的问题。在通信资源分配问题, 比较常用的是加权二部图(bipartite graph)中的匹配(matching)算法,主要有最大加权匹配 (Maximum-Weighted Matching,MWM)和平稳匹配两种。对于MWM问题,比较经典的算法 是Kuhn-Munkres(KM)算法(见文献:J.Munkres,“Algorithms for theassignment and transportation problems”,Journal of the Society of Industrialand Applied Mathematics,vol.5,no.1, pp.32-38,March 1957),它可以在多项式时间内获得一个最大加权匹配,即所求问题的最优解。 而在雷达***中,发射天线也是一种***资源,如何将不同的天线分配给不同的位置以达到最 优***性能也是一种资源分配的问题。因此。对于发射天线布置问题,我们可以将其建模为一 个MWM问题,继而结合KM算法解决该问题。
发明内容
本发明结合图论知识,提供了一种在Neyman-Pearson准则下,以检测器的输出信噪比为 检测性能评价指标的MIMO雷达发射天线布置方法。在该方法中,结合二部图中的匹配理论, 我们将发射天线和可选网格点看作二部图中的顶点,将天线布置产生的性能影响看作图中带有 权值的边。由于发射天线和网格点的数量不同,因此,原始的天线布置问题被转化为一个非对 称二部图中的MWM问题。接下来,通过添加虚拟天线来构造对称二部图,即可应用 Kuhn-Munkres(KM)算法选出发射天线的最优位置。我们称该基于虚拟天线的KM算法 (virtual-antenna based KM)为VKM方法。通过我们提出的VKM方法,可以在允许区域内选 择最优的位置来放置发射天线,并且复杂度较低。
本发明技术方案为,基于虚拟天线Kuhn-Munkres算法的MIMO雷达发射天线布置方法, 该方法包括:
步骤1:设N个接收天线位置固定,发射天线的个数为M,放置发射天线的区域被划分成 Q(Q>M)个网格点,这Q个网格点可均匀划分也可随机划分;
步骤2:建立MIMO雷达接收信号模型,定义二元变量amq∈{0,1},m=1,...,M,q=1,...,Q, 若第m个发射天线放在第q个网格点,则amq=1,否则amq=0;设时域采样数为K,采样间 隔为Ts,将N个接收天线的所有观测值写成一个向量r;
r=[r1[1],...,r1[K],...,rN[K]]T
其中,
这里的wn[k]表示第n个接收天线在kTs时刻的噪声,假设为时间和空间上白的、零均值复高斯 随机噪声,方差为符合的高斯分布;ζnq和τnq分别表示第n个接收天 线和第q个可选网格点之间的反射系数和时间延迟,反射系数服从的高斯分 布,其中表示对应ζnq的方差;sm(t)是第m个发射天线的发射信号波形,Em表示发射能量, dR,n和dT,q分别表示第n个接收天线和第q个网格点到目标的距离;为了后续分析,令 满足的高斯分布,表示对应于hnm的方差,且
表示噪声的协方差矩阵,算符表示求数学期望。其中,噪声向量的定义为 w=[w1[1],...,w1[K],...,wN[K]]T,其元素wn[k]是对应于观测向量r=[r1[1],...,r1[K],...,rN[K]]T中的观测值rn[k]的噪声;表示有在目标存在情况下,接收信号的协方差矩阵;则 计算得到T的最终表达式为
步骤4:计算检测器的输出信噪比η
步骤5:基于检测器的输出信噪比,建立优化问题
amq∈{0,1}
该优化问题是一个二元整数规划问题;
步骤6:根据图论知识,构造一个二部图G=(V1,V2,E)来表示M个发射天线与Q个可选网 格点的关系;其中,发射天线对应的顶点用Am,m=1,..,M表示,构成集合V1={A1,...,AM},可 选网格对应的顶点用Gq,q=1,...,Q表示,构成集合V2={G1,...,GQ};E表示连接V1和V2中顶点的 边集,定义第m个发射天线和第q个网格点之间的边的权值为
并利用权值来构造权值矩阵W,且W是M×Q维的;
步骤7:通过添加Q-M个虚拟天线,将集合V1扩展至V1'={A1,...,AM,AM+1,...,AQ},其中 {AM+1,...,AQ}表示添加的虚拟天线顶点;对于V1'中与虚拟顶点相连的边,设其权值为0;然后 通过在W中添加Q-M个全0行,将其扩展为维度是Q×Q的矩阵W';
步骤8:对步骤7中得到的权值矩阵W'运用KM算法,得到权值之和最大的一组amq取值,忽略添加的虚拟天线顶点,即得到M个发射天线与Q个网格点之间的对应结果。
本发明提出的方法可以在节省***资源的情况下做出最优的发射天线布置方案,保证*** 的目标检测性能。和常规的穷举搜索方法相比,计算复杂度有很大程度的降低,为O(Q3)算法 运行速度快。因此,该方法是解决天线布置问题的一种有效且快速的方法。
附图说明
图1给出了根据研究问题构造一个加权二部图的过程。
图2是本实验中待选网格点的位置分布示意图。
图3是在各个发射天线的发射能量不同,但各路径目标反射系数方差相同情况下的ROC 曲线图,包括利用穷举搜索得到的最优天线位置方案,本发明所提的VKM方法得到的天线位 置方案,基于贪心算法得到的方案,随机方案以及最差方案的ROC曲线。
图4是在各个发射天线的发射能量不同,且各路径目标反射系数方差也不同情况下的ROC 曲线图,包括利用穷举搜索选出的最优天线位置方案,本发明所提的VKM方法选出的天线位 置方案,基于贪心算法选出的方案,随机方案以及最差方案的ROC曲线。
表1列出了本发明所提的VKM方法与穷举搜索方法的实际运算执行时间,以及它们实际 时间的比值和理论复杂度的比值。
具体实施方式
为了方便描述,首先进行如下定义:
黑体小写字母表示向量,黑体大写字母表示矩阵,(·)*为共轭,(·)T为转置,(·)H为共轭转 置,Diag{·}表示块对角矩阵,diag{·}表示对角矩阵,IK为K阶的单位阵,det(·)表示矩阵的 行列式。表示数学期望,Var{·}表示方差。
考虑一个MIMO雷达***具有N个接收天线,位置已知为(xR,n,yR,n),n=1,...,N,M个发 射天线具有Q个可选的网格点,位置为(xT,q,yT,q),q=1,...,Q,其中接收天线和发射天线均以大 的间隔分置。第m个发射天线的发射信号为归一化波形为表示发射能量,Ts表示采样间隔,采样时刻为k,k=1,...,K。假设一个可能的点目标位于(x,y) 处,从第q个可选网格点位置经过目标反射到达第n个接收天线的时间延时表示为
其中dT,q和dR,n分别表示第q个网格点位置和第n个接收天线到目标的距离,c表示光速。为 了便于说明问题,引入一个二元选择变量amq
该二元变量满足
因为一个网格点最多分配给一个发射天线,以及满足
代表一个发射天线必须选择一个网格作为其位置。
第n个接收天线在kTs时刻的接收信号为
其中
ζnq表示接收天线n与放在第q个网格点的发射天线之间的反射系数,其被假设为零均值 复高斯随机变量,满足相应的,且公式(5)中,wn[k]假设是一个时间和空间白的,零均值复高斯随机噪声,定义第n个接收天线处的观测向量为rn=[rn[1],rn[2],...,rn[K]]T,所有N个接收天线的观测向 量可表示为
r=[r1 T,r2 T,...,rN T]T=Sh+w (7)
其中,S=Diag{S1,S2,...,SN}是一个收集所有发射信号的矩阵,
Sn=[sn[1],sn[2],...,sn[K]]T (8)
公式(7)中,向量hn=[hn1,hn2,...,hnM]T,噪声向量wn=[wn[1],wn[2],...,wn[K]]T。根据前面的假设,我们可以知 道h是一个零均值复高斯向量,其协方差矩阵为噪声向量w的协方差为为了简化后面的分析,我们假设源自不同发射天线m 和m'的信号近似正交,且对于感兴趣的不同时间延迟τm、τm'保持近似正交性
根据(7)式,目标检测可以由下面的二元假设检验问题给出
最优检测器为
阈值γ有虚警概率PFA决定,则对数似然比表达式如下
其中T表示检测统计量,此时阈值变为γ'=γ-ln[det(Cw)]+ln[det(R)]。接下来,计算检测统 计量T的具体表达式。根据矩阵求逆引理,有
又因为Cw是一个对角矩阵,所以检测统计量可重写为
根据(8)以及(10)中正交信号的假设,有
将(18)代入到(17)中,计算可得
其中表示在接收天线n处,对应于放在第q个网格点的第m个 发射天线的匹配滤波输出信号。我们的目标是确定选择变量amq的一组值,来最大化检测概率 PD。为计算PD,需要分别计算T在和下的概率密度函数(probabilitydensity function,pdf)。 通过分析(19)可知T服从自由度为2NM的广义卡方分布,其pdf计算比较复杂,并且PD的计算 还受到虚警概率PFA和阈值γ的影响,直接求解PD比较麻烦,因此要换一个角度考虑解决办法。
下面定义检测器输出信噪比的表示η
它可以近似地表征检测性能。计算η,首先计算ynmq的期望
以及ynmq的方差
然后将(21)和(22)中的期望与方差代入(20),计算得
经过上述操作后,我们得到优化问题
注意到P1是一个二元整数规划问题,属于NP-hard问题,通常具有指数级的计算复杂度。 要想得到问题P1的最优解,必须穷举搜索Q×(Q-1)×…×(Q-M+1)个天线与可选网格点的组 合,复杂度为O(Q!/(Q-M)!)。当M和Q变大时,计算复杂度会很大。根据我们现有的知识, 在图论中有好多经典有效的算法可以用来解决类似的分配问题。因此考虑把P1转化为一个二 部图中的最大加权匹配(MWM)问题,并结合Kuhn-Munkres(KM)算法在多项式时间内得 到最优解,其复杂度为O(Q3)。
根据二部图定义以及我们要解决的问题,构造一个完全二部图G(V1,V2,E)来表示发射天线 和可选网格点位置之间的关系,如图1(a)所示。其中,集合V1={A1,...,AM}中的点表示发射 天线,基数|V1|=M,集合V2={G1,...,GQ}中的点表示可选网格点,基数|V2|=Q;
集合E={(Am,Gq)|m=1,...,M,q=1,...Q}包含连接V1和V2中顶点的边。对于第m个发射天 线和第q个网格点位置之间的边,设其权值为
最后,得到MWM问题如下
我们可以发现问题P2等价于P1,应用Kuhn-Munkres(KM)算法可以最优地解决上述问题。 因为经典的KM算法应用于一个对称二部图,即两个顶点子集的基数相等,所以下面我们提 出基于虚拟天线的KM(virtual-antenna based KM,VKM)方法。
通过增加Q-M个虚拟天线,将天线顶点集合V1扩展至V1'={A1,...,AM,AM+1,...,AQ},使 |V1|=|V2|,并设虚拟顶点对应的边权值为0。如图1(b)所示,虚拟顶点和虚拟边用虚线表示。 将包括虚拟顶点在内的所有边的权值放在一起,构造新的权值矩阵
接下来便可以在W'上应用KM算法,即可得出问题P3的最优解。
关于VKM方法的具体步骤如下:
初始化:(1)根据(24)和(26)计算权值wmq,m=1,...,M,q=1,...,Q,构造(27)中的权值矩阵; (2)增加Q-M个虚拟天线,将V1扩展至V1',然后在W中添加Q-M个全零行,构造新的权 值矩阵W',如(29)所示。
步骤1:对于W'中的每一行,从其每个元素中减去该行的最大元素;对于W'中的每一列,从其每个元素中减去该列的最大元素。
步骤2:考虑矩阵中的某个0元素,如果该0所在的行和列均不存在加星号的0(即0*), 那么就把该0元素加星号为0*;对于矩阵中的每个0元素,重复以上加星号的过程。
步骤3:用划线覆盖每个0*所在的列,如果矩阵的所有列都被覆盖,那么每个0*的位置 所对应的原始矩阵W'中的元素即为选出的匹配结果,算法结束;否则,转到步骤4。
步骤4:选择一个没有被划线覆盖的0,将它加注为0',如果该0'所在的行里没有0*,转 到步骤5;如果有0*,覆盖该0*所在的行而取消它所在列的覆盖。重复以上过程直到所有的0 都被覆盖,转到步骤6。
步骤5:按如下过程构造一个0*和0'交替的序列:用Z0表示未被覆盖的0',用Z1表示Z0所在列的0*(如果有的话),用Z2表示Z1所在行的0'。重复这个过程直到某个0'所在的列不含0*,交替序列结束于该0';在得到的交替序列中,取消0*的星号,给0'改注星号变为0*。擦除矩阵中所有0'的标记以及所有对行的覆盖,转到步骤3。
步骤6:用h表示矩阵中最大的未覆盖元素,将h加到每个覆盖的行上,然后再从每个覆 盖的列中减去h。转到步骤4。
算法结束后,输出结果即为最优匹配。忽略匹配结果中添加的虚拟天线顶点,便可得到各 发射天线的最优位置。
关于基于虚拟天线Kuhn-Munkres(VKM)方法的发射天线布置问题,给出两个仿真实例 以及算法复杂度的对比分析。
仿真参数设置如下:假设发射波形为0<kTs<T,T=KTs表 示整个观测时间,Ts=0.25μs,K=4000且表示第m和第m+1个发射天线之间的频 率增益。二维笛卡尔坐标系中,假设待探测目标位置为原点(x,y)=(0,0)km,两个接收机位置 为(xR,1,yR,1)=(-1,0)km和(xR,2,yR,2)=(1,0)km。
仿真1中,假设各发射天线的发射能量不同,对于不同的n和q,反射系数方差相同,设 为假设有M=6个发射天线待确定位置,发射能量设为[E1,E2,E3,E4,E5,E6]=1012×[1,2,5,8,6,4],有Q=12个可选网格点,随机分布在允许区域内,其位置分布示意图如图 2所示。图3表示不同方法下得出的天线位置所对应的ROC曲线,菱形标识表示穷举搜索得 到的最优选择,正方形标识是本专利中提出的VKM方法的选择,圆形标识是基于贪心算法的 选择,三角形标识是随机选择,加号标识表示穷举搜索得到的最坏选择。可以看出,应用VKM 方法可以得到和穷举搜索一样的最优性能,且计算复杂度低,运算速度快。基于贪心算法的选 择得到的是次优性能,随机选择的性能低于贪心算法,最坏选择的性能最差。
仿真2中,假设各发射天线的发射能量不同,且对于不同的n和q,反射系数方差也不同, 按高斯分布随机产生。假设有M=6个发射天线待确定位置,发射能量为 [E1,E2,E3,E4,E5,E6]=1012×[2,4,6,10,9,5],Q=12个可选网格点,其位置分布情况与仍如图2 所示。图4表示不同方法下得出的天线位置所对应的ROC曲线。可以看出,应用VKM方法 仍然可以得到和穷举搜索一样的最优性能,且计算复杂度低,运算速度快。基于贪心算法的选 择得到的是次优性能,随机选择的性能低于贪心算法,最坏选择的性能最差。
关于算法复杂度的分析,定义穷举搜索与VKM方法的复杂度比值为ε=Q!/((Q-M)!Q3), 用ε来说明两种方法之间的理论复杂度差异。另外,定义穷举搜索与VKM方法在本地计算机 的实际执行时间之比为表1中分别列出了穷举搜 索和VKM方法的实际运算时间以及它们的比值,通过与理论复杂度比值ε的比较,可以看 出理论复杂度与实际执行时间的变化趋势基本一致,都反映出随着Q和M的增大,VKM方 法的复杂度远低于穷举搜索。通过对比可以证明,本发明中提出的用于发射天线布置的VKM 方法是一个性能更好的算法。
表1
Claims (1)
1.基于虚拟天线Kuhn-Munkres算法的MIMO雷达发射天线布置方法,该方法包括:
步骤1:设N个接收天线位置固定,发射天线的个数为M,放置发射天线的区域被划分成Q个网格点,Q>M,这Q个网格点可均匀划分也可随机划分;
步骤2:建立MIMO雷达接收信号模型,定义二元变量amq∈{0,1},m=1,...,M,q=1,...,Q,若第m个发射天线放在第q个网格点,则amq=1,否则amq=0;设时域采样数为K,采样间隔为Ts,将N个接收天线的所有观测值写成一个向量r;
r=[r1[1],...,r1[K],...,rN[K]]T
其中,
这里的wn[k]表示第n个接收天线在kTs时刻的噪声,假设为时间和空间上白的、零均值复高斯随机噪声,方差为符合的高斯分布;ζnq和τnq分别表示第n个接收天线和第q个可选网格点之间的反射系数和时间延迟,反射系数服从的高斯分布,其中表示对应ζnq的方差;sm(t)是第m个发射天线的发射信号波形,Em表示发射能量,dR,n和dT,q分别表示第n个接收天线和第q个网格点到目标的距离;为了后续分析,令满足的高斯分布,表示对应于hnm的方差,且
表示噪声的协方差矩阵,算符表示求数学期望;其中,噪声向量的定义为w=[w1[1],...,w1[K],...,wN[K]]T,其元素wn[k]是对应于观测向量r=[r1[1],...,r1[K],...,rN[K]]T中的观测值rn[k]的噪声;表示有在目标存在情况下,接收信号的协方差矩阵;则计算得到T的最终表达式为
步骤4:计算检测器的输出信噪比η
步骤5:基于检测器的输出信噪比,建立优化问题
amq∈{0,1}
该优化问题是一个二元整数规划问题;
步骤6:根据图论知识,构造一个二部图G=(V1,V2,E)来表示M个发射天线与Q个可选网格点的关系;其中,发射天线对应的顶点用Am,m=1,..,M表示,构成集合V1={A1,...,AM},可选网格对应的顶点用Gq,q=1,...,Q表示,构成集合V2={G1,...,GQ};E表示连接V1和V2中顶点的边集,定义第m个发射天线和第q个网格点之间的边的权值为
并利用权值来构造权值矩阵W,且W是M×Q维的;
步骤7:通过添加Q-M个虚拟天线,将集合V1扩展至V1'={A1,...,AM,AM+1,...,AQ},其中{AM+1,...,AQ}表示添加的虚拟天线顶点;对于V1'中与虚拟顶点相连的边,设其权值为0;然后通过在W中添加Q-M个全0行,将其扩展为维度是Q×Q的矩阵W';
步骤8:对步骤7中得到的权值矩阵W'运用KM算法,得到权值之和最大的一组amq取值,忽略添加的虚拟天线顶点,即得到M个发射天线与Q个网格点之间的对应结果。
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